理科数学2010-2019高考真题分类训练21专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用—附解析答案

专题七 等式
第二十讲 等式综合应
2019 年
1（ 2019 天津理 13 ）设 0 0 2 5x y x y    ( 1)(2 1)xy
xy
值



20102018 年

选择题
1．(2018 北京)设集合 {( ) | 1 4 2}A xyxy axy xay    ≥ ≤
A．意实数 a (21)A B．意实数 (21) A
C．仅 0a  时 D．仅 3
2a ≤ 时
2．（2017 天津）已知函数
| | 2 1
() 2 1
xx
fx xxx
  
≥ 设 aR关 x 等式 ( ) | |2
xf x a≥
R 恒成立 a 取值范围
A．[ 22] B．[ 2 32] C．[ 22 3] D．[ 2 32 3]
3．（2015 北京）设 na 等差数列．列结中正确
A． 120aa 230aa B． 130aa 120aa
C． 120 aa 2 1 3a a a D． 1 0a    2 1 2 3 0a a a a  
4．（ 2015 陕西）设 ( ) lnf x x 0 ab ()p f ab ()2
abqf
1 ( ( ) ( ))2r f a f b列关系式中正确
A． q r p B． q r p C． p r q D． p r q
5．（ 2014 重庆） baabba  ）（log43log 24 值
A． 326 B． 327  C． 346 D． 347 
6．（2013 福建） 122  yx yx  取值范围
A．]20[ B．]02[ C．)2[  D．]2( 
7．（ 2013 山东）设正实数 x y z 满足 223 4 0x xy y z    ． xy
z
取值时
2 1 2
x y z值
A．0 B．1 C． 9
4 D．3
8．（ 2013 山东）设正实数 zyx 满足 043 22  zyxyx z
xy
取值时
2x y z值
A．0 B． 9
8 C．2 D． 9
4
9．（ 2012 浙江）正数 xy满足 35x y xy 34xy 值
A． 24
5 B． 28
5 C．5 D．6
10．（ 2012 浙江）正数 满足 值
A． B． C．5 D．6
11．（2012 陕西）王甲乙时速分 a b（ ab ）全程均时速v

A． a v ab B． ab C． ab < <
2
ab D．
2
ab

12．（ 2012 湖南）已知两条直线 1l ym 2l y  8
21m  ( 0m  ) 函数 2logyx
图左右相交点 AB 函数 图左右相交 CD．记线
段 AC BD x 轴投影长度分 ab m 变化时 b
a
值
A．16 2 B．82 C． 384 D． 344
13．（ 2011 陕西）设0 ab列等式中正确
A．
2
aba b ab    B．
2
aba ab b  
C．
2
aba ab b    D．
2
abab a b  
14．（ 2011 海） a b R 0ab  列等式中恒成立
A． 222a b ab B． 2a b ab C． 1 1 2
ab ab
 D． 2ba
ab
二填空题
15．(2018 天津)已知 abR 3 6 0ab   12 8
a
b 值 ．
16．(2018 浙江)已知 R函数 2
4() 4 3
xxfx x x x


    
≥
2  时等式 ( ) 0fx
解集___________．函数 ()fx恰 2 零点 取值范围___________．
17．(2017 北京)已知 0x  0y  1xy 22xy 取值范围_______．
18．（ 2017 天津） abR 0ab 
4441ab
ab
值___________．
19．（ 2017 江苏）某公司年购买某种货物 600 吨次购买 x 吨运费 6 万元次年
总存储费 4x 万元年总运费总存储费 x 值 ．
20．（ 2017 浙江）已知 aR函数 4( ) | |f x x a ax    区间[14]值 5
a 取值范围 ．
21．（ 2014 浙江）已知实数 abc满足 0abc 2 2 2 1abc a 值__
22．（ 2014 辽宁） 0c  非零实数 ab 满足 224 2 0a ab b c    | 2 |ab
时 1 2 4
a b c值 ．
23．（ 2014 辽宁） 非零实数 a b 满足 224 2 4 0a ab b c   
时 3 4 5
a b c值 ．
24．（2014 湖北）某项研究表明：考虑行车安全情况某路段车流量 F（单位时间
测量点车辆数单位：辆时）车流速度 v（假设车辆相速度 v 行驶单
位：米秒）均车长 l（单位：米）值关公式 2
76000
18 20
vF v v l 
．
（Ⅰ）果限定车型 605l  车流量 辆时
（Ⅱ）果限定车型 5l  车流量（Ⅰ）中车流量增加 辆时．
25．（2013 天津）设 a + b 2 b>0 a 时 1 | |
2 | |
a
ab 取值
26．（ 2013 四川）已知函数 ( ) 4 ( 0 0)af x x x ax    3x  时取值 a __．
27．（ 2011 浙江）实数 xy满足 22 1x y xy   xy 值____．
28．（ 2011 湖南）设 x y R 22
22
11( )( 4 )xyyx值 ．
29．（2010 安徽） 0 0 2a b a b    列等式切满足条件 ab恒成立
(写出正确命题编号)．
① 1ab  ② 2ab ③ 222ab
④ 333ab ⑤ 112ab
专题七 等式
第二十讲 等式综合应
答案部分
2019 年
1解析 0x  0y  25xy
  1 2 1 2 2 1 2 6 62xy xy x y xy xy
xy xy xy xy
       
基等式 662 2 2 4 3xy xy
xy xy
  …（仅 62 xy
xy
 时
3xy  时 3
1
x
y

 

2
3
2
x
y
 
时等号成立）
  1 2 1xy
xy
值 43


20102018 年

1．D解析点(21) 直线 1xy 4ax y表示定点(04) 斜率 a 直线
0a  时 2x ay表示定点 (20) 斜率 1
a
直线等式 2x ay ≤ 表示
区域包含原点等式 4ax y表示区域包含原点．直线 直线
互相垂直显然直线 斜率 0a时等式 表示
区域包含点(21) 排 A点 点(04) 连线斜率 3
2
3
2a   3
2a  时 表示区域包含点 时 2x ay表示
区域包含点 排 B直线 斜率 3
2a   3
2a  时
表示区域包含点 排 C选 D．
解法二 (21)A 2 1 4
22
a
a

  ≤ 解 3
2a  仅 3
2a ≤ 时
(21) A ．选 D．
2．A解析解法 函数 ()fx图象图示 ||2
xya图象点(02) 时
知 2a  ．
2
xya图象 2yxx 图象相切时 2
2
x axx  
2 2 4 0x ax   0 结合图象 2a  ( ) | |2
xf x a≥ 恒成立
0a≤ 时需满足 2a ≤ 20a ≤ ≤ 0a 时需满足 2a≤
22a ≤ ≤ ．
x
y
–1–2–3–4 1 2 3 4
–1
1
2
3
4
5
6
O

解法二 题意 0x  时 ()fx值 2等式 等价
| | 22
x a ≤ R 恒成立．
23a  时令 0x  | 2 3 | 22
x 符合题意排 CD
23a  时令 | 2 3 | 22
x 符合题意排 B
选 A．
3．C 解析{}na 递减等差数列选项 AB定正确． 公差 0
等差数列选项 D 正确． C 选项条件知 公差 0 正确
数列等差中项性质 13
2 2
aaa + 基等式 13
132
aa aa+ > C
正确．
4．B解析∵0 ab<<∴
2
ab ab+ > ( ) lnf x x (0 )+ 单调递增
()()2
abf ab f +< qp>
∵ 11( ( ) ( )) (ln ln ) ln ( )22r fafb ab abfabp + +
∴ p r q<．
5．D解析已知34a b ab 0ab  知 0 0ab
431ab( 0 0ab) 4 3 4 3( )( ) 7 7 4 3baa b a b a b a b       ≥ ．
仅 43ba
ab 时取等号．
6．D解析题考查均值等式． yxyx 222221  222  yx
2 yx 仅 yx 22  yx  时取等号．
7．B解析 223 4 0x xy y z    2234z x xy y   ．
22
1
434 3
xy xy
xyz x xy y
yx
 
1 1
423xy
yx


仅 4xy
yx
2xy 时取等号时 22yz  1)( max z
xy
xyyyzyx
21
2
2212  )2
11(2)11(2
yyxy  1)2
2
112
1
(4 2 

 yy
选 B
8．C解析 223 4 0x xy y z    2243x y xy z  
2222 24443 3 3 1xyz x y xy
xy xy xy xy
      
仅 224xy 2xy 时 z
xy
值 1
代入原式 22zy
222 2 2 2 2 4x y z y y y y y       
1y  时值 2．选 C．
9．C解析 35x y xy 135yx
1 1 3 1 3 12 13(3 4 ) ( ) ( )5 5 5
xyxyy x y x       1 132 36 555   
10．C解析 35x y xy 135yx
1 1 3 1 3 12 13(3 4 ) ( ) ( )5 5 5
xyxyy x y x       1 132 36 555   
11．A解析设甲乙走路程 S
2 2 2 2
11 2
S ab abv abSS ab ab
a b a b
    
．
∵ ab ∴
222
2
ab avaa b a   ∴ a v ab ．选 A．
12．B解析坐标系中作出 ym y  8
21m  ( 0m  ) 2logyx 图
图

2log x m 122 2mmxx

8
21
8
21
342 2 mmxx ．
题意
8
21
8
21
8
21
8
21
22
2 2 2 2
22
m
m
m
mmm
m m
baba

 
 

    

8
21
8
212 2 2m mm m  ．
8 1 4 1 1 14312 1 2 2 2 2
2
mmm m
        
min( ) 8 2b
a．
13．B解（方法）已知 ab
2
abab  较 a ab
22( ) ( ) 0a ab a a b    a ab 理
22( ) ( ) 0b ab b b a    ab b 作差法： 022
a b b ab   

2
ab b  综
2
aba ab b   选 B．
（方法二）取 2a  8b 
4ab  52
ab  ．
14．D解析 A 取 1ab时 2222a b ab   A 正确 B 取
1ab   时 2 2 2a b ab     B 正确 C 取
时 1 1 222ab ab
     C 正确 D∵ 0ab 
∴ 0b
a  0b
a 
∴ 22b a b a
a b a b  ≥ D 正确．
15． 1
4
解析 3 6 0ab   36ab
3 6 3 6 3
33
1 1 1 12 2 2 2 2 28 2 2 4
a b b
b b b
        ≥
仅 36
3
12 2
b
b
  1b  时等号成立．
16．(14) (13] (4 ) 解析 2  2x≥ 时令 40x  24x ≤
2x  时令 2 4 3 0xx   12x．综知14x等式 ( ) 0fx
解集(14) ．令 40x 解 4x  令 2 4 3 0xx   解 1x  3x  ．
函数 ()fx恰 2 零点结合函数图象（图略）知13 ≤ 4  ．
17． 1[ 1]2 解析题意 2 2 2 2 2 211(1 ) 2 2 1 2( )22u x y x x x x x  
[01]x 0x  时 221u x y   1
2x  时 22
min
1
2u x y   1x  时
221u x y   22xy 取值范围 1[ 1]2
．
18．4解析
4 4 2 24 1 4 1 144a b a b abab ab ab
   ≥ ≥
仅 222ab 1
2ab  2 2
2a  时取等号．
19．30解析总费 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240xxxx       仅 900x x
30x  时等号成立．
20． 9(]2 解析∵ [14]x ∴ 4 [45]x x
① 5a≥ 时 4 4 4( ) 2 2 2 2 4f x a x a a x a x ax x x  ≤
()fx值 2 4 5a  9
2a  （舍）
② 4a≤ 时 44( ) 5f x x a a xxx      ≤ 时命题成立．
③ 45a时 max() max{|4 | |5 | }f x a a a a    
| 4 | | 5 |
| 4 | 5
a a a a
aa
   
   
≥
| 4 | | 5 |
| 5 | 5
a a a a
aa
    
  

解 9
2a  9
2a 
综实数 a 取值范围 9(]2 ．
21． 6
3
解析 0abc   a b c   2 2 2 2( ) 2a b c b c bc     
 2 2 2 2 2 22b c b c b c    ≤ 2 2 2 1abc   232a ≤
解 66
33a ≤ ≤ a 值 ．
22．－1解析设| 2 |ab 必须 ab号
2 2 224 4 6 3( )2
aba b ab c ab c     ≤
2(2 ) 4a b c ≤ 22()2
abc ≥ 仅 2ab 时取等号时 2cb
1 2 4
a b c 2
2
4 4 1 14( ) 1 12b b b    ≥ ．
23．－2 解析 设 2a b t 2a t b 224 2 4 0a ab b c   
2a t b代入整理 226 3 0b tb t c    ①
0≥ 解 88
55c t c ≤ ≤ 2ab 取值时 8
5tc
代入①式
10
cb  2a t b 3
2 10
ca 
3 4 5
a b c   210 410 5 5 210
ccc c c
    25( 2) 2 2
c
   ≥ ．
仅 5
2c  时等号成立．
24．1900 100解析（Ⅰ） 76000 76000 190020 605 2 121 1818
F
v v
 
≤
仅 11v  时等号成立．
（Ⅱ） 76000 76000 200020 5 2 100 1818
F
v v
 
≤ 仅 10v  时等号成立．
2000 1900 100．
25．－2解析∵ 1 | |
2 | |
a
ab | | | |
4 | | 4 | | 4 | |
a b a a b a
a b a a b
    
| | 1 32 1 14|| 4|| 4|| 4 4
a b a a
a a b a      ≥ ≥
仅 ||04 | |
baaab 2 4ab   时取等号
取值时 2a  ．
26．36解析 0 0xa( ) 4 2 4 4aaf x x x axx   
仅 4 ax x 34
ax 解 36a  ．
27． 23
3
解析∵ 22 1x y xy  
∴ 2( ) 1x y xy   22( ) ( ) 12
xyxy  ≤
∴ 2 4()3xy ≤ 23
3xy ≤ ．
28．9解析柯西等式知 2 2 2
22
11( )( 4 ) (1 2) 9xyyx     ．
29．①③⑤解析令 1ab排②④ 2 2 1a b ab ab    
命题①正确 2 2 2( ) 2 4 2 2a b a b ab ab      
命题③正确 1 1 2 2ab
a b ab ab
    命题⑤正确．


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