难点8 奇偶性单调性(二)
函数单调性奇偶性高考重点热点容特两性质应更加突出节帮助考生学会样利两性质解题掌握基方法形成应意识
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数f(x)(0+∞)增函数f(2)0解等式f［log2(x2+5x+4)］≥0
●案例探究
［例1］已知奇函数f(x)定义(－33)减函数满足等式f(x－3)+f(x2－3)<0设等式解集ABA∪{x|1≤x≤}求函数g(x)－3x2+3x－4(x∈B)值
命题意图：题属函数性质综合性题目考生必须具综合运知识分析解决问题力属★★★★级题目
知识托：函数性质解决问题
错解分析：题目等式中f号掉难点求二次函数定区间值问题时学生容易漏掉定义域
技巧方法：助奇偶性脱f号转化xcos等式利数形结合进行集合运算求值
解：x≠00∵f(x)奇函数∴f(x－3)<－f(x2－3)f(3－x2)f(x)(－33)减函数
∴x－3>3－x2x2+x－6>0解x>2x<－3综2∴BA∪{x|1≤x≤}{x|1≤x<}g(x)－3x2+3x－4－3(x－)2－知：g(x)B减函数∴g(x)maxg(1)－4
［例2］已知奇函数f(x)定义域Rf(x)［0+∞)增函数否存实数mf(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)θ∈［0］成立？存求出符合条件实数m范围存说明理
命题意图：题属探索性问题考查考生综合分析力逻辑思维力运算力属★★★★★题目
知识托：函数单调性奇偶性利等价转化思想方法问题转化二次函数定区间值问题
错解分析：考生易运函数综合性质解决问题特易考虑运等价转化思想方法
技巧方法：运等价转化思想分类讨思想解决问题
解：∵f(x)R奇函数［0+∞)增函数∴f(x)R增函数等式等价转化f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)
cos2θ－3>2mcosθ－4mcos2θ－mcosθ+2m－2>0
设tcosθ问题等价转化函数g(t)t2－mt+2m－2(t－)2－+2m－2［01］值恒正转化函数
g(t)［01］值正
∴<0m<0时g(0)2m－2>0m>1m<0符
0≤≤1时0≤m≤2时g(m)－+2m－2>0
4－2>1m>2时g(1)m－1>0m>1∴m>2
综符合题目求m值存取值范围m>4－2
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)运奇偶性单调性解决关函数综合性题目类题目求考生必须具驾驭知识力具综合分析问题解决问题力
(2)应问题利函数奇偶性单调性解决实际问题程中等价转化数形结合思想方法问题中较复杂抽象式子转化基简单式子解决特：利函数单调性求实际应题中值问题
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)设f(x)(－∞+∞)奇函数f(x+2)－f(x)0≤x≤1时f(x)xf(75)等( )
A05 B－05 C15 D－15
2(★★★★)已知定义域(－11)奇函数yf(x)减函数f(a－3)+f(9－a2)<0a取值范围( )
A(23) B(3)
C(24) D(－23)
二填空题
3(★★★★)f(x)奇函数(0+∞)增函数f(－3)0xf(x)<0解集_________
4(★★★★)果函数f(x)R奇函数(－10)增函数f(x+2)－f(x)试较f()f()f(1)关系_________
三解答题
5(★★★★★)已知f(x)偶函数(0+∞)减函数判断f(x)(－∞0)增减性加证明
6(★★★★)已知f(x) (a∈R)R奇函数
(1)求a值
(2)求f(x)反函数f－1(x)
(3)意定k∈R+解等式f－1(x)>lg
7(★★★★)定义(－∞4］减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)意x∈R成立求实数m取值范围
8(★★★★★)已知函数yf(x) (abc∈Ra>0b>0)奇函数x>0时f(x)值2中b∈Nf(1)<
(1)试求函数f(x)解析式
(2)问函数f(x)图象否存关点(10)称两点存求出点坐标存说明理
参考答案
难点磁场
解：∵f(2)0∴原等式化f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)
∵f(x)偶函数f(x)(0+∞)增函数
∴f(x)(－∞0）减函数f(－2)f(2)0
∴等式化log2(x2+5x+4)≥2 ①
log2(x2+5x+4)≤－2 ②
①x2+5x+4≥4
∴x≤－5x≥0 ③
②0＜x2+5x+4≤≤x＜－4－1＜x≤ ④
③④原等式解集
{x|x≤－5≤x≤－4－1＜x≤x≥0}
歼灭难点训练
1解析：f(75)f(55+2)－f(55)－f(35+2)f(35)f(15+2)－f(15)－f(－05+2)
f(－05)－f(05)－05
答案：B
2解析：∵f(x)定义(－11）奇函数减函数f(a－3)+f(9－a2)＜0
∴f(a－3)＜f(a2－9)
∴ ∴a∈(23)
答案：A
二3解析：题意知：xf(x)＜0
∴x∈(－30)∪(03)
答案：(－30）∪(03）
4解析：∵f(x)R奇函数
∴f()－f(－)f()－f(－)f(1)－f(－1)f(x)(－10)增函数－>
－>－1
∴f(－)>f(－)>f(－1)∴f()＜f()＜f(1)
答案：f()＜f()＜f(1)
三5解：函数f(x)(－∞0）增函数设x1＜x2＜0f(x)偶函数
f(－x1)f(x1)f(－x2)f(x2)假设知－x1>－x2>0已知f(x)(0+∞)减函数f(－x1)＜f(－x2)f(x1)＜f(x2)知函数f(x)(－∞0)增函数
6解：(1）a1
(2)f(x) (x∈R)f－1(x)log2 (－1＜x＜1
(3)log2>log2log2(1－x)＜log2k∴0＜k＜2时等式解集{x|1－k＜x＜1k≥2时等式解集{x|－1＜x＜1
7解：x∈R恒成立
∴m∈［3］∪{}
8解：(1)∵f(x)奇函数∴f(－x)－f(x)
∴c0∵a>0b>0x>0∴f(x)≥2仅x时等号成立22∴ab2f(1)＜＜＜∴2b2－5b+2＜0解＜b＜2b∈N∴b1∴a1∴f(x)x+
(2)设存点(x0y0)yf(x)图象关(10）称点(2－x0－y0)yf(x)图象
消y0x02－2x0－10x01±
∴yf(x)图象存两点(1+2)(1－－2)关(10)称
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难点8 奇偶性单调性(二)
函数单调性奇偶性高考重点热点容特两性质应更加突出节帮助考生学会样利两性质解题掌握基方法形成应意识
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数f(x)(0+∞)增函数f(2)0解等式f［log2(x2+5x+4)］≥0
●案例探究
［例1］已知奇函数f(x)定义(－33)减函数满足等式f(x－3)+f(x2－3)<0设等式解集ABA∪{x|1≤x≤}求函数g(x)－3x2+3x－4(x∈B)值
命题意图：题属函数性质综合性题目考生必须具综合运知识分析解决问题力属★★★★级题目
知识托：函数性质解决问题
错解分析：题目等式中f号掉难点求二次函数定区间值问题时学生容易漏掉定义域
技巧方法：助奇偶性脱f号转化xcos等式利数形结合进行集合运算求值
解：x≠00
∴x－3>3－x2x2+x－6>0解x>2x<－3综2
［例2］已知奇函数f(x)定义域Rf(x)［0+∞)增函数否存实数mf(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)θ∈［0］成立？存求出符合条件实数m范围存说明理
命题意图：题属探索性问题考查考生综合分析力逻辑思维力运算力属★★★★★题目
知识托：函数单调性奇偶性利等价转化思想方法问题转化二次函数定区间值问题
错解分析：考生易运函数综合性质解决问题特易考虑运等价转化思想方法
技巧方法：运等价转化思想分类讨思想解决问题
解：∵f(x)R奇函数［0+∞)增函数∴f(x)R增函数等式等价转化f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)
cos2θ－3>2mcosθ－4mcos2θ－mcosθ+2m－2>0
设tcosθ问题等价转化函数g(t)t2－mt+2m－2(t－)2－+2m－2［01］值恒正转化函数
g(t)［01］值正
∴<0m<0时g(0)2m－2>0m>1m<0符
0≤≤1时0≤m≤2时g(m)－+2m－2>0
4－2
综符合题目求m值存取值范围m>4－2
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)运奇偶性单调性解决关函数综合性题目类题目求考生必须具驾驭知识力具综合分析问题解决问题力
(2)应问题利函数奇偶性单调性解决实际问题程中等价转化数形结合思想方法问题中较复杂抽象式子转化基简单式子解决特：利函数单调性求实际应题中值问题
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)设f(x)(－∞+∞)奇函数f(x+2)－f(x)0≤x≤1时f(x)xf(75)等( )
A05 B－05 C15 D－15
2(★★★★)已知定义域(－11)奇函数yf(x)减函数f(a－3)+f(9－a2)<0a取值范围( )
A(23) B(3)
C(24) D(－23)
二填空题
3(★★★★)f(x)奇函数(0+∞)增函数f(－3)0xf(x)<0解集_________
4(★★★★)果函数f(x)R奇函数(－10)增函数f(x+2)－f(x)试较f()f()f(1)关系_________
三解答题
5(★★★★★)已知f(x)偶函数(0+∞)减函数判断f(x)(－∞0)增减性加证明
6(★★★★)已知f(x) (a∈R)R奇函数
(1)求a值
(2)求f(x)反函数f－1(x)
(3)意定k∈R+解等式f－1(x)>lg
7(★★★★)定义(－∞4］减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)意x∈R成立求实数m取值范围
8(★★★★★)已知函数yf(x) (abc∈Ra>0b>0)奇函数x>0时f(x)值2中b∈Nf(1)<
(1)试求函数f(x)解析式
(2)问函数f(x)图象否存关点(10)称两点存求出点坐标存说明理
参考答案
难点磁场
解：∵f(2)0∴原等式化f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)
∵f(x)偶函数f(x)(0+∞)增函数
∴f(x)(－∞0）减函数f(－2)f(2)0
∴等式化log2(x2+5x+4)≥2 ①
log2(x2+5x+4)≤－2 ②
①x2+5x+4≥4
∴x≤－5x≥0 ③
②0＜x2+5x+4≤≤x＜－4－1＜x≤ ④
③④原等式解集
{x|x≤－5≤x≤－4－1＜x≤x≥0}
歼灭难点训练
1解析：f(75)f(55+2)－f(55)－f(35+2)f(35)f(15+2)－f(15)－f(－05+2)
f(－05)－f(05)－05
答案：B
2解析：∵f(x)定义(－11）奇函数减函数f(a－3)+f(9－a2)＜0
∴f(a－3)＜f(a2－9)
∴ ∴a∈(23)
答案：A
二3解析：题意知：xf(x)＜0
∴x∈(－30)∪(03)
答案：(－30）∪(03）
4解析：∵f(x)R奇函数
∴f()－f(－)f()－f(－)f(1)－f(－1)f(x)(－10)增函数－>
－>－1
∴f(－)>f(－)>f(－1)∴f()＜f()＜f(1)
答案：f()＜f()＜f(1)
三5解：函数f(x)(－∞0）增函数设x1＜x2＜0f(x)偶函数
f(－x1)f(x1)f(－x2)f(x2)假设知－x1>－x2>0已知f(x)(0+∞)减函数f(－x1)＜f(－x2)f(x1)＜f(x2)知函数f(x)(－∞0)增函数
6解：(1）a1
(2)f(x) (x∈R)f－1(x)log2 (－1＜x＜1
(3)log2>log2log2(1－x)＜log2k∴0＜k＜2时等式解集{x|1－k＜x＜1k≥2时等式解集{x|－1＜x＜1
7解：x∈R恒成立
∴m∈［3］∪{}
8解：(1)∵f(x)奇函数∴f(－x)－f(x)
∴c0∵a>0b>0x>0∴f(x)≥2仅x时等号成立22∴ab2f(1)＜＜＜∴2b2－5b+2＜0解＜b＜2b∈N∴b1∴a1∴f(x)x+
(2)设存点(x0y0)yf(x)图象关(10）称点(2－x0－y0)yf(x)图象
消y0x02－2x0－10x01±
∴yf(x)图象存两点(1+2)(1－－2)关(10)称
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