中学高考——2014·江苏卷

2014·江苏卷(课标数学)
1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2－134}B＝{－123}A∩B＝________．
1．{－13}　[解析] 题意A∩B＝{－13}．
2．[2014·江苏卷] 已知复数z＝(5－2i)2(i虚数单位)z实部________．
2．21　[解析] 根复数法运算公式知z＝(5－2i)2＝52－2×5×2i＋(2i)2＝21－20i实部21虚部－20

图1­1
3．[2014·江苏卷] 图1­1示算法流程图输出n值______．
3．5　[解析] 根流程图判断题2n＞20否成立．成立n1开始次增加1成立输出n值．题4次循环25>20成立输出n值5
4．[2014·江苏卷] 12364数中次机取2数取2数积6概率________．
4　[解析] 基事件(12)(13)(16)(23)(26)(36)6种情况积6(16)(23)求事件概率
5．[2014·江苏卷] 已知函数y＝cos xy＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)图横坐标交点φ值________．
5　[解析] x＝分代入两函数sin＝解π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)化简解φ＝－＋2kπ(k∈Z)φ＝＋2kπ(k∈Z)．φ∈[0π)φ＝
6．[2014·江苏卷] 解片济林生长情况机抽测中60株树木底部周长(单位：cm)数均区间[80130]频率分布直方图图1­2示抽测60株树木中____株树木底部周长100 cm

图1­2
6．24　[解析] 频率分布直方图数[8090]频率0015×10＝015数[90100]频率0025×10＝025样容量60株求(015＋025)×60＝24(株)．
7．[2014·江苏卷] 项均正数等数列{an}中a2＝1a8＝a6＋2a4a6值________．
7．4　[解析] 等数列定义a8＝a2q6a6＝a2q4a4＝a2q2a2q6＝a2q4＋2a2q2an＞0q4－q2－2＝0解q2＝2a6＝a2q4＝1×22＝4
8．[2014·江苏卷] 设甲乙两圆柱底面积分S1S2体积分V1V2侧面积相等＝值________．
8　[解析] ＝＝＝＝圆柱侧面积S侧＝2πrhS侧1＝2πr1h1＝S侧2＝2πr2h2＝＝＝＝×＝
9．[2014·江苏卷] 面直角坐标系xOy中直线x＋2y－3＝0圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截弦长________．
9 　[解析] 题意圆心(2－1)r＝2圆心直线距离d＝＝ 弦长2＝2 ＝
10．[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝x2＋mx－1意x∈[mm＋1]f(x)<0成立实数m取值范围________．
10　[解析] f(x)＝x2＋mx－1开口二次函数函数值区间端点处取意x∈[mm＋1]f(x)＜0需
解m∈
11．[2014·江苏卷] 面直角坐标系xOy中曲线y＝ax2＋(ab常数)点P(2－5)该曲线点P处切线直线7x＋2y＋3＝0行a＋b值________．
11．－3　[解析] 易知y′＝2ax－根题意解
a＋b＝－3
12．[2014·江苏卷] 图1­3示行四边形ABCD中已知AB＝8AD＝5＝3·＝2·值________．

图1­3
12．22　[解析] CP＝3PDAP·BP＝2AP＝AD＋DP＝AD＋ABBP＝BC＋CP＝AD－ABAP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2＝2AB＝8AD＝52＝25－×64－AB·ADAB·AD＝22
13．[2014·江苏卷] 已知f(x)定义R周期3函数x∈[03)时f(x)＝函数y＝f(x)－a区间[－34]10零点(互相)实数a取值范围________．
13　[解析] 先画出y＝x2－2x＋区间[03]图x轴方图称x轴方利周期3图移区间[－34]f(x)区间[－34]图图示中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝05f(－2)＝f(1)＝f(4)＝05
函数y＝f(x)－a区间[－34]10零点(互相)等价y＝f(x)图直线y＝a10交点图a∈

14．[2014·江苏卷] △ABC角满足sin A＋sin B＝2sin Ccos C值______．
14　[解析] 设△ABC角ABC边分abc正弦定理a＋b＝2c
cos C＝＝＝＝－≥－＝
仅3a2＝2b2＝时等号成立．
15．[2014·江苏卷] 已知α∈sin α＝
(1)求sin值
(2)求cos值．
15．解： (1)α∈sin α＝
cos α＝－＝－
sin＝sincos α＋cossin α＝
×＋×＝－
(2)(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××
＝－
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝
cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝
×＋×＝－
16．[2014·江苏卷] 图1­4示三棱锥P ­ ABC中DEF分棱PCACAB中点．已知PA⊥ACPA＝6BC＝8DF＝5
求证：(1)直线PA∥面DEF
(2)面BDE⊥面ABC


图1­4
16．证明： (1)DE分棱PCAC中点DE∥PAPA⊄面DEFDE⊂面DEF直线PA∥面DEF
(2)DEF分棱PCACAB中点PA＝6BC＝8DE∥PADE＝PA＝3EF＝BC＝4DF＝5DF2＝DE2＋EF2∠DEF＝90°DE⊥EFPA⊥ACDE∥PADE⊥ACAC∩EF＝EAC⊂面ABCEF⊂面ABCDE⊥面ABC
DE⊂面BDE面BDE⊥面ABC
17．[2014·江苏卷] 图1­5示面直角坐标系xOy中F1F2分椭圆＋＝1(a>b>0)左右焦点顶点B坐标(0b)连接BF2延长交椭圆点A点A作x轴垂线交椭圆点C连接F1C
(1)点C坐标BF2＝求椭圆方程
(2)F1C⊥AB求椭圆离心率e值．

图1­5
17．解： 设椭圆焦距2c F1(－c 0) F2(c 0)．
(1)B(0 b) BF2＝＝aBF2＝ a＝
点C椭圆＋＝1解b2＝1
求椭圆方程＋y2＝1
(2)B(0 b) F2(c 0)直线 AB 直线 AB 方程 ＋＝1
解方程组
点 A 坐标
AC 垂直x 轴 椭圆称性点 C 坐标
直线 F1C斜率＝直线AB斜率－F1C⊥AB·＝－1b2＝a2－c2整理a2＝5c2e2＝
e＝
18．[2014·江苏卷] 图1­6示保护河古桥OA规划建座新桥BC时设立圆形保护区．规划求：新桥BC河岸AB垂直保护区边界圆心M线段OABC相切圆古桥两端OA该圆意点距离均少80 m．测量点A位点O正北方60 m处点C位点O正东方170 m处(OC河岸)tan∠BCO＝
(1)求新桥BC长．
(2)OM长时圆形保护区面积？

图1­6
18．解： 方法：
(1)图示 O坐标原点 OC 直线 x 轴 建立面直角坐标系xOy

条件知A(0 60) C(1700)
直线 BC 斜率kBC＝－tan∠BCO＝－
AB⊥BC 直线AB斜率kAB＝
设点 B 坐标(ab)
kBC＝＝－ kAB＝＝
解a＝80 b＝120
BC＝＝150
新桥BC长150 m
(2)设保护区边界圆M半径r m OM＝d m (0≤d≤60)．
条件知 直线BC方程y＝－(x－170)
4x＋3y－680＝0
圆M直线BC相切 点 M(0 d)直线BC距离r
r＝＝
OA圆M意点距离均少80 m

解10≤d≤35
d＝10时 r ＝ 圆面积
OM＝10 m时 圆形保护区面积．
方法二：
(1)图示 延长 OA CB 交点F

tan∠FCO＝
sin∠FCO＝ cos∠FCO＝
OA＝60OC＝170
OF＝OC tan∠FCO＝ CF＝＝ AF＝OF－OA＝
OA⊥OC cos∠AFB ＝sin∠FCO＝
AB⊥BCBF＝AFcos∠AFB＝ BC＝CF－BF＝150
新桥BC长150 m
(2)设保护区边界圆 MBC切点D连接 MDMD⊥BCMD圆M半径设
MD＝r mOM＝d m (0≤d≤60)．
OA⊥OC sin∠CFO＝cos∠FCO
(1)知sin∠CFO＝＝＝＝ r＝
OA圆M意点距离均少80 m


解10≤d≤35
d＝10时 r＝圆面积
OM＝10 m时 圆形保护区面积．
19．[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x中e然数底数．
(1)证明：f(x)R偶函数．
(2)关x等式mf(x)≤e－x ＋m－1(0＋∞)恒成立求实数m取值范围．
(3)已知正数a满足：存x0∈[1＋∞)f(x0)19．解： (1)证明：意 x∈Rf(－x)＝e－x＋e －(－x)＝e－x＋ex＝f(x)
f(x)R偶函数．
(2)条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1(0＋∞)恒成立．
令 t＝ex(x>0) t>1 m≤－＝
－意 t>1成立．
t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3 －≥－
仅 t＝2 x ＝ ln 2时等号成立．
实数 m 取值范围
(3)令函数 g(x)＝ex＋－ a(－x3＋3x)g′ (x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
x≥1时ex－>0x2－1≥0a>0 g′(x)>0g(x)[1＋∞)单调递增函数 g(x)[1＋∞)值 g(1)＝ e＋e－1－2a
存x0∈[1＋∞)ex0＋e－x0－a(－x＋ 3x0 )<0 成立 仅值g(1)<0
e＋e－1－2a<0 a>
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1 h′(x)＝1－ 令 h′(x)＝0 x＝e－1
x∈(0e－1)时h′(x)<0h(x)(0e－1)单调递减函数
x∈(e－1＋∞)时h′(x)>0h(x)(e－1＋∞)单调递增函数．
h(x)(0＋∞)值h(e－1)．
注意h(1)＝h(e)＝0x∈(1e－1)⊆(0e－1)时h(e－1)≤h(x)x∈(e－1e)⊆(e－1＋∞)时
h(x)h(x)<0意x∈(1e)成立．
①a∈⊆(1e)时 h(a)<0
a－1<(e－1)ln aea－1②a＝e时ea－1＝ae－1
③a∈(e＋∞)⊆(e－1＋∞)时h(a)>h(e)＝0a－1>(e－1)ln aea－1>ae－1
综述a∈时ea－1ae－1
20．[2014·江苏卷] 设数列{an}前n项Sn意正整数n总存正整数mSn＝am称{an}H数列．
(1)数列{an}前n项Sn＝2n(n∈N*)证明：{an}H数列．
(2)设{an}等差数列首项a1＝1公差d<0{an}H数列求d值．
(3)证明：意等差数列{an}总存两H数列{bn}{cn}an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
20．解： (1)证明：已知n≥1时an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n意正整数n总存正整数m＝n＋1Sn＝2n＝am
{an}H数列．
(2)已知S2＝2a1＋d＝2＋d{an}H数列存正整数mS2＝am2＋d＝1＋(m－1)d(m－2)d＝1d<0m－2<0m＝1d＝－1
d＝－1时an＝2－nSn＝2整数n∈N*意正整数n总存正整数m＝2－Sn＝2－Sn＝2－m＝am{an}H数列d值－1
(3)证明：设等差数列{an}公差dan ＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．
令bn＝na1cn＝(n－1)(d－a1)an＝bn＋cn(n∈N*)．
证{bn}H数列．
设{bn}前n项TnTn＝a1(n∈N*)．意正整数n总存正整数m＝Tn＝bm{bn}H数列．
理证{cn}H数列．
意等差数列{an}总存两H数列{bn}{cn}an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
21．[2014·江苏卷] A．[选修4­1：证明选讲]
图1­7示AB圆O直径CD圆O位AB异侧两点．
证明：∠OCB＝∠D

图1­7
证明：BC圆O两点OB＝OC
∠OCB＝∠B
CD圆O位AB异侧两点
∠B∠D弧两圆周角
∠B＝∠D∠OCB＝∠D
[2014·江苏卷] B．[选修4­2：矩阵变换]
已知矩阵A＝B＝量α＝xy实数．＝求x＋y值．
解：已知＝＝)
Bα＝　)))＝)．
＝)＝)．
解
x＋y＝
[2014·江苏卷] C．[选修4­4：坐标系参数方程]
面直角坐标系xOy中已知直线l参数方程(t参数)直线l抛物线y2＝4x相交AB两点求线段AB长．
解：直线l参数方程代入抛物线方程y2＝4x
＝4
解t1＝0t2＝－8
AB＝|t1－t2|＝8
[2014·江苏卷] D．[选修4­5：等式选讲]
已知x>0y>0证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy
证明：x>0y>0
1＋x＋y2≥3>0
1＋x2＋y≥3>0
(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy
22．[2014·江苏卷] 盒中9球中4红球3黄球2绿球球颜色外完全相．
(1)盒中次机取出2球求取出2球颜色相概率P
(2)盒中次机取出4球中红球黄球绿球数分记x1x2x3机变量X表示x1x2x3中数求X概率分布数学期E(X)．
22．解：(1)取2颜色相球2红球2黄球2绿球P＝＝＝
(2)机变量X取值234
{X＝4}表示机事件取4球4红球P(X＝4)＝＝
{X＝3}表示机事件取4球3红球1颜色球3黄球1颜色球P(X＝3)＝＝＝P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝
机变量X概率分布表：
X
2
3
4
P



机变量X数学期
E(X)＝2×＋3×＋4×＝
23．[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)设fn(x)fn－1(x)导数n∈N*
(1)求2f1＋f2值
(2)证明：意n∈N*等式＝成立．
23．解： (1)已知f1(x)＝f′0(x)＝′＝－
f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝
－－＋
f1＝－f2＝－＋
2f1＋f2＝－1
(2)证明：已知xf0(x)＝sin x等式两边分x求导f0(x)＋xf0′(x)＝cos x
f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin
类似
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
面数学纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinn∈N*成立．
(i)n＝1时知等式成立．
(ii)假设n＝k时等式成立kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin
[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)
′＝cos·′＝sin
(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin
n＝k＋1时等式成立．
综合(i)(ii)知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinn∈N*成立．
令x＝nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)
＝(n∈N*)．


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