专题四 三角函数解三角形
第十讲 三角函数综合应
2019 年
1（2019 江苏 18）图湖边界圆心 O 圆湖侧条直线型公路 l湖
桥 AB（AB 圆 O 直径）．规划公路 l 选两点 PQ修建两段直线型道路
PBQA．规划求：线段 PBQA 点点 O 距离均圆．．．．O 半径．已知
点 AB 直线 l 距离分 AC BD（CD 垂足）测 AB10AC6BD12（单
位：百米）．
（1）道路 PB 桥 AB 垂直求道路 PB 长
（2）规划求P Q 中否点选 D 处？说明理
（3）规划求道路 PB QA 长度均 d（单位：百米）求 d 时PQ
两点间距离．
20102018 年
选择题
1．(2018 北京)面直角坐标系中记 d 点 (cos sin )P 直线 20x my 距离
m 变化时 d 值
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（ 2016 年浙江）设函数 2( ) sin sinf x x b x c ()fx正周期
A． b 关 c 关 B． b 关 c 关
C． b 关 c 关 D． b 关 c 关
3．（ 2015 陕西）图某港口天 6 时 18 时水深变化曲线似满足函数
3sin( )6y x k 函数知段时间水深（单位：m）值
A．5 B．6 C．8 D．10
4（2015 浙江）存函数 ()fx满足意 xR
A．(sin 2 ) sinf x x B． 2(sin 2 )f x x x
C． 2( 1) 1f x x D． 2( 2 ) 1f x x x
5．（ 2015 新课标Ⅱ）图长方形 ABCD 边 AB2BC1O AB 中点点 P 着边
BCCD DA 运动∠BOPx．动点 P AB 两点距离表示 x 函数
()y f x 图致
A B C D
6．（ 2014 新课标Ⅰ）图圆 O 半径 1A 圆定点P 圆动点角 x 始
边射线OA终边射线OP 点 P 作直线 垂线垂足 M点 M 直
线OP 距离表示 x 函数 ()fx y [0 ]图致
A． B．
C． D．
7．（ 2015 湖南）已知函数
2
3
0
( ) sin( ) ( ) 0f x x f x dx
函数 ()fx图象条
称轴
A． 5
6x B． 7
12x C．
3x D．
6x
二填空题
8．（ 2016 年浙江）已知 22cos sin2 sin( ( > 0)x x A x b A A __b __．
9．(2016 江苏省) 定义区间 03π 函数 sin 2yx 图象 cosyx 图象交点
数 ．
10．（ 2014 陕西）设
20 量 sin 2 cos cos 1 ab ∥ab
tan _______．
11．(2012 湖南)函数 ( ) sin( )f x x导函数 ()y f x 部分图图 4 示中
P 图 y 轴交点AC 图 x 轴两交点B 图低点
（1）
6
点 P 坐标（0 33
2
）
（2）曲线段 ABC x 轴围成区域机取点该点△ABC 概率
．
三解答题
12．（2018 江苏）某农场块农田图示边界圆O 段圆弧 MPN（P
圆弧中点）线段 MN 构成．已知圆O 半径 40 米点 P 距离 50
米．现规划农田修建两温室棚棚Ⅰ块形状矩形 ABCD棚
Ⅱ块形状 CDP△ 求 AB均线段 MN CD均圆弧．设OC
成角 ．
NM
P
O
AB
CD
(1) 分表示矩形 ABCD CDP△ 面积确定sin 取值范围
(2)棚Ⅰ种植甲种蔬菜棚Ⅱ种植乙种蔬菜甲乙两种蔬菜单位面积
年产值 43∶ ．求 值时甲乙两种蔬菜年总产值．
13．（ 2017 江苏）图水放置正四棱柱形玻璃容器Ⅰ正四棱台形玻璃容器Ⅱ高均
32cm容器Ⅰ底面角线 AC 长 10 7 cm容器Ⅱ两底面角线 EG 11EG
长分 14cm 62cm． 分容器Ⅰ容器Ⅱ中注入水水深均 12cm． 现
根玻璃棒l 长度 40cm．（容器厚度玻璃棒粗细均忽略计）
（1） 放容器Ⅰ中 端置点 A 处端置侧棱 1CC 求 没入水中
部分长度
（2） 放容器Ⅱ中 端置点 E 处端置侧棱 1GG 求 没入水中
部分长度．
14．（ 2015 山东）设 2( ) sin cos cos ( )4f x x x x ．
（Ⅰ）求 ()fx单调区间
（Ⅱ）锐角△ ABC 中角 ABC边分 abc ( ) 02
Af 1a
求△ 面积值．
15．（ 2014 湖北）某实验室天温度（单位：℃）时间t （单位： h ）变化似满足
函数关系： π π( ) 10 3cos sin12 12f t t t [0 24)t
（Ⅰ）求实验室天温差
（Ⅱ）求实验室温度高 段时间实验室需降温？
16．（ 2014 陕西） ABC 角 CBA 边分 cba ．
（I） 成等差数列证明： CACA sin2sinsin
（II） 成等数列求 Bcos 值．
17．（2013 福建）已知函数 ( ) sin( )( 00 )f x x 周期 图
称中心( 0)4
函数 ()fx图点横坐标伸长原 2 倍（坐标
变）图右移
2
单位长度函数 ()gx图．
(1)求函数 ()fx ()gx解析式
(2)否存 0 ()64x 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 某种序成等差数列？
存请确定 0x 数存说明理．
(3)求实数 a 正整数 n ()()()F x f x ag x (0 )n 恰 2013 零点．
专题四 三角函数解三角形
第十讲 三角函数综合应
答案部分
2019 年
1解析 解法：
（1）A作 AE BD 垂足E
已知条件四边形ACDE矩形 6 8DE BE AC AE CD ＇
PB⊥AB
84cos sin 10 5PBD ABE
12 154cos
5
BDPB PBD
道路PB长15（百米）
（2）①PD处（1）E圆线段BE点（BE）点O距离均
圆O半径P选D处满足规划求
②QD处联结AD（1）知 2210AD AE ED
2 2 2 7cos 02 25
AD AB BDBAD AD AB
∠BAD锐角
线段AD存点点O距离圆O半径
Q选D处满足规划求
综PQ均选D处
（3）先讨点P位置
∠OBP<90°时线段PB存点点O距离圆O半径点P符合规划求
∠OBP≥90°时线段PB意点FOF≥OB线段PB点点O距离均
圆O半径点P符合规划求
设 1P l点 1PB AB （1）知 B15
时 1 1 1 1
3sin cos 15 95PD PB PBD PB EBA
∠OBP>90°时 1PPB△ 中 1 15PB PB
知d≥15
讨点Q位置
（2）知QA≥15点Q位点C右侧符合规划求QA15时
2 2 2 215 6 3 21CQ QA AC 时线段QA点点O距离均圆
O半径
综PB⊥AB点Q位点C右侧CQ 3 21 时d时PQ两点间距离
PQPD+CD+CQ17+
d时PQ两点间距离17+ （百米）
解法二：（1）图O作OH⊥l垂足H
O坐标原点直线OHy轴建立面直角坐标系
BD12AC6OH9直线l方程y9点AB坐标分3−3
AB圆O直径AB10圆O方程x2+y225
A（43）B（−4−3）直线AB斜率 3
4
PB⊥AB直线PB斜率 4
3
直线PB方程 4 25
33yx
P（−139） 22( 13 4) (9 3) 15PB
道路PB长15（百米）
（2）①PD处取线段BD点E（−40）EO4<5P选D处满足规划
求
②QD处联结AD（1）知D（−49）A（43）
线段AD： 3 6( 4 4)4y x x 剟
线段AD取点M（315
4
）
2
2 2 2153 3 4 54OM
线段AD存点点O距离圆O半径
Q选D处满足规划求
综PQ均选D处
（3）先讨点P位置
∠OBP<90°时线段PB存点点O距离圆O半径点P符合规划求
∠OBP≥90°时线段PB意点FOF≥OB线段PB点点O距离均
圆O半径点P符合规划求
设 1P l点 1PB AB （1）知 B15时 （−139）
∠OBP>90°时 1PPB△ 中 1 15PB PB
知d≥15
讨点Q位置
（2）知QA≥15点Q位点C右侧符合规划求QA15时设Q
（a9） 22( 4) (9 3) 15( 4)AQ a a a 4 3 21 Q（ 4 3 21
9）时线段QA点点O距离均圆O半径
综P（−139）Q（ 4 3 21 9）时d时PQ两点间距离
4 3 21 ( 13) 17 3 21PQ
d 时PQ 两点间距离17 3 21 （百米）
20102018 年
1．C解析题意
22
| cos sin 2 | | sin cos 2 |
11
mmd
mm
2
222
22
1| 1( sin cos ) 2 |
| 1sin( ) 2 |11
11
mm
mmm
mm
（中
2
cos
1
m
m
2
1sin
1m
）∵ 1 sin( ) 1≤ ≤
∴
22
22
| 2 1 | 2 1
11
mmd
mm
≤ ≤
2
22
2 1 21
11
m
mm
∴ 0m 时 d 取值 3选 C．
2．B解析 2 1 cos2( ) sin sin sin2
xf x x b x c b x c ．
0b 时 ()fx正周期
0b 时 正周期 2
c 变化会引起 ()fx图象移会影响正周期．选 B．
注：函数 ()()()f x h x g x中 ()fx正周期 ()hx ()gx正周期公
倍数．
3．C解析图象知： min 2y min 3yk 32k 解： 5k
段时间水深值 max 3 3 5 8yk 选 C．
4．D解析 A
4x 5
4
时sin 2x 均 1sin x 2xx+ 时均两
值 AB 错误 C 1x 1x 时 2 12x + | 1|x + 两值
C 错误选 D．
5．B解析 (0) 2 ( ) 1 5 ( ) 2 2 ( )4 2 4f f f f + < 排选项 CD
点 P BC 时 2( ) tan 4 tan (0 )4f x BP AP x x x + + + ≤ ≤ ．难发现 ()fx
图象非线性排 A．
6．C解析题意知 ( ) | cos | sinf x x x [0 ] 2x 时 1( ) sin cos sin 22f x x x x
(]2x 时 1( ) cos sin sin 22f x x x x 选 C．
7．A解析
22
33
00
13sin( ) cos( ) | cos sin cos 022x dx x
tan 3 ()3 k k Z ( ) sin( )( )3f x x k k Z
正弦函数性质知 sin( )3y x k sin( )3yx图象称轴相
令
32xk 5 ()6x k k Z 函数 ()fx图象称轴
5 ()6x k k Z 0k 5
6x 选 A．
8． 2 1解析 22cos sin 2 2 sin(2 ) 14x x x 2 1Ab
9．7解析画出函数图象草图 7 交点．
1
1
O
y
x
10． 1
2
解析∵ ∥ab∴ 2sin 2 cos ∴ 22sin cos cos ∵ (0 )2
∴ 1tan 2 ．
11．（ 1）3（ 2）
4
解析（1）()y f x cos( )x
6
点 P 坐标（0
33
2
）时 33cos 362
（2）曲线 半周期
图知
2
22
TAC
1
22ABCS AC 设 AB横坐标分 ab．设曲线段 ABC x 轴围成
区域面积 S ( ) ( ) sin( ) sin( ) 2b b
aa
S f x dx f x a b
概型知该点△ABC 概率 2
24
ABCSPS
．
12．解析(1)连结 PO 延长交 MN H PH ⊥ OH 10．
θ
H
EK
G
NM
P
O
AB
CD
O 作OE ⊥ BC EOE ∥ COE
40cosOE 40sinEC
矩形 ABCD面积 2 40cos (40sin 10) 800(4sin cos cos )
CDP 面积 1 2 40cos (40 40sin ) 1600(cos sin cos )2 ．
N 作GN ⊥ 分交圆弧OE 延长线G K 10GK KN．
令 0GOK 0
1sin 4 0 (0 )6
．
0[)2
时作出满足条件矩形
sin 取值范围 1[ 1)4
．
答：矩形 面积800(4sin cos cos ) 方米 面积
1600(cos sin cos ) sin 取值范围 ．
(2)甲乙两种蔬菜单位面积年产值 4∶3
设甲单位面积年产值 4k 乙单位面积年产值3k ( 0)k
年总产值 4 800(4sin cos cos ) 3 1600(cos sin cos )kk
8000 (sin cos cos )k 0[)2
．
设 ( ) sin cos cosf
2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f ．
令 ( ) 0f π
6
0()6
时 ( )>0f ′ ()f 增函数
()62
时 ( )<0f ′ ()f 减函数
π
6 时 ()f 取值．
答： 时甲乙两种蔬菜年总产值．
13．解析（1）正棱柱定义 1CC 面 ABCD
面 11A ACC 面 1CC AC ．
记玻璃棒端落 1CC 点 M 处．
10 7AC 40AM ．
2240 (10 7) 30MN 3sin 4MAC．
记 AM 水交点 1P 作 11PQ AC 1Q 垂足
11PQ 面 11 12PQ
11
1 16sin
PQAP MAC
．
答：玻璃棒l 没入水中部分长度 16cm
( 果没入水中部分理解水面部分结果 24cm)
（2）图O 1O 正棱台两底面中心
正棱台定义 1OO ⊥面 EFGH
面 11E EGG ⊥面 ⊥ EG
理面 ⊥面 1 1 1 1EFGH ⊥ 11EG
记玻璃棒端落 1GG 点 N 处
G 作GK ⊥ K 垂足 GK 32
EG 14 62
1KG 62 14 242
2 2 2 2
11 24 32 40GG KG GK
设 1 EGG ENG∠ ∠ 11
4sin sin( ) cos25KGG KGG ∠ ∠
2 3cos 5
ENG△ 中正弦定理 40 14
sin sin 解 7sin 25
0 2 24cos 25
sin sin( ) sin( ) sin cos cos sinNEG ∠
4 24 7 3( 3
5)5 25 25 5
记 EN 水面交点 2P 作 22PQ EG 2Q 垂足 22PQ ⊥面 EFGH
12 2EP 22 20sin
P
NEG
Q ∠
答玻璃棒l 没入水中部分长度 20cm
(果没入水中部分理解水面部分结果 20cm)
14．解析（Ⅰ）题意
1 cos(2 )1 2( ) sin 222
x
f x x
xx 2sin2
1
2
12sin2
1
2
12sin x ．
kxk 22222 (Zk ) kxk 44 ()
kxk 22
3222 () kxk 4
3
4 ()
)(xf 单调递增区间 ]44[ kk （Zk ）
单调递减区间 ]4
34[ kk （）．
（Ⅱ） 1( ) sin 022
AfA 1sin 2A
题意 A 锐角 3cos 2A ．
余弦定理： Abccba cos2222
221 3 2bc b c bc
32
32
1
bc cb 时成立．
23sin 4bc A ． ABC 面积值
4
32 ．
15．解析（Ⅰ） 31( ) 10 2( cos sin ) 10 2sin( )2 12 2 12 12 3f t t t t
240 t
3
7
3123
t 1)312sin(1 t
2t 时 1)312sin( t 14t 时 1)312sin( t
)(tf )240[ 取值 12取值 8
实验室天高温度12 C 低温度8 C 温差 4 C
（Ⅱ）题意 11)( tf 时实验室需降温
（Ⅰ） )312sin(210)( ttf
11)312sin(210 t 1sin( )12 3 2t
240 t
6
11
3126
7 t 1810 t
10 时 18 时实验室需降温
16．解析（1） cba 成等差数列 2a c b
正弦定理sin sin 2sinACB
sin sin[ ( )] sin( )BACAC
sin sin 2sinACAC
（2） cba 成等数列 2 2b ac
余弦定理
2 2 2 2 2 21cos 2 2 2 2
a c b a c ac acacB ac ac ac
222a c ac （仅 ac 时等号成立）
22
12
ac
ac
（仅 时等号成立）
221 1 112 2 2 2
ac
ac
（仅 时等号成立）
1cos 2B Bcos 值 1
2
17． 解析（Ⅰ）函数 ( ) sin( )f x x周期 0 2
曲线 ()y f x 称中心( 0)4
(0 )
( ) sin(2 ) 044f
2
( ) cos2f x x
函数 ()fx图象点横坐标伸长原 2 倍（坐标变） cosyx
图象 图象右移
2
单位长度函数 ( ) sing x x
（Ⅱ） ()64x 时 12sin22x 10 cos 2 2x
sin cos2 sin cos2x x x x ．
问题转化方程 2cos2 sin sin cos2x x x x ()64
否解
设 ( ) sin sin cos2 2cos2G x x x x x
( ) cos cos cos2 2sin 2 (2 sin )G x x x x x x
( ) 0Gx ()Gx 单调递增
1( ) 064G 2( ) 042G
函数 图象连续断知函数 存唯零点 0x
存唯 0 ()64x 满足题意．
（Ⅲ）题意 ( ) sin cos2F x a x x令 ( ) sin cos2 0F x a x x
sin 0x ()x k k Z时cos2 1x ()x k k Z方程 ( ) 0Fx
解方程 ( ) 0Fx 等价关 x 方程 cos 2
sin
xa x ()x k k Z
现研究 (0 ) ( 2 )x U 时方程解情况
令 cos 2() sin
xhx x
问题转化研究直线 ya 曲线 ()y h x 交点情况
2
2
cos (2sin 1)() sin
xxhx x
令 ( ) 0hx
2x 3
2x ．
x 变化时 ()hx ()hx 变化情况表
x (0 )2
2
()2
3()2
3
2
3( 2 )2
()hx 0 0
()hx Z 1 ] ] 1 Z
0x x 趋0 时 ()hx 趋
x x 趋 时 趋
x 趋 时 趋
2x x 趋 2 时 趋
1a 时直线 ya 曲线 ()y h x (0 ) 交点( 2 ) 2 交
点 1a 时直线 曲线 交点
交点 11a 时直线 曲线 交点
交点函数 ()hx 周期性知 1a 时直线 曲线
(0 )n 总偶数交点存正整数 n 直线 曲线
恰 2013 交 点 1a 时 直 线 曲 线
(0 ) ( 2 ) U 3 交点周期性 2013 3 671 671 2 1342n
综 1a 1342n 时函数 ()()()F x f x ag x (0 )n 恰 2013
零点
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