1
高二寒假作业数学试卷（四）
选择题（题 12 题 60 分）
1命题 逆命题（ ）
A B
C D
2等差数列 中
A 8 B 9 C 11 D 12
3 中角 ABC 边分边 abc
A B 6 C 7 D 8
4已知双曲线 实轴长度虚轴长度 2焦距 10双曲
线方程（ ）
A B C D
5三棱柱 中
A B C D
6设 充分必条件 取值
范围（ ）
A B C D
7设直线 方量 面 法量 成立（ ）
A B
C D
8设 xy 满足约束条件 值
A B C D
9已知点 抛物线 焦点点 分抛物线位第
四象限点 面积
A 42 B 30 C 18 D 142
10已知长方体 中 侧棱 中点
直线 面 成角正弦值
A B C D
11直角坐标系 中 椭圆 ： 左焦点 分左右顶点
点 作 轴垂线交椭圆 两点连接 交 轴点 连接 交 点
线段 中点椭圆 离心率( )
A B C D
12设 数列 前 项 （ ）
A B C D
二填空题（题 4 题 20 分）
13设命题 ： ______
14已知 值______．
15 中角 ABC 边分 abc
______．
16已知双曲线 左右焦点分 直线交 C 右支
AB 两点 C 离心率______．
三解答题（题 6 题 70 分）
17已知 表示焦点 x 轴双曲线q：方程
表示圆．
p 真命题求 m 取值范围
真命题求 m 取值范围．3
18已知数列 满足 ．
证明：数列 等数列
设 求数列 前 n 项 ．
19 角 ABC 边分 abc ．
求 A
求 面积．
20图直三棱柱 中 点
线段 ．
求 长
求二面角 ．4
21已知动圆 定点 直线 相切圆心 轨迹
（1）求 轨迹方程
（2）直线 交 两点线段 中点坐标 求
22已知椭圆 C： 离心率 长半轴长短轴长 b 倍AB 分
椭圆 C 顶点点 ．
求椭圆 C 方程
直线 MAMB 椭圆 C 交点分 PQ证明：直线 PQ 定点． 高二寒假作业数学试卷（四）参考答案
选择题（题 12 题 60 分）
1命题 逆命题（ ）
A B
C D
答案C
分析
根命题逆命题关系逆命题
详解根原命题逆命题关系逆命题
选 C
点睛题考查命题逆命题关系属基础题
2等差数列 中
A 8 B 9 C 11 D 12
答案B
分析
已知结合等差数列性质求解 值．
详解等差数列 中
．
选：B．
点睛题考查等差数列通项公式考查等差数列性质基础题．
3 中角 ABC 边分边 abc
A B 6 C 7 D 8
答案C
分析
已知利三角形角定理求 B 值根余弦定理 b 值．
详解
余弦定理： ．
选：C．
点睛题考查三角形角定理余弦定理解三角形中应属基础题．
4已知双曲线 实轴长度虚轴长度 2焦距 10双曲
线方程（ ）
A B C D
答案B
分析
根双曲线定义 abc 关系求出值双曲线方程
详解双曲线 实轴长度虚轴长度 2焦距 10
解方程组
焦点 x 轴双曲线标准方程
选 B
点睛题考查利 abc 关系求双曲线标准方程属基础题
5三棱柱 中
A B C D
答案D
分析
画出三棱柱结合图形求出 样根量加法行四边形法
求出 ．
详解图∵
．
选：D．
点睛题考查相等量相反量概念量减法意义量加法行四边
形法数形结合解题方法．
6设 充分必条件 取值
范围（ ）
A B C D
答案C
分析
解等式求 x 取值范围根充分必条件求出 ab 范围
详解解等式
充分必条件
选 C
点睛题考查充分必条件判断注意边界问题属基础题
7设直线 方量 面 法量 成立（ ）
A B
C D
答案B分析
题意验证 进答案
详解题意 B 中
点睛题考查利空间量判定点线面位置关系应中熟记空间
量线面位置关系判定方法熟练面法量解答题关键着重考查推理
运算力属基础题
8设 xy 满足约束条件 值
A B C D
答案C
分析
约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式数形结合优解联立方程
组求优解坐标优解坐标代入目标函数结
详解
画出 表示行域图
变形
移直线
图知直 点 时直线 轴截距
值 选 C
点睛题考查线性规划中利行域求目标函数值属简单题求目标函
数值般步骤画二移三求：（1）作出行域（定注意实线虚线）
（2）找目标函数应优解应点（行域移变形目标函数先通
通顶点优解）（3）优解坐标代入目标函数求出值
9已知点 抛物线 焦点点 分抛物线位第
四象限点 面积
A 42 B 30 C 18 D 14
答案A
分析
利焦半径公式 抛物线方程求 坐标 方程
求出 轴交点 面积公式求解．
详解
焦点 距离等 准线 距离
抛物线方程
代入方程 舍 ．
理 ： ．
设直线 轴交 点已知 选 A．
点睛题考查抛物线方程定义简单性质中档题 焦点准线关问题
般情况拋物线定义关解决类问题定注意点点距离点直线距离
转化：（1）抛线点准线距离转化该点焦点距离(2)抛物线点焦
点距离转化准线距离问题解决
10已知长方体 中 侧棱 中点
直线 面 成角正弦值
A B C D
答案B
分析
原点 轴 轴 轴建立空间直角坐标系求
利量垂直数量积零列方程求出 法量空间量夹角余弦公式结果
详解
长方体 中 侧棱 中点
原点 轴 轴 轴建立空间直角坐标系
0
0
0 1
设面 法量
取
设直线 面 成角
．直线 面 成角正弦值 选 B．
点睛题考查线面角正弦值求法空间量夹角余弦公式应中档题．利
法量求解空间线面角关键四破：
第破建系关构建恰空间直角坐标系
第二破求坐标关准确求解相关点坐标
第三破求法量关求出面法量
第四破应公式关
11直角坐标系 中 椭圆 ： 左焦点 分左右顶点
点 作 轴垂线交椭圆 两点连接 交 轴点 连接 交 点
线段 中点椭圆 离心率( )
A B C D
答案C
分析
题意结合性质找 ac 关系确定椭圆离心率
详解图连接 BQ椭圆称性易∠PBF∠QBF∠EAB∠EBA∠EAB
∠QBF MEBQ
△PME∽△PQB
△PBF∽△EBO
M 线段 PF 中点
题选择 C 选项
点睛椭圆离心率椭圆重性质求椭圆离心率(离心率取值范围)
常见两种方法：①求出 ac代入公式
②需根条件关 abc 齐次式结合 b2＝a2－c2 转化 ac 齐次式
然等式(等式)两边分 a a2 转化关 e 方程(等式)解方程(等式)
e(e 取值范围)．
12设 数列 前 项 （ ）
A B C D
答案A
分析
题设中递推关系 变形 累加法求
．
详解
整理
选 A．
点睛数列通项 前 项 关系式 常利关系
式实现 间相互转化
二填空题（题 4 题 20 分）
13设命题 ： ______
答案
分析
全称命题否定答案
详解根全称命题否定
点睛题考查含量词命题否定属基础题14已知 值______．
答案1
分析
根基等式求出值．
详解
仅 时取等号
答案：1
点睛题考查基等式应属基础题．
15 中角 ABC 边分 abc
______．
答案
分析
已知利余弦定理求 求 bc 值根余弦定理求
利角三角函数基关系式求 值根三角形面积公式计算解．
详解
余弦定理： 整理：
解：
：
．
答案： ．
点睛题考查余弦定理角三角函数基关系式三角形面积公式解三角
形中综合应考查计算力转化思想属基础题．
16已知双曲线 左右焦点分 直线交 C 右支
AB 两点 C 离心率______．答案
分析
设 运双曲线定义勾股定理求
勾股定理离心率公式计算求值．
详解设
双曲线定义
双曲线定义
直角三角形 中
直角三角形 中
．
答案： ．
点睛题考查双曲线定义性质离心率求法注意运直角三角形勾股
定理考查方程思想运算力属中档题．
三解答题（题 6 题 70 分）
17已知 表示焦点 x 轴双曲线q：方程
表示圆．
p 真命题求 m 取值范围
真命题求 m 取值范围．
答案（1） （2）
分析
结合双曲线定义进行求解
根复合命题真假关系 pq 真命题进行求解．
详解解： 表示焦点 x 轴双曲线真命题
方程表示圆 q：
真命题 pq 真命题
实数 m 取值范围 ．
点睛题考查命题真假应复合命题真假关系求出命题真命题等价
条件解决题关键．
18已知数列 满足 ．
证明：数列 等数列
设 求数列 前 n 项 ．
答案（1）详见解析（2）
分析
数列递推式两边加 1结合等数列定义证
数运算性质
裂项
相消求化简求．
详解解： 证明：数列 满足
数列 首项 2公 3 等数列
数列 前 n 项 ．
点睛题考查等数列定义通项公式数列裂项相消求考查化简整理运算
力属中档题．19 角 ABC 边分 abc ．
Ⅰ 求 A
Ⅱ 求 面积．
答案（Ⅰ） （Ⅱ）2
分析
Ⅰ 方法利正弦定理三角形角定理结合题意求 值求出角 A
值方法二利余弦定理结合题意求 求 A 值 Ⅱ 角三角函
数关系求 利三角恒等变换求 利正弦定理求 b计算 面积．
详解解： Ⅰ 方法已知
方法二已知
化简
Ⅱ
中
正弦定理
点睛题考查正弦余弦定理应问题考查三角形面积公式属中档题．20图直三棱柱 中 点
线段 ．
求 长
求二面角 ．
答案（1） （2） ．
分析
连接 先证明 面 利三角形 三角形 相似
利直角三角形性质求 连接 结合（1）线面垂直
性质 求角等腰直角三角形性质结果．
详解
直三棱柱
面 面
面
面
三角形 三角形 相似
设 连接 BD
二面角 面角
中求
等腰直角三角形
．
点睛题考查线面垂直证明线线垂直二面角求法属常规题求二面角
考查线线垂直关系考查线面垂直关系时考查学生计算力高考
命题热点求二面角方法通常两思路：利空间量建立坐标系种方法
优点思路清晰方法明确计算量较二传统方法求出二面角面角
种解法关键找面角
21已知动圆 定点 直线 相切圆心 轨迹
（1）求 轨迹方程
（2）直线 交 两点线段 中点坐标 求
答案（1） （2）
分析
（1）根题意判断出圆心 C 轨迹抛物线抛物线定义求 E 轨迹方程
（2）设出直线斜率两交点 PQ 坐标根中点坐标利点差法求出斜率直线
方程联立抛物线方程利弦长公式求
详解解：（1）题设知点 点 距离等直线 距离
点 轨迹 焦点 准线抛物线
求 轨迹方程
（2）题意已知直线 斜率显然存设直线 斜率 两式作差
线段 中点坐标
直线 方程
联立
点睛题考查抛物线定义涉中点问题点差法应弦长公式属中档题
22已知椭圆 C： 离心率 长半轴长短轴长 b 倍AB 分
椭圆 C 顶点点 ．
求椭圆 C 方程
直线 MAMB 椭圆 C 交点分 PQ证明：直线 PQ 定点．
答案（1） （2）见解析
分析
题意知 解出 ab ．
点易知 直线 MA 方程 直线 MB 方程 分
椭圆联立方程组解 Q 坐标 结合称性知定点 y 轴
设 N令直线 PNQN 斜率相等定点．
详解 题意知 解
椭圆 C 方程 ．
易知
直线 MA 方程 直线 MB 方程 ．联立
理 点 椭圆称性知定点 y 轴
设 N（0n）
直线 PN 斜率 直线 QN 斜率
令 化简 解
n
直线 PQ 定点
点睛题考查椭圆标准方程性质直线椭圆相交元二次方程根系数
关系斜率计算公式考查推理力计算力属中档题．
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高二寒假作业数学试卷（四）
选择题（题 12 题 60 分）
1命题 逆命题（ ）
A B
C D
2等差数列 中
A 8 B 9 C 11 D 12
3 中角 ABC 边分边 abc
A B 6 C 7 D 8
4已知双曲线 实轴长度虚轴长度 2焦距 10双曲
线方程（ ）
A B C D
5三棱柱 中
A B C D
6设 充分必条件 取值
范围（ ）
A B C D
7设直线 方量 面 法量 成立（ ）
A B
C D
8设 xy 满足约束条件 值
A B C D
9已知点 抛物线 焦点点 分抛物线位第
四象限点 面积
A 42 B 30 C 18 D 142
10已知长方体 中 侧棱 中点
直线 面 成角正弦值
A B C D
11直角坐标系 中 椭圆 ： 左焦点 分左右顶点
点 作 轴垂线交椭圆 两点连接 交 轴点 连接 交 点
线段 中点椭圆 离心率( )
A B C D
12设 数列 前 项 （ ）
A B C D
二填空题（题 4 题 20 分）
13设命题 ： ______
14已知 值______．
15 中角 ABC 边分 abc
______．
16已知双曲线 左右焦点分 直线交 C 右支
AB 两点 C 离心率______．
三解答题（题 6 题 70 分）
17已知 表示焦点 x 轴双曲线q：方程
表示圆．
p 真命题求 m 取值范围
真命题求 m 取值范围．3
18已知数列 满足 ．
证明：数列 等数列
设 求数列 前 n 项 ．
19 角 ABC 边分 abc ．
求 A
求 面积．
20图直三棱柱 中 点
线段 ．
求 长
求二面角 ．4
21已知动圆 定点 直线 相切圆心 轨迹
（1）求 轨迹方程
（2）直线 交 两点线段 中点坐标 求
22已知椭圆 C： 离心率 长半轴长短轴长 b 倍AB 分
椭圆 C 顶点点 ．
求椭圆 C 方程
直线 MAMB 椭圆 C 交点分 PQ证明：直线 PQ 定点． 高二寒假作业数学试卷（四）参考答案
选择题（题 12 题 60 分）
1命题 逆命题（ ）
A B
C D
答案C
分析
根命题逆命题关系逆命题
详解根原命题逆命题关系逆命题
选 C
点睛题考查命题逆命题关系属基础题
2等差数列 中
A 8 B 9 C 11 D 12
答案B
分析
已知结合等差数列性质求解 值．
详解等差数列 中
．
选：B．
点睛题考查等差数列通项公式考查等差数列性质基础题．
3 中角 ABC 边分边 abc
A B 6 C 7 D 8
答案C
分析
已知利三角形角定理求 B 值根余弦定理 b 值．
详解
余弦定理： ．
选：C．
点睛题考查三角形角定理余弦定理解三角形中应属基础题．
4已知双曲线 实轴长度虚轴长度 2焦距 10双曲
线方程（ ）
A B C D
答案B
分析
根双曲线定义 abc 关系求出值双曲线方程
详解双曲线 实轴长度虚轴长度 2焦距 10
解方程组
焦点 x 轴双曲线标准方程
选 B
点睛题考查利 abc 关系求双曲线标准方程属基础题
5三棱柱 中
A B C D
答案D
分析
画出三棱柱结合图形求出 样根量加法行四边形法
求出 ．
详解图∵
．
选：D．
点睛题考查相等量相反量概念量减法意义量加法行四边
形法数形结合解题方法．
6设 充分必条件 取值
范围（ ）
A B C D
答案C
分析
解等式求 x 取值范围根充分必条件求出 ab 范围
详解解等式
充分必条件
选 C
点睛题考查充分必条件判断注意边界问题属基础题
7设直线 方量 面 法量 成立（ ）
A B
C D
答案B分析
题意验证 进答案
详解题意 B 中
点睛题考查利空间量判定点线面位置关系应中熟记空间
量线面位置关系判定方法熟练面法量解答题关键着重考查推理
运算力属基础题
8设 xy 满足约束条件 值
A B C D
答案C
分析
约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式数形结合优解联立方程
组求优解坐标优解坐标代入目标函数结
详解
画出 表示行域图
变形
移直线
图知直 点 时直线 轴截距
值 选 C
点睛题考查线性规划中利行域求目标函数值属简单题求目标函
数值般步骤画二移三求：（1）作出行域（定注意实线虚线）
（2）找目标函数应优解应点（行域移变形目标函数先通
通顶点优解）（3）优解坐标代入目标函数求出值
9已知点 抛物线 焦点点 分抛物线位第
四象限点 面积
A 42 B 30 C 18 D 14
答案A
分析
利焦半径公式 抛物线方程求 坐标 方程
求出 轴交点 面积公式求解．
详解
焦点 距离等 准线 距离
抛物线方程
代入方程 舍 ．
理 ： ．
设直线 轴交 点已知 选 A．
点睛题考查抛物线方程定义简单性质中档题 焦点准线关问题
般情况拋物线定义关解决类问题定注意点点距离点直线距离
转化：（1）抛线点准线距离转化该点焦点距离(2)抛物线点焦
点距离转化准线距离问题解决
10已知长方体 中 侧棱 中点
直线 面 成角正弦值
A B C D
答案B
分析
原点 轴 轴 轴建立空间直角坐标系求
利量垂直数量积零列方程求出 法量空间量夹角余弦公式结果
详解
长方体 中 侧棱 中点
原点 轴 轴 轴建立空间直角坐标系
0
0
0 1
设面 法量
取
设直线 面 成角
．直线 面 成角正弦值 选 B．
点睛题考查线面角正弦值求法空间量夹角余弦公式应中档题．利
法量求解空间线面角关键四破：
第破建系关构建恰空间直角坐标系
第二破求坐标关准确求解相关点坐标
第三破求法量关求出面法量
第四破应公式关
11直角坐标系 中 椭圆 ： 左焦点 分左右顶点
点 作 轴垂线交椭圆 两点连接 交 轴点 连接 交 点
线段 中点椭圆 离心率( )
A B C D
答案C
分析
题意结合性质找 ac 关系确定椭圆离心率
详解图连接 BQ椭圆称性易∠PBF∠QBF∠EAB∠EBA∠EAB
∠QBF MEBQ
△PME∽△PQB
△PBF∽△EBO
M 线段 PF 中点
题选择 C 选项
点睛椭圆离心率椭圆重性质求椭圆离心率(离心率取值范围)
常见两种方法：①求出 ac代入公式
②需根条件关 abc 齐次式结合 b2＝a2－c2 转化 ac 齐次式
然等式(等式)两边分 a a2 转化关 e 方程(等式)解方程(等式)
e(e 取值范围)．
12设 数列 前 项 （ ）
A B C D
答案A
分析
题设中递推关系 变形 累加法求
．
详解
整理
选 A．
点睛数列通项 前 项 关系式 常利关系
式实现 间相互转化
二填空题（题 4 题 20 分）
13设命题 ： ______
答案
分析
全称命题否定答案
详解根全称命题否定
点睛题考查含量词命题否定属基础题14已知 值______．
答案1
分析
根基等式求出值．
详解
仅 时取等号
答案：1
点睛题考查基等式应属基础题．
15 中角 ABC 边分 abc
______．
答案
分析
已知利余弦定理求 求 bc 值根余弦定理求
利角三角函数基关系式求 值根三角形面积公式计算解．
详解
余弦定理： 整理：
解：
：
．
答案： ．
点睛题考查余弦定理角三角函数基关系式三角形面积公式解三角
形中综合应考查计算力转化思想属基础题．
16已知双曲线 左右焦点分 直线交 C 右支
AB 两点 C 离心率______．答案
分析
设 运双曲线定义勾股定理求
勾股定理离心率公式计算求值．
详解设
双曲线定义
双曲线定义
直角三角形 中
直角三角形 中
．
答案： ．
点睛题考查双曲线定义性质离心率求法注意运直角三角形勾股
定理考查方程思想运算力属中档题．
三解答题（题 6 题 70 分）
17已知 表示焦点 x 轴双曲线q：方程
表示圆．
p 真命题求 m 取值范围
真命题求 m 取值范围．
答案（1） （2）
分析
结合双曲线定义进行求解
根复合命题真假关系 pq 真命题进行求解．
详解解： 表示焦点 x 轴双曲线真命题
方程表示圆 q：
真命题 pq 真命题
实数 m 取值范围 ．
点睛题考查命题真假应复合命题真假关系求出命题真命题等价
条件解决题关键．
18已知数列 满足 ．
证明：数列 等数列
设 求数列 前 n 项 ．
答案（1）详见解析（2）
分析
数列递推式两边加 1结合等数列定义证
数运算性质
裂项
相消求化简求．
详解解： 证明：数列 满足
数列 首项 2公 3 等数列
数列 前 n 项 ．
点睛题考查等数列定义通项公式数列裂项相消求考查化简整理运算
力属中档题．19 角 ABC 边分 abc ．
Ⅰ 求 A
Ⅱ 求 面积．
答案（Ⅰ） （Ⅱ）2
分析
Ⅰ 方法利正弦定理三角形角定理结合题意求 值求出角 A
值方法二利余弦定理结合题意求 求 A 值 Ⅱ 角三角函
数关系求 利三角恒等变换求 利正弦定理求 b计算 面积．
详解解： Ⅰ 方法已知
方法二已知
化简
Ⅱ
中
正弦定理
点睛题考查正弦余弦定理应问题考查三角形面积公式属中档题．20图直三棱柱 中 点
线段 ．
求 长
求二面角 ．
答案（1） （2） ．
分析
连接 先证明 面 利三角形 三角形 相似
利直角三角形性质求 连接 结合（1）线面垂直
性质 求角等腰直角三角形性质结果．
详解
直三棱柱
面 面
面
面
三角形 三角形 相似
设 连接 BD
二面角 面角
中求
等腰直角三角形
．
点睛题考查线面垂直证明线线垂直二面角求法属常规题求二面角
考查线线垂直关系考查线面垂直关系时考查学生计算力高考
命题热点求二面角方法通常两思路：利空间量建立坐标系种方法
优点思路清晰方法明确计算量较二传统方法求出二面角面角
种解法关键找面角
21已知动圆 定点 直线 相切圆心 轨迹
（1）求 轨迹方程
（2）直线 交 两点线段 中点坐标 求
答案（1） （2）
分析
（1）根题意判断出圆心 C 轨迹抛物线抛物线定义求 E 轨迹方程
（2）设出直线斜率两交点 PQ 坐标根中点坐标利点差法求出斜率直线
方程联立抛物线方程利弦长公式求
详解解：（1）题设知点 点 距离等直线 距离
点 轨迹 焦点 准线抛物线
求 轨迹方程
（2）题意已知直线 斜率显然存设直线 斜率 两式作差
线段 中点坐标
直线 方程
联立
点睛题考查抛物线定义涉中点问题点差法应弦长公式属中档题
22已知椭圆 C： 离心率 长半轴长短轴长 b 倍AB 分
椭圆 C 顶点点 ．
求椭圆 C 方程
直线 MAMB 椭圆 C 交点分 PQ证明：直线 PQ 定点．
答案（1） （2）见解析
分析
题意知 解出 ab ．
点易知 直线 MA 方程 直线 MB 方程 分
椭圆联立方程组解 Q 坐标 结合称性知定点 y 轴
设 N令直线 PNQN 斜率相等定点．
详解 题意知 解
椭圆 C 方程 ．
易知
直线 MA 方程 直线 MB 方程 ．联立
理 点 椭圆称性知定点 y 轴
设 N（0n）
直线 PN 斜率 直线 QN 斜率
令 化简 解
n
直线 PQ 定点
点睛题考查椭圆标准方程性质直线椭圆相交元二次方程根系数
关系斜率计算公式考查推理力计算力属中档题．
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