专题七 等式
第十九讲 等式性质元二次等式
2019 年
1(2019 全国Ⅱ理 6) a>b
A.ln(a−b)>0 B.3a<3b C.a3−b3>0 D.│a│>│b│
20102018 年
选择题
1.(2018 全国卷Ⅰ)已知集合 2{ 2 0} A x x x A Rð
A.{ 1 2} xx B.{ 1 2} ≤ ≤xx
C.{ | 1} { | 2} x x x x D.{ | 1} { | 2}≤ ≥x x x x
2.(2018 天津)已知 2log ea ln 2b 1
2
1log 3c abc 关系
A. abc B.bac C.c b a D.c a b
3.(2018 全国卷Ⅲ)设 02log 03a 2log 03b
A. 0a b ab B. 0ab a b
C. 0a b ab D. 0ab a b
4.( 2017 新课标Ⅰ)已知集合 { | 1}A x x{ | 3 1}xBx
A.{ | 0}A B x x B.ABR
C.{ | 1}A B x x D. AB
5.( 2017 山东)设函数 24yx定义域 A函数 ln(1 )yx定义域 B AB
A.(12) B.(12] C.( 21) D.[ 21)
6.( 2017 山东) 0ab 1ab 列等式成立
A. 2
1 log2a
ba a bb B. 2
1log2a
b a b a b
C. 2
1 log 2a
ba a bb D. 2
1log 2a
ba b a b
7.(2016 年北京)已知 x y R 0xy
A. 110xy B.sin sin 0xy C. 11( ) ( ) 022
xy D.ln ln 0xy
8.( 2015 山东)已知集合 2{ | 4 3 0}A x x x { | 2 4}B x x AB
A.( 13) B.( 14) C.( 23) D.( 24)
9.( 2015 福建)定义 R 函数 fx满足 01f 导函数 fx 满足
1f x k 列结中定错误
A. 11()f kk B. 11() 1f kk
C. 11()11f kk D. 1()11
kf kk
10.(2015 湖北)设 xR[]x 表示超 x 整数.存实数t [ ] 1t
2[ ] 2t …[]ntn 时成立....正整数 n 值
A.3 B.4 C.5 D.6
11.( 2014 新课标Ⅰ)已知集合 A{ x | 2 2 3 0xx }B{ |-2≤ <2} AB
A.[-2 -1] B.[-11]
C.[-12) D.[12)
12.( 2014 山东) 0ab 0cd定
A. ab
cd B. ab
cd C. ab
dc D. ab
dc
13.(2014 四川)已知实数 yx 满足 )10( aaa yx 列关系式恒成立
A.
1
1
1
1
22 yx B.)1ln()1ln( 22 yx
C. yx sinsin D. 33 yx
14.( 2014 辽宁)已知定义[01] 函数 ()fx满足:
① (0) (1) 0ff
② [01]xy xy 1| ( ) ( ) | | |2f x f y x y .
| ( ) ( ) |f x f y k恒成立 k 值( )
A. 1
2 B. 1
4 C. 1
2 D. 1
8
15.( 2013 陕西)图示锐角三角形空中 欲建面积 300m2 接矩形
花园(阴影部分) 边长 x(单位 m)取值范围
40m
x 40m
A.[1520] B.[1225] C.[1030] D.[2030]
16.( 2013 重庆)关 x 等式 222 8 0x ax a ( 0a )解集 12()xx
2115xx a
A. 5
2 B. 7
2 C.15
4 D.15
2
17.( 2013 天津)已知函数 ( ) (1 | |)f x x a x .设关 x 等式 ()()f x a f x 解集
A 1122 A
实数 a 取值范围
A. 1502
B. 1302
C. 1502
130 2
D. 5
21
18.( 2012 辽宁) 0+x列等式恒成立
A. 21+ +xe x x B. 21 1 11 +241+
xx
x
C. 21cos 1 2xx D. 21ln 1+ 8x x x
19.(2011 湖南)已知函数 2( ) 1 ( ) 4 3xf x e g x x x ()()f a g b b
取值范围
A. 2 22 2 B. 2 22 2
C. 13 D. 13
二填空题
20.( 2017 新课标Ⅲ)设函数 1 0() 2 0x
xxfx x
≤
满足 1( ) ( ) 12f x f x x 取
值范围___.
21.( 2017 江苏)记函数 2( ) 6f x x x 定义域 D.区间[ 45] 机取
数 x xD 概率 .
22.(2017 北京)够说明设 a b c 意实数. abc a b c假命
题组整数 值次________________.
23.( 2014 江苏)已知函数 1)( 2 mxxxf 意 ]1[ mmx 0)( xf 成立
实数 m 取值范围 .
24.(2013 重庆)设 0 ≤ ≤ 等式 28 (8sin ) cos2 0xx≥ xR 恒成立
a 取值范围 .
25.( 2013 浙江)设 a b R 0x 时恒 24 3 201x x ax b x ab __.
26.(2013 四川)已知函数 ( ) 4 ( 0 0)af x x x ax 3x 时取值 a __.
27.( 2013 广东)等式 2 20xx 解集___________.
28.( 2013 江苏)已知 )(xf 定义 R 奇函数. 0x 时 xxxf 4)( 2
等式 xxf )( 解集区间表示 .
29.( 2013 四川)已知 )(xf 定义域 偶函数 0x 时 xxxf 4)( 2
等式 5)2( xf 解集____________.
30.( 2012 福建)已知关 x 等式 2 20x ax a 恒成立实数 a 取值范
围_________.
31.(2012 江苏)已知函数 2()()f x x ax b a b R 值域[0 )关 x 等
式 ()f x c 解集( 6)mm实数c 值 .
32.( 2012 江西)等式
2 9 02
x
x
解集___________.
33.( 2010 江苏)已知函数
2 1 0()
1 0
xxfx
x
满足等式 2(1 ) (2 )f x f x x 范围
__ ___.
34.(2010 江苏)设实数 xy满足 3≤ 2xy ≤84≤
y
x 2
≤9 4
3
y
x 值 .
35.(2010 天津)设函数 1()f x x x意 x [1 ) ( ) ( ) 0f mx mf x + 恒成立
实数 m 取值范围________.
36.(2010 天津)设函数 2( ) 1f x x意 2 3x
24 ( )xf m f xm
≤
( 1) 4 ( )f x f m 恒成立实数 m 取值范围 .
37.(2010 浙江)某商家月份五月份累计销售额达 3860 万元预测六月份销售额 500
万元七月份销售额六月份递增 x 八月份销售额七月份递增 九十月份
销售总额七八月份销售总额相等月十月份销售总额少少达 7000 万元
值 .
三解答题
38.( 2014 广东)设函数
2 2 2
1()
( 2 ) 2( 2 ) 3
fx
x x k x x k
中 2k
(1)求函数 ()fx定义域 D(区间表示)
(2)讨函数 ()fx D 单调性
(3) 6k 求 D 满足条件 ( ) (1)f x f x 集合(区间表示).
39.( 2014 北京)已知函数 ( ) cos sin [0 ]2f x x x x x
(Ⅰ)求证: ( ) 0fx≤
(Ⅱ) sin xabx(0 )2
恒成立求 a 值b 值.
专题七 等式
第十九讲 等式性质元二次等式
答案部分
2019 年
1解析:取 0a 1b
ln( ) ln1 0ab 排 A
0113 3 1 3 3 3
ab 排 B
0 1 1ab 排 D.
函数 3()f x x R 单调递增 ab 33ab 330abC 正确
选 C.
20102018 年
1解析:作出
3 4 0
3 4 0
0
xy
xy
xy
表示面区域图示
分联立中两方程A(22) B(-11) C(1-1) max 3 2 2 2 10z
选C
2解析:画出等式组表示行域图示:
联立 10
1
xy
y
解 2
1
x
y
21A ()
令 3z x y化 3y x z
求 z 值求截距值
图知直线 点 时z 值3 2 1 5 .
选 C.
3解析 约束条件
20
20
1
1
xy
xy
x
y
„
…
…
…
作出行域图:
化目标函数 4z x y 4y x z图知直线 4y x z A 时 z 值
联立 1
20
x
xy
解 11A 值 4 1 1 5 .
选 C.
20102018 年
1.B解析 2{ 2 0} A x x x 2{ | 2 0} R ≤A x x xð
{ | 1 2}≤ ≤xx选 B.
2.D解析 2log e >1a ln 2 (01)b 1 2 2
2
1log log 3 log 13ce .
c a b选 D.
3.B解析 02log 03a 03
1 log 02a 2log 03b 03
1 log 2b
03 03 03
11log 02 log 2 log 04ab 1101ab 01ab
ab
.
0a 0b 0ab 0ab a b .选 B.
4.A解析∵ { | 0}B x x∴ { | 0}A B x x选 A.
5.D解析 240x ≥ 22x ≤ ≤ 10x 1x
AB{|2 2}{| 1}{|2 1}x x x x x x ≤ ≤ ≤ 选 D
6.B解析解法 取 2a 1
2b 1 2 2 4a b 2
1
12
2 2 8a
b
22log ( ) log 4 2ab 2
1log2a
b a b a b 选 B.
解法二 题意 1a 01b 12a
b 1 22a a a ab
1ab 2()()a b a b
2
2 2 22 log ( ) log ( ) log 2 1a b a b ab
选 B.
7.C解析 0xy选项 A取 11 2xy 111 2 1 0xy
排 A选项 B取 2xysin sin sin sin 1 02xy
排 B选项 D 12 2xyln ln ln( ) ln1 0x y xy 排 D
选 C.
8.C解析 2{| 4 30}{|1 3} (23)A x x x x x A B .
9.C 解析取满足题意函数 ( ) 2 1f x x取 3
2k
1 2 1()()33ffk 21
3 k排 A.取 11
10k
11
11 10( ) ( ) (10) 19 1111 11111110 10
kf f fkk
排 D取满足题意函数 ( ) 10 1f x x取 2k
1 1 1 1( ) ( ) 4 12 2 1 1ffkk
排 B结定错误 C.
10.B 解析[ ] 1t 12t <≤ 2[ ] 2t 223t <≤ . 4[ ] 4t
445t <≤ 225t <≤ 3[ ] 3t 334t <≤ 56 4 5t <≤
5[ ] 5t 556t <≤ 56 4 5t <≤ 矛盾正整数 n 值 4.
11.A解析 | 1 3A x x x≤ ≥ AB[ 2 1].
12.D解析 1100cd dc
0ab等式性质知: 0ab
dc ab
dc
13.D解析已知 xy 时 22xy定排 AB正弦函数性质
知 C 成立选 D.
14.B解析妨设01yx≤ ≤ ≤ 10 2xy≤ 时
11()() 24f x f y x y ≤
1 12 xy≤ 时 () () () (1) () (0)f x f y f x f f y f
( ) (1)f x f≤ ( ) (0)f y f 111022xy
1 1 1 1 1(1 ) ( )2 2 2 2 4x y y x ∴ 1
4k ≥ .
15.C解析图△ADE∽△ABC设矩形边长 y 240()40
ADE
ABC
S y
S
40yx 300xy≥ (40 ) 300xx ≥
2 40 300 0xx解10 30x≤ ≤ .
16.A解析∵ 222 8 0x ax a ( 0a ) ( 4 )( 2 ) 0x a x a
24a x a ∴ 122 4x a x a
∵ 214 ( 2 ) 6 15x x a a a ∴ 15 5
62a .选 A.
17.A解析法 ()()f x a f x | | 1 | | | |a x x a a x a ax x ①
0a≥ ① | | 1 | | | |x x a a x a x x 解
A 符合排 C.取 1
2a ① 1 1 1| | 1 | | | |2 2 2x x x x x
符合 1122 A
排 BD.
解法二 数形结合∵ 1 | |f x x a x 奇函数.
ⅰ)取 1a 1 | |f x x x 图 1f x f x 解.排 C.
y
x
y f(x+1)
y f(x)
图1
f(m+1)
f(m)
mO
y
x
y f(x)
图2
1
2
1
2yf(x
1
2)
O
ⅱ)取 1
2a 11 | |2f x x x
1
2y f x a f x
满足 排 BD
解法三 题意0 A 00f a f 1 | | 0a a a
0a 时解 0a 时 210a∴ 10a .排 CD.
1 5 1 1 3
2 2 2
∴取 ①
符合 排 B.
18.C解析验证 A 3 3 23 >27 1968>1+3+3 13xe时排 A验证 B
1 2x 时 16 311+ 2
1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 61 + < 2 2 4 4 16 48 48 48 48
排 B验证 C
令 21cos 1+ ' sin + '' 1cos2gx x xgx xxgx x 显然 '' >0gx 恒成立
0+x ' ' 0 0g x g 21cos 1+ 2g x x x
增函数 0 0g x g 恒成立选 C验证 D
令
2 311ln1+ + ' 1+ 8 +1 4 4 +1
xxxh x x x x h x xx
令 ' <0hx
解0< <3x 时 < 0 0h x h 显然恒成立选 C
19.B解析题知 ( ) 1 1xf x e 22( ) 4 3 ( 2) 1 1g x x x x
( ) ( )f a g b ( ) ( 11]gb 2 4 3 1bb
解 2 2 2 2b .
20. 1()4 解析 1
2x 时等式
1
22 2 1xx
恒成立
10 2x ≤ 等式 12 1 12
x x 恒成立
0x≤ 时等式 11 1 12xx 解 1
4x 1 04 x≤
综 x 取值范围 1()4 .
21. 5
9
解析 260xx ≥ 解 23x ≤ ≤ 根概型计算公式概率
3 ( 2) 5
5 ( 4) 9
.
22. 1 2 3(答案唯)解析设 a b c 意实数. abc
a b c假命题否定设 意实数.
a b c ≤ 真命题
2a b c 0c
a b c 次取整数 1 2 3满足 a b c ≤ .
1 2 3 1 2 3 3 相矛盾验证假命题.
23. 2( 0)2 解析题意 ( ) 0fx [ 1]x m m恒成立
2
2
( ) 2 1 0
( 1) 2 3 0
f m m
f m m m
解 2 02 m .
24. 5[0 ] [ ]66
解析等式 28 (8sin ) cos2 0xx xR 恒成立
22(8sin ) 4 8cos2 64sin 32cos2 0 ≤
2 2 22sin cos2 2sin (1 2sin ) 24sin 1 0≤
∴ 2 1sin 4 ≤ ∴ 11sin 22
0 结合图知 ∈ π 5π0 π66
25.-1解析等式 24 3 201x x ax b x
4 3 3 221x x ax b x x 记 3 2 4 32 1f x x x g x x x
显然 24 2 22 1 1f x g x x x x
0x 时 f x g x 仅 1x 时取等号
2 3 23 4 4 3 1 1 1f x x x g x x x f g
y ax b fx gx 1x 处公切线时
恒成立时 1 1 1a f b
1ab .
26.36解析 0 0xa( ) 4 2 4 4aaf x x x axx
仅 4 ax x 34
ax 解 36a .
27. 21 解析易等式 2 20xx 解集
28.(﹣50) ∪(5﹢∞)解析做出 xxxf 4)( 2 ( 0x )图图示.
)(xf 定义 R 奇函数利奇函数图关原点称做出 x<0 图.
等式 xxf )(表示函数 y= 图 y=x 方观察图易:解集(﹣5
0) ∪(5﹢∞).
29.(-73)解析 x ≥0 时令 2 45xx解05x ≤ . )(xf 定义域
R 偶函数等式 ( 2) 5fx等价 5 2 5x -7< x <3解集
(-73).
30.(08)解析等式 x2﹣ax+2a>0 R 恒成立.∴△ 2( ) 8 0aa
解 0< a <8.
31.9解析 ()fx值域[0+∞) 0 2 4ab
2
2 04
ax ax c 两根元二次方程根系数关系
4)6(62
2
cammam 解c 9
32.( 32) (3 ) 解析等式化 ( 3)( 2)( 3) 0x x x 采穿针引线法解
等式.
33.( 1 2 1)解析
2
2
12 ( 1 2 1)
10
xxx
x
.
34.27解析
2
2( ) [1681]x
y 2
1 1 1[]83xy
32
2
42
1( ) [227]xx
y y xy 4
3
y
x
值 27.
35. 1m 解析已知 ()fx增函数 m ≠0
>0复合函数单调性知 ()f mx ()mf x 均增函数时符合题意.
<0时 2
2
1 1 1 10 2 ( ) 0 1 2mmx mx mx m xmx x m x m
22yx [1 )x 值 2 1+ 2
1 2m 2m >1
解 .
36.D解析题意
2
2 2 2 2
2 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)x m x x mm 3[)2x
恒定成立 2
22
1 3 241mm x x 恒成立.
3
2x 时函数 2
321y xx 取值 5
3 2
2
154 3mm
22(3 1)(4 3) 0mm 解 3
2m 3
2m .
37.20解析七月份销售额500(1 )x 八月份销售额 2500(1 )x 月
份十月份销售总额 23860 500 2[500(1 ) 500(1 ) ]xx 根题意
23860 500 2[500(1 ) 500(1 ) ] 7000xx ≥
225(1 ) 25(1 ) 66xx ≥ 令 1tx . 225 25 66 0tt≥
解 6
5t ≥ 11
5t ≤ (舍) 615x ≥ 解 20x≥ .
38.解析(1)知 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 3 0x x k x x k
22[( 2 ) 3] [( 2 ) 1] 0x x k x x k
2 23x x k 2 21x x k
2( 1) 2xk ( 2 0)k 2( 1) 2xk (2 0)k
| 1| 2xk | 1| 2xk
12k 12xk 12xk 12xk
函数 ()fx定义域 D
( 1 2 )k ( 1 2 k 1 2 )k ( 1 2 )k
(2)
2
32 2 2
2( 2 )(2 2) 2(2 2)'( )
2 ( 2 ) 2( 2 ) 3
x x k x xfx
x x k x x k
2
32 2 2
( 2 1)(2 2)
( 2 ) 2( 2 ) 3
x x k x
x x k x x k
'( ) 0fx 2( 2 1)(2 2) 0x x k x ( 1 )( 1 )( 1) 0x k x k x
1xk 11xk 结合定义域知 12xk
1 1 2xk
函数 单调递增区间 ( 1 1 2 )k
理递减区间( 1 2 1)k
(3) ( ) (1)f x f 2 2 2 2( 2 )2( 2 )3(3 )2(3 )3x x k x x k k k
2 2 2 2[( 2 ) (3 ) ] 2[( 2 ) (3 )] 0x x k k x x k k
22( 2 2 5) ( 2 3) 0x x k x x
( 1 2 4)( 1 2 4)( 3)( 1)0x k x k x x
1 2 4xk 1 2 4xk 3x 1x
6k 1 ( 1 1 2 )k 3 ( 1 2 1)k
1 2 4 1 2kk 1 2 4 1 2kk
结合函数 单调性知 ( ) (1)f x f 解集
( 1 2 4 1 2 )kk ( 1 2 3)k (1 1 2 )k
( 1 2 1 2 4)kk .
39.解析:(I) ( ) cos sinf x x x x
'( ) cos sin cos sinf x x x x x x x .
区间(0 )2
'( )fx sin 0xx ()fx区间 0 2
单调递减.
(0) 0f.
(Ⅱ) 0x 时 sin x ax 等价sin 0x ax
sin x bx 等价sin 0x bx.
令 ()gx sin x cx '( )gx cos xc
0c 时 ( ) 0gx 意 (0 )2x 恒成立.
1c 时意 0
区间 单调递减.
(0) 0g意 恒成立.
01c时存唯 0 (0 )2x 0'( )gx 0cos xc0 .
区间 情况:
x
0(0 )x 0x 0()2x
+ 0 -
()gx ↗ ↘
区间 00 x 增函数 0( ) (0) 0g x g.进步 ( ) 0gx
意 恒成立仅 ( ) 1 022gc 20 c
综述仅 2c 时 ( ) 0gx 意 恒成立
仅 时 ( ) 0gx 意 恒成立.
sin xabx意 恒成立 a 值 2
b 值 1.
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