单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
选择题(题5分60分)
1．(2021·玉林高二检测)列表述正确( )
①纳推理部分整体推理
②纳推理般般推理
③演绎推理般特殊推理
④类推理特殊般推理
⑤类推理特殊特殊推理．
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
解析选C谓纳推理性知识推出般性结推理①②错谓演绎推理般特殊推理③类推理根两两类象部分属性相推出属性相推理④错⑤．
2．诗歌种抒情言志文学体裁高度凝练语言形象表达作者丰富情感诗歌反映数量关系联系规律常常数学问题算法理编成朗朗口诗歌词赋抽象理性数学问题诗词化诗歌：十里长街闹盈盈庆祝祖国万象新佳节礼花破长空长街灯笼胜繁星七七数时余两八数恰零三数时剩两盏灯笼盏放光明诗歌中长街灯笼少盏( )
A．70 B．128 C．140 D．150
解析选B七七数时余两知灯笼数7余2ACD错．
3．△ABC中EF分ABAC中点EF∥BC问题前提( )
A．三角形中位线行第三边
B．三角形中位线等第三边半
C．EF中位线
D．EF∥BC
解析选A三段推理形式：前提：三角形中位线行第三边前提：EF△ABC中位线结：EF∥BC
4．观察列等式：＋＝2＋＝2
＋＝2＋＝2式成立规律般性等式( )
A．＋＝2 B．＋＝2
C．＋＝2 D．＋＝2
解析选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8
5．观察列式：3＝22×33＝32×33＝42×3…3＝92×3m＝( )
A．80 B．81 C．728 D．729
解析选C3＝22×3＝22×33＝32×3＝32×33＝42×3＝42×3…
3＝n2×3
3＝92×3＝92×3
m＝93－1＝729－1＝728
6．(2021·银川高二检测)说法中正确数( )
①反证法证明命题三角形角中钝角反设三角形三角中少钝角
②欲证等式－<－成立需证2<2
③数学纳法证明1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1n∈N＋验证n＝1成立时左边项1＋a＋a2
④然数整数0然数0整数．三段推理完全正确．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析选B命题三角形角中钝角反设三角形三角中少两钝角①错
欲证等式－<－成立－<－<0需证2>2②错
1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1n∈N＋n＝1时左边项1＋a＋a2③正确命题中前提：然数整数前提：0然数结：0整数中前提前提正确④正确．
7．面直角坐标系方程＋＝1表示xy轴截距分ab直线拓展空间直角坐标系xyz轴截距分abc(abc≠0)面方程( )
A．＋＋＝1 B．＋＋＝1
C．＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析选A面直角坐标系中方程＋＝1表示图形条直线具特定性质：x轴y轴截距分ab类空间坐标系中xyz轴截距分abc(abc≠0)面方程＋＋＝1
8．设xyz均正实数三数＋＋＋( )
A．2 B．2
C．2 D．少2
解析选D假设＋＋＋三数2＋＋＋＋＋<6＋＋＋＋＋＝＋＋≥6＋＋＋＋＋<6矛盾假设错误．
9．图示坐标纸单元格边长1六点：123456横坐标分应数列{an}(n∈N*)前12项表示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
规律a2 018＝( )
A．504 B．505 C．1 008 D．1 009
解析选Da2a4a6a8…组成数列恰应数列{yn}yn＝a2n＝na2 018＝y1 009＝1 009
10．定义R函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)f(x)(2＋∞)增函数．已知x1＋x2<4(x1－2)·(x2－2)<0f(x1)＋f(x2)值( )
A．恒0 B．恒0
C．等0 D．正负
解析选A妨设x1－2<0x2－2>0x1<2x2>22－f(4－x1)－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)f(x1)＋f(x2)<0
11．带路知识测验甲乙丙三成绩进行预测．
甲：成绩乙高．
乙：丙成绩甲高．
丙：成绩乙高．
成绩公布三成绩互相预测正确三成绩高低次序( )
A．甲乙丙 B．乙甲丙
C．丙乙甲 D．甲丙乙
解析选A(1)甲预测正确乙丙预测错误①甲成绩乙高②丙成绩高③丙成绩乙低．
①②③甲乙丙成绩高低序甲乙丙．
(2)乙预测正确甲丙预测错误①乙成绩甲高②丙成绩高③丙成绩乙低．
知②③相矛盾情况成立．
(3)丙预测正确甲乙预测错误①乙成绩甲高②丙成绩高③丙成绩乙高．
①③成绩高低序丙乙甲②相矛盾情况成立．
12．华罗庚世纪国伟数学家华氏命名数学科研成果华氏定理华氏等式华王方法等．数学理研究生产线力推广优选法统筹法．优选法指研究较少试验次数迅速找优方案种科学方法．前防疫取重进展时刻防范机场带境外输入某机场海关入境员进行检测时采优选法提高检测效率：16组抽取鼻咽拭子分泌物混合检查果阴性全部放行阳性该16次抽检确认感染者．某组16中恰感染(鼻咽拭子样检验会阳性)逐检测需15次确认感染者．现先16均分2组选中组8样混合检查阴性认定组阳性认定组．继续认定组8均分两组选中组4样混合检查……类推终16中认定名感染者需( )次检测．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析选B第次：16分两组组8果第组检测结果阳性放行第二组留第组继续检测果第组检测结果阴性放行第组留第二组继续检测第二次：留8分两组组4果第组检测结果阳性放行第二组留第组继续检测果第组检测结果阴性放行第组留第二组继续检测第三次：留4分两组组2果第组检测结果阳性放行第二组留第组继续检测果第组检测结果阴性放行第组留第二组继续检测第四次：留2分两组组1果第检测结果阳性第2没感染．果第组检测结果阴性第2感染．综终16中认定名感染者需4次检测．
二填空题(题5分20分)
13．观察列等式：13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102根述规律13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．
解析等式左边底数次分121231234右边底数次分3610底数规律知：第五等式左边底数123456右边底数10＋5＋6＝21左边立方右边方形式13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
答案：212
14．(2021·北海高二检测)然数立方分裂成干连续奇数．例：233343分分裂成234连续奇数23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19…1003规律进行分裂1003分裂出奇数中奇数________．
解析23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19
3＝2×1＋17＝3×2＋113＝4×3＋1m3分裂出奇数中奇数m(m－1)＋1
1003分裂出奇数中奇数100×99＋1＝9 901
答案：9 901
15．已知等差数列{an}前n项Sn＝类项均正数等数列{bn}前n项积Tn＝________(nb1bn表示)
解析等差数列中求类等数列中求积知项均正数等数列{bn}前n项积Tn＝．
答案：
16．函数y＝f(x)定义域存两实数mn(m解析函数定义域x≥－2f(x)＝k＋定义域单调增函数x∈[mn]时f(m)≤f(x)≤f(n)转化方程k＋＝xx∈[－2＋∞)两相异实根k＝x－令t＝x＝t2－2k＝t2－t－2(t≥0)图(图略)知－答案：
三解答题(70分)
17．(10分)已知a＞b＞ca＋b＋c＝0求证：＜
证明a＞b＞ca＋b＋c＝0a＞0c＜0证明原等式成立需证明＜a
证b2－ac＜3a2需证明(a＋c)2－ac＜3a2
(a－c)(2a＋c)＞0
a－c＞02a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0
(a－c)(2a＋c)＞0成立原等式成立．
18．(12分)设数列{an}公q等数列Sn前n项．
(1)求证：数列{Sn}等数列
(2)数列{Sn}等差数列？什？
解析(1)假设数列{Sn}等数列S＝S1S3
a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)
a1≠0(1＋q)2＝1＋q＋q2
q＝0公q≠0矛盾
数列{Sn}等数列．
(2)q＝1时Sn＝na1{Sn}等差数列q≠1时{Sn}等差数列否2S2＝S1＋S32a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)q＝0公q≠0矛盾．
19．(12分)(2021·柳州高二检测)(1)n≥0时试分析法证明：－<－
(2)已知x∈Ra＝x2－1b＝2x＋2求证：ab中少0
解析(1)证－<－
证＋<2
证2<2
证2n＋2＋2<4n＋4
证－<－成立
(2)假设a<0b<0
a＝x2－1<0－1ab中少0
20．(12分)(2020·浙江高考)已知1(1)证明：函数y＝f(x)(0＋∞)唯零点
(2)记x0函数y＝f(x)(0＋∞)零点证明：
①≤x0≤
②x0f()≥(e－1)(a－1)a
解析(1)x∈(0＋∞)时f′(x)＝ex－1>0f(x)(0＋∞)单调递增f(0)＝1－a<0 f(2)＝e2－2－a≥e2－4>0f(0)f(2)<0
y＝f(x)(0＋∞)唯零点．
(2)①f(x)单调递增1f(1)＝e－1－2<0t>1右边：x≥0时ex≥1＋x＋x2－x0－a＝0a≥1＋x⇒x0≤左边：证明x≥a－1＝－x0－1需证明－x－x0－1≤0
记h(x)＝ ex－1－x－x2(0≤x≤t)h′(x)＝ex－1－2xh″(x)＝ex－2h′(x)(0ln 2)单调递减(ln 2＋∞)单调递增．h′(x)＝ex－1－2x≤max{h′(0)h′(t)}＝0
h(x)0≤x≤t单调递减．h(x)＝ex－1－x－x2≤h(0)＝0证．
②证明x0f(ex0)≥(e－1)(a－1)a需证：x0f(x0＋a)≥(e－1)(a－1)a
(xf(x＋a))′＝ f(x＋a)＋xf′(x＋a)>f(x＋a)>f(a)＝ea－2a≥1－a＋>0
x0f(x0＋a)≥f(＋a)需证明：
f(＋a)≥(e－1)a
－－2a≥(e－1)a
ex≥1＋x＋x2需证：1＋(＋a)2－a≥(e－1)a⇔a2－()2－2(e－2)a·≥0需证－≥2(e－2)
＝＋∈[2＋∞)－≥2－＝≥2(e－2)
综述证．
21．(12分)图DC⊥面ABCEB∥DCAC＝BC＝EB＝2DC＝2∠ACB＝120°PQ分AEAB中点．
(1)证明：PQ∥面ACD
(2)求AD面ABE成角正弦值
解析(1)PQ分AEAB中点
PQ∥EBDC∥EB
PQ∥DCPQ⊄面ACD
DC⊂面ACDPQ∥面ACD
(2)图连接CQDP
QAB中点AC＝BC
CQ⊥AB
DC⊥面ABCEB∥DC
EB⊥面ABC
CQ⊥EBEB∩AB＝B
CQ⊥面ABE
(1)知PQ∥DCPQ＝EB＝DC
四边形CQPD行四边形．
DP⊥面ABE
∠DAPAD面ABE成角．
Rt△DAP中AD＝DP＝1
sin ∠DAP＝
AD面ABE成角正弦值
22．(12分)已知项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n
(1)求f(1)f(－1)值
(2)试探求切整数nf(n)否定整数？证明结．
解析(1)f＝n5＋n4＋n3－n
f(1)＝1f(－1)＝0
(2)切整数nf(n)定整数．证明：
(10)先数学纳法证明：切正整数nf(n)整数．
①n＝1时f(1)＝1结成立
②假设n＝k(k≥1k∈N*)时结成立
f＝k5＋k4＋k3－k整数
n＝k＋1时f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)
＝＋
＋－(k＋1)
＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
根假设f(k)整数k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然整数f(k＋1)整数n＝k＋1时结成立．
①②知切正整数nf(n)整数．
(20)n＝0时f(0)＝0整数．
(30)n负整数时令n＝－mm正整数
(10)f(m)整数
f＝f＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－
＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4整数．
综切整数nf(n)定整数．
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(120分钟 150分)
选择题(题5分60分)
1．(2021·玉林高二检测)列表述正确( )
①纳推理部分整体推理
②纳推理般般推理
③演绎推理般特殊推理
④类推理特殊般推理
⑤类推理特殊特殊推理．
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
解析选C谓纳推理性知识推出般性结推理①②错谓演绎推理般特殊推理③类推理根两两类象部分属性相推出属性相推理④错⑤．
2．诗歌种抒情言志文学体裁高度凝练语言形象表达作者丰富情感诗歌反映数量关系联系规律常常数学问题算法理编成朗朗口诗歌词赋抽象理性数学问题诗词化诗歌：十里长街闹盈盈庆祝祖国万象新佳节礼花破长空长街灯笼胜繁星七七数时余两八数恰零三数时剩两盏灯笼盏放光明诗歌中长街灯笼少盏( )
A．70 B．128 C．140 D．150
解析选B七七数时余两知灯笼数7余2ACD错．
3．△ABC中EF分ABAC中点EF∥BC问题前提( )
A．三角形中位线行第三边
B．三角形中位线等第三边半
C．EF中位线
D．EF∥BC
解析选A三段推理形式：前提：三角形中位线行第三边前提：EF△ABC中位线结：EF∥BC
4．观察列等式：＋＝2＋＝2
＋＝2＋＝2式成立规律般性等式( )
A．＋＝2 B．＋＝2
C．＋＝2 D．＋＝2
解析选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8
5．观察列式：3＝22×33＝32×33＝42×3…3＝92×3m＝( )
A．80 B．81 C．728 D．729
解析选C3＝22×3＝22×33＝32×3＝32×33＝42×3＝42×3…
3＝n2×3
3＝92×3＝92×3
m＝93－1＝729－1＝728
6．(2021·银川高二检测)说法中正确数( )
①反证法证明命题三角形角中钝角反设三角形三角中少钝角
②欲证等式－<－成立需证2<2
③数学纳法证明1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1n∈N＋验证n＝1成立时左边项1＋a＋a2
④然数整数0然数0整数．三段推理完全正确．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析选B命题三角形角中钝角反设三角形三角中少两钝角①错
欲证等式－<－成立－<－<0需证2>2②错
1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1n∈N＋n＝1时左边项1＋a＋a2③正确命题中前提：然数整数前提：0然数结：0整数中前提前提正确④正确．
7．面直角坐标系方程＋＝1表示xy轴截距分ab直线拓展空间直角坐标系xyz轴截距分abc(abc≠0)面方程( )
A．＋＋＝1 B．＋＋＝1
C．＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析选A面直角坐标系中方程＋＝1表示图形条直线具特定性质：x轴y轴截距分ab类空间坐标系中xyz轴截距分abc(abc≠0)面方程＋＋＝1
8．设xyz均正实数三数＋＋＋( )
A．2 B．2
C．2 D．少2
解析选D假设＋＋＋三数2＋＋＋＋＋<6＋＋＋＋＋＝＋＋≥6＋＋＋＋＋<6矛盾假设错误．
9．图示坐标纸单元格边长1六点：123456横坐标分应数列{an}(n∈N*)前12项表示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
规律a2 018＝( )
A．504 B．505 C．1 008 D．1 009
解析选Da2a4a6a8…组成数列恰应数列{yn}yn＝a2n＝na2 018＝y1 009＝1 009
10．定义R函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)f(x)(2＋∞)增函数．已知x1＋x2<4(x1－2)·(x2－2)<0f(x1)＋f(x2)值( )
A．恒0 B．恒0
C．等0 D．正负
解析选A妨设x1－2<0x2－2>0x1<2x2>22
11．带路知识测验甲乙丙三成绩进行预测．
甲：成绩乙高．
乙：丙成绩甲高．
丙：成绩乙高．
成绩公布三成绩互相预测正确三成绩高低次序( )
A．甲乙丙 B．乙甲丙
C．丙乙甲 D．甲丙乙
解析选A(1)甲预测正确乙丙预测错误①甲成绩乙高②丙成绩高③丙成绩乙低．
①②③甲乙丙成绩高低序甲乙丙．
(2)乙预测正确甲丙预测错误①乙成绩甲高②丙成绩高③丙成绩乙低．
知②③相矛盾情况成立．
(3)丙预测正确甲乙预测错误①乙成绩甲高②丙成绩高③丙成绩乙高．
①③成绩高低序丙乙甲②相矛盾情况成立．
12．华罗庚世纪国伟数学家华氏命名数学科研成果华氏定理华氏等式华王方法等．数学理研究生产线力推广优选法统筹法．优选法指研究较少试验次数迅速找优方案种科学方法．前防疫取重进展时刻防范机场带境外输入某机场海关入境员进行检测时采优选法提高检测效率：16组抽取鼻咽拭子分泌物混合检查果阴性全部放行阳性该16次抽检确认感染者．某组16中恰感染(鼻咽拭子样检验会阳性)逐检测需15次确认感染者．现先16均分2组选中组8样混合检查阴性认定组阳性认定组．继续认定组8均分两组选中组4样混合检查……类推终16中认定名感染者需( )次检测．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析选B第次：16分两组组8果第组检测结果阳性放行第二组留第组继续检测果第组检测结果阴性放行第组留第二组继续检测第二次：留8分两组组4果第组检测结果阳性放行第二组留第组继续检测果第组检测结果阴性放行第组留第二组继续检测第三次：留4分两组组2果第组检测结果阳性放行第二组留第组继续检测果第组检测结果阴性放行第组留第二组继续检测第四次：留2分两组组1果第检测结果阳性第2没感染．果第组检测结果阴性第2感染．综终16中认定名感染者需4次检测．
二填空题(题5分20分)
13．观察列等式：13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102根述规律13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．
解析等式左边底数次分121231234右边底数次分3610底数规律知：第五等式左边底数123456右边底数10＋5＋6＝21左边立方右边方形式13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
答案：212
14．(2021·北海高二检测)然数立方分裂成干连续奇数．例：233343分分裂成234连续奇数23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19…1003规律进行分裂1003分裂出奇数中奇数________．
解析23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19
3＝2×1＋17＝3×2＋113＝4×3＋1m3分裂出奇数中奇数m(m－1)＋1
1003分裂出奇数中奇数100×99＋1＝9 901
答案：9 901
15．已知等差数列{an}前n项Sn＝类项均正数等数列{bn}前n项积Tn＝________(nb1bn表示)
解析等差数列中求类等数列中求积知项均正数等数列{bn}前n项积Tn＝．
答案：
16．函数y＝f(x)定义域存两实数mn(m
三解答题(70分)
17．(10分)已知a＞b＞ca＋b＋c＝0求证：＜
证明a＞b＞ca＋b＋c＝0a＞0c＜0证明原等式成立需证明＜a
证b2－ac＜3a2需证明(a＋c)2－ac＜3a2
(a－c)(2a＋c)＞0
a－c＞02a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0
(a－c)(2a＋c)＞0成立原等式成立．
18．(12分)设数列{an}公q等数列Sn前n项．
(1)求证：数列{Sn}等数列
(2)数列{Sn}等差数列？什？
解析(1)假设数列{Sn}等数列S＝S1S3
a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)
a1≠0(1＋q)2＝1＋q＋q2
q＝0公q≠0矛盾
数列{Sn}等数列．
(2)q＝1时Sn＝na1{Sn}等差数列q≠1时{Sn}等差数列否2S2＝S1＋S32a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)q＝0公q≠0矛盾．
19．(12分)(2021·柳州高二检测)(1)n≥0时试分析法证明：－<－
(2)已知x∈Ra＝x2－1b＝2x＋2求证：ab中少0
解析(1)证－<－
证＋<2
证2<2
证2n＋2＋2<4n＋4
证
(2)假设a<0b<0
a＝x2－1<0－1
20．(12分)(2020·浙江高考)已知1
(2)记x0函数y＝f(x)(0＋∞)零点证明：
①≤x0≤
②x0f()≥(e－1)(a－1)a
解析(1)x∈(0＋∞)时f′(x)＝ex－1>0f(x)(0＋∞)单调递增f(0)＝1－a<0 f(2)＝e2－2－a≥e2－4>0f(0)f(2)<0
y＝f(x)(0＋∞)唯零点．
(2)①f(x)单调递增1
记h(x)＝ ex－1－x－x2(0≤x≤t)h′(x)＝ex－1－2xh″(x)＝ex－2h′(x)(0ln 2)单调递减(ln 2＋∞)单调递增．h′(x)＝ex－1－2x≤max{h′(0)h′(t)}＝0
h(x)0≤x≤t单调递减．h(x)＝ex－1－x－x2≤h(0)＝0证．
②证明x0f(ex0)≥(e－1)(a－1)a需证：x0f(x0＋a)≥(e－1)(a－1)a
(xf(x＋a))′＝ f(x＋a)＋xf′(x＋a)>f(x＋a)>f(a)＝ea－2a≥1－a＋>0
x0f(x0＋a)≥f(＋a)需证明：
f(＋a)≥(e－1)a
－－2a≥(e－1)a
ex≥1＋x＋x2需证：1＋(＋a)2－a≥(e－1)a⇔a2－()2－2(e－2)a·≥0需证－≥2(e－2)
＝＋∈[2＋∞)－≥2－＝≥2(e－2)
综述证．
21．(12分)图DC⊥面ABCEB∥DCAC＝BC＝EB＝2DC＝2∠ACB＝120°PQ分AEAB中点．
(1)证明：PQ∥面ACD
(2)求AD面ABE成角正弦值
解析(1)PQ分AEAB中点
PQ∥EBDC∥EB
PQ∥DCPQ⊄面ACD
DC⊂面ACDPQ∥面ACD
(2)图连接CQDP
QAB中点AC＝BC
CQ⊥AB
DC⊥面ABCEB∥DC
EB⊥面ABC
CQ⊥EBEB∩AB＝B
CQ⊥面ABE
(1)知PQ∥DCPQ＝EB＝DC
四边形CQPD行四边形．
DP⊥面ABE
∠DAPAD面ABE成角．
Rt△DAP中AD＝DP＝1
sin ∠DAP＝
AD面ABE成角正弦值
22．(12分)已知项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n
(1)求f(1)f(－1)值
(2)试探求切整数nf(n)否定整数？证明结．
解析(1)f＝n5＋n4＋n3－n
f(1)＝1f(－1)＝0
(2)切整数nf(n)定整数．证明：
(10)先数学纳法证明：切正整数nf(n)整数．
①n＝1时f(1)＝1结成立
②假设n＝k(k≥1k∈N*)时结成立
f＝k5＋k4＋k3－k整数
n＝k＋1时f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)
＝＋
＋－(k＋1)
＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
根假设f(k)整数k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然整数f(k＋1)整数n＝k＋1时结成立．
①②知切正整数nf(n)整数．
(20)n＝0时f(0)＝0整数．
(30)n负整数时令n＝－mm正整数
(10)f(m)整数
f＝f＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－
＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4整数．
综切整数nf(n)定整数．
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