高考数学-子数列问题

子数列问题
中学研究特殊数列等差数列等数列线性数列类指数数列数列性质
远远止新数列考查方样定仅考查函数性质常整数性质进
行考查明确考查方解决新数列背景解答题前提恰运应性质解决问题思想方法
类型 排序数列分类讨问题
典例 1 已知数列 na 前 n 项 nA 意 *n N 满足 1 1
1 2
n nA A
n n
  
1 1a  数列 nb 满足
 *
2 1 32 0 5n n nb b b n N b      前 9 项 63．
（1）求数列 na  nb 通项公式
（2）略
（3）数列   n na b 项 n 奇数时 na 放前面 n 偶数时 nb 放前面求进行
交叉排列新数列： 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 a b b a a b b a a b b  求新数列前 n 项 nS ．
答案（1） 2n na n b n   （2）
略
（3）
2
2
*
2
1 3 24 2
6 3 4 34
6 5 4 14
n
n n n k
n nS n k k N
n n n k
  

    

    
解析
（1）∵ 1 1
1 2
n nA A
n n
  
∴数列 nA
n
   
首项 1公差 1
2
等差数列
∴  1
1 1 11 2 2 2
nA A n nn
         *1
2n
n nA n N
 
∴       *
1 1
1 2 1 12 2n n n
n n n na A A n n N 
        
1 1a  ∴  *
na n n N 
∵ 2 12 0n n nb b b    ∴数列 nb 等差数列设 nb 前 n 项 nB ∵  3 7
9
9 632
b bB
  3 5b 
∴ 7 9b  ∴ nb 公差  *7 3 9 5 1 27 3 7 3 n
b b b n n N      
（2） 略
（3）数列 na 前 n 项  1
2n
n nA
 数列 nb 前 n 项  5
2n
n nB

①  *2n k k N  时     21 5 32 2n k k
k k k kS A B k k
      
②  *4 1n k k N   时      2
2 1 2
2 1 2 2 2 2 5 4 8 12 2n k k
k k k kS A B k k
        
特 1n  时 1 1S  符合式
③  *4 1n k k N   时     2
2 1 2
2 1 2 2 2 5 4 42 2n k k
k k k kS A B k k
       ．
综：
2
2
*
2
1 3 24 2
6 3 4 34
6 5 4 14
n
n n n k
n nS n k k N
n n n k
  

    

    
．
名师指点新数列赖序项数项应关系解决问题关键项数项应关系
需讨分类标准正确选择考查难点
举反三已知数列 na 满足 1 1a 
2
1
4
2
n n
n
n
a aa a
 

  
中 *Nn   非零常数
（1） 3  8  求证：  1na  等数列求数列 na 通项公式
（2）数列 na 公差等零等差数列
①求实数   值
②数列 na 前 n 项 nS 构成数列 nS  nS 中取四项排列组成四项子数列试问：
否存首项 1S 四项子数列该子数列中项恰 2017？存求出满足条件
四项子数列存请说明理答案（1） 12 3 1n
na    （2）① 1  4  2 1na n  ② 1 4 8 44 S S S S  1 12 24 36 S S S S
 1 4 20 40 S S S S
解析解：（1） 3  8  时
2
1
3 8 4
2
n n
n
n
a aa a
  
  3 2 2
2
n n
n
a a
a
   3 2na 
 1 1 3 1n na a   
1 0na   然 1 1 0a   1 1 2a   矛盾
 1na  2 首项3 公等数列
11 2 3n
na     12 3 1n
na    
（2）①设  1 1na a n d   1dn d  

2
1
4
2
n n
n
n
a aa a
 

  
 1 2n na a   2 4n na a  
  3 1dn d dn     21dn d    1 4dn d   
 2 2 24 3d n d d n d        2 2 2 1d n d       21dn d    1 4d  
意 *Nn 恒成立
令 1n  23解 1  4  2d 
检验满足题意
综 1  4  2 1na n 
②①知   21 2 1
2n
n nS n
  
设存样满足条件四元子列观察 2017 奇数四项者三奇数偶数者奇数三
偶数
1°三奇数偶数设 1S 2 1xS  2 1yS  2zS 满足条件四项
 21 2 1x    2 22 1 4 2017y z  
 2 2 22 x x y y z     1007 1007 奇数矛盾合题意舍
2°奇数三偶数设 1S 2xS 2 yS 2zS 满足条件四项 2 21 4x  2 24 4 2017y z  2 2 2 504x y z   
504 偶数知 x y z 中偶数两奇数者三偶数
1） x y z 中偶数两奇数妨设 12x x 12 1y y  12 1z z 
 2 2 2
1 1 1 1 12 x y y z z    251 251 奇数矛盾
2） x y z 均偶数妨设 12x x 12y y 12z z
2 2 2
1 1 1 126x y z   继续奇偶分析知 1x 1y 1z 中两奇数偶数
妨设 1 22x x 1 22 1y y  1 22 1z z  2 2
2 2 2x y y   2
2 2 31z z 
 2 2 1y y   2 2 1z z  均偶数 2x 奇数妨设 2 20 y z 
2 1x  时 2 2
2 2 2 2y y z z   30 2
2 2 14y y  检验 2 0y  2 5z  2 1x 
2 3x  时 2 2
2 2 2 2y y z z   22 2
2 2 10y y  检验 2 1y  2 4z  2 3x 
2 5x  时 2 2
2 2 2 2y y z z   6 2
2 2 2y y  检验 2 0y  2 2z  2 5x 
1S 4S 8S 44S 者 1S 12S 24S 36S 者 1S 4S 20S 40S 满足条件
综述  1 4 8 44 S S S S  1 12 24 36 S S S S  1 4 20 40 S S S S 全部满足条件四元子列
类型二 定子数列性质探究问题
典例 2 设数列 na 满足  22
1 1 2 1n n na a a a a    中 2n n N  常数
（1） na 等差数列公差 0d  求  值
（2） 1 2 31 2 4a a a   存  37r  nm a n r   意 *n N 成立求 m
值
（3） 0  数列 na 常数列果存正整数T n T na a  意 *n N 均成立 求
满足条件数列 na 中T 值
答案（1） 1  （2） 1
128
（3）3
解析
解：（1）题意   2 2
n n na a d a d d    化简  21 0d   0d  1 
（2） 1 2 31 2 4a a a   代入条件 4 1 4    解 0 
2
1 1n n na a a  数列 na 首项 1公 2q  等数列 12n
na 
欲存  37r  12nm n r  12nr n m   意 *n N 成立
17 2nn m   1
7
2n
nm 
 意 *n N 成立
令 1
7
2n n
nb 
 1 1
6 7 8
2 2 2n n n n n
n n nb b 
     
8n  时 1n nb b  8n  时 9 8b b 8n  时 1n nb b  ．
nb 值 9 8
1
128b b  m 值 1
128

（3）数列 na 常数列 2T ．
① 2T  2n na a  恒成立 3 1a a 4 2a a  
 
22 2
2 1 2 1
22 2
1 2 2 1
{
a a a a
a a a a


  
  

 2
2 1 0a a   0  2 1a a  na 常数列．矛盾．
2T  合题意
② 3T  取  *
1 3 2
{ 2 3 1
3 3
n
n k
a n k k N
n k
 
   
 
（*）满足 3n na a  恒成立．
 22
2 1 3 2 1a a a a a   7  ．
条件式变 2
1 1 7n n na a a   ．
 22 1 3 7    知  22
3 1 3 2 3 2 1k k ka a a a a   
 23 2 1 7    知  22
3 3 1 3 1 2 1k k ka a a a a   
 21 3 2 7    知  22
3 1 3 3 2 2 1k k ka a a a a    ．
数列（*）适合题意．
T 值3
名师指点原数列抽出子数列性质发生变化子数列原数列中需结合原数列
性质（单调性奇偶性）进行分析子数列性质
举反三已知数列  na 前 n 项 nS 意正整数 n 总存正数 p q r 1n
na p  n
nS q r  恒成立：数列 nb 前 n 项 nT 意正整数 n 2 n nT nb 恒成立
（1）求常数 p q r 值
（2）证明数列 nb 等差数列
（3） 1 2b  记 31 2 22 2
2 4n
n n n
n bn b n bP a a a
    1
2 1
2 2
2 2
n n
n n
n n
n b n b
a a

 
   否存正整数 k
意正整数 n nP k 恒成立存求正整数 k 值存请说明理
答案（1） 2 r1p q  （2）见解析（3）正整数 k 值 4
解析
（1）∵ n
nS q r  ①
∴ 1
1
n
nS q r
   ② 2n 
①②： 1
1
n n
n nS S q q 
   1n n
na q q    2n 
1n
na p 
∴ 1 1n n np q q    2n 
2n  时 2p q q  3n  时 2 3 2p q q 
∵ p q 正数
∴ 2p q 
∵ 1 1a  1S q r  1 1a S
∴ 1r 
（2）∵ 2 n nT nb ③
∴ 2n  时  1 12 1n nT n b   ④
∴③④：   12 1n n nb nb n b        12 1n nn b n b    ⑤
∵  11 n nn b nb  ⑥
∴⑤+⑥：      1 12 2 1 1n n nn b n b n b      1 12 n n nb b b  
∴ nb 等差数列
（3）∵ 1 0b  2 2b  （2）知 nb 等差数列∴ 2 2nb n 
（1）知 12n
na 
∴ 1
2 2 2
2 2n n n
n nP 
  2 3 2 2
4 4 4 2
2 2n n
n n
 
   
∵ 1
2 2
2n n
nP 
   2 3 2 2 2 1 2
4 4 4 2 4 4 2
2 2 2 2n n n n
n n n n
  
    
∴ 1 2 1 2 1
4 4 2 2
2 2 2n n n n n
n n nP P  
    12 2 4 2
4
n
n
n n  
令 1 0n nP P   12 2 4 2 0nn n   
∴ 6 1 12 3 42 2
n n
n n
    解 1n 
∴ 1n  时 1 0n nP P   2 1p P
∵ 2n  时 2 4n  13 42n
 
∴ 1 6 12 3 2 2
n n
n n
   12 2 4 2 0nn n   
时 1n nP P  2 3 4p p p   
∴ nP 值 2
2 2 2 2 2 7
2 2 2nP     
存正整数 k 意正整数 n nP k 恒成立 max
7
2k P 
∴正整数 k 值 4
类型三 新数列中定义理解应问题
典 例 3 记  12 100U  … 数 列   *
na n N U 子 集 T T   定 义 0TS 
 1 2 kT t t t … 定 义 1 2
+ kT t t tS a a a  … 例 ：   1366T 时 1 3 66+TS a a a  现 设
  *
na n N 公 3 等数列   24T 时 30TS
（1）求数列 na 通项公式
（2）意正整数  1 100k k   12 kT  … 求证： 1T kS a 
（3）设 C DC U D U S S   求证： 2C C D DS S S 
答案（1） 13n
na  （2）详见解析（3）详见解析解析（1）已知 1 *
1 3 n
na a n N  
{24}T  时 2 4 1 1 13 27 30rS a a a a a    
30rS  130 30a  1 1a 
数列{ }na 通项公式 1 *3 n
na n N 
（2） {12 }T k  1 *3 0n
na n N  
1
1 2
11 3 3 (3 1) 32
k k k
r kS a a a            
1r kS a 
（3）面分三种情况证明
① D C 子集 2C C D C D D D DS S S S S S S     
② C D 子集 2 2C C D C C C DS S S S S S    
③ D C 子集 C D 子集
令 UE C C D  UF D C C  E  F  E F 
C E C DS S S   D F C DS S S   进 C DS S E FS S
设 k E 中数 l F 中数 1 1k l k l  
（2）知 1E kS a  1
13 3l k
l F E ka S S a
     1l k  l k
k l 1l k 
1
1 2
1 13 11 3 3 2 2 2
l
l k E
F l
a SS a a a              
2 1E FS S  2( ) 1C C D D C DS S S S    
2 1C C D DS S S  
综合①②③ 2C C D DS S S 
名师指点题三难点数列新定义利新定义确定等数列首项代入等数列通项公式
求解二利放缩法求证等式放缩目非特殊数列转化特殊数列利特殊数列性
质算代征三结含义应实质新定义新定义性质应举反三设数列 A： 1a 2a … Na ( N  )果 n ( 2 n N  )正整数 k ka ＜ na
称 n 数列 A G 时刻记 )(AG 数列 A G 时刻组成集合
（1）数列 A：22113写出 )(AG 元素
（2）证明：数列 A 中存 na na > 1a )(AG
（3）证明：数列 A 满足 na 1na  ≤1（n23 …N） )(AG 元素数 Na 1a
答案（1） ( )G A 元素 2 5 （2）详见解析（3）详见解析
解析
试题分析：（1）关键理解 G 时刻定义根定义写出 )(AG 元素
（2）证 )(AG 证 )(AG 中含元素
（3） 1aaN  时结成立证明 1aaN  时然成立
试题解析：（1） )(AG 元素 2 5
（2）存 na 1aan     
12 aaNiNi i
记  12min aaNiNim i  
2m 意正整数 mk aaamk  1
)(AGm )(AG
（3） 1aaN  时结成立
设 1aaN 
（Ⅱ）知 )(AG
设   pp nnnnnnAG  2121 )( 记 10 n

pnnnn aaaa  210

pi 10  记  inkii aaNknNkG  
果 iG 取 ii Gm min
ii mnki aaamk  1 )(AGmi  1 ii nm
pn )(AG 中元素 pG
意 nknp 
pnk aa  特
pnN aa 

ii nn aapi   11
110
1)( 11 1111
   iiiii nnnnn aaaaa
paaaaaa iip n
p
i
nnN  

)( 1
1
11
模拟：
1已知数列{an}等数列 1 1a  公 1q q  nS 数列{an}前 n 项
（1） 3 5 20a a  求 8
4
S
S
（2）调换 1 2 3 a a a 序构成等差数列求 q 值
（3）否存正常数 c q 意正整数 n等式 2n
n
S
S c

总成立？存求出 q 范围
存请说明理．
答案（1）17（2） 12 2q    （3） 10 2
 
  
解析解：（1） 3 5 20a a  4 2 20 0q q  
2 4q  2 5q   （舍）．
48
4
1 17S qS
  
（2） 2 1 3 a a a 3 1 2 a a a 成等差数列
2
1 3 22 + 20a a a q q  解 2q   1（舍）
1 3 2 a a a 2 3 1 a a a 成等差数列
2
3 1 22 + 2 10a a a q q  解 1
2q   1（舍） 3 2 1 a a a 成等差数列
2
2 3 12 + 2 10a a a q q  解 1q  （舍）
综 12 2q   
（3） 2 0n
n
S
S c
 
2 0n
n
S c
S c
 

等价 2nc S c  恒成立
1 1a  0na  1nS  1c 
1q  时 2 2 2S c  成立
1 12 q  时 1 21
nq
q
 
2 1nq q  解  log 2 1 qn q 
1 12 q   log 2 1 1q q  
 log 2 1qn q  时 2nS  2nS c 成立
1
2q  时
11 2 211 2
n
c
    


11 2
n
c    
1 1 2
n
c     
 1
2
log 1cn  时 2nS c 成立
10 2q  时 1 1 1 1
n
n
qS q q
  
 
1 12 1 cq
 
时 2nc S c  恒成立
综存正常数 c q 意正整数 n等式 2n
n
S
S c

总成立
q 取值范围 10 2
 
  
2 穷数列{ }na 满足： *( )p qa a p q N  必 1 1p qa a  称{ }na 具性质 P
（1）{ }na 具性质 P 1 2 4 51 2 3 2a a a a    6 7 8 21a a a   求 3a
（2）穷数列{ }nb 等差数列穷数列{ }nc 公正数等数列 1 5 1b c  5 1 81b c 
n n na b c  判断{ }na 否具性质 P 说明理
（3）设{ }nb 穷数列已知 *
1 sin ( )n n na b a n N    求证：意 1{ }na a 具性质 P 充条
件{ }nb 常数列
答案（1） 3 16a  ．（2） na 具性质  ．（3）见解析．
解析
试题分析：（1）根已知条件 6 7 8 3 3 2a a a a     结合 6 7 8 21a a a   求解．
（2）根 nb 公差 20  nc 公 1
3
写出通项公式 520 19 3 n
n n na b c n      ．
通计算 1 5 82a a  2 48a  6
304
3a  2 6a a 知 na 具性质  ．
（3）充分性必性两方面加证明中必性反证法证明．
试题解析：（1） 5 2a a 6 3a a 7 4 3a a  8 5 2a a  ．
6 7 8 3 3 2a a a a     6 7 8 21a a a   解 3 16a  ．
（2） nb 公差 20  nc 公 1
3

 1 20 1 20 19nb n n    
1
5181 33
n
n
nc

     
．
520 19 3 n
n n na b c n      ．
1 5 82a a  2 48a  6
304
3a  2 6a a
 na 具性质  ．
（3）[证]充分性： nb 常数列时 1 1 sinn na b a   ．
意定 1a p qa a 1 1sin sinp qb a b a   必 1 1p qa a  ．
充分性证．
必性：
反证法证明．假设 nb 常数列存 k 
1 2 kb b b b     1kb b  ．
面证明存满足 1 sinn n na b a    na 1 2 1ka a a     2 1k ka a  ．
设   sinf x x x b   取 m  m b 
  0f m m b      0f m m b      存 c   0f c  ．
取 1a c 1 sinn na b a   （1 n k  ） 2 1sina b c c a   
类推 1 2 1ka a a c     ．
2 1 1 1sin sin sink k k ka b a b c b c         2 1k ka a  ．
 na 具性质  矛盾．
必性证．
综意 1a  na 具性质  充条件 nb 常数列．
3 已知数列 na 满足 *
1 2 2 1 2 1 2 2 21 2 2 3 ( )n n n na a a a a a n N        数列 na 前 n 项 nS
(Ⅰ) 求数列 na 通项公式
（Ⅱ） 1 2m m ma a a  求正整数 m 值
（Ⅲ）否存正整数 m 2
2 1
m
m
S
S 
恰数列 na 中项？存求出满足条件 m 值
存说明理
答案(Ⅰ) 122 3
nn
n n
a
n

 
 


奇数
偶数
（Ⅱ） 2m  （III） 1m  2m 
解析（I） 2 1 2 1 2 1 2 12 2n n n na a a a        数列 na 奇数项次构成 1 1a  首项 2
公差等差数列 2 1 1 2( 1) 2 1 ( )k na k k a n n       奇数 2 2 2 2 23 0 0n n na a a a     数列 na 偶数项次构成 2 2a  首项3公等数列
11 2
2 2 3 2 3 (
n
k
k na a n
    偶数)
122 3
nn
n n
a
n

 
 


奇数
偶数
（II） 1 2m m ma a a  ① 2 ( )m k k   N 2 2 1 2 2k k ka a a  2 1 3 1k k    2m 
② 2 1( )m k k   N 2 1 2 2 1k k ka a a  1(2 1) 2 3 2 1kk k     1 22 3 1 2 1
k
k
   
12 3k 正整数 2
2 1k 
正整数 2 1 1k   1k  时式 02 3 3  合题意
综 2m  ………9 分
（III） 2
2 1
m
m
S
S 
 na 中项 2
2 1
m
m
S
S 
正整数
2 1 1 3 2 1 2 4 2 2( + ) ( )m m mS a a a a a a        
1
1 2(1 2 1) 2(3 1) 3 12 3 1
m
mm m m

      

2 2 1 2
2 1 2 1
3m m m
m m
S S a
S S

 
   
2
1 2
2( 1) 33 1m
m
m
  

2
2 1
m
m
S
S 
 na 中某项 1 2 3 a a a
①
2
1 2
2( 1)3 13 1m
m
m
   
解
②
2
1 2
1 2
2( 1)3 2 3 1 03 1
m
m
m mm


      
显然 1m  符合题意 2m  符合题意
3m  时设 1 2( ) 3 1mf m m   1 1 2( ) 3 ln3 2 ( ) 3 (ln3) 2 0m mf m m f m      
1( ) 3 ln3 2mf m m   增函数 ( ) (3) 0f m f   ( )f m 增函数
( ) (3) 1 0f m f   3m  时方程 1 23 1 0m m    解
2m  方程唯解
③
2
2
1 2
2( 1)3 3 13 1m
m mm
    
1m  综述 1m  2m 
4 已知数列 na 项均正数 1 1a  2 2a  3 1 2n n n na a a a   意 *Nn 恒成立记 na
前 n 项 nS
（1） 3 3a  求 5a 值
（2）证明：意正实数 p  2 2 1n na pa  成等数列
（3）否存正实数t 数列 nS t 等数列存求出时 na nS 表达式存
说明理
答 案（ 1 ） 5 9a  （ 2 ） 见 解 析 （ 3 ） 存 1t  数 列  nS t 等 数 列 时 12n
na 
 *2 1 Nn
nS n  
解析
解：（1）∵ 1 4 2 3a a a a ∴ 4 6a  ∵ 2 5 3 4a a a a ∴ 5 4
3 92a a 
（2） 3 1 2
1 4 2 3
{ n n n n
n n n n
a a a a
a a a a
  
   


两式相 2
1 3 4 1 2 3n n n n n n na a a a a a a     
∵ 0na  ∴  2 *
4 2 Nn n na a a n  
 na 奇数项偶数项均构成等数列
设公分 1 2q q 1 1
2 2 2 22n n
na a q q   1 1
2 1 1 1 1
n n
na a q q 
  
∵ 3 1
2
n n
n n
a a
a a
 

 ∴ 4 2 2
3 1 1
22a a q
a a q
   1 2q q
设 1 2q q q   2 2 1 2 2 2 3n n n na pa q a pa     2 2 1 0n na pa   恒成立
数列 2 2 1n na pa  首项 2 p 公 q 等数列问题证
（3）（2）中令 1p  数列 2 2 1n na a  首项 3公 q 等数列
∴    2 2 2 1 2 2 2 3k k k k kS a a a a           2 1
3 1
{ 3 1
11
k
k q
a a q
qq

  
 
1
2 1 2 2 1
3 2 1
{ 3 1
2 11
k
k
k k k k
k q q
S S a q
q qq

 
 
   
 

1 1S  2 3S  3 3S q  4 3 3S q 
∵数列 nS t 等数列∴     
    
2
2 1 3
2
3 2 4

{

S t S t S t
S t S t S t
   
   
    
    
2
2
3 1 3
{
3 3 3 3
t t q t
q t t q t
    
     
 2 6 1 {
3
t q t
t q
  
 
解 1{ 4
t
q


（ 3t   舍）
∴ 2
2 4 1 2 1k k
kS     2 1
2 1 2 1k
kS 
  
意 *Nn 2 1n
nS  
时 2n
nS t 
1
2n
n
S t
S t
 
常数满足 nS t 成等数列
2n  时 1 1
1 2 2 2n n n
n n na S S  
     1 1a  ∴  1 *2 Nn
na n 
综存 1t  数列 nS t 等数列时 12n
na   *2 1 Nn
nS n  
5 已知数列 na 中意连续三项零 2 12 1a a  
(Ⅰ) 求数列 na 通项公式
（Ⅱ）数列 nb 满足 *
1 1 1 1( N )n n nb b a n b a    求数列 nb 前 n 项 nS 取值范围
答案(Ⅰ)
*
1 3 22
1 3 1 N
3 32
n
n k
a n k k
n k
  
    

 

（Ⅱ） 1 3 1[ 3) [03) [ 3)[ 3)2 4 2
  
解析（I）题意 2 +1n n na a a    1 1 ( 2)n n na a a n     两式相减： 2 1( 2)n na a n  
*
1 4 7 3 2 ( N )na a a a n    L *
2 5 8 3 1( N )na a a a n    L *
3 6 9 3 ( N )na a a a n    L
1 2
1 12a a    3
3 2a 数列 na 通项公式
*
1 3 22
1 3 1 N
3 32
n
n k
a n k k
n k
  
    

 

（II） 3 3 1 3 2 2
3 1 3 3 1 3 2 2 1 3 2 1
3 1 3 2 3 3 1
3( ) ( )4
n nn n n
n n n n
n n n
b b b bb b a a a a a a a ab b b b
 
 
  
              
1 1
3 1 3 2 1 2 1
1 3( ) ( )2 4
n n
nb a a a a a 
    1 1
3 2 3 2 1 1
1 3( ) ( )2 4
n n
nb a a a a 
    
*3 n k k N  时 3
3 3(1 ( ) ) 3 34 4 3(1 ( ) ) [ 3)3 4 41 4
k
k
kS

   


*3 1n k k N   时 3 1 3 3
3 3 33(1 ( ) ) ( ) 3 4( ) [03)4 4 4
k k k
k k kS S b        
*3 2n k k N   时 1
3 2 3 1 3 1
3 1 3 14 3 13 4( ) ( ) 3 ( ) [ 3)4 2 4 3 4 2
k k k
k k kS S b 
          
nS 取值范围
1 3 1[ 3) [03) [ 3)[ 3)2 4 2
  
6 设首项 1 正项数列 na 前 n 项 nS 1 3 1n nS S  
（1）求证：数列 na 等数列
（2）数列{ }na 否存项 ka ka 恰表示该数列中连续 *( 2)r r N r  项？请说明理
（3）设 *
1
( )n
n
nb n Na 
  试问否存正整数 (1 )p q p q  1 p qb b b 成等差数列？存求出满足
条件数组 ( )p q 存说明理．
答案(Ⅰ)见解析 （Ⅱ）存（3） ( ) (23)p q 
解析解：（1） 2n  时 1 13 1 3 1n n n nS S S S     两式相减 +1 3n na a
1n  时 2 21 3 1 3a a     2 13a a
数列{ }na 等数列 13n
na 
（2）假设数列{ }na 存项 ka 满足 *
1 2 1( )k m m m m pa a a a a m N         （*）
数列{ }na 单调递增数列 1 2
13 3 1k m p
k m pa a k m p k m p  
       

1 1 1
1
1 2 1
3 (1 3 ) 3 3 31 3 2 2
m p m p k
k
m m m m p ka a a a a
   

   
         （*）矛盾
样项存
（3）假设存正整数数组 ( )p q 1 p qb b b 成等差数列 2 1
3 3 3p q
p q  ．
2 13 ( ) (*)3 3
q
p
pq   易知 ( ) (23)p q  方程（*）组解．
*3p p N  时 1 1
2( 1) 2 2 4 03 3 3p p p
p p p
 
   
数列 *2{ }( 3 )3p
p p p N  递减数列
3
2 1 2 3 1 03 3 3 3p
p     时方程（*）正整数解．
综存唯正整数数 ( ) (23)p q  1 p qb b b 成等差数列．
7 等差数列{ }na 前 n 项 nS 已知 1 2a  6 22S 
（1）求 nS
（2）{ }na 中抽取公 q 等数列{ }nka 中 1 1k  1 2 nk k k    *
nk N
① q 取值时求{ }nk 通项公式
②关 *( )n n N 等式 16 n nS k  解试求 q 值
答案(Ⅰ) ( 5)
3n
n nS  （Ⅱ）① 223 1  n
nk ② 234．
解析（1）设等差数列公差 d 6 1
16 6 5 222S a d     解 2
3d 
( 5)
3n
n nS 
（2）①数列 }{ na 正项递增等差数列数列 }{ nka 公 1q
22 k
3
8
2 a
3
4
1
2 
a
aq 时
9
32)3
4(2 2
3
ka )2(3
2
9
32  n
解 *3
10 Nn  22 k 理 32 k
42 k 44 a 2q 时 122  n
kna
方面 2 ( 2)3nk na k  2 ( 2) 23
n
nk   13 2 2n
nk   
正整数 n nka 数列 }{ na 第 223 1  n 项．公 2q ．
223 1  n
nk ．② 12 4 23n
nn
k
ka q   13 2n
nk q   1q 
1q  q N 时 13 2n
nk q   均正整数适合题意
2q  q N 时 13 2n
nk q N   全正整数合题意
16 n nS k  解 2 ( 5) 2 13 n
n n
q
   解检验 2q  3q  4q  时 1n 
2 ( 5) 2 13 n
n n
q
   解适合题意
证 5q  时 2 ( 5) 2 13 n
n n
q
   解 设 2 ( 5) 2
3n n
n nb q
 

2
1 1
2[(1 ) (7 5 ) 7 ]
3n n n
q n q n qb b q 
     
5 7 02 2
q
q
 
2( ) 2[(1 ) (7 5 ) 7 ]f n q n q n q      *n N 递减
(1) 0f  ( ) 0f n  恒成立 1 0n nb b   1nb b 恒成立
5q  时 1 1b  5q  时 16 n nS k  解
综述 q 取值 234
8 已知数列 }{ na 前 n 项 nS )(   RrpNnrpna
S
n
n ．
（1）
3
23
1  rp 求数列 }{ na 前 n 项 nS
（2）设  Nk 先计算 33)1( kk  值结求出 2222 321 nTn  表达式（
n 表示）（1）前提较 nT nS 关系
（3） 12016 2016aa  求 rp 值．
答案(Ⅰ) )2)(1(6
1)2(3
1  nnnanS nn （Ⅱ）见解析．（3）
2
1p
解析（1）已知 nnn anaS 23  111 2)1(3   nnn aanS 两式两边相减：
nn anna )2(1 
n
n
a
a
n
n 21  取 123 1n n    ：
2
41
3
2
3
1
2 
a
a
a
a
1
14
63
5
14
5
3
4


 n
n
a
a
a
a
a
a
n
n 1n 等式两
边相： )1(2
1
21
)1(
)1(321
)1(43
1


 nnnn
n
n
a
an 注意 11 a )1(2
1  nnan
时 )2)(1(6
1)2(3
1  nnnanS nn
（2） 33)1( kk   Nkkkkkkk 133133 2323
133)1( 233  kkkk 等式中分取 nk 321  n 恒等式：
1231312 233  1332323 233   1333334 233
133)1( 233  nnnn ．
n 等式两边相加：
 1)1( 3n nnn  )321(3)321(3 2222 化简：
2 2 2 2 31 (1 ) 1 11 2 3 ( 1) ( 1)(2 1)3 2 3 6
n n nn n n n n           )12)(1(6
1  nnnTn
)2)(1(6
1  nnnSn
2
12


n
n
S
T
n
n ．
① 12
12 

n
n 3n 时 nn ST 
② 12
12 

n
n 3n 时 nn ST 
③ 12
12 

n
n 31  n 时 nn ST 
（3）已知 nnn rapnaS  111 )1(   nnn raanpS 两式两边相减：
nn arpnarnp )(]1)1([ 1   1n 时 11 aS  1 rp 注意  Rrp
np
np
a
a
n
n 1)1(1  取 123 1n n    ：
p
p
a
a
pa
a
2
11
2
3
1
2 
)1(
1)2(4
133
12
14
5
3
4


 n
np
a
a
p
p
a
a
p
p
a
a
n
n 1n 等式两边相：
pnppp
npppp
a
an
)1(32
]1)2([)13)(12)(1(
1 
 取 2016n ：
pppp
pppp
a
a
201532
]12014[)13)(12)(1(
1
2016

 注意 2016
1
2016 
a
a
2016201532
]12014[)13)(12)(1( 

pppp
pppp
2016201532)12014()12)(1(  ppppppp
20162015321)12014()12)(11(1 
pppp
注意  Rrp 1 rp 10  p

2
1p 时 21 
p
．
证 21 
p
．
① 21 
p
20161201441231121 
pppp

2016321)12014()12)(11(1 
pppp
题设符成立
② 210 
p
201612014412311210 
pppp
题设符成立．
综述：求满足题设条件实数 p 值
2
1p 时
2
1
2
11 r
9 已知数列 na 中 01 a )(2
1 Rppaa nn 
（1） 12 p 时试证明： 432 aaa 成等差数列
（2） 432 aaa 成等数列试求实数 p 值
（3）
4
1p 时试证明：存 *Nk  2016ka
答案(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）
2
51p （3）见解析
解析（Ⅰ） 12 p 时 122
1  nn aa 122 a 223 a
2354 a 2232334  aaaa 432 aaa 成等差数列
（2） pa 2 ppa  2
3 pppa  22
4 )( 432 aaa 构成公 1 等数列])[()( 2222 pppppp  解
2
51p
（3） paaaa nnnn 
2
1 4
1
4
1)2
1( 2  ppan

4
1p 时令
4
1 pd daa nn 1
daa  12 daa  23 daa nn  1 述等式相加 dnaan )1(1 
01 a dnan )1(  取正整数 12016 
dk 2016)1(  dkak
10 设数列 na ( 3)m m  项记该数列前i 项 1 2 ia a a 中项 iA 该数列 m i 项
1 2 i i ma a a   中项 iB ( 123 1)i i ir A B i m   
（1）数列 na 通项公式 2n
na  求数列 ir 通项公式
（2）数列 na 满足 1 1a  2ir   求数列 na 通项公式
（3）试构造数列 na 满足 n n na b c  中 nb 公差零等差数列 nc 等数列
意定正整数 m 数列 ir 单调递增说明理
答案(Ⅰ) 12 2 2i i i
ir     （Ⅱ） 1 2( 1) 2 1na n n     （3） 1( )2
n
na n 
解析（1） 2n
na  单调递增 2i
iA  12i
iB 
12 2 2i i i
ir     1 1i m  
（2）根题意知 i ia A 1i iB a  2 0i i ir A B     i iA B
1i i i ia A B a    1i ia a  123 1i m  { }na 单调递增
i iA a 1i iB a  1 2i i ir a a     1 2i ia a   1 1i m  
 na 公差 2 等差数列 1 2( 1) 2 1na n n     1 1i m  
（3）构造 1( )2
n
na n  中 nb n 1( )2
n
nc  
证数列 na 满足题意
证明： 1( )2
n
na n  数列 na 单调递增 1( )2
i
i iA a i   1
1
11 ( )2
i
i iB a i 
   
1
1
11 ( )2
i
i i ir a a 
     1 1i m  
2 1 2
1
1 1 1[ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] ( ) 02 2 2
i i i
i ir r   
         
数列 ir 单调递增满足题意
11 已知等差数列{an}等数列{bn}满足 a1+a2a3b1b2b3 a3a2+b1a1+b2 成等差数列a1a2b2
成等数列．
（1）求数列{an}数列{bn}通项公式
（2）方法数列{an}数列{bn}中取项：
第 1 次数列{an}中取 a1
第 2 次数列{bn}中取 b1b2
第 3 次数列{an}中取 a2a3a4
第 4 次数列{bn}中取 b3b4b5b6
…
第 2n﹣1 次数列{an}中继续次取 2n﹣1 项
第 2n 次数列{bn}中继续次取 2n 项
…
构造数列{cn}：a1b1b2a2a3a4b3b4b5b6a5a6a7a8a9b7b8b9b10b11
b12…记数列{cn}前 n 项 Sn求满足 Sn＜22014 正整数 n．
答案(Ⅰ) annbn2n（Ⅱ）4037
解析解：（1）设等差数列{an}公差 d等数列{bn}公 q
题意
1 1 1
2
1 1 1
1 1 1 1 1
2
1 1 1
( ) 2
( )
( 2 ) ( ) 2[( ) ]
( ) ( )
a a d a d
b b q b q
a d a b q a d b
a d a b q
   
       
  

解 a1d1b1q2
annbn2n
（2） a1b1b2 记第 1 组
a2a3a4b3b4b5b6 记第 2 组
a5a6a7a8a9b7b8b9b10b11b12 记第 3 组…类推第 n 组中 2n﹣1 项选取数列{an} 2n 项选取数列{bn}
前 n 组 n2 项选取数列{an} n2+n 项选取数列{bn}
记总 Pn 2
2 2
1( 1) 2 22
n n
n
n nP    

2 2
2014 2071 2014
45
45 (45 1)2 2 2 2 02P      
2 2
2014 1981 2014
44
44 (44 1)2 2 2 2 02P      

2 2
2 201245 (45 1) (2 2 + +2 )2nS     时
2 2
2014 201345 (45 1)2 2 2 02nS     

2 2
2 201345 (45 1) (2 2 + +2 )2nS     时
2 2
2014 45 (45 1)2 2 02nS    
符合 Sn＜22014 n452+20124037．
12 已知数列{an}前 n 项 Sn记 bn＝ 1nS
n
 ．
（1）{an}首项 a公差 d 等差数列中 ad 均正数．
① 3b12b2b3 成等差数列时求 a
d
值
②求证：存唯正整数 n an+1≤bn＜an+2．
（2）设数列{an}公 q(q＞2)等数列存 rt(rt∈N*r＜t) 2
2
t
r
b t
b r
 
求 q 值．
答案(Ⅰ) ① 3
4
a
d

②见解析（Ⅱ） 5 85
6
 ．
解析解：（1）① 3b12b2b3 成等差数列
4b2＝3b1＋b3 4× 3 +3d
2
a ＝3(2a＋d)＋ 4 +6d
3
a
解 3
4
a
d
 ．
② an＋1≤bn＜an＋2
a＋nd≤
( 1)( 1) + d2
n nn a
n

＜a＋(n＋1)d
整理
2
2
2 0
2 0
an n d
an n d
   
   
解
81+ 1
2
a
d
 
＜n≤
81+ 1
2
a
d


81+ 1
2
a
d

－
81+ 1
2
a
d
 
＝1
81+ 1
2
a
d
 
＞0．
存唯正整数 n an＋1≤bn＜an＋2．
（2）
1
1
1
1
(1 )
2(1 )
(1 ) 2
r(1 )
t
t
r
r
a q
b tt q
a qb r
q



  


1 11 1
( 2) r( 2)
t rq q
t t r
   
．
设
1 1( ) n(n 2)
nqf n
  
n≥2n∈N*．
f(n＋1)－f(n)＝
2 1 1 21 1 [( 1) 2(q 2)n 3] 2 3
(n 1)(n 3) n(n 2) (n 1)(n 3)n(n 2)
n n nq q q q n n               
＝
q＞2n≥2(q－1)n2＋2(q－2)n－3＞n2－3≥1＞0
f(n＋1)－f(n)＞0 f(n＋1)＞f(n) f(n)单调递增．
r≥2 时t＞r≥2
f(t)＞f(r)
1 11 1
( 2) r( 2)
t rq q
t t r
   

1 11 1
( 2) r( 2)
t rq q
t t r
   
互相矛盾．
r＝1
1 21 1
( 2) 3
tq q
t t
  
．
t≥3 f(t)≥f(3)＝
4 2 2 21 1 1 1
15 3 5 3
q q q q     
1 21 1
( 2) 3
tq q
t t
  


1 21 1
( 2) 3
tq q
t t
  
相矛盾．
t＝2
3 21 1
8 3
q q  3q2－5q－5＝0．
q＞2 q＝
5 85
6

．
13 已知数列{ }{ }n na b 满足 2 ( 2)n n nS a b  中 nS 数列{ }na 前 n 项．
（1）数列{ }na 首项 2
3
公 1
3
 等数列求数列{ }nb 通项公式
（2） nb n 2 3a  求数列{ }na 通项公式（3）（2）条件设 n
n
n
ac b
 求证：数列{ }nc 中意项总表示成该数列两项积．
答案(Ⅰ) 1
2
（Ⅱ） 1na n  ．（3）见解析
解析（1） 12 1 1( ) 2( )3 3 3
n n
na     
2 1[(1 ( ) ] 1 13 3 [(1 ( ) ]1 2 31 ( )3
n
n
nS
 
   
 


11 ( )2 13
12 22( ) 23
n
n
n
nn
Sb a
 
     
．
（2） nb n 2 2n nS na n  ∴ 1 12 ( 1) 2n nS n a   
两式相减 1 12 ( 1) 2n n na n a na     1( 1) 2n nna n a   
2n  时 1( 1) ( 2) 2n nn a n a   
两式相减 1 1( 1) ( 1) 2( 1)n n nn a n a n a      1 1 2n n na a a  
1 12 2S a  2 22 2 4S a  1 2a  2 3a 
数列{ }na 首项 2 公差 3 2 1  等差数列
数列{ }na 通项公式 1na n  ．
（3）（2） 1
n
nc n

定 *n N 存 * k t n k t N  n k tc c c 
需 1 1 1n k t
n k t
   
1 1 11 (1 ) (1 )n k t
     1 1 1 1
n k t kt
   ( 1)n kt k n
 

取 1k n  ( 2)t n n 
∴数列{ }nc 中意项 1
n
nc n
 存 1
2
1n
nc n
 
2
2
22
2 1
2n n
n nc n n
  
21 2n n n nc c c   ．14 已知两穷数列   n na b 分满足 1
1
1
2n n
a
a a

  

1
1
1
2n
n
b
b
b

 
 

中 *n N 设数列   n na b 前 n 项分 n nS T
（1）数列   n na b 递增数列求数列   n na b 通项公式
（2）数列 nc 满足：存唯正整数 k （ 2k  ） 1k kc c  称数列 nc k 坠点数列
①数列 na 5 坠点数列求 nS
②数列 na p 坠点数列数列 nb q 坠点数列否存正整数 m 1m mS T 
存求 m 值存说明理
答案（1） 2 1na n  1
1 1
2 2n n
n
b
n
   
（2）①
2
2
4
4 15 5n
n nS
n n n
     
②6．
解析（1）数列   n na b 递增数列∴ 1 2n na a   2 1 2 12 2 n nb b b b n N 
    
∴ 2 1na n 
1
1 1
2 2n n
n
b
n
   

（2）①∵数列 na 满足：存唯正整数 5k 1k ka a  1 2n na a  
∴数列 na 必135757911 前 4 项首项 1公差 2 等差数列第 5 项开始首项 5
公差 2 等差数列

2
2
4
4 15 5n
n nS
n n n
     

② ∵ 2 2
1 4n nb b  1 2n nb b   1| | 2n
nb  
数列 nb q 坠点数列 1 1b   ∴数列 nb 中两负项．
假设存正整数 m +1m mS T 显然 1m  mT 奇数 na 中项均奇数
∴ m 必偶数．
  2
1 1 3 2 1 ( 1)mS m m      
i q m 时 1 2 11 2 2 2 2 3m m m
mT        
6m  时 22 3 ( 1)m m   存 m 1m mS T  成立ii q m 时 1 2 11 2 2 2 3 0m m
mT         
显然存 m 1m mS T  成立
iii． q m 时    1 3 2 1 11 2 +2 2 2 2 3m m m m
mT            
1 22 3 ( 1)m m    时存 m 1m mS T  成立
6m 
6m  时 6q  构造： na 1313579  nb 1248 1632  
时 3p  5q  m 值6
15 设数列 na 项均正数 na 前n 项 2)1(4
1  nn aS *Nn ．
（1）求证：数列 na 等差数列
（2）等数列 nb 项均正数 2
1 nnn Sbb  *Nn 存整数 2k 2
1 kkk Sbb  ．
（i）求数列 nb 公q 值（k 表示）
（ii） 2n 时 *Nbn  求数列 nb 通项公式．
答案(1)见解析(2) （i） 2)1( k
k  （ii）
322  n
nb
解析：（1） 2)1(4
1  nn aS 2
11 )1(4
1   nn aS 2n
两式相减 2
1
2 )1(4
1)1(4
1  nnn aaa 2
1
2 )1()1(  nn aa
0 na 11 1  nn aa )2(21   naa nn 数列 na 等差数列
（2）（i） 2)1(4
1  nn aS 2
11 )1(4
1  aa 解： 11 a 数列 na 通项 *12 Nnnan 
2nSn 
数列 nb 等数列 1
1
 n
n qbb 42
1 kSbb kkk  4122
1 kqb k 
0nb 2
1
2
1

 k
qkb 中 2k 2
1
2 
 kn
n qkb
4
1 nbb nn  4224 nqk kn  2)(k
nq kn 
kn  时式恒成立
kn  时两边取然数 )ln(ln2ln)( knqkn 
kn
knq 
 )ln(ln2ln记
kx
kxxf 
 lnln)( 2)(
)ln(ln)(1
)(＇
kx
kxkxxxf 

 2)(
ln1
kx
x
k
k
x



设
tttg 1ln1)(  中 1t 0111)(＇ 22 
t
t
tttg )(tg )1(  单调递减
0)1()(  gtg kx  时 0)(＇ xf )(xf )( k 单调递减 *Nx 
kkkfxf ln)1ln()1()( max 
k
kq 1ln2ln  2)1( k
kq 
kn  时理知 )1( 
k
kq
综述q 值 2)1( k
k 
（ii）（i）知 ])1()1[( 22


k
k
k
kq *Nbn  *Nq   432q
2q 时 ])1()1[(2 22


k
k
k
k 3k 2
7
29

 n
nb 合题意
3q 时 ])1()1[(3 22


k
k
k
k 2k 2
5
24

 n
nb 合题意
4q 时 ])1()1[(4 22


k
k
k
k 2k 322
5
244 
 nn
nb 符合题意
综述数列 nb 通项公式
322  n
nb
16 已知数列 na 满足 1 1a  1
n
n na a p   中 Nn  p 1常数
（Ⅰ）证明： na 递增数列 na 等差数列
（Ⅱ）证明： na 递减等数列 na 中项意  Nm m  项
（Ⅲ） 2p   2 1na  递增数列 2na 递减数列求数列 na 通项公式．
答案(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
   21
3 3
n
na n N   
解析解析：(Ⅰ) na 递增数列 1 1
n
n n n na a a a p    
1 1a  2 1a p  2
3 1a p p  
假设数列 na 等差数列 1a 2a 3a 成等差数列 2 1 32a a a  2 0p p  解 1p  0p 
已知 1p  0p  1n na a   na 递增数列矛盾 p 值存
数列 na 等差数列
(Ⅱ)  na 递减数列 1 1
n
n n n na a a a p    
1 1a  2 1a p  2
3 1a p p  
数列 na 等数列
2 2(1 ) 1p p p    1
2p  0p  （舍）
2
1
2a  公 1q 2
 11( )2
n
na 
设 1 2 mn n n n   … 11n n  22n n  … mn m n  （ 1m  ）．

111 1
2 2
n n         

221 1
2 2
n n         
… 1 1
2 2
mn m n         


1 2 1 21 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
mn n n n n n m                                         
… … ．

1 2 1 11 (1 1 1 1 1 12 112 2 2 2 2 21 2
mn n n m n n m                                                
)
…

1 11 1 1 1 11 02 2 2 2 2
n m n m
na
                                      
1 112 2
n m
na
              


1 21 1 1
2 2 2
n n n m
na
                    
…
数列 na 中项意 ( )m m N  项
(Ⅲ) 2 1na  递增数列 2 1 2 1 0n na a  
2 1 2 2 2 1 0n n n na a a a     ． ①
2 2 12 2n n 2 1 2 2 2 1n n n na a a a    ②
①②知 2 1 2 0n na a    22
2 1 2 2 2 nn
n na a     ③
 2na 递减数列理 2 2 1 0n na a    2 12 1
2 2 1 2 2 nn
n na a 
     ④
③④知  1 2 n
n na a   
     1 2 1 3 2 1n n na a a a a a a a        
     2 11 2 2 2 n       
 
 
   1 1 2 1 2 21
1 2 3 3 3
n n n           

数列 na 通项公式
   21
3 3
n
na n N   


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