导数题型纳
请学高度重视：
首先关二次函数等式恒成立解法：
1分离变量2变更元3根分布4判式法
5二次函数区间值求法：（1）称轴（重视单调区间）
定义域关系 （2）端点处顶点值
次分析种题型质会发现部分解决等式恒成立问题充分应数形结合思想创建等关系求出取值范围
学例题时请注意寻找关键等价变形回基础
基础题型：函数单调区间极值值等式恒成立
1类问题提倡三步骤进行解决：
第步：令两根
第二步：画两图列表
第三步：图表知
中等式恒成立问题实质函数值问题
2常见处理方法三种：
第种：分离变量求值分离变量时特注意否需分类讨（>00<0）
第二种：变更元（关某字母次函数）（已知谁范围谁作元）
例1：设函数区间D导数区间D导数区间D恒成立称函数区间D凸函数已知实数m常数
（1）区间凸函数求m取值范围
（2）满足实数函数区间凸函数求值
解函数
（1） 区间凸函数
区间[03]恒成立
解法：二次函数区间值入手：等价
解法二：分离变量法：
∵ 时 恒成立
时 恒成立
等价值（）恒成立
（）增函数
(2)∵时区间凸函数
等价时 恒成立
解法三：变更元法
等价恒成立（视关m次函数值问题）
2
2
例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间极值
（Ⅱ）意等式恒成立求a取值范围
（二次函数区间值例子）
解：（Ⅰ）
3a
a
a
3a
令单调递增区间（a3a）
令单调递减区间（－a）（3a+）
∴xa时极值 x3a时极值b
（Ⅱ）||≤a：意恒成立①
等价二次函数 称轴 （放缩法）
定义域称轴右边二次函数值问题：单调增函数值问题
增函数 （9分）
∴
意等式①恒成立等价
∴
点评：重视二次函数区间值求法：称轴（重视单调区间）定义域关系
第三种：构造函数求值
题型特征：恒成立恒成立转化第二种题型
例3已知函数图象点处切线斜率
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）时求值域
（Ⅲ）时等式恒成立求实数t取值范围
解：（Ⅰ）∴ 解
（Ⅱ）（Ⅰ）知单调递增单调递减单调递增
∴值域
（Ⅲ）令
思路1：恒成立需分离变量
思路2：二次函数区间值
二题型：已知函数某区间单调性求参数范围
解法1：转化定区间恒成立 回基础题型
解法2：利子区间（子集思想）首先求出函数单调增减区间然区间求增减区间子集
做题时定清楚（mn）减函数函数单调减区间（ab）弄清楚两句话区：前者者子集
例4：已知函数．
（Ⅰ）果函数偶函数求极值极值
（Ⅱ）果函数单调函数求取值范围．
解：
（Ⅰ）∵ 偶函数∴ 时
令解：
列表：
(－∞－2)
－2
(－22)
2
(2+∞)
+
0
－
0
+
递增
极值
递减
极值
递增
知：极值 极值
（Ⅱ）∵函数单调函数
∴定区间R恒成立判式法
解：
综取值范围
例5已知函数
（I）求单调区间
（II）[01]单调递增求a取值范围子集思想
（I）
1
仅时取号单调递增
2
a1
1
单调增区间：
单调减区间：
（II） 述增区间子集：
1时单调递增 符合题意
2
综a取值范围[01]
三题型二：根数问题
题1函数f(x)g(x)（x轴）交点方程根数问题
解题步骤
第步：画出两图穿线图（解导数等式）趋势图三次函数致趋势先增减增先减增减
第二步：趋势图结合交点数根数写等式（组）极值极值0关系
第三步：解等式（组）
例6已知函数区间增函数．
（1） 求实数取值范围
（2） 函数图象三交点求实数取值范围．
解：（1）题意 ∵区间增函数
∴区间恒成立（分离变量法）
恒成立∴∴取值范围
（2）设
令（1）知
①时R递增显然合题意…
②时变化情况表：
—
↗
极值
↘
极值
↗
欲图象三交点方程三实根需 ∴解
综求取值范围
根数知道部分根求已知
例7已知函数
（1）极值点图原点求极值
（2）（1）条件否存实数函数图函数图恒含三交点？存求出实数取值范围否说明理高1考1资1源2网
解：（1）∵图原点
∵极值点
1
（2）设函数图函数图恒存含三交点
等价含三根：
整理：
：恒含三等实根
（计算难点：）含根
必分解添项配凑法式分解
十字相法分解：
恒含三等实根
等价两等1等实根
题2：切线条数问题切点未知数方程根数
例7已知函数点处取极值－4导数取值范围求：（1）解析式（2）点作曲线三条切线求实数取值范围．
（1）题意：
∴
处取极值
∴①②③
①②③联立：∴
（2）设切点Q
令
求：方程三根
需：
：求实数范围：
题3：已知定区间极值点数导函数0根数
解法：根分布判式法
例8
解：函数定义域（Ⅰ）m＝4时f (x)＝ x3－x2＋10x
＝x2－7x＋10令 解
令 解
知函数f(x)单调递增区间（5＋∞）单调递减区间．
（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6
函数y＝f (x)（1＋∞）两极值点＝x2－(m＋3)x＋m＋60根（1＋∞）
1
根分布问题：
解m＞3
例9已知函数（1）求单调区间（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）仅3极值点求a取值范围．
解：（1）
时令解令解
递增区间递减区间
时理递增区间递减区间
（2）仅3极值点
03根
方程两非零实根
时证函数仅3极值点
例题：
1（值问题元变更法例子）已知定义函数区间值5值－11
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）时恒成立求实数取值范围
解：（Ⅰ）
令0
表：
0
+
0
↗
极
↘
必值∴
∴∴
（Ⅱ）∵∴等价
令问题恒成立时求实数取值范围
需
解求实数取值范围[01]
2（根分布线性规划例子）
（1）已知函数
(Ⅰ) 函数时极值函数图象点处切线直线行 求解析式
(Ⅱ) 取极值取极值时 设点面区域S 原点直线LS分面积13两部分 求直线L方程
解： (Ⅰ) 函数时极值
∴
∵ ∴
∵ 处切线直线行
∴
∴ …………………… 7分
(Ⅱ) 解法 取极值取极值
∴ 令
∴ ∴ 点面区域S图△ABC
易
时DE△ABC中位线
∴ 求条直线L方程
种情况设垂直x轴直线LS分面积13两部分 设直线L方程ACBC分交FG
点F横坐标
点G横坐标
∴
解 (舍) 时直线方程
综求直线方程 ………………………12分
(Ⅱ) 解法二 取极值取极值
∴ 令
∴ ∴ 点面区域S图△ABC
易
时DE△ABC中位线 ∴求条直线L方程
种情况直线BO方程 设直线BOAC交H
直线LAC交点
∵
∴ 求直线方程
3（根数问题）已知函数图象图示
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）函数图象点处切线方程求函数f ( x )解析式
（Ⅲ）方程三根求实数a取值范围
解：题知：
（Ⅰ）图知 函数f ( x )图点( 0 3 ) 0
（Ⅱ）题意 – 3 f ( 2 ) 5
解a 1 b – 6
f ( x ) x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）题意 f ( x ) ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
3ax2 + 2bx – 3a – 2b 0b – 9a ①
方程f ( x ) 8a三根仅 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
① ② – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3
＜a＜3时方程f ( x ) 8a三根………… 12分
4（根数问题）已知函数
（1）函数处取极值求值单调区间
（2）讨曲线交点数．
解：（1）
………………………………………………………………………2分
令
令
∴单调递增区间单调递减区间…………5分
（2）题
令……………………6分
令……………………………………………7分
时
－
时交点…………………………9分
时
＋
—
∴时交点
时两交点
时交点．………………………13分
综知时交点
时两交点．…………………………………14分
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首先关二次函数等式恒成立解法：
1分离变量2变更元3根分布4判式法
5二次函数区间值求法：（1）称轴（重视单调区间）
定义域关系 （2）端点处顶点值
次分析种题型质会发现部分解决等式恒成立问题充分应数形结合思想创建等关系求出取值范围
学例题时请注意寻找关键等价变形回基础
基础题型：函数单调区间极值值等式恒成立
1类问题提倡三步骤进行解决：
第步：令两根
第二步：画两图列表
第三步：图表知
中等式恒成立问题实质函数值问题
2常见处理方法三种：
第种：分离变量求值分离变量时特注意否需分类讨（>00<0）
第二种：变更元（关某字母次函数）（已知谁范围谁作元）
例1：设函数区间D导数区间D导数区间D恒成立称函数区间D凸函数已知实数m常数
（1）区间凸函数求m取值范围
（2）满足实数函数区间凸函数求值
解函数
（1） 区间凸函数
区间[03]恒成立
解法：二次函数区间值入手：等价
解法二：分离变量法：
∵ 时 恒成立
时 恒成立
等价值（）恒成立
（）增函数
(2)∵时区间凸函数
等价时 恒成立
解法三：变更元法
等价恒成立（视关m次函数值问题）
2
2
例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间极值
（Ⅱ）意等式恒成立求a取值范围
（二次函数区间值例子）
解：（Ⅰ）
3a
a
a
3a
令单调递增区间（a3a）
令单调递减区间（－a）（3a+）
∴xa时极值 x3a时极值b
（Ⅱ）||≤a：意恒成立①
等价二次函数 称轴 （放缩法）
定义域称轴右边二次函数值问题：单调增函数值问题
增函数 （9分）
∴
意等式①恒成立等价
∴
点评：重视二次函数区间值求法：称轴（重视单调区间）定义域关系
第三种：构造函数求值
题型特征：恒成立恒成立转化第二种题型
例3已知函数图象点处切线斜率
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）时求值域
（Ⅲ）时等式恒成立求实数t取值范围
解：（Ⅰ）∴ 解
（Ⅱ）（Ⅰ）知单调递增单调递减单调递增
∴值域
（Ⅲ）令
思路1：恒成立需分离变量
思路2：二次函数区间值
二题型：已知函数某区间单调性求参数范围
解法1：转化定区间恒成立 回基础题型
解法2：利子区间（子集思想）首先求出函数单调增减区间然区间求增减区间子集
做题时定清楚（mn）减函数函数单调减区间（ab）弄清楚两句话区：前者者子集
例4：已知函数．
（Ⅰ）果函数偶函数求极值极值
（Ⅱ）果函数单调函数求取值范围．
解：
（Ⅰ）∵ 偶函数∴ 时
令解：
列表：
(－∞－2)
－2
(－22)
2
(2+∞)
+
0
－
0
+
递增
极值
递减
极值
递增
知：极值 极值
（Ⅱ）∵函数单调函数
∴定区间R恒成立判式法
解：
综取值范围
例5已知函数
（I）求单调区间
（II）[01]单调递增求a取值范围子集思想
（I）
1
仅时取号单调递增
2
a1
1
单调增区间：
单调减区间：
（II） 述增区间子集：
1时单调递增 符合题意
2
综a取值范围[01]
三题型二：根数问题
题1函数f(x)g(x)（x轴）交点方程根数问题
解题步骤
第步：画出两图穿线图（解导数等式）趋势图三次函数致趋势先增减增先减增减
第二步：趋势图结合交点数根数写等式（组）极值极值0关系
第三步：解等式（组）
例6已知函数区间增函数．
（1） 求实数取值范围
（2） 函数图象三交点求实数取值范围．
解：（1）题意 ∵区间增函数
∴区间恒成立（分离变量法）
恒成立∴∴取值范围
（2）设
令（1）知
①时R递增显然合题意…
②时变化情况表：
—
↗
极值
↘
极值
↗
欲图象三交点方程三实根需 ∴解
综求取值范围
根数知道部分根求已知
例7已知函数
（1）极值点图原点求极值
（2）（1）条件否存实数函数图函数图恒含三交点？存求出实数取值范围否说明理高1考1资1源2网
解：（1）∵图原点
∵极值点
1
（2）设函数图函数图恒存含三交点
等价含三根：
整理：
：恒含三等实根
（计算难点：）含根
必分解添项配凑法式分解
十字相法分解：
恒含三等实根
等价两等1等实根
题2：切线条数问题切点未知数方程根数
例7已知函数点处取极值－4导数取值范围求：（1）解析式（2）点作曲线三条切线求实数取值范围．
（1）题意：
∴
处取极值
∴①②③
①②③联立：∴
（2）设切点Q
令
求：方程三根
需：
：求实数范围：
题3：已知定区间极值点数导函数0根数
解法：根分布判式法
例8
解：函数定义域（Ⅰ）m＝4时f (x)＝ x3－x2＋10x
＝x2－7x＋10令 解
令 解
知函数f(x)单调递增区间（5＋∞）单调递减区间．
（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6
函数y＝f (x)（1＋∞）两极值点＝x2－(m＋3)x＋m＋60根（1＋∞）
1
根分布问题：
解m＞3
例9已知函数（1）求单调区间（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）仅3极值点求a取值范围．
解：（1）
时令解令解
递增区间递减区间
时理递增区间递减区间
（2）仅3极值点
03根
方程两非零实根
时证函数仅3极值点
例题：
1（值问题元变更法例子）已知定义函数区间值5值－11
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）时恒成立求实数取值范围
解：（Ⅰ）
令0
表：
0
+
0
↗
极
↘
必值∴
∴∴
（Ⅱ）∵∴等价
令问题恒成立时求实数取值范围
需
解求实数取值范围[01]
2（根分布线性规划例子）
（1）已知函数
(Ⅰ) 函数时极值函数图象点处切线直线行 求解析式
(Ⅱ) 取极值取极值时 设点面区域S 原点直线LS分面积13两部分 求直线L方程
解： (Ⅰ) 函数时极值
∴
∵ ∴
∵ 处切线直线行
∴
∴ …………………… 7分
(Ⅱ) 解法 取极值取极值
∴ 令
∴ ∴ 点面区域S图△ABC
易
时DE△ABC中位线
∴ 求条直线L方程
种情况设垂直x轴直线LS分面积13两部分 设直线L方程ACBC分交FG
点F横坐标
点G横坐标
∴
解 (舍) 时直线方程
综求直线方程 ………………………12分
(Ⅱ) 解法二 取极值取极值
∴ 令
∴ ∴ 点面区域S图△ABC
易
时DE△ABC中位线 ∴求条直线L方程
种情况直线BO方程 设直线BOAC交H
直线LAC交点
∵
∴ 求直线方程
3（根数问题）已知函数图象图示
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）函数图象点处切线方程求函数f ( x )解析式
（Ⅲ）方程三根求实数a取值范围
解：题知：
（Ⅰ）图知 函数f ( x )图点( 0 3 ) 0
（Ⅱ）题意 – 3 f ( 2 ) 5
解a 1 b – 6
f ( x ) x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）题意 f ( x ) ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
3ax2 + 2bx – 3a – 2b 0b – 9a ①
方程f ( x ) 8a三根仅 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
① ② – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3
＜a＜3时方程f ( x ) 8a三根………… 12分
4（根数问题）已知函数
（1）函数处取极值求值单调区间
（2）讨曲线交点数．
解：（1）
………………………………………………………………………2分
令
令
∴单调递增区间单调递减区间…………5分
（2）题
令……………………6分
令……………………………………………7分
时
－
时交点…………………………9分
时
＋
—
∴时交点
时两交点
时交点．………………………13分
综知时交点
时两交点．…………………………………14分
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