难点20 等式综合应
等式继函数方程重点容作解决问题工具知识综合运特点较突出等式应致分两类：类建立等式求参数取值范围解决实际应问题类建立函数关系利均值等式求值问题难点提供相关思想方法考生够运等式性质定理方法解决函数方程实际应等方面问题
●难点磁场
(★★★★★)设二次函数f(x)ax2+bx+c(a＞0)方程f(x)－x0两根x1x2满足0＜x1＜x2＜
(1)x∈［0x1时证明x＜f(x)＜x1
(2)设函数f(x)图象关直线xx0称证明：x0＜
●案例探究
［例1］块钢锭烧铸厚度均匀表面积2方米正四棱锥形盖容器(右图)设容器高h米盖子边长a米
(1)求a关h解析式
(2)设容器容积V立方米h值时V？求出V值(求解题时计容器厚度)
命题意图：题考查建立函数关系式棱锥表面积体积计算均值定求函数值
知识托：题求体积V关系式应均值定理求值
错解分析：求a函数关系式时易漏h＞0
技巧方法：题求值时应均值定理
解：①设h′正四棱锥斜高题设：
消
② (h＞0)
：
V≤仅hh1时取等号
h1米时V值V值立方米
［例2］已知abc实数函数f(x)ax2+bx+cg(x)ax+b－1≤x≤1时|f(x)|≤1
(1)证明：|c|≤1
(2)证明：－1 ≤x≤1时|g(x)|≤2
(3)设a＞0－1≤x≤1时 g(x)值2求f(x)
命题意图：题考查二次函数性质含绝值等式性质综合应数学知识分析问题解决问题力属★★★★★级题目
知识托：二次函数关性质函数单调性药引绝值等式性质灵活运题灵魂
错解分析：题综合性较强解答关键函数f(x)单调性深刻理解条件－1≤x≤1时|f(x)|≤1运绝值等式性质会解题程空洞缺乏严密题目陷僵局
技巧方法：题(2)问三种证法证法利g(x)单调性证法二利绝值等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|证法三整体处理g(x)f(x)关系
(1)证明：条件1≤x≤1时|f(x)|≤1取x0：|c||f(0)|≤1|c|≤1
(2)证法：题设|f(0)|≤1f(0)c|c|≤1a＞0时g(x)ax+b［－11］增函数
g(－1)≤g(x)≤g(1)(－1≤x≤1)
∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)|c|≤1
∴g(1)a+bf(1)－c≤|f(1)|+|c|2
g(－1)－a+b－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2
|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)
a＜0时g(x)ax+b［－11］减函数g(－1)≥g(x)≥g(1)(－1≤x≤1)
∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)|c|≤1
∴|g(x)||f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2
综合结果－1≤x≤1时|g(x)|≤2
证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)
∴|f(－1)|≤1|f(1)|≤1|f(0)|≤1
∵f(x)ax2+bx+c∴|a－b+c|≤1|a+b+c|≤1|c|≤1
根绝值等式性质：
|a－b||(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2
|a+b||(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2
∵g(x)ax+b∴|g(±1)||±a+b||a±b|≤2
函数g(x)ax+b图象条直线|g(x)|［－11］值区间端点x－1x1处取|g(±1)|≤2|g(x)|≤2(－1＜x＜1
－1≤x≤1时0≤≤1－1≤≤0
∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f |≤1|f()|≤1
－1≤x≤1时|g(x)|≤|f |+|f()|≤2
(3)解：a＞0g(x)［－11］增函数x1时取值2
g(1)a+bf(1)－f(0)2 ①
∵－1≤f(0)f(1)－2≤1－2－1∴cf(0)－1
－1≤x≤1时f(x)≥－1f(x)≥f(0)
根二次函数性质直线x0f(x)图象称轴
－＜0 b0
①a2f(x)2x2－1
●锦囊妙计
1应等式知识解决函数方程等方面问题解决问题时关键非等式问题转化等式问题化转化中注意等价性
2应题通阅读理解定材料寻找量量间联系抽象出事物系统特征关系建立起反映质属性数学结构建立起数学模型然利等式知识求出题中问题
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)定义R奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间［0+∞)图象f(x)图象重合设a＞b＞0出列等式中正确等式序号( )
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
A①③ B②④ C①④ D②③
二填空题
2(★★★★★)列四命题中：①a+b≥2 ②sin2x+≥4 ③设xy正数1x+y值12 ④|x－2|＜ε|y－2|＜ε|x－y|＜2ε中真命题序号__________
3(★★★★★)某公司租建仓库月土占费y1车库车站距离成反月库存货物运费y2车站距离成正果距车站10公里处建仓库两项费y1y2分2万元8万元两项费仓库应建离车站__________公里处
三解答题
4(★★★★★)已知二次函数 f(x)ax2+bx+1(ab∈Ra＞0)设方程f(x)x两实数根x1x2
(1)果x1＜2＜x2＜4设函数f(x)称轴xx0求证x0＞－1
(2)果|x1|＜2|x2－x1|2求b取值范围
5(★★★★)某种商品原定价件p元月卖出n件假定价涨x成(里x成0＜x≤10月卖出数量减少y成售货金额变成原 z倍
(1)设yax中a满足≤a＜1常数a表示售货金额时x值
(2)yx求售货金额原增加x取值范围
6(★★★★★)设函数f(x)定义R意mn恒f(m+n)f(m)·f(n)x＞0时0＜f(x)＜1
(1)求证：f(0)1x＜0时f(x)＞1
(2)求证：f(x)R单调递减
(3)设集合A{ (xy)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}集合B{(xy)|f(ax－g+2)1a∈R}A∩B求a取值范围
7(★★★★★)已知函数f(x) (b＜0)值域［13］
(1)求bc值
(2)判断函数F(x)lgf(x)x∈［－11］时单调性证明结
(3)t∈R求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg
［科普美文］数学中等式关系
数学研究空间形式数量关系科学恩格斯然辩证法书中指出数学辩证辅助工具表现形式数学中蕴含着极丰富辩证唯物义素等等关系正该点生动体现立统相互联系相互影响等等关系中学数学中基关系
等关系体现数学称美统美等关系仙苑奇葩呈现出数学奇异美等关系起源实数性质产生实数关系简单等式等式基性质果简单等式中实数抽象种数学符号集成数学式等式发展丁兴旺家族简繁形式异果赋予等式中变量特定值特定关系产生重等式均值等式等等式永恒？显然产生解等式证明等式两极重问题解等式寻求等式成立时变量应满足范围条件类型等式解法等式证明推理性问题探索性问题推理性特定条件阐述证程揭示规律基方法较法综合法分析法探索性问题然数n关证明问题常采观察—纳—猜想—证明思路数学纳法完成证明外等式证明方法换元法放缩法反证法构造法等
数学科学分割机整体生命力正部分间联系等式知识渗透数学中分支相互间着千丝万缕联系等式作工具解决数学中问题诸集合问题方程(组)解讨函数单调性研究函数定义域确定三角数列复数立体解析中值值问题等式着密切联系许问题终结等式求解证明等式解决现实世界中反映出数学问题等式中常见基思想方法等价转化分类讨数形结合函数方程总等式应体现定综合性灵活样性
等等形影离存着概念亲缘关系中学数学中广泛普遍关系数学基特点应广泛性理抽象性逻辑严谨性等关系深刻生动体现等没等温柔没等谐没等恰处没等天衣缝山挺拔峰隽秀海宽阔天高远心旷神怡魂牵梦绕呢？
参考答案
难点磁场
解：(1)令F(x)f(x)－xx1x2方程f(x)－x0根F(x)a(x－x1)(x－x2)x∈(0x1)时x1＜x2(x－x1)(x－x2)＞0
a＞0F(x)a(x－x1)(x－x2)＞0x＜f(x)
x1－f(x)x1－［x+F(x)］x1－x+a(x1－x)(x－x2)(x1－x)［1+a(x－x2)］
∵0＜x＜x1＜x2＜∴x1－x＞01+a(x－x2)1+ax－ax2＞1－ax2＞0
∴x1－f(x)＞0f(x)＜x1
(2)题意：x0－x1x2方程f(x)－x0两根x1x2方程ax2+(b－1)x+c0根
∴x1+x2－
∴x0－ax2＜1
∴x0＜
歼灭难点训练
1解析：题意f(a)g(a)＞0f(b)g(b)＞0f(a)＞f(b)g(a)＞g(b)
∴f(b)－f(－a)f(b)+f(a)g(a)+g(b)
g(a)－g(－b)g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］
2g(b)＞0∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
理证：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)
答案：A
二2解析：①②③满足均值等式条件正定等④式：|x－y||(x－2)－(y－2)|≤|(x－2)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε2ε
答案：④
3解析：已知y1y208x(x仓库车站距离)费yy1+y208x+ ≥28
仅08xx5时成立
答案：5公里处
三4证明：(1)设g(x)f(x)－xax2+(b－1)x+1x＞0
∵x1＜2＜x2＜4∴(x1－2)(x2－2)＜0x1x2＜2(x1+x2)－4
(2)解：方程g(x)ax2+(b－1)x+10知x1·x2＞0x1x2号
1°0＜x1＜2x2－x12∴x2x1+2＞2
∴g(2)＜04a+2b－1＜0 ①
(x2－x1)2
∴2a+1 (∵a＞0)代入①式
2＜3－2b ②
解②b＜
2° －2＜x1＜0x2－2+x1＜－2
∴g(－2)＜04a－2b+3＜0 ③
2a+1代入③式
2＜2b－1 ④
解④b＞
综0＜x1＜2时b＜－2＜x1＜0时b＞
5解：(1)题意知某商品定价涨x成时涨定价月卖出数量月售货金额分：p(1+)元n(1－)元npz元
yax条件z［－a
［x－］2+100+］≤a＜10＜≤10
售货金额z值时x
(2)z (10+x)(10－x)＞1解0＜x＜5
6(1)证明：令m＞0n0：f(m)f(m)·f(0)∵f(m)≠0∴f(0)1
取mmn－m(m＜0)f(0)f(m)f(－m)
∴f(m)∵m＜0∴－m＞0∴0＜f(－m)＜1∴f(m)＞1
(2)证明：取x1x2∈Rf(x1)－f(x2)f(x1)－f［(x2－x1)+x1］
f(x1)－f(x2－x1)·f(x1)f(x1)［1－f(x2－x1)］
∵f(x1)＞01－f(x2－x1)＞0∴f(x1)＞f(x2)
∴函数f(x)R单调减函数
(3)题意等式组解数形结合：
≥1解a2≤3
∴a∈［－］
7(1)解：设y(y－2)x2－bx+y－c0 ①
∵x∈R∴①判式Δ≥0 b2－4(y－2)(y－c)≥0
4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
条件知等式②解集［13］
∴13方程4y2－4(2+c)y+8c+b20两根
∴c2b－2b2(舍）
(2)取x1x2∈［－11］x2＞x1x2－x1＞0
(x2－x1)(1－x1x2)＞0∴f(x2)－f(x1)－＞0
∴f(x2)＞f(x1)lgf(x2)＞lgf(x1)F(x2)＞F(x1)
∴F(x)增函数
－≤u≤根F(x)单调性知
F(－)≤F(u)≤F()∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg意实数t 成立
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等式继函数方程重点容作解决问题工具知识综合运特点较突出等式应致分两类：类建立等式求参数取值范围解决实际应问题类建立函数关系利均值等式求值问题难点提供相关思想方法考生够运等式性质定理方法解决函数方程实际应等方面问题
●难点磁场
(★★★★★)设二次函数f(x)ax2+bx+c(a＞0)方程f(x)－x0两根x1x2满足0＜x1＜x2＜
(1)x∈［0x1时证明x＜f(x)＜x1
(2)设函数f(x)图象关直线xx0称证明：x0＜
●案例探究
［例1］块钢锭烧铸厚度均匀表面积2方米正四棱锥形盖容器(右图)设容器高h米盖子边长a米
(1)求a关h解析式
(2)设容器容积V立方米h值时V？求出V值(求解题时计容器厚度)
命题意图：题考查建立函数关系式棱锥表面积体积计算均值定求函数值
知识托：题求体积V关系式应均值定理求值
错解分析：求a函数关系式时易漏h＞0
技巧方法：题求值时应均值定理
解：①设h′正四棱锥斜高题设：
消
② (h＞0)
：
V≤仅hh1时取等号
h1米时V值V值立方米
［例2］已知abc实数函数f(x)ax2+bx+cg(x)ax+b－1≤x≤1时|f(x)|≤1
(1)证明：|c|≤1
(2)证明：－1 ≤x≤1时|g(x)|≤2
(3)设a＞0－1≤x≤1时 g(x)值2求f(x)
命题意图：题考查二次函数性质含绝值等式性质综合应数学知识分析问题解决问题力属★★★★★级题目
知识托：二次函数关性质函数单调性药引绝值等式性质灵活运题灵魂
错解分析：题综合性较强解答关键函数f(x)单调性深刻理解条件－1≤x≤1时|f(x)|≤1运绝值等式性质会解题程空洞缺乏严密题目陷僵局
技巧方法：题(2)问三种证法证法利g(x)单调性证法二利绝值等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|证法三整体处理g(x)f(x)关系
(1)证明：条件1≤x≤1时|f(x)|≤1取x0：|c||f(0)|≤1|c|≤1
(2)证法：题设|f(0)|≤1f(0)c|c|≤1a＞0时g(x)ax+b［－11］增函数
g(－1)≤g(x)≤g(1)(－1≤x≤1)
∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)|c|≤1
∴g(1)a+bf(1)－c≤|f(1)|+|c|2
g(－1)－a+b－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2
|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)
a＜0时g(x)ax+b［－11］减函数g(－1)≥g(x)≥g(1)(－1≤x≤1)
∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)|c|≤1
∴|g(x)||f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2
综合结果－1≤x≤1时|g(x)|≤2
证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)
∴|f(－1)|≤1|f(1)|≤1|f(0)|≤1
∵f(x)ax2+bx+c∴|a－b+c|≤1|a+b+c|≤1|c|≤1
根绝值等式性质：
|a－b||(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2
|a+b||(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2
∵g(x)ax+b∴|g(±1)||±a+b||a±b|≤2
函数g(x)ax+b图象条直线|g(x)|［－11］值区间端点x－1x1处取|g(±1)|≤2|g(x)|≤2(－1＜x＜1
－1≤x≤1时0≤≤1－1≤≤0
∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f |≤1|f()|≤1
－1≤x≤1时|g(x)|≤|f |+|f()|≤2
(3)解：a＞0g(x)［－11］增函数x1时取值2
g(1)a+bf(1)－f(0)2 ①
∵－1≤f(0)f(1)－2≤1－2－1∴cf(0)－1
－1≤x≤1时f(x)≥－1f(x)≥f(0)
根二次函数性质直线x0f(x)图象称轴
－＜0 b0
①a2f(x)2x2－1
●锦囊妙计
1应等式知识解决函数方程等方面问题解决问题时关键非等式问题转化等式问题化转化中注意等价性
2应题通阅读理解定材料寻找量量间联系抽象出事物系统特征关系建立起反映质属性数学结构建立起数学模型然利等式知识求出题中问题
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)定义R奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间［0+∞)图象f(x)图象重合设a＞b＞0出列等式中正确等式序号( )
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
A①③ B②④ C①④ D②③
二填空题
2(★★★★★)列四命题中：①a+b≥2 ②sin2x+≥4 ③设xy正数1x+y值12 ④|x－2|＜ε|y－2|＜ε|x－y|＜2ε中真命题序号__________
3(★★★★★)某公司租建仓库月土占费y1车库车站距离成反月库存货物运费y2车站距离成正果距车站10公里处建仓库两项费y1y2分2万元8万元两项费仓库应建离车站__________公里处
三解答题
4(★★★★★)已知二次函数 f(x)ax2+bx+1(ab∈Ra＞0)设方程f(x)x两实数根x1x2
(1)果x1＜2＜x2＜4设函数f(x)称轴xx0求证x0＞－1
(2)果|x1|＜2|x2－x1|2求b取值范围
5(★★★★)某种商品原定价件p元月卖出n件假定价涨x成(里x成0＜x≤10月卖出数量减少y成售货金额变成原 z倍
(1)设yax中a满足≤a＜1常数a表示售货金额时x值
(2)yx求售货金额原增加x取值范围
6(★★★★★)设函数f(x)定义R意mn恒f(m+n)f(m)·f(n)x＞0时0＜f(x)＜1
(1)求证：f(0)1x＜0时f(x)＞1
(2)求证：f(x)R单调递减
(3)设集合A{ (xy)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}集合B{(xy)|f(ax－g+2)1a∈R}A∩B求a取值范围
7(★★★★★)已知函数f(x) (b＜0)值域［13］
(1)求bc值
(2)判断函数F(x)lgf(x)x∈［－11］时单调性证明结
(3)t∈R求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg
［科普美文］数学中等式关系
数学研究空间形式数量关系科学恩格斯然辩证法书中指出数学辩证辅助工具表现形式数学中蕴含着极丰富辩证唯物义素等等关系正该点生动体现立统相互联系相互影响等等关系中学数学中基关系
等关系体现数学称美统美等关系仙苑奇葩呈现出数学奇异美等关系起源实数性质产生实数关系简单等式等式基性质果简单等式中实数抽象种数学符号集成数学式等式发展丁兴旺家族简繁形式异果赋予等式中变量特定值特定关系产生重等式均值等式等等式永恒？显然产生解等式证明等式两极重问题解等式寻求等式成立时变量应满足范围条件类型等式解法等式证明推理性问题探索性问题推理性特定条件阐述证程揭示规律基方法较法综合法分析法探索性问题然数n关证明问题常采观察—纳—猜想—证明思路数学纳法完成证明外等式证明方法换元法放缩法反证法构造法等
数学科学分割机整体生命力正部分间联系等式知识渗透数学中分支相互间着千丝万缕联系等式作工具解决数学中问题诸集合问题方程(组)解讨函数单调性研究函数定义域确定三角数列复数立体解析中值值问题等式着密切联系许问题终结等式求解证明等式解决现实世界中反映出数学问题等式中常见基思想方法等价转化分类讨数形结合函数方程总等式应体现定综合性灵活样性
等等形影离存着概念亲缘关系中学数学中广泛普遍关系数学基特点应广泛性理抽象性逻辑严谨性等关系深刻生动体现等没等温柔没等谐没等恰处没等天衣缝山挺拔峰隽秀海宽阔天高远心旷神怡魂牵梦绕呢？
参考答案
难点磁场
解：(1)令F(x)f(x)－xx1x2方程f(x)－x0根F(x)a(x－x1)(x－x2)x∈(0x1)时x1＜x2(x－x1)(x－x2)＞0
a＞0F(x)a(x－x1)(x－x2)＞0x＜f(x)
x1－f(x)x1－［x+F(x)］x1－x+a(x1－x)(x－x2)(x1－x)［1+a(x－x2)］
∵0＜x＜x1＜x2＜∴x1－x＞01+a(x－x2)1+ax－ax2＞1－ax2＞0
∴x1－f(x)＞0f(x)＜x1
(2)题意：x0－x1x2方程f(x)－x0两根x1x2方程ax2+(b－1)x+c0根
∴x1+x2－
∴x0－ax2＜1
∴x0＜
歼灭难点训练
1解析：题意f(a)g(a)＞0f(b)g(b)＞0f(a)＞f(b)g(a)＞g(b)
∴f(b)－f(－a)f(b)+f(a)g(a)+g(b)
g(a)－g(－b)g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］
2g(b)＞0∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
理证：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)
答案：A
二2解析：①②③满足均值等式条件正定等④式：|x－y||(x－2)－(y－2)|≤|(x－2)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε2ε
答案：④
3解析：已知y1y208x(x仓库车站距离)费yy1+y208x+ ≥28
仅08xx5时成立
答案：5公里处
三4证明：(1)设g(x)f(x)－xax2+(b－1)x+1x＞0
∵x1＜2＜x2＜4∴(x1－2)(x2－2)＜0x1x2＜2(x1+x2)－4
(2)解：方程g(x)ax2+(b－1)x+10知x1·x2＞0x1x2号
1°0＜x1＜2x2－x12∴x2x1+2＞2
∴g(2)＜04a+2b－1＜0 ①
(x2－x1)2
∴2a+1 (∵a＞0)代入①式
2＜3－2b ②
解②b＜
2° －2＜x1＜0x2－2+x1＜－2
∴g(－2)＜04a－2b+3＜0 ③
2a+1代入③式
2＜2b－1 ④
解④b＞
综0＜x1＜2时b＜－2＜x1＜0时b＞
5解：(1)题意知某商品定价涨x成时涨定价月卖出数量月售货金额分：p(1+)元n(1－)元npz元
yax条件z［－a
［x－］2+100+］≤a＜10＜≤10
售货金额z值时x
(2)z (10+x)(10－x)＞1解0＜x＜5
6(1)证明：令m＞0n0：f(m)f(m)·f(0)∵f(m)≠0∴f(0)1
取mmn－m(m＜0)f(0)f(m)f(－m)
∴f(m)∵m＜0∴－m＞0∴0＜f(－m)＜1∴f(m)＞1
(2)证明：取x1x2∈Rf(x1)－f(x2)f(x1)－f［(x2－x1)+x1］
f(x1)－f(x2－x1)·f(x1)f(x1)［1－f(x2－x1)］
∵f(x1)＞01－f(x2－x1)＞0∴f(x1)＞f(x2)
∴函数f(x)R单调减函数
(3)题意等式组解数形结合：
≥1解a2≤3
∴a∈［－］
7(1)解：设y(y－2)x2－bx+y－c0 ①
∵x∈R∴①判式Δ≥0 b2－4(y－2)(y－c)≥0
4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
条件知等式②解集［13］
∴13方程4y2－4(2+c)y+8c+b20两根
∴c2b－2b2(舍）
(2)取x1x2∈［－11］x2＞x1x2－x1＞0
(x2－x1)(1－x1x2)＞0∴f(x2)－f(x1)－＞0
∴f(x2)＞f(x1)lgf(x2)＞lgf(x1)F(x2)＞F(x1)
∴F(x)增函数
－≤u≤根F(x)单调性知
F(－)≤F(u)≤F()∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg意实数t 成立
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