2020届高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题（PDF版解析）

1
高三数学试卷

填空题：（题 12 题16 题 4 分712 题 5 分 54 分）
1计算 lim(1 09 )n
n
_____
答案1
解析 1
2双曲线单位圆中60o 圆心角弧长_____
答案
3

解析 2 3lr
3直线 1l 直线 2l 倾斜角分32o 152o 夹角_____
答案
解析180 152 32 60  o o o o
4直线l 法量 (21)n 
r
直线 斜率 k _____
答案 2
解析 单位量 ( 12)d 
ur
2 21k   
5设某种细胞隔时会分裂次隔细胞分裂两细胞 7 时1种细胞分裂
_____
答案128
解析 71 2 128
6设 ABC 等腰直角三角形斜边 2AB  现 （部）绕斜边 AB 直线旋转周形
成旋转体该旋转体体积_____
答案 2
3 
解析 221 1 2( 2)3 3 3r  
7图行四边形 ABCD 中 1AD  AC BD
uuur uuur
值_____ 2
答案 3
解析( )( ) 1 4 3AC BD AB AD AD AB      
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

8三倍角正切公式 tan 3 _____
答案
解析
3
2
2tan tantan3 1 3tan
 
 
9 设集合 A 6 元素全部 6 元素组成矩阵数________
答案2880
解析4 种类型矩阵 6
64 2880P 
10 现函数 sec (0 )y x x 反函数定义正反割函数记： secy arc x
sec( 4)arc ________（请保留两位数）
答案182
解析
cosy  
(0 )x  知 4cost
  arccos( 1824t    ）
11 设双曲线
22
2
xy
aa 
两焦点 2FF点 P 双曲线 2PF PF  点 P 坐标原点O
距离值________
答案 3
2

解析 22c a a   1
2a  时知 min
3
2c 
12 设 0 0 0a a M N    证明数运算性质：
log log log loga a a aMNMNa a a MN Q① log log loga a aMN M N   ① 式称证明关键
步骤证明log logr
aaM r M （中 0M r R）关键步骤________
答案log logr
aaM r M
解析 log log()aaM r Mrra a MQ log logr
aaM r M
二选择题 3
13 三实数 abc成等差数列 2b a c （ ）
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D充分必条件
答案C
解析三实数 成等差数列
14 设 x y R 复数 xi
yi


纯虚数点 ()p x y 定满足 （ ）
yx y x
 yx y x

答案 B
解析 2 2 2
1 ( )( ) ( ) ( )
( )( )
x xiyi xy xyixy xyi
y i y i y i y y y
              
1x
yi


纯虚数 0xy  
1y x
15展开( )( 2)( 3)( 4)( 5)a a a a a     展开式中 3a 系数等 ( )
A 2345中取两数积
B 2345中取三数积
C 2345中取四数积
D结
答案 A
解析二项式定理知展开式中 系数等 中取两数积
16某驾驶艘游艇位湖面 A 处测岸边座电视塔塔底北偏东 2o 方塔顶仰角
8 o驾驶游艇正东方行驶 1000 米达 B 处时测塔底位北偏西39o 方该塔高
度约 （ ）
A265 米 B279 米 C292 米 D306 米
答案C
解析 000sin5 sin 60 cos69 tan87 292728  o o o o 米
三 解答题（题 5 题 14+14+14+16+1876 分）
17（题满分 12 分第 1 题 6 分第 2 题 8 分）
图正六棱锥 P ABCDEF 中已知底边 2侧棱底面成角 60 4
（1）求该六棱锥体积V（ 2 ）求证： PA CE

答案（ ）12（ ）见解析
解析（）连接 BE AD 设交点 O连接 PO
P ABCDEFQ 正六棱锥
ABCDEF 正六边形
侧棱底面成角 PBO
23PO
116 3 2 3 1233V S h       
（2） PO Q 面 ABCDEFCE  面
PO CE
Q底面正六边形
AO CE
AO PO O
CE面 PAO
PA  面
CE PA
18（题满分 14 分第 1 题 7 分第 2 题 7 分）
请解答问题求解决两问题方法
（）图 1半径 1 米半圆形铁板中截取块面积矩形 ABCD 截取？求出
矩形面积
（）图 2长半轴 2 米短半轴 1 米半椭圆铁板中截取块面积矩形 ABCD
截取？求出矩形面积

图 1 图 2

答案（1）1（2）2
解析（1）设 (0 1)OA x x  
1OD Q
21AD x  
221S x x    5
22
2 111 22
xxxx   

Q
仅 21xx 2
2x  时等号成立
1212S   
（3）椭圆方程
2
2 1(0 1)4
x yy   
设  (2cos sin ) 0C    
2 2cos sin 2sin2S       
仅sin 1 
4
  时取值
面积值 2时 2OB  2
2BC 

19 （题满分 14 分第 1 题 6 分第 2 题 8 分）
设  na 等差数列公差 d 前 n 项 nS
（1）设 1 40a  6 38a  求 nS 值
（2）设 1 1a  *2 ( )na
nb n N数列  nb 前 n 项 nT意 *nN 20nT  求 d 取值
范围
答案（1）2020（2） 2
9 log 10
 

解析（1）等差数列知 1 ( 1)na a n d    知 2 5

240 ( 1) 05nan    101n  100 者 101 时取值公式知 2020
（2）设 1 ( 1)na d n   12 2 (2 )na d d n
nb    知 等数列
Q 意
1 2lim 201 2 1 2n dd
bT   
恒成立 21d 
d


6

20 （题满分 18 分第 1 题 5 分第 2 题 6 分第 3 题 7 分）
已知抛物  准线方程 02  yx 焦点  11F
（1）求证：抛物线意点 P 坐标 yx 满足方程： 0882 22  yxyxyx
（2）请支出抛物线称性范围运方程证明结
（3）设垂直 x 轴直线抛物线交 BA 两点求线段 AB 中点 M 轨迹方程
答案（1）见解析（2）关 xy  称 11  yx （ 3） 4 xy （抛物线）
解析（1）根定义：      22 11
2
2 yxyx 啊
（2） yx 称互换方程没发生变化  yxP 图  xyP＇ 图图关 称
  100882 22  yyyxyx 1x
（3）设    2211 yxByxA  4
0882 22 





ttM
yxyxyx
tx
中点轨迹方程 4 xy （抛物线
）



21 （题满分 18 分第 1 题 5 分第 2 题 6 分第 3 题 7 分）
现定义：设 a 非零实常数意 Dx     xafxaf  称函数  xfy  关
偶型函数
（1）请三角函数例写出关 2 偶型函数解析式予证明
（2）设定义域关 偶型函数区间 a 单调递增求证区间 a 单调递减
（3）设定义域 R 关
2
1 偶型函数  xfy  奇函数 *Nn 请猜测  nf 值数学
纳法证明结
答案（1）  2cos  xy 答案唯 （2）证明见解析 （3）   0nf
解析（1）        xfxfxxfxxfxy  22cos2)cos()2(2cos
（2）        xfxafxafxaf  2 取    axaxaaxx 22 2121  啊函数
单调递增        2121 22 xfxfxafxaf  函数 单调递减
（3）猜测 数学纳法： 7
1 1n 时    102
1
2
1 ffxfxf 



 



   xfy  奇函数   01 f 证
2假设  *Nkkn    0kf 成立    xfxfxfxf 



 



  12
1
2
1 奇函数
       xfxfxfxf  1  *1 Nkkn  时     01  kfkf 证





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