选修22 11 第3课时 导数意义
选择题
1．果曲线y＝f(x)点(x0f(x0))处切线方程x＋2y－3＝0( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)存
[答案] B
[解析] 切线x＋2y－3＝0斜率k＝－f′(x0)＝－＜0应选B
2．曲线y＝x2－2点处切线倾斜角( )
A．1 B
Cπ D．－
[答案] B
[解析] ∵y′＝li
＝li (x＋Δx)＝x
∴切线斜率k＝y′|x＝1＝1
∴切线倾斜角应选B
3．曲线y＝x2切线倾斜角点( )
A．(00) B．(24)
C D
[答案] D
[解析] 易求y′＝2x设点P(x0x)处切线倾斜角2x0＝1∴x0＝∴P
4．曲线y＝x3－3x2＋1点(1－1)处切线方程( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
[答案] B
[解析] y′＝3x2－6x∴y′|x＝1＝－3
点斜式y＋1＝－3(x－1)．y＝－3x＋2
5．设f(x)导函数满足 ＝－1曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线斜率( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析] ＝
＝－1y′|x＝1＝－1
y＝f(x)点(1f(1))处切线斜率－1选B
6．设f′(x0)＝0曲线y＝f(x)点(x0f(x0))处切线( )
A．存 B．x轴行重合
C．x轴垂直 D．x轴斜交
[答案] B
[解析] 导数意义知B正确应选B
7．已知曲线y＝f(x)x＝5处切线方程y＝－x＋8f(5)f′(5)分( )
A．33 B．3－1
C．－13 D．－1－1
[答案] B
[解析] 题意易：f(5)＝－5＋8＝3f′(5)＝－1应选B
8．曲线f(x)＝x3＋x－2P点处切线行直线y＝4x－1P点坐标( )
A．(10)(－1－4) B．(01)
C．(－10) D．(14)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2设xP＝x0
∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx
∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2
∴f′(x0)＝3x＋1k＝4
∴3x＋1＝4x＝1∴x0＝±1
P(10)(－1－4)应选A
9．设点P曲线y＝x3－x＋意点P点处切线倾斜角αα取值范围( )
A∪ B∪
C D
[答案] A
[解析] 设P(x0y0)
∵f′(x)＝li
＝3x2－∴切线斜率k＝3x－
∴tanα＝3x－≥－
∴α∈∪应选A
10．(2010·福州高二期末)设P曲线C：y＝x2＋2x＋3点曲线C点P处切线倾斜角取值范围[0]点P横坐标取值范围( )
A．[－1－] B．[－10]
C．[01] D．[1]
[答案] A
[解析] 考查导数意义．
∵y′＝2x＋2切线倾斜角θ∈[0]
∴切线斜率k满足0≤k≤10≤2x＋2≤1
∴－1≤x≤－
二填空题
11．已知函数f(x)＝x2＋3f(x)(2f(2))处切线方程________．
[答案] 4x－y－1＝0
[解析] ∵f(x)＝x2＋3x0＝2
∴f(2)＝7Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2
∴＝4＋Δx∴li ＝4f′(2)＝4
切线(27)点f(x)(2f(2))处切线方程y－7＝4(x－2)
4x－y－1＝0
12．函数f(x)＝x－x轴交点处切线方程________．
[答案] y＝2(x－1)y＝2(x＋1)
[解析] f(x)＝x－＝0x＝±1x轴交点坐标(10)(－10)．
∵f′(x)＝li
＝li ＝1＋
∴切线斜率k＝1＋＝2
∴切线方程y＝2(x－1)y＝2(x＋1)．
13．曲线C点P(x0y0)处切线l直线l曲线C公点________．
[答案] 少
[解析] 切线定义直线l曲线P(x0y0)处相切曲线部分公点然相切直线曲线公点少．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10切线中斜率切线方程________．
[答案] 3x－y－11＝0
[解析] 设切点P(x0y0)P(x0y0)切线斜率x0函数求出值．
设切点P(x0y0)点P切线斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3x0＝－1时k值3时P坐标(－1－14)切线方程3x－y－11＝0
三解答题
15．求曲线y＝－点P处切线方程．
[解析] ∴y′＝
＝
＝ ＝－－
∴y′|x＝4＝－－＝－
∴曲线点P处切线方程：
y＋＝－(x－4)．
5x＋16y＋8＝0
16．已知函数f(x)＝x3－3xy＝f(x)点P(1－2)点P作直线l
(1)求直线ly＝f(x)相切P切点直线方程
(2)求直线ly＝f(x)相切切点异点P直线方程y＝g(x)．
[解析] (1)y′＝li ＝3x2－3
点PP(1－2)切点直线斜率
k1＝f′(1)＝0
∴求直线方程y＝－2
(2)设切点坐标(x0x－3x0)
直线l斜率k2＝f′(x0)＝3x－3
∴直线l方程y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)
直线l点P(1－2)
∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)
∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)
解x0＝1(舍)x0＝－
求直线斜率k＝3x－3＝－
：y－(－2)＝－(x－1)y＝－x＋
17．求证：函数y＝x＋图象点处切线斜率1
[解析] y′＝li
＝li
＝li
＝li
＝＝1－＜1
∴y＝x＋图象点处切线斜率1
18．已知直线l1曲线y＝x2＋x－2点(10)处切线l2该曲线条切线l1⊥l2
(1)求直线l2方程
(2)求直线l1l2x轴围成三角形面积．
[解析] (1)y′|x＝1
＝li ＝3
l1方程：y＝3(x－1)y＝3x－3
设l2曲线y＝x2＋x－2点B(bb2＋b－2)
y′|x＝b＝li
＝2b＋1l2方程：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)y＝(2b＋1)x－b2－2
l1⊥l23×(2b＋1)＝－1b＝－l2方程：y＝－x－
(2)
l1l2交点坐标
l1l2x轴交点坐标分(10)
求三角形面积S＝××＝
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选择题
1．果曲线y＝f(x)点(x0f(x0))处切线方程x＋2y－3＝0( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)存
[答案] B
[解析] 切线x＋2y－3＝0斜率k＝－f′(x0)＝－＜0应选B
2．曲线y＝x2－2点处切线倾斜角( )
A．1 B
Cπ D．－
[答案] B
[解析] ∵y′＝li
＝li (x＋Δx)＝x
∴切线斜率k＝y′|x＝1＝1
∴切线倾斜角应选B
3．曲线y＝x2切线倾斜角点( )
A．(00) B．(24)
C D
[答案] D
[解析] 易求y′＝2x设点P(x0x)处切线倾斜角2x0＝1∴x0＝∴P
4．曲线y＝x3－3x2＋1点(1－1)处切线方程( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
[答案] B
[解析] y′＝3x2－6x∴y′|x＝1＝－3
点斜式y＋1＝－3(x－1)．y＝－3x＋2
5．设f(x)导函数满足 ＝－1曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线斜率( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析] ＝
＝－1y′|x＝1＝－1
y＝f(x)点(1f(1))处切线斜率－1选B
6．设f′(x0)＝0曲线y＝f(x)点(x0f(x0))处切线( )
A．存 B．x轴行重合
C．x轴垂直 D．x轴斜交
[答案] B
[解析] 导数意义知B正确应选B
7．已知曲线y＝f(x)x＝5处切线方程y＝－x＋8f(5)f′(5)分( )
A．33 B．3－1
C．－13 D．－1－1
[答案] B
[解析] 题意易：f(5)＝－5＋8＝3f′(5)＝－1应选B
8．曲线f(x)＝x3＋x－2P点处切线行直线y＝4x－1P点坐标( )
A．(10)(－1－4) B．(01)
C．(－10) D．(14)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2设xP＝x0
∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx
∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2
∴f′(x0)＝3x＋1k＝4
∴3x＋1＝4x＝1∴x0＝±1
P(10)(－1－4)应选A
9．设点P曲线y＝x3－x＋意点P点处切线倾斜角αα取值范围( )
A∪ B∪
C D
[答案] A
[解析] 设P(x0y0)
∵f′(x)＝li
＝3x2－∴切线斜率k＝3x－
∴tanα＝3x－≥－
∴α∈∪应选A
10．(2010·福州高二期末)设P曲线C：y＝x2＋2x＋3点曲线C点P处切线倾斜角取值范围[0]点P横坐标取值范围( )
A．[－1－] B．[－10]
C．[01] D．[1]
[答案] A
[解析] 考查导数意义．
∵y′＝2x＋2切线倾斜角θ∈[0]
∴切线斜率k满足0≤k≤10≤2x＋2≤1
∴－1≤x≤－
二填空题
11．已知函数f(x)＝x2＋3f(x)(2f(2))处切线方程________．
[答案] 4x－y－1＝0
[解析] ∵f(x)＝x2＋3x0＝2
∴f(2)＝7Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2
∴＝4＋Δx∴li ＝4f′(2)＝4
切线(27)点f(x)(2f(2))处切线方程y－7＝4(x－2)
4x－y－1＝0
12．函数f(x)＝x－x轴交点处切线方程________．
[答案] y＝2(x－1)y＝2(x＋1)
[解析] f(x)＝x－＝0x＝±1x轴交点坐标(10)(－10)．
∵f′(x)＝li
＝li ＝1＋
∴切线斜率k＝1＋＝2
∴切线方程y＝2(x－1)y＝2(x＋1)．
13．曲线C点P(x0y0)处切线l直线l曲线C公点________．
[答案] 少
[解析] 切线定义直线l曲线P(x0y0)处相切曲线部分公点然相切直线曲线公点少．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10切线中斜率切线方程________．
[答案] 3x－y－11＝0
[解析] 设切点P(x0y0)P(x0y0)切线斜率x0函数求出值．
设切点P(x0y0)点P切线斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3x0＝－1时k值3时P坐标(－1－14)切线方程3x－y－11＝0
三解答题
15．求曲线y＝－点P处切线方程．
[解析] ∴y′＝
＝
＝ ＝－－
∴y′|x＝4＝－－＝－
∴曲线点P处切线方程：
y＋＝－(x－4)．
5x＋16y＋8＝0
16．已知函数f(x)＝x3－3xy＝f(x)点P(1－2)点P作直线l
(1)求直线ly＝f(x)相切P切点直线方程
(2)求直线ly＝f(x)相切切点异点P直线方程y＝g(x)．
[解析] (1)y′＝li ＝3x2－3
点PP(1－2)切点直线斜率
k1＝f′(1)＝0
∴求直线方程y＝－2
(2)设切点坐标(x0x－3x0)
直线l斜率k2＝f′(x0)＝3x－3
∴直线l方程y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)
直线l点P(1－2)
∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)
∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)
解x0＝1(舍)x0＝－
求直线斜率k＝3x－3＝－
：y－(－2)＝－(x－1)y＝－x＋
17．求证：函数y＝x＋图象点处切线斜率1
[解析] y′＝li
＝li
＝li
＝li
＝＝1－＜1
∴y＝x＋图象点处切线斜率1
18．已知直线l1曲线y＝x2＋x－2点(10)处切线l2该曲线条切线l1⊥l2
(1)求直线l2方程
(2)求直线l1l2x轴围成三角形面积．
[解析] (1)y′|x＝1
＝li ＝3
l1方程：y＝3(x－1)y＝3x－3
设l2曲线y＝x2＋x－2点B(bb2＋b－2)
y′|x＝b＝li
＝2b＋1l2方程：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)y＝(2b＋1)x－b2－2
l1⊥l23×(2b＋1)＝－1b＝－l2方程：y＝－x－
(2)
l1l2交点坐标
l1l2x轴交点坐标分(10)
求三角形面积S＝××＝
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