难点15 三角函数图象性质
三角函数图象性质高考热点复时充分运数形结合思想图象性质结合起节帮助考生掌握图象性质会灵活运
●难点磁场
(★★★★)已知αβ锐角x(α+β－)＞0试证等式f(x)x＜2切非零实数成立
●案例探究
［例1］设z1m+(2－m2)iz2cosθ+(λ+sinθ)i中mλθ∈R已知z12z2求λ取值范围
命题意图：题考查三角函数性质考查考生综合分析问题力等价转化思想运属★★★★★级题目
知识托：等价转化思想二次函数定区间值问题解决
错解分析：考生易运等价转化思想方法解决问题
技巧方法：解法运消参分离变量方法求问题转化二次函数定区间值问题解法二运三角函数方关系求问题转化二次函数定区间值问题
解法：∵z12z2
∴m+(2－m2)i2cosθ+(2λ+2sinθ)i∴
∴λ1－2cos2θ－sinθ2sin2θ－sinθ－12(sinθ－)2－
sinθ时λ取值－sinθ－1时λ取值2
解法二：∵z12z2 ∴
∴
∴1
∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ0设tm20≤t≤4
令f(t)t2－(3－4λ)t+4λ2－8λf(0)·f(4)≤0
∴
∴－≤λ≤00≤λ≤2
∴λ取值范围［－2］
［例2］右图滑雪运动员h50m高处A点滑O点运动员技巧(计阻力)O点保持速率v0倾角θ起跳落B点令OBL试问α30°时L值少？L取值时θ？
命题意图：题道综合性题目考查考生运数学知识解决物理问题力属★★★★★级题目
知识托：三角函数知识解决实际问题
错解分析：考生易运学数学知识解决物理问题知识迁移力够灵活
技巧方法：首先运物理学知识出目标函数次运三角函数关知识解决实际问题
解：已知条件列出O点飞出运动方程：
①
②
①②整理：v0cosθ
∴v02+gLsinαg2t2+≥gL
运动员A点滑O点机械守恒mghmv02
∴v022gh∴L≤200(m)
Lmax200(m)g2t2
∴
cosθcosα∴θα30°∴L值200米L时起跳仰角30°
［例3］图某天6时14时温度变化曲线似满足函数yAsin(ωx+φ)+b
(1)求段时间温差
(2)写出段曲线函数解析式
命题意图：题应题形式考查备考中热点题型求考生学三角函数知识实际问题结合起分析思考充分体现力立意命题原属★★★★级题目
知识托：图象正确写出解析式
错解分析：易准确判断图象属三角函数式特定系数字母
技巧方法：数形结合思想运定系数法确定函数解析式
解：(1)图示段时间温差30－1020(℃)
(2)图中6时14时图象函数yAsin(ωx+φ)+b半周期图象
∴14－6解ω图示A(30－10)10b(30+10)20时y10sin(x+φ)+20x6y10代入式取φπ综求解析式y10sin(x+
π)+20x∈［614］
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
1考查三角函数图象性质基础题目类题目求考生熟练掌握三角函数图象基础三角函数性质灵活运
2三角函数知识相结合综合题目类题目求考生具较强分析力逻辑思维力命题趋势中综合性题型会成热点重点逐渐加强
3三角函数实际问题综合应
类题目求考生具较强知识迁移力数学建模力注意数形结合思想解题中应
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数y－x·cosx部分图象( )
2(★★★★)函数f(x)cos2x+sin(+x)( )
A非奇非偶函数 B仅值奇函数
C仅值偶函数 D值值偶函数
二填空题
3(★★★★)函数f(x)()｜cosx｜［－ππ］单调减区间_________
4(★★★★★)设ω＞0函数f(x)2sinωx［－］单调递增ω取值范围_________
三解答题
5(★★★★)设二次函数f(x)x2+bx+c(bc∈R)已知αβ实数恒f(sinα)≥0f(2+cosβ)≤0
(1)求证：b+c－1
(2)求证c≥3
(3)函数f(sinα)值8求bc值
6(★★★★★)块长a宽b(a＞b)矩形木板二面角α墙角处围出直三棱柱谷仓试问应样围谷仓容积？求出谷仓容积值
7(★★★★★)块半径R中心角45°扇形铁皮材料获取面积矩形铁皮工师傅常矩形边扇形半径然作接矩形试问：工师傅样选择矩形四点？求出面积值
8(★★★★)设－≤x≤求函数ylog2(1+sinx)+log2(1－sinx)值值
9(★★★★★)否存实数a函数ysin2x+a·cosx+a－闭区间［0］值1？存求出应a值存试说明理
参考答案
难点磁场
证明：x＞0α+β＞∵αβ锐角∴0＜－α＜β＜0＜－β＜∴0＜sin(－α)＜sinβ0＜sin(－β)＜sinα∴0＜cosα＜sinβ0＜cosβ＜sinα∴0＜＜10＜＜1∴f(x)(0+∞)单调递减∴f(x)＜f(0)2x＜0α+β＜∵αβ锐角0＜β＜－α＜0＜α＜－β＜0＜sinβ＜sin(－α)∴sinβ＜cosα0＜sinα＜sin(－β)∴sinα＜cosβ∴＞1 ＞1
∵f(x)(－∞0）单调递增∴f(x)＜f(0)2∴结成立
歼灭难点训练
1解析：函数y－xcosx奇函数图象ACx∈(0 )时
y＜0
答案：D
2解析：f(x)cos2x+sin(+x)2cos2x－1+cosx
2［(cosx+］－1
答案：D
二3解：［－ππ］y｜cosx｜单调递增区间［－0］［π］f(x)｜cosx｜取值递增递减［－0］［π］f(x)递减区间
4解：－≤ωx≤f(x)递增区间［－］题设
三5解：(1)∵－1≤sinα≤1f(sinα)≥0恒成立∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3f(2+cosβ)≤0恒成立∴f(1)≤0
知f(1)0∴b+c+10
(2)f(2+cosβ)≤0知f(3)≤0∴9+3b+c≤0b+c－1∴c≥3
(3)∵f(sinα)sin2α+(－1－c)sinα+c(sinα－)2+c－()2
sinα－1时［f(sinα)］max8解b－4c3
6解：图设矩形木板长边AB着设OAxOBya2x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα2xy(1－cosα)
∵0＜α＜π∴1－cosα＞0∴xy≤ (仅xy时取号)时谷仓容积值V1(xysinα)b理木板短边着时谷仓容积V值V2ab2cos
∵a＞b∴V1＞V2
木板长边着谷仓底面a底边等腰三角形时谷仓容积值a2bcos
7解：图扇形AOB接矩形MNPQ连OPOPR设∠AOPθ
∠QOP45°－θNPRsinθ△PQO中
∴PQRsin(45°－θ)S矩形MNPQQP·NPR2sinθsin(45°－θ)R2·［cos(2θ－45°)－］≤R2仅cos(2θ－45°)1θ225°时S矩形MNPQ值值R2
工师傅样选点记扇形AOB扇形半径OA边扇形作角AOP∠AOP225°P边扇形弧交点P作PN⊥OANPQ∥OA交OBQ作OM⊥OAM矩形MNPQ面积矩形面积值R2
8解：∵［－］1+sinx＞01－sinx＞0恒成立∴原函数化y
log2(1－sin2x)log2cos2xcosx＞0［－］恒成立∴原函数y2log2cosxx∈［
－］≤cosx≤1
∴log2≤log2cosx≤log21－1≤y≤0x∈［－］ymax0
ymin－1
综合述知存符合题设
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三角函数图象性质高考热点复时充分运数形结合思想图象性质结合起节帮助考生掌握图象性质会灵活运
●难点磁场
(★★★★)已知αβ锐角x(α+β－)＞0试证等式f(x)x＜2切非零实数成立
●案例探究
［例1］设z1m+(2－m2)iz2cosθ+(λ+sinθ)i中mλθ∈R已知z12z2求λ取值范围
命题意图：题考查三角函数性质考查考生综合分析问题力等价转化思想运属★★★★★级题目
知识托：等价转化思想二次函数定区间值问题解决
错解分析：考生易运等价转化思想方法解决问题
技巧方法：解法运消参分离变量方法求问题转化二次函数定区间值问题解法二运三角函数方关系求问题转化二次函数定区间值问题
解法：∵z12z2
∴m+(2－m2)i2cosθ+(2λ+2sinθ)i∴
∴λ1－2cos2θ－sinθ2sin2θ－sinθ－12(sinθ－)2－
sinθ时λ取值－sinθ－1时λ取值2
解法二：∵z12z2 ∴
∴
∴1
∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ0设tm20≤t≤4
令f(t)t2－(3－4λ)t+4λ2－8λf(0)·f(4)≤0
∴
∴－≤λ≤00≤λ≤2
∴λ取值范围［－2］
［例2］右图滑雪运动员h50m高处A点滑O点运动员技巧(计阻力)O点保持速率v0倾角θ起跳落B点令OBL试问α30°时L值少？L取值时θ？
命题意图：题道综合性题目考查考生运数学知识解决物理问题力属★★★★★级题目
知识托：三角函数知识解决实际问题
错解分析：考生易运学数学知识解决物理问题知识迁移力够灵活
技巧方法：首先运物理学知识出目标函数次运三角函数关知识解决实际问题
解：已知条件列出O点飞出运动方程：
①
②
①②整理：v0cosθ
∴v02+gLsinαg2t2+≥gL
运动员A点滑O点机械守恒mghmv02
∴v022gh∴L≤200(m)
Lmax200(m)g2t2
∴
cosθcosα∴θα30°∴L值200米L时起跳仰角30°
［例3］图某天6时14时温度变化曲线似满足函数yAsin(ωx+φ)+b
(1)求段时间温差
(2)写出段曲线函数解析式
命题意图：题应题形式考查备考中热点题型求考生学三角函数知识实际问题结合起分析思考充分体现力立意命题原属★★★★级题目
知识托：图象正确写出解析式
错解分析：易准确判断图象属三角函数式特定系数字母
技巧方法：数形结合思想运定系数法确定函数解析式
解：(1)图示段时间温差30－1020(℃)
(2)图中6时14时图象函数yAsin(ωx+φ)+b半周期图象
∴14－6解ω图示A(30－10)10b(30+10)20时y10sin(x+φ)+20x6y10代入式取φπ综求解析式y10sin(x+
π)+20x∈［614］
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
1考查三角函数图象性质基础题目类题目求考生熟练掌握三角函数图象基础三角函数性质灵活运
2三角函数知识相结合综合题目类题目求考生具较强分析力逻辑思维力命题趋势中综合性题型会成热点重点逐渐加强
3三角函数实际问题综合应
类题目求考生具较强知识迁移力数学建模力注意数形结合思想解题中应
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数y－x·cosx部分图象( )
2(★★★★)函数f(x)cos2x+sin(+x)( )
A非奇非偶函数 B仅值奇函数
C仅值偶函数 D值值偶函数
二填空题
3(★★★★)函数f(x)()｜cosx｜［－ππ］单调减区间_________
4(★★★★★)设ω＞0函数f(x)2sinωx［－］单调递增ω取值范围_________
三解答题
5(★★★★)设二次函数f(x)x2+bx+c(bc∈R)已知αβ实数恒f(sinα)≥0f(2+cosβ)≤0
(1)求证：b+c－1
(2)求证c≥3
(3)函数f(sinα)值8求bc值
6(★★★★★)块长a宽b(a＞b)矩形木板二面角α墙角处围出直三棱柱谷仓试问应样围谷仓容积？求出谷仓容积值
7(★★★★★)块半径R中心角45°扇形铁皮材料获取面积矩形铁皮工师傅常矩形边扇形半径然作接矩形试问：工师傅样选择矩形四点？求出面积值
8(★★★★)设－≤x≤求函数ylog2(1+sinx)+log2(1－sinx)值值
9(★★★★★)否存实数a函数ysin2x+a·cosx+a－闭区间［0］值1？存求出应a值存试说明理
参考答案
难点磁场
证明：x＞0α+β＞∵αβ锐角∴0＜－α＜β＜0＜－β＜∴0＜sin(－α)＜sinβ0＜sin(－β)＜sinα∴0＜cosα＜sinβ0＜cosβ＜sinα∴0＜＜10＜＜1∴f(x)(0+∞)单调递减∴f(x)＜f(0)2x＜0α+β＜∵αβ锐角0＜β＜－α＜0＜α＜－β＜0＜sinβ＜sin(－α)∴sinβ＜cosα0＜sinα＜sin(－β)∴sinα＜cosβ∴＞1 ＞1
∵f(x)(－∞0）单调递增∴f(x)＜f(0)2∴结成立
歼灭难点训练
1解析：函数y－xcosx奇函数图象ACx∈(0 )时
y＜0
答案：D
2解析：f(x)cos2x+sin(+x)2cos2x－1+cosx
2［(cosx+］－1
答案：D
二3解：［－ππ］y｜cosx｜单调递增区间［－0］［π］f(x)｜cosx｜取值递增递减［－0］［π］f(x)递减区间
4解：－≤ωx≤f(x)递增区间［－］题设
三5解：(1)∵－1≤sinα≤1f(sinα)≥0恒成立∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3f(2+cosβ)≤0恒成立∴f(1)≤0
知f(1)0∴b+c+10
(2)f(2+cosβ)≤0知f(3)≤0∴9+3b+c≤0b+c－1∴c≥3
(3)∵f(sinα)sin2α+(－1－c)sinα+c(sinα－)2+c－()2
sinα－1时［f(sinα)］max8解b－4c3
6解：图设矩形木板长边AB着设OAxOBya2x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα2xy(1－cosα)
∵0＜α＜π∴1－cosα＞0∴xy≤ (仅xy时取号)时谷仓容积值V1(xysinα)b理木板短边着时谷仓容积V值V2ab2cos
∵a＞b∴V1＞V2
木板长边着谷仓底面a底边等腰三角形时谷仓容积值a2bcos
7解：图扇形AOB接矩形MNPQ连OPOPR设∠AOPθ
∠QOP45°－θNPRsinθ△PQO中
∴PQRsin(45°－θ)S矩形MNPQQP·NPR2sinθsin(45°－θ)R2·［cos(2θ－45°)－］≤R2仅cos(2θ－45°)1θ225°时S矩形MNPQ值值R2
工师傅样选点记扇形AOB扇形半径OA边扇形作角AOP∠AOP225°P边扇形弧交点P作PN⊥OANPQ∥OA交OBQ作OM⊥OAM矩形MNPQ面积矩形面积值R2
8解：∵［－］1+sinx＞01－sinx＞0恒成立∴原函数化y
log2(1－sin2x)log2cos2xcosx＞0［－］恒成立∴原函数y2log2cosxx∈［
－］≤cosx≤1
∴log2≤log2cosx≤log21－1≤y≤0x∈［－］ymax0
ymin－1
综合述知存符合题设
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