选修22 132 函数极值导数
选择题
1．已知函数f(x)点x0处连续列命题中正确( )
A．导数零点定极值点
B．果点x0附左侧f′(x)>0右侧f′(x)<0f(x0)极值
C．果点x0附左侧f′(x)>0右侧f′(x)<0f(x0)极值
D．果点x0附左侧f′(x)<0右侧f′(x)>0f(x0)极值
[答案] C
[解析] 导数0点定极值点例f(x)＝x3f′(x)＝3x2f′(0)＝0x＝0f(x)极值点A错极值定义知C正确应选C
2．函数y＝1＋3x－x3( )
A．极值－2极值2
B．极值－2极值3
C．极值－1极值1
D．极值－1极值3
[答案] D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0解x1＝－1x2＝1
x<－1时y′<0函数y＝1＋3x－x3减函数
－10函数y＝1＋3x－x3增函数
x>1时y′<0函数y＝1＋3x－x3减函数
∴x＝－1时函数极值y极＝－1
x＝1时函数极值y极＝3
3．设x0f(x)极值点列说法正确( )
A．必f′(x0)＝0
B．f′(x0)存
C．f′(x0)＝0f′(x0)存
D．f′(x0)存0
[答案] C
[解析] ：y＝|x|x＝0时取极值f′(0)存．
4．导函数点两侧导数值异号点极值( )
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
[答案] C
[解析] 点导数值0两侧导数值异号充条件．
5．函数f(x)＝x3－3x2出命题：
①f(x)增函数极值
②f(x)减函数极值
③f(x)递增区间(－∞0)(2＋∞)递减区间(02)
④f(0)＝0极值f(2)＝－4极值．
中正确命题( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)令f′(x)>0x>2x<0令f′(x)<006．函数f(x)＝x＋极值情况( )
A．x＝1时极值2极值
B．x＝－1时极值－2极值
C．x＝－1时极值－2x＝1时极值2
D．x＝－1时极值－2x＝1时极值2
[答案] D
[解析] f′(x)＝1－令f′(x)＝0x＝±1
函数f(x)区间(－∞－1)(1＋∞)单调递增(－10)(01)单调递减
∴x＝－1时取极值－2x＝1时取极值2
7．函数f(x)定义域开区间(ab)导函数f′(x)(ab)图象图示函数f(x)开区间(ab)极值点( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] f′(x)图象知函数f(x)区间(ab)先增减增减函数f(x)区间(ab)极值点．
8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)函数y极值情况( )
A．极值
B．极值
C．极值极值
D．极值
[答案] D
[解析] ∵y′＝1－(x2＋1)′
＝1－＝
令y′＝0x＝1x>1时y′>0
x<1时y′>0
∴函数极值应选D
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx图象x轴切(10)点函数f(x)极值( )
A．极值极值0
B．极值0极值
C．极值0极值－
D．极值－极值0
[答案] A
[解析] 题意f(1)＝0∴p＋q＝1①
f′(1)＝0∴2p＋q＝3②
①②p＝2q＝－1
∴f(x)＝x3－2x2＋xf′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)
令f′(x)＝0x＝x＝1极值f＝极值f(1)＝0
10．列函数中x＝0极值点( )
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝
[答案] B
[解析] y＝cos2x＝y′＝－sin2x
x＝0y′＝0根x＝0附y′左正右负
∴x＝0函数极值点．
二填空题
11．函数y＝极值______极值______．
[答案] 1 －1
[解析] y′＝
令y′>0－11x<－1
∴x＝－1时取极值－1x＝1时取极值1
12．函数y＝x3－6x＋a极值____________极值____________．
[答案] a＋4 a－4
[解析] y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)
令y′>0x>x<－
令y′<0－∴x＝－时取极值a＋4
x＝时取极值a－4
13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27x＝－1处极值x＝3处极值a＝______b＝________
[答案] －3 －9
[解析] y′＝3x2＋2ax＋b方程y′＝0根－13韦达定理应
14．已知函数f(x)＝x3－3x图象直线y＝a相异三公点a取值范围________．
[答案] (－22)
[解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0x＝±1
极值f(－1)＝2极值f(1)＝－2
y＝f(x)致图象图
观察图象－2三解答题
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11
(1)写出函数f(x)递减区间
(2)讨函数f(x)极值极值试写出极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)
令f′(x)＝0x1＝－1x2＝3
x变化时f′(x)符号变化情况f(x)增减性表示：
x
(－∞－1)
－1
(－13)
3
(3＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极值
f(－1)
减
极值
f(3)
增
(1)表函数递减区间(－13)
(2)表x＝－1时函数极值f(－1)＝16x＝3时函数极值f(3)＝－16
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cxx＝1x＝－1处极值f(1)＝－1求abc值求出相应极值．
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
∵x＝±1函数极值点∴－11方程f′(x)＝0根
f(1)＝－1a＋b＋c＝－1
时函数表达式f(x)＝x3－x
∴f′(x)＝x2－
令f′(x)＝0x＝±1
x变化时f′(x)f(x)变化情况表：
x
(－∞－1)
－1
(－11)
1
(1＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极
值1
极
值－1
表出x＝－1时函数极值1x＝1时函数极值－1
17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3xx＝±1处取极值．
(1)讨f(1)f(－1)函数f(x)极值极值
(2)点A(016)作曲线y＝f(x)切线求切线方程．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3题意
f′(1)＝f′(－1)＝0
解a＝1b＝0
∴f(x)＝x3－3x
f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0x1＝－1x2＝1
x∈(－∞－1)∪(1＋∞)f′(x)＞0
f(x)(－∞－1)增函数
f(x)(1＋∞)增函数．
x∈(－11)f′(x)＜0
f(x)(－11)减函数．
∴f(－1)＝2极值f(1)＝－2极值．
(2)曲线方程y＝x3－3x点A(016)曲线．
设切点M(x0y0)点M坐标满足y0＝x－3x0
∵f′(x0)＝3(x－1)切线方程
y－y0＝3(x－1)(x－x0)．
注意点A(016)切线
16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．
化简x＝－8解x0＝－2
∴切点M(－2－2)
切线方程9x－y＋16＝0
18．(2010·北京文18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)方程f′(x)－9x＝0两根分14
(1)a＝3曲线y＝f(x)原点时求f(x)解析式
(2)f(x)(－∞＋∞)极值点求a取值范围．
[解析] 题考查函数导函数综合应．
f(x)＝x3＋bx2＋cx＋df′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0两根14
(1)a＝3时(*)式
解b＝－3c＝12
∵曲线y＝f(x)原点∴d＝0
f(x)＝x3－3x2＋12x
(2)a>0f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(－∞＋∞)极值点等价f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0(－∞＋∞)恒成立
(*)式2b＝9－5ac＝4a
∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解a∈[19]
a取值范围[19]．
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选择题
1．已知函数f(x)点x0处连续列命题中正确( )
A．导数零点定极值点
B．果点x0附左侧f′(x)>0右侧f′(x)<0f(x0)极值
C．果点x0附左侧f′(x)>0右侧f′(x)<0f(x0)极值
D．果点x0附左侧f′(x)<0右侧f′(x)>0f(x0)极值
[答案] C
[解析] 导数0点定极值点例f(x)＝x3f′(x)＝3x2f′(0)＝0x＝0f(x)极值点A错极值定义知C正确应选C
2．函数y＝1＋3x－x3( )
A．极值－2极值2
B．极值－2极值3
C．极值－1极值1
D．极值－1极值3
[答案] D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0解x1＝－1x2＝1
x<－1时y′<0函数y＝1＋3x－x3减函数
－1
x>1时y′<0函数y＝1＋3x－x3减函数
∴x＝－1时函数极值y极＝－1
x＝1时函数极值y极＝3
3．设x0f(x)极值点列说法正确( )
A．必f′(x0)＝0
B．f′(x0)存
C．f′(x0)＝0f′(x0)存
D．f′(x0)存0
[答案] C
[解析] ：y＝|x|x＝0时取极值f′(0)存．
4．导函数点两侧导数值异号点极值( )
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
[答案] C
[解析] 点导数值0两侧导数值异号充条件．
5．函数f(x)＝x3－3x2出命题：
①f(x)增函数极值
②f(x)减函数极值
③f(x)递增区间(－∞0)(2＋∞)递减区间(02)
④f(0)＝0极值f(2)＝－4极值．
中正确命题( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)令f′(x)>0x>2x<0令f′(x)<00
A．x＝1时极值2极值
B．x＝－1时极值－2极值
C．x＝－1时极值－2x＝1时极值2
D．x＝－1时极值－2x＝1时极值2
[答案] D
[解析] f′(x)＝1－令f′(x)＝0x＝±1
函数f(x)区间(－∞－1)(1＋∞)单调递增(－10)(01)单调递减
∴x＝－1时取极值－2x＝1时取极值2
7．函数f(x)定义域开区间(ab)导函数f′(x)(ab)图象图示函数f(x)开区间(ab)极值点( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] f′(x)图象知函数f(x)区间(ab)先增减增减函数f(x)区间(ab)极值点．
8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)函数y极值情况( )
A．极值
B．极值
C．极值极值
D．极值
[答案] D
[解析] ∵y′＝1－(x2＋1)′
＝1－＝
令y′＝0x＝1x>1时y′>0
x<1时y′>0
∴函数极值应选D
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx图象x轴切(10)点函数f(x)极值( )
A．极值极值0
B．极值0极值
C．极值0极值－
D．极值－极值0
[答案] A
[解析] 题意f(1)＝0∴p＋q＝1①
f′(1)＝0∴2p＋q＝3②
①②p＝2q＝－1
∴f(x)＝x3－2x2＋xf′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)
令f′(x)＝0x＝x＝1极值f＝极值f(1)＝0
10．列函数中x＝0极值点( )
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝
[答案] B
[解析] y＝cos2x＝y′＝－sin2x
x＝0y′＝0根x＝0附y′左正右负
∴x＝0函数极值点．
二填空题
11．函数y＝极值______极值______．
[答案] 1 －1
[解析] y′＝
令y′>0－1
∴x＝－1时取极值－1x＝1时取极值1
12．函数y＝x3－6x＋a极值____________极值____________．
[答案] a＋4 a－4
[解析] y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)
令y′>0x>x<－
令y′<0－
x＝时取极值a－4
13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27x＝－1处极值x＝3处极值a＝______b＝________
[答案] －3 －9
[解析] y′＝3x2＋2ax＋b方程y′＝0根－13韦达定理应
14．已知函数f(x)＝x3－3x图象直线y＝a相异三公点a取值范围________．
[答案] (－22)
[解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0x＝±1
极值f(－1)＝2极值f(1)＝－2
y＝f(x)致图象图
观察图象－2
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11
(1)写出函数f(x)递减区间
(2)讨函数f(x)极值极值试写出极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)
令f′(x)＝0x1＝－1x2＝3
x变化时f′(x)符号变化情况f(x)增减性表示：
x
(－∞－1)
－1
(－13)
3
(3＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极值
f(－1)
减
极值
f(3)
增
(1)表函数递减区间(－13)
(2)表x＝－1时函数极值f(－1)＝16x＝3时函数极值f(3)＝－16
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cxx＝1x＝－1处极值f(1)＝－1求abc值求出相应极值．
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
∵x＝±1函数极值点∴－11方程f′(x)＝0根
f(1)＝－1a＋b＋c＝－1
时函数表达式f(x)＝x3－x
∴f′(x)＝x2－
令f′(x)＝0x＝±1
x变化时f′(x)f(x)变化情况表：
x
(－∞－1)
－1
(－11)
1
(1＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极
值1
极
值－1
表出x＝－1时函数极值1x＝1时函数极值－1
17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3xx＝±1处取极值．
(1)讨f(1)f(－1)函数f(x)极值极值
(2)点A(016)作曲线y＝f(x)切线求切线方程．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3题意
f′(1)＝f′(－1)＝0
解a＝1b＝0
∴f(x)＝x3－3x
f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0x1＝－1x2＝1
x∈(－∞－1)∪(1＋∞)f′(x)＞0
f(x)(－∞－1)增函数
f(x)(1＋∞)增函数．
x∈(－11)f′(x)＜0
f(x)(－11)减函数．
∴f(－1)＝2极值f(1)＝－2极值．
(2)曲线方程y＝x3－3x点A(016)曲线．
设切点M(x0y0)点M坐标满足y0＝x－3x0
∵f′(x0)＝3(x－1)切线方程
y－y0＝3(x－1)(x－x0)．
注意点A(016)切线
16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．
化简x＝－8解x0＝－2
∴切点M(－2－2)
切线方程9x－y＋16＝0
18．(2010·北京文18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)方程f′(x)－9x＝0两根分14
(1)a＝3曲线y＝f(x)原点时求f(x)解析式
(2)f(x)(－∞＋∞)极值点求a取值范围．
[解析] 题考查函数导函数综合应．
f(x)＝x3＋bx2＋cx＋df′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0两根14
(1)a＝3时(*)式
解b＝－3c＝12
∵曲线y＝f(x)原点∴d＝0
f(x)＝x3－3x2＋12x
(2)a>0f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(－∞＋∞)极值点等价f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0(－∞＋∞)恒成立
(*)式2b＝9－5ac＝4a
∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解a∈[19]
a取值范围[19]．
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