二次函数图形面积问题
知识导图
三角形
常见考查图形 梯形
规图形
直接计算
分割法
相似图形
铅垂高水宽
二次函数图形面积问题
说明序结构
三点剖析
考点
力求
重难点
易错点
识记理解
分析应
综合表达
分割法求图形面积
√
√
√
利图形相似求图形面积
√
√
√
√
铅垂高水宽
√
√
√
知识精讲
考点 1 利分割法求图形面积
考点解析：
适题型：1矩形者正方形中计算规部分面积2次函数二次函数图中规三角形者四边形面积
常见分割方法： 1规图形面积减规图形面积2着x轴者y轴图形分割成两三角形3图形点x轴者y轴作垂线图形分割成三角形直角梯形
典型例题：
例 111图△OAB边长2等边三角形点A直线x轴交点E．
（1） 求点E坐标
（2） 求 AOE三点抛物线解析式
（3） 点P（2）中求出抛物线AE段动点（AE重合）设四边形OAPE面积S求S值
答案解析解：（1）作AF⊥x轴F∴OFOAcos60°1AFOFtan60°
∴点A（1）代入直线解析式
∴m
∴
y0时
x4∴点E（40）
（2）设AOE三点抛物线解析式yax2+bx+c
∵抛物线原点 ∴c0
∴
∴抛物线解析式
（3）作PG⊥x轴G设P（x0y0）
S四边形OAPES△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
时S．
解析（1）（2）图作AF⊥x轴F根直角三角形性质定系数求E点坐标抛物线解析式
（3）作作PG⊥x轴G四边形OAPE面积Sx0表示问题转化求函数值问题．
针练：
练 111
（2016苏州中考第28题）图直线l：y﹣3x+3x轴y轴分相交AB两点抛物线yax2﹣2ax+a+4（a＜0）点B．
（1）求该抛物线函数表达式
（2）已知点M抛物线动点点M第象限连接AMBM设点M横坐标m△ABM面积S求Sm函数表达式求出S值
（3）（2）条件S取值时动点M相应位置记点M′．
①写出点M′坐标
②直线l绕点A时针方旋转直线l′直线l′直线AM′重合时停止旋转旋转程中直线l′线段BM′交点C设点BM′直线l′距离分d1d2d1+d2时求直线l′旋转角度（∠BAC度数）．
答案解析解：（1）令x0代入y﹣3x+3
∴y3
∴B（03）
B（03）代入yax2﹣2ax+a+4
∴3a+4
∴a﹣1
∴二次函数解析式：y﹣x2+2x+3
（2）令y0代入y﹣x2+2x+3
∴0﹣x2+2x+3
∴x﹣13
∴抛物线x轴交点横坐标﹣13
∵M抛物线第象限
∴0＜m＜3
点M作ME⊥y轴点E交AB点D
题意知：M坐标（m﹣m2+2m+3）
∴D坐标：﹣m2+2m+3
∴y﹣m2+2m+3代入y﹣3x+3
∴x
∴D坐标（﹣m2+2m+3）
∴DMm﹣
∴SDM•BE+DM•OE
DM（BE+OE）
DM•OB
××3
（m﹣）2+
∵0＜m＜3
∴m时
S值值
（3）①（2）知：M′坐标（）
②点M′作直线l1∥l′点B作BF⊥l1点F
根题意知：d1+d2BF
时求出BF值
∵∠BFM′90°
∴点FBM′直径圆
设直线AM′该圆相交点H
∵点C线段BM′
∴F优弧
∴FM′重合时
BF取值
时BM′⊥l1
∵A（10）B（03）M′（）
∴勾股定理求：ABM′BM′A
点M′作M′G⊥AB点G
设BGx
∴勾股定理：M′B2﹣BG2M′A2﹣AG2
∴﹣（﹣x）2﹣x2
∴x
cos∠M′BG
∵l1∥l′
∴∠BCA90°
∠BAC45°
解析（1）利直线l解析式求出B点坐标B点坐标代入二次函数解析式求出a值
（2）点M作ME⊥y轴点E交AB点D△ABM面积DM•OB设M坐标（m﹣m2+2m+3）含m式子表示DM然求出Sm函数关系式求出S值中m取值范围0＜m＜3
（3）①（2）知m代入二次函数解析式求出坐标值
②点M′作直线l1∥l′点B作BF⊥l1点Fd1+d2BF求出BF值题意知点FBM′直径圆点FM′重合时BF取值．
考点 2 利相似解决图形面积问题
考点解析 ：
例：图DEBC果AD∶ABk呢？求S△ADE∶S△ABC值
适题型：图形中涉行线相似三角形
常见分割方法：1利行关系者三角形相似计算出应边长2根面积相似方直接表示出图形面积
典型例题：
例 211
已知：图抛物线yax2+bx+cx轴正半轴交AB两点y轴交点C直线yx﹣2AC两点AB2．
（1）求抛物线解析式
（2）直线DE行x轴C点开始秒1单位速度y轴正方移分交y轴线段BC点ED时动点P点B出发BO方秒2单位速度运动（图2）点P运动原点O时直线DE点P停止运动连DP点P运动时间t秒设st值时s值求出值．
（3）（2）条件否存t值PBD顶点三角形△ABC相似存求t值存请说明理．
答案解析解：（1）直线：yx﹣2知：A（20）C（0﹣2）
∵AB2∴OBOA+AB4 B（40）．
设抛物线解析式：ya（x﹣2）（x﹣4）代入C（0﹣2）：
a（0﹣2）（0﹣4）﹣2解 a﹣
∴抛物线解析式：y﹣（x﹣2）（x﹣4）﹣x2+x﹣2．
（2）Rt△OBC中OB4OC2 tan∠OCB2
∵CEt∴DE2t
OPOB﹣BP4﹣2t
∴s（0＜t＜2）
∴t1时s值值 1．
（3）Rt△OBC中OB4OC2 BC2
Rt△CED中CEtED2t CDt
∴BDBC﹣CD2﹣t
PBD顶点三角形△ABC相似已知∠OBC∠PBD两种情况：
①⇒解 t
②⇒解 t
综t时PBD顶点三角形△ABC相似．
解析
（1）首先根直线AC解析式确定点AC坐标已知AB长进步点B坐标然定系数法确定抛物线解析式．
（2）根s表达式解答该题必须知道EDOP长BPCE长易知OPOB﹣BP求OP长∠CED三角函数值ED长代入s表达式中关st函数关系式结合函数性质s值．
（3）首先求出BPBD长PBD顶点三角形△ABC相似已知条件公角∠OBC必须满足条件夹公角两组应边成例分两种情况讨．
针练：练 211
图△ABC张直角三角形彩色纸AC15cmBC20cm．斜边高CD 分成n等分然裁出（n﹣1）张宽度相等长方形纸条．（n﹣1）张纸条面积 cm2．
答案解析解：图∵∠ACB90°AC15BC20
∴AB25
∵CD•ABAC•BC
∴CD12
∵斜边高CD分成n等分
∴CH
∵EF∥AB
∴△CEF∽△CAB
∴解EF•25
数第1矩形长•25
理数第2矩形长•25
…
数第（n﹣1）矩形长•25
矩形宽•12
∴（n﹣1）张纸条面积[•25+•25+…+•25]• •12
（1+2+…+n﹣1）••12
（cm2）．
答案．
解析先利勾股定理计算出AB25利面积法计算出CD12接着证明△CEF∽△CAB计算出EF•25理数第2矩形长•25…数第（n﹣1）矩形长•25矩形宽•12然矩形面积相加．
练 212
已知抛物线（a≠0）x轴左右次相交AB两点y轴相交点C点A直线抛物线交点D．
（1）点D横坐标2求抛物线函数解析式
（2）第三象限抛物线点PABP顶点三角形△ABC相似求点P坐标
（3）（1）条件设点E线段AD点（含端点）连接BE．动点Q点B出发线段BE秒1单位速度运动点E线段ED秒 单位速度运动点D停止问点E坐标少时点Q整运动程中时间少？
答案解析解：（1）∵ya（x+3）（x﹣1）
∴点A坐标（﹣30）点B两坐标（10）
∵直线y﹣x+b点A
∴b﹣3
∴y﹣x﹣3
x2时y﹣5
点D坐标（2﹣5）
∵点D抛物线
∴a（2+3）（2﹣1）﹣5
解a﹣
抛物线解析式y﹣（x+3）（x﹣1）﹣x2﹣2x+3
（2）作PH⊥x轴H
设点P坐标（mn）
△BPA∽△ABC时∠BAC∠PBA
∴tan∠BACtan∠PBA
∴n﹣a（m﹣1）
∴
解m1﹣4m21（合题意舍）
m﹣4时n5a
∵△BPA∽△ABC
∴AB2AC•PB
∴42•
解a1（合题意舍）a2﹣
n5a﹣
∴点P坐标（﹣4﹣）
△PBA∽△ABC时∠CBA∠PBA
∴tan∠CBAtan∠PBA
∴n﹣3a（m﹣1）
∴
解m1﹣6m21（合题意舍）
m﹣6时n21a
∵△PBA∽△ABC
∴AB2BC•PB
∴42•
解a1（合题意舍）a2﹣
点P坐标（﹣6﹣）
综述符合条件点P坐标（﹣4﹣）（﹣6﹣）
（3）作DM∥x轴交抛物线M作DN⊥x轴N作EF⊥DMF
tan∠DAN
∴∠DAN60°
∴∠EDF60°
∴DEEF
∴Q运动时间t+BE+EF
∴BEEF线时t
BE⊥DMy﹣4．
解析（1）根二次函数交点式确定点AB坐标求出直线解析式求出点D坐标求出抛物线解析式
（2）作PH⊥x轴H设点P坐标（mn）分△BPA∽△ABC△PBA∽△ABC根相似三角形性质计算
（3）作DM∥x轴交抛物线M作DN⊥x轴N作EF⊥DMF根正切定义求出Q运动时间tBE+EF时t．
考点 3 利铅垂高水宽公式求解图形面积问题
公式：S铅垂高水宽
适题型：规三角形者四边形面积计算中该图形少两顶点函数图象
常见分割方法：选条分割线作底分割线左右（）两顶点间间距作高面积S铅垂高水宽
考点解析 ：
典型例题：
例 311
图直角坐标系中点A坐标（－20）连结OA线段OA绕原点O时针旋转120°线段OB
（1） 求点B坐标
（2） 求AOB三点抛物线解析式
（3） （2）中抛物线称轴否存点C△BOC周长？存求出点C坐标存请说明理
（4） 果点P（2）中抛物线动点x轴方△PAB否面积？求出时P点坐标△PAB面积没请说明理
C
B
A
O
y
x
D
B
A
O
y
x
P
答案解析
解：（1）B（1）
（2）设抛物线解析式yax(x+a)代入点B（1 ）
（3）图抛物线称轴直线x—1点C位称轴线段AB交点时△BOC周长
设直线ABykx+b直线ABx－1时点C坐标（－13）
（4）图P作y轴行线交ABD
x－时△PAB面积值时
解析求△PAB 面积时候点P作x轴垂线△PAB 面积分成左右两三角形PD底AB水宽利公式表示出三角形面积解题关键
练 311
图1抛物线顶点坐标点C(14)交x轴点A(30)
交y轴点B
（1）求抛物线直线AB解析式
（2）求△CAB铅垂高CDS△CAB
（3）设点P抛物线（第象限）动点
否存点PS△PAB＝△CAB 存求出P点坐标存请说明理
答案解析
解：(1)设抛物线解析式：A（30）代入解析式求设直线AB解析式：求B点坐标 代入中 解：
(2)C点坐标(１4)x＝１时y1＝4y2＝2CD＝42＝2(方单位)
(3)假设存符合条件点P设P点横坐标x△PAB铅垂高hS△PABS△CAB化简：解代入中解P点坐标
解析点P作x轴垂线利铅垂高公式表示出△PAB面积解题关键
课堂总结
观察列常见图形说出求出图中阴影部分图形面积
问题分析中研究思路：
（1）分割法求图形面积
（2）利相似图形求图形面积
（3）利铅垂高公式求图形面积
注意：
（1）取三角形底边时般坐标轴线段轴行线段底边
（2）三边均坐标轴三角形规边形需图形分解（采割补方法分解成易求出面积图形）
（3）求图形面积时常常公式：
抛物线解析式yax2 +bx+c (a≠0)
抛物线x轴两交点距离AB︱x1–x2︱
抛物线顶点坐标（ ）
抛物线y轴交点（0c）
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知识导图
三角形
常见考查图形 梯形
规图形
直接计算
分割法
相似图形
铅垂高水宽
二次函数图形面积问题
说明序结构
三点剖析
考点
力求
重难点
易错点
识记理解
分析应
综合表达
分割法求图形面积
√
√
√
利图形相似求图形面积
√
√
√
√
铅垂高水宽
√
√
√
知识精讲
考点 1 利分割法求图形面积
考点解析：
适题型：1矩形者正方形中计算规部分面积2次函数二次函数图中规三角形者四边形面积
常见分割方法： 1规图形面积减规图形面积2着x轴者y轴图形分割成两三角形3图形点x轴者y轴作垂线图形分割成三角形直角梯形
典型例题：
例 111图△OAB边长2等边三角形点A直线x轴交点E．
（1） 求点E坐标
（2） 求 AOE三点抛物线解析式
（3） 点P（2）中求出抛物线AE段动点（AE重合）设四边形OAPE面积S求S值
答案解析解：（1）作AF⊥x轴F∴OFOAcos60°1AFOFtan60°
∴点A（1）代入直线解析式
∴m
∴
y0时
x4∴点E（40）
（2）设AOE三点抛物线解析式yax2+bx+c
∵抛物线原点 ∴c0
∴
∴抛物线解析式
（3）作PG⊥x轴G设P（x0y0）
S四边形OAPES△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
时S．
解析（1）（2）图作AF⊥x轴F根直角三角形性质定系数求E点坐标抛物线解析式
（3）作作PG⊥x轴G四边形OAPE面积Sx0表示问题转化求函数值问题．
针练：
练 111
（2016苏州中考第28题）图直线l：y﹣3x+3x轴y轴分相交AB两点抛物线yax2﹣2ax+a+4（a＜0）点B．
（1）求该抛物线函数表达式
（2）已知点M抛物线动点点M第象限连接AMBM设点M横坐标m△ABM面积S求Sm函数表达式求出S值
（3）（2）条件S取值时动点M相应位置记点M′．
①写出点M′坐标
②直线l绕点A时针方旋转直线l′直线l′直线AM′重合时停止旋转旋转程中直线l′线段BM′交点C设点BM′直线l′距离分d1d2d1+d2时求直线l′旋转角度（∠BAC度数）．
答案解析解：（1）令x0代入y﹣3x+3
∴y3
∴B（03）
B（03）代入yax2﹣2ax+a+4
∴3a+4
∴a﹣1
∴二次函数解析式：y﹣x2+2x+3
（2）令y0代入y﹣x2+2x+3
∴0﹣x2+2x+3
∴x﹣13
∴抛物线x轴交点横坐标﹣13
∵M抛物线第象限
∴0＜m＜3
点M作ME⊥y轴点E交AB点D
题意知：M坐标（m﹣m2+2m+3）
∴D坐标：﹣m2+2m+3
∴y﹣m2+2m+3代入y﹣3x+3
∴x
∴D坐标（﹣m2+2m+3）
∴DMm﹣
∴SDM•BE+DM•OE
DM（BE+OE）
DM•OB
××3
（m﹣）2+
∵0＜m＜3
∴m时
S值值
（3）①（2）知：M′坐标（）
②点M′作直线l1∥l′点B作BF⊥l1点F
根题意知：d1+d2BF
时求出BF值
∵∠BFM′90°
∴点FBM′直径圆
设直线AM′该圆相交点H
∵点C线段BM′
∴F优弧
∴FM′重合时
BF取值
时BM′⊥l1
∵A（10）B（03）M′（）
∴勾股定理求：ABM′BM′A
点M′作M′G⊥AB点G
设BGx
∴勾股定理：M′B2﹣BG2M′A2﹣AG2
∴﹣（﹣x）2﹣x2
∴x
cos∠M′BG
∵l1∥l′
∴∠BCA90°
∠BAC45°
解析（1）利直线l解析式求出B点坐标B点坐标代入二次函数解析式求出a值
（2）点M作ME⊥y轴点E交AB点D△ABM面积DM•OB设M坐标（m﹣m2+2m+3）含m式子表示DM然求出Sm函数关系式求出S值中m取值范围0＜m＜3
（3）①（2）知m代入二次函数解析式求出坐标值
②点M′作直线l1∥l′点B作BF⊥l1点Fd1+d2BF求出BF值题意知点FBM′直径圆点FM′重合时BF取值．
考点 2 利相似解决图形面积问题
考点解析 ：
例：图DEBC果AD∶ABk呢？求S△ADE∶S△ABC值
适题型：图形中涉行线相似三角形
常见分割方法：1利行关系者三角形相似计算出应边长2根面积相似方直接表示出图形面积
典型例题：
例 211
已知：图抛物线yax2+bx+cx轴正半轴交AB两点y轴交点C直线yx﹣2AC两点AB2．
（1）求抛物线解析式
（2）直线DE行x轴C点开始秒1单位速度y轴正方移分交y轴线段BC点ED时动点P点B出发BO方秒2单位速度运动（图2）点P运动原点O时直线DE点P停止运动连DP点P运动时间t秒设st值时s值求出值．
（3）（2）条件否存t值PBD顶点三角形△ABC相似存求t值存请说明理．
答案解析解：（1）直线：yx﹣2知：A（20）C（0﹣2）
∵AB2∴OBOA+AB4 B（40）．
设抛物线解析式：ya（x﹣2）（x﹣4）代入C（0﹣2）：
a（0﹣2）（0﹣4）﹣2解 a﹣
∴抛物线解析式：y﹣（x﹣2）（x﹣4）﹣x2+x﹣2．
（2）Rt△OBC中OB4OC2 tan∠OCB2
∵CEt∴DE2t
OPOB﹣BP4﹣2t
∴s（0＜t＜2）
∴t1时s值值 1．
（3）Rt△OBC中OB4OC2 BC2
Rt△CED中CEtED2t CDt
∴BDBC﹣CD2﹣t
PBD顶点三角形△ABC相似已知∠OBC∠PBD两种情况：
①⇒解 t
②⇒解 t
综t时PBD顶点三角形△ABC相似．
解析
（1）首先根直线AC解析式确定点AC坐标已知AB长进步点B坐标然定系数法确定抛物线解析式．
（2）根s表达式解答该题必须知道EDOP长BPCE长易知OPOB﹣BP求OP长∠CED三角函数值ED长代入s表达式中关st函数关系式结合函数性质s值．
（3）首先求出BPBD长PBD顶点三角形△ABC相似已知条件公角∠OBC必须满足条件夹公角两组应边成例分两种情况讨．
针练：练 211
图△ABC张直角三角形彩色纸AC15cmBC20cm．斜边高CD 分成n等分然裁出（n﹣1）张宽度相等长方形纸条．（n﹣1）张纸条面积 cm2．
答案解析解：图∵∠ACB90°AC15BC20
∴AB25
∵CD•ABAC•BC
∴CD12
∵斜边高CD分成n等分
∴CH
∵EF∥AB
∴△CEF∽△CAB
∴解EF•25
数第1矩形长•25
理数第2矩形长•25
…
数第（n﹣1）矩形长•25
矩形宽•12
∴（n﹣1）张纸条面积[•25+•25+…+•25]• •12
（1+2+…+n﹣1）••12
（cm2）．
答案．
解析先利勾股定理计算出AB25利面积法计算出CD12接着证明△CEF∽△CAB计算出EF•25理数第2矩形长•25…数第（n﹣1）矩形长•25矩形宽•12然矩形面积相加．
练 212
已知抛物线（a≠0）x轴左右次相交AB两点y轴相交点C点A直线抛物线交点D．
（1）点D横坐标2求抛物线函数解析式
（2）第三象限抛物线点PABP顶点三角形△ABC相似求点P坐标
（3）（1）条件设点E线段AD点（含端点）连接BE．动点Q点B出发线段BE秒1单位速度运动点E线段ED秒 单位速度运动点D停止问点E坐标少时点Q整运动程中时间少？
答案解析解：（1）∵ya（x+3）（x﹣1）
∴点A坐标（﹣30）点B两坐标（10）
∵直线y﹣x+b点A
∴b﹣3
∴y﹣x﹣3
x2时y﹣5
点D坐标（2﹣5）
∵点D抛物线
∴a（2+3）（2﹣1）﹣5
解a﹣
抛物线解析式y﹣（x+3）（x﹣1）﹣x2﹣2x+3
（2）作PH⊥x轴H
设点P坐标（mn）
△BPA∽△ABC时∠BAC∠PBA
∴tan∠BACtan∠PBA
∴n﹣a（m﹣1）
∴
解m1﹣4m21（合题意舍）
m﹣4时n5a
∵△BPA∽△ABC
∴AB2AC•PB
∴42•
解a1（合题意舍）a2﹣
n5a﹣
∴点P坐标（﹣4﹣）
△PBA∽△ABC时∠CBA∠PBA
∴tan∠CBAtan∠PBA
∴n﹣3a（m﹣1）
∴
解m1﹣6m21（合题意舍）
m﹣6时n21a
∵△PBA∽△ABC
∴AB2BC•PB
∴42•
解a1（合题意舍）a2﹣
点P坐标（﹣6﹣）
综述符合条件点P坐标（﹣4﹣）（﹣6﹣）
（3）作DM∥x轴交抛物线M作DN⊥x轴N作EF⊥DMF
tan∠DAN
∴∠DAN60°
∴∠EDF60°
∴DEEF
∴Q运动时间t+BE+EF
∴BEEF线时t
BE⊥DMy﹣4．
解析（1）根二次函数交点式确定点AB坐标求出直线解析式求出点D坐标求出抛物线解析式
（2）作PH⊥x轴H设点P坐标（mn）分△BPA∽△ABC△PBA∽△ABC根相似三角形性质计算
（3）作DM∥x轴交抛物线M作DN⊥x轴N作EF⊥DMF根正切定义求出Q运动时间tBE+EF时t．
考点 3 利铅垂高水宽公式求解图形面积问题
公式：S铅垂高水宽
适题型：规三角形者四边形面积计算中该图形少两顶点函数图象
常见分割方法：选条分割线作底分割线左右（）两顶点间间距作高面积S铅垂高水宽
考点解析 ：
典型例题：
例 311
图直角坐标系中点A坐标（－20）连结OA线段OA绕原点O时针旋转120°线段OB
（1） 求点B坐标
（2） 求AOB三点抛物线解析式
（3） （2）中抛物线称轴否存点C△BOC周长？存求出点C坐标存请说明理
（4） 果点P（2）中抛物线动点x轴方△PAB否面积？求出时P点坐标△PAB面积没请说明理
C
B
A
O
y
x
D
B
A
O
y
x
P
答案解析
解：（1）B（1）
（2）设抛物线解析式yax(x+a)代入点B（1 ）
（3）图抛物线称轴直线x—1点C位称轴线段AB交点时△BOC周长
设直线ABykx+b直线ABx－1时点C坐标（－13）
（4）图P作y轴行线交ABD
x－时△PAB面积值时
解析求△PAB 面积时候点P作x轴垂线△PAB 面积分成左右两三角形PD底AB水宽利公式表示出三角形面积解题关键
练 311
图1抛物线顶点坐标点C(14)交x轴点A(30)
交y轴点B
（1）求抛物线直线AB解析式
（2）求△CAB铅垂高CDS△CAB
（3）设点P抛物线（第象限）动点
否存点PS△PAB＝△CAB 存求出P点坐标存请说明理
答案解析
解：(1)设抛物线解析式：A（30）代入解析式求设直线AB解析式：求B点坐标 代入中 解：
(2)C点坐标(１4)x＝１时y1＝4y2＝2CD＝42＝2(方单位)
(3)假设存符合条件点P设P点横坐标x△PAB铅垂高hS△PABS△CAB化简：解代入中解P点坐标
解析点P作x轴垂线利铅垂高公式表示出△PAB面积解题关键
课堂总结
观察列常见图形说出求出图中阴影部分图形面积
问题分析中研究思路：
（1）分割法求图形面积
（2）利相似图形求图形面积
（3）利铅垂高公式求图形面积
注意：
（1）取三角形底边时般坐标轴线段轴行线段底边
（2）三边均坐标轴三角形规边形需图形分解（采割补方法分解成易求出面积图形）
（3）求图形面积时常常公式：
抛物线解析式yax2 +bx+c (a≠0)
抛物线x轴两交点距离AB︱x1–x2︱
抛物线顶点坐标（ ）
抛物线y轴交点（0c）
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