第十五章 复数综合力测试(Ⅱ)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题 100分)
选择题(题选项正确题5分100分题出四选项中项符合题目求)
1．(2009·山东)复数等 ( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
答案：C
解析：＝＝＝2＋i选C
2．(2009·宁夏海南)复数－＝ ( )
A．0 B．2 C．－2i D．2i
答案：D
解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i
3．(2009·陕西)已知z纯虚数实数z等 ( )
A．2i B．i C．－i D．－2i
答案：D
解析：题意z＝ai(a∈Ra≠0)．
∴＝＝
a＋2＝0∴a＝－2z＝－2i选D
4．(2009·武汉市高三年级2月调研考试)f(x)＝x3－x2＋x－1f(i)＝ ( )
A．2i B．0 C．－2i D．－2
答案：B
解析：题意f(i)＝i3－i2＋i－1＝－i＋1＋i－1＝0选择B
5．(2009·北京阳4月)复数z＝(i虚数单位)复面应点位 ( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：z＝＝－i应点第四象限选D
6．(2009·北京东城3月)复数表示a＋bi(ab∈Ri虚数单位)形式值 ( )
A．－2 B．－ C．2 D
答案：A
解析：＝1－2i表示a＋bi(ab∈Ri虚数单位)形式值－2选A
7．(2009·北京西城4月)设i虚数单位复数z＝tan45°－i·sin60°z2等 ( )
A－i B－i
C＋i D＋i
答案：B
解析：z＝tan45°－i·sin60°＝1－iz2＝－i选B
8．(2009·黄冈中学模)原点－i复面应直线倾斜角 ( )
A B．－
Cπ Dπ
答案：D
解析：－i应点(－1)求直线斜率－倾斜角π选D
9．设abcd∈R实数 ( )
A．bc＋ad≠0 B．bc－ad≠0
C．bc－ad＝0 D．bc＋ad＝0
答案：C
解析：＝＝＋i题意＝0⇒bc－ad＝0
10．已知复数z＝1－2i＝ ( )
A＋i B－i
C＋i D－i
答案：D
解析：z＝1－2i知＝1＋2i＝＝＝－i选D
11．已知复数z1＝3－biz2＝1－2i实数实数b值 ( )
A．6 B．－6 C．0 D
答案：A
解析：＝＝＝实数实数b值6选A
12．(2009·广东)设z复数α(z)表示满足zn＝1正整数n虚数单位iα(i)＝ ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：B
解析：α(i)表示in＝1正整数ni4k＝1(k∈N*)显然n＝4α(i)＝4选B
13．z＝＋i(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4a2等 ( )
A．－＋i B．－3＋3i
C．6＋3i D．－3－3i
答案：B
解析：∵Tr＋1＝Cx4－r(－z)r
4－r＝2r＝2
∴a2＝C(－z)2＝6×(－－i)2
＝－3＋3i选B
14．△ABC锐角三角形复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)应点位( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：∵△ABC锐角三角形
∴A＋B＞90°B＞90°－A
∴cosB＜sinAsinB＞cosA
∴cosB－sinA＜0sinB－cosA＞0
∴z应点第二象限．
15．果复数(中i虚数单位b实数)实部虚部互相反数b等
( )
A B C．－ D．2
答案：C
解析：＝
＝＋i
＝－b＝－
16．设函数f(x)＝－x5＋5x4－10x3＋10x2－5x＋1f(＋i)值 ( )
A．－＋i B－i
C＋i D．－＋i
答案：C
解析：∵f(x)＝－(x－1)5
∴f(＋i)＝－(＋i－1)5
＝－ω5(中ω＝－＋i)
＝－＝－(－－i)＝＋i
17．i虚数单位满足(p＋qi)2＝q＋pi实数pq ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：D
解析：(p＋qi)2＝q＋pi(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi解
满足条件实数pq4．
总结评述：题考查复数基运算解答复数问题基策略复数问题转化实数问题解决解答中特注意出现漏解现象2pq＝p应p＝0q＝
18．已知(－)6展开式中含x项正数p值 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：题意：C··22＝求p＝3选C
总结评述：题考查二项式定理展开式注意搭配展开式中含x项找常数项．
19．复数z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)复面应点位 ( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：题考查复数复面点间关系复数复面点应关系z＝a＋bi复面点Z(ab)应z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)知：
a＝－lg(x2＋2)＜02x＋2－x－1≥2－1＝1＞0
∴－(2x＋2－x－1)＜0b＜0∴(ab)应第三象限点选C
20．设复数z＋i(z∈C)映射f象复数z轭复数i积复数ω映射f象－1＋2i相应ω ( )
A．2 B．2－2i C．－2＋i D．2＋i
答案：A
解析：令ω＝a＋biab∈Rω＝[a＋(b－1)i]＋i
∴映射fω象[a－(b－1)i]·i＝(b－1)＋ai＝－1＋2i
∴解∴ω＝2
第Ⅱ卷(非选择题 50分)
二填空题(题5题题4分20分请答案填题中横线)
21．(2009·崇文3月)已知z复数i虚数单位(1－i)z＝2iz＝________
答案：－1＋i
解析：(1－i)z＝2iz＝＝－1＋i
22．(2009·海)复数z满足z(1＋i)＝1－i(i虚数单位)轭复数＝________
答案：i
解析：z＝＝＝－i
∴＝i
23．(2009·江苏)复数z1＝4＋29iz2＝6＋9i中i虚数单位复数(z1－z2)i实部________．
答案：－20
解析：(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i(z1－z2)i实部－20
24．(2009·海淀4月)复面复数(a∈R)应点位虚轴a＝________
答案：0
解析：＝a－i应点虚轴a＝0
25．(2009·安徽宿州二中模拟考三)i虚数单位1＋Ci＋Ci2＋Ci3＋Ci4＋Ci5＋Ci6＝________
答案：－8i
解析：1＋Ci＋Ci2＋Ci3＋Ci4＋Ci5＋Ci6＝(1＋i)6＝[(1＋i)2]3＝(2i)3＝－8i
三解答题(题3题30分解答应写出文字说明演算步骤证明程)
26．(题满分10分)计算列问题：
(1)＋－
(2)(－－i)12＋()8
分析：复数运算应四运算法外简单算式知道结果样起点高方便计算达迅速简捷少出错效果．(1±i)2＝±2i＝－i＝i＝－i＝b－ai(－±i)3＝1(±i)3＝－1等等．
解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i
(2)(－－i)12＋()8
＝i12·(－＋i)12＋8
＝[(－＋i)3]4＋
＝1－(2i)4(－i)
＝1－8＋8i＝－7＋8i
27．(题满分10分)求时满足列两条件复数z
(1)1＜z＋≤6
(2)z实部虚部整数．
解析：设z＝x＋yi(xy∈R)
z＋＝＋i
∵1＜z＋≤6∴
①y＝0x2＋y2＝10y＝0代入②1＜＋x≤6＋x≥2＞6(x＞0)矛盾
∴y≠0x2＋y2＝10代入②＜x≤3
xy整数∴
z＝1±3iz＝3±i
28．(题满分10分)已知z1＝a＋(a＋1)iz2＝－3b＋(b＋2)i(a＞0b＞0)3z＋z＝0求z1z2
解析：∵3z＋z＝0
∴()2＝－3＝±i
∴z2＝±iz1
z2＝iz1时
－3b＋(b＋2)i＝i[a＋(a＋1)i]＝－(a＋1)＋ai
复数相等条件知
∴
∴z1＝＋3iz2＝－3＋3i
z2＝－iz1时－3b＋(b＋2)i＝(a＋1)－ai
复数相等条件知
∴
∵已知ab∈(0＋∞)
∴时适合条件ab存．
∴z1＝＋3iz2＝－3＋3i
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试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题 100分)
选择题(题选项正确题5分100分题出四选项中项符合题目求)
1．(2009·山东)复数等 ( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
答案：C
解析：＝＝＝2＋i选C
2．(2009·宁夏海南)复数－＝ ( )
A．0 B．2 C．－2i D．2i
答案：D
解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i
3．(2009·陕西)已知z纯虚数实数z等 ( )
A．2i B．i C．－i D．－2i
答案：D
解析：题意z＝ai(a∈Ra≠0)．
∴＝＝
a＋2＝0∴a＝－2z＝－2i选D
4．(2009·武汉市高三年级2月调研考试)f(x)＝x3－x2＋x－1f(i)＝ ( )
A．2i B．0 C．－2i D．－2
答案：B
解析：题意f(i)＝i3－i2＋i－1＝－i＋1＋i－1＝0选择B
5．(2009·北京阳4月)复数z＝(i虚数单位)复面应点位 ( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：z＝＝－i应点第四象限选D
6．(2009·北京东城3月)复数表示a＋bi(ab∈Ri虚数单位)形式值 ( )
A．－2 B．－ C．2 D
答案：A
解析：＝1－2i表示a＋bi(ab∈Ri虚数单位)形式值－2选A
7．(2009·北京西城4月)设i虚数单位复数z＝tan45°－i·sin60°z2等 ( )
A－i B－i
C＋i D＋i
答案：B
解析：z＝tan45°－i·sin60°＝1－iz2＝－i选B
8．(2009·黄冈中学模)原点－i复面应直线倾斜角 ( )
A B．－
Cπ Dπ
答案：D
解析：－i应点(－1)求直线斜率－倾斜角π选D
9．设abcd∈R实数 ( )
A．bc＋ad≠0 B．bc－ad≠0
C．bc－ad＝0 D．bc＋ad＝0
答案：C
解析：＝＝＋i题意＝0⇒bc－ad＝0
10．已知复数z＝1－2i＝ ( )
A＋i B－i
C＋i D－i
答案：D
解析：z＝1－2i知＝1＋2i＝＝＝－i选D
11．已知复数z1＝3－biz2＝1－2i实数实数b值 ( )
A．6 B．－6 C．0 D
答案：A
解析：＝＝＝实数实数b值6选A
12．(2009·广东)设z复数α(z)表示满足zn＝1正整数n虚数单位iα(i)＝ ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：B
解析：α(i)表示in＝1正整数ni4k＝1(k∈N*)显然n＝4α(i)＝4选B
13．z＝＋i(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4a2等 ( )
A．－＋i B．－3＋3i
C．6＋3i D．－3－3i
答案：B
解析：∵Tr＋1＝Cx4－r(－z)r
4－r＝2r＝2
∴a2＝C(－z)2＝6×(－－i)2
＝－3＋3i选B
14．△ABC锐角三角形复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)应点位( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：∵△ABC锐角三角形
∴A＋B＞90°B＞90°－A
∴cosB＜sinAsinB＞cosA
∴cosB－sinA＜0sinB－cosA＞0
∴z应点第二象限．
15．果复数(中i虚数单位b实数)实部虚部互相反数b等
( )
A B C．－ D．2
答案：C
解析：＝
＝＋i
＝－b＝－
16．设函数f(x)＝－x5＋5x4－10x3＋10x2－5x＋1f(＋i)值 ( )
A．－＋i B－i
C＋i D．－＋i
答案：C
解析：∵f(x)＝－(x－1)5
∴f(＋i)＝－(＋i－1)5
＝－ω5(中ω＝－＋i)
＝－＝－(－－i)＝＋i
17．i虚数单位满足(p＋qi)2＝q＋pi实数pq ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：D
解析：(p＋qi)2＝q＋pi(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi解
满足条件实数pq4．
总结评述：题考查复数基运算解答复数问题基策略复数问题转化实数问题解决解答中特注意出现漏解现象2pq＝p应p＝0q＝
18．已知(－)6展开式中含x项正数p值 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：题意：C··22＝求p＝3选C
总结评述：题考查二项式定理展开式注意搭配展开式中含x项找常数项．
19．复数z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)复面应点位 ( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：题考查复数复面点间关系复数复面点应关系z＝a＋bi复面点Z(ab)应z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)知：
a＝－lg(x2＋2)＜02x＋2－x－1≥2－1＝1＞0
∴－(2x＋2－x－1)＜0b＜0∴(ab)应第三象限点选C
20．设复数z＋i(z∈C)映射f象复数z轭复数i积复数ω映射f象－1＋2i相应ω ( )
A．2 B．2－2i C．－2＋i D．2＋i
答案：A
解析：令ω＝a＋biab∈Rω＝[a＋(b－1)i]＋i
∴映射fω象[a－(b－1)i]·i＝(b－1)＋ai＝－1＋2i
∴解∴ω＝2
第Ⅱ卷(非选择题 50分)
二填空题(题5题题4分20分请答案填题中横线)
21．(2009·崇文3月)已知z复数i虚数单位(1－i)z＝2iz＝________
答案：－1＋i
解析：(1－i)z＝2iz＝＝－1＋i
22．(2009·海)复数z满足z(1＋i)＝1－i(i虚数单位)轭复数＝________
答案：i
解析：z＝＝＝－i
∴＝i
23．(2009·江苏)复数z1＝4＋29iz2＝6＋9i中i虚数单位复数(z1－z2)i实部________．
答案：－20
解析：(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i(z1－z2)i实部－20
24．(2009·海淀4月)复面复数(a∈R)应点位虚轴a＝________
答案：0
解析：＝a－i应点虚轴a＝0
25．(2009·安徽宿州二中模拟考三)i虚数单位1＋Ci＋Ci2＋Ci3＋Ci4＋Ci5＋Ci6＝________
答案：－8i
解析：1＋Ci＋Ci2＋Ci3＋Ci4＋Ci5＋Ci6＝(1＋i)6＝[(1＋i)2]3＝(2i)3＝－8i
三解答题(题3题30分解答应写出文字说明演算步骤证明程)
26．(题满分10分)计算列问题：
(1)＋－
(2)(－－i)12＋()8
分析：复数运算应四运算法外简单算式知道结果样起点高方便计算达迅速简捷少出错效果．(1±i)2＝±2i＝－i＝i＝－i＝b－ai(－±i)3＝1(±i)3＝－1等等．
解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i
(2)(－－i)12＋()8
＝i12·(－＋i)12＋8
＝[(－＋i)3]4＋
＝1－(2i)4(－i)
＝1－8＋8i＝－7＋8i
27．(题满分10分)求时满足列两条件复数z
(1)1＜z＋≤6
(2)z实部虚部整数．
解析：设z＝x＋yi(xy∈R)
z＋＝＋i
∵1＜z＋≤6∴
①y＝0x2＋y2＝10y＝0代入②1＜＋x≤6＋x≥2＞6(x＞0)矛盾
∴y≠0x2＋y2＝10代入②＜x≤3
xy整数∴
z＝1±3iz＝3±i
28．(题满分10分)已知z1＝a＋(a＋1)iz2＝－3b＋(b＋2)i(a＞0b＞0)3z＋z＝0求z1z2
解析：∵3z＋z＝0
∴()2＝－3＝±i
∴z2＝±iz1
z2＝iz1时
－3b＋(b＋2)i＝i[a＋(a＋1)i]＝－(a＋1)＋ai
复数相等条件知
∴
∴z1＝＋3iz2＝－3＋3i
z2＝－iz1时－3b＋(b＋2)i＝(a＋1)－ai
复数相等条件知
∴
∵已知ab∈(0＋∞)
∴时适合条件ab存．
∴z1＝＋3iz2＝－3＋3i
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