数值分析课程设计积分方法实际应
数值分析课程设计报告
求积公式实际应
学 院
数学统计学院
专 业
信息计算科学
学 号
姓 名
指导教师
成 绩
教师评语：
指导教师签字：
2018年 X 月 X 日
1 绪
数值分析计算数学部分计算数学数学科学分支研究计算机求解种数学问题数值检索方理软件实现
着计算机计算方法飞速发展学科走定量化精确化产生系列计算性学科分支计算物理计算化学计算生物学计算质学计算气象学计算材料学等计算数学中数值计算方法解决计算问题桥梁工具知道计算力计算工具计算方法效率积提高计算方法效率提高计算机硬件效率样重科学计算已科学技术社会生活领域中
数值计算方法种研究解决数学问题数值似解方法 计算机解数学问题方法简称计算方法科学研究工程技术中种计算方法 例航天航空质勘探汽车制造桥梁设计天气预报汉字字样设计中计算方法踪影计算方法数学类课程中理抽象性严谨性实性亚丁实验性技术特征计算方法门理性实践性强学科70年代数学校仅数学系计算数学专业计算机系开设计算方法门课程着计算机技术迅速发展普现计算方法课程已成理工科学生必修课程计算方法计算象微积分线性代数常微分方程中数学问题容包括：插值拟合数值微分数值积分求解线性方程组直接法迭代法计算矩阵特征值特征量常微分方程数值解等问题
2 Gauss求积公式
21 基原理
求积公式
(21)
含2n+2定参数 等距节点时插值求积公代数精度少n次果适选取求积公式(21)具2n+1次代数精度类求积公式称高斯求积公式
具般性研究带权积分里权函数求积公式
(22)
赖求积系数求积节点适选取(22)具2n+1次代数精度
果求积公式(22)具2n+1次代数精度称节点高斯点相应求积公式(22)称高斯求积公式
根定义(22)式具2n+1次代数精度()令(22)式精确成立
(23)
定权函数求出右端积分(23)式解
22 程序实现
建立gausslm文件写入容：
function sgaussl(abn)
h(ba)n
s00
for m0(1*n21)
ss+h*(gaussf(a+h*((11sqrt(3))+2*m))+gaussf(a+h*((1+1sqrt(3))+2*m)))
end
23 实例分析
例 计算积分
解 建立gaussfm文件调gausslm文件中函数写入容：
function ygaussf(x)
ysqrt(x)*log(x)
命令行中输入：
>> sgaussl(0120)
出结果：
s
04456
3 高斯勒德求积公式
31 基原理
高斯求积公式(21)中取权函数区间公式
(31)
勒德项式区间 正交项式勒德项式零点求积公式(31)高斯点形(31)式高斯公式称高斯勒德求积公式
32 程序实现
建立guasslegendrem文件写入容：
function [qlAkxk]guasslegendre(funabntol)
if nargin1
a1b1n7tol1e8
elseif nargin3
n7tol1e8
elseif nargin4
tol1e8
elseif nargin2|nargin>5
error(＇The Number of Input Arguments Is Wrong＇)
end
计算求积节点
syms x
psym2poly(diff((x^21)^(n+1)n+1))(2^n*factorial(n))
tkroots(p) 求积节点
计算求积系数
Akzeros(n+11)
for i1n+1
xkttk
xkt(i)[]
pnpoly(xkt)
fp@(x)polyval(pnx)polyval(pntk(i))
Ak(i)quadl(fp11tol) 求积系数
end
积分变量代换[ab]变换[11]
xk(ba)2*tk+(b+a)2
检验积分函数fun效性
funfcnchk(fun＇vectorize＇)
计算变量代换积分函数值
fxfun(xk)*(ba)2
计算积分值
qlsum(Ak*fx)
参数说明：
fun：积分表达式函数句柄
ab：积分限
n：积分阶数
tol：积分精度默认1e6
ql：积分结果
Ak积分系数
xk：求积节点满足qlsum(Ak*fun(xk))
33 实例分析
例 4点高斯勒德公式求解定积分似值
解：开guasslegendrem文件命令行中输入容
>> syms x
>> funinline(cos(x)*x^2)
>> [qlAkxk]guasslegendre(fun0pi24)
出结果：
ql
04674
Ak
05689
02369
04786
02369
04786
xk
07854
00737
03625
14971
12083
4点高斯勒德积分结果ql04674
4 复化Simpson求积公式
41 基原理
复化Simpson公式种较实积分方法出误差估计首先区间[ab] N等分子区间长度
(41)
子区间采Simpson公式Simpson公式时子区间二等分2N+1分点
(42)
推导
(43)
称复化Simpson值称（43）式复化Simpson公式
42 程序实现
编写复化Simpson求积函数（函数名：s_quadm）
Function IS_quad(xy)
复化求积公式
x积函数变量等距节点y积函数节点处函数值
nlength(x)
mlength(y) 积分变量节点数应函数值数相
if n~m
error (＇The length of X and Y must be equal＇)
return
end
if rem(n12)~0 果n12整调复化公式
error (＇节点数满足求＇)
return
end
N(n1)2
h(x(n)x(1))N
azeros (1n)
for k1N
a(2*k1)a(2*k1)+1
a(2*k)a(2*k)+4
a(2*k+1)a(2*k+1)+1
end
Ih6*sum(a*y)
然调s_quad函数实现复化Simpson公式法建立文件SPS容：
clear
xinput(＇请输入积分限点间间隔（例1011）：＇)
yinput(＇请输入积公式：y＇)
IS_quad(xy)
disp(＇出积分值I＇)
disp(I)
43 实例分析
例1 复化Simpson公式求积分积分区间中点点间间隔取
01
解：运行程序提示输入积分限点间间隔积公式示：
请输入积分限点间间隔（例1011）：1011
请输入积公式：yexp(x^2)
出积分值I
14936
真值：14937
例2 计算积分区间8等分
解：运行程序提示输入积分限等分区间长度积公式
示：
请输入积分限点间间隔（例1011）：001251
请输入积公式：yx(4+x^2)
出积分值I
01116
真值：0111572
44 结果分析
复化Simpson计算结果误差较精度较高更适合科学计算应公式具收敛性稳定性良
5 数值方法实际应
实际问题中会遇困难函数找初等函数表示原函数例积分
(51)
言存初等函数表示原函数函数然找原函数计算复杂例椭圆型积分
(52)
情况知道某点处函数值没函数具体表达式情况必研究积分数值计算问题面梯形公式例做说明
谓梯形求积公式梯形面积似曲边梯形面积利梯形公式连续增加[ab]区间数逼：
(53)
第j次循环等距节点处采样
51 实例分析
卫星轨道椭圆椭圆周长计算公式
里a椭圆半长轴c球中心轨道中心（椭圆中心）距离记h点距离H远点距离R637km球半径
国第颗造卫星点距离h439km远点距离H2384试求卫星轨道周长
解 第步：先利Matlab画出积函数图形
输入程序：
clear
H2384
h439
R6371
a(2*R+H+h)2
c(Hh)2
x001pi2
ysqrt(1(ca)^2*(sin(x))^2)
plot(xy＇＇)
title(＇梯形法＇)
xlabel(＇x＇)
ylabel(＇y＇)
输出结果：
a
7782500000000000e+003
c
9725000000000000e+002
输出图形：
图51 积函数图形
第二步：应数值积分梯形公式
首先建立名trapezgmM文件程序：
function Itrapezg(f_name3abn)
format long
输出15位数字表示
nn
h(ba)n
xa+(0n)*h
ffeval(f_name3x)
Ih2*(f(1)+f(n+1))
if n>1 II+h*sum(f(2n))
end
h1(ba)100
xca+(0100)*h1
fcfeval(f_name3xc)
plot(xcfc＇r＇)
hold on
xlabel(＇x＇)
ylabel(＇y＇)
plot(xf)
title(＇数值积分梯形效果图＇)
plot(xzeros(size(x))＇＇)
for i1nplot([x(i)x(i)][0f(i)])
end
然建立名f_name3mM文件定义函数Matlab命令：
function yf_name3(x)
ysqrt(1(9725000e+0027782500e+003)^2*(sin(x))^2)099
输入命令程序：
>> trapezg(＇f_name3＇0pi230)
输出结果：
ans
000955791054630
输出图形：
图52 数值积分效果图
积分结果：
000955791054630+099099955791054630
第三步：计算结果：
第四步：考虑误差
clear
n1
format long
fprintf(＇＼n Extended Trapezoidal Rule＼n＇)
fprintf(＇＼n n I Error＼n＇)
I2000955791054630
for k18
nn*2
I1trapezg(＇f_name3＇0pi2n)
format long
if k~1
fprintf(＇30f 108f 108f＼n＇ n I1 I1I2)
end
pause
end
计算7步输出结果：
Extended Trapezoidal Rule
n I Error
4 000956 000000
8 000956 000000
16 000956 000000
32 000956 000000
64 000956 000000
128 000956 000000
256 000956 000000
初始状态图：
图53 初始状态图
计算步结果图：
图54 计算步结果图
计算四步结果图：
图55 计算四步结果图
计算八步结果图：
图56 计算八步结果图
52 结果分析
数值微积分科学计算应复化梯形公式极简化实际生活中运算复杂性仅算法简明意义明确迭代结果准确科学具更收敛性广泛实性精度高收敛速度快题利复化积分原理确定轨道加计算高精度结果
结
通次课程设计学应数学软件进行量数值求解方法该课程理解进步加强课堂知识模糊点清晰认识
文叙述种方法中高斯勒德求积公式较少节点数高精度计算结果现实生活中常数值积分方法积分区间较时积分精度理想复化Simpson计算结果误差较精度较高更适合科学计算应公式具收敛性稳定性良复化梯形公式收敛稳定极简化实际生活中运算复杂性仅算法简明意义明确迭代结果准确科学具更收敛性广泛实性精度高收敛速度快
参考文献
[1] 李庆扬王超易义数值分析[M] 北京 清华学出版社 200897137
[2] 邓东皋伊玲数学分析简明教程[M] 北京 高等教育出版社2006100136
[3] 薛定宇陈阳泉高等应数学问题MATLAB®求解[M]北京清华学出版社20133542
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数值分析课程设计报告
求积公式实际应
学 院
数学统计学院
专 业
信息计算科学
学 号
姓 名
指导教师
成 绩
教师评语：
指导教师签字：
2018年 X 月 X 日
1 绪
数值分析计算数学部分计算数学数学科学分支研究计算机求解种数学问题数值检索方理软件实现
着计算机计算方法飞速发展学科走定量化精确化产生系列计算性学科分支计算物理计算化学计算生物学计算质学计算气象学计算材料学等计算数学中数值计算方法解决计算问题桥梁工具知道计算力计算工具计算方法效率积提高计算方法效率提高计算机硬件效率样重科学计算已科学技术社会生活领域中
数值计算方法种研究解决数学问题数值似解方法 计算机解数学问题方法简称计算方法科学研究工程技术中种计算方法 例航天航空质勘探汽车制造桥梁设计天气预报汉字字样设计中计算方法踪影计算方法数学类课程中理抽象性严谨性实性亚丁实验性技术特征计算方法门理性实践性强学科70年代数学校仅数学系计算数学专业计算机系开设计算方法门课程着计算机技术迅速发展普现计算方法课程已成理工科学生必修课程计算方法计算象微积分线性代数常微分方程中数学问题容包括：插值拟合数值微分数值积分求解线性方程组直接法迭代法计算矩阵特征值特征量常微分方程数值解等问题
2 Gauss求积公式
21 基原理
求积公式
(21)
含2n+2定参数 等距节点时插值求积公代数精度少n次果适选取求积公式(21)具2n+1次代数精度类求积公式称高斯求积公式
具般性研究带权积分里权函数求积公式
(22)
赖求积系数求积节点适选取(22)具2n+1次代数精度
果求积公式(22)具2n+1次代数精度称节点高斯点相应求积公式(22)称高斯求积公式
根定义(22)式具2n+1次代数精度()令(22)式精确成立
(23)
定权函数求出右端积分(23)式解
22 程序实现
建立gausslm文件写入容：
function sgaussl(abn)
h(ba)n
s00
for m0(1*n21)
ss+h*(gaussf(a+h*((11sqrt(3))+2*m))+gaussf(a+h*((1+1sqrt(3))+2*m)))
end
23 实例分析
例 计算积分
解 建立gaussfm文件调gausslm文件中函数写入容：
function ygaussf(x)
ysqrt(x)*log(x)
命令行中输入：
>> sgaussl(0120)
出结果：
s
04456
3 高斯勒德求积公式
31 基原理
高斯求积公式(21)中取权函数区间公式
(31)
勒德项式区间 正交项式勒德项式零点求积公式(31)高斯点形(31)式高斯公式称高斯勒德求积公式
32 程序实现
建立guasslegendrem文件写入容：
function [qlAkxk]guasslegendre(funabntol)
if nargin1
a1b1n7tol1e8
elseif nargin3
n7tol1e8
elseif nargin4
tol1e8
elseif nargin2|nargin>5
error(＇The Number of Input Arguments Is Wrong＇)
end
计算求积节点
syms x
psym2poly(diff((x^21)^(n+1)n+1))(2^n*factorial(n))
tkroots(p) 求积节点
计算求积系数
Akzeros(n+11)
for i1n+1
xkttk
xkt(i)[]
pnpoly(xkt)
fp@(x)polyval(pnx)polyval(pntk(i))
Ak(i)quadl(fp11tol) 求积系数
end
积分变量代换[ab]变换[11]
xk(ba)2*tk+(b+a)2
检验积分函数fun效性
funfcnchk(fun＇vectorize＇)
计算变量代换积分函数值
fxfun(xk)*(ba)2
计算积分值
qlsum(Ak*fx)
参数说明：
fun：积分表达式函数句柄
ab：积分限
n：积分阶数
tol：积分精度默认1e6
ql：积分结果
Ak积分系数
xk：求积节点满足qlsum(Ak*fun(xk))
33 实例分析
例 4点高斯勒德公式求解定积分似值
解：开guasslegendrem文件命令行中输入容
>> syms x
>> funinline(cos(x)*x^2)
>> [qlAkxk]guasslegendre(fun0pi24)
出结果：
ql
04674
Ak
05689
02369
04786
02369
04786
xk
07854
00737
03625
14971
12083
4点高斯勒德积分结果ql04674
4 复化Simpson求积公式
41 基原理
复化Simpson公式种较实积分方法出误差估计首先区间[ab] N等分子区间长度
(41)
子区间采Simpson公式Simpson公式时子区间二等分2N+1分点
(42)
推导
(43)
称复化Simpson值称（43）式复化Simpson公式
42 程序实现
编写复化Simpson求积函数（函数名：s_quadm）
Function IS_quad(xy)
复化求积公式
x积函数变量等距节点y积函数节点处函数值
nlength(x)
mlength(y) 积分变量节点数应函数值数相
if n~m
error (＇The length of X and Y must be equal＇)
return
end
if rem(n12)~0 果n12整调复化公式
error (＇节点数满足求＇)
return
end
N(n1)2
h(x(n)x(1))N
azeros (1n)
for k1N
a(2*k1)a(2*k1)+1
a(2*k)a(2*k)+4
a(2*k+1)a(2*k+1)+1
end
Ih6*sum(a*y)
然调s_quad函数实现复化Simpson公式法建立文件SPS容：
clear
xinput(＇请输入积分限点间间隔（例1011）：＇)
yinput(＇请输入积公式：y＇)
IS_quad(xy)
disp(＇出积分值I＇)
disp(I)
43 实例分析
例1 复化Simpson公式求积分积分区间中点点间间隔取
01
解：运行程序提示输入积分限点间间隔积公式示：
请输入积分限点间间隔（例1011）：1011
请输入积公式：yexp(x^2)
出积分值I
14936
真值：14937
例2 计算积分区间8等分
解：运行程序提示输入积分限等分区间长度积公式
示：
请输入积分限点间间隔（例1011）：001251
请输入积公式：yx(4+x^2)
出积分值I
01116
真值：0111572
44 结果分析
复化Simpson计算结果误差较精度较高更适合科学计算应公式具收敛性稳定性良
5 数值方法实际应
实际问题中会遇困难函数找初等函数表示原函数例积分
(51)
言存初等函数表示原函数函数然找原函数计算复杂例椭圆型积分
(52)
情况知道某点处函数值没函数具体表达式情况必研究积分数值计算问题面梯形公式例做说明
谓梯形求积公式梯形面积似曲边梯形面积利梯形公式连续增加[ab]区间数逼：
(53)
第j次循环等距节点处采样
51 实例分析
卫星轨道椭圆椭圆周长计算公式
里a椭圆半长轴c球中心轨道中心（椭圆中心）距离记h点距离H远点距离R637km球半径
国第颗造卫星点距离h439km远点距离H2384试求卫星轨道周长
解 第步：先利Matlab画出积函数图形
输入程序：
clear
H2384
h439
R6371
a(2*R+H+h)2
c(Hh)2
x001pi2
ysqrt(1(ca)^2*(sin(x))^2)
plot(xy＇＇)
title(＇梯形法＇)
xlabel(＇x＇)
ylabel(＇y＇)
输出结果：
a
7782500000000000e+003
c
9725000000000000e+002
输出图形：
图51 积函数图形
第二步：应数值积分梯形公式
首先建立名trapezgmM文件程序：
function Itrapezg(f_name3abn)
format long
输出15位数字表示
nn
h(ba)n
xa+(0n)*h
ffeval(f_name3x)
Ih2*(f(1)+f(n+1))
if n>1 II+h*sum(f(2n))
end
h1(ba)100
xca+(0100)*h1
fcfeval(f_name3xc)
plot(xcfc＇r＇)
hold on
xlabel(＇x＇)
ylabel(＇y＇)
plot(xf)
title(＇数值积分梯形效果图＇)
plot(xzeros(size(x))＇＇)
for i1nplot([x(i)x(i)][0f(i)])
end
然建立名f_name3mM文件定义函数Matlab命令：
function yf_name3(x)
ysqrt(1(9725000e+0027782500e+003)^2*(sin(x))^2)099
输入命令程序：
>> trapezg(＇f_name3＇0pi230)
输出结果：
ans
000955791054630
输出图形：
图52 数值积分效果图
积分结果：
000955791054630+099099955791054630
第三步：计算结果：
第四步：考虑误差
clear
n1
format long
fprintf(＇＼n Extended Trapezoidal Rule＼n＇)
fprintf(＇＼n n I Error＼n＇)
I2000955791054630
for k18
nn*2
I1trapezg(＇f_name3＇0pi2n)
format long
if k~1
fprintf(＇30f 108f 108f＼n＇ n I1 I1I2)
end
pause
end
计算7步输出结果：
Extended Trapezoidal Rule
n I Error
4 000956 000000
8 000956 000000
16 000956 000000
32 000956 000000
64 000956 000000
128 000956 000000
256 000956 000000
初始状态图：
图53 初始状态图
计算步结果图：
图54 计算步结果图
计算四步结果图：
图55 计算四步结果图
计算八步结果图：
图56 计算八步结果图
52 结果分析
数值微积分科学计算应复化梯形公式极简化实际生活中运算复杂性仅算法简明意义明确迭代结果准确科学具更收敛性广泛实性精度高收敛速度快题利复化积分原理确定轨道加计算高精度结果
结
通次课程设计学应数学软件进行量数值求解方法该课程理解进步加强课堂知识模糊点清晰认识
文叙述种方法中高斯勒德求积公式较少节点数高精度计算结果现实生活中常数值积分方法积分区间较时积分精度理想复化Simpson计算结果误差较精度较高更适合科学计算应公式具收敛性稳定性良复化梯形公式收敛稳定极简化实际生活中运算复杂性仅算法简明意义明确迭代结果准确科学具更收敛性广泛实性精度高收敛速度快
参考文献
[1] 李庆扬王超易义数值分析[M] 北京 清华学出版社 200897137
[2] 邓东皋伊玲数学分析简明教程[M] 北京 高等教育出版社2006100136
[3] 薛定宇陈阳泉高等应数学问题MATLAB®求解[M]北京清华学出版社20133542
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