2020届高三第二轮复习测试卷理科数学（八） PDF版含答案解析

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理科数学(八)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分．题出四选项中项符
合题目求．
1．集合 6{N| N}1A x x 
集合 6{N | N}1Bxx  
AB 
A．{0125} B．{1236} C．{346} D．{12}
2．命题意 2[12) 0xx a  真命题充分必条件
A． 4a  B． 4a  C． 1a  D． 1a 
3．欧拉公式 ie cos isinx xx （i 虚数单位）瑞士著名数学家欧拉发明指数函数
定义域扩复数建立三角函数指数函数关系复变函数里占非常重
位誉数学中天桥 πi4
i
e
表示复数位复面
A． 第象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4．某运动队足球运动员 18 篮球运动员 12 乒乓球运动员 6 组成（参加项）
现运动员中抽取容量n 样分采系统抽样法分层抽样法删
体样容量n 值
A．6 B．12 C．18 D． 24
5．设量 a b  满足|| 2||| | 3ab a b    |2 |a b 
A． 6 B． 3 2 C． 10 D． 4 2
6．等数列{}na 中已知 1 1a  4 8a  3a 5a 分等差数列{}nb 第 2 项第 6 项
数列{}nb 前 7 项
A． 49 B． 70 C． 98 D． 140
7．衣柜里樟脑丸着时间会挥发体积缩刚放进新丸体积at 天体积天
数t 关系式： e k tV a    新丸50 天体积变 4
9 a 新丸体积变 8
27 a
需天数
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天 — 高三理科数学(八)第 2 页( 4 页) —
8．执行图示程序框图输出 S 值
A． 3 B． 3
C． 0 D． 3
3

9．已知 (0 )a b  2 91 ab a b  
a b
取值范围
A． 19 B． 18
C． 8 D． 9
10．已知某体三视图图
示网格纸正方形边
长 1该体体积
A． 16
3 B． 16 2
3

C． 16 D． 16 2
11． 锐 角 ABC 中 角 ABC 边 分 abc cos cos 2 3sin
3sin
BC A
bc C 
cos 3 sin 2B B  a c 取值范围
A． 3( 3]2
B． 3( 3]2 C． 3[ 3]2
D． 3[ 3]2
12． 已知 ( )f x 定义域(0 ) 导函数 ( )f x ( )( ) 1 lnf xfx xx  2(e) ef 
（中e 然数底数）
A．(2) 2 (1)f f B． 4 (3) 3 (4)f f
C． 0x  时 ( ) 0f x  D． 0x  时 ( ) e 0fx x 
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．函数 ( )f x 满足 (2 ) 2 ()f x fx  ( )y fx 图象 2
1
xy x
 
图象 m
交点 i ix y 交点横坐标  
1
m
i i
i
x y

  ________．
14． 4( )a b c  展开式中________种项．
15．已知双曲线C
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   右焦点 F左顶点 A． F 圆心 FA
半径圆交C 右支 P Q 两点 APQ 角60 C 离心率___________．
16．函数 () sin cos sin cosfx x x xx   值___________．
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分 — 高三理科数学(八)第 3 页( 4 页) —
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
    
17．(题满分 12 分)已知数列{ }na 满足： 1 2
11 2a a  意 *Nk  均
2[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0k k
k ka a   ．
（Ⅰ）令 2 1n nb a  判断{ }nb 否等差数列求出 nb
（Ⅱ）记{ }na 前n项 nT求 2nT．

18．（题满分 12 分）着中国济快速增长民
生活水逐步提升生育意愿进入行通道
出现口老龄化劳动力短缺等类问题．某学口
计划生育课题组调研延迟退休年龄政策
态度年龄15 ~ 65 岁群中机调查 100 调査数
频率分布直方图支持延迟退休数年龄统计
结果：
年龄 [15 25) [25 35) [35 45) [45 55) [55 65)
支持延迟退休数 15 5 15 28 17

（Ⅰ）统计数填 2 2 列联表判断否犯错误概率超 005 前提认 45
岁分界点群延迟退休年龄政策支持度差异
45 岁 45 岁 总计
支持
支持
总计
（Ⅱ） 45 岁分界点支持延迟退休中分层抽样方法抽取 8 参加某项活
动．现 8 中机抽 2 ．
①已知抽 1 45 岁时求抽 45 岁概率
②记抽 45 岁数 x 求机变量 x 分布列数学期．
2
0( )PK K

0．150 0．100 0．050 0．025 0．010
0K 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635

19．（题满分 12 分）图已知长方形 ABCD 中 2AB  2AD  M CD 中点．
ADM AM 折起四棱锥 D ABCM 点 E 棱 DB 中点．
（Ⅰ）求证：直线 CE 面 ADM
（Ⅱ）点 D 面 ABCM
射影恰直线 AC
求异面直线 AE DM 成角
余弦值．




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20．(题满分 12 分)已知椭圆  
2 2
2 2 1 0x yC a ba b   离心率 3
2
左右焦点分 1F
2FM 椭圆异长轴端点点 1 2MF F 面积 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 标准方程
（Ⅱ）直线l 点  10P 点直线l 椭圆C 交点 AB否存直线
 0 0 0 2l x xx  点 AB 直线 0l 距离分 Ad Bd 满足 A
B
d PA
d PB 恒成立
存求 0x 值存说明理．




21．(题满分 12 分)已知函数      e ln Zxf x x a x a x a  ．
（Ⅰ）函数  f x 定义域单调增函数 求a值
（Ⅱ）证明： 2 334 1eln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 e 1
nn
n
     *Nn ．




（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程 cos 3 sin (
sin 3 cos
x
y
  
 
  
 
参数）坐标原点O 极
点 x 轴正半轴极轴取相长度单位建立极坐标系直线 l 极 坐 标 方 程
cos( ) 2( 00 2 )6
π π     ．
（Ⅰ）求曲线C 直线l 直角坐标方程
（Ⅱ）求直线l 曲线C 交点极坐标．



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ()| 1||2 |f x x x a  Ra ．
（Ⅰ） 0a  时求等式 ( ) 5f x  解集
（Ⅱ） ( ) 2f x  Rx  恒成立求 a 取值范围．



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理科数学(八)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A A D B A C B A B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 0 14．15 15． 4
3
16． 6
2

三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ）令 2 1k n  *Nn 21 2 1
21 2 1[3 ( 1) ] 22[( 1) 1] 0nn
nnaa
    化
简 21 2 1224 0nnaa  21 2 1 2nnaa  ． 2 1nnb a  12 1nnb a
121 2 1 2nnnnbba a     {}nb 11 1b a  首项2 公差等差数列
1 ( 1) 2 2 1nbnn      ．
（Ⅱ）令 2k n *Nn 22 2(31) 22(1 1) 0nnaa   2 2
2
1
2
n
n
a
a
 
2462 naaa a 2
1
2a  首项 1
2
公等数列
（Ⅰ）知 1352 1 na a a a  1 1a  首项2 公差等差数列．
21321 242( )( )nnnTaa aaa a    
11[(1 ( ) ]1 22[1 ( 1) 2] 12 1 2
n
nn n

   

2 11 2nn   ．
18．解析（Ⅰ）频率分布直方图知 45 岁 45 岁 50
2 2 列联表：
45 岁 45 岁 总计
支持 35 45 80
支持 15 5 20
总计 50 50 100
列联表
2
2 100 (35 5 45 15) 625 384150 50 80 20K       

犯错误概率超 0．05 前提认 45 岁分界点群
延迟退休年龄政策支持度差异
（Ⅱ）①设抽 1 45 岁事件 A 抽 45 岁事件 B — 高三理科数学(八)第 6 页( 4 页) —
( )P A
1 1
6 2 6
2
2
8
27
28
CC C
C 
1 1
6 2
2
8
3( ) 7
C CP AB C
  27 9
3
( ) 47( )
28
)(
P ABPB A P A  
抽 1 45 岁时求抽 45 岁概率 4
9

②支持延迟退休中抽取 8 45 岁应抽 6 45 岁应抽 2 ．
题意 X 取值 012．
2
6
2
8
15( 0) 28
CP X C 
1 1
6 2
2
8
12 3( 1) 28 7
C CP X C
 
2
2
2
8
1( 2) 28
CP X C  
机变量 X 分布列：
X 0 1 2
P 15
28 3
7 1
28
15 3 1 1( ) 0 1 228 7 28 2E X    ．
19．解析(Ⅰ)设线段 AD 中点 F连结 EF MF EF MC
∴四边形 EFMC 形四边形∴ FM EC ．
FM  面 ADMCE  面 ADM直线 CE 面 ADM
（Ⅱ）连结 AC BD AC BD O AM BD N
AB AD
AD DM RT ADM ～ RT BAD ∴ 90ADB DAM DMA DAM    
∴ 90DAN  DB AM ．
∵点 D 面 ABCM 射影恰落直线 AC ∴点 D 面 ABCM 射影O．
∵ 2 1AD DM  ∴ 3AM  ∴ 6
3DN  ． 6
2DO  ∴ 6 6 6
2 3 6NO   
∴ 2 2 2 26 6 2( )( )3 6 2DO DM NO    ．
O 原点行 CB AB 直线分 x 轴y 轴
OD 直线 z 轴建立空间直角坐标系图示．
2( 10)2A  2( 10)2B 2( 00)2M 
2(00 )2D 2 1 2( )4 2 4E．
∴ 2 3 2( )4 2 4AE   2 2( 0 )2 2DM  
∴ cos | cos | 0AE DM    ．∴异面直线 AE DM 成角余弦值 0．
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20．解析（Ⅰ）设椭圆焦距  2 0c c  1 2MF F 面积 3 3bc 
已知条件
2 2 2
3
2
3
c
a
bc
a b c
 
 
  

解
2
1
3
a
b
c
 
 
 
椭圆C 标准方程
2
2 14
x y 
（Ⅱ）直线l x 轴重合时设直线l 方程 1x my  设点  1 1Ax y  2 2Bx y
直线l 方程椭圆方程联立 2
2
1
14
x my
x y
   
消 x 整理 2 24 2 3 0m y my  
   2 2 24 12 4 16 3 0mm m    韦达定理 1 2 2
2
4
my y m  

1 2 2
3
4y y m 
．A
B
d PA
d PB 0 1 1
0 2 2
x x y
xx y
  0 1 1
0 2 2
1
1
x my y
xmy y
   
整理
2
1 2
0
1 2
2
32 ( )2 41 1 42
4
mmy y mx my y
m
      

直线l x 轴重合时直线l 椭圆C 交点左右顶点设点  20A  20B 
1
3
PA
PB  0
0
2
2
A
B
xd
d x
  A
B
d PA
d PB 0
0
2 1
2 3
x
x
  解 0 4x  ．
综述存直线 0 4l x  A
B
d PA
d PB ．
21．解析（Ⅰ）题意知    e lnxf x x a 
函数  f x 定义域单调增函数   0f x  恒成立．
先证明e 1x x  ．设   e 1xgx x    e 1xg x  
函数  g x  0 单调递减 0 单调递增
∴    0 0g x g  e 1x x  ．
理证ln 1x x 
∴ 2a  时    eln (1)( 1)2 0xf x x a x x a a 
3a  时  0 1 ln 0f a     e ln 0xf x x a   恒成立．
综述 a整数值 2．
（Ⅱ）①知  e ln 2x x  令 1tx t
  — 高三理科数学(八)第 8 页( 4 页) —
∴
1 1 1e ln( 2) ln( )
t
t t t
t t
     ∴ 1 1e (ln )t tt
t
   ．
知 1t  时 0e ln2 ． 2t  时 1 23e (ln )2
 
3t  时 2 34e (ln )3
   t n 时 1 1e (ln )n nn
n
   ．
累加 0 1 2 1 2 33 4 1e e e e ln2(ln) (ln) (ln )2 3
n nn
n
        ．
0 1 2 1
11 ( ) 1 eeee e 1 1 e 11 1e e
n
n n  

     

∴ 2 334 1eln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 e 1
nn
n
     ．

22．解析（Ⅰ） 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3 cos ) 4x y      
曲线 2 2 4Cx y  ．直线l 极坐标方程展开 3 1cos sin 22 2   
l 直角坐标方程 3 4 0x y   ．
（Ⅱ）曲线C 极坐标方程 2  代入直线l 极坐标方程 3 1 cos sin 22 2   
3 cos sin 2   πcos( ) 16   11π
6 
直线l 曲线C 交点极坐标 11π(2 )6
．

23．解析（Ⅰ） 0a  时 ()| 1||2 || 1||2|fxx xax x  ．
( ) 5f x  
1
3 1 5
x
x

  
1 0
1 5
x
x

 
 

0
3 1 5
x
x

  

2 1x  1 0x   40 3x   42 3x   等式解集 4[ 2 ]3 ．
（ Ⅱ ） ()| 1||2 || 1|| ||1 |2 2
a afxx xax x    仅
2
ax  时 取 等 号
() ( )|1 |2 2min
a afx f  ．( ) 2f x  x R  恒成立 |1 | 22
a   2a  6a 
a 取值范围( 2] [6 )  ．



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高三理科数学（八）选择填空详细解析
1． D解析 {0125}A  {1236}B  A B  {12}A B  ．
2． B解析命题等价条件： 2
max( )a x 4a  ．A 充条件CD 必充分
条件 B 充分必条件．
3．A解析 πi4
i i ππ 2 2i(cos isin ) iπ π 4 4 2 2cos isine 4 4
  
 ．
4．A解析题已知总体样容量 36 样容量n时系统抽样样距 36
n
分
层抽样样
36
n 采分层抽样抽取足球运动员数 1836 2
n n  篮球运动员数
1236 3
n n  乒乓球运动员数 636 6
n n  知n 6 整数倍值 6．
5．D解析已知 2( ) 2 9 2 9a b a b      2a b  
2| 2 | ( 2 ) 4 36 8 4 2a b a b      ．
6．B解析等数列{ }na 中 1 1a  4 8a  2q  3 4a  5 16a  2 4b 
6 16b  1 7 2 6
7
7( )7( ) 7(4 6) 702 2 2
b b b bS       选 B．
7．A．解析题意 504 e9
ka a  解 25 2e 3
ka   令 8e 27
kta a 
3 25 3 752e () (e ) e3
kt t t   需天数 75 天．
8．C 解析次循环步长 3进行 674 次循环次循环产生周期数列：
3 3 3 3  中项输出前 674 项 0．
9． B解析 2
2 9 81 1 ( )ab a b a b    2( ) 9( ) 8 0a b a b   1 8a b   ．
10． A解析三视图知该体三棱锥记三棱锥 A BCD
放棱长 4 正方体中图示 2 2 4AD BC BD 
AD BDAD BC  BC BD AD  面 BCD
三棱锥 A BCD 体积
1 1 1 162 2 2 2 43 3 2 3ABCD BCDVADS      ．


11． B解析 cos cos 2 3sin
3sin
BC A
bc C  cos cosc Bb C
bc
 
sin cos sin cos
sin
CB BC
b C
 sin( ) sin 23sin
sin sin 3sin
BC A A
bCbC C
   解 3
2b  ． — 高三理科数学(八)第 10 页( 4 页) —
πcos 3 sin 2sin( ) 26B B B   ∴ π π
6 2B   π
3B  1sin
b
B  ．∴ 2π
3A C 
2π π0 3 2C A  π0 2A  π π
6 2A 
∴ sin sinac A C   2π 3 3 πsin sin( ) sin cos 3sin( )3 2 2 6A AA A A   
∵ π π
6 2A  ∴ π π 2π
3 6 3A   ∴ 3 πsin( ) 12 6A  ∴ 3 π3 sin( ) 32 6A 
3( 3]2a c  ．
12． D解答构造函数 ( )( ) f xg x x 2
( ) ( ) 1 ln( ) xfxfx xg x x xx
   两边积分
21( ) ln (ln )2gx x xc  2(e) ef  (e) 1(e) ee 2
fg C  1e 2C  
21 1( ) (ln ) ln e2 2gx x x   令 lnt x 二次函数 21 1e2 2y tt  称轴
1t  ex  图象开口 (2) (1)g g (2) (1)
2 1
f f (2) 2 (1)f f A 项
错误
(3) (4)g g 4 (3) 3 (4)f f B 项错误
根开口二次函数图象知 0x  时 ( ) 0f x  正确C 项错误
0x  时 ( ) e 0fx x  成立需 ( ) e 0f x
x   成立显然二次函数 21 1
2 2y tte 
称轴 1t  处取值e 明显 ( ) e 0f x
x   成立 D 项正确．
13． 0解析  f x 满足    2 2f x fx   y fx 图象关点 1 1 称
2 1 11 1
xy x x
   
图象关点 1 1 称交点关点(1 1) 称．
交点横坐标等 m ．交点坐标等 m
交点横坐标等 0．
14． 15 解析 4( )a b c  项结构 x y zabc 中 Nxyz  4x y z  
隔板法 2
6 15C  种情形15种项．
15． 4
3
解析图设左焦点 1F圆 x 轴交点
B APQ 角60 30PAF  
1 3PF a c  1PFF 中
余弦定理
2 o2 2
1 1 12 cos120PF PF FF PFFF    ． — 高三理科数学(八)第 11 页( 4 页) —
2 2 2 43 4 0 3 4 0 3c ac a e e e   ．
16． 6
2
解析令sin cosx xt 
21sin cos 2
tx x 
21() () 2
tfx gt t  

21 1 1sincos sin2 [0]2 2 2
txx x   [ 11]t   ．
方法：∵
2
2 2 21 1 3( )(1)(1)2 2 2
tt tt   ∴
21 6
2 2
tt   ( )f x 值
6
2
时 6
3t  ．
方法二： 2
( ) 1
1
2
tg t
t
  
 易知 6[ 1 ]3t   时 ( ) 0g t  函数 ( )g t 单调递增
6[ 1]3t  时 ( ) 0g t  函数 ( )g t 单调递减．∴ max
6 6() ()3 2f x g  ．

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