第十七章 勾股定理
基础关卷
单选题
1．直角三角形两边长分68第三边长度（ ）
A．8 B．10 C．82 D．102
答案D
解析
分8直角边8斜边两种情况根勾股定理计算．解：8直角边时斜边10
8斜边时条直角边2
选：D．
点睛
题考查勾股定理果直角三角形两条直角边长分ab斜边长ca2+b2c2．
2．已知三角形三边长三角形（ ）
A．斜边直角三角形 B．斜边直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
答案B
解析
根绝值偶次方非负性质分求出abc值利勾股定理逆定理判断△ABC形状答案∵
根绝值偶次方非负性质
∴c 13b12a5
∵52+122132
∴△ABCc斜边直角三角形．
选：B．
点睛
题考查勾股定理逆定理绝值偶次方性质掌握勾股定理逆定理绝值偶次方非负性质解题关键
3．图△ABC中∠C90°点D边BCADBDDE分∠ADB交AB点E．AC12BC16AE长（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案C
解析
首先根勾股定理求斜边AB长度然结合等腰三角形性质求AE长度．解：图△ABC中∠C90°AC12BC16
勾股定理知：
∵ADBDDE分∠ADB交AB点E．
∴
选：C．
点睛
题考查勾股定理等腰三角形三线合．直角三角形中两条直角边长方定等斜边长方．
4．Rt△ABC中∠C90°AC+BC14cmAB10cmRt△ABC面积( )
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
答案A
解析
根勾股定理AC2+BC2AB2100根完全方公式求出2AC•BC96 AC•BC24答案．∵∠C90°
∴AC2+BC2AB2100
∵AC+BC14
∴（AC+BC）2196
AC2+BC2+2AC•BC196
∴2AC•BC96
∴AC•BC24Rt△ABC面积24cm2
选：A．
点睛
题考查勾股定理应解题关键掌握直角三角形两条直角边长分ab斜边长ca2+b2c2．
5．图示正方形网格中顶点均格点（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案B
解析
首先勾股定理结合图中方格边长求AC2AB2BC2值
接勾股定理逆定理判断出△ABC形状∵BC242+2220AB222+125AC232+4225
∴BC2 +AB2 AC2
∴△ABC直角三角形选B
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理解题关键掌握勾股定理勾股定理逆定理
6．出列四说法：
①030405勾股数030405边长三角形直角三角形
②051213边长三角形直角三角形051213勾股数
③勾股数定
④三整数直角三角形三边长定勾股数
中正确 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案C
解析
根勾股定理勾股定理逆定理勾股数定义分判断说法①030405边长三角形直角三角形030405整数030 405勾股数①说法错误
②然051213边长三角形直角三角形051213整数051213勾股数②说法错误
③勾股数定③说法正确
④三整数直角三角形三边长定勾股数④说法正确
选C
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理勾股数：满足a2＋b2＝c2三正整数称勾股数．注意：
①三数必须正整数例：25665满足a2＋b2＝c2正整数勾股数．
②组勾股数扩相整数倍三数组勾股数．
③记住常勾股数做题提高速度．：345681051213…．
7．图示种机器行走路径机器处先东走北走遇障碍西走转北走东拐仅走达．点点间直线距离（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析
点B作点C先求出ACBC长勾股定理求出AB长．解：图点B作点C
中．
选：D．
点睛
题考查勾股定理解题关键掌握勾股定理解直角三角形方法．
8．图1分直角三角形三边边外作正方形面积分图2分直角三角形三边长直径外作半圆面积分．中（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
答案A
解析
题意S1+S2S3 S5+S6S4然根S11S23S52S64然求出S3+S4值．解：图：
∵S1a2S2b2S3c2
∴a2+b2c2S1+S2S3
理：S5+S6S4
∵S11S23S52S64
∴S3+S4（1+3）+（2+4）4+610．
答案A．
点睛
题考查勾股定理应正方形面积圆面积解法审清题意灵活运数形结合思想成解答题关键．
9．图示中DBE分线交果长（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案C
解析
先根题目条件出角度证明等边三角形根含角直角三角形性质勾股定理求出AC长．解：∵
∴
∵
∴
∵BE分
∴
∵
∴
∵
∴等边三角形
∴
中
∴
根勾股定理
中
∴
根勾股定理．
选：C．
点睛
题考查等边三角形性质判定含角直角三角形性质勾股定理解题关键掌握性质定理进行求解．
10．图宽2米矩形板车ABCD通宽2米等宽直角通道板车长（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
答案A
解析
设板手推车长度x米x值时板手推车形成△CBP等腰直角三角形连接POBC交点N利△CBP等腰直角三角形性质求解．解：设板手推车长度x米x值时板手推车形成△CBP等腰直角三角形连接POBC交点N
∵直角通道宽2
∴PO4m
∴NPPOON422m
∵△CBP等腰直角三角形
∴ADBC2CN2NP4m．
答案A．
点睛
题考查勾股定理等腰三角形相关知识根题意板车长时△CBP等腰直角三角形成解答题关键．
11．图示已知中点等（ ）．
A．9 B．25 C．36 D．45
答案D
解析
中分表示出中表示出代入求解中
中
．
选D．
点睛
题考查勾股定理应准确分析计算解题关键．
12．图等边三角形点D．E分边BC．AC点点FBEAD交点垂足点G已知（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案C
解析
结合等边三角形性质易证△ABE≌△CAD∠FBG＝30°BF＝2FG＝2求解∠ABE＝15°进两次利勾股定理求解．∵△ABC等边三角形
∴∠BAE＝∠C＝60°AB＝ACCD＝AE
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE∠CAD
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°
∵BG⊥AD
∴∠BGF＝90°
∴∠FBG＝30°
∵FG＝1
∴BF＝2FG＝2
∵∠BEC＝75°∠BAE＝60°
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°
∴∠ABG＝45°
∵BG⊥AD
∴∠AGB＝90°
∴AGBG
AB2AG2+BG2()2+()26．
选C．
点睛
题考查全等三角形判定性质等边三角形性质勾股定理证明△ABG等腰直角三角形解题关键．
二填空题
13．直角三角形两边长分34周长__________．
答案127+
解析
分两种情况求出第三边求出周长．分两种情况：
①34直角边时第三边长5三角形周长3+4+512
②3直角边4斜边时第三边长三角形周长3+4+7+
答案：127+．
点睛
题考查勾股定理应题中明确边长直角三角形直角边斜边时应分情况讨求解．
14．图中边中线________．
答案
解析
根中线性质勾股定理逆定理求出度数．∵边中线
∴
∵
∴．
点睛
题考查中线性质勾股定理逆定理应掌握相应性质定理解答题关键．
15．图圆柱形玻璃杯高底面圆周长杯离底点处滴蜂蜜时蚂蚁正杯外壁离杯蜂蜜相点处蚂蚁达蜂蜜爬行短路程________．
答案．
解析
N作NQ⊥EFQ作M关EH称点M′连接M′N交EHP连接MPMP+PN蚂蚁达蜂蜜短距离求出M′QNQ根勾股定理求出M′N．解：图：A圆柱高剪开出矩形EFGHN作NQ⊥EFQ作M关EH称点M′连接M′N交EHP连接MPMP+PN蚂蚁达蜂蜜短距离
∵MEM′EM′PMP
∴MP+PNM′P+PNM′N
∵NQ×10cm5cmM′Q12cm4cm+2cm10cm
Rt△M′QN中勾股定理：M′Ncm．
答案：．
点睛
题考查勾股定理轴称短路线问题应关键找出短路线．
16．图钝角中已知钝角边垂直分线分交点度数________．
答案
解析
图中连接ADAE．首先证明∠DAE90°易知∠DBA∠DAB∠EAC∠C根三角形角定理
推出解决问题．解：图连接．
∵垂直分线分交点
∴∴．
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
答案：．
点睛
题考查线段垂直分线性质三角形角定理根线段垂直分线作出辅助线根三角形角定理解决问题关键．
17．图中点分______度．
答案80．
解析
根利勾股定理利SSS证利外角性质求根三角形角定理求出度数．解：∵
∴
∵
∴
中
∴
∴
∵
∴
∴
答案：80．
点睛
题考查全等三角形性质判定外角性质三角形角定理关键掌握三角形角．
18．图等腰中高分三角形面积_______．
答案
解析
连接EC证明面积相等勾股定理算出AD长然设面积法列式求出DE长算出结果．解：图连接EC
∵AE分
∴
中
∴
∴
中
设
解
∴．
答案：．
点睛
题考查全等三角形性质判定等腰三角形性质勾股定理解题关键利三角形面积相等列式求出应边长．
19．图棵树10米高B处两猴子中爬树走离树20米池塘C爬树顶D直扑池塘C结果两猴子距离相等棵树高______________ ．
答案15米
解析
根题意确定已知线段长根勾股定理列方程进行计算．设BD米AD（）米CD（）米
∵
∴
解．
树高度10+515米．
答案：15米．
点睛
题考查勾股定理应实际问题转化数学模型构造直角三角形然利勾股定理解决．
20．图中折叠点点重合折痕长_____．
答案
解析
中利勾股定理建立方程求解．中勾股定理
根折叠性质知设
中方程解
答案：．
点睛
题考查三角形翻折勾股定理计算边长够抓住翻折前图形基性质结合勾股定理进行准确计算解决问题关键．
21．图中分垂足__________．
答案
解析
先利勾股定理根角分线性质然根直角三角形全等判定定理性质设中利勾股定理．中
分
中
设
中
解
答案：．
点睛
题考查角分线性质直角三角形全等判定定理性质勾股定理等知识点熟练掌握角分线性质解题关键．
22．图四全等直角三角形围成正方形ABCD中间阴影部分正方形EFGH样组成赵爽弦图．AB＝13AE＝12正方形EFGH面积___________．
答案49
解析
根正方形EFGH面积＝正方形面积﹣4直角三角形面积求正方形EFGH面积．直角三角形直角边较短边5
正方形EFGH面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．
答案：49．
点睛
题考查勾股定理运掌握勾股定理推导程解决问题关键．
23．已知ABC等边三角形边长4PBC动点PD⊥ABPE⊥AC垂足分DE两点PD＋PE＝______________．
答案
解析
作出底边高AF连接AP分等边三角形△APB△APC根三角形面积变求PD＋PE值．连接AP作AF⊥BC点F
∵AB＝ACAF⊥BC
∴CF＝BF＝2AF＝
∵
∴
∴
填：．
点睛
题考查等边三角形性质勾股定理解题关键等面积法．
24．图P射线意点（点P点B重合）分边部作等边等边连结延长交点F______．
答案2
解析
连接点E作题意求根勾股定理求求．解：图：连接点E作
∵等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
答案2．
点睛
题考查全等三角形判定性质等边三角形性质勾股定理构造直角三角形勾股定理求线段长度题关键．三解答题
25．图中点外点连接．
（1）求证：
（2）求：四边形面积．
答案（1）见解析（2）36
解析
（1）Rt△ABC中利勾股定理求出BC2值进求出BC长根勾股定理逆定理出△DBC直角三角形证
（2）利三角形面积公式求出S△DBCS△ABC值代入S四边形ABCDS△ABC+S△DBC中求出四边形ABDC面积．解：（1）Rt△ABC中∠BCA90°AC12AB13
∴BC2AB2AC213212225
∴BC5
∵CD4BD3
∴CD2+BD242+3225
∵BC5BC225
∴CD2+BD2BC2
∴△DBC直角三角形
∴∠D90°．
（2）∵△DBC直角三角形∠D90°
∴
∵Rt△ABC中∠BCA90°AC12BC5
∴
∴S四边形ABCDS△ABC+S△DBC30+636．
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理三角形面积解题关键：（1）利勾股定理求出BC长（2）利三角形面积计算公式求出S△ABCS△DBC值．
26．已知：图四边形ABCDAB＝1BC＝2CD＝2AD＝3AB⊥BC．求四边形ABCD面积．
答案1+．
解析
先根勾股定理求出AC长度根勾股定理逆定理判断出△ACD形状利三角形面积公式求解．图连接AC．
∵∠ABC＝90°AB＝1BC＝2
∴AC＝
△ACD中AC2+CD2＝5+4＝9AD2＝9
∴AC2+CD2＝AD2．
∴△ACD直角三角形
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD
＝×1×2+××2
＝1+．
四边形ABCD面积1+．
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理．利勾股定理逆定理判断△ACD直角三角形解答题关键．
27．中国古代数学家勾股定理发现证明世界数学史具独特贡献位体现数学研究中继承发展．现4全等直角三角形拼成图示弦图．中请利图形说明
答案见解析
解析
根题意图中找出等量关系正方形面积等中间正方形面积加四直角三角形面积列出等式化简出勾股定理表达式．解：∵正方形面积直角三角形面积正方形面积
∴
．
点睛
题考查勾股定理证明解决问题关键图中找出等量关系．
28．图中垂直分线分交点．
求证：
求长．
答案（1）见解析（2）4
解析
（1）连接CD根中垂线性质CDBD结合题意运勾股定理逆定理证明
（2）根题意先求出ADBD（1）结中运勾股定理计算．证明：连结．
垂直分线分交点
．
直角三角形．
解：
．
点睛
题考查中垂线性质勾股定理逆定理理解勾股定理逆定理中垂线性质解题关键．
29．图点DAB点△ACE≌△BCDAD2+DB2DE2．
（1）试说明△AED直角三角形
（2）试判断△ABC形状说明理．
答案（1）证明见解析（2）△ABC等腰直角三角形理见解析
解析
（1）根全等三角形性质AEBD然根勾股定理逆定理证出结
（2）根（1）结∠EAC＋∠CAB90°然根全等三角形性质ACBC∠EAC∠DBC证出∠DBC＋∠CAB90°证出结．证明：（1）∵△ACE≌△BCD
∴AEBD
∵AD2+DB2DE2
∴AD2+ AE 2DE2
∴△AED直角三角形∠EAD90°
（2）△ABC等腰直角三角形理
∵△AED直角三角形∠EAD90°
∴∠EAC＋∠CAB90°
∵△ACE≌△BCD
∴ACBC∠EAC∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB90°
∴△ABC等腰直角三角形．
点睛
题考查全等三角形性质等腰直角三角形判定掌握全等三角形性质勾股定理逆定理解题关键．
30．图等边三角形ABC中点DE分边BCACDEAB点E作EF⊥DE交BC延长线点F．
（1）求∠F度数．
（2）CE＝1求EF长．
答案（1）30°（2）．
解析
（1）等边三角形：利行线性质证明： 直角三角形两锐角互余答案
（2）先证明△等边三角形证明： 利勾股定理答案．解：（1）∵△ABC等边三角形
∴
∵DEAB
∴∠EDC＝∠B＝60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF＝90°
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°
（2）∵∠ECD＝∠EDC＝60°
∴△CDE等边三角形
∴CD＝CE＝DE＝1
∵∠F＝30°
∴∠CEF＝∠ECD﹣∠F＝30°
∴CE＝CF＝1
∴DF＝2
∴Rt△DEF中
EF．
点睛
题考查行线性质等腰三角形判定等边三角形性质判定勾股定理应掌握知识解题关键．
31．图条东西走河流侧村庄C河边原两取水点中某种原电CA路现已通该村方便村民取水决定河边新建取水点H（条直线）新修条路已知千米千米千米．
（1）否村庄C河边路？请通计算加说明．
（2）求新路原路少少干米？
答案（1）证明见解析（2）千米．
解析
(1)根勾股定理逆定理验证△CHB直角三角形进CH⊥AB根点直线距离垂线段短解答
(2)△ACH中根勾股定理解答．（1）∵中
直角直角三角形
∵点直线垂线段长度短
村庄C河边路．
（2）设
千米
千米
中勾股定理：
解
千米
少千米．
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理应熟练掌握勾股定理逆定理解决题关键．
32．图C线段BD动点分点BD作AB⊥BDED⊥BD连接ACEC．已知AB5DE1BD8设CDx．
（1）请求出AC+CE值．
（2）请构图求出代数式+值．
答案（1）10（2）+值13
解析
（1）根两点间线段短知：AE长AC+CE值然利勾股定理求值
（2）先代数式利配方法变形解图示C线段BD动点分点BD作AB⊥BDED⊥BD连接ACECAE已知AB2DE3BD12设BCxCD12－x根勾股定理证+值AC＋CE值点A作AF⊥ED交ED延长线F利勾股定理求出AE．解：（1）点E作EF⊥AB交AB延长线F连接AE
根题意BFDE1EFBD8
∴AFAB＋BF6
根两点间线段短：AC+CE≥AEAE长AC+CE值
Rt△AEF中AE
AC+CE值10
（2）+
+
+
图示C线段BD动点分点BD作AB⊥BDED⊥BD连接ACECAE已知AB2DE3BD12设BCxCD12－x
∴ACCE
∴+值AC＋CE值
（1）知：AEAC＋CE值
点A作AF⊥ED交ED延长线F
∴AFBD12DFAB2
∴EFDF＋DE5
Rt△AEF中AE
+值13．
点睛
题考查短路径问题勾股定理应利数形结合构造适直角三角形解题关键．
33．等腰中．
（1）图1D线段延长线点连接点B作已知求长．
（2）图2点F线段点连接点B作点G点C作点H连接．
①求值．
②求证：．
答案（1）（2）①②证明见解析．
解析
（1）中勾股定理．求出利面积桥求
（2）①等腰直角三角形中求设中勾股定理求出利面积公式求．
②截取取BGCH交点N连接先求出推出证知等腰直角三角形推出．（1）中
∴．
∵
∴
∵．
∴
（2）①∵
∴
∴．
∵
设
∵
中
∴
∴
∴
∴．
②截取取BGCH交点N连接
∵
∴．
∵
∴
∵∠HNB∠GNC
∴
中
∴
∴
∴
∴
∴等腰直角三角形
∴
∴
∴．
点睛
题考查勾股定理等腰直角三角形判定性质三角形全等掌握勾股定理等腰直角三角形判定性质三角形全等知识利辅助线准确构图解题关键．
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基础关卷
单选题
1．直角三角形两边长分68第三边长度（ ）
A．8 B．10 C．82 D．102
答案D
解析
分8直角边8斜边两种情况根勾股定理计算．解：8直角边时斜边10
8斜边时条直角边2
选：D．
点睛
题考查勾股定理果直角三角形两条直角边长分ab斜边长ca2+b2c2．
2．已知三角形三边长三角形（ ）
A．斜边直角三角形 B．斜边直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
答案B
解析
根绝值偶次方非负性质分求出abc值利勾股定理逆定理判断△ABC形状答案∵
根绝值偶次方非负性质
∴c 13b12a5
∵52+122132
∴△ABCc斜边直角三角形．
选：B．
点睛
题考查勾股定理逆定理绝值偶次方性质掌握勾股定理逆定理绝值偶次方非负性质解题关键
3．图△ABC中∠C90°点D边BCADBDDE分∠ADB交AB点E．AC12BC16AE长（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案C
解析
首先根勾股定理求斜边AB长度然结合等腰三角形性质求AE长度．解：图△ABC中∠C90°AC12BC16
勾股定理知：
∵ADBDDE分∠ADB交AB点E．
∴
选：C．
点睛
题考查勾股定理等腰三角形三线合．直角三角形中两条直角边长方定等斜边长方．
4．Rt△ABC中∠C90°AC+BC14cmAB10cmRt△ABC面积( )
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
答案A
解析
根勾股定理AC2+BC2AB2100根完全方公式求出2AC•BC96 AC•BC24答案．∵∠C90°
∴AC2+BC2AB2100
∵AC+BC14
∴（AC+BC）2196
AC2+BC2+2AC•BC196
∴2AC•BC96
∴AC•BC24Rt△ABC面积24cm2
选：A．
点睛
题考查勾股定理应解题关键掌握直角三角形两条直角边长分ab斜边长ca2+b2c2．
5．图示正方形网格中顶点均格点（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案B
解析
首先勾股定理结合图中方格边长求AC2AB2BC2值
接勾股定理逆定理判断出△ABC形状∵BC242+2220AB222+125AC232+4225
∴BC2 +AB2 AC2
∴△ABC直角三角形选B
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理解题关键掌握勾股定理勾股定理逆定理
6．出列四说法：
①030405勾股数030405边长三角形直角三角形
②051213边长三角形直角三角形051213勾股数
③勾股数定
④三整数直角三角形三边长定勾股数
中正确 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案C
解析
根勾股定理勾股定理逆定理勾股数定义分判断说法①030405边长三角形直角三角形030405整数030 405勾股数①说法错误
②然051213边长三角形直角三角形051213整数051213勾股数②说法错误
③勾股数定③说法正确
④三整数直角三角形三边长定勾股数④说法正确
选C
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理勾股数：满足a2＋b2＝c2三正整数称勾股数．注意：
①三数必须正整数例：25665满足a2＋b2＝c2正整数勾股数．
②组勾股数扩相整数倍三数组勾股数．
③记住常勾股数做题提高速度．：345681051213…．
7．图示种机器行走路径机器处先东走北走遇障碍西走转北走东拐仅走达．点点间直线距离（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析
点B作点C先求出ACBC长勾股定理求出AB长．解：图点B作点C
中．
选：D．
点睛
题考查勾股定理解题关键掌握勾股定理解直角三角形方法．
8．图1分直角三角形三边边外作正方形面积分图2分直角三角形三边长直径外作半圆面积分．中（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
答案A
解析
题意S1+S2S3 S5+S6S4然根S11S23S52S64然求出S3+S4值．解：图：
∵S1a2S2b2S3c2
∴a2+b2c2S1+S2S3
理：S5+S6S4
∵S11S23S52S64
∴S3+S4（1+3）+（2+4）4+610．
答案A．
点睛
题考查勾股定理应正方形面积圆面积解法审清题意灵活运数形结合思想成解答题关键．
9．图示中DBE分线交果长（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案C
解析
先根题目条件出角度证明等边三角形根含角直角三角形性质勾股定理求出AC长．解：∵
∴
∵
∴
∵BE分
∴
∵
∴
∵
∴等边三角形
∴
中
∴
根勾股定理
中
∴
根勾股定理．
选：C．
点睛
题考查等边三角形性质判定含角直角三角形性质勾股定理解题关键掌握性质定理进行求解．
10．图宽2米矩形板车ABCD通宽2米等宽直角通道板车长（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
答案A
解析
设板手推车长度x米x值时板手推车形成△CBP等腰直角三角形连接POBC交点N利△CBP等腰直角三角形性质求解．解：设板手推车长度x米x值时板手推车形成△CBP等腰直角三角形连接POBC交点N
∵直角通道宽2
∴PO4m
∴NPPOON422m
∵△CBP等腰直角三角形
∴ADBC2CN2NP4m．
答案A．
点睛
题考查勾股定理等腰三角形相关知识根题意板车长时△CBP等腰直角三角形成解答题关键．
11．图示已知中点等（ ）．
A．9 B．25 C．36 D．45
答案D
解析
中分表示出中表示出代入求解中
中
．
选D．
点睛
题考查勾股定理应准确分析计算解题关键．
12．图等边三角形点D．E分边BC．AC点点FBEAD交点垂足点G已知（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案C
解析
结合等边三角形性质易证△ABE≌△CAD∠FBG＝30°BF＝2FG＝2求解∠ABE＝15°进两次利勾股定理求解．∵△ABC等边三角形
∴∠BAE＝∠C＝60°AB＝ACCD＝AE
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE∠CAD
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°
∵BG⊥AD
∴∠BGF＝90°
∴∠FBG＝30°
∵FG＝1
∴BF＝2FG＝2
∵∠BEC＝75°∠BAE＝60°
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°
∴∠ABG＝45°
∵BG⊥AD
∴∠AGB＝90°
∴AGBG
AB2AG2+BG2()2+()26．
选C．
点睛
题考查全等三角形判定性质等边三角形性质勾股定理证明△ABG等腰直角三角形解题关键．
二填空题
13．直角三角形两边长分34周长__________．
答案127+
解析
分两种情况求出第三边求出周长．分两种情况：
①34直角边时第三边长5三角形周长3+4+512
②3直角边4斜边时第三边长三角形周长3+4+7+
答案：127+．
点睛
题考查勾股定理应题中明确边长直角三角形直角边斜边时应分情况讨求解．
14．图中边中线________．
答案
解析
根中线性质勾股定理逆定理求出度数．∵边中线
∴
∵
∴．
点睛
题考查中线性质勾股定理逆定理应掌握相应性质定理解答题关键．
15．图圆柱形玻璃杯高底面圆周长杯离底点处滴蜂蜜时蚂蚁正杯外壁离杯蜂蜜相点处蚂蚁达蜂蜜爬行短路程________．
答案．
解析
N作NQ⊥EFQ作M关EH称点M′连接M′N交EHP连接MPMP+PN蚂蚁达蜂蜜短距离求出M′QNQ根勾股定理求出M′N．解：图：A圆柱高剪开出矩形EFGHN作NQ⊥EFQ作M关EH称点M′连接M′N交EHP连接MPMP+PN蚂蚁达蜂蜜短距离
∵MEM′EM′PMP
∴MP+PNM′P+PNM′N
∵NQ×10cm5cmM′Q12cm4cm+2cm10cm
Rt△M′QN中勾股定理：M′Ncm．
答案：．
点睛
题考查勾股定理轴称短路线问题应关键找出短路线．
16．图钝角中已知钝角边垂直分线分交点度数________．
答案
解析
图中连接ADAE．首先证明∠DAE90°易知∠DBA∠DAB∠EAC∠C根三角形角定理
推出解决问题．解：图连接．
∵垂直分线分交点
∴∴．
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
答案：．
点睛
题考查线段垂直分线性质三角形角定理根线段垂直分线作出辅助线根三角形角定理解决问题关键．
17．图中点分______度．
答案80．
解析
根利勾股定理利SSS证利外角性质求根三角形角定理求出度数．解：∵
∴
∵
∴
中
∴
∴
∵
∴
∴
答案：80．
点睛
题考查全等三角形性质判定外角性质三角形角定理关键掌握三角形角．
18．图等腰中高分三角形面积_______．
答案
解析
连接EC证明面积相等勾股定理算出AD长然设面积法列式求出DE长算出结果．解：图连接EC
∵AE分
∴
中
∴
∴
中
设
解
∴．
答案：．
点睛
题考查全等三角形性质判定等腰三角形性质勾股定理解题关键利三角形面积相等列式求出应边长．
19．图棵树10米高B处两猴子中爬树走离树20米池塘C爬树顶D直扑池塘C结果两猴子距离相等棵树高______________ ．
答案15米
解析
根题意确定已知线段长根勾股定理列方程进行计算．设BD米AD（）米CD（）米
∵
∴
解．
树高度10+515米．
答案：15米．
点睛
题考查勾股定理应实际问题转化数学模型构造直角三角形然利勾股定理解决．
20．图中折叠点点重合折痕长_____．
答案
解析
中利勾股定理建立方程求解．中勾股定理
根折叠性质知设
中方程解
答案：．
点睛
题考查三角形翻折勾股定理计算边长够抓住翻折前图形基性质结合勾股定理进行准确计算解决问题关键．
21．图中分垂足__________．
答案
解析
先利勾股定理根角分线性质然根直角三角形全等判定定理性质设中利勾股定理．中
分
中
设
中
解
答案：．
点睛
题考查角分线性质直角三角形全等判定定理性质勾股定理等知识点熟练掌握角分线性质解题关键．
22．图四全等直角三角形围成正方形ABCD中间阴影部分正方形EFGH样组成赵爽弦图．AB＝13AE＝12正方形EFGH面积___________．
答案49
解析
根正方形EFGH面积＝正方形面积﹣4直角三角形面积求正方形EFGH面积．直角三角形直角边较短边5
正方形EFGH面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．
答案：49．
点睛
题考查勾股定理运掌握勾股定理推导程解决问题关键．
23．已知ABC等边三角形边长4PBC动点PD⊥ABPE⊥AC垂足分DE两点PD＋PE＝______________．
答案
解析
作出底边高AF连接AP分等边三角形△APB△APC根三角形面积变求PD＋PE值．连接AP作AF⊥BC点F
∵AB＝ACAF⊥BC
∴CF＝BF＝2AF＝
∵
∴
∴
填：．
点睛
题考查等边三角形性质勾股定理解题关键等面积法．
24．图P射线意点（点P点B重合）分边部作等边等边连结延长交点F______．
答案2
解析
连接点E作题意求根勾股定理求求．解：图：连接点E作
∵等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
答案2．
点睛
题考查全等三角形判定性质等边三角形性质勾股定理构造直角三角形勾股定理求线段长度题关键．三解答题
25．图中点外点连接．
（1）求证：
（2）求：四边形面积．
答案（1）见解析（2）36
解析
（1）Rt△ABC中利勾股定理求出BC2值进求出BC长根勾股定理逆定理出△DBC直角三角形证
（2）利三角形面积公式求出S△DBCS△ABC值代入S四边形ABCDS△ABC+S△DBC中求出四边形ABDC面积．解：（1）Rt△ABC中∠BCA90°AC12AB13
∴BC2AB2AC213212225
∴BC5
∵CD4BD3
∴CD2+BD242+3225
∵BC5BC225
∴CD2+BD2BC2
∴△DBC直角三角形
∴∠D90°．
（2）∵△DBC直角三角形∠D90°
∴
∵Rt△ABC中∠BCA90°AC12BC5
∴
∴S四边形ABCDS△ABC+S△DBC30+636．
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理三角形面积解题关键：（1）利勾股定理求出BC长（2）利三角形面积计算公式求出S△ABCS△DBC值．
26．已知：图四边形ABCDAB＝1BC＝2CD＝2AD＝3AB⊥BC．求四边形ABCD面积．
答案1+．
解析
先根勾股定理求出AC长度根勾股定理逆定理判断出△ACD形状利三角形面积公式求解．图连接AC．
∵∠ABC＝90°AB＝1BC＝2
∴AC＝
△ACD中AC2+CD2＝5+4＝9AD2＝9
∴AC2+CD2＝AD2．
∴△ACD直角三角形
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD
＝×1×2+××2
＝1+．
四边形ABCD面积1+．
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理．利勾股定理逆定理判断△ACD直角三角形解答题关键．
27．中国古代数学家勾股定理发现证明世界数学史具独特贡献位体现数学研究中继承发展．现4全等直角三角形拼成图示弦图．中请利图形说明
答案见解析
解析
根题意图中找出等量关系正方形面积等中间正方形面积加四直角三角形面积列出等式化简出勾股定理表达式．解：∵正方形面积直角三角形面积正方形面积
∴
．
点睛
题考查勾股定理证明解决问题关键图中找出等量关系．
28．图中垂直分线分交点．
求证：
求长．
答案（1）见解析（2）4
解析
（1）连接CD根中垂线性质CDBD结合题意运勾股定理逆定理证明
（2）根题意先求出ADBD（1）结中运勾股定理计算．证明：连结．
垂直分线分交点
．
直角三角形．
解：
．
点睛
题考查中垂线性质勾股定理逆定理理解勾股定理逆定理中垂线性质解题关键．
29．图点DAB点△ACE≌△BCDAD2+DB2DE2．
（1）试说明△AED直角三角形
（2）试判断△ABC形状说明理．
答案（1）证明见解析（2）△ABC等腰直角三角形理见解析
解析
（1）根全等三角形性质AEBD然根勾股定理逆定理证出结
（2）根（1）结∠EAC＋∠CAB90°然根全等三角形性质ACBC∠EAC∠DBC证出∠DBC＋∠CAB90°证出结．证明：（1）∵△ACE≌△BCD
∴AEBD
∵AD2+DB2DE2
∴AD2+ AE 2DE2
∴△AED直角三角形∠EAD90°
（2）△ABC等腰直角三角形理
∵△AED直角三角形∠EAD90°
∴∠EAC＋∠CAB90°
∵△ACE≌△BCD
∴ACBC∠EAC∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB90°
∴△ABC等腰直角三角形．
点睛
题考查全等三角形性质等腰直角三角形判定掌握全等三角形性质勾股定理逆定理解题关键．
30．图等边三角形ABC中点DE分边BCACDEAB点E作EF⊥DE交BC延长线点F．
（1）求∠F度数．
（2）CE＝1求EF长．
答案（1）30°（2）．
解析
（1）等边三角形：利行线性质证明： 直角三角形两锐角互余答案
（2）先证明△等边三角形证明： 利勾股定理答案．解：（1）∵△ABC等边三角形
∴
∵DEAB
∴∠EDC＝∠B＝60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF＝90°
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°
（2）∵∠ECD＝∠EDC＝60°
∴△CDE等边三角形
∴CD＝CE＝DE＝1
∵∠F＝30°
∴∠CEF＝∠ECD﹣∠F＝30°
∴CE＝CF＝1
∴DF＝2
∴Rt△DEF中
EF．
点睛
题考查行线性质等腰三角形判定等边三角形性质判定勾股定理应掌握知识解题关键．
31．图条东西走河流侧村庄C河边原两取水点中某种原电CA路现已通该村方便村民取水决定河边新建取水点H（条直线）新修条路已知千米千米千米．
（1）否村庄C河边路？请通计算加说明．
（2）求新路原路少少干米？
答案（1）证明见解析（2）千米．
解析
(1)根勾股定理逆定理验证△CHB直角三角形进CH⊥AB根点直线距离垂线段短解答
(2)△ACH中根勾股定理解答．（1）∵中
直角直角三角形
∵点直线垂线段长度短
村庄C河边路．
（2）设
千米
千米
中勾股定理：
解
千米
少千米．
点睛
题考查勾股定理勾股定理逆定理应熟练掌握勾股定理逆定理解决题关键．
32．图C线段BD动点分点BD作AB⊥BDED⊥BD连接ACEC．已知AB5DE1BD8设CDx．
（1）请求出AC+CE值．
（2）请构图求出代数式+值．
答案（1）10（2）+值13
解析
（1）根两点间线段短知：AE长AC+CE值然利勾股定理求值
（2）先代数式利配方法变形解图示C线段BD动点分点BD作AB⊥BDED⊥BD连接ACECAE已知AB2DE3BD12设BCxCD12－x根勾股定理证+值AC＋CE值点A作AF⊥ED交ED延长线F利勾股定理求出AE．解：（1）点E作EF⊥AB交AB延长线F连接AE
根题意BFDE1EFBD8
∴AFAB＋BF6
根两点间线段短：AC+CE≥AEAE长AC+CE值
Rt△AEF中AE
AC+CE值10
（2）+
+
+
图示C线段BD动点分点BD作AB⊥BDED⊥BD连接ACECAE已知AB2DE3BD12设BCxCD12－x
∴ACCE
∴+值AC＋CE值
（1）知：AEAC＋CE值
点A作AF⊥ED交ED延长线F
∴AFBD12DFAB2
∴EFDF＋DE5
Rt△AEF中AE
+值13．
点睛
题考查短路径问题勾股定理应利数形结合构造适直角三角形解题关键．
33．等腰中．
（1）图1D线段延长线点连接点B作已知求长．
（2）图2点F线段点连接点B作点G点C作点H连接．
①求值．
②求证：．
答案（1）（2）①②证明见解析．
解析
（1）中勾股定理．求出利面积桥求
（2）①等腰直角三角形中求设中勾股定理求出利面积公式求．
②截取取BGCH交点N连接先求出推出证知等腰直角三角形推出．（1）中
∴．
∵
∴
∵．
∴
（2）①∵
∴
∴．
∵
设
∵
中
∴
∴
∴
∴．
②截取取BGCH交点N连接
∵
∴．
∵
∴
∵∠HNB∠GNC
∴
中
∴
∴
∴
∴
∴等腰直角三角形
∴
∴
∴．
点睛
题考查勾股定理等腰直角三角形判定性质三角形全等掌握勾股定理等腰直角三角形判定性质三角形全等知识利辅助线准确构图解题关键．
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