江苏省高考数学复知识点难度题型纳（数学应试笔记）
第I卷 160分部分
填空题
答卷提醒：重视填空题解法分减少失误取成绩基石
A1～4题基础送分题做失题
A1集合性质运算
1性质：
①集合身子集记
②空集集合子集记
③空集非空集合真子集
果时A B．
果．
注意：
①Z {整数}（√） Z {全体整数} （×）
②已知集合S 中A补集限集集合A限集．（×）
③ 空集补集全集．
④集合A集合BCBA CAB CS（CAB） D （ 注 ：CAB ）．
2Ａ{}Ａ子集真子集非空真子集
3
4 De Morgan公式
提醒：数轴韦恩图进行交补运算力工具
具体计算时忘集合身空集两种特殊情况补集思想常运解决否定型正面较复杂关问题
A2命题否定否命题
*1命题否定否命题区：
命题否定否命题
命题否定否定
*2常考模式：
全称命题p：全称命题p否定p：
特称命题p：特称命题p否定p：
A3复数运算
*1运算律：⑴ ⑵ ⑶
提示注意复数量导数三角等运算率适范围
*2模性质：
⑴ ⑵ ⑶
*3重结：
⑴
⑵ ⑶ ⑷
⑸性质：T4
拓展：
A4幂函数性质图变化规律：
(1)幂函数定义图点
(2)时幂函数图通原点区间增函数．特时幂函数图凸时幂函数图凸
(3)时幂函数图区间减函数．第象限右边趋原点时图
轴右方限逼轴正半轴趋时图轴方限逼轴正半轴．
说明：幂函数求掌握5类图定点(00)(01)时图(11)握幂函数第象限图
A5统计
1抽样方法：
(1)简单机抽样(抽签法机样数表法)常常总体数较少时特征总体中逐抽取
(2)分层抽样特征分层例抽样总体中明显差异点：体抽概率相等（）
2总体分布估计总体中样频率作总体概率
总体估计掌握：表(频率分布表)两图(频率分布直方图茎叶图)
⑴频率分布直方图
直方图反映样频率分布规律直方图称频率分布直方图频率分布直方图图形面积形式反映数落组频率
①频率
②长方形面积组距×频率
③长方形面积组频率1
提醒：直方图轴(矩形高)般频率组距商(频率)横轴般数矩形面积表示频率
⑵茎叶图
数两位效数字时中间数字表示十位数第效数字两边数字表示位数第二效数字中间部分植物茎两边植物茎长出叶子种表示数图做茎叶图
3样算术均数作总体期值估计
样均数：
4样方差估计总体数波动性差(方差波动差)
(1)组数
①样方差
②样标准差
(2)两组数中方差标准差
③均数方差均数方差
样数做变换：
B(5～9中档题易丢分防漏解)
B1线性规划
1二元次等式表示面区域：
（1）时表示直线右边表示直线左边
（2）时表示直线方表示直线方
2设曲线（）表示面区域：
两直线成顶角区域（左右两部分）
3点曲线位置关系：
曲线封闭曲线（圆椭圆曲线等）称点曲线外部
开放曲线（抛物线双曲线等）称点曲线外部
4已知直线目标函数
①时直线移值越越直线移值越越
②时直线移值越越直线移值越越
5明确线性规划中目标函数（方程）意义：
（1）直线y轴截距越z越直线y轴截距越z越
（2）表示两点直线斜率特表示原点直线斜率
（3）表示圆心固定半径变化动圆认二元方程覆盖问题
（4）表示点距离
（5）
（6）
（7）
点拨：通构造距离函数斜率函数截距函数单位圆x2+y21点余弦定理进行转化达解题目
B 2三角变换：
三角函数式恒等变形三角式代换代数式称三角变换．
三角恒等变形角三角公式诱导公式差倍半角公式差化积积化差公式万公式基础．
三角代换三角函数值域根进行恰分代换代数式转化三角式然述诸公式进行恒等变形问题解决．
三角变换指角(配凑)函数名(切割化弦)次数(降升) 系数(常值1) 运算结构(积)变换核心角变换
角变换：已知角特殊角变换已知角目标角变换角倍角变换两角差角变换
变换化简技巧：角拆变公式变切割化弦倍角降次1变幻设元转化引入辅角方消元等
具体：
（1）角配凑：掌握角差倍半公式应注意配凑变形技巧：
等
（2）降幂升幂（次变化）
利二倍角公式二倍角公式等价变形进行升降变换二次次互化
（3）切割化弦（名变化）
利角三角函数基关系名三角函数化成名三角函数便解题常手段切化弦弦化切
（4）常值变换
常值作特殊角三角函数值代换外常值 1作代换：等
（5）引入辅助角
般期中
特
等
（6）特殊结构构造
构造偶式回避复杂三角代换化繁简
举例：
通两式作进步化简
（7）整体代换
举例：
求出整体值作代换
B 3三角形中三角变换
三角形中三角变换应公式变换方法外注意三角形身特点．
(1)角变换
中（三角定理）
意两角：第三角总互补意两半角第三角半角总互余
锐角三角形：①三角锐角②三角余弦值正值
③两角钝角④意两边方第三边方
．
(2)三角形边角关系定理面积公式正弦定理余弦定理．
面积公式：
中三角形切圆半径周长半．
(3)意
非直角中．
(4)中熟记会证明：
*1成等差数列充分必条件．
*2正三角形充分必条件成等差数列成等数列．
*3三边成等差数列
*4三边成等数列
(5)锐角中
思考：钝角中类结
(6)两角正弦值：
中…
(7)
B 4三角恒等等式
组
组二
……
组三 常见三角等式
(1)
(2)
(3)
(4)减函数
B5概率计算公式：
⑴古典概型：
①等事件概率计算公式：
②互斥事件概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)
③立事件概率计算公式：P()1－P(A)
④独立事件时发生概率计算公式：P(A•B)＝P(A)•P(B)
⑤独立事件重复试验概率计算公式：
(二项展开式[(1－P)+P]n第(k+1)项)
⑵概型：记事件A{取样点落区域}A概率定义
注意：探求事件发生概率常应等价转化思想分解(分类分步)转化思想处理：求事件转化等事件概率
(常常采排列组合知识)转化干互斥事件中发生概率利立事件概率转化相互独立事件时发生概率作某事件n次实验中恰k次发生概率注意公式条件 事件互斥事件独立必非充分条件反事件立事件互斥充分非必条件
说明：条件概率：称事件发生条件事件发生概率
注意：①②P(B∪C|A)P(B|A)+P(C|A)
B6 排列组合
（1）解决限制条件(序排列序组合)问题方法：
①直接法：
②间接法：排符合求情形
③般先特殊元素特殊位置入手
（2）解排列组合问题方法：
①特殊元素特殊位置优先法
元素优先法：先考虑限制条件元素求考虑元素
位置优先法：先考虑限制条件位置求考虑位置）
②间接法（限制条件问题先总体考虑符合条件情况掉）)
③相邻问题捆绑法（相邻干特殊元素捆绑元素然余普通元素全排列松绑特殊元素位置全排列）
④相邻(相间)问题插空法（某元素相邻某元素某特殊位置时采插空法先安排没限制元条件元素然限制条件元素求插入排元素间）
⑤排问题单排法
⑥元问题分类法
⑦序问题组合法
⑧选取问题先选排法
⑨少问题间接法
⑩相元素分组采隔板法
⑪涂色问题先分步考虑某步时分类
（3）分组问题：注意区分均分组非均分组均分成组问题忘
B7值定理
①积时值
②积值
推广：已知
（1）积定值时时
（2）定值时时
③已知：
④：
B8求函数值域常方法：
①配方法：转化二次函数问题利二次函数特征求解
点拨：二次函数出区间值两类：求闭区间值二求区间定（动）称轴动（定）值问题求二次函数值问题勿忘数形结合注意开口方称轴区间相位置关系
②逆求法：通反解表示取值范围通解等式出取值范围型
函数值域
④换元法：化繁间构造中间函数较复杂函数变简单易求值域函数函数特征函数解析式含根式三角函数公式模型通代换构造容易求值域简单函数求值域
⑤三角界法：直接求函数值域困难时利已学函数界性转化含正弦余弦函数运界性求值域
⑥等式法：利基等式求函数值题型特征解析式式时求积定值型解析式积时求定值时须拆项添项两边方等技巧
⑦单调性法：根函数单调性求值域常结合导数法综合求解
⑧数形结合法：函数解析式具明显某种意义根函数意义斜率距离绝值等利数形相互配合方法求值域
⑨分离常数法：分子分母次分式形式函数求值域问题函数分离成常数分式形式进利函数单调性确定值域．
⑩判式法：形（时）函数常采法．
说明：分式函数（分子分母中二次）通类题型时方法进行求解必拘泥判式法先通部分分式利均值等式：
1型直接等式性质
2型先化简均值等式
3型通常判式法
4型判式法均值等式法
⑪导数法：般适高次项式函数求值域……
B9函数值域题型
() 常规函数求值域：画图定区间截段
常规函数：次函数二次函数反例函数指数数函数三角函数号函数
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域
解题步骤：(1)换元变形
(2)求变形完常规函数变量取值范围
(3)画图定区间截段
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1) ：
(2)：利反表示法求值域先反表示利x范围解等式求y范围
(3)：
(4)求值域时判式法求值域
值域
(四) 变形杂函数求值域： 利函数单调性画出函数趋势图定区间截段
判断单调性方法：选择填空题首选复合函数法次求导数题首选求导数次定义详情见单调性部分知识讲解
(五) 原函数反函数应求值域：原函数定义域等反函数值域原函数值域等反函数定义域
(六) 已知值域求系数：利求值域前五种方法写求值域程求出字母形式表示值域已知值域求字母取值范围
B10应基等式求值八种变形技巧：
⑴凑系数（变量系数）例1 时求函数值
⑵凑项（加减常数项）：例2已知 求函数值
⑶调整分子：例3求函数值域
⑷变公式：基等式常变形： 前两变形直接两变形易想应重视例4求函数值
⑸连公式：例5已知求值
⑹数变换：例6已知求值
⑺三角变换：例7已知求值
⑻常数代换（逆条件）：例8已知求值
B11单调性补基等式漏洞：
⑴方定值
（定值）设中
①增函数减函数
②增函数减函数
③令中减函数
⑵定值
（定值）
①增函数减函数
②时减函数增函数
时减函数增函数
③减函数增函数
⑶积定值
（定值）
①时减函数增函数时增函数
②时减函数增函数时减函数
③减函数增函数
⑷倒数定值
（定值）成等差数列均零设公差中
①时减函数增函数时增函数减函数
②时减函数增函数时减函数增函数
③令中增函数减函数
B12理解组概念
*1 广义判式
设关实数解析式 关关实数方程实根必条件称广义判式
*2 解决数学问题两类方法：
具体条件入手运关性质数进行计算推导数学问题解决二整体考查命题结构找出某质属性进行恰核算问题容易解决方法称定性核算法
*3 二元函数
设两独立变量定变域中中取组数值时第三变量某确定法唯确定值应末变量称变量二元函数记作： 中称变量函数做变量变量变域称函数定义域
变量变量作空间点直角坐标先面作出函数定义域
域中点作垂直面线段值应函数值
点中变动时应点轨迹函数图形通常张曲面定义域曲面面投影
*4 格点
直角坐标系中坐标整数点做格点（称整数点）数中谓格点估计问题直角坐标系中果边形顶点格点样边形做格点边形特凸格点边形运筹学中基概念
*5 间断点
通常间断点分成两类：果函数间断点左右极限存称函数第类间断点第类间断点间断点称第二类间断点
*6 拐点
连续函数凹弧凹弧分界点称曲线拐点
果区间具二阶导数列步骤判定拐点
(1)求
(2)令解出方程区间实根
(3)(2)中解出实根检查左右两侧邻符号符号相反点拐点相拐点
*7驻点
曲线极值点处切线行轴说明导函数极值点定驻点(称稳定点界点)反导函数驻点定极值点
*8 凹凸性
定义函数果满足：意称凸函数定义函数果满足：意称凹函数
注：次函数图（直线）凸凹（面等式中等号成立）
曲线弧点切线位曲线方称段弧凹曲线弧点切线位曲线方称段弧凸连续曲线凹凸部分分界点称曲线拐点
B13 解定理
*1 拉格朗日中值定理
果函数闭区间连续开区间导末少点成立定理特殊情形：情形描述：
闭区间连续开区间导少点成立
*2 零点定理：
设函数闭区间连续．开区间少函数零点少点（＜＜）．
*3 介值定理：
设函数闭区间连续区间端点取函数值间意数开区间少点（＜＜）．
*4 夹逼定理：
设时必
注：：表示极限限趋零．（整数）
C10～12思维拓展题稍难度方法切入着力
C1线段定分点公式
设线段分点实数（）
（）
推广1：时线段中点公式：
推广2：（应终点量）．
三角形重心坐标公式：△ABC顶点重心坐标：
注意：△ABC中0重心充条件．
公式理解：
*1λ关键()
(分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<1) (外分) λ<0 (1<λ<0)
PP1重合λ0 PP2重合λ存 P离P2 P1穷远λ
*2中点公式定分点公式特例
*3始点终点重P分定λP分定λ2
*4知三求
*5利界性求分式函数取值范围
*6＝三点线充条件
C 2 抽象函数
抽象函数通常指没出函数具体解析式出条件（函数定义域单调性奇偶性解析递推式等）函数问题
求解抽象函数问题常方法：
(1)助模型函数探究抽象函数：
①正例函数型：
②指数函数型：
③数函数型：
④幂函数型：
⑤三角函数型：
（2）利函数性质（奇偶性单调性周期性称性等）进行演绎探究：
（3）利方法（赋值法（令＝01求出令等）递推法反证法等）进行逻辑探究
C 3函数图称性
(1)函数图身称性
性质1：函数存常数函数定义域意图关直线称
注：然
特例时图关直线称
注：然
性质2：函数存常数函数定义域意图关点称
特例：时图关点称
注：然
事实述结广义奇(偶)函数性质
性质3：设函数果定义域意图关直线称(实际偶函数般情形)广义偶函数
性质4：设函数果定义域意图关点称(实际奇函数般情形)广义奇函数
结函数称性充条件
函数关系式()
称性
函数图奇函数
函数图偶函数
函数图关直线称
函数图关点称
注：里代数关系式中两（应法）（变量）前正负号相异果两放两边前正负号相异称性关翻转
(2)两函数图间称性
1函数图关直线称
2函数图关直线称
3函数图关原点称
4函数反函数图关直线称
5函数图关直线称
特函数图关直线称
C4函数方程周期(约定)
(1)周期
(2)
周期
(3)周期
(4)
周期
(5)周期
(6)周期
说明函数满足定义域实数（中常数）等式成立述结通反复运已知条件证明
C5称性周期性关系
定理1：定义函数图关直线称周期函数周期
推1：函数满足周期周期函数
定理2：定义函数图关点直线称周期函数周期
推2：函数满足周期周期函数
定理3：定义函数图关点称周期函数周期
推3：函数满足周期周期函数
C6函数图象称轴称中心举例
函 数 满 足 条 件
称轴(中心)
满足函数图
[]
满足函数图
[]
满足函数图
满足函数图
满足函数图(偶函数)
满足函数图(奇函数)
满足两函数图
满足两函数图
满足两函数图
C7函数周期性称性奇偶性关系
1定义函数时关直线称意实数函数时满足函数周期周期函数偶函数
2定义函数时关直线点称意实数函数时满足函数周期周期函数奇函数
3定义函数时关点直线称意实数函数时满足函数周期周期函数偶函数
4定义函数时关点点称意实数函数时满足函数周期周期函数奇函数
5偶函数关直线称意实数函数满足周期周期函数
6偶函数关点称意实数函数满足周期周期函数
7奇函数关直线称意实数函数满足周期周期函数
8奇函数关点称意实数函数满足周期周期函数
拓展：
1函数偶函数函数图关直线称
2函数奇函数函数图关点称
3定义函数满足方程恰实根实根
4定义函数满足函数图关点称
C8关奇偶性单调性关系
① 果奇函数区间递增函数区间递增
② 果偶函数区间递增函数区间递减
思考：结推导
C 9体中数量运算导出结
数量运算结涉体棱侧面角面截面等数量关系性质
1长方体中：
①体角线长外接球直径
②棱长总
③全(表)面积体积
④体角线顶点三条棱成角分
cos2+cos2+cos21sin2+sin2+sin22
⑤体角线顶点三侧面成角分
cos2+cos2+cos22sin2+sin2+sin21
2正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱底面成角相等)顶点底射影底面外心②侧棱两两垂直(两棱垂直)顶点底射影底面垂心③斜高长相等(侧面底面成角相等)顶点底底面顶点底射影底面心
3正四面体中：设棱长正四面体中数量关系：
①全面积②体积③棱间距离
④相邻面成二面角⑤外接球半径⑥切球半径
⑦正四面体点面距离定值
4立方体中：
设正方体棱长
C
B
A
A
①体角线长②全面积③体积④切球半径外接球半径十二条棱均相切球半径
点拨：立方体承载着诸体位置关系特征作适变形切割组合扭转等处理便产生新体貌似新面孔原没变求解三棱椎三棱柱球体等问题时果般识图角度受阻妨尝试根体结构特征构造相应正方体问题化基体中会意想效果
5球体中：
球种常见简单体．球位置球心确定球仅取决半径．球包括球面球面围成空间区域点．球面球心距离等定长(半径) 点集合．
球截面圆面中球心截面做圆面．球面两点间距离两点圆两点间劣弧长计算球面距离关键根已知纬度等条件先寻求球面两点间弦长弦长球面两点间弦长圆两点间弦长．
球心截面圆距离球半径截面圆半径间关系
掌握球面两点间距离求法：
⑴计算线段长⑵计算球心角弧度数⑶弧长公式计算劣弧长
注：度半径成角’纬度半径夹角’
补充：
四面体．
1．面中三角形难立体中四面体类似性质：
①四面体六条棱垂直分面交点点做四面体外接球球心
②四面体四面组成六二面角角分面交点点做四面体接球球心
③四面体四面重心相顶点连接交点点做四面体重心重心条连线分3︰1
④12面角720°三面角中两面角三面角180°．
2．直角四面体：三面角三面角均直角四面体称直角四面体相面直角三角形．（直角四面体中记VlSRrh分表示体积六条棱长表面积外接球半径切球半径侧面高）空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABDS2△ACD．
3．等腰四面体：棱相等四面体称等腰四面体象面中等腰三角形．根定义难证明长方体顶点三条面角线端点顶点四面体等腰四面体反等腰四面体拼补成长方体．
（等腰四面体ABCD中记BC AD aAC BD bAB CD c体积V外接球半径R接球半径r高h）
①等腰四面体体积表示
②等腰四面体外接球半径表示
③等腰四面体四条顶点面重心连线段长相等表示
④h 4r．
二空间正余弦定理．
空间正弦定理：sin∠ABDsin∠ABCDsin∠ABCsin∠ABDCsin∠CBDsin∠CBAD
空间余弦定理：cos∠ABDcos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠ABCD
6直角四面体性质：
直角四面体中两两垂直令
⑴底面三角形锐角三角形
⑵直角顶点底面射影三角形垂心
⑶
⑷
⑸
⑹外接球半径R
7 球组合体
(1)球长方体组合体
长方体外接球直径长方体体角线长．
(2)球正方体组合体
正方体切球直径正方体棱长 正方体棱切球直径正方体面角线长 正方体外接球直径正方体体角线长．
(3)球正四面体组合体
棱长正四面体切球半径
0F
P
k
e>1 e1
外接球半径．
C10圆锥曲线性质
果涉两焦点优先选圆锥曲线第定义果涉焦点准线 离心率优先选圆锥曲线第二定义外果涉焦点三角形问题重视焦半径三角形中正余弦定理等性质应
椭圆方程第定义：
双曲线第定义：
圆锥曲线第二定义（统定义）：面定点F定直线距离常数点轨迹．简言 （数统）椭圆双曲线抛物线相关系（形统）右图
时轨迹椭圆
时轨迹抛物线
时轨迹双曲线
时轨迹圆（时）．
圆锥曲线称性圆锥曲线范围圆锥曲线特殊点线圆锥曲线变化趋势中椭圆中双曲线中
圆锥曲线焦半径公式图：
特征直角三角形焦半径值焦点弦值顶点焦点准线等相互间坐标系关性质尤双曲线中焦半径值焦点弦值特点
C11函数图变换（移变换翻折变换称变换伸缩变换等）
1移变换
量移法：
移移时右移时左移时移时移左加右减加减移量左负右正正负
结：量移结
①点量移点
②函数图量移图函数解析式
③图量移图解析式函数解析式
④曲线：量移图方程
⑤量量移量然
2翻折变换
(1)图轴方部分作关轴称图轴方部分翻轴方原轴方部分变
(2)图轴右边部分作关轴称图轴右边部分翻轴左边原轴左边部分掉右边部分变
3伸缩变换
(1)设点面直角坐标系意点变换作点应点函数变换
(2)横坐标变原倍坐标变原倍
4称变换
(1)函数图函数图关轴称
(2)函数图函数图关轴称
(3)函数图函数图关原点称
(4)函数图函数图关直线称
(5)函数图函数图关直线称
注意：函数图移伸缩变换应注意问题
(1) 观察变换前位置变化：函数图移伸缩变换中图特殊点特殊线作相应变换
(2) 观察变换前量变化：直线双曲线抛物线通伸缩变换分直线双曲线抛物线改变直线倾斜角双曲线离心率抛物线开口位置
深刻理解圆锥曲线形数统
(2)图变换应重视研究函数常见函数（正例函数反例函数次函数二次函数数函数指数函数三角函数函数函数等）相互转化
(3)理解等轴双曲线反例函数图质联系
(4)应特重视二次三项式二次方程二次函数二次曲线间特联系理解函数方程曲线等方程联系
C 12 助图象较
C 13常似计算公式（充分时）
(1)
(2)
(3)
(4)（弧度）（弧度）（弧度）
C 14较常方法：
①作差：作差通分解式配方等手段判断差符号出结果
②作商（常分数指数幂代数式）
③分析法
④方法
⑤分子（分母）理化
⑥利函数单调性
⑦寻找中间量01放缩法
⑧图法中较法（作差作商）基方法
C 15定项填空题易误知识点拾遗：
(1)情况存数问题
①空间中四面体四顶点距离相等面＿＿（7）
②直线外点＿＿面该直线行（数）
③直线面斜交面＿＿条直线该直线行（0）
④3条两两相交直线确定＿＿面（13）
⑤空间外点两条异面直线行面＿＿条（01）
⑥3面空间分＿＿部分（4678）
⑦两两相交4条直线确定＿＿面（6）
⑧两异面直线成60°空间外点成30°（45°60°80°）直线＿＿条（1234）
(2)面空间区分问题
1错误命题
①垂直条直线两直线行
②行直线两面行
③行面两直线行
④直线外点条直线已知直线垂直
⑤两面两条直线做异面直线
⑥直线面数条直线垂直该直线面垂直……
2正确命题
①行条直线两条直线行
②垂直条直线两面行
③两面行第三面相交两条交线两直线行
④两相交面时垂直第三面交线垂直第三面……
(3)易误提点：
①钝角必非充分条件
②截距定零负数零
③常常会等式成立原模0方意量行垂直
④导数存点函数取极值导数0点定极值点定考虑考虑检验左正右负左负右正
⑤直线坐标轴截距正负0
C16．关空间问题面问题类通常抓住素应关系作：
面体 边形 面 边
体 积 面 积 二面角 面角
面 积 线段长 … …
D13～14关题考点灵活题型新颖方法隐蔽
D1熟知重函数
1
(1) 时双钩函数：
① 定义域：值域
② 奇偶性：奇函数（称中心）
③ 单调性：区间单调递增
区间单调递减
④ 极值：时取极值时取极值
⑤ 记住图草图
⑥ 等式性质：时
时
(2) 时区间增函数
思考：图致分布
(3)常时特殊性质略
探究：①函数图变化趋势样？
②关性质
2
化简
①定义域：值域切实数
②奇偶性：作讨
③单调性：时区间单调递增
时区间单调递减
④称中心点
⑤两渐线：直线直线
注意：两条渐线分分母零分子分母中系数确定
⑥移变换：反例函数图移
⑦反函数
说明：分式函数反例函数离心率均源双曲线
3三次函数图性质初步
*1定义：形函数做三次函数 定义域值域
*2解析式：①般式：
②零点式：
·
*3单调性：
探究：尝试研究陌生函数性质研究二次函数问题时需考虑素：
①开口方②称轴③端点值④坐标轴交点⑤判式⑥两根符号研究三角函数问题时采五点作图法
三次函数图性质里入手呢？
结合探究工具导数妨函数图特征角度零点极值点拐点凹凸性极值点区间等确定研究方握三次函数粗浅性质
导函数称轴
注意：拐点横坐标处驻点处
（极值判式判式等零时极值点）
（）
令根系数关系知：
两极值点：
（1）约定拐点轴左边极值点分布轴左边根零点数尝试做出图：
·
·
·
·
·
·
（2）时拐点轴左边极值点分布轴两边左极值点绝值右极值点绝值
·
·
·
·
·
·
（3）时拐点轴右边极值点分布轴右边左极值点绝值右极值点绝值图略
（4）时拐点轴右边极值点分布轴两边左极值点绝值右极值点绝值图略
（二）
知：极值点拐点横坐标图右图示
（三） 时 R恒成立 增函数
(∞)
（+∞)
符号
+
0
+
单调性
↗
↗
*4极值：
函数某点取极值充条件什？等价表述单调性联系
(1)R极值
(2) R两极值处取极值处取极值
*5零点数(根性质)
函数图轴交点？函数性质相联系？
（联系函数极值进行等价转化）
交点：极值0者极值0表述极值极值号
两交点：极值等零者极值等零
三交点：极值零极值零
D2重图
1（） 2（）
3（） 4（）
5 6
D3函数零点处理：
（1）零点（点数）根
轴交点横坐标
交点问题
（2）注意讨周期函数（特三角函数）某区间零点数问题
（3）零点存定理：单调端点值异号
说明：
1方程实根等价前者者必充分条件
特方程实根等价
2连续少零点（奇数零点）数零点零点数零点
3两相根算零点零点表示方法序实数
D4例性质
①例基性质：
②反定理： ③更定理：
④合定理 ⑤分定理：
⑥合分定理：⑦分合定理：
⑧等定理：
D5（1）三角形中 三线定理（斯德瓦定理）
△ABC中DBC意点．
①ADBC中线
②AD∠A分线中半周长
③ADBC高中半周长．
（2）三角形五心量性质(P面ABC意点)：
①重心
②垂心
③心
④外心
⑤中旁心
D6含绝值等式
(1)复数集三角形等式：
中左边复数z1z2应量线反（）时取等号右边复数z1z2应量线（反）时取等号
(2)量等式：
注意：
反
线(实数集中类似)
(3)代数等式：
号
异号
D7重等式
1积等式：(仅时取)．
变形：①（a b时）
注意：
② (仅时取号)．
2均值等式：
两正数调均数均数算术均数均方根间关系方均算术均均调均
拓展：
①幂均等式：
② 算术均均（a1a2…an正数）：
（a1a2…an时取等）
3含立方重等式（abc正数）：
①
②
（）
4柯西等式：
①（代数形式）设均实数
中等号仅时成立
②（量形式）设面两量中等号仅两量方相相反（两量线）时成立
③（三角形式）设意实数：
思考：三角形等式中等号成立条件什？
④（推广形式）设
等号成立仅时成立．（约定时）
5绝值等式：
双等式：
（左边时取等号右边时取等号）
6放缩等式：
①
说明：（糖水浓度问题）
拓展：
②
③
④
⑤
D8三角函数值题型解题捷径
①
②
③
④（均值等式法）
⑤含
⑥
D9数中浅显结
数分：初等数代数数数解析数等数问题常常涉整数整性带余法奇数偶数质数合数约数倍数整数分解分拆
结：
①带余法：两整数存两整数（）唯特果时整记作称约数倍数
②互质
③唯分解定理：1然数写成质数连积中质数然数种表示唯（1）式称质数分解标准分解
④约数数定理：设标准分解式（1）正约数数：
⑤整数集离散性：间整数等式等价
二解答题
做题提醒：获高分仅需采取夺分策略须谨记坚持少丢分策略
第十五题（三角基础题）——基础题答？
151正弦定理
1知识工具：
△ABC中（外接圆直径 ）
变式：①
②
③
④
式子中已知两边角已知两角边求出边角
注明：正弦定理作进行三角形中边角互化变形中注意三角形中条件应：
(1)三角形角定理：
(2)两边第三边两边差第三边
(3)面积公式：
(4)三角函数恒等变形
2三种题型
①利正弦定理公式原型解三角形
②利正弦定理公式变形(边角互化)解三角形：关边角齐次式直接边角互化
③三角形解数判定：
方法：画图观察
b
a
C
h
已知中
⑴锐角时：
①时解
②时解（直角）
③时两解（锐角钝角）
④时解（锐角）
⑵直角钝角时：
①时解
②时解（锐角）
方法二：通正弦定理解三角形利三角形角三边等关系检验解出结果否符合实际意义确定解数
152余弦定理
1知识工具：
等三等三
注明：余弦定理作进行三角形中边角互化题中含二次项时常余弦定理变形中注意三角形中条件应
2三种题型
①利余弦定理公式原型解三角形
②利余弦定理公式变形(边角互换)解三角形：
式子中角边题角转化成边边转化成角转化程中需构造公式形式
③判断三角形形状
根余弦定理中关系式成立时该三角形钝角三角形中种关系式成立时出该三角形锐角三角形结
判断三角形形状方法：
(1)已知式边角转化边边关系通式分解配方等出边相应关系判断三角形形状
(2)已知式边角转化角三角函数间关系通三角恒等变形出角关系判断出三角形形状时注意结
两种解法等式变形中般两边约公式应移项提取出公式免漏解
153正余弦定理实际应
求距离
两点间通视
两点间视达
两点达
求高度
底部达
底部达
①计算高度
②计算距离
③计算角度
④测量方案设计
实际应题型质解三角形什样现象首先画出三角形模型通正弦定理余弦定理进行求解
153常见结
1①三角学中射影公式：中
②三角学中射影定理：中
B
D
O
C
A
思考射影定理勾股定理关系
2正切定理：
3三角形面积公式
（hahbhc分表示abc高）
（R外接圆半径）
变形：S＝＝＝．
（r切圆半径）
说明：三角形三边距离相等点4心余3旁心．
图：图1中IS△ABC心 S△Pr图2中IS△ABC旁心S△12（b+ca）ra
图1
附：三角形五心：
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直分线相交点．
心：三角形三角分线相交点．
垂心：三角形三边高相交点．
旁心：三角形角分线两条角外角分线相交点．
（5）已知⊙O△ABC切圆BCaACbABc [注：s△ABC半周长]： AE12（b+ca）
BN12（a+cb）
FC12（a+bc）
综合述：已知角邻边切线长等半周长减边（图4）．
特例：已知Rt△ABCc斜边切圆半径r（图3）．
第十六题（立基础题）——推证漏条件
161位置关系证明（方法）：
（1）线面行
思考途径 I转化直线面公点
II转化线线行
III转化面面行
a
b
a
a
a
b
b
a
a
支持定理 ① ② ③
配图助记
（2）线线行：
思考途径 I转化判定面二直线交点
II转化二直线第三条直线行
III转化线面行
IV转化线面垂直
V转化面面行
支持定理
①②③④
a
b
a
b
a
配图助记
（3）面面行：
思考途径 I转化判定二面公点
II转化线面行
III转化线面垂直
支持定理 ①②③
a
b
a
b
O
b
a
a
b
a
g
配图助记
（4）线线垂直：
思考途径 I转化相交垂直
II转化线面垂直
III转化线线射影垂直
IV转化线形成射影斜线垂直
支持定理
① ②成角900③(三垂线逆定理)
a
a
b
P
A
O
a
配图助记
（5）线面垂直：
思考途径 I转化该直线面直线垂直
II转化该直线面相交二直线垂直
III转化该直线面条垂线行
IV转化该直线垂直行面
V转化该直线两垂直面交线垂直
支持定理
①②③④
配图助记
a
l
b
a
O
a
b
l
a
b
a
a
a
b
a
（6）面面垂直：
思考途径 I转化判断二面角直二面角
II转化线面垂直
支持定理 ①二面角900②③
配图助记
a
a
b
b
a
a
162求解空间角距离体积
()求角： （步骤Ⅰ找作面角Ⅱ求角）
⑴异面直线成角求法：
①移法：移直线构造三角形
②补形法：补成正方体行六面体长方体等发现两条异面直线间关系
(理科量法转化两直线方量夹角)
⑵直线面成角：
①直接法（利线面角定义）
②先求斜线点面距离h斜线段长度作sin
（理科量法转化直线方量面法量夹角）
⑶二面角求法：
①定义法：二面角棱取点（特殊点）作出面角求解
②三垂线法：半面点作（找）半面垂线三垂线定理逆定理作出二面角面角求解
③射影法：利面积射影公式：中面角
注：没出棱二面角应先作出棱然选述方法
（理科量法转化两班面法量夹角）
（二）求距离：（步骤Ⅰ找作垂线段Ⅱ求距离）
⑴两异面直线间距离：般先作出公垂线段进行计算
⑵点直线距离：般三垂线定理作出垂线段求解
⑶点面距离：
①垂面法：助面面垂直性质作垂线段（确定已知面垂面关键）求解
②等体积法
（理科量法：）
⑷球面距离（步骤）：
①求线段长
②求球心角弧度数
③求劣弧长
（三）求体积
常规方法：直接法（公式法）分割法补形法等积法(位置转换)例法(性质转换)等
163重定理
（1）面积射影定理：
(面边形射影面积分面成锐二面角)
（2）A
三余弦定理：
设条直线条斜线射影垂足设成角 成角成角．
（3）三射线定理：
夹面角二面角间线段二面角两半面成角二面角棱成角θ
(仅时等号成立)
（4）角定理 (立斜公式)：
设AC条直线BC⊥AC垂足C设AOAB成角ABAC成角AOAC成角．
探究：角定理应（∠PBN角）
简记：
①成角交线夹角半交线夹角补角半长定4条．
②成角交线夹角半交线夹角补角定2条．
③成角交线夹角半交线夹角相等定3条者2条．
④成角交线夹角半交线夹角半定1条者没．
B
A
P
C
（5）三垂线定理：面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直
逆定理：面条直线果面条斜线垂直条斜线面射影垂直
提炼：（1）
（2）相斜线面成角
（3）相二面角
（4）（定理）
（5）（逆定理）
（6）垂线段短（前提面外点引线段）
（7）角定理（涉等问题时想里）
164重性质
（1）三棱椎中设顶点底面射影
①正三棱椎中底面射影中心
②垂心
③外心
④PD⊥ABPE⊥BCPF⊥AC垂足分DEFPDPEPF 点△ABC心
（2）①∠POA∠POBPO面AOB射影∠AOB角分线
②∠AOBPE⊥OAPF⊥OB垂足分EFPEPF点P面AOB射影∠AOB分线
第17题（解综合题）——中寻突破解中找关系
171圆锥曲线中精结：
1焦半径：(1)椭圆： （左+右）
椭圆：
(2)双曲线：
长加短减原：
构成满足
（椭圆焦半径椭圆焦半径带符号计算双曲线带符号）
双曲线：
(2)抛物线：
2弦长公式：
注：(1)焦点弦长：i．椭圆：
ii．抛物线：＝
(2)通径（短弦）：i．椭圆双曲线：
ii．抛物线：
3两点椭圆双曲线标准方程设： （时0时表示椭圆时表示双曲线）
4椭圆中结：
(1)接矩形面积：
(2)PQ椭圆意两点
(3)椭圆焦点三角形：
i．（）
ii．点 心交点
(4)点椭圆短轴顶点重合时
(5)离心率椭圆系方程：椭圆离心率方程0参数离心率称方程离心率椭圆系方程．
5双曲线中结：
(1)双曲线（）渐线：
(2)渐进线双曲线标准方程参数≠0）
(3)双曲线焦点三角形：
i．（）
ii．双曲线－1(a＞0b＞0)左（右）支点F1F2分左右焦点△PF1F2切圆圆心横坐标
(4)等轴双曲线：双曲线称等轴双曲线渐线方程(渐线互相垂直)离心率．
(5)渐线双曲线系方程：渐线方程果双曲线渐线时双曲线方程设．
(6) 轭双曲线：已知双曲线虚轴实轴实轴虚轴双曲线做已知双曲线轭双曲线．互轭双曲线具渐线：．
(7) P双曲线常结1：P焦点距离m nP两准线距离m︰n．
简证： ．
常结2：双曲线焦点条渐线距离等b．
(8) 直线双曲线位置关系：
区域①：切线2条渐线行直线合计2条
区域②：定点双曲线1条切线2条渐线行直线合计3条
区域③：2条切线2条渐线行直线合计4条
区域④：定点渐线非原点1条切线1条渐线行直线合计2条
区域⑤：原点切线渐线行直线．
结：定点作直线双曲线仅交点作出直线数目0234条．
直线双曲线支交点交点二时求确定直线斜率代入法渐线求交两根两根积号．
6抛物线中结：
(1)抛物线焦点弦性质：
i．
ii．
iii．直径圆准线相切
iv．（）直径圆轴相切
v．
(2)抛物线结直角三角形性质：
i．
ii．恒定点
iii．中点轨迹方程：
iv．轨迹方程：
v．
(3)抛物线称轴定点：
i．时顶点点距离值
ii．时抛物线关轴称两点点距离值
172两常见曲线系方程
(1)曲线交点曲线系方程(参数)
(2)焦点心圆锥曲线系方程中
时表示椭圆时表示双曲线
173圆
1圆系方程
(1)点圆系方程
中直线方程λ定系数．
(2)直线圆交点圆系方程λ定系数．
(3)圆圆交点圆系方程λ定系数．
特时表示：
①两圆相交时公弦直线方程
②两圆引切线长相等点轨迹（直线）方程称条直线根轴
2点圆位置关系：点圆位置关系三种
点圆外
点圆
点圆
3直线圆位置关系
直线圆位置关系三种()
4两圆位置关系判定方法设两圆圆心分半径分
5圆切线方程切线长公式
(1)已知圆．
①已知切点圆切线条方程
圆外时 表示两切点切点弦方程．求切点弦方程通连心线直径圆原圆公弦确定
②圆外点切线方程设利相切条件求k时必两条切线注意漏掉行y轴切线．
③斜率k切线方程设利相切条件求b必两条切线．
(2)已知圆切线方程．
①P()圆点点P()切线方程特切线方程
P()圆外点P()圆引两条切线切点分AB直线AB方程特
②圆斜率圆切线方程
(3) 圆外点切线长
174解析量综合时出现量容：
（1）出直线方量
（2）出相交等已知中点
中出中边中线
（3）出等已知中点
（4）出等已知中点三点线
（5）出情形：①②存实数
③存实数等已知三点线
（6）出等已知定分点定
（7）出等已知直角出等已知钝角出等已知锐角
（8）出等已知分线
（9）行四边形中出等已知菱形
（10）行四边形中出等已知矩形
（11）设
（12）点
（13）中出通心
175解题规律盘点
1点
(1)交点
①直线圆锥曲线交两点：直线二次曲线联立二次项系数0时二次曲线联立
②直线圆锥曲线相切：直线二次曲线联立
③直线二次曲线公点：
二次项系数0表示行渐线两条直线二次项系数0△0 二次项系数0表示行称轴条直线二次曲线0△0
(2)定点处理思路
(3)①设参数方程椭圆参数方程：
圆参数方程：
②抛物线动点设：中简化计算
2直线
(1)设直线方程分斜率存存两种情况讨果什信息没：讨斜率存情形斜率存时设斜截式：
巧设直线方程回避讨运算等问题
直线定点时设成时会出现列情况：
(i)容易忽视斜率存情形(ii)运算较繁时会陷入僵局
(2)轴点直线般设避免斜率否存讨
(3)直线方量
(4)两解问题：
圆外点引两条长度相等割线割线长度等直径
截行线弦长
相等（斜率存）
圆外点引切线（斜率存）
3角
(1)余弦定理
(2)角公式
(3)量夹角公式
4直线圆锥曲线
(1)直线圆锥曲线问题解法：
1直接法（通法）：联立直线圆锥曲线方程构造元二次方程求解
运算规律：直线圆锥曲线位置关系运算程式
(1)已知曲线()直线方程联立：
()
注意：曲线双曲线时0进行较
根系数关系知：
话联立直线圆锥曲线方程构造元二次方程求解时注意问题：①联立关关元二次方程？②二次项系数系数0情况讨？③直线斜率存时考虑？④判式验证？
2设求（代点相减法）——处理弦中点直线斜率问题
步骤：
已知曲线①设点中点②作差抛物线
细节盘点
*1直线圆锥曲线方程消元二次方程注意判式韦达定理弦长公式注意参数分类讨数形结合设求思想运注意焦点弦焦半径公式弦长公式
*2直线圆锥曲线位置关系问题中常弦相关行弦问题关键斜率中点弦问题关键韦达定理直角三角形点差法长度(弦长)问题关键长度(弦长)公式直角三角形
*3 直线圆锥曲线位置关系问题中涉交点时转化函数解问题先验证设直线斜率存造成交点漏解情况接着联立方程组然考虑消元建立关方程方程接着讨方程二次项系数零情况二次方程判式进行分析时直线曲线相切……
*4求解直线圆锥曲线弦长交点问题时必条件（注意判式失控情况）构成方程组实数解出现元二次方程时务必先 求解直线圆锥曲线问题时涉二次方程问题必须优先考虑二次项系数判式问题
*5解决直线圆关系问题时充分发挥圆面性质作(半径半弦长弦心距构成直角三角形切线长定理割线定理弦切角定理等等)
*6韦达定理解中应：①求弦长 ②判定曲线交点数 ③求弦中点坐标④求曲线方程
(2)直线圆锥曲线相交弦长公式
注：弦端点A方程 消y直线倾斜角直线斜率
(3)抛物线切线方程
①抛物线点处切线方程
②抛物线外点引两条切线切点弦方程
③抛物线直线相切条件
5定值极值问题
极值问题实际条件出现极值问题通常运中关等式定理解决时运角变换局部调整法时运三角方法关三角函数性质正弦定理三角形面积公式等转化三角极值问题解决关面积周长极值问题运关面积知识外常常需结：
①周长定三角形中正三角形面积
②周长定矩形中正方形面积
③面积定三角形中正三角形周长
④周长定面曲线中圆围成面积
⑤面积定闭曲线中圆周长
⑥边长分相等边形中圆接边形面积
⑦等周长边形中圆接边形面积
⑧面积定边形中正边形周长
定值问题研究解决变动图形中某元素量保持变元素北欧谐性质位置保持变等问题
常见定值中定量问题定角定长（线段长周长距离等）定（线段面积）定积（面积线段积）等
常见定值中定位问题定点定直线等
定值问题分两类：类绝定值问题需证明定值确定常数种定值图形位置形状关类相定值问题证明定值题设图形中某定量关种定值题设图形位置形状变化改变相意义证明题推断量题设已知量某种确定关系表示
解决定值问题常处理思路方法：
（1）利综合法证明时需改变题目形式般定值题转化特殊情况常作辅助图形次明确图形中元素固定元素量定量分析问题时围绕着固定元素定量进行定值固定已知量
（2）利参数法证明时根题设条件选取适参数然证明定值参数表示出消参数便求常量表示定值
（3）利计算法证明时通常助正余弦定理坐标法关量某特定量表示出通计算证明求式子值定值
（4）综合运代数三角知识证题
6求轨迹方程常方法：
⑴直接法：直接通建立间关系构成求轨迹基方法
⑵定系数法：先根条件设求曲线方程条件确定定系数代回列方程
⑶代入法(相关点法转移法)
⑷定义法：果够确定动点轨迹满足某已知曲线定义曲线定义直接写出方程
⑸交轨法(参数法)：动点坐标间关系易直接找没相关动点时考虑均中间变量(参数)表示参数方程消参数普通方程
7定义解题
①椭圆：第定义：面动点P面两定点F1F2距离定值|PF1|+|PF2|>|F1F2|P点轨迹椭圆
②双曲线：||PF1||PF2||定值<｜F1F2|
③三种圆锥曲线统定义：（e∈(01)：椭圆e1：抛物线e>1：双曲线
第18题（数列综合题）——稳步作答步步营
181判定数列基数列方法
（1）判定数列否等差数列方法：定义法中项法通项法式法图法
（2）解题常判定数列等差数列三种方法：
①
②2()
③(常数)．
思考：等数列呢？
（1）判定数列否等数列方法：定义法中项法通项法式法
（2）解题常判定数列等数列四种方法：
①
②()
③(非零常数)．
④正数列{}成等充条件数列{}（）成等数列．
182数列求常方法：
（1）公式法：①等差数列求公式 ②等数列求公式
③
……
特声明：运等数列求公式务必检查公1关系必时分类讨
（2）分组求法
（3）倒序相加法
（4）错位相减法
（5）裂项相消法：果数列通项分裂成两项差形式相邻项分裂相关联常选裂项相消法求常裂项形式：
① ②
③
④ ⑤
⑥
⑦ ⑧
⑧ ⑨
……
例：
（6）通项转换法
阶线性递数列总改写变形成形式：()等数列定义求出通项公式
183数列通项求解思路：
㈠非递推关系求通项
⑴定义法：根等差等数列等价条件套公式
⑵公式法：①已知()求作差法：
②已知求作商法：
㈡递推式求数列通项
⑴递推式求迭加法
⑵递推式求迭法迭代法
①（迭法）
②
（迭代法）
⑶递推式作具体分解均构造法求解(先引入化简辅助数列求目标通项)
类型1 (常数)变形
解题途径：①转化等差等数列②逐项选代③消常数n转化形式特征根方法求④（公式法）确定．
①转化等差等：．
②选代法：
．
③特征方程求解：
④选代法推导结果：
类型2 (常数)变形
类型3 (常数)变形
类型4 (常数)变形
⑷递推式关系式 ()利进行求解
⑸递推式()()变形
⑹数列常数）特征方程变形(*)
(*)二异根令（中定常数）代入值求值样数列首项公等数列样求
(*)二重根令（中定常数）代入值求值样数列首项公差等差数列样求
⑺递推式()变形
⑻递推式（中均常数）原递推公式转化中满足特征方程(*)
(*)二异根令(定常数）
(*)二重根令(定常数）
（pq二阶常数）特证根方法求解．
具体步骤：
①写出特征方程（应x应）设二根
②设设
③初始值确定．
㈢双数列型
根两数列递推公式关系灵活采累加累化等方法求解
说明：特殊数列①周期数列定求通项递推关系出周期等效量样确定数列中应关系②阶差数列二阶等差等数列等③数列起渡作数列通数列建立联系时定求通项实定求出
184数列中蕴含种数学思想：
1函数思想
a0
2等价转化思想：
（1）非等差等数列转化等差数列等数列：错位相减
（2）间转化
3分类讨思想：
（1）
（2）等数列求公式：
（3）项数分奇偶讨
4特殊般思想（纳猜想）
般特殊思想：时成立n12应该均成立：2004江苏高考第20数列题
5解方程组思想：五变量知三求二
6回基量思想：首项公差决定等差数列首项公决定等数列
7递推思想：：已知求 析：两式相减：等数列
：求数列通项时叠加法叠法求数列前n时总体指导思想：欲求先研究通项（错位相减法倒序相加法分组求法裂项相消法）总数列章节学光掌握公式更数学思想方法
185攻克数列等式证明问题干策略
策略：放缩法
数列问题两特点求递推证关项通项等式先寻找关通项相邻两项等式便放缩思想先放缩求迭代
1利简单等式关系进行放缩
2利条件等关系进行放缩
3利基等式等关系进行放缩
4利倒数（函数单调性）等关系进行放缩
5利二项式定理等关系进行放缩
策略二：利数列单调性
1定义确定数列单调性
2构造函数利导数确定数列单调性
策略三：数学纳法
第19题（实际应题）——难畏难易意
191解应题般思路表示：
实际问题
数学化
数学问题
实际问题结
数学问题结
转化数学问题
回实际问题
问题解决
问题解答
192解应题般程序
（1）读 阅读理解文字表达题意分清条件结理数量关系关基础
（2）建 文字语言转化数学语言利数学知识建立相应数学模型 熟悉基数学模型正确进行建模关键关
（3）解 求解数学模型数学结 充分注意数学模型中元素实际意义更注意巧思妙作优化程
（4）答 数学结原实际问题结果
193中学数学中常见应问题数学模型
（1）优化问题 实际问题中优选控制等问题常需建立等式模型线性规划问题解决
（2）预测问题 济计划市场预测类问题通常设计成数列模型解决
（3）（极）值问题 工农业生产建设实际生活中极限问题常设计成函数模型转化求函数值
（4）等量关系问题 建立方程模型解决
（5）测量问题 设计成图形模型利知识解决
第二十题（函数综合题）——怕繁杂代数推理题
201等式证明常方法：
(1)较法：
①作差较：
步骤：a作差：较两数（式）作差
b变形：差进行式分解配方成数（式）完全方
c 判断差符号：结合变形结果题设条件判断差符号
注意：两正数作差较困难通方差较
②求商较法：证证
(2)综合分析法：导果执果索证……需证……需证……
(3)利基等式(柯西等式)
(4)反证法：少问题存性问题否定形式命题等总正难反
(5)放缩法：
1定义：指直接证明等式较困难助中间变量通适放缩达证明等式成立种方法证明构造出函数式中数学式常通放缩构成
2放缩法证明等式：①等式传递性
②等量加等量等量
③分子异分母（分母异分子）两分式较等
3放缩法实质非等价转化放缩没确定准程序放缩目性强需题意适放缩通放缩复杂边化简凑出边形式
4放缩法操作技巧：
①添加舍项：
②分子分母放（缩）
③利基等式：
④利常结：
i
ii（程度）
（程度）
iii
特例：等
推知：
5放缩法常见题型：
①边限项积边定值
②证明涉求等式时通逐项放缩手段方面放缩方面放缩便求达求目
③恰引入辅助函数通函数单调性达放缩目
④涉正整数等式先考虑数学纳法进行整体放缩
⑤运公式性质函数单调性
⑥运绝值等式
⑦运二项式定理利三角界性放缩利三角形三边关系进行放缩
⑧舍弃添加项进行放缩部分项放缩项放缩
⑨裂项利熟悉关系式放缩
6放缩尺度：
放缩法证明等式需根等式两端特点已知特点谨慎采取措施进行适放缩适宜会导致推证失败运放缩法证明等式握放缩尺度
放缩法种证题技巧想证题必须明确目标目标证明结中考查认真分析结特点结特点探究解题规律
放缩尺度：放缩裂项放缩公式……
(6)利函数单调性（质然放缩法换元法值法紧密联系）
(7)换元法：换元目减少等式中变量问题化难易化繁简常换元三角换元代数换元 ：
已知设
已知设()
已知设
已知设
(8)值法：恒成立恒成立
(9)构造法：通构造函数方程数列量等式证明等式具体运：构造斜率点直线距离两点间距离直线圆位置关系辅助圆等
(10)数学纳法
202三二次
1 二次函数基性质
(1)二次函数表示法：
yax2+bx+c ya(x－x1)(x－x2) ya(x－x0)2+n
(2)a>0f(x)区间［pq］值M值m令x0(p+q)
－p≤－x0≤－－≥qf(p)Mf(q)m
2 二次方程f(x)ax2+bx+c0实根分布条件
(1)方程f(x)0两根中根r根ra·f(r)<0
(2)二次方程f(x)0两根r
(3)二次方程f(x)0区间(pq)两根
(4)二次方程f(x)0区间(pq)根f(p)·f(q)<0f(p)0(检验)f(q)0(检验)检验根(pq)成立
(5)方程f(x)0两根根p根q(p3 二次等式转化策略
(1)二次等式f(x)ax2+bx+c≤0解集：(－∞α)∪［β+∞a<0f(α)f(β)0
(2)a>0时f(α)a<0时f(α)|β+|
(3)a>0时二次等式f(x)>0［pq］恒成立
(4)f(x)>0恒成立
203闭区间二次函数值
二次函数闭区间值处区间两端点处取具体：
(1)a>0时
(2)a<0时
204元二次方程实根分布
方程区间少实根设
（1）方程区间根充条件
（2）方程区间根充条件
（3）方程区间根充条件
205定区间含参数二次等式恒成立条件
(1)定区间子区间（形）含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(2)定区间子区间含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(3)恒成立充条件
206恒成立问题基类型处理思路
1利次函数性质
类型1：次函数：
(ⅰ)(ⅱ)合定成
2利元二次函数判式
类型2：设
（1）恒成立
（2）恒成立
类型3：设
（1）时恒成立
恒成立
（2）时恒成立
恒成立
3利函数值（值域）
类型4：
类型5：意恒成立图始终方（通常移项
值法求出考虑数形结合需图始终方）
207定区间含参数等式恒成立(解)条件
(1)定区间子区间（形）含参数等式(参数)恒成立
充条件：
(2)定区间子区间含参数等式(参数)恒成立
充条件：
(3)定区间子区间含参数等式(参数)解
充条件：
(4)定区间子区间含参数等式(参数)解
充条件：
参数函数
恒成立
恒成立
解
解
解
（函数值值情况仿推出相应结）
知识疏漏：
1数换底公式 ( )
数恒等式：( )
推：( )
2．数四运算法a＞0a≠1M＞0N＞0
(1) (2)
(3) (4)
3设函数记定义域值域
4 数换底等式推广：设
（1） （2）
5均增长率问题（负增长时）
果原产值基础数N均增长率时间总产值
6等差数列通项公式：
广义通项：
前n项公式：
7等数列通项公式：
广义通项：
前n项公式
8等差数列通项公式
前n项公式：
9分期付款(揭贷款) ：次款元(贷款元次清期利率)
10面量基定理
果面两线量面量实数λ1+λ2．
线量做表示面量组基底．
三点ABC线充条件： (M意点)
11夹角公式
(1) ()
(2)()
直线时直线l1l2夹角
12 角公式
(1)()
(2)()
直线时直线l1l2角
13 三角函数周期公式
函数x∈R函数x∈R(Aω常数A≠0)周期函数(Aω常数A≠0)周期
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第I卷 160分部分
填空题
答卷提醒：重视填空题解法分减少失误取成绩基石
A1～4题基础送分题做失题
A1集合性质运算
1性质：
①集合身子集记
②空集集合子集记
③空集非空集合真子集
果时A B．
果．
注意：
①Z {整数}（√） Z {全体整数} （×）
②已知集合S 中A补集限集集合A限集．（×）
③ 空集补集全集．
④集合A集合BCBA CAB CS（CAB） D （ 注 ：CAB ）．
2Ａ{}Ａ子集真子集非空真子集
3
4 De Morgan公式
提醒：数轴韦恩图进行交补运算力工具
具体计算时忘集合身空集两种特殊情况补集思想常运解决否定型正面较复杂关问题
A2命题否定否命题
*1命题否定否命题区：
命题否定否命题
命题否定否定
*2常考模式：
全称命题p：全称命题p否定p：
特称命题p：特称命题p否定p：
A3复数运算
*1运算律：⑴ ⑵ ⑶
提示注意复数量导数三角等运算率适范围
*2模性质：
⑴ ⑵ ⑶
*3重结：
⑴
⑵ ⑶ ⑷
⑸性质：T4
拓展：
A4幂函数性质图变化规律：
(1)幂函数定义图点
(2)时幂函数图通原点区间增函数．特时幂函数图凸时幂函数图凸
(3)时幂函数图区间减函数．第象限右边趋原点时图
轴右方限逼轴正半轴趋时图轴方限逼轴正半轴．
说明：幂函数求掌握5类图定点(00)(01)时图(11)握幂函数第象限图
A5统计
1抽样方法：
(1)简单机抽样(抽签法机样数表法)常常总体数较少时特征总体中逐抽取
(2)分层抽样特征分层例抽样总体中明显差异点：体抽概率相等（）
2总体分布估计总体中样频率作总体概率
总体估计掌握：表(频率分布表)两图(频率分布直方图茎叶图)
⑴频率分布直方图
直方图反映样频率分布规律直方图称频率分布直方图频率分布直方图图形面积形式反映数落组频率
①频率
②长方形面积组距×频率
③长方形面积组频率1
提醒：直方图轴(矩形高)般频率组距商(频率)横轴般数矩形面积表示频率
⑵茎叶图
数两位效数字时中间数字表示十位数第效数字两边数字表示位数第二效数字中间部分植物茎两边植物茎长出叶子种表示数图做茎叶图
3样算术均数作总体期值估计
样均数：
4样方差估计总体数波动性差(方差波动差)
(1)组数
①样方差
②样标准差
(2)两组数中方差标准差
③均数方差均数方差
样数做变换：
B(5～9中档题易丢分防漏解)
B1线性规划
1二元次等式表示面区域：
（1）时表示直线右边表示直线左边
（2）时表示直线方表示直线方
2设曲线（）表示面区域：
两直线成顶角区域（左右两部分）
3点曲线位置关系：
曲线封闭曲线（圆椭圆曲线等）称点曲线外部
开放曲线（抛物线双曲线等）称点曲线外部
4已知直线目标函数
①时直线移值越越直线移值越越
②时直线移值越越直线移值越越
5明确线性规划中目标函数（方程）意义：
（1）直线y轴截距越z越直线y轴截距越z越
（2）表示两点直线斜率特表示原点直线斜率
（3）表示圆心固定半径变化动圆认二元方程覆盖问题
（4）表示点距离
（5）
（6）
（7）
点拨：通构造距离函数斜率函数截距函数单位圆x2+y21点余弦定理进行转化达解题目
B 2三角变换：
三角函数式恒等变形三角式代换代数式称三角变换．
三角恒等变形角三角公式诱导公式差倍半角公式差化积积化差公式万公式基础．
三角代换三角函数值域根进行恰分代换代数式转化三角式然述诸公式进行恒等变形问题解决．
三角变换指角(配凑)函数名(切割化弦)次数(降升) 系数(常值1) 运算结构(积)变换核心角变换
角变换：已知角特殊角变换已知角目标角变换角倍角变换两角差角变换
变换化简技巧：角拆变公式变切割化弦倍角降次1变幻设元转化引入辅角方消元等
具体：
（1）角配凑：掌握角差倍半公式应注意配凑变形技巧：
等
（2）降幂升幂（次变化）
利二倍角公式二倍角公式等价变形进行升降变换二次次互化
（3）切割化弦（名变化）
利角三角函数基关系名三角函数化成名三角函数便解题常手段切化弦弦化切
（4）常值变换
常值作特殊角三角函数值代换外常值 1作代换：等
（5）引入辅助角
般期中
特
等
（6）特殊结构构造
构造偶式回避复杂三角代换化繁简
举例：
通两式作进步化简
（7）整体代换
举例：
求出整体值作代换
B 3三角形中三角变换
三角形中三角变换应公式变换方法外注意三角形身特点．
(1)角变换
中（三角定理）
意两角：第三角总互补意两半角第三角半角总互余
锐角三角形：①三角锐角②三角余弦值正值
③两角钝角④意两边方第三边方
．
(2)三角形边角关系定理面积公式正弦定理余弦定理．
面积公式：
中三角形切圆半径周长半．
(3)意
非直角中．
(4)中熟记会证明：
*1成等差数列充分必条件．
*2正三角形充分必条件成等差数列成等数列．
*3三边成等差数列
*4三边成等数列
(5)锐角中
思考：钝角中类结
(6)两角正弦值：
中…
(7)
B 4三角恒等等式
组
组二
……
组三 常见三角等式
(1)
(2)
(3)
(4)减函数
B5概率计算公式：
⑴古典概型：
①等事件概率计算公式：
②互斥事件概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)
③立事件概率计算公式：P()1－P(A)
④独立事件时发生概率计算公式：P(A•B)＝P(A)•P(B)
⑤独立事件重复试验概率计算公式：
(二项展开式[(1－P)+P]n第(k+1)项)
⑵概型：记事件A{取样点落区域}A概率定义
注意：探求事件发生概率常应等价转化思想分解(分类分步)转化思想处理：求事件转化等事件概率
(常常采排列组合知识)转化干互斥事件中发生概率利立事件概率转化相互独立事件时发生概率作某事件n次实验中恰k次发生概率注意公式条件 事件互斥事件独立必非充分条件反事件立事件互斥充分非必条件
说明：条件概率：称事件发生条件事件发生概率
注意：①②P(B∪C|A)P(B|A)+P(C|A)
B6 排列组合
（1）解决限制条件(序排列序组合)问题方法：
①直接法：
②间接法：排符合求情形
③般先特殊元素特殊位置入手
（2）解排列组合问题方法：
①特殊元素特殊位置优先法
元素优先法：先考虑限制条件元素求考虑元素
位置优先法：先考虑限制条件位置求考虑位置）
②间接法（限制条件问题先总体考虑符合条件情况掉）)
③相邻问题捆绑法（相邻干特殊元素捆绑元素然余普通元素全排列松绑特殊元素位置全排列）
④相邻(相间)问题插空法（某元素相邻某元素某特殊位置时采插空法先安排没限制元条件元素然限制条件元素求插入排元素间）
⑤排问题单排法
⑥元问题分类法
⑦序问题组合法
⑧选取问题先选排法
⑨少问题间接法
⑩相元素分组采隔板法
⑪涂色问题先分步考虑某步时分类
（3）分组问题：注意区分均分组非均分组均分成组问题忘
B7值定理
①积时值
②积值
推广：已知
（1）积定值时时
（2）定值时时
③已知：
④：
B8求函数值域常方法：
①配方法：转化二次函数问题利二次函数特征求解
点拨：二次函数出区间值两类：求闭区间值二求区间定（动）称轴动（定）值问题求二次函数值问题勿忘数形结合注意开口方称轴区间相位置关系
②逆求法：通反解表示取值范围通解等式出取值范围型
函数值域
④换元法：化繁间构造中间函数较复杂函数变简单易求值域函数函数特征函数解析式含根式三角函数公式模型通代换构造容易求值域简单函数求值域
⑤三角界法：直接求函数值域困难时利已学函数界性转化含正弦余弦函数运界性求值域
⑥等式法：利基等式求函数值题型特征解析式式时求积定值型解析式积时求定值时须拆项添项两边方等技巧
⑦单调性法：根函数单调性求值域常结合导数法综合求解
⑧数形结合法：函数解析式具明显某种意义根函数意义斜率距离绝值等利数形相互配合方法求值域
⑨分离常数法：分子分母次分式形式函数求值域问题函数分离成常数分式形式进利函数单调性确定值域．
⑩判式法：形（时）函数常采法．
说明：分式函数（分子分母中二次）通类题型时方法进行求解必拘泥判式法先通部分分式利均值等式：
1型直接等式性质
2型先化简均值等式
3型通常判式法
4型判式法均值等式法
⑪导数法：般适高次项式函数求值域……
B9函数值域题型
() 常规函数求值域：画图定区间截段
常规函数：次函数二次函数反例函数指数数函数三角函数号函数
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域
解题步骤：(1)换元变形
(2)求变形完常规函数变量取值范围
(3)画图定区间截段
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1) ：
(2)：利反表示法求值域先反表示利x范围解等式求y范围
(3)：
(4)求值域时判式法求值域
值域
(四) 变形杂函数求值域： 利函数单调性画出函数趋势图定区间截段
判断单调性方法：选择填空题首选复合函数法次求导数题首选求导数次定义详情见单调性部分知识讲解
(五) 原函数反函数应求值域：原函数定义域等反函数值域原函数值域等反函数定义域
(六) 已知值域求系数：利求值域前五种方法写求值域程求出字母形式表示值域已知值域求字母取值范围
B10应基等式求值八种变形技巧：
⑴凑系数（变量系数）例1 时求函数值
⑵凑项（加减常数项）：例2已知 求函数值
⑶调整分子：例3求函数值域
⑷变公式：基等式常变形： 前两变形直接两变形易想应重视例4求函数值
⑸连公式：例5已知求值
⑹数变换：例6已知求值
⑺三角变换：例7已知求值
⑻常数代换（逆条件）：例8已知求值
B11单调性补基等式漏洞：
⑴方定值
（定值）设中
①增函数减函数
②增函数减函数
③令中减函数
⑵定值
（定值）
①增函数减函数
②时减函数增函数
时减函数增函数
③减函数增函数
⑶积定值
（定值）
①时减函数增函数时增函数
②时减函数增函数时减函数
③减函数增函数
⑷倒数定值
（定值）成等差数列均零设公差中
①时减函数增函数时增函数减函数
②时减函数增函数时减函数增函数
③令中增函数减函数
B12理解组概念
*1 广义判式
设关实数解析式 关关实数方程实根必条件称广义判式
*2 解决数学问题两类方法：
具体条件入手运关性质数进行计算推导数学问题解决二整体考查命题结构找出某质属性进行恰核算问题容易解决方法称定性核算法
*3 二元函数
设两独立变量定变域中中取组数值时第三变量某确定法唯确定值应末变量称变量二元函数记作： 中称变量函数做变量变量变域称函数定义域
变量变量作空间点直角坐标先面作出函数定义域
域中点作垂直面线段值应函数值
点中变动时应点轨迹函数图形通常张曲面定义域曲面面投影
*4 格点
直角坐标系中坐标整数点做格点（称整数点）数中谓格点估计问题直角坐标系中果边形顶点格点样边形做格点边形特凸格点边形运筹学中基概念
*5 间断点
通常间断点分成两类：果函数间断点左右极限存称函数第类间断点第类间断点间断点称第二类间断点
*6 拐点
连续函数凹弧凹弧分界点称曲线拐点
果区间具二阶导数列步骤判定拐点
(1)求
(2)令解出方程区间实根
(3)(2)中解出实根检查左右两侧邻符号符号相反点拐点相拐点
*7驻点
曲线极值点处切线行轴说明导函数极值点定驻点(称稳定点界点)反导函数驻点定极值点
*8 凹凸性
定义函数果满足：意称凸函数定义函数果满足：意称凹函数
注：次函数图（直线）凸凹（面等式中等号成立）
曲线弧点切线位曲线方称段弧凹曲线弧点切线位曲线方称段弧凸连续曲线凹凸部分分界点称曲线拐点
B13 解定理
*1 拉格朗日中值定理
果函数闭区间连续开区间导末少点成立定理特殊情形：情形描述：
闭区间连续开区间导少点成立
*2 零点定理：
设函数闭区间连续．开区间少函数零点少点（＜＜）．
*3 介值定理：
设函数闭区间连续区间端点取函数值间意数开区间少点（＜＜）．
*4 夹逼定理：
设时必
注：：表示极限限趋零．（整数）
C10～12思维拓展题稍难度方法切入着力
C1线段定分点公式
设线段分点实数（）
（）
推广1：时线段中点公式：
推广2：（应终点量）．
三角形重心坐标公式：△ABC顶点重心坐标：
注意：△ABC中0重心充条件．
公式理解：
*1λ关键()
(分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<1) (外分) λ<0 (1<λ<0)
PP1重合λ0 PP2重合λ存 P离P2 P1穷远λ
*2中点公式定分点公式特例
*3始点终点重P分定λP分定λ2
*4知三求
*5利界性求分式函数取值范围
*6＝三点线充条件
C 2 抽象函数
抽象函数通常指没出函数具体解析式出条件（函数定义域单调性奇偶性解析递推式等）函数问题
求解抽象函数问题常方法：
(1)助模型函数探究抽象函数：
①正例函数型：
②指数函数型：
③数函数型：
④幂函数型：
⑤三角函数型：
（2）利函数性质（奇偶性单调性周期性称性等）进行演绎探究：
（3）利方法（赋值法（令＝01求出令等）递推法反证法等）进行逻辑探究
C 3函数图称性
(1)函数图身称性
性质1：函数存常数函数定义域意图关直线称
注：然
特例时图关直线称
注：然
性质2：函数存常数函数定义域意图关点称
特例：时图关点称
注：然
事实述结广义奇(偶)函数性质
性质3：设函数果定义域意图关直线称(实际偶函数般情形)广义偶函数
性质4：设函数果定义域意图关点称(实际奇函数般情形)广义奇函数
结函数称性充条件
函数关系式()
称性
函数图奇函数
函数图偶函数
函数图关直线称
函数图关点称
注：里代数关系式中两（应法）（变量）前正负号相异果两放两边前正负号相异称性关翻转
(2)两函数图间称性
1函数图关直线称
2函数图关直线称
3函数图关原点称
4函数反函数图关直线称
5函数图关直线称
特函数图关直线称
C4函数方程周期(约定)
(1)周期
(2)
周期
(3)周期
(4)
周期
(5)周期
(6)周期
说明函数满足定义域实数（中常数）等式成立述结通反复运已知条件证明
C5称性周期性关系
定理1：定义函数图关直线称周期函数周期
推1：函数满足周期周期函数
定理2：定义函数图关点直线称周期函数周期
推2：函数满足周期周期函数
定理3：定义函数图关点称周期函数周期
推3：函数满足周期周期函数
C6函数图象称轴称中心举例
函 数 满 足 条 件
称轴(中心)
满足函数图
[]
满足函数图
[]
满足函数图
满足函数图
满足函数图(偶函数)
满足函数图(奇函数)
满足两函数图
满足两函数图
满足两函数图
C7函数周期性称性奇偶性关系
1定义函数时关直线称意实数函数时满足函数周期周期函数偶函数
2定义函数时关直线点称意实数函数时满足函数周期周期函数奇函数
3定义函数时关点直线称意实数函数时满足函数周期周期函数偶函数
4定义函数时关点点称意实数函数时满足函数周期周期函数奇函数
5偶函数关直线称意实数函数满足周期周期函数
6偶函数关点称意实数函数满足周期周期函数
7奇函数关直线称意实数函数满足周期周期函数
8奇函数关点称意实数函数满足周期周期函数
拓展：
1函数偶函数函数图关直线称
2函数奇函数函数图关点称
3定义函数满足方程恰实根实根
4定义函数满足函数图关点称
C8关奇偶性单调性关系
① 果奇函数区间递增函数区间递增
② 果偶函数区间递增函数区间递减
思考：结推导
C 9体中数量运算导出结
数量运算结涉体棱侧面角面截面等数量关系性质
1长方体中：
①体角线长外接球直径
②棱长总
③全(表)面积体积
④体角线顶点三条棱成角分
cos2+cos2+cos21sin2+sin2+sin22
⑤体角线顶点三侧面成角分
cos2+cos2+cos22sin2+sin2+sin21
2正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱底面成角相等)顶点底射影底面外心②侧棱两两垂直(两棱垂直)顶点底射影底面垂心③斜高长相等(侧面底面成角相等)顶点底底面顶点底射影底面心
3正四面体中：设棱长正四面体中数量关系：
①全面积②体积③棱间距离
④相邻面成二面角⑤外接球半径⑥切球半径
⑦正四面体点面距离定值
4立方体中：
设正方体棱长
C
B
A
A
①体角线长②全面积③体积④切球半径外接球半径十二条棱均相切球半径
点拨：立方体承载着诸体位置关系特征作适变形切割组合扭转等处理便产生新体貌似新面孔原没变求解三棱椎三棱柱球体等问题时果般识图角度受阻妨尝试根体结构特征构造相应正方体问题化基体中会意想效果
5球体中：
球种常见简单体．球位置球心确定球仅取决半径．球包括球面球面围成空间区域点．球面球心距离等定长(半径) 点集合．
球截面圆面中球心截面做圆面．球面两点间距离两点圆两点间劣弧长计算球面距离关键根已知纬度等条件先寻求球面两点间弦长弦长球面两点间弦长圆两点间弦长．
球心截面圆距离球半径截面圆半径间关系
掌握球面两点间距离求法：
⑴计算线段长⑵计算球心角弧度数⑶弧长公式计算劣弧长
注：度半径成角’纬度半径夹角’
补充：
四面体．
1．面中三角形难立体中四面体类似性质：
①四面体六条棱垂直分面交点点做四面体外接球球心
②四面体四面组成六二面角角分面交点点做四面体接球球心
③四面体四面重心相顶点连接交点点做四面体重心重心条连线分3︰1
④12面角720°三面角中两面角三面角180°．
2．直角四面体：三面角三面角均直角四面体称直角四面体相面直角三角形．（直角四面体中记VlSRrh分表示体积六条棱长表面积外接球半径切球半径侧面高）空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABDS2△ACD．
3．等腰四面体：棱相等四面体称等腰四面体象面中等腰三角形．根定义难证明长方体顶点三条面角线端点顶点四面体等腰四面体反等腰四面体拼补成长方体．
（等腰四面体ABCD中记BC AD aAC BD bAB CD c体积V外接球半径R接球半径r高h）
①等腰四面体体积表示
②等腰四面体外接球半径表示
③等腰四面体四条顶点面重心连线段长相等表示
④h 4r．
二空间正余弦定理．
空间正弦定理：sin∠ABDsin∠ABCDsin∠ABCsin∠ABDCsin∠CBDsin∠CBAD
空间余弦定理：cos∠ABDcos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠ABCD
6直角四面体性质：
直角四面体中两两垂直令
⑴底面三角形锐角三角形
⑵直角顶点底面射影三角形垂心
⑶
⑷
⑸
⑹外接球半径R
7 球组合体
(1)球长方体组合体
长方体外接球直径长方体体角线长．
(2)球正方体组合体
正方体切球直径正方体棱长 正方体棱切球直径正方体面角线长 正方体外接球直径正方体体角线长．
(3)球正四面体组合体
棱长正四面体切球半径
0
P
k
e>1 e1
外接球半径．
C10圆锥曲线性质
果涉两焦点优先选圆锥曲线第定义果涉焦点准线 离心率优先选圆锥曲线第二定义外果涉焦点三角形问题重视焦半径三角形中正余弦定理等性质应
椭圆方程第定义：
双曲线第定义：
圆锥曲线第二定义（统定义）：面定点F定直线距离常数点轨迹．简言 （数统）椭圆双曲线抛物线相关系（形统）右图
时轨迹椭圆
时轨迹抛物线
时轨迹双曲线
时轨迹圆（时）．
圆锥曲线称性圆锥曲线范围圆锥曲线特殊点线圆锥曲线变化趋势中椭圆中双曲线中
圆锥曲线焦半径公式图：
特征直角三角形焦半径值焦点弦值顶点焦点准线等相互间坐标系关性质尤双曲线中焦半径值焦点弦值特点
C11函数图变换（移变换翻折变换称变换伸缩变换等）
1移变换
量移法：
移移时右移时左移时移时移左加右减加减移量左负右正正负
结：量移结
①点量移点
②函数图量移图函数解析式
③图量移图解析式函数解析式
④曲线：量移图方程
⑤量量移量然
2翻折变换
(1)图轴方部分作关轴称图轴方部分翻轴方原轴方部分变
(2)图轴右边部分作关轴称图轴右边部分翻轴左边原轴左边部分掉右边部分变
3伸缩变换
(1)设点面直角坐标系意点变换作点应点函数变换
(2)横坐标变原倍坐标变原倍
4称变换
(1)函数图函数图关轴称
(2)函数图函数图关轴称
(3)函数图函数图关原点称
(4)函数图函数图关直线称
(5)函数图函数图关直线称
注意：函数图移伸缩变换应注意问题
(1) 观察变换前位置变化：函数图移伸缩变换中图特殊点特殊线作相应变换
(2) 观察变换前量变化：直线双曲线抛物线通伸缩变换分直线双曲线抛物线改变直线倾斜角双曲线离心率抛物线开口位置
深刻理解圆锥曲线形数统
(2)图变换应重视研究函数常见函数（正例函数反例函数次函数二次函数数函数指数函数三角函数函数函数等）相互转化
(3)理解等轴双曲线反例函数图质联系
(4)应特重视二次三项式二次方程二次函数二次曲线间特联系理解函数方程曲线等方程联系
C 12 助图象较
C 13常似计算公式（充分时）
(1)
(2)
(3)
(4)（弧度）（弧度）（弧度）
C 14较常方法：
①作差：作差通分解式配方等手段判断差符号出结果
②作商（常分数指数幂代数式）
③分析法
④方法
⑤分子（分母）理化
⑥利函数单调性
⑦寻找中间量01放缩法
⑧图法中较法（作差作商）基方法
C 15定项填空题易误知识点拾遗：
(1)情况存数问题
①空间中四面体四顶点距离相等面＿＿（7）
②直线外点＿＿面该直线行（数）
③直线面斜交面＿＿条直线该直线行（0）
④3条两两相交直线确定＿＿面（13）
⑤空间外点两条异面直线行面＿＿条（01）
⑥3面空间分＿＿部分（4678）
⑦两两相交4条直线确定＿＿面（6）
⑧两异面直线成60°空间外点成30°（45°60°80°）直线＿＿条（1234）
(2)面空间区分问题
1错误命题
①垂直条直线两直线行
②行直线两面行
③行面两直线行
④直线外点条直线已知直线垂直
⑤两面两条直线做异面直线
⑥直线面数条直线垂直该直线面垂直……
2正确命题
①行条直线两条直线行
②垂直条直线两面行
③两面行第三面相交两条交线两直线行
④两相交面时垂直第三面交线垂直第三面……
(3)易误提点：
①钝角必非充分条件
②截距定零负数零
③常常会等式成立原模0方意量行垂直
④导数存点函数取极值导数0点定极值点定考虑考虑检验左正右负左负右正
⑤直线坐标轴截距正负0
C16．关空间问题面问题类通常抓住素应关系作：
面体 边形 面 边
体 积 面 积 二面角 面角
面 积 线段长 … …
D13～14关题考点灵活题型新颖方法隐蔽
D1熟知重函数
1
(1) 时双钩函数：
① 定义域：值域
② 奇偶性：奇函数（称中心）
③ 单调性：区间单调递增
区间单调递减
④ 极值：时取极值时取极值
⑤ 记住图草图
⑥ 等式性质：时
时
(2) 时区间增函数
思考：图致分布
(3)常时特殊性质略
探究：①函数图变化趋势样？
②关性质
2
化简
①定义域：值域切实数
②奇偶性：作讨
③单调性：时区间单调递增
时区间单调递减
④称中心点
⑤两渐线：直线直线
注意：两条渐线分分母零分子分母中系数确定
⑥移变换：反例函数图移
⑦反函数
说明：分式函数反例函数离心率均源双曲线
3三次函数图性质初步
*1定义：形函数做三次函数 定义域值域
*2解析式：①般式：
②零点式：
·
*3单调性：
探究：尝试研究陌生函数性质研究二次函数问题时需考虑素：
①开口方②称轴③端点值④坐标轴交点⑤判式⑥两根符号研究三角函数问题时采五点作图法
三次函数图性质里入手呢？
结合探究工具导数妨函数图特征角度零点极值点拐点凹凸性极值点区间等确定研究方握三次函数粗浅性质
导函数称轴
注意：拐点横坐标处驻点处
（极值判式判式等零时极值点）
（）
令根系数关系知：
两极值点：
（1）约定拐点轴左边极值点分布轴左边根零点数尝试做出图：
·
·
·
·
·
·
（2）时拐点轴左边极值点分布轴两边左极值点绝值右极值点绝值
·
·
·
·
·
·
（3）时拐点轴右边极值点分布轴右边左极值点绝值右极值点绝值图略
（4）时拐点轴右边极值点分布轴两边左极值点绝值右极值点绝值图略
（二）
知：极值点拐点横坐标图右图示
（三） 时 R恒成立 增函数
(∞)
（+∞)
符号
+
0
+
单调性
↗
↗
*4极值：
函数某点取极值充条件什？等价表述单调性联系
(1)R极值
(2) R两极值处取极值处取极值
*5零点数(根性质)
函数图轴交点？函数性质相联系？
（联系函数极值进行等价转化）
交点：极值0者极值0表述极值极值号
两交点：极值等零者极值等零
三交点：极值零极值零
D2重图
1（） 2（）
3（） 4（）
5 6
D3函数零点处理：
（1）零点（点数）根
轴交点横坐标
交点问题
（2）注意讨周期函数（特三角函数）某区间零点数问题
（3）零点存定理：单调端点值异号
说明：
1方程实根等价前者者必充分条件
特方程实根等价
2连续少零点（奇数零点）数零点零点数零点
3两相根算零点零点表示方法序实数
D4例性质
①例基性质：
②反定理： ③更定理：
④合定理 ⑤分定理：
⑥合分定理：⑦分合定理：
⑧等定理：
D5（1）三角形中 三线定理（斯德瓦定理）
△ABC中DBC意点．
①ADBC中线
②AD∠A分线中半周长
③ADBC高中半周长．
（2）三角形五心量性质(P面ABC意点)：
①重心
②垂心
③心
④外心
⑤中旁心
D6含绝值等式
(1)复数集三角形等式：
中左边复数z1z2应量线反（）时取等号右边复数z1z2应量线（反）时取等号
(2)量等式：
注意：
反
线(实数集中类似)
(3)代数等式：
号
异号
D7重等式
1积等式：(仅时取)．
变形：①（a b时）
注意：
② (仅时取号)．
2均值等式：
两正数调均数均数算术均数均方根间关系方均算术均均调均
拓展：
①幂均等式：
② 算术均均（a1a2…an正数）：
（a1a2…an时取等）
3含立方重等式（abc正数）：
①
②
（）
4柯西等式：
①（代数形式）设均实数
中等号仅时成立
②（量形式）设面两量中等号仅两量方相相反（两量线）时成立
③（三角形式）设意实数：
思考：三角形等式中等号成立条件什？
④（推广形式）设
等号成立仅时成立．（约定时）
5绝值等式：
双等式：
（左边时取等号右边时取等号）
6放缩等式：
①
说明：（糖水浓度问题）
拓展：
②
③
④
⑤
D8三角函数值题型解题捷径
①
②
③
④（均值等式法）
⑤含
⑥
D9数中浅显结
数分：初等数代数数数解析数等数问题常常涉整数整性带余法奇数偶数质数合数约数倍数整数分解分拆
结：
①带余法：两整数存两整数（）唯特果时整记作称约数倍数
②互质
③唯分解定理：1然数写成质数连积中质数然数种表示唯（1）式称质数分解标准分解
④约数数定理：设标准分解式（1）正约数数：
⑤整数集离散性：间整数等式等价
二解答题
做题提醒：获高分仅需采取夺分策略须谨记坚持少丢分策略
第十五题（三角基础题）——基础题答？
151正弦定理
1知识工具：
△ABC中（外接圆直径 ）
变式：①
②
③
④
式子中已知两边角已知两角边求出边角
注明：正弦定理作进行三角形中边角互化变形中注意三角形中条件应：
(1)三角形角定理：
(2)两边第三边两边差第三边
(3)面积公式：
(4)三角函数恒等变形
2三种题型
①利正弦定理公式原型解三角形
②利正弦定理公式变形(边角互化)解三角形：关边角齐次式直接边角互化
③三角形解数判定：
方法：画图观察
b
a
C
h
已知中
⑴锐角时：
①时解
②时解（直角）
③时两解（锐角钝角）
④时解（锐角）
⑵直角钝角时：
①时解
②时解（锐角）
方法二：通正弦定理解三角形利三角形角三边等关系检验解出结果否符合实际意义确定解数
152余弦定理
1知识工具：
等三等三
注明：余弦定理作进行三角形中边角互化题中含二次项时常余弦定理变形中注意三角形中条件应
2三种题型
①利余弦定理公式原型解三角形
②利余弦定理公式变形(边角互换)解三角形：
式子中角边题角转化成边边转化成角转化程中需构造公式形式
③判断三角形形状
根余弦定理中关系式成立时该三角形钝角三角形中种关系式成立时出该三角形锐角三角形结
判断三角形形状方法：
(1)已知式边角转化边边关系通式分解配方等出边相应关系判断三角形形状
(2)已知式边角转化角三角函数间关系通三角恒等变形出角关系判断出三角形形状时注意结
两种解法等式变形中般两边约公式应移项提取出公式免漏解
153正余弦定理实际应
求距离
两点间通视
两点间视达
两点达
求高度
底部达
底部达
①计算高度
②计算距离
③计算角度
④测量方案设计
实际应题型质解三角形什样现象首先画出三角形模型通正弦定理余弦定理进行求解
153常见结
1①三角学中射影公式：中
②三角学中射影定理：中
B
D
O
C
A
思考射影定理勾股定理关系
2正切定理：
3三角形面积公式
（hahbhc分表示abc高）
（R外接圆半径）
变形：S＝＝＝．
（r切圆半径）
说明：三角形三边距离相等点4心余3旁心．
图：图1中IS△ABC心 S△Pr图2中IS△ABC旁心S△12（b+ca）ra
图1
附：三角形五心：
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直分线相交点．
心：三角形三角分线相交点．
垂心：三角形三边高相交点．
旁心：三角形角分线两条角外角分线相交点．
（5）已知⊙O△ABC切圆BCaACbABc [注：s△ABC半周长]： AE12（b+ca）
BN12（a+cb）
FC12（a+bc）
综合述：已知角邻边切线长等半周长减边（图4）．
特例：已知Rt△ABCc斜边切圆半径r（图3）．
第十六题（立基础题）——推证漏条件
161位置关系证明（方法）：
（1）线面行
思考途径 I转化直线面公点
II转化线线行
III转化面面行
a
b
a
a
a
b
b
a
a
支持定理 ① ② ③
配图助记
（2）线线行：
思考途径 I转化判定面二直线交点
II转化二直线第三条直线行
III转化线面行
IV转化线面垂直
V转化面面行
支持定理
①②③④
a
b
a
b
a
配图助记
（3）面面行：
思考途径 I转化判定二面公点
II转化线面行
III转化线面垂直
支持定理 ①②③
a
b
a
b
O
b
a
a
b
a
g
配图助记
（4）线线垂直：
思考途径 I转化相交垂直
II转化线面垂直
III转化线线射影垂直
IV转化线形成射影斜线垂直
支持定理
① ②成角900③(三垂线逆定理)
a
a
b
P
A
O
a
配图助记
（5）线面垂直：
思考途径 I转化该直线面直线垂直
II转化该直线面相交二直线垂直
III转化该直线面条垂线行
IV转化该直线垂直行面
V转化该直线两垂直面交线垂直
支持定理
①②③④
配图助记
a
l
b
a
O
a
b
l
a
b
a
a
a
b
a
（6）面面垂直：
思考途径 I转化判断二面角直二面角
II转化线面垂直
支持定理 ①二面角900②③
配图助记
a
a
b
b
a
a
162求解空间角距离体积
()求角： （步骤Ⅰ找作面角Ⅱ求角）
⑴异面直线成角求法：
①移法：移直线构造三角形
②补形法：补成正方体行六面体长方体等发现两条异面直线间关系
(理科量法转化两直线方量夹角)
⑵直线面成角：
①直接法（利线面角定义）
②先求斜线点面距离h斜线段长度作sin
（理科量法转化直线方量面法量夹角）
⑶二面角求法：
①定义法：二面角棱取点（特殊点）作出面角求解
②三垂线法：半面点作（找）半面垂线三垂线定理逆定理作出二面角面角求解
③射影法：利面积射影公式：中面角
注：没出棱二面角应先作出棱然选述方法
（理科量法转化两班面法量夹角）
（二）求距离：（步骤Ⅰ找作垂线段Ⅱ求距离）
⑴两异面直线间距离：般先作出公垂线段进行计算
⑵点直线距离：般三垂线定理作出垂线段求解
⑶点面距离：
①垂面法：助面面垂直性质作垂线段（确定已知面垂面关键）求解
②等体积法
（理科量法：）
⑷球面距离（步骤）：
①求线段长
②求球心角弧度数
③求劣弧长
（三）求体积
常规方法：直接法（公式法）分割法补形法等积法(位置转换)例法(性质转换)等
163重定理
（1）面积射影定理：
(面边形射影面积分面成锐二面角)
（2）A
三余弦定理：
设条直线条斜线射影垂足设成角 成角成角．
（3）三射线定理：
夹面角二面角间线段二面角两半面成角二面角棱成角θ
(仅时等号成立)
（4）角定理 (立斜公式)：
设AC条直线BC⊥AC垂足C设AOAB成角ABAC成角AOAC成角．
探究：角定理应（∠PBN角）
简记：
①成角交线夹角半交线夹角补角半长定4条．
②成角交线夹角半交线夹角补角定2条．
③成角交线夹角半交线夹角相等定3条者2条．
④成角交线夹角半交线夹角半定1条者没．
B
A
P
C
（5）三垂线定理：面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直
逆定理：面条直线果面条斜线垂直条斜线面射影垂直
提炼：（1）
（2）相斜线面成角
（3）相二面角
（4）（定理）
（5）（逆定理）
（6）垂线段短（前提面外点引线段）
（7）角定理（涉等问题时想里）
164重性质
（1）三棱椎中设顶点底面射影
①正三棱椎中底面射影中心
②垂心
③外心
④PD⊥ABPE⊥BCPF⊥AC垂足分DEFPDPEPF 点△ABC心
（2）①∠POA∠POBPO面AOB射影∠AOB角分线
②∠AOBPE⊥OAPF⊥OB垂足分EFPEPF点P面AOB射影∠AOB分线
第17题（解综合题）——中寻突破解中找关系
171圆锥曲线中精结：
1焦半径：(1)椭圆： （左+右）
椭圆：
(2)双曲线：
长加短减原：
构成满足
（椭圆焦半径椭圆焦半径带符号计算双曲线带符号）
双曲线：
(2)抛物线：
2弦长公式：
注：(1)焦点弦长：i．椭圆：
ii．抛物线：＝
(2)通径（短弦）：i．椭圆双曲线：
ii．抛物线：
3两点椭圆双曲线标准方程设： （时0时表示椭圆时表示双曲线）
4椭圆中结：
(1)接矩形面积：
(2)PQ椭圆意两点
(3)椭圆焦点三角形：
i．（）
ii．点 心交点
(4)点椭圆短轴顶点重合时
(5)离心率椭圆系方程：椭圆离心率方程0参数离心率称方程离心率椭圆系方程．
5双曲线中结：
(1)双曲线（）渐线：
(2)渐进线双曲线标准方程参数≠0）
(3)双曲线焦点三角形：
i．（）
ii．双曲线－1(a＞0b＞0)左（右）支点F1F2分左右焦点△PF1F2切圆圆心横坐标
(4)等轴双曲线：双曲线称等轴双曲线渐线方程(渐线互相垂直)离心率．
(5)渐线双曲线系方程：渐线方程果双曲线渐线时双曲线方程设．
(6) 轭双曲线：已知双曲线虚轴实轴实轴虚轴双曲线做已知双曲线轭双曲线．互轭双曲线具渐线：．
(7) P双曲线常结1：P焦点距离m nP两准线距离m︰n．
简证： ．
常结2：双曲线焦点条渐线距离等b．
(8) 直线双曲线位置关系：
区域①：切线2条渐线行直线合计2条
区域②：定点双曲线1条切线2条渐线行直线合计3条
区域③：2条切线2条渐线行直线合计4条
区域④：定点渐线非原点1条切线1条渐线行直线合计2条
区域⑤：原点切线渐线行直线．
结：定点作直线双曲线仅交点作出直线数目0234条．
直线双曲线支交点交点二时求确定直线斜率代入法渐线求交两根两根积号．
6抛物线中结：
(1)抛物线焦点弦性质：
i．
ii．
iii．直径圆准线相切
iv．（）直径圆轴相切
v．
(2)抛物线结直角三角形性质：
i．
ii．恒定点
iii．中点轨迹方程：
iv．轨迹方程：
v．
(3)抛物线称轴定点：
i．时顶点点距离值
ii．时抛物线关轴称两点点距离值
172两常见曲线系方程
(1)曲线交点曲线系方程(参数)
(2)焦点心圆锥曲线系方程中
时表示椭圆时表示双曲线
173圆
1圆系方程
(1)点圆系方程
中直线方程λ定系数．
(2)直线圆交点圆系方程λ定系数．
(3)圆圆交点圆系方程λ定系数．
特时表示：
①两圆相交时公弦直线方程
②两圆引切线长相等点轨迹（直线）方程称条直线根轴
2点圆位置关系：点圆位置关系三种
点圆外
点圆
点圆
3直线圆位置关系
直线圆位置关系三种()
4两圆位置关系判定方法设两圆圆心分半径分
5圆切线方程切线长公式
(1)已知圆．
①已知切点圆切线条方程
圆外时 表示两切点切点弦方程．求切点弦方程通连心线直径圆原圆公弦确定
②圆外点切线方程设利相切条件求k时必两条切线注意漏掉行y轴切线．
③斜率k切线方程设利相切条件求b必两条切线．
(2)已知圆切线方程．
①P()圆点点P()切线方程特切线方程
P()圆外点P()圆引两条切线切点分AB直线AB方程特
②圆斜率圆切线方程
(3) 圆外点切线长
174解析量综合时出现量容：
（1）出直线方量
（2）出相交等已知中点
中出中边中线
（3）出等已知中点
（4）出等已知中点三点线
（5）出情形：①②存实数
③存实数等已知三点线
（6）出等已知定分点定
（7）出等已知直角出等已知钝角出等已知锐角
（8）出等已知分线
（9）行四边形中出等已知菱形
（10）行四边形中出等已知矩形
（11）设
（12）点
（13）中出通心
175解题规律盘点
1点
(1)交点
①直线圆锥曲线交两点：直线二次曲线联立二次项系数0时二次曲线联立
②直线圆锥曲线相切：直线二次曲线联立
③直线二次曲线公点：
二次项系数0表示行渐线两条直线二次项系数0△0 二次项系数0表示行称轴条直线二次曲线0△0
(2)定点处理思路
(3)①设参数方程椭圆参数方程：
圆参数方程：
②抛物线动点设：中简化计算
2直线
(1)设直线方程分斜率存存两种情况讨果什信息没：讨斜率存情形斜率存时设斜截式：
巧设直线方程回避讨运算等问题
直线定点时设成时会出现列情况：
(i)容易忽视斜率存情形(ii)运算较繁时会陷入僵局
(2)轴点直线般设避免斜率否存讨
(3)直线方量
(4)两解问题：
圆外点引两条长度相等割线割线长度等直径
截行线弦长
相等（斜率存）
圆外点引切线（斜率存）
3角
(1)余弦定理
(2)角公式
(3)量夹角公式
4直线圆锥曲线
(1)直线圆锥曲线问题解法：
1直接法（通法）：联立直线圆锥曲线方程构造元二次方程求解
运算规律：直线圆锥曲线位置关系运算程式
(1)已知曲线()直线方程联立：
()
注意：曲线双曲线时0进行较
根系数关系知：
话联立直线圆锥曲线方程构造元二次方程求解时注意问题：①联立关关元二次方程？②二次项系数系数0情况讨？③直线斜率存时考虑？④判式验证？
2设求（代点相减法）——处理弦中点直线斜率问题
步骤：
已知曲线①设点中点②作差抛物线
细节盘点
*1直线圆锥曲线方程消元二次方程注意判式韦达定理弦长公式注意参数分类讨数形结合设求思想运注意焦点弦焦半径公式弦长公式
*2直线圆锥曲线位置关系问题中常弦相关行弦问题关键斜率中点弦问题关键韦达定理直角三角形点差法长度(弦长)问题关键长度(弦长)公式直角三角形
*3 直线圆锥曲线位置关系问题中涉交点时转化函数解问题先验证设直线斜率存造成交点漏解情况接着联立方程组然考虑消元建立关方程方程接着讨方程二次项系数零情况二次方程判式进行分析时直线曲线相切……
*4求解直线圆锥曲线弦长交点问题时必条件（注意判式失控情况）构成方程组实数解出现元二次方程时务必先 求解直线圆锥曲线问题时涉二次方程问题必须优先考虑二次项系数判式问题
*5解决直线圆关系问题时充分发挥圆面性质作(半径半弦长弦心距构成直角三角形切线长定理割线定理弦切角定理等等)
*6韦达定理解中应：①求弦长 ②判定曲线交点数 ③求弦中点坐标④求曲线方程
(2)直线圆锥曲线相交弦长公式
注：弦端点A方程 消y直线倾斜角直线斜率
(3)抛物线切线方程
①抛物线点处切线方程
②抛物线外点引两条切线切点弦方程
③抛物线直线相切条件
5定值极值问题
极值问题实际条件出现极值问题通常运中关等式定理解决时运角变换局部调整法时运三角方法关三角函数性质正弦定理三角形面积公式等转化三角极值问题解决关面积周长极值问题运关面积知识外常常需结：
①周长定三角形中正三角形面积
②周长定矩形中正方形面积
③面积定三角形中正三角形周长
④周长定面曲线中圆围成面积
⑤面积定闭曲线中圆周长
⑥边长分相等边形中圆接边形面积
⑦等周长边形中圆接边形面积
⑧面积定边形中正边形周长
定值问题研究解决变动图形中某元素量保持变元素北欧谐性质位置保持变等问题
常见定值中定量问题定角定长（线段长周长距离等）定（线段面积）定积（面积线段积）等
常见定值中定位问题定点定直线等
定值问题分两类：类绝定值问题需证明定值确定常数种定值图形位置形状关类相定值问题证明定值题设图形中某定量关种定值题设图形位置形状变化改变相意义证明题推断量题设已知量某种确定关系表示
解决定值问题常处理思路方法：
（1）利综合法证明时需改变题目形式般定值题转化特殊情况常作辅助图形次明确图形中元素固定元素量定量分析问题时围绕着固定元素定量进行定值固定已知量
（2）利参数法证明时根题设条件选取适参数然证明定值参数表示出消参数便求常量表示定值
（3）利计算法证明时通常助正余弦定理坐标法关量某特定量表示出通计算证明求式子值定值
（4）综合运代数三角知识证题
6求轨迹方程常方法：
⑴直接法：直接通建立间关系构成求轨迹基方法
⑵定系数法：先根条件设求曲线方程条件确定定系数代回列方程
⑶代入法(相关点法转移法)
⑷定义法：果够确定动点轨迹满足某已知曲线定义曲线定义直接写出方程
⑸交轨法(参数法)：动点坐标间关系易直接找没相关动点时考虑均中间变量(参数)表示参数方程消参数普通方程
7定义解题
①椭圆：第定义：面动点P面两定点F1F2距离定值|PF1|+|PF2|>|F1F2|P点轨迹椭圆
②双曲线：||PF1||PF2||定值<｜F1F2|
③三种圆锥曲线统定义：（e∈(01)：椭圆e1：抛物线e>1：双曲线
第18题（数列综合题）——稳步作答步步营
181判定数列基数列方法
（1）判定数列否等差数列方法：定义法中项法通项法式法图法
（2）解题常判定数列等差数列三种方法：
①
②2()
③(常数)．
思考：等数列呢？
（1）判定数列否等数列方法：定义法中项法通项法式法
（2）解题常判定数列等数列四种方法：
①
②()
③(非零常数)．
④正数列{}成等充条件数列{}（）成等数列．
182数列求常方法：
（1）公式法：①等差数列求公式 ②等数列求公式
③
……
特声明：运等数列求公式务必检查公1关系必时分类讨
（2）分组求法
（3）倒序相加法
（4）错位相减法
（5）裂项相消法：果数列通项分裂成两项差形式相邻项分裂相关联常选裂项相消法求常裂项形式：
① ②
③
④ ⑤
⑥
⑦ ⑧
⑧ ⑨
……
例：
（6）通项转换法
阶线性递数列总改写变形成形式：()等数列定义求出通项公式
183数列通项求解思路：
㈠非递推关系求通项
⑴定义法：根等差等数列等价条件套公式
⑵公式法：①已知()求作差法：
②已知求作商法：
㈡递推式求数列通项
⑴递推式求迭加法
⑵递推式求迭法迭代法
①（迭法）
②
（迭代法）
⑶递推式作具体分解均构造法求解(先引入化简辅助数列求目标通项)
类型1 (常数)变形
解题途径：①转化等差等数列②逐项选代③消常数n转化形式特征根方法求④（公式法）确定．
①转化等差等：．
②选代法：
．
③特征方程求解：
④选代法推导结果：
类型2 (常数)变形
类型3 (常数)变形
类型4 (常数)变形
⑷递推式关系式 ()利进行求解
⑸递推式()()变形
⑹数列常数）特征方程变形(*)
(*)二异根令（中定常数）代入值求值样数列首项公等数列样求
(*)二重根令（中定常数）代入值求值样数列首项公差等差数列样求
⑺递推式()变形
⑻递推式（中均常数）原递推公式转化中满足特征方程(*)
(*)二异根令(定常数）
(*)二重根令(定常数）
（pq二阶常数）特证根方法求解．
具体步骤：
①写出特征方程（应x应）设二根
②设设
③初始值确定．
㈢双数列型
根两数列递推公式关系灵活采累加累化等方法求解
说明：特殊数列①周期数列定求通项递推关系出周期等效量样确定数列中应关系②阶差数列二阶等差等数列等③数列起渡作数列通数列建立联系时定求通项实定求出
184数列中蕴含种数学思想：
1函数思想
a0
2等价转化思想：
（1）非等差等数列转化等差数列等数列：错位相减
（2）间转化
3分类讨思想：
（1）
（2）等数列求公式：
（3）项数分奇偶讨
4特殊般思想（纳猜想）
般特殊思想：时成立n12应该均成立：2004江苏高考第20数列题
5解方程组思想：五变量知三求二
6回基量思想：首项公差决定等差数列首项公决定等数列
7递推思想：：已知求 析：两式相减：等数列
：求数列通项时叠加法叠法求数列前n时总体指导思想：欲求先研究通项（错位相减法倒序相加法分组求法裂项相消法）总数列章节学光掌握公式更数学思想方法
185攻克数列等式证明问题干策略
策略：放缩法
数列问题两特点求递推证关项通项等式先寻找关通项相邻两项等式便放缩思想先放缩求迭代
1利简单等式关系进行放缩
2利条件等关系进行放缩
3利基等式等关系进行放缩
4利倒数（函数单调性）等关系进行放缩
5利二项式定理等关系进行放缩
策略二：利数列单调性
1定义确定数列单调性
2构造函数利导数确定数列单调性
策略三：数学纳法
第19题（实际应题）——难畏难易意
191解应题般思路表示：
实际问题
数学化
数学问题
实际问题结
数学问题结
转化数学问题
回实际问题
问题解决
问题解答
192解应题般程序
（1）读 阅读理解文字表达题意分清条件结理数量关系关基础
（2）建 文字语言转化数学语言利数学知识建立相应数学模型 熟悉基数学模型正确进行建模关键关
（3）解 求解数学模型数学结 充分注意数学模型中元素实际意义更注意巧思妙作优化程
（4）答 数学结原实际问题结果
193中学数学中常见应问题数学模型
（1）优化问题 实际问题中优选控制等问题常需建立等式模型线性规划问题解决
（2）预测问题 济计划市场预测类问题通常设计成数列模型解决
（3）（极）值问题 工农业生产建设实际生活中极限问题常设计成函数模型转化求函数值
（4）等量关系问题 建立方程模型解决
（5）测量问题 设计成图形模型利知识解决
第二十题（函数综合题）——怕繁杂代数推理题
201等式证明常方法：
(1)较法：
①作差较：
步骤：a作差：较两数（式）作差
b变形：差进行式分解配方成数（式）完全方
c 判断差符号：结合变形结果题设条件判断差符号
注意：两正数作差较困难通方差较
②求商较法：证证
(2)综合分析法：导果执果索证……需证……需证……
(3)利基等式(柯西等式)
(4)反证法：少问题存性问题否定形式命题等总正难反
(5)放缩法：
1定义：指直接证明等式较困难助中间变量通适放缩达证明等式成立种方法证明构造出函数式中数学式常通放缩构成
2放缩法证明等式：①等式传递性
②等量加等量等量
③分子异分母（分母异分子）两分式较等
3放缩法实质非等价转化放缩没确定准程序放缩目性强需题意适放缩通放缩复杂边化简凑出边形式
4放缩法操作技巧：
①添加舍项：
②分子分母放（缩）
③利基等式：
④利常结：
i
ii（程度）
（程度）
iii
特例：等
推知：
5放缩法常见题型：
①边限项积边定值
②证明涉求等式时通逐项放缩手段方面放缩方面放缩便求达求目
③恰引入辅助函数通函数单调性达放缩目
④涉正整数等式先考虑数学纳法进行整体放缩
⑤运公式性质函数单调性
⑥运绝值等式
⑦运二项式定理利三角界性放缩利三角形三边关系进行放缩
⑧舍弃添加项进行放缩部分项放缩项放缩
⑨裂项利熟悉关系式放缩
6放缩尺度：
放缩法证明等式需根等式两端特点已知特点谨慎采取措施进行适放缩适宜会导致推证失败运放缩法证明等式握放缩尺度
放缩法种证题技巧想证题必须明确目标目标证明结中考查认真分析结特点结特点探究解题规律
放缩尺度：放缩裂项放缩公式……
(6)利函数单调性（质然放缩法换元法值法紧密联系）
(7)换元法：换元目减少等式中变量问题化难易化繁简常换元三角换元代数换元 ：
已知设
已知设()
已知设
已知设
(8)值法：恒成立恒成立
(9)构造法：通构造函数方程数列量等式证明等式具体运：构造斜率点直线距离两点间距离直线圆位置关系辅助圆等
(10)数学纳法
202三二次
1 二次函数基性质
(1)二次函数表示法：
yax2+bx+c ya(x－x1)(x－x2) ya(x－x0)2+n
(2)a>0f(x)区间［pq］值M值m令x0(p+q)
－
2 二次方程f(x)ax2+bx+c0实根分布条件
(1)方程f(x)0两根中根r根ra·f(r)<0
(2)二次方程f(x)0两根r
(3)二次方程f(x)0区间(pq)两根
(4)二次方程f(x)0区间(pq)根f(p)·f(q)<0f(p)0(检验)f(q)0(检验)检验根(pq)成立
(5)方程f(x)0两根根p根q(p
(1)二次等式f(x)ax2+bx+c≤0解集：(－∞α)∪［β+∞a<0f(α)f(β)0
(2)a>0时f(α)
(3)a>0时二次等式f(x)>0［pq］恒成立
(4)f(x)>0恒成立
203闭区间二次函数值
二次函数闭区间值处区间两端点处取具体：
(1)a>0时
(2)a<0时
204元二次方程实根分布
方程区间少实根设
（1）方程区间根充条件
（2）方程区间根充条件
（3）方程区间根充条件
205定区间含参数二次等式恒成立条件
(1)定区间子区间（形）含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(2)定区间子区间含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(3)恒成立充条件
206恒成立问题基类型处理思路
1利次函数性质
类型1：次函数：
(ⅰ)(ⅱ)合定成
2利元二次函数判式
类型2：设
（1）恒成立
（2）恒成立
类型3：设
（1）时恒成立
恒成立
（2）时恒成立
恒成立
3利函数值（值域）
类型4：
类型5：意恒成立图始终方（通常移项
值法求出考虑数形结合需图始终方）
207定区间含参数等式恒成立(解)条件
(1)定区间子区间（形）含参数等式(参数)恒成立
充条件：
(2)定区间子区间含参数等式(参数)恒成立
充条件：
(3)定区间子区间含参数等式(参数)解
充条件：
(4)定区间子区间含参数等式(参数)解
充条件：
参数函数
恒成立
恒成立
解
解
解
（函数值值情况仿推出相应结）
知识疏漏：
1数换底公式 ( )
数恒等式：( )
推：( )
2．数四运算法a＞0a≠1M＞0N＞0
(1) (2)
(3) (4)
3设函数记定义域值域
4 数换底等式推广：设
（1） （2）
5均增长率问题（负增长时）
果原产值基础数N均增长率时间总产值
6等差数列通项公式：
广义通项：
前n项公式：
7等数列通项公式：
广义通项：
前n项公式
8等差数列通项公式
前n项公式：
9分期付款(揭贷款) ：次款元(贷款元次清期利率)
10面量基定理
果面两线量面量实数λ1+λ2．
线量做表示面量组基底．
三点ABC线充条件： (M意点)
11夹角公式
(1) ()
(2)()
直线时直线l1l2夹角
12 角公式
(1)()
(2)()
直线时直线l1l2角
13 三角函数周期公式
函数x∈R函数x∈R(Aω常数A≠0)周期函数(Aω常数A≠0)周期
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