难点11 函数中综合问题
函数综合问题历年高考热点重点容般难度较考查容形式灵活样节课帮助考生掌握关函数知识基础进步深化综合运知识力掌握基解题技巧方法培养考生思维创新力
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)定义域R意实数xyf(x+y)f(x)+f(y)x>0时f(x)<0f(3)－4
(1)求证：f(x)奇函数
(2)区间［－99］求f(x)值
●案例探究
［例1］设f(x)定义R偶函数图象关直线x1称意x1x2∈［0］f(x1+x2)f(x1)·f(x2)f(1)a>0
(1)求f()f()
(2)证明f(x)周期函数
(3)记anf(n+)求
命题意图：题考查函数概念图象函数奇偶性周期性数列极限等知识考查运算力逻辑思维力
知识托：认真分析处理知识相互联系抓住条件f(x1+x2)f(x1)·f(x2)找问题突破口
错解分析：会利f(x1+x2)f(x1)·f(x2)进行合理变形
技巧方法：f(x1+x2)f(x1)·f(x2)变形解决问题关键
(1) 解：x1x2∈［0］f(x1+x2)f(x1)·f(x2)f(x)≥0
x∈［01］
f(1)f(+)f()·f()［f()］2
f()f(+)f()·f()［f（）］2
f(1)a>0
∴f()af()a
(2)证明：题意设yf(x)关直线x1称f(x)f(1+1－x)f(x)f(2－x)x∈R
f(x)偶函数知f(－x)f(x)x∈R
∴f(－x)f(2－x)x∈R
式中－xx代换f(x)f(x+2)表明f(x)R周期函数2
周期
(3)解：(1)知f(x)≥0x∈［01］
∵f()f(n·)f(+(n－1) )f()·f((n－1)·)
……
f()·f()·……·f()
［f()］na
∴f()a
∵f(x)周期2
∴f(2n+)f()ana
∴
［例2］甲乙两相距S千米汽车甲匀速驶乙速度超c千米时已知汽车时运输成(元单位)变部分固定部分组成变部分速度v(kmh)方成正例系数b固定部分a元
(1)全程运输成y(元)表示v(kmh)函数指出函数定义域
(2)全程运输成汽车应速度行驶？
命题意图：题考查建立函数模型等式性质值等知识考查学生综合运学数学知识解决实际问题力
知识托：运建模函数数形结合分类讨等思想方法
错解分析：会实际问题抽象转化具体函数问题易忽略参变量限制条件
技巧方法：四步法：(1)读题(2)建模(3)求解(4)评价
解法：(1)题意知汽车甲匀速行驶乙时间全程运输成ya·+bv2·S(+bv)
∴求函数定义域yS(+bv)v∈(0c
(2)题意知Sabv均正数
∴S(+bv)≥2S ①
仅bvv时①式中等号成立≤cv时ymin
>cv∈(0c时S(+bv)－S(+bc)
S［(－)+(bv－bc)］ (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0c>bc2∴a－bcv≥a－bc2>0
∴S(+bv)≥S(+bc)仅vc时等号成立vc时ymin
综知全程运输成y≤c时行驶速度应v>c时行驶速度应vc
解法二：(1)解法
(2)∵函数yx+ (k>0)x∈(0+∞)x∈(0)时y单调减x∈(+∞)时y单调增加x时y取值全程运输成函数ySb(v+)v∈(0c
∴≤c时v时y>c时vc时y结
●锦囊妙计
解决函数综合问题时认真分析处理种关系握问题线运相关知识方法逐步化基问题解决尤注意等价转化分类讨数形结合等思想综合运综合问题求解需应种知识技必须全面掌握关函数知识严谨审题弄清题目已知条件尤挖掘题目中隐含条件
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数yx+aylogax图象( )
2(★★★★★)定义区间(－∞+∞)奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间［0+∞)图象f(x)图象重合设a>b>0出列等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)中成立( )
A①④ B②③ C①③ D②④
二填空题
3(★★★★)关x方程22x+2xa+a+10实根实数a取值范围_________
三解答题
4(★★★★)设a实数函数f(x)x2+|x－a|+1x∈R
(1)讨f(x)奇偶性
(2)求f(x)值
5(★★★★★)设f(x)
(1)证明：f(x)定义域单调性
(2)证明：方程f1(x)0惟解
(3)解等式f［x(x－)］<
6(★★★★★)定义(－11)函数f(x)满足①意xy∈(－11)f(x)+f(y)f()②x∈(－10)时f(x)>0
求证：
7(★★★★★)某工厂拟建座面图(图)矩形面积200方米三级污水处理池形限制长宽超16米果池外周壁建造单价米400元中间两条隔墙建造单价米248元池底建造单价方米80元(池壁厚度忽略计池盖)
(1)写出总造价y(元)污水处理池长x(米)函数关系式指出定义域
(2)求污水处理池长宽少时污水处理池总造价低？求低总造价
8(★★★★★)已知函数f(x)(－∞0)∪(0+∞)定义(0+∞)增函数f(1)0g(θ)sin2θ－mcosθ－2mθ∈［0］设M{m|g(θ)<0m∈R}N{m|f［g(θ)］<0}求M∩N
［学法指导］样学函数
学函数重点解决四问题：准确深刻理解函数关概念揭示认识函数数学知识联系握数形结合特征方法认识函数思想实质强化应意识
()准确深刻理解函数关概念
概念数学基础函数数学中概念函数概念贯穿中学代数始终数式方程函数排列组合数列极限等函数中心代数十年高考试题中始终贯穿着函数性质条线
(二)揭示认识函数数学知识联系函数研究变量相互联系数学概念变量数学基础利函数观点较高角度处理式方程等式数列曲线方程等容利函数方程思想进行思维中动静变量常量生动辩证统函数思维实际辩证思维种特殊表现形式
谓函数观点实质问题放动态背景加考虑高考试题涉5方面：(1)原始意义函数问题(2)方程等式作函数性质解决(3)数列作特殊函数成高考热点(4)辅助函数法(5)集合映射作基语言工具出现试题中
(三)握数形结合特征方法
函数图象特征函数性质数量特征紧密结合效揭示类函数定义域值域单调性奇偶性周期性等基属性体现数形结合特征方法定形定性定理定位方面精确观察图形绘制图形熟练掌握函数图象移变换称变换
(四)认识函数思想实质强化应意识
函数思想实质联系变化观点提出数学象抽象数量特征建立函数关系求问题解决观年高考题考查函数思想方法尤应题力度加定认识函数思想实质强化应意识
参考答案
难点磁场
(1）证明：令xy0f(0)0
令y－xf(0)f(x)+f(－x)f(－x)－f(x)
∴f(x)奇函数
(2）解：1°取实数x1x2∈［－99］x1＜x2时x2－x1>0f(x1)－f(x2)f［(x1－x2)+x2］－f(x2)f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)－f(x2－x1)
x>0时f(x)＜0∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)［－99］减函数
f(x)值f(－9)值f(9)
f(9)f(3+3+3)3f(3)－12f(－9)－f(9)12
∴f(x)区间［－99］值12值－12
歼灭难点训练
1解析：分类讨a>1时0＜a＜1时
答案：C
2解析：特值法根题意设f(x)xg(x)|x|设a2b1
f(a)ag(a)|a|f(b)bg(b)|b|f(a)－f(b)f(2)－f(－1)2+13
g(b)－g(－a)g(1)－g(－2)1－2－1∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)1－2－1
f(b)－f(－a)f(1)－f(－2)1+23
g(a)－g(－b)g(2)－g(1)2－11∴f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)
①③成立
答案：C
二3解析：设2xt>0原方程变t2+at+a+10 ①
方程①两正实根
解：a∈(－12－2
答案：(－12－2
三4解：(1)a0时函数f(－x)(－x)2+|－x|+1f(x)时f(x)偶函数a≠0时f(a)a2+1f(－a)a2+2|a|+1f(－a)≠f(a)f(－a)≠－f(a)时函数f(x)奇函数偶
函数
(2)①x≤a时函数f(x)x2－x+a+1(x－)2+a+a≤函数f(x)(－∞a单调递减函数f(x)(－∞a值f(a)a2+1
a>函数f(x)(－∞a值f()+af()≤f(a)
②x≥a时函数f(x)x2+x－a+1(x+)2－a+a≤－时函数f(x)［a+∞
值f(－)－af(－)≤f(a)a>－函数f(x)［a+∞)单调递增函数f(x)［a+∞］值f(a)a2+1
综a≤－时函数f(x)值－a－＜a≤时函数f(x)值a2+1a>时函数f(x)值a+
5(1)证明： f(x)定义域(－11)易判断f(x)(－11)减函数
(2)证明：∵f(0)∴f－1()0x方程f－1(x)0解方程f－1(x)0解x0≠f－1(x0)0反函数定义知f(0)x0≠已知矛盾方程f－1(x)0惟解
(3)解：f［x(x－)］＜f［x(x－)］＜f(0)
6证明：f(x)+f(y)f()中xy令xy0f(0)0令y－xf(x)+f(－x)f(0)0f(－x)－f(x)∴f(x)x∈(－11)奇函数设－1＜x1＜x2＜0f(x1)－f(x2)f(x1)+f(－x2)f()∵－1＜x1＜x2＜0∴x1－x2＜01－x1x2>0∴＜0②知f()>0f(x1)－f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x)x∈(－10)单调递减函数根奇函数图象关原点称知f(x)x∈(01)递减函数f(x)＜0
7解：(1)污水处理水池长x米宽米总造价y400(2x+2×)+248××2+80×200800(x+)+1600题设条件
解125≤x≤16函数定义域［12516］
(2)先研究函数yf(x)800(x+)+16000［12516］单调性意x1x2∈［12516］妨设x1＜x2f(x2)－f(x1)800［(x2－x1)+324()］800(x2－x1)(1－)∵125≤x1≤x2≤16∴0＜x1x2＜162＜324∴>11－＜0x2－x1>0∴f(x2)－f(x1)＜0f(x2)＜f(x1)函数yf(x)［12516］减函数∴x16时y取值时ymin800(16+)+1600045000(元)125(米）
综污水处理池长16米宽125米时总造价低低45000元
8解：∵f(x)奇函数(0+∞)增函数∴f(x)(－∞0)增函数
f(1)0∴f(－1)－f(1)0f(x)＜0时x＜－10＜x＜1
集合N{m|f［g(θ)］＜θ＝{m|g(θ)＜－10＜g(θ)＜1
∴M∩N{m|g(θ)＜－1g(θ)＜－1cos2θ>m(cosθ－2)+2θ∈［0］令xcosθx∈［01］：x2>m(x－2)+2x∈［01］令①：y1x2x∈［01］②y2m(m－2)+2显然①抛物线段②(22)点直线系坐标系x∈［01］y1>y2∴m>4－2
M∩N{m|m>4－2}
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函数综合问题历年高考热点重点容般难度较考查容形式灵活样节课帮助考生掌握关函数知识基础进步深化综合运知识力掌握基解题技巧方法培养考生思维创新力
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)定义域R意实数xyf(x+y)f(x)+f(y)x>0时f(x)<0f(3)－4
(1)求证：f(x)奇函数
(2)区间［－99］求f(x)值
●案例探究
［例1］设f(x)定义R偶函数图象关直线x1称意x1x2∈［0］f(x1+x2)f(x1)·f(x2)f(1)a>0
(1)求f()f()
(2)证明f(x)周期函数
(3)记anf(n+)求
命题意图：题考查函数概念图象函数奇偶性周期性数列极限等知识考查运算力逻辑思维力
知识托：认真分析处理知识相互联系抓住条件f(x1+x2)f(x1)·f(x2)找问题突破口
错解分析：会利f(x1+x2)f(x1)·f(x2)进行合理变形
技巧方法：f(x1+x2)f(x1)·f(x2)变形解决问题关键
(1) 解：x1x2∈［0］f(x1+x2)f(x1)·f(x2)f(x)≥0
x∈［01］
f(1)f(+)f()·f()［f()］2
f()f(+)f()·f()［f（）］2
f(1)a>0
∴f()af()a
(2)证明：题意设yf(x)关直线x1称f(x)f(1+1－x)f(x)f(2－x)x∈R
f(x)偶函数知f(－x)f(x)x∈R
∴f(－x)f(2－x)x∈R
式中－xx代换f(x)f(x+2)表明f(x)R周期函数2
周期
(3)解：(1)知f(x)≥0x∈［01］
∵f()f(n·)f(+(n－1) )f()·f((n－1)·)
……
f()·f()·……·f()
［f()］na
∴f()a
∵f(x)周期2
∴f(2n+)f()ana
∴
［例2］甲乙两相距S千米汽车甲匀速驶乙速度超c千米时已知汽车时运输成(元单位)变部分固定部分组成变部分速度v(kmh)方成正例系数b固定部分a元
(1)全程运输成y(元)表示v(kmh)函数指出函数定义域
(2)全程运输成汽车应速度行驶？
命题意图：题考查建立函数模型等式性质值等知识考查学生综合运学数学知识解决实际问题力
知识托：运建模函数数形结合分类讨等思想方法
错解分析：会实际问题抽象转化具体函数问题易忽略参变量限制条件
技巧方法：四步法：(1)读题(2)建模(3)求解(4)评价
解法：(1)题意知汽车甲匀速行驶乙时间全程运输成ya·+bv2·S(+bv)
∴求函数定义域yS(+bv)v∈(0c
(2)题意知Sabv均正数
∴S(+bv)≥2S ①
仅bvv时①式中等号成立≤cv时ymin
>cv∈(0c时S(+bv)－S(+bc)
S［(－)+(bv－bc)］ (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0c>bc2∴a－bcv≥a－bc2>0
∴S(+bv)≥S(+bc)仅vc时等号成立vc时ymin
综知全程运输成y≤c时行驶速度应v>c时行驶速度应vc
解法二：(1)解法
(2)∵函数yx+ (k>0)x∈(0+∞)x∈(0)时y单调减x∈(+∞)时y单调增加x时y取值全程运输成函数ySb(v+)v∈(0c
∴≤c时v时y>c时vc时y结
●锦囊妙计
解决函数综合问题时认真分析处理种关系握问题线运相关知识方法逐步化基问题解决尤注意等价转化分类讨数形结合等思想综合运综合问题求解需应种知识技必须全面掌握关函数知识严谨审题弄清题目已知条件尤挖掘题目中隐含条件
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数yx+aylogax图象( )
2(★★★★★)定义区间(－∞+∞)奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间［0+∞)图象f(x)图象重合设a>b>0出列等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)
A①④ B②③ C①③ D②④
二填空题
3(★★★★)关x方程22x+2xa+a+10实根实数a取值范围_________
三解答题
4(★★★★)设a实数函数f(x)x2+|x－a|+1x∈R
(1)讨f(x)奇偶性
(2)求f(x)值
5(★★★★★)设f(x)
(1)证明：f(x)定义域单调性
(2)证明：方程f1(x)0惟解
(3)解等式f［x(x－)］<
6(★★★★★)定义(－11)函数f(x)满足①意xy∈(－11)f(x)+f(y)f()②x∈(－10)时f(x)>0
求证：
7(★★★★★)某工厂拟建座面图(图)矩形面积200方米三级污水处理池形限制长宽超16米果池外周壁建造单价米400元中间两条隔墙建造单价米248元池底建造单价方米80元(池壁厚度忽略计池盖)
(1)写出总造价y(元)污水处理池长x(米)函数关系式指出定义域
(2)求污水处理池长宽少时污水处理池总造价低？求低总造价
8(★★★★★)已知函数f(x)(－∞0)∪(0+∞)定义(0+∞)增函数f(1)0g(θ)sin2θ－mcosθ－2mθ∈［0］设M{m|g(θ)<0m∈R}N{m|f［g(θ)］<0}求M∩N
［学法指导］样学函数
学函数重点解决四问题：准确深刻理解函数关概念揭示认识函数数学知识联系握数形结合特征方法认识函数思想实质强化应意识
()准确深刻理解函数关概念
概念数学基础函数数学中概念函数概念贯穿中学代数始终数式方程函数排列组合数列极限等函数中心代数十年高考试题中始终贯穿着函数性质条线
(二)揭示认识函数数学知识联系函数研究变量相互联系数学概念变量数学基础利函数观点较高角度处理式方程等式数列曲线方程等容利函数方程思想进行思维中动静变量常量生动辩证统函数思维实际辩证思维种特殊表现形式
谓函数观点实质问题放动态背景加考虑高考试题涉5方面：(1)原始意义函数问题(2)方程等式作函数性质解决(3)数列作特殊函数成高考热点(4)辅助函数法(5)集合映射作基语言工具出现试题中
(三)握数形结合特征方法
函数图象特征函数性质数量特征紧密结合效揭示类函数定义域值域单调性奇偶性周期性等基属性体现数形结合特征方法定形定性定理定位方面精确观察图形绘制图形熟练掌握函数图象移变换称变换
(四)认识函数思想实质强化应意识
函数思想实质联系变化观点提出数学象抽象数量特征建立函数关系求问题解决观年高考题考查函数思想方法尤应题力度加定认识函数思想实质强化应意识
参考答案
难点磁场
(1）证明：令xy0f(0)0
令y－xf(0)f(x)+f(－x)f(－x)－f(x)
∴f(x)奇函数
(2）解：1°取实数x1x2∈［－99］x1＜x2时x2－x1>0f(x1)－f(x2)f［(x1－x2)+x2］－f(x2)f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)－f(x2－x1)
x>0时f(x)＜0∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)［－99］减函数
f(x)值f(－9)值f(9)
f(9)f(3+3+3)3f(3)－12f(－9)－f(9)12
∴f(x)区间［－99］值12值－12
歼灭难点训练
1解析：分类讨a>1时0＜a＜1时
答案：C
2解析：特值法根题意设f(x)xg(x)|x|设a2b1
f(a)ag(a)|a|f(b)bg(b)|b|f(a)－f(b)f(2)－f(－1)2+13
g(b)－g(－a)g(1)－g(－2)1－2－1∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)1－2－1
f(b)－f(－a)f(1)－f(－2)1+23
g(a)－g(－b)g(2)－g(1)2－11∴f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)
①③成立
答案：C
二3解析：设2xt>0原方程变t2+at+a+10 ①
方程①两正实根
解：a∈(－12－2
答案：(－12－2
三4解：(1)a0时函数f(－x)(－x)2+|－x|+1f(x)时f(x)偶函数a≠0时f(a)a2+1f(－a)a2+2|a|+1f(－a)≠f(a)f(－a)≠－f(a)时函数f(x)奇函数偶
函数
(2)①x≤a时函数f(x)x2－x+a+1(x－)2+a+a≤函数f(x)(－∞a单调递减函数f(x)(－∞a值f(a)a2+1
a>函数f(x)(－∞a值f()+af()≤f(a)
②x≥a时函数f(x)x2+x－a+1(x+)2－a+a≤－时函数f(x)［a+∞
值f(－)－af(－)≤f(a)a>－函数f(x)［a+∞)单调递增函数f(x)［a+∞］值f(a)a2+1
综a≤－时函数f(x)值－a－＜a≤时函数f(x)值a2+1a>时函数f(x)值a+
5(1)证明： f(x)定义域(－11)易判断f(x)(－11)减函数
(2)证明：∵f(0)∴f－1()0x方程f－1(x)0解方程f－1(x)0解x0≠f－1(x0)0反函数定义知f(0)x0≠已知矛盾方程f－1(x)0惟解
(3)解：f［x(x－)］＜f［x(x－)］＜f(0)
6证明：f(x)+f(y)f()中xy令xy0f(0)0令y－xf(x)+f(－x)f(0)0f(－x)－f(x)∴f(x)x∈(－11)奇函数设－1＜x1＜x2＜0f(x1)－f(x2)f(x1)+f(－x2)f()∵－1＜x1＜x2＜0∴x1－x2＜01－x1x2>0∴＜0②知f()>0f(x1)－f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x)x∈(－10)单调递减函数根奇函数图象关原点称知f(x)x∈(01)递减函数f(x)＜0
7解：(1)污水处理水池长x米宽米总造价y400(2x+2×)+248××2+80×200800(x+)+1600题设条件
解125≤x≤16函数定义域［12516］
(2)先研究函数yf(x)800(x+)+16000［12516］单调性意x1x2∈［12516］妨设x1＜x2f(x2)－f(x1)800［(x2－x1)+324()］800(x2－x1)(1－)∵125≤x1≤x2≤16∴0＜x1x2＜162＜324∴>11－＜0x2－x1>0∴f(x2)－f(x1)＜0f(x2)＜f(x1)函数yf(x)［12516］减函数∴x16时y取值时ymin800(16+)+1600045000(元)125(米）
综污水处理池长16米宽125米时总造价低低45000元
8解：∵f(x)奇函数(0+∞)增函数∴f(x)(－∞0)增函数
f(1)0∴f(－1)－f(1)0f(x)＜0时x＜－10＜x＜1
集合N{m|f［g(θ)］＜θ＝{m|g(θ)＜－10＜g(θ)＜1
∴M∩N{m|g(θ)＜－1g(θ)＜－1cos2θ>m(cosθ－2)+2θ∈［0］令xcosθx∈［01］：x2>m(x－2)+2x∈［01］令①：y1x2x∈［01］②y2m(m－2)+2显然①抛物线段②(22)点直线系坐标系x∈［01］y1>y2∴m>4－2
M∩N{m|m>4－2}
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