专题四 三角函数解三角形
第九讲 三角函数概念诱导公式三角恒等变换
2019 年
1(2019 北京 9)函数 f (x) sin2 2x 正周期 ________
2(2019 全国Ⅲ理 12)设函数 fxsin(
5x )( >0)已知 fx 02 仅
5 零点述四结:
① fx(02 )仅 3 极值点
② fx(02 )仅 2 极值点
③ fx(010
)单调递增
④ 取值范围[12 29
5 10
)
中正确结编号
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
3(2019 天津理 7)已知函数 ( ) sin( )( 0 0| | )f x A x A 奇函数
y f x 图点横坐标伸长原 2 倍(坐标变)图应函
数 gx gx正周期 2π π 24g
3π
8f
A 2 B 2 C 2 D 2
4(2019 全国Ⅱ理 10)已知 α∈(0
2
)2sin 2αcos 2α+1 sin α
A. 1
5
B.
5
5
C.
3
3 D. 2
5
5
5(2019 江苏 13)已知
tan 2
π 3tan 4
πsin 2 4
值_________
6(2019 浙江 18)设函数 ( ) sin f x x xR
(1)已知 [02 ) 函数 ()fx 偶函数求 值
(2)求函数 22[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x 值域
20102018 年
选择题
1.(2018 全国卷Ⅲ) 1sin 3 cos2
A. 8
9 B. 7
9 C. 7
9 D. 8
9
2.( 2016 年全国 III) 3tan 4 2cos 2sin 2
A. 64
25 B. 48
25 C.1 D. 16
25
3.( 2016 年全国 II) 3cos( )45
sin 2 ( )
A. 7
25 B. 1
5 C. 1
5 D. 7
25
4.( 2015 新课标Ⅰ)sin 20 cos10 cos160 sin10
A. 3
2 B. 3
2 C. 1
2 D. 1
2
5.( 2015 重庆) tan 2tan 5
3cos( )10
sin( )5
=
A.1 B.2 C.3 D.4
6.( 2014 新课标Ⅰ) 0tan
A. 0sin B. 0cos C. 02sin D. 02cos
7.( 2014 新课标Ⅰ)设 (0 )2
(0 )2
1 sintan cos
A.3 2
B. 2 2
C.3 2
D. 2 2
8.( 2014 江西) ABC 中角 ABC 应边分 cba 32ab
22
2
2sin sin
sin
BA
A
值( )
A. 1
9 B. 1
3 C.1 D. 7
2
9.(2013 新课标Ⅱ)已知 2sin 2 3 2cos ( )4
( )
A. 1
6 B. 1
3 C. 1
2 D. 2
3
10.( 2013 浙江)已知
2
10cos2sin R 2tan
A.
3
4 B.
4
3 C.
4
3 D.
3
4
11.( 2012 山东)
24
8
732sin sin
A.
5
3 B.
5
4 C.
4
7 D.
4
3
12.(2012 江西) sin cos 1
sin cos 2
tan2α
A.− 3
4 B. C.− 4
3 D.
13.( 2011 新课标)已知角 顶点原点重合始边 x 轴正半轴重合终边直线
2yx cos2
A. 4
5 B. 3
5 C. 3
5 D. 4
5
14.( 2011 浙江)0 2
< < 02
< < 1cos( )43
3cos( )4 2 3
cos( )2
A. 3
3 B. 3
3 C. 53
9 D. 6
9
15.( 2010 新课标) 4cos 5 第三象限角
1 tan 2
1 tan 2
A. 1
2 B. 1
2 C.2 D.2
二填空题
16.(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 ( ) 2sin sin 2f x x x ()fx值_____.
17.(2018 全国卷Ⅱ)已知sin cos 1α β cos sin 0α β sin( )α β ___.
18.(2017 新课标Ⅱ)函数 2 3( ) sin 3 cos 4f x x x ( [0 ])2x 值 .
19.(2017 北京)面直角坐标系 xOy 中角 角 均Ox 始边终边关
y 轴称. 1sin 3 cos( ) ___________.
20.( 2017 江苏) 1tan( )46
tan .
21.( 2015 四川) 75sin15sin .
22.( 2015 江苏)已知 tan 2 1tan 7 tan 值_______.
23.( 2014 新课标Ⅱ)函数 sin 2 2sin cosf x x x 值____.
24.( 2013 新课标Ⅱ)设 第二象限角 1tan 42
sin cos ___.
25.( 2013 四川)设sin 2 sin ()2
tan 2 值_____.
26.(2012 江苏)设 锐角 4cos 65
sin 2 12
值 .
三解答题
27.(2018 江苏)已知 锐角 4tan 3 5cos( ) 5 .
(1)求 cos2 值
(2)求 tan( ) 值.
28.(2018 浙江)已知角 顶点原点O 重合始边 x 轴非负半轴重合终边
点 34()55P .
(1)求sin( ) 值
(2)角 满足 5sin( ) 13求cos 值.
29.( 2017 浙江)已知函数 22( ) sin cos 2 3sin cosf x x x x x ()xR.
(Ⅰ)求 2()3f 值
(Ⅱ)求 ()fx正周期单调递增区间.
30.(2014 江苏)已知 )2(
5
5sin .
(1)求 )4sin( 值
(2)求 )26
5cos( 值.
31.( 2014 江西)已知函数 xxaxf 2coscos2 2 奇函数 04
f
中 0Ra .
(1)求 a 值
(2)
25
2
4f 求
3sin 值.
32.( 2013 广东)已知函数 ( ) 2 cos 12f x x x R
.
(1) 求
3f
值
(2) 33cos 252
求
6f
.
33.( 2013 北京)已知函数 2 1( ) (2cos 1)sin 2 cos42f x x x x
(1)求 ()fx正周期值
(2) ()2
2() 2f 求 值.
34.( 2012 广东)已知函数 ( ) 2cos( )6f x x (中 0 xR )正周期
10 .
(1)求 值
(2)设 [0 ]2
56(5 )35f 5 16(5 )6 17f 求 cos( ) 值.
专题四 三角函数解三角形
第九讲 三角函数概念诱导公式三角恒等变换
答案部分
2019 年
1解析: 2 1 cos4 1 1sin 2 cos42 2 2
xf x x x ()()
fx()正周期 2π π
42T .
2解析 [02 ]x时 25 5 5x
fx[02 ] 仅 5 零点5 2 65 „
12 29
5 10 „④正确
选项知需判断③否正确答案
面判断③否正确
(0 )10x 时 ( 2)5 5 10x
fx 010
单调递增
( 2)
10 2
3 ③正确.
选 D.
3解析 fx奇函数 0 sinf x A x
y f x 图点横坐标伸长原 2 倍(坐标变)图应
函数 gx 1sin 2g x A x
gx正周期 2 2 21
2
2
sing x A x sin 2f x A x
24g
2sin 24 4 2g A A
2A
2sin 2f x x 3 3 22sin 2 2sin 2 28 8 4 2f
选 C.
4解析: 2sin 2 cos2 1 24sin cos 2cos
π0 2
cos 2sin
22
cos 2sin
sin cos 1
5sin 5 选 B
5解析 tan 2
3tan( )4
tan 2
3tan tan 4
1 tan tan 4
tan (1 tan ) 2
1 tan 3
解 tan 2 1tan 3 .
tan 2 时 2
2tan 4sin2 1 tan 5
2
2
1 tan 3cos2 1 tan 5
4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 5 2 5 2 10
1tan 3 时 2
2tan 3sin2 1 tan 5
2
2
1 tan 4cos2 1 tan 5
3 2 4 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 5 2 5 2 10
综sin(2 )4 值 2
10
.
6 解 析 ( 1 ) ( ) sin( )f x x 偶函数意实数 x
sin( ) sin( )xx
sin cos cos sin sin cos cos sinx x x x
2sin cos 0x
cos 0 .
[02π) π
2 3π
2
.
(2)
22
22π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x
π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 3621 cos 2 sin 22 2 2 2 2
xx
xx
3 π1 cos 223x
.
函数值域 33[1 1 ]22.
20102018 年
1.B解析 2217cos2 1 2cos 1 2 ( )39 .选 B.
2.A解析 sin 3tan cos 4
22cos sin 1 3sin 5 4cos 5
3sin 5 4cos 5 24sin2 2sin cos 25
2 16 48 64cos 2sin2 25 25 25 选 A.
3.D解析 23cos (sin cos )4 2 5
32sin cos 5
181 sin 2 25 7sin 2 25 选 D.
4.D解析原式 1sin 20 cos10 cos20 sin10 sin(20 10 ) sin30 2 .
5.C 解析
3cos( )10
sin( )5
33cos cos sin sin10 10
sin cos cos sin55
33cos tan sin10 10
tan cos sin55
33cos 2 tan sin10 5 10
2 tan cos sin5 5 5
33cos cos 2sin sin5 10 5 10
sin cos55
=
1 5 5(cos cos ) (cos cos )2 10 10 10 10
12sin25
3cos10 3
cos10
选 C.
6.C解析 tan 0 知 终边第象限第三象限时sin cos 号
sin 2 2sin cos 0 选 C.
7.B解析条件 sin 1 sin
cos cos
sin cos cos (1 sin )
sin( ) cos sin( )2
22
0 22
2
2 2
.
8.D解析
22
2
2sin sin
sin
BA
A
22sin2( ) 1 2( ) 1sin
Bb
Aa ∵32ab ∴式 7
2
.
9.A解析 2
1 cos 2( ) 1 cos(2 ) 1 sin 242cos ( )4 2 2 2
2
211 sin 2 13cos ( )4 2 2 6
选 A
10.C解析 2210(sin 2cos ) ( )2
22
22
sin 4cos 4sin cos 10
sin cos 4
进步整理 23tan 8tan 3 0 解 tan 3 1tan 3
2
2tan 3tan 2 1 tan 4
.
11.D解析
42
]2[2
8
12sin12cos 2
4
3
2
2cos1sin 答案应选 D.
解: 37sin 2 8 sin cos 1 sin
37 1667 9677 731 8 16 16 4 4
42
时
cossin 结合选项
4
7cos4
3sin .
12.B解析分子分母 cos : sin cos tan 1 1 sin cos tan 1 2
∴ tan 3
∴ 2
2tan 3tan 2 1 tan 4
13.B解析角 终边直线 2yx tan 2
2 2 2
22
2 2 2
cos sin 1 tan 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 5
.
14.C解析cos( ) cos[( ) ( )]2 4 4 2
cos( )cos( )4 4 2
sin( )sin( )4 4 2
3()4 4 4
()4 2 4 2
22sin( )43
6sin( )4 2 3
1 3 2 2 6 5 3cos( )2 3 3 3 3 9
.
15.A解析 ∵ 4cos 5 第三象限∴ 3sin 5
∴
1 tan 2
1 tan 2
2cos sin (cos sin )2 2 2 2
cos sin (cos sin )(cos sin )2 2 2 2 2 2
22
1 sin 1 sin 1
cos 2cos sin22
.
16. 33
2 解析解法 ( ) 2sin sin 2f x x x
2 1( ) 2cos 2cos2 4cos 2cos 2 4(cos )(cos 1)2
f x x x x x x x
( ) 0 ≥fx 1 cos 12
≤ ≤x 2233
≤ ≤k x k
( ) 0 ≤fx 11 cos 2 ≤ ≤x 223
≤ ≤k x k
223
≤ ≤k x k Zk
2 3
xk ()时()fx取值
min
33( ) (2 ) 2sin(2 ) sin 2(2 )3 3 3 2
f x f k k k .
解法二 ( ) 2sin sin 2 2sin (1 cos ) f x x x x x
2 2 2 3[ ( )] 4sin (1 cos ) 4(1 cos )(1 cos ) f x x x x x
44 3(1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 27[]3 4 4
≤ xxxx
仅3(1 cos ) 1 cos xx 1cos 2x 时取等号
2 270 [ ( )] 4
≤ ≤fx
()fx值 33
2 .
17. 1
2 解析∵sin cos 1α β cos sin 0α β
∴ 22sin cos 2sin cos 1 ①
22cos sin 2cos sin 0 ②
①②两式相加
2 2 2 2sin cos sin cos 2(sin cos cos sin ) 1
∴ 1sin( ) 2 .
18.1解析化简三角函数解析式
22311 cos 3 cos cos 3 cos44f x x x x x 23(cos ) 12x
[0 ]2x cos [01]x 3cos 2x 时函数 ()f x 取值 1.
19. 7
9 解析∵角 角 终边关 y 轴称 2k
1sin sin(2 ) sin 3k cos cos
2 2 2cos( ) cos cos sin sin cos sin 2sin 1
2172 ( ) 139 .
20. 7
5
解析
tan( ) tan 744tan tan[( ) ]4 4 51 tan( ) tan44
.
21. 6
2
解析 6sin15 sin 75 sin15 cos15 2 sin(15 45 ) 2 .
22.3解析
1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 321 tan( ) tan 1 7
.
23.1解析 ( ) sin[( ) ] 2sin cos( )f x x x
sin( )cos cos( )sinxx
sin( ) sinxx .∵ xR ()fx值 1.
24. 10
5 解析∵ 1tan 42
1tan 3 ∴ 12sin cos
10 10
sin cos .
25. 3 解析 sin 2 2sin cos sin 1cos 2 ()2
tan 3 2
2tan 2 3tan 2 31 tan 1 3
.
26.
50
217 解析 锐角cos( )6
4
5 ∴sin( 3
5
∴sin2(
25
24)6 cos2( 7)6 25
sin(
50
217
25
17
2
2]4)6(2sin[)122 .
27.解析(1) 4tan 3 sintan cos
4sin cos3 .
22sin cos 1 2 9cos 25
2 7cos2 2cos 1 25 .
(2) 锐角 (0π) .
5cos( ) 5 2 25sin( ) 1 cos ( ) 5
tan( ) 2 .
4tan 3 2
2tan 24tan 2 1 tan 7
tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11
.
28.解析(1)角 终边点 34()55P 4sin 5
4sin( ) sin 5 .
(2)角 终边点 3cos 5
5sin( ) 13 12cos( ) 13 .
() cos cos( )cos sin( )sin
56cos 65 16cos 65 .
29.解析(Ⅰ) 23sin 32
21cos 32
2()3f 223 1 3 1( ) ( ) 2 3 ( )2 2 2 2
2( ) 23f .
(Ⅱ) 22cos2 cos sinx x xsin 2 2sin cosx x x
( ) cos2 3sin 2 2sin(2 )6f x x x x
()fx正周期
正弦函数性质
32 2 22 6 2k x k ≤ ≤ k Z
解 2
63k x k≤ ≤
单调递增区间 2[]63kk().
30.解析(1)∵ 5sin25 ∴ 2 25cos 1 sin 5
2 10sin sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 2 10
(2)∵ 2243sin 2 2sin cos cos2 cos sin55
∴ 3 3 1 4 3 3 4cos 2 cos cos2 sin sin 26 6 6 2 5 2 5 10 .
31.解析(1) 22cos cos 2f x a x x 奇函数 2
1 2cosy a x 偶函
数 2 cos(2 )yx奇函数 0 2
.
fx 2sin 2 2cosx a x () 04
f ( 1) 0a 1a
(2)(1): 1 sin 4 2f x x 12sin4 2 5f
4sin 5
2
3cos 5
sin sin cos sin cos3 3 3
4 3 3 10
32.解析(1)( ) 2 cos 13 12 4f
(2) 33cos 52
<θ<2π
2 94sin 1 cos 1 25 5
( ) 2 cos( )6 6 12f
2 cos( ) 2 cos cos 2 sin sin )4 4 4
3 2 4 2 12 2 ( )5 2 5 2 5
33.解析:(1) 2 1( ) (2cos 1)sin 2 cos42f x x x x
1cos 2 sin 2 cos 42x x x11sin 4 cos 422xx
2 sin(4 )24x
正周期 2
42T
4242xk ( kZ )
2 16
kx ()时 max
2() 2fx .
(2) 22( ) sin(4 )2 4 2f sin(4 ) 14
2
9 1744 4 4
54 42
9
16
.
34.解析(1) 2110 5T .
(2) 5 6 3 3 4(5 ) cos( ) sin cos3 5 2 5 5 5f
5 16 8 15(5 ) cos sin6 17 17 17f .
4 8 3 15 13cos( ) cos cos sin sin 5 17 5 17 85 .
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