考点14 解三角形
考点分类
热点利正余弦定理三角形中求三角函数值求角求边长
12013年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）文中（ ）
（A） （B） （C） （D）
22013年普通高等学校统考试天津卷理科△ABC中 ( ) (A) (B) (C) (D)
32013年普通高等学校招生全国统考试（辽宁卷）理科角边长分（ ）
A． B． C． D．
42013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）文科角边分（ ）
A B C D
52013年全国高考新课标（I）文科已知锐角角边分（ ）
（A） （B） （C） （D）
62013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理锐角中角边长分（ ）
A． B． C． D．
72013年普通高等学校招生全国统考试（安徽卷文科）设角边长分角（ ）
(A) (B)
(C) (D)
8．（2012年高考（天津理））中角边分已知
（ ）
A． B． C． D．
9．（2012年高考（陕西理））中角边长分
值（ ）
A． B． C． D．
10．（2012年高考（湖北文））设角边分三边长连续三正整数（ ）
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
112013年普通高等学校招生全国统考试福建卷理图中已知点边 长__ ___
122013年普通高等学校招生全国统考试（海卷）理已知△ABC角ABC应边分abc角C_______________（结果反三角函数值表示）
132013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理中中点________
14．（2012年高考（重庆文））设△角 边分
____
15．（2012年高考（北京理））△ABC中________
16．（2012年高考（湖北理））设△角边分 角_________
172013年普通高等学校统考试试题纲全国理科
设角ABC边分
（Ⅰ）求B
（Ⅱ）求C
182013年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）理
△ABC中a3b2∠B2∠A
(I)求cosA值
(II)求c值
192013年普通高等学校招生全国统考试（江西卷）文科
202013年普通高等学校招生全国统考试（四川卷）理科中角边分
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求量方投影
212013年普通高等学校统考试江苏数学试题图旅客某旅游区景点处山处两种
路径种直线步行种索道缆车然直线步行现甲
乙两位游客处山甲匀速步行速度 mmin甲出发2 min乙缆车
处停留1 min匀速步行 假设缆车匀速直线运动速度130 mmin山路长
1260 m 测量
（1）求索道长
（2）问乙出发少分钟乙缆车甲距离短？
（3）两位游客处互相等时间超3分钟乙步行速度应控制什范围？
222013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理
设角边分
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
232013年普通高等学校招生全国统考试(江西卷)理
△ABC中角ABC边分abc已知
（1）求角
（2）求取值范围
242013年全国高考新课标（I）理科
图△ABC中∠ABC＝90°ABBC1P△ABC点∠BPC＝90°
(1)PB求PA
(2)∠APB＝150°求tan∠PBA
A
B
C
P
25（2012年高考（安徽文））设角边
(Ⅰ)求角
(II) 中点求长
26．（2012年高考（课标文））已知分三角边
(Ⅰ)求
(Ⅱ)2面积求
27．（2012年高考（江苏））中已知
(1)求证
(2)求A值
28．（2012年高考（纲文））中角ABC成等差数列边满足求
29．（2012年高考（辽宁理））中角ABC边分abc角ABC成等差数列
(Ⅰ)求值
(Ⅱ)边abc成等数列求值
解：(1)已知
(2)解法正弦定理
方法总结
(1)已知两角边求第三角解样三角形需直接正弦定理代入求解．
(2)已知两边边角解三角形时利正弦定理求边角时注意讨该角解题难点应引起注意．
(3)熟练运余弦定理推时注意整体思想方程思想解题程中运．
热点二利正余弦定理判断三角形形状
302013年普通高等学校招生全国统考试（陕西卷）理设△ABC角A B C边分a b c △ABC形状 （ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 确定
31（2012年高考（海理））中形状（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．确定
方法总结
已知条件中边角关系判断三角形形状时两种方法：
1．利正余弦定理已知条件转化边边关系通式分解配方等出边相应关系判断三角形形状
2．利正余弦定理已知条件转化角三角函数间关系通三角函数恒等变形出角关系判断出三角形形状时注意应A＋B＋C＝π结．
热点三利正余弦定理求三角形面积
322013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷△ABC角ABC边分abc已知b2BC△ABC面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
332013年普通高等学校招生全国统考试（浙江卷）文科锐角△ABC中角边分
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ) 求△ABC面积
342013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷
△ABC角ABC边分abc已知abcosC+csinB
（Ⅰ）求B
（Ⅱ）b2求△ABC面积值
352013年普通高等学校招生全国统考试（福建卷）文科图等腰直角
中点线段
(Ⅰ) 求长
（Ⅱ）点线段问：取值时面积？求出面积值
时值时面积取值．2时面积值．
362013年普通高等学校招生全国统考试（湖北卷）文科
△中角应边分 已知
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）△面积求值
372013年普通高等学校招生全国统考试湖北卷理科
△中角应边分 已知
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）△面积求值
38（2012年高考（山东文））(题满分12分)
△ABC中角边分已知
(Ⅰ)求证成等数列
(Ⅱ)求△面积S
39（2012年高考（江西理））
△ABC中角ABC边分abc已知
(1)求证
(2)求△ABC面积
40．（2012年高考（浙江理））ABC中角ABC边分abc已知cosAsinBcosC
(Ⅰ)求tanC值
(Ⅱ)a求ABC面积
方法总结
1．利正弦定理实现三角形中边角关系转化
2．常两边夹角正弦值积半面积公式外
①S＝＝p·r(p周长半p＝
r切圆半径)②S＝(R外接圆半径)．
考点剖析
．明确求
1．考查余弦定理三角形面积公式考查方程思想运算力历年常考容[源学*科*网]
2．考查利正余弦定理判断三角形形状．
3．考查利正余弦定理解意三角形方法．
二．命题方
1．利正余弦定理求三角形中边角面积问题高考考查热点．
2常三角恒等变换相结合综合考查三角形中边角三角形形状判断等
三．规律总结
基础梳理
1．正弦定理：＝＝＝2R中R三角形外接圆半径．正弦定理变形：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
(2)a＝2Rsin_Ab＝2Rsin_Bc＝2Rsin_C
(3)sin A＝sin B＝sin C＝等形式解决三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_Ab2＝a2＋c2－2accos_Bc2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理变形：cos
A＝cos B＝cos C＝
3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R三角形外接圆半径r三角形切圆半径)计算Rr
4．已知两边中边角解三角形时注意解情况．已知abA
A锐角
A钝角直角
图形
关系
式
a＜bsin A
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b[源学科网ZXXK]
a＞b
a≤b
解
数
解
解
两解
解
解
解
条规律
三角形中角边边角角正弦值较正弦值较角较△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B
两类问题
解三角形时正弦定理解决两类问题：(1)已知两角边求边角(2)已知两边边角求边角．情况(2)中结果解两解解应注意区分．余弦定理解决两类问题：(1)已知两边夹角求第三边两角(2)已知三边求角．
两种途径
根条件确定三角形形状两种途径：
(1)化边角(2)化角边常正弦(余弦)定理实施边角转换．
考点模拟
．扎实基础[源学_科_网Z_X_X_K]
1 2013年山东省沂市高三教学质量检测考试△ABC中角ABC边分abc角B( )
(A) (B) (C) (D)
2 天津中2012—2013学年高三数学月考∆ABC中ABC角∆ABC
( )
A等腰三角形 B直角三角形
C等腰直角三角形 D等腰直角三角形
3 四川省成市2013届高中毕业班第次诊断性检测ΔABC中角ABC边长分abcasinA+bsinB(A)锐角三角形 （B)直角三角形
(C)钝角三角形 （D)正三角形
4 河南省三门峡市2013届高三第次练△ABC中角C ( )
A B C D
52013年乌鲁木齐区高三年级第三次诊断性测验试卷ΔABC中角ABC边长分 abcC 120ca（ ）
Aa>b Ba
6 广东省华附省实广雅深中2013届高三学期期末四校联考中___________
答案 B
解析题 正弦定理
7 山东省济宁市2013届高三学期期末考试文中abc分角ABC边
8 山东省济宁市2013届高三学期期末考试文中abc分角ABC边
9 北京市义区2013届高三第次统练中
解
10 北京市阳区2013届高三第次综合练中 分角 C边已知角锐角 [源学|科|网]
答案
解析
二．力拔高
11 湖南师附中2013届高三第六次月考已知三量线中分三条边三角形状（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12 河北省唐山中衡水中2013届高三4月联考中角ABC边分abc角A（ ）
A． B． C． D．
13 2013年天津市滨海新区五重点学校高三毕业班联考中角边分中面积( )
A B C D
14 天津耀华中学2013届高三年级第次月考△ABC中abc分角ABC边ab1+2cos(B+C)0BC边高等( )
A1 B+1 C D
15 2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试中角ABC边分abc面积
16 东北三省三校2013届高三3月第次联合模拟考试ΔABC中
__________
17 山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试中角ABC新边分abc角B____ ____
答案
解析正弦定理解
18 2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模） 三角形ABC中角ABC三边abc成等差数列列结中正确____________
①b2≥ac ② ③ ④
19 2013年云南省第二次高中毕业生复统检测已知分三角边值等 ．
20 浙江省镇海中学2013年高三考前模拟(题满分14分) △ABC中abc分角ABC边
（I）求角B
（II）求△ABC面积值
（II）余弦定理
∴
时△ABC面积值……………14分
三．提升
21 安徽省江淮名校2013届高考卷理科数学中边分abc
①锐角三角形外心三边距离
②
③面积S
④等边三角形边长1O点述命题真命题 （写出真命题序号）
22 2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模
三角形中
⑴ 求角
⑵ 求面积
知 (10分)
(11分)
综知 (12分)
23 南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（题满分14分）
△已知
（1） 求角值
（2） 求值
24 2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（）（题满分12分）次抗雪救灾中需AB两间架设高压电线测量AB两距离救援员相距l米CD两（ABCD面）没∠ACD＝45°∠ADC＝75°∠BCD＝30°∠BDC＝15°（右图）考虑电线然垂施工损耗等原实际需电线长度约应该AB距离12倍问救援员少应该准备长电线？
A
25 湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测（题满分12分）已知量记
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）△ABC中角ABC边分满足试判断△ABC形状
考点预测
1中定( )
A锐角三角形 B钝角三角形
C直角三角形 D形状确定
答案B
解析知锐角钝角钝角三角形选B
2 中分角边值____________
4△ABC中abc分∠A∠B∠C边三边abc成等差数列B＝｜cosAcosC｜值
5 已知函数区间单调递增区间单调递减．中分角边满足．
（1）证明：
（2）图点外点设[源Z_xx_kCom]
时求面四边形面积值．
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考点分类
热点利正余弦定理三角形中求三角函数值求角求边长
12013年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）文中（ ）
（A） （B） （C） （D）
22013年普通高等学校统考试天津卷理科△ABC中 ( ) (A) (B) (C) (D)
32013年普通高等学校招生全国统考试（辽宁卷）理科角边长分（ ）
A． B． C． D．
42013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）文科角边分（ ）
A B C D
52013年全国高考新课标（I）文科已知锐角角边分（ ）
（A） （B） （C） （D）
62013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理锐角中角边长分（ ）
A． B． C． D．
72013年普通高等学校招生全国统考试（安徽卷文科）设角边长分角（ ）
(A) (B)
(C) (D)
8．（2012年高考（天津理））中角边分已知
（ ）
A． B． C． D．
9．（2012年高考（陕西理））中角边长分
值（ ）
A． B． C． D．
10．（2012年高考（湖北文））设角边分三边长连续三正整数（ ）
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
112013年普通高等学校招生全国统考试福建卷理图中已知点边 长__ ___
122013年普通高等学校招生全国统考试（海卷）理已知△ABC角ABC应边分abc角C_______________（结果反三角函数值表示）
132013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理中中点________
14．（2012年高考（重庆文））设△角 边分
____
15．（2012年高考（北京理））△ABC中________
16．（2012年高考（湖北理））设△角边分 角_________
172013年普通高等学校统考试试题纲全国理科
设角ABC边分
（Ⅰ）求B
（Ⅱ）求C
182013年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）理
△ABC中a3b2∠B2∠A
(I)求cosA值
(II)求c值
192013年普通高等学校招生全国统考试（江西卷）文科
202013年普通高等学校招生全国统考试（四川卷）理科中角边分
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求量方投影
212013年普通高等学校统考试江苏数学试题图旅客某旅游区景点处山处两种
路径种直线步行种索道缆车然直线步行现甲
乙两位游客处山甲匀速步行速度 mmin甲出发2 min乙缆车
处停留1 min匀速步行 假设缆车匀速直线运动速度130 mmin山路长
1260 m 测量
（1）求索道长
（2）问乙出发少分钟乙缆车甲距离短？
（3）两位游客处互相等时间超3分钟乙步行速度应控制什范围？
222013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理
设角边分
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
232013年普通高等学校招生全国统考试(江西卷)理
△ABC中角ABC边分abc已知
（1）求角
（2）求取值范围
242013年全国高考新课标（I）理科
图△ABC中∠ABC＝90°ABBC1P△ABC点∠BPC＝90°
(1)PB求PA
(2)∠APB＝150°求tan∠PBA
A
B
C
P
25（2012年高考（安徽文））设角边
(Ⅰ)求角
(II) 中点求长
26．（2012年高考（课标文））已知分三角边
(Ⅰ)求
(Ⅱ)2面积求
27．（2012年高考（江苏））中已知
(1)求证
(2)求A值
28．（2012年高考（纲文））中角ABC成等差数列边满足求
29．（2012年高考（辽宁理））中角ABC边分abc角ABC成等差数列
(Ⅰ)求值
(Ⅱ)边abc成等数列求值
解：(1)已知
(2)解法正弦定理
方法总结
(1)已知两角边求第三角解样三角形需直接正弦定理代入求解．
(2)已知两边边角解三角形时利正弦定理求边角时注意讨该角解题难点应引起注意．
(3)熟练运余弦定理推时注意整体思想方程思想解题程中运．
热点二利正余弦定理判断三角形形状
302013年普通高等学校招生全国统考试（陕西卷）理设△ABC角A B C边分a b c △ABC形状 （ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 确定
31（2012年高考（海理））中形状（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．确定
方法总结
已知条件中边角关系判断三角形形状时两种方法：
1．利正余弦定理已知条件转化边边关系通式分解配方等出边相应关系判断三角形形状
2．利正余弦定理已知条件转化角三角函数间关系通三角函数恒等变形出角关系判断出三角形形状时注意应A＋B＋C＝π结．
热点三利正余弦定理求三角形面积
322013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷△ABC角ABC边分abc已知b2BC△ABC面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
332013年普通高等学校招生全国统考试（浙江卷）文科锐角△ABC中角边分
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ) 求△ABC面积
342013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷
△ABC角ABC边分abc已知abcosC+csinB
（Ⅰ）求B
（Ⅱ）b2求△ABC面积值
352013年普通高等学校招生全国统考试（福建卷）文科图等腰直角
中点线段
(Ⅰ) 求长
（Ⅱ）点线段问：取值时面积？求出面积值
时值时面积取值．2时面积值．
362013年普通高等学校招生全国统考试（湖北卷）文科
△中角应边分 已知
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）△面积求值
372013年普通高等学校招生全国统考试湖北卷理科
△中角应边分 已知
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）△面积求值
38（2012年高考（山东文））(题满分12分)
△ABC中角边分已知
(Ⅰ)求证成等数列
(Ⅱ)求△面积S
39（2012年高考（江西理））
△ABC中角ABC边分abc已知
(1)求证
(2)求△ABC面积
40．（2012年高考（浙江理））ABC中角ABC边分abc已知cosAsinBcosC
(Ⅰ)求tanC值
(Ⅱ)a求ABC面积
方法总结
1．利正弦定理实现三角形中边角关系转化
2．常两边夹角正弦值积半面积公式外
①S＝＝p·r(p周长半p＝
r切圆半径)②S＝(R外接圆半径)．
考点剖析
．明确求
1．考查余弦定理三角形面积公式考查方程思想运算力历年常考容[源学*科*网]
2．考查利正余弦定理判断三角形形状．
3．考查利正余弦定理解意三角形方法．
二．命题方
1．利正余弦定理求三角形中边角面积问题高考考查热点．
2常三角恒等变换相结合综合考查三角形中边角三角形形状判断等
三．规律总结
基础梳理
1．正弦定理：＝＝＝2R中R三角形外接圆半径．正弦定理变形：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
(2)a＝2Rsin_Ab＝2Rsin_Bc＝2Rsin_C
(3)sin A＝sin B＝sin C＝等形式解决三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_Ab2＝a2＋c2－2accos_Bc2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理变形：cos
A＝cos B＝cos C＝
3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R三角形外接圆半径r三角形切圆半径)计算Rr
4．已知两边中边角解三角形时注意解情况．已知abA
A锐角
A钝角直角
图形
关系
式
a＜bsin A
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b[源学科网ZXXK]
a＞b
a≤b
解
数
解
解
两解
解
解
解
条规律
三角形中角边边角角正弦值较正弦值较角较△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B
两类问题
解三角形时正弦定理解决两类问题：(1)已知两角边求边角(2)已知两边边角求边角．情况(2)中结果解两解解应注意区分．余弦定理解决两类问题：(1)已知两边夹角求第三边两角(2)已知三边求角．
两种途径
根条件确定三角形形状两种途径：
(1)化边角(2)化角边常正弦(余弦)定理实施边角转换．
考点模拟
．扎实基础[源学_科_网Z_X_X_K]
1 2013年山东省沂市高三教学质量检测考试△ABC中角ABC边分abc角B( )
(A) (B) (C) (D)
2 天津中2012—2013学年高三数学月考∆ABC中ABC角∆ABC
( )
A等腰三角形 B直角三角形
C等腰直角三角形 D等腰直角三角形
3 四川省成市2013届高中毕业班第次诊断性检测ΔABC中角ABC边长分abcasinA+bsinB
(C)钝角三角形 （D)正三角形
4 河南省三门峡市2013届高三第次练△ABC中角C ( )
A B C D
52013年乌鲁木齐区高三年级第三次诊断性测验试卷ΔABC中角ABC边长分 abcC 120ca（ ）
Aa>b Ba
6 广东省华附省实广雅深中2013届高三学期期末四校联考中___________
答案 B
解析题 正弦定理
7 山东省济宁市2013届高三学期期末考试文中abc分角ABC边
8 山东省济宁市2013届高三学期期末考试文中abc分角ABC边
9 北京市义区2013届高三第次统练中
解
10 北京市阳区2013届高三第次综合练中 分角 C边已知角锐角 [源学|科|网]
答案
解析
二．力拔高
11 湖南师附中2013届高三第六次月考已知三量线中分三条边三角形状（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12 河北省唐山中衡水中2013届高三4月联考中角ABC边分abc角A（ ）
A． B． C． D．
13 2013年天津市滨海新区五重点学校高三毕业班联考中角边分中面积( )
A B C D
14 天津耀华中学2013届高三年级第次月考△ABC中abc分角ABC边ab1+2cos(B+C)0BC边高等( )
A1 B+1 C D
15 2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试中角ABC边分abc面积
16 东北三省三校2013届高三3月第次联合模拟考试ΔABC中
__________
17 山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试中角ABC新边分abc角B____ ____
答案
解析正弦定理解
18 2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模） 三角形ABC中角ABC三边abc成等差数列列结中正确____________
①b2≥ac ② ③ ④
19 2013年云南省第二次高中毕业生复统检测已知分三角边值等 ．
20 浙江省镇海中学2013年高三考前模拟(题满分14分) △ABC中abc分角ABC边
（I）求角B
（II）求△ABC面积值
（II）余弦定理
∴
时△ABC面积值……………14分
三．提升
21 安徽省江淮名校2013届高考卷理科数学中边分abc
①锐角三角形外心三边距离
②
③面积S
④等边三角形边长1O点述命题真命题 （写出真命题序号）
22 2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模
三角形中
⑴ 求角
⑵ 求面积
知 (10分)
(11分)
综知 (12分)
23 南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（题满分14分）
△已知
（1） 求角值
（2） 求值
24 2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（）（题满分12分）次抗雪救灾中需AB两间架设高压电线测量AB两距离救援员相距l米CD两（ABCD面）没∠ACD＝45°∠ADC＝75°∠BCD＝30°∠BDC＝15°（右图）考虑电线然垂施工损耗等原实际需电线长度约应该AB距离12倍问救援员少应该准备长电线？
A
25 湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测（题满分12分）已知量记
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）△ABC中角ABC边分满足试判断△ABC形状
考点预测
1中定( )
A锐角三角形 B钝角三角形
C直角三角形 D形状确定
答案B
解析知锐角钝角钝角三角形选B
2 中分角边值____________
4△ABC中abc分∠A∠B∠C边三边abc成等差数列B＝｜cosAcosC｜值
5 已知函数区间单调递增区间单调递减．中分角边满足．
（1）证明：
（2）图点外点设[源Z_xx_kCom]
时求面四边形面积值．
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