选修22 12 第1课时 常函数导数
选择题
1．列结正确( )
A．y＝0y′＝0
B．y＝5xy′＝5
C．y＝x－1y′＝－x－2
[答案] D
2．函数f(x)＝f′(1)等( )
A．0 B．－
C．2 D
[答案] D
[解析] f′(x)＝()′＝
f′(1)＝＝应选D
3．抛物线y＝x2点(21)处切线方程( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x2
∴f′(2)＝li ＝li ＝1
∴切线方程y－1＝x－2x－y－1＝0
4．已知f(x)＝x3f′(2)＝( )
A．0 B．3x2
C．8 D．12
[答案] D
[解析] f′(2)＝
＝ ＝ (6Δx＋12)＝12选D
5．已知f(x)＝xαf′(－1)＝－2α值等( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] α＝2f(x)＝x2
∴f′(x)＝2x∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．应选A
6．函数y＝(x＋1)2(x－1)x＝1处导数等( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ∵y＝x3＋x2－x－1
∴＝
＝4＋4Δx＋(Δx)2
∴y′|x＝1＝li ＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4
应选D
7．曲线y＝x2点P处切线斜率kk＝2时P点坐标( )
A．(－2－8) B．(－1－1)
C．(11) D
[答案] C
[解析] 设点P坐标(x0y0)
∵y＝x2∴y′＝2x∴k＝＝2x0＝2
∴x0＝1∴y0＝x＝1P(11)应选C
8．已知f(x)＝f′(1)x2f′(0)等( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝f′(1)x2∴f′(x)＝2f′(1)x∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0应选A
9．曲线y＝点P(00)切线方程( )
A．y＝－x B．x＝0
C．y＝0 D．存
[答案] B
[解析] ∵y＝
∴Δy＝－
＝
＝
∴＝
∴曲线P(00)处切线斜率存
∴切线方程x＝0
10．质点作直线运动方程s＝质点t＝3时速度( )
A B
C D
[答案] A
[解析] Δs＝－＝
＝
＝
∴li ＝＝
∴s′(3)＝ 应选A
二填空题
11．y＝x表示路程关时间函数y′＝1解释________．
[答案] 某物体做瞬时速度1匀速运动
[解析] 导数物理意义知：y′＝1表示某物体做瞬时速度1匀速运动．
12．曲线y＝x2某切线直线y＝4x＋6行切点坐标________．
[答案] (24)
[解析] 设切点坐标(x0x)
y′＝2x切线斜率k＝2x0切线y＝4x＋6行2x0＝4解x0＝2切点(24)．
13．抛物线y＝x2点A切线斜率______________．
[答案]
[解析] ∵y＝x2∴y′＝x
∴k＝×2＝
14．(2010·江苏8)函数y＝x2(x>0)图点(aka)处切线x轴交点横坐标ak＋1中k∈N*a1＝16a1＋a3＋a5值________．
[答案] 21
[解析] ∵y′＝2x∴点(aka)切线方程y－a＝2ak(x－ak)该切线x轴交点(ak＋10)ak＋1＝ak数列{ak}等数列首项a1＝16公q＝∴a3＝4a5＝1∴a1＋a3＋a5＝21
三解答题
15．点P(－20)作曲线y＝切线求切线方程．
[解析] 点P曲线y＝
设切点Q(x0)∵y′＝
∴点Q切线斜率：＝∴x0＝2
∴切线方程：y－＝(x－2)
：x－2y＋2＝0
16．质点运动方程s＝求质点第秒速度－
[解析] ∵s＝
∴Δs＝－
＝＝
∴li ＝＝－∴－＝－∴t＝4
质点第4秒速度－
17．已知曲线y＝
(1)求曲线点P(11)处切线方程
(2)求曲线点Q(10)处切线方程
(3)求满足斜率－曲线切线方程．
[解析] ∵y＝∴y′＝－
(1)显然P(11)曲线点．P切点求切线斜率函数y＝P(11)点导数．
k＝f′(1)＝－1
曲线P(11)处切线方程
y－1＝－(x－1)y＝－x＋2
(2)显然Q(10)曲线y＝．
设该点切线切点A
该切线斜率k＝f′(a)＝
切线方程y－＝－(x－a)．①
Q(10)坐标代入方程：0－＝(1－a)．
解a＝代回方程①整理：
切线方程y＝－4x＋4
(3)设切点坐标A切线斜率k＝－＝－解a＝±AA′代入点斜式方程y－＝－(x－)y＋＝－(x＋)．整理切线方程y＝－x＋y＝－x－
18．求曲线y＝y＝x2交点处两条切线x轴围成三角形面积．
[解析] 两曲线方程联立解
∴y′＝－∴k1＝－1k2＝2x|x＝1＝2
∴两切线方程x＋y－2＝02x－y－1＝0围成图形图示．
∴S＝×1×＝
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选择题
1．列结正确( )
A．y＝0y′＝0
B．y＝5xy′＝5
C．y＝x－1y′＝－x－2
[答案] D
2．函数f(x)＝f′(1)等( )
A．0 B．－
C．2 D
[答案] D
[解析] f′(x)＝()′＝
f′(1)＝＝应选D
3．抛物线y＝x2点(21)处切线方程( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x2
∴f′(2)＝li ＝li ＝1
∴切线方程y－1＝x－2x－y－1＝0
4．已知f(x)＝x3f′(2)＝( )
A．0 B．3x2
C．8 D．12
[答案] D
[解析] f′(2)＝
＝ ＝ (6Δx＋12)＝12选D
5．已知f(x)＝xαf′(－1)＝－2α值等( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] α＝2f(x)＝x2
∴f′(x)＝2x∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．应选A
6．函数y＝(x＋1)2(x－1)x＝1处导数等( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ∵y＝x3＋x2－x－1
∴＝
＝4＋4Δx＋(Δx)2
∴y′|x＝1＝li ＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4
应选D
7．曲线y＝x2点P处切线斜率kk＝2时P点坐标( )
A．(－2－8) B．(－1－1)
C．(11) D
[答案] C
[解析] 设点P坐标(x0y0)
∵y＝x2∴y′＝2x∴k＝＝2x0＝2
∴x0＝1∴y0＝x＝1P(11)应选C
8．已知f(x)＝f′(1)x2f′(0)等( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝f′(1)x2∴f′(x)＝2f′(1)x∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0应选A
9．曲线y＝点P(00)切线方程( )
A．y＝－x B．x＝0
C．y＝0 D．存
[答案] B
[解析] ∵y＝
∴Δy＝－
＝
＝
∴＝
∴曲线P(00)处切线斜率存
∴切线方程x＝0
10．质点作直线运动方程s＝质点t＝3时速度( )
A B
C D
[答案] A
[解析] Δs＝－＝
＝
＝
∴li ＝＝
∴s′(3)＝ 应选A
二填空题
11．y＝x表示路程关时间函数y′＝1解释________．
[答案] 某物体做瞬时速度1匀速运动
[解析] 导数物理意义知：y′＝1表示某物体做瞬时速度1匀速运动．
12．曲线y＝x2某切线直线y＝4x＋6行切点坐标________．
[答案] (24)
[解析] 设切点坐标(x0x)
y′＝2x切线斜率k＝2x0切线y＝4x＋6行2x0＝4解x0＝2切点(24)．
13．抛物线y＝x2点A切线斜率______________．
[答案]
[解析] ∵y＝x2∴y′＝x
∴k＝×2＝
14．(2010·江苏8)函数y＝x2(x>0)图点(aka)处切线x轴交点横坐标ak＋1中k∈N*a1＝16a1＋a3＋a5值________．
[答案] 21
[解析] ∵y′＝2x∴点(aka)切线方程y－a＝2ak(x－ak)该切线x轴交点(ak＋10)ak＋1＝ak数列{ak}等数列首项a1＝16公q＝∴a3＝4a5＝1∴a1＋a3＋a5＝21
三解答题
15．点P(－20)作曲线y＝切线求切线方程．
[解析] 点P曲线y＝
设切点Q(x0)∵y′＝
∴点Q切线斜率：＝∴x0＝2
∴切线方程：y－＝(x－2)
：x－2y＋2＝0
16．质点运动方程s＝求质点第秒速度－
[解析] ∵s＝
∴Δs＝－
＝＝
∴li ＝＝－∴－＝－∴t＝4
质点第4秒速度－
17．已知曲线y＝
(1)求曲线点P(11)处切线方程
(2)求曲线点Q(10)处切线方程
(3)求满足斜率－曲线切线方程．
[解析] ∵y＝∴y′＝－
(1)显然P(11)曲线点．P切点求切线斜率函数y＝P(11)点导数．
k＝f′(1)＝－1
曲线P(11)处切线方程
y－1＝－(x－1)y＝－x＋2
(2)显然Q(10)曲线y＝．
设该点切线切点A
该切线斜率k＝f′(a)＝
切线方程y－＝－(x－a)．①
Q(10)坐标代入方程：0－＝(1－a)．
解a＝代回方程①整理：
切线方程y＝－4x＋4
(3)设切点坐标A切线斜率k＝－＝－解a＝±AA′代入点斜式方程y－＝－(x－)y＋＝－(x＋)．整理切线方程y＝－x＋y＝－x－
18．求曲线y＝y＝x2交点处两条切线x轴围成三角形面积．
[解析] 两曲线方程联立解
∴y′＝－∴k1＝－1k2＝2x|x＝1＝2
∴两切线方程x＋y－2＝02x－y－1＝0围成图形图示．
∴S＝×1×＝
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