第十七章 勾股定理 单元测试
单选题
1．直角三角形两边长分第三边长（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
记第三边c然分c直角三角形斜边直角边两种情况利勾股定理求解．解：记第三边cc直角三角形斜边
c直角三角形直角边．
选：C．
点睛
题考查勾股定理属基题目正确分类熟练掌握勾股定理解题关键．
2．△ABC三边abc列条件判断直角三角形（ ）
A．∠A ∠B ∠C 3∶4∶5 B．∠A∠B+∠C
C．a2(b+c)(bc) D．abc 1∶2∶
答案A
解析
根直角三角形概念角特点勾股定理逆定理逐判断．解：根直角三角形两锐角互余知180°×75°＜90°直角三角形正确
根三角形角定理根∠A+∠B+∠C180°∠A∠B+∠C∠A90°直角三角形正确
根方差公式化简原式a2b2c2a2+c2b2根勾股定理逆定理知直角三角形正确
根abc关系直接设axb2xcx知a2+c2b2构成直角三角形正确
选A
点睛
题考查直角三角形判定关键根三角形两锐角互余三角形角定理勾股定理逆定理进行判断
3．图直线l三正方形mqnmq面积分511n面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
答案C
解析
运正方形边长相等根角余角相等∠BAC∠DCE然证明△ACB≌△DCE结合全等三角形性质勾股定理求解．解：mqn正方形ACCD∠ACD90°
∵∠ACB+∠DCE∠ACB+∠BAC90°
∴∠BAC∠DCEACCD∠ABC∠DEC90°
∴△ACB≌△DCE（AAS）
∴ABCEBCDE
Rt△ABC中勾股定理：AC2AB2+BC2AB2+DE2
SnSm+Sq11+516
∴正方形n面积16
选C．
点睛
题考查全等三角形勾股定理综合运关键证明三角形全等．
4．△ABC三边长分abc满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0△ABC（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形直角三角形 D．等腰直角三角形
答案B
解析
首先根三边关系进行转换出a2+b2c2判定△ABC直角三角形（a+b）（a2+b2﹣c2）0
∵a+b≠0
∴a2+b2﹣c20a2+b2c2
∴△ABC直角三角形
选：B．
点睛
题考查利三边关系勾股定理逆定理判定三角形形状熟练掌握解题
5．图中分交点分交点（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
答案B
解析
根角分线定义推出△ECF直角三角形然根勾股定理求CE2+CF2EF2．∵CE分∠ACBCF分∠ACD
∴∠ACE∠ACB∠ACF∠ACD∠ECF（∠ACB+∠ACD）90°
∵EF∥BCCE分∠ACBCF分∠ACD
∴∠ECB∠MEC∠ECM∠DCF∠CFM∠MCF
∴CMEMMF5EF10
勾股定理知CE2+CF2EF2100．
选：B
点睛
题考查角分线定义直角三角形判定勾股定理运．
6．图根垂直面旗杆离面5mB处撕裂折断旗杆顶部落离旗杆底部12mA处旗杆折断部分AB高度（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
答案C
解析
直接利勾股定理．题意：
选：C．
点睛
题考查勾股定理应掌握勾股定理解题关键．
7．根24cm筷子置底面直径15cm高8cm圆柱形水杯中设筷子露杯子外面长度hcmh取值范围( )
A． B．
C． D．
答案C
解析
解析
观察图形找出图中直角三角形利勾股定理解答．首先根圆柱高知筷子杯长度8cm杯外长度24816cm
根勾股定理求筷子杯长度（图）AC17杯外长度24177cm
h取值范围7cm≤h≤16cm
选C
点睛
题考查勾股定理应注意题求筷子露杯外取值范围．根勾股定理求出筷子杯长度．
8．面判断：
①△ABC中a2＋b2≠c2△ABC直角三角形
②△ABC直角三角形∠C90°a2＋b2c2
③△ABC中a2－b2c2△ABC直角三角形
④△ABC直角三角形(a＋b)(a－b)c2
中判断正确( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案B
解析
根勾股定理逆定理次判断解答①c定斜边①错误
②根勾股定理②正确
③根勾股定理逆定理③正确
④△ABC直角三角形a斜边（a+b）（ab）c2④正确．
2正确．
选B．
点睛
题考查勾股定理逆定理熟练运勾股定理逆定理解决问题关键．
9．图1分直角三角形三边边外作等边三角形面积分图2分直角三角形三顶点圆心三边长半径外作圆心角相等扇形面积分．中 （ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
图1示分ABBCAC表示然根勾股定理出关系计算出理图2示出关系进计算出计算出答案图1
根勾股定理
∴
图2设圆心角θ°
理
∴
答案C
点睛
题考查勾股定理代数求解间关系熟知等边三角形扇形面积公式解答题关键
10．图边长6正方形中两正方形两正方形面积分S1S2S1+S2值（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
答案B
解析
图
设正方形S2边长x
根等腰直角三角形性质知ACBCBCCECD
∴AC2CDCD2
∴EC222+22EC
∴S2面积8
∵S1边长3S1面积3×39
∴S1+S28+917．选B．
11．图△ABC中∠ACB90°BC3AC4点DAB中点△ACDCD翻折△ECD连接AEBE线段BE长等（ ）
A． B． C． D．2
答案A
解析
试题解析：图延CD交AE点H作垂足F．
∵中
∵DAB中点
∴ADBDDC．
∵
解
翻折性质知ACCEADDE
∵
∴ 直角三角形．
选A．
12．图P等边三角形ABC点P三顶点ABC距离分345△ABC面积（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析
分析：△BPC绕点B逆时针旋转60°△BEA根旋转性质BEBP4AEPC5∠PBE60°△BPE等边三角形PEPB4∠BPE60°△AEP中AE5延长BP作AF⊥BP点F．AP3PE4根勾股定理逆定理△APE直角三角形∠APE90°∠APB度数直角△APF中利三角函数求AFPF长直角△ABF中利勾股定理求AB长进求三角形ABC面积．
详解：∵△ABC等边三角形
∴BABC
△BPC绕点B逆时针旋转60°△BEA连EP延长BP作AF⊥BP点F．图
∴BEBP4AEPC5∠PBE60°
∴△BPE等边三角形
∴PEPB4∠BPE60°
△AEP中AE5AP3PE4
∴AE2PE2+PA2
∴△APE直角三角形∠APE90°
∴∠APB90°+60°150°．
∴∠APF30°
∴直角△APF中AFAPPFAP．
∴直角△ABF中AB2BF2+AF2（4+）2+（）225+12．
△ABC面积•AB2•（25+12）9+．
选A．
点睛：题考查等边三角形判定性质勾股定理逆定理旋转性质：旋转前两图形全等应点旋转中心连线段夹角等旋转角应点旋转中心距离相等．
二填空题
13．知三角形三边长分三角形边高等_____________
答案
解析
分析：根勾股定理逆定理判断三角形直角三角形然根直角三角形面积求解
详解：∵三角形三边长分
∴
∴三角形直角三角形
∴
∴高
答案
点睛：题考查勾股定理逆定理应利勾股定理逆定理判断三角形直角三角形解题关键
14．图滑竿机械槽运动∠ACB直角已知滑竿AB长25米顶点AAC滑动量滑竿端B距C点距离15米端点B右移动05米时滑竿顶端A滑________米．
答案05
解析
结合题意知ABDE25米BC15米BD05米∠C90°
∴AC2（米）
∵BD05米
∴CD2米
∴CE15（米）
∴AEACEC05（米）．
答案05
点睛：题考查正确运勾股定理．善观察题目信息解题学数学关键．
15．图中ABAC5BC6点MBC中点点NMN____________
答案
解析
连接AM根等腰三角形三线合性质AM⊥BC根勾股定理求AM长根直角三角形面积公式求MN长．解：连接AM
∵AB＝AC点MBC中点
∴AM⊥CMBM＝CM
∵AB＝AC＝5BC＝6
∴BM＝CM＝3
Rt△AMC中AC＝5CM＝3
∴根勾股定理：AM＝4
S△AMC＝MN•AC＝AM•CM
∴MN＝．
答案：
点睛
题综合运等腰三角形三线合勾股定理．特注意结：直角三角形斜边高等两条直角边积斜边．
16．图示四边形正方形三角形直角三角形中正方形边长7cm正方形ABC面积分8cm210cm214cm2正方形D面积__________cm2．
答案17
解析
试题解析：根勾股定理知
∵S正方形1+S正方形2S正方形49
S正方形C+S正方形DS正方形2
S正方形A+S正方形BS正方形1
∴S正方形S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B49．
∴正方形D面积498101417（cm2）
17．图AE⊥ABAEABBC⊥CDBCCD请图中标注数计算图中实线围成图形面积S___________．
答案50
解析
易证△AEF≌△BAG△BCG≌△CDH求AFBGAGEFGCDHBGCH求梯形DEFH面积△AEF△ABG△CGB△CDH面积解题．∵∠EAF+∠BAG90°∠EAF+∠AEF90°
∴∠BAG∠AEF
∵△AEF△BAG中
∴△AEF≌△BAG（AAS）
理△BCG≌△CDH
∴AFBG3AGEF6GCDH4BGCH3
∵梯形DEFH面积(EF+DH)•FH80
S△AEFS△ABGAF•AE9
S△BCGS△CDHCH•DH6
∴图中实线围成图形面积S802×92×650
答案：50．
点睛
题考查全等三角形判定性质题中求证△AEF≌△BAG△BCG≌△CDH解题关键．
18．长8分米宽5分米高7分米长方体截长6分米宽5分米深2分米长方体图示体．蚂蚁该体顶点A处着体表面体A相顶点B处吃食物需爬行短路径长________分米．
答案 13
解析
试题分析：立体图展开
①
根侧面展开图两点间线段短知AB短根勾股定理求AB13分米
②根立体图形知ACBE外展开直角边长5+1+7中间凹面展开直角边6+2+210然根勾股定理求短距离
③②方式两直角边分116然根勾股定理求短距离．
考点：立体图形侧面展开图两点间线段短勾股定理
19．图三级台阶级长宽高分20 dm3 dm2 dmAB台阶两相端点A点蚂蚁想B点吃口食物蚂蚁着台阶面爬B点短路程__________dm
答案25
解析
先图形面展开勾股定理根两点间线段短进行解答．图示．
∵三级台阶面展开图长方形长20宽（2+3）×3∴蚂蚁台阶面爬行B点短路程长方形角线长．
设蚂蚁台阶面爬行B点短路程x勾股定理：x2202+[（2+3）×3]2252解：x25．
答案25．
点睛
题考查面展开﹣短路径问题台阶面展开图根题意判断出长方形长宽解答．
20．图单位正方形组成网格图中标ABCDEFGH四条线段中构成直角三角形三边线段________．
答案ABEFGH
解析
解析
题应先计算出线长度根勾股定理逆定理进行判断．AB222+228
CD242+2220
EF212+225
GH232+2213
AB2+EF2GH2．
中构成直角三角形三边线段ABEFGH．
答案：ABEFGH．
点睛
题考查勾股定理逆定理应．判断三角形否直角三角形已知条边长利勾股定理逆定理加判断．
21．图△ABC中∠ACB90°AC 3BC 4AB5BD分∠ABC果MN分BDBC动点CM+MN值____．
答案24
解析
点C作CE⊥AB点E交BD点M点M作MN⊥BCNCECM＋MN值根三角形面积公式求出CE长CM＋MN值．
解：点C作CE⊥AB点E交BD点M点M作MN⊥BCN
∵BD分∠ABCME⊥AB点EMN⊥BCN
∴MN＝ME
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN值．
∵AC＝3BC＝4AB＝5
∴AC2＋BC2＝AB2
∴∠ACB＝90°
∴AB•CE＝ BC•AC
5CE＝3×4
∴CE＝24．
CM＋MN值24．
答案24
点睛
题考查知识点轴称－短路线问题解题关键画出符合条件图形
22．图Rt△ABC中∠ACB90°AC3BC4点DABADACAF⊥CD交CD点E交CB点FCF长________________
答案15
解析
连接DF勾股定理求出AB5等腰三角形性质出∠CAF ∠DAFSAS证明△ADF≌△ACF出CFDF∠ADF∠ACF∠BDF90°设CFDFxBF4xRt△BDF中勾股定理出方程解方程．连接DF图示：
Rt△ABC中∠ACB90°AC3BC4勾股定理求AB5
∵ADAC3AF⊥CD
∴∠CAF ∠DAFBDABAD2
△ADF△ACF中
∴△ADF≌△ACF（SAS）
∴∠ADF∠ACF90°CFDF
∴∠BDF90°
设CFDFxBF4x
Rt△BDF中勾股定理：DF2+BD2BF2
x2+22（4x）2
解：x15
∴CF15
答案15．
点睛
题考查勾股定理全等三角形判定性质等腰三角形性质证明△ADF≌△ACFCFDFRt△BDF中利勾股定理列方程解决问题关键．
23．已知：图面直角坐标系中O坐标原点四边形OABC矩形点AC坐标分A（70）C（04）点D坐标（50）点PBC边运动 △ODP腰长5等腰三角形时点P坐标______________
答案(24)（34）
解析
解析
△ODP腰长5等腰三角形时考虑BD∴ABOC4 OA7
∵D坐标（50）
∴OD5
∴AD2
∵四边形OABC矩形
∴∠A90°
∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ
三种情况： ODPDODOP者OPPD
①ODPD时p（24）P（84）（舍）
②ODOP时PC
3
时点P坐标（34）
③OPPD时P(4)（舍）
答案：（24）（34）．
点睛
题考查等腰三角形判定性质勾股定理运等知识 分类讨数学思想注意考虑问题全面
24．锐角三角形ABC中．BC∠ABC45°BD分∠ABC．MN分边BDBC动点CM＋MN值____．
答案4
解析
点C作CE⊥AB点E交BD点M′点M′作M′N′⊥BCN′CECM+MN值根BC∠ABC45°BD分∠ABC知△BCE等腰直角三角形锐角三角函数定义求出CE长．解：点C作CE⊥AB点E交BD点M′点M′作M′N′⊥BCN′
CECM+MN值
∵BC∠ABC45°BD分∠ABC
∴△BCE等腰直角三角形
∴CEBC•cos45°×4．
∴CM+MN值4．
点睛
题考查轴称短路线问题难度较根题意作出辅助线构造出等腰直角三角形利锐角三角函数定义求解解答题关键．三解答题
25．图△ABC中∠C90°MBC中点MD⊥ABD求证：
答案见解析
解析
连接AM三直角三角形运勾股定理分表示出AD²AM²BM²进行代换证明结果．证明：连接MA
∵MD⊥AB
∴AD2AM2MD2BM2BD2+MD2
∵∠C90°
∴AM2AC2+CM2
∵MBC中点
∴BMMC．
∴AD2AC2+BD2
点睛
题考查勾股定理三次运勾股定理进行代换计算求出结果外准确作出辅助线正确解出重素．
26．图△ABC中CDAB边高AD＝16CD＝12BD＝9．
（1）求△ABC周长．
（2）判断△ABC形状加证明．
答案（1）60（2）直角三角形证明见解析
解析
（1）利勾股定理求出ACBC长求出△ABC周长
（2）利勾股定理逆定理证明．解：（1）∵CDAB边高
∴∠CDA∠CDB90°
∴AC20
BC15
∵ABAD+BD25
∴△ABC周长AB+BC+AC25+20+1560
（2）△ABC直角三角形理：
202+152252
AC2+BC2AB2
∴△ABC直角三角形．
点睛
题考查勾股定理逆定理运熟练掌握勾股定理勾股定理逆定理解决问题关键．
27．已知图Rt△ABC中∠C90°∠A30°BC18cm．动点P点A出发AB点B运动动点Q点B出发BC点C运动果动点P2cmsQ1cms速度时出发设运动时间t(s)解答列问题：
(1)t______时△PBQ等边三角形？
(2)PQ运动程中△PBQ形状断发生变化t值时△PBQ直角三角形？说明理．
答案(1)12(2)t9时△PBQ直角三角形理见解析
解析
（1）根等边三角形性质解答
（2）分两种情况利直角三角形性质解答．(1)△PBQ等边三角形：PBBQ
∵Rt△ABC中∠C90°∠A30°BC18cm．
∴AB36cm
：PB362tBQt
362tt
解：t12
答案12
(2)t9时△PBQ直角三角形
理：
∵∠C90°∠A30°BC18cm
∴AB2BC18×236(cm)
∵动点P2cmsQ1cms速度出发
∴BPABAP362tBQt
∵△PBQ直角三角形
∴BP2BQBQ2BP
BP2BQ时
362t2t
解t9
BQ2BP时
t2(362t)
解t
t9时△PBQ直角三角形．
点睛
题考查等边三角形判定含30°角直角三角形性质关键含30°角直角三角形性质逆定理解答．
28．图正方形网格MNPQ中方格边长相等正方形ABCD顶点正方形MNPQ4条边方格顶点．
(1)设正方形MNPQ网格方格边长1求：
①△ABQ△BCM△CDN△ADP面积
②正方形ABCD面积．
(2)设MB＝aBQ＝b利图形中直角三角形正方形面积关系验证已学数学公式定理？
答案（1）①S△ABQ＝6 S△BCM＝6 S△CDN＝6 S△ADP＝6②S正方形ABCD＝25（2）验证勾股定理证明程详见解析
解析
解析
（1）①根直角三角形面积公式出结果
②题意出S正方形ABCDS正方形MNPQ﹣4S△ABQ出结果
（2）显然根面积够验证勾股定理．（1）①∵网格中正方形边长1图知AQ3BQ4∠Q90°∴S△ABQAQ•BQ6理S△BCMS△CDNS△ADP6．
②∵MQ7∴S正方形MNPQ7249∴S正方形ABCDS正方形MNPQ﹣4S△ABQ49﹣4×625．
（2）验证勾股定理．
验证：△BCM△ABQ中∵BMAQ∠M∠QCMBQ∴△BCM≌△ABQ（SAS）理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵S正方形ABCDS正方形MNPQ﹣4S△ABQ
∴AB2（a+b）2﹣4abAB2a2+b2．
设ABc：c2a2+b2（勾股定理）．
点睛
题考查勾股定理证明正方形性质面积计算三角形面积计算掌握正方形三角形面积计算方法解决问题关键．
29．图(1)△ABC中BCaACbABc∠C90°a2+b2c2图(2)△ABC锐角三角形时明猜想a2+b2>c2理：
设CDxRt△ADC中AD2b2x2
Rt△ADB中AD2c2(ax)2
b2x2c2(ax)2a2+b2c2+2ax
a>0x>02ax>0a2+b2>c2
△ABC锐角三角形时a2+b2>c2
明猜想正确
(1)请猜想△ABC钝角三角形时a2+b2c2关系
(2)证明猜想结否正确
答案(1)a2+b2解析
解析
（1）根题意猜测：△ABC钝角三角形时a2+b2c2关系：a2+b2＜c2
（2）点A作AD⊥BC点D然设CDx分Rt△ADCRt△ADB中表示出AD2证结．（1）△ABC钝角三角形时a2+b2c2关系：a2+b2＜c2
（2）图3点A作AD⊥BC点D设CDx．
Rt△ADC中AD2b2﹣x2．Rt△ADB中AD2c2﹣（a+x）2∴b2﹣x2c2﹣（a+x）2∴a2+b2c2﹣2ax．
∵a＞0x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＜c2∴△ABC钝角三角形时a2+b2＜c2．
点睛
题考查勾股定理．注意理解题意解答题关键．
30．图①分直角三角形ABC三边直径外作三半圆面积分S1S2S3表示难证明S1S2+S3
(1) 图②分直角三角形ABC三边边外作三正方形面积分S1S2S3表示S1S2S3间什关系？(必证明)
(2) 图③分直角三角形ABC三边边外作三正三角形面积分S1S2S3表示请确定S1S2S3间关系加证明
(3) 分直角三角形ABC三边边外作三正边形面积分S1S2S3表示请猜想S1S2S3间关系
答案（1）S1S2+S3（2）S1S2+S3（3）S1S2+S3
解析
解析
（1）根勾股定理结（2）根圆面积公式勾股定理出S1S2S3间关系（3）利等边三角形面积公式勾股定理结（1）图②Rt△ABC中利勾股定理AB2＝AC2＋BC2S1＝S2＋S3
（2）图①Rt△ABC中利勾股定理AB2＝AC2＋BC2S1＝S2＋S3
（3）图③直角三角形ABC三边边外作三正三角形面积分S1S2S3表示Rt△ABC中利勾股定理AB2＝AC2＋BC2S1＝S2＋S3
点睛
题重点考查勾股定理直角三角形中两直角边方等斜边方题解题关键熟练掌握勾股定理容分析题中面积关系
31．（1）问题发现：图1△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°线段AEBD数量关系_______AEBD直线位置关系________
（2）深入探究：（1）条件点AED直线CM△DCE中DE边高请判断∠ADB度数线段CMADBD间数量关系说明理
（3）解决问题：图3已知△ABC中AB7BC3∠ABC45°AC直角边作等腰直角△ACD∠CAD90°ACAD连接BD长 ．
答案（1）相等垂直（2）AD2CM+BD（3）7﹣3
解析
（1）结：AE＝BDAE⊥BD．图1中延长AE交BD点HAH交BC点O．证明△ACE≌△BCD（SAS）解决问题
（2）结：AD＝2CM+BD证明△ACE≌△BCD（SAS）解决问题
（3）分两种情形分画出图形构造全等三角形解决问题（1）结：AE＝BDAE⊥BD．
理：图1中延长AE交BD点HAH交BC点O．
∵△ACB△DCE均等腰直角三角形
∠ACB＝∠DCE＝90°
∴AC＝BCCD＝CE
∴∠ACE＝∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD∠CAE＝∠CBD
∵∠CAE+∠AOC＝90°∠AOC＝∠BOH
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°
∴AE⊥BD．
答案：AE＝BDAE⊥BD．
（2）结：AD＝2CM+BD
理：图2中
∵△ACB△DCE均等腰直角三角形
∠ACB＝∠DCE＝90°
∴AC＝BCCD＝CE
∴∠ACE＝∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD∠BDC＝∠AEC＝135°．
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°
等腰直角三角形DCE中CM斜边DE高
∴CM＝DM＝ME
∴DE＝2CM．
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
（3）情形1：图3﹣1中△ABC外部A直角顶点作等腰直角△BAE∠BAE＝90°AE＝AB连接EAEBEC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°
∴AC＝AD∠CAD＝90°
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC∠EAC＝∠BAD
∴△EAC≌△BAD（SAS）
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7
∴BE＝∠ABE＝∠AEB＝45°
∵∠ABC＝45°
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°
∴EC＝
∴BD＝CE＝．
情形2：图3﹣2中作AE⊥AB交BC延长线E△ABE等腰直角三角形
法证：△EAC≌△BAD（SAS）
∴BD＝CE
∵AB＝AE＝7
∴BE＝7
∴EC＝BE＝CB＝7﹣3
综述BD长7﹣3．
点睛
考查等腰直角三角形性质全等三角形判定性质勾股定理等知识解题关键正确寻找全等三角形解决问题学会分类讨思想思考问题
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单选题
1．直角三角形两边长分第三边长（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
记第三边c然分c直角三角形斜边直角边两种情况利勾股定理求解．解：记第三边cc直角三角形斜边
c直角三角形直角边．
选：C．
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题考查勾股定理属基题目正确分类熟练掌握勾股定理解题关键．
2．△ABC三边abc列条件判断直角三角形（ ）
A．∠A ∠B ∠C 3∶4∶5 B．∠A∠B+∠C
C．a2(b+c)(bc) D．abc 1∶2∶
答案A
解析
根直角三角形概念角特点勾股定理逆定理逐判断．解：根直角三角形两锐角互余知180°×75°＜90°直角三角形正确
根三角形角定理根∠A+∠B+∠C180°∠A∠B+∠C∠A90°直角三角形正确
根方差公式化简原式a2b2c2a2+c2b2根勾股定理逆定理知直角三角形正确
根abc关系直接设axb2xcx知a2+c2b2构成直角三角形正确
选A
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题考查直角三角形判定关键根三角形两锐角互余三角形角定理勾股定理逆定理进行判断
3．图直线l三正方形mqnmq面积分511n面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
答案C
解析
运正方形边长相等根角余角相等∠BAC∠DCE然证明△ACB≌△DCE结合全等三角形性质勾股定理求解．解：mqn正方形ACCD∠ACD90°
∵∠ACB+∠DCE∠ACB+∠BAC90°
∴∠BAC∠DCEACCD∠ABC∠DEC90°
∴△ACB≌△DCE（AAS）
∴ABCEBCDE
Rt△ABC中勾股定理：AC2AB2+BC2AB2+DE2
SnSm+Sq11+516
∴正方形n面积16
选C．
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题考查全等三角形勾股定理综合运关键证明三角形全等．
4．△ABC三边长分abc满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0△ABC（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形直角三角形 D．等腰直角三角形
答案B
解析
首先根三边关系进行转换出a2+b2c2判定△ABC直角三角形（a+b）（a2+b2﹣c2）0
∵a+b≠0
∴a2+b2﹣c20a2+b2c2
∴△ABC直角三角形
选：B．
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题考查利三边关系勾股定理逆定理判定三角形形状熟练掌握解题
5．图中分交点分交点（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
答案B
解析
根角分线定义推出△ECF直角三角形然根勾股定理求CE2+CF2EF2．∵CE分∠ACBCF分∠ACD
∴∠ACE∠ACB∠ACF∠ACD∠ECF（∠ACB+∠ACD）90°
∵EF∥BCCE分∠ACBCF分∠ACD
∴∠ECB∠MEC∠ECM∠DCF∠CFM∠MCF
∴CMEMMF5EF10
勾股定理知CE2+CF2EF2100．
选：B
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题考查角分线定义直角三角形判定勾股定理运．
6．图根垂直面旗杆离面5mB处撕裂折断旗杆顶部落离旗杆底部12mA处旗杆折断部分AB高度（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
答案C
解析
直接利勾股定理．题意：
选：C．
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题考查勾股定理应掌握勾股定理解题关键．
7．根24cm筷子置底面直径15cm高8cm圆柱形水杯中设筷子露杯子外面长度hcmh取值范围( )
A． B．
C． D．
答案C
解析
解析
观察图形找出图中直角三角形利勾股定理解答．首先根圆柱高知筷子杯长度8cm杯外长度24816cm
根勾股定理求筷子杯长度（图）AC17杯外长度24177cm
h取值范围7cm≤h≤16cm
选C
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题考查勾股定理应注意题求筷子露杯外取值范围．根勾股定理求出筷子杯长度．
8．面判断：
①△ABC中a2＋b2≠c2△ABC直角三角形
②△ABC直角三角形∠C90°a2＋b2c2
③△ABC中a2－b2c2△ABC直角三角形
④△ABC直角三角形(a＋b)(a－b)c2
中判断正确( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案B
解析
根勾股定理逆定理次判断解答①c定斜边①错误
②根勾股定理②正确
③根勾股定理逆定理③正确
④△ABC直角三角形a斜边（a+b）（ab）c2④正确．
2正确．
选B．
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题考查勾股定理逆定理熟练运勾股定理逆定理解决问题关键．
9．图1分直角三角形三边边外作等边三角形面积分图2分直角三角形三顶点圆心三边长半径外作圆心角相等扇形面积分．中 （ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
图1示分ABBCAC表示然根勾股定理出关系计算出理图2示出关系进计算出计算出答案图1
根勾股定理
∴
图2设圆心角θ°
理
∴
答案C
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题考查勾股定理代数求解间关系熟知等边三角形扇形面积公式解答题关键
10．图边长6正方形中两正方形两正方形面积分S1S2S1+S2值（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
答案B
解析
图
设正方形S2边长x
根等腰直角三角形性质知ACBCBCCECD
∴AC2CDCD2
∴EC222+22EC
∴S2面积8
∵S1边长3S1面积3×39
∴S1+S28+917．选B．
11．图△ABC中∠ACB90°BC3AC4点DAB中点△ACDCD翻折△ECD连接AEBE线段BE长等（ ）
A． B． C． D．2
答案A
解析
试题解析：图延CD交AE点H作垂足F．
∵中
∵DAB中点
∴ADBDDC．
∵
解
翻折性质知ACCEADDE
∵
∴ 直角三角形．
选A．
12．图P等边三角形ABC点P三顶点ABC距离分345△ABC面积（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析
分析：△BPC绕点B逆时针旋转60°△BEA根旋转性质BEBP4AEPC5∠PBE60°△BPE等边三角形PEPB4∠BPE60°△AEP中AE5延长BP作AF⊥BP点F．AP3PE4根勾股定理逆定理△APE直角三角形∠APE90°∠APB度数直角△APF中利三角函数求AFPF长直角△ABF中利勾股定理求AB长进求三角形ABC面积．
详解：∵△ABC等边三角形
∴BABC
△BPC绕点B逆时针旋转60°△BEA连EP延长BP作AF⊥BP点F．图
∴BEBP4AEPC5∠PBE60°
∴△BPE等边三角形
∴PEPB4∠BPE60°
△AEP中AE5AP3PE4
∴AE2PE2+PA2
∴△APE直角三角形∠APE90°
∴∠APB90°+60°150°．
∴∠APF30°
∴直角△APF中AFAPPFAP．
∴直角△ABF中AB2BF2+AF2（4+）2+（）225+12．
△ABC面积•AB2•（25+12）9+．
选A．
点睛：题考查等边三角形判定性质勾股定理逆定理旋转性质：旋转前两图形全等应点旋转中心连线段夹角等旋转角应点旋转中心距离相等．
二填空题
13．知三角形三边长分三角形边高等_____________
答案
解析
分析：根勾股定理逆定理判断三角形直角三角形然根直角三角形面积求解
详解：∵三角形三边长分
∴
∴三角形直角三角形
∴
∴高
答案
点睛：题考查勾股定理逆定理应利勾股定理逆定理判断三角形直角三角形解题关键
14．图滑竿机械槽运动∠ACB直角已知滑竿AB长25米顶点AAC滑动量滑竿端B距C点距离15米端点B右移动05米时滑竿顶端A滑________米．
答案05
解析
结合题意知ABDE25米BC15米BD05米∠C90°
∴AC2（米）
∵BD05米
∴CD2米
∴CE15（米）
∴AEACEC05（米）．
答案05
点睛：题考查正确运勾股定理．善观察题目信息解题学数学关键．
15．图中ABAC5BC6点MBC中点点NMN____________
答案
解析
连接AM根等腰三角形三线合性质AM⊥BC根勾股定理求AM长根直角三角形面积公式求MN长．解：连接AM
∵AB＝AC点MBC中点
∴AM⊥CMBM＝CM
∵AB＝AC＝5BC＝6
∴BM＝CM＝3
Rt△AMC中AC＝5CM＝3
∴根勾股定理：AM＝4
S△AMC＝MN•AC＝AM•CM
∴MN＝．
答案：
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题综合运等腰三角形三线合勾股定理．特注意结：直角三角形斜边高等两条直角边积斜边．
16．图示四边形正方形三角形直角三角形中正方形边长7cm正方形ABC面积分8cm210cm214cm2正方形D面积__________cm2．
答案17
解析
试题解析：根勾股定理知
∵S正方形1+S正方形2S正方形49
S正方形C+S正方形DS正方形2
S正方形A+S正方形BS正方形1
∴S正方形S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B49．
∴正方形D面积498101417（cm2）
17．图AE⊥ABAEABBC⊥CDBCCD请图中标注数计算图中实线围成图形面积S___________．
答案50
解析
易证△AEF≌△BAG△BCG≌△CDH求AFBGAGEFGCDHBGCH求梯形DEFH面积△AEF△ABG△CGB△CDH面积解题．∵∠EAF+∠BAG90°∠EAF+∠AEF90°
∴∠BAG∠AEF
∵△AEF△BAG中
∴△AEF≌△BAG（AAS）
理△BCG≌△CDH
∴AFBG3AGEF6GCDH4BGCH3
∵梯形DEFH面积(EF+DH)•FH80
S△AEFS△ABGAF•AE9
S△BCGS△CDHCH•DH6
∴图中实线围成图形面积S802×92×650
答案：50．
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题考查全等三角形判定性质题中求证△AEF≌△BAG△BCG≌△CDH解题关键．
18．长8分米宽5分米高7分米长方体截长6分米宽5分米深2分米长方体图示体．蚂蚁该体顶点A处着体表面体A相顶点B处吃食物需爬行短路径长________分米．
答案 13
解析
试题分析：立体图展开
①
根侧面展开图两点间线段短知AB短根勾股定理求AB13分米
②根立体图形知ACBE外展开直角边长5+1+7中间凹面展开直角边6+2+210然根勾股定理求短距离
③②方式两直角边分116然根勾股定理求短距离．
考点：立体图形侧面展开图两点间线段短勾股定理
19．图三级台阶级长宽高分20 dm3 dm2 dmAB台阶两相端点A点蚂蚁想B点吃口食物蚂蚁着台阶面爬B点短路程__________dm
答案25
解析
先图形面展开勾股定理根两点间线段短进行解答．图示．
∵三级台阶面展开图长方形长20宽（2+3）×3∴蚂蚁台阶面爬行B点短路程长方形角线长．
设蚂蚁台阶面爬行B点短路程x勾股定理：x2202+[（2+3）×3]2252解：x25．
答案25．
点睛
题考查面展开﹣短路径问题台阶面展开图根题意判断出长方形长宽解答．
20．图单位正方形组成网格图中标ABCDEFGH四条线段中构成直角三角形三边线段________．
答案ABEFGH
解析
解析
题应先计算出线长度根勾股定理逆定理进行判断．AB222+228
CD242+2220
EF212+225
GH232+2213
AB2+EF2GH2．
中构成直角三角形三边线段ABEFGH．
答案：ABEFGH．
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题考查勾股定理逆定理应．判断三角形否直角三角形已知条边长利勾股定理逆定理加判断．
21．图△ABC中∠ACB90°AC 3BC 4AB5BD分∠ABC果MN分BDBC动点CM+MN值____．
答案24
解析
点C作CE⊥AB点E交BD点M点M作MN⊥BCNCECM＋MN值根三角形面积公式求出CE长CM＋MN值．
解：点C作CE⊥AB点E交BD点M点M作MN⊥BCN
∵BD分∠ABCME⊥AB点EMN⊥BCN
∴MN＝ME
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN值．
∵AC＝3BC＝4AB＝5
∴AC2＋BC2＝AB2
∴∠ACB＝90°
∴AB•CE＝ BC•AC
5CE＝3×4
∴CE＝24．
CM＋MN值24．
答案24
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题考查知识点轴称－短路线问题解题关键画出符合条件图形
22．图Rt△ABC中∠ACB90°AC3BC4点DABADACAF⊥CD交CD点E交CB点FCF长________________
答案15
解析
连接DF勾股定理求出AB5等腰三角形性质出∠CAF ∠DAFSAS证明△ADF≌△ACF出CFDF∠ADF∠ACF∠BDF90°设CFDFxBF4xRt△BDF中勾股定理出方程解方程．连接DF图示：
Rt△ABC中∠ACB90°AC3BC4勾股定理求AB5
∵ADAC3AF⊥CD
∴∠CAF ∠DAFBDABAD2
△ADF△ACF中
∴△ADF≌△ACF（SAS）
∴∠ADF∠ACF90°CFDF
∴∠BDF90°
设CFDFxBF4x
Rt△BDF中勾股定理：DF2+BD2BF2
x2+22（4x）2
解：x15
∴CF15
答案15．
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题考查勾股定理全等三角形判定性质等腰三角形性质证明△ADF≌△ACFCFDFRt△BDF中利勾股定理列方程解决问题关键．
23．已知：图面直角坐标系中O坐标原点四边形OABC矩形点AC坐标分A（70）C（04）点D坐标（50）点PBC边运动 △ODP腰长5等腰三角形时点P坐标______________
答案(24)（34）
解析
解析
△ODP腰长5等腰三角形时考虑BD
∵D坐标（50）
∴OD5
∴AD2
∵四边形OABC矩形
∴∠A90°
∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ
三种情况： ODPDODOP者OPPD
①ODPD时p（24）P（84）（舍）
②ODOP时PC
3
时点P坐标（34）
③OPPD时P(4)（舍）
答案：（24）（34）．
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题考查等腰三角形判定性质勾股定理运等知识 分类讨数学思想注意考虑问题全面
24．锐角三角形ABC中．BC∠ABC45°BD分∠ABC．MN分边BDBC动点CM＋MN值____．
答案4
解析
点C作CE⊥AB点E交BD点M′点M′作M′N′⊥BCN′CECM+MN值根BC∠ABC45°BD分∠ABC知△BCE等腰直角三角形锐角三角函数定义求出CE长．解：点C作CE⊥AB点E交BD点M′点M′作M′N′⊥BCN′
CECM+MN值
∵BC∠ABC45°BD分∠ABC
∴△BCE等腰直角三角形
∴CEBC•cos45°×4．
∴CM+MN值4．
点睛
题考查轴称短路线问题难度较根题意作出辅助线构造出等腰直角三角形利锐角三角函数定义求解解答题关键．三解答题
25．图△ABC中∠C90°MBC中点MD⊥ABD求证：
答案见解析
解析
连接AM三直角三角形运勾股定理分表示出AD²AM²BM²进行代换证明结果．证明：连接MA
∵MD⊥AB
∴AD2AM2MD2BM2BD2+MD2
∵∠C90°
∴AM2AC2+CM2
∵MBC中点
∴BMMC．
∴AD2AC2+BD2
点睛
题考查勾股定理三次运勾股定理进行代换计算求出结果外准确作出辅助线正确解出重素．
26．图△ABC中CDAB边高AD＝16CD＝12BD＝9．
（1）求△ABC周长．
（2）判断△ABC形状加证明．
答案（1）60（2）直角三角形证明见解析
解析
（1）利勾股定理求出ACBC长求出△ABC周长
（2）利勾股定理逆定理证明．解：（1）∵CDAB边高
∴∠CDA∠CDB90°
∴AC20
BC15
∵ABAD+BD25
∴△ABC周长AB+BC+AC25+20+1560
（2）△ABC直角三角形理：
202+152252
AC2+BC2AB2
∴△ABC直角三角形．
点睛
题考查勾股定理逆定理运熟练掌握勾股定理勾股定理逆定理解决问题关键．
27．已知图Rt△ABC中∠C90°∠A30°BC18cm．动点P点A出发AB点B运动动点Q点B出发BC点C运动果动点P2cmsQ1cms速度时出发设运动时间t(s)解答列问题：
(1)t______时△PBQ等边三角形？
(2)PQ运动程中△PBQ形状断发生变化t值时△PBQ直角三角形？说明理．
答案(1)12(2)t9时△PBQ直角三角形理见解析
解析
（1）根等边三角形性质解答
（2）分两种情况利直角三角形性质解答．(1)△PBQ等边三角形：PBBQ
∵Rt△ABC中∠C90°∠A30°BC18cm．
∴AB36cm
：PB362tBQt
362tt
解：t12
答案12
(2)t9时△PBQ直角三角形
理：
∵∠C90°∠A30°BC18cm
∴AB2BC18×236(cm)
∵动点P2cmsQ1cms速度出发
∴BPABAP362tBQt
∵△PBQ直角三角形
∴BP2BQBQ2BP
BP2BQ时
362t2t
解t9
BQ2BP时
t2(362t)
解t
t9时△PBQ直角三角形．
点睛
题考查等边三角形判定含30°角直角三角形性质关键含30°角直角三角形性质逆定理解答．
28．图正方形网格MNPQ中方格边长相等正方形ABCD顶点正方形MNPQ4条边方格顶点．
(1)设正方形MNPQ网格方格边长1求：
①△ABQ△BCM△CDN△ADP面积
②正方形ABCD面积．
(2)设MB＝aBQ＝b利图形中直角三角形正方形面积关系验证已学数学公式定理？
答案（1）①S△ABQ＝6 S△BCM＝6 S△CDN＝6 S△ADP＝6②S正方形ABCD＝25（2）验证勾股定理证明程详见解析
解析
解析
（1）①根直角三角形面积公式出结果
②题意出S正方形ABCDS正方形MNPQ﹣4S△ABQ出结果
（2）显然根面积够验证勾股定理．（1）①∵网格中正方形边长1图知AQ3BQ4∠Q90°∴S△ABQAQ•BQ6理S△BCMS△CDNS△ADP6．
②∵MQ7∴S正方形MNPQ7249∴S正方形ABCDS正方形MNPQ﹣4S△ABQ49﹣4×625．
（2）验证勾股定理．
验证：△BCM△ABQ中∵BMAQ∠M∠QCMBQ∴△BCM≌△ABQ（SAS）理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵S正方形ABCDS正方形MNPQ﹣4S△ABQ
∴AB2（a+b）2﹣4abAB2a2+b2．
设ABc：c2a2+b2（勾股定理）．
点睛
题考查勾股定理证明正方形性质面积计算三角形面积计算掌握正方形三角形面积计算方法解决问题关键．
29．图(1)△ABC中BCaACbABc∠C90°a2+b2c2图(2)△ABC锐角三角形时明猜想a2+b2>c2理：
设CDxRt△ADC中AD2b2x2
Rt△ADB中AD2c2(ax)2
b2x2c2(ax)2a2+b2c2+2ax
a>0x>02ax>0a2+b2>c2
△ABC锐角三角形时a2+b2>c2
明猜想正确
(1)请猜想△ABC钝角三角形时a2+b2c2关系
(2)证明猜想结否正确
答案(1)a2+b2
解析
（1）根题意猜测：△ABC钝角三角形时a2+b2c2关系：a2+b2＜c2
（2）点A作AD⊥BC点D然设CDx分Rt△ADCRt△ADB中表示出AD2证结．（1）△ABC钝角三角形时a2+b2c2关系：a2+b2＜c2
（2）图3点A作AD⊥BC点D设CDx．
Rt△ADC中AD2b2﹣x2．Rt△ADB中AD2c2﹣（a+x）2∴b2﹣x2c2﹣（a+x）2∴a2+b2c2﹣2ax．
∵a＞0x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＜c2∴△ABC钝角三角形时a2+b2＜c2．
点睛
题考查勾股定理．注意理解题意解答题关键．
30．图①分直角三角形ABC三边直径外作三半圆面积分S1S2S3表示难证明S1S2+S3
(1) 图②分直角三角形ABC三边边外作三正方形面积分S1S2S3表示S1S2S3间什关系？(必证明)
(2) 图③分直角三角形ABC三边边外作三正三角形面积分S1S2S3表示请确定S1S2S3间关系加证明
(3) 分直角三角形ABC三边边外作三正边形面积分S1S2S3表示请猜想S1S2S3间关系
答案（1）S1S2+S3（2）S1S2+S3（3）S1S2+S3
解析
解析
（1）根勾股定理结（2）根圆面积公式勾股定理出S1S2S3间关系（3）利等边三角形面积公式勾股定理结（1）图②Rt△ABC中利勾股定理AB2＝AC2＋BC2S1＝S2＋S3
（2）图①Rt△ABC中利勾股定理AB2＝AC2＋BC2S1＝S2＋S3
（3）图③直角三角形ABC三边边外作三正三角形面积分S1S2S3表示Rt△ABC中利勾股定理AB2＝AC2＋BC2S1＝S2＋S3
点睛
题重点考查勾股定理直角三角形中两直角边方等斜边方题解题关键熟练掌握勾股定理容分析题中面积关系
31．（1）问题发现：图1△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°线段AEBD数量关系_______AEBD直线位置关系________
（2）深入探究：（1）条件点AED直线CM△DCE中DE边高请判断∠ADB度数线段CMADBD间数量关系说明理
（3）解决问题：图3已知△ABC中AB7BC3∠ABC45°AC直角边作等腰直角△ACD∠CAD90°ACAD连接BD长 ．
答案（1）相等垂直（2）AD2CM+BD（3）7﹣3
解析
（1）结：AE＝BDAE⊥BD．图1中延长AE交BD点HAH交BC点O．证明△ACE≌△BCD（SAS）解决问题
（2）结：AD＝2CM+BD证明△ACE≌△BCD（SAS）解决问题
（3）分两种情形分画出图形构造全等三角形解决问题（1）结：AE＝BDAE⊥BD．
理：图1中延长AE交BD点HAH交BC点O．
∵△ACB△DCE均等腰直角三角形
∠ACB＝∠DCE＝90°
∴AC＝BCCD＝CE
∴∠ACE＝∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD∠CAE＝∠CBD
∵∠CAE+∠AOC＝90°∠AOC＝∠BOH
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°
∴AE⊥BD．
答案：AE＝BDAE⊥BD．
（2）结：AD＝2CM+BD
理：图2中
∵△ACB△DCE均等腰直角三角形
∠ACB＝∠DCE＝90°
∴AC＝BCCD＝CE
∴∠ACE＝∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD∠BDC＝∠AEC＝135°．
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°
等腰直角三角形DCE中CM斜边DE高
∴CM＝DM＝ME
∴DE＝2CM．
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
（3）情形1：图3﹣1中△ABC外部A直角顶点作等腰直角△BAE∠BAE＝90°AE＝AB连接EAEBEC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°
∴AC＝AD∠CAD＝90°
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC∠EAC＝∠BAD
∴△EAC≌△BAD（SAS）
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7
∴BE＝∠ABE＝∠AEB＝45°
∵∠ABC＝45°
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°
∴EC＝
∴BD＝CE＝．
情形2：图3﹣2中作AE⊥AB交BC延长线E△ABE等腰直角三角形
法证：△EAC≌△BAD（SAS）
∴BD＝CE
∵AB＝AE＝7
∴BE＝7
∴EC＝BE＝CB＝7﹣3
综述BD长7﹣3．
点睛
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