专题九 解析
第二十九讲 曲线方程
2019 年
1(2019 北京理 8)数学中许形状优美寓意美曲线曲线C x2 + y2 1+ x y
中(图)出列三结:
① 曲线 C 恰 6 整点(横坐标均整数点)
② 曲线 意点原点距离超 2
③ 曲线 围城心形区域面积 3
中正确结序号
(A)① (B)②
(C)①② (D)①②③
2.(2019 浙江 15)已知椭圆
22
195
xy左焦点 F点 P 椭圆 x 轴方
线段 PF 中点原点O 圆心 OF 半径圆直线 斜率_______
3.(2019 江苏 17)图面直角坐标系 xOy 中椭圆 C
22
221( 0)xy abab 焦
点 F1(–10)F2(10). F2 作 x 轴垂线 l x 轴方l 圆 F2 2 2 2( 1) 4x y a
交点 A椭圆 C 交点 D连结 AF1 延长交圆 F2 点 B连结 BF2 交椭圆 C 点 E
连结 DF1.已知 DF1 5
2
.
(1)求椭圆 C 标准方程
(2)求点 E 坐标.
4(2019 全国 III 理 21(1))已知曲线 C:y
2
2
x D 直线 y 1
2 动点 D 作 C
两条切线切点分 AB
(1)证明:直线 AB 定点:
(2) E(0 5
2 )圆心圆直线 AB 相切切点线段 AB 中点求四边形 ADBE
面积
5(2019 北京理 18)已知抛物线 22C x py 点(21)
(I) 求抛物线 C 方程准线方程
(II) 设 O 原点抛物线 C 焦点作斜率 0 直线 l 交抛物线 C 两点 MN
直线 y1 分交直线 OMON 点 A 点 B求证: AB 直径圆 y 轴两
定点
6(2019 全国 II 理 21)已知点 A(−20)B(20)动点 M(xy)满足直线 AM BM 斜率积
− 1
2
记 M 轨迹曲线 C
(1)求 C 方程说明 C 什曲线
(2)坐标原点直线交 C PQ 两点点 P 第象限PE⊥x 轴垂足 E连结
QE 延长交 C 点 G
(i)证明: PQG△ 直角三角形
(ii)求 面积值
7 (2019 浙江 21)图已知点 (10)F 抛物线 2 2 ( 0)y px p焦点点 F 直线
交抛物线 AB 两点点 C 抛物线 ABC△ 重心 G x 轴直线 AC 交 x
轴点 Q Q 点 F 右侧记 AFG CQG△ △ 面积
12SS
(1)求 p 值抛物线准线方程
(2)求 1
2
S
S
值时点 G 坐标
8(2019 天津理 18)设椭圆
22
221( 0)xy abab 左焦点
F顶点 B已知椭圆短轴长 4离心率 5
5
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)设点 P 椭圆异椭圆顶点点 M 直线 PB x 轴交点点 N
y 轴负半轴| | | |ON OF (O 原点)OP MN 求直线 PB 斜率
20102018 年
解答题
1.(2018 江苏)图面直角坐标系 xOy 中椭圆C 点 1( 3 )2
焦点
12( 30) ( 30)FF 圆O 直径 12FF .
y
xOF2F1
(1)求椭圆 圆 方程
(2)设直线l 圆 相切第象限点 P.
①直线 椭圆 公点求点 P 坐标
②直线 椭圆 交 AB两点. OAB△ 面积 26
7
求直线 方程.
2.( 2017 新课标Ⅱ)设 O 坐标原点动点 M 椭圆C:
2
2 12
x y 做 x 轴
垂线垂足 N点 P 满足 2NP NM .
(1)求点 轨迹方程
(2)设点Q 直线 3x 1OP PQ.证明:点 垂直OQ 直线l
C 左焦点 F.
3.(2016 年山东)面直角坐标系 xOy 中椭圆 C:
22
2210xy abab> > 离心率 3
2
抛物线 E: 2 2xy 焦点 F C 顶点
(Ⅰ)求椭圆 C 方程
(Ⅱ)设 P E 动点位第象限E 点 P 处切线l C 交两点
AB线段 AB 中点 D直线 OD P 垂直 x 轴直线交点 M.
(i)求证:点 M 定直线
(ii)直线l y 轴交点 G记 PFG△ 面积 1SPDM△ 面积 2S
求 1
2
S
S
值取值时点 P 坐标.
4.(2016 年天津)设椭圆 13
2
2
2
y
a
x ( 3)a 右焦点 F右顶点 A已知
||
3
||
1
||
1
FA
e
OAOF 中O 原点e 椭圆离心率.
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)设点 A 直线l 椭圆交点 B(B x 轴)垂直l 直线l 交
点 M y 轴交点 H HFBF MOA MAO≤ 求直线l 斜
率取值范围.
5.(2016 年全国 II)已知椭圆 E
22
13
xy
t 焦点 x 轴 A E 左顶点斜率
( 0)kk 直线交 AM两点点 N E MA NA .
(Ⅰ) 4| | | |t AM AN时求 AMN 面积
(Ⅱ) 2 AM AN 时求 k 取值范围.
6.(2015 湖北)种作图工具图 1 示.O 滑槽 AB 中点短杆 ON 绕 O 转动
长杆 MN 通 N 处铰链 ON 连接MN 栓子 D 滑槽 AB 滑动 1DN ON
3MN .栓子 D 滑槽 AB 作复运动时带动..N 绕O 转动周(D 动时N
动)M 处笔尖画出曲线记 C. O 原点 AB 直线 x 轴建立
图 2 示面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线 C 方程
(Ⅱ)设动直线l 两定直线 1 2 0l x y 2 2 0l x y分交 PQ两点.直线 l
总曲线 C 公点试探究:△OPQ 面积否存值?
存求出该值存说明理.
7.( 2015 江苏)图面直角坐标系 xoy 中已知椭圆
22
2210xy abab 离心
率 2
2
右焦点 F 左准线l 距离 3.
(1)求椭圆标准方程
(2) 直线椭圆交 AB两点线段 AB 垂直分线分交直线l
点 PC 2PC AB 求直线 方程.
8.( 2015 四川)图椭圆 E:
22
22+ 1( 0)xy abab 离心率 2
2
点 (01)P 动
直线l 椭圆相交 AB两点直线 行 x 轴时直线 椭圆 截线段长
22.
(1)求椭圆 方程
(2)面直角坐标系 xOy 中否存点 P 定点Q QA PA
QB PB 恒
成立?存求出点 坐标存请说明理.
9.( 2015 北京)已知椭圆C:
22
2210xy abab 离心率 2
2
点 01P 点
A m n 0m≠ 椭圆C 直线 PA 交 x 轴点 M.
(Ⅰ)求椭圆C 方程求点 M 坐标( m n 表示)
(Ⅱ)设 O 原点点 B 点 A 关 x 轴称直线 PB 交 x 轴点 N.问: y 轴
否存点Q OQM ONQ ?存求点Q 坐标存说明
理.
10.( 2015 浙江)已知椭圆
2
2 12
x y两点 AB关直线 1
2y mx称.
(Ⅰ)求实数 m 取值范围
(Ⅱ)求 AOB 面积值(O 坐标原点).
11.( 2014 广东)已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab 焦点( 50) 离心率 5
3
(Ⅰ)求椭圆 C 标准方程
(Ⅱ)动点 00()P x y 椭圆外点点 P 椭圆 C 两条切线相互垂直求点 P
轨迹方程.
12.( 2014 辽宁)圆 224xy切线 x 轴正半轴 y 轴正半轴围成三角形该
三角形面积时切点 P(图)双曲线
22
1 221xyC ab点 离心率 3 .
(1)求 1C 方程
(2)椭圆 2C 点 P 1C 相焦点直线l 右焦点 交 AB 两
点线段 AB 直径圆心点 求 方程.
x
P
O
y
13.( 2013 四川)已知椭圆 C:)0(12
2
2
2
bab
y
a
x 两焦点分 1( 1 0)F 2 10F()
椭圆 C 点 )
3
1
3
4(P.
(Ⅰ)求椭圆 C 离心率
(Ⅱ)设点 )( 20A 直线l 椭圆 C 交 MN 两点点 Q MN 点
222
112
ANAMAQ
求点 Q 轨迹方程.
14.( 2012 湖南)直角坐标系 xoy 中曲线 1C 点均 2C: 22( 5) 9xy 外
意点 M 直线 2x 距离等该点圆 点距离值
(Ⅰ)求曲线 方程
(Ⅱ)设 00()P x y ( 3y )圆 外点 P 作圆 两条切线分曲线
相交点 AB CD证明: 直线 4x 运动时四点 ABC
D 坐标积定值.
15.( 2011 天津)面直角坐标系 xOy 中点 ()P a b ( 0)ab 动点 12FF分
椭圆
22
221xy
ab左右焦点.已知△ 12F PF 等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆离心率e
(Ⅱ)设直线 2PF 椭圆相交 AB两点M 直线 点满足 2AM BM
求点 M 轨迹方程.
16 .( 2009 广东)已 知 曲 线 2C y x 直线 2 0l x y 交 两 点 ()AAA x y
()BBB x y ABxx .记曲线C 点 A 点 B 间段 L 线段 AB 围成
面区域(含边界) D.设点 ()P s t 点点 P 点 点 均重合.
(1)点Q 线段 AB 中点试求线段 PQ 中点 M 轨迹方程
(2)曲线 2 2 2 51 2 4 025G x ax y y a 公点试求 a 值.
高考真题专项分类(理科数学)第 1 页— 23 页
专题九 解析
第二十九讲 曲线方程
答案部分
1 221x y x y 221y x y x
配方
22
3 0241 xxy
解 2 3
4x
x 取整数值101
曲线 10 1 1 01 0 110 11 6 整点结①正确
x>0 时 221x y xy
22
221 2
xyx y xy ( xy 时取等号)
222xy 22 2xy 曲线Cy轴右边点原点距离超 2
结②正确
根称性:曲线 C 意点原点距离超
②正确.
图示 0 1 10 11 01ABCD
131 1 1 122ABCDS
根称性知 23ABCDSS心形
心形区域面积 3③错误.
正确结①② 选 C.
2.解析 设椭圆右焦点 F连接 PF
线段PF中点A原点O圆心2半径圆
连接AO 24PF AO
设P坐标(mn) 2343 m 3
2m 15
2n
( 20)F 直线PF斜率
15
2 153 22
. 高考真题专项分类(理科数学)第 2 页— 23 页
3解析 (1)设椭圆 C 焦距 2c
F1(10)F2(10) F1F22c1
DF1 5
2
AF2⊥x 轴 DF2 2 2 2 2
1 1 2
53( ) 222DF F F
2aDF1+DF24 a2
b2a2c2 b23
椭圆 C 标准方程
22
143
xy
(2)解法:(1)知椭圆 C:a2
AF2⊥x 轴点 A 横坐标 1
x1 代入圆 F2 方程(x1) 2+y216解 y±4
点 A x 轴方 A(14)
F1(10)直线 AF1:y2x+2
22()
22
1 16
yx
xy
25 6 11 0xx
解 1x 11
5x
代入 22yx 12
5y
11 12()55B F2(10)直线 BF2: 3 ( 1)4yx 高考真题专项分类(理科数学)第 3 页— 23 页
22
143
3 ( 1)4
x
yx
y
27 6 13 0xx 解 1x 13
7x
E 线段 BF2 椭圆交点
代入 3 ( 1)4yx 3
2y 3( 1 )2E
解法二:(1)知椭圆 C:
22
143
xy图示联结 EF1
BF22aEF1+EF22a EF1EB
∠BF1E∠B
F2AF2B∠A∠B
∠A∠BF1E EF1∥F2A
AF2⊥x 轴 EF1⊥x 轴
F1(10) 22
143
1x
xy
3
2y
E 线段 BF2 椭圆交点
4 解析(1)设 11
12D t A x y
2
112xy
y' x 切线DA斜率 1x 1
1
1
1
2y
xxt
整理 112 2 +10 tx y
设 22B x y 理 222 2 +10tx y
直线AB方程 2 2 1 0tx y
直线AB定点 1(0 )2
5解析(I)抛物线 22C x py 点 2 1 2p
抛物线 C 方程 2 4xy 准线方程 1y
(II)抛物线 C 焦点 0 1 设直线 l 方程 10y kx k 高考真题专项分类(理科数学)第 4 页— 23 页
2 4
1
xy
y kx
2 4 4 0x kx
设 1 1 2 2M x y N x y 12 4xx
直线OM 方程 1
1
yyxx 令 1y 点 A 横坐标 1
1
A
xx y
理点 B 横坐标 2
2
B
xx y
设点 0Dn 221 2 1 2
22
12 12
11
44
x x x xDA DB n nyy xx
uuur uuur
22
12
16 1 4 1nnxx
令 0DA DB
uuur uuur
24 1 0n 1n 3n
综 AB 直径圆 y 轴定点 01 03 .
6.解析(1)题设 1
2 2 2
yy
xx
化简
22
1(| | 2)42
xy x C 中心
坐标原点焦点 x 轴椭圆含左右顶点.
(2)(i)设直线 PQ 斜率 k方程 ( 0)y kx k.
22
142
y kx
xy
2
2
12
x
k
.
记
2
2
12
u
k
( ) ( )(0)P u uk Q u uk E u .
直线QG 斜率
2
k 方程 ()2
ky x u.
22
( )2
142
ky x u
xy
22 222(2 ) 2 8 0k x uk x k u .① 高考真题专项分类(理科数学)第 5 页— 23 页
设 ()GGG x y u Gx 方程①解
2
2
(3 2)
2G
ukx k
3
22G
uky k
.
直线 PG 斜率
3
2
2
2
12
(3 2)
2
uk ukk
uk kuk
.
PQ PG PQG△ 直角三角形.
(ii)(i)
2| | 2 1PQ u k
2
2
21||2
uk kPG k
△PQG 面积
2
22
2
18( )1 8 (1 )|| 12 (1 2 )(2 ) 1 2( )
kkk kS PQ PG kk kk
‖.
设 tk+ 1
k
k>0 t≥2仅 k1 时取等号.
2
8
12
tS t
[2+∞)单调递减 t2 k1 时S 取值值16
9
.
△PQG 面积值 .
7.解析 (I)题意 12
p p2
抛物线准线方程x−1
(Ⅱ)设 A A B B c cA x y B x y C x y 重心 GGG x y 令 2 0Ay t t 2
Axt
直线ABF直线AB方程
2 1 12
txyt
代入 2 4yx
2
2 21
40
t
yyt
24Bty 2
By t 2
12B tt
1133G A B c G A B cx x x x y y y y 重心Gx轴 220ctyt
2 42
2
1 1 2 2 22 03
ttC t t Gt t t
直线AC方程 222y t t x t 2 10Qt 高考真题专项分类(理科数学)第 6 页— 23 页
Q焦点F右侧 2 2t
42
2 4 2 2
1
2 44
2
4
2
2
2 2 21 1 | 2 ||| 3 222 21 2 2 2 2 11|| | 1 | | 2 |2 3
A
c
tt tFG y tS t t t
ttS t tQG y tttt
令 2 2mtm>0
1
2
2
1 1 32 2 2 134 3 234 24
S m
S m m m mm m
…
3m 时 1
2
S
S
取值 31 2 时G(20)
8解析 (Ⅰ)设椭圆半焦距c 题意 52 4 5
cb a 2 2 2a b c 5a
2b 1c
椭圆方程
22
154
xy
(Ⅱ)题意设 0 0P P p MP x y x M x
设直线 PB 斜率 0kk 02B直线 PB 方程 2y kx椭圆方程
联立 22
2
154
y kx
xy
整理 224 5 20 0k x kx
2
20
45P
kx k
代入
2
2
8 10
45P
ky k
进直线OP 斜率
245
10
P
p
y k
xk
中令 0y 2
Mx k 题意 0 1N 直线 MN 斜率
2
k
OP MN
245 110 2
kk
k
化简 2 24
5k 2 30
5k
直线 PB 斜率 2 30
5
2 30
5
高考真题专项分类(理科数学)第 7 页— 23 页
20102018 年
1.解析(1)椭圆C 焦点 12() 30 ( 30)FF
设椭圆 方程
22
221( 0)xy abab .点 1( 3 )2
椭圆
22
22
3114
3
ab
ab
解
2
2
4
1
a
b
椭圆 方程
2
2 14
x y.
圆O 直径 12FF 方程 223xy.
(2)①设直线l 圆 相切 0 0 0 0()( 00)P x y x y 22
003xy
直线 方程 0
00
0
()xy x x yy 0
00
3xyxyy .
2
2
0
00
14
3
x y
xyxyy
消 y
2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0()x y x x x y .( *)
直线 椭圆 公点
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) ( )( 24 )4 4 36 4 (48 )20x x y y y x .
000xy 002 1xy.
点 P 坐标 ( 21) .
②三角形OAB 面积 26
7
21 2
6
7AB OP 42
7AB .
设 1 1 2 2()()A x y B x y
(*)
22
0 0 0
22
00
12
24 48 ( 2)
2(4 )
x y x
xx y
2
2 2 2
121()()xB y yxA
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
48 ( 2)(1 ) (4 )
x y x
y x y
.
22
003xy 高考真题专项分类(理科数学)第 8 页— 23 页
2
2 0
22
0
16( 2) 32
( 1) 49
xAB x
42
002 45 100 0xx
解 22
00
5 ( 202xx舍) 2
0
1
2y P 坐标 10 2()22
.
综直线l 方程 5 3 2yx .
P
B
A
y
xOF2F1
2.解析(1)设 ()P x y 00()M x y 0( 0)Nx 0()NP x x y 0(0 )NM y .
2NP NM 0xx 0
2
2yy .
C
22
122
xy.
点 P 轨迹方程 222xy.
(2)题意知 ( 10)F .设 ( 3 )Qt ()P m n
( 3 )OQ t ( 1 )PF m n 33OQ PF m tn
()OP m n ( 3 )PQ m t n
1OP PQ 2231m m tn n (1)知 222mn
3 3 0m tn .
0OQ PF OQ PF .点 P 存唯直线垂直OQ 点 P
垂直 直线l C 左焦点 F.
3.解析(Ⅰ) 离心率 2
3 22 4 ba
抛物线 yx 22 焦点坐标 )2
10(F 2
1b 1a 高考真题专项分类(理科数学)第 9 页— 23 页
椭圆C 方程 14+ 22 yx .
(Ⅱ) (i)设 P 点坐标
2
)( 0)2
mP m m (
yx 22 xy ′ E 点 P 处切线l 斜率 m
切线 方程 2
2mmx-y
设 )()( 2211 yxByxA)( 00 yxD
代入
01+4)4+1 2322 -mxm-xm(.
2
3
21 4+1
4+ m
mxx 2
3
21
0 4+1
22
+ m
mxxx
22
00 22 2(1 4 )
mmy mx m
直线OD方程 xm-y 4
1 .
联立方程 xm-y 4
1 mx M 坐标 1()4Mm .
点 定直线 4
1y - .
(ii)切线 方程 中令 0x
2
2
my -
点G 坐标
2
(0 )2
mG
2
()2
mPm 1(0 )2F
4
)1+(×2
1S
2
1
mmGFm
32
22
2()4 1 2(4 1)
mmD mm
高考真题专项分类(理科数学)第 10 页— 23 页
)1+4(8
)1+2(1+4
+2×4
1+2×2
1S 2
22
2
32
2 m
mm
m
mmm
22
22
2
1
)1+2(
)1+)(1+4(2S
S
m
mm .
令 1+2 2mt 22
2
1 11+2
)1+)(2
1(2
S
S
t-tt
tt-
2
11
t 时 2t 时
2
1
S
S 取值 4
9 .
时 2
12m 2
2m P 点坐标 )4
12
2P( .
2
1
S
S 值 取值时点 P 坐标 21()24P.
4.解析(Ⅰ)设 ( 0)Fc 1 1 3
| | | | | |
c
OF OA FA 1 1 3
()
c
c a a a c
2 2 23a c c 2 2 2 3a c b 2 1c 2 4a
椭圆方程
22
143
xy.
(Ⅱ)解:设直线l 斜率 k ( 0k )直线l 方程 )2( xky
设 )(BB yxB方程组
)2(
134
22
xky
yx
消 y
整理 0121616)34( 2222 kxkxk .
解 2x
34
68
2
2
k
kx 题意
34
68
2
2
k
kxB
34
12
2
k
kyB.
(Ⅰ)知 )01(F设 )0(HyH )1(HyFH )34
1234
49( 22
2
k
k
k
kBF
HFBF 0HFBF 034
12
34
49
22
2
k
ky
k
k H解
k
kyH 12
49 2 高考真题专项分类(理科数学)第 11 页— 23 页
直线 MH 方程
k
kxky 12
491 2 .
设 )(MM yxM方程组
)2(
12
491 2
xky
k
kxky 消 y 解
)1(12
920
2
2
k
kxM
MAO 中 |||| MOMAMAOMOA 2222)2(MMMM yxyx
化简 1Mx 1)1(12
920
2
2
k
k 解
4
6k
4
6k .
直线l 斜率取值范围 )4
6[]4
6( .
5.解析(I)设 11()M x y 题意知 1 0y .
4t 时椭圆 E 方程
22
143
xyA 点坐标 20
已知椭圆称性知直线 AM 倾斜角
4
.
直线 方程 2yx.
2xy代入 27 12 0yy.
解 0y 12
7y 1
12
7y .
AMN△ 面积 21 1 12 12 14422 2 7 7 49AMNS AM .
(Ⅱ)题意知 3 0 ( 0)t k A t 直线 方程 y k x t
联立
22
13
xy
t
y k x t
整理 2 2 2 2 23 2 3 0tk x t tk x t k t
解 xt
2
2
3
3
t tk tx tk
2
22
22
361133
t tk t tAM k t ktk tk
题意 MA NA AN 方程 1 ()y x tk
理
2
2
6 (1 )|| 3
k t kAN kt
高考真题专项分类(理科数学)第 12 页— 23 页
2 AM AN 22
2
33
k
tk k t
3( 2) 3 (2 1)k t k k
3 2k 时式成立
2
3
63
2
kkt k
.
3t
2
3
6332
kk
k
整理 2
3
12
02
kk
k
3
2 02
k
k
解 3 22k.
6.解析(Ⅰ)设点 ( 0)Dt (| | 2)t 00( ) ( )N x y M x y 题意
2MD DN | | | | 1DN ON
00( ) 2( )t x y x t y
22
00
22
00
( ) 1
1
x t y
xy
0
0
22
2
t x x t
yy
0( 2 ) 0t t x.
点 D 动时点 N 动t 恒等 0
02tx 0042
xyxy 代入 22
001xy
22
116 4
xy
求曲线C 方程
22
116 4
xy.
(Ⅱ)( 1)直线l 斜率存时直线 4x 4x
1 4 4 82OPQS .
(2)直线 斜率存时设直线 1()2l y kx m k
224 16
y kx m
xy
消 y 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m .
直线l 总椭圆C 公点
2 2 2 264 4(1 4 )(4 16) 0k m k m 2216 4mk. ①
2 0
y kx m
xy
2()1 2 1 2
mmP kk
理 2()1 2 1 2
mmQ kk
. 高考真题专项分类(理科数学)第 13 页— 23 页
原点O 直线 PQ 距离
2
||
1
md
k
2| | 1 | |PQPQ k x x
2
2
1 1 1 2 2 2| | | || | | |2 2 2 1 2 1 2 1 4OPQ P Q
m m mS PQ d m x x m k k k
.②
①代入②
22
2 2
412 814 41OPQ
kmS k k
.
2 1
4k 时
2
22
4 1 28( ) 8(1 ) 84 1 4 1OPQ
kS kk
2 10 4k时
2
22
4 1 28( ) 8( 1 )1 4 1 4OPQ
kS kk
.
2 10 4k 20 1 4 1k 2
2 214k
2
28( 1 ) 814OPQS k
仅 0k 时取等号. 0k 时 OPQS 值 8.
综合(1)( 2)知直线 l 椭圆C 四顶点处相切时△ OPQ 面积取
值 8.
7.解析(1)题意 2
2
c
a
2
3ac c
解 2a 1c 1b 椭圆标准方程
2
2 12
x y+.
(2) AB x 轴时 2AB C3 合题意.
AB x 轴垂直时设直线 AB 方程 1y k x 11xy
22xy AB 方程代入椭圆方程 2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k
22
12 2
2 2 1
12
kk
x k
C 坐标
2
22
2 1 2 1 2
kk
kk
2
2 2 22
2 1 2 1 2 1 2
2 2 1
1 12
k
AB x x y y k x x k
.
0k 线段 AB 垂直分线 y 轴左准线行合题意.
0k 直线 C 方程
2
22
12
1 2 1 2
kkyxk k k
P 点坐标
2
2
522
12
k
kk
22
2
2 3 1 1
12
kk
PC
kk
. 高考真题专项分类(理科数学)第 14 页— 23 页
2PC AB
2 2 2
22
2 3 1 1 4 2 1
1212
k k k
kkk
解 1k .
时直线 AB 方程 1yx 1yx .
8.解析(1)已知点 ( 21) 椭圆 E .
22
2 2 2
211
2 2
ab
a b c
c
a
解 2a 2b .
椭圆方程
22
142
xy.
(2)直线l x 轴行时设直线 椭圆相交CD 两点.
果存定点Q 满足条件 | | | | 1| | | |
QC PC
QD PD| | | |QC QD .
点 y 轴设 点坐标 0(0 )y .
直线 轴垂直时设直线 椭圆相交 MN 两点.
(0 2)M(0 2)N
| | | |
| | | |
QM PM
QN PN 0
0
| 2 | 21
| 2 | 2 1
y
y
解 0 1y 0 2y .
存点 P 定点Q 满足条件Q 点坐标 (02)Q.
面证明:意直线 均 | | | |
| | | |
QA PA
QB PB .
直线l 斜率存时知结成立.
直线 斜率存时设直线 方程 1y kxAB 坐标分
1 1 2 2( )( )x y x y .
联立
22
142
1
xy
y kx
22(2 1) 4 2 0k x kx .
判式 2216 8(2 1) 0kk
1 2 1 222
422 1 2 1
kx x x xkk
. 高考真题专项分类(理科数学)第 15 页— 23 页
12
1 2 1 2
11 2xx kx x x x
.
易知点 B 关 y 轴称点坐标 22()B x y .
x
y
O
Q
P
A
B B'
12
1 1 2 2 1
221 1 1QA QB
yyk k k k kx x x x x
QA QBkk QAB 三点线.
1
2
||| | | | | |
| | | | | | | |
xQA QA PA
QB QB x PB .
存 P 定点 (02)Q | | | |
| | | |
QA PA
QB PB 恒成立.
9.解析(Ⅰ)题意
2 2 2
1
2 2
b
c
a
a b c
解 2a 2.
椭圆C 方程
2
2 12
x y.
设 M(Nx 0). 0m 11n .
直线 PA 方程 11 nyxm
Mx
1
m
n
( 0)1
mM n
.
(Ⅱ)点 B 点 A 关 x 轴称 ()B m n
设 ( 0)NNx Nx
1
m
n
.
存点 (0 )QQy OQM ONQ 等价 高考真题专项分类(理科数学)第 16 页— 23 页
存点 (0 )QQy OM
OQ
OQ
ON
Qy 满足 2
QMNy x x .
1M
mx n
1N
mx n
2
2 12
m n
2
2
2 21QMN
my x x n
.
2 2Qy .
y 轴存点Q OQM ONQ .
点 坐标(0 2) (0 2) .
10.解析(Ⅰ)题意知 0m 设直线 AB 方程 1y x bm .
2
2
1
12
y x bm
x y
消 y 22
2
1 1 2( ) 1 02
bx x bmm .
直线 1y x bm 椭圆
2
2 12
x y两交点
2
2
4Δ 2 2 0b m ①
设 M AB 中点
2
22
2()22
mb m bM mm
代入直线方程 1
2y mx解
2
2
2
2
mb m
.②
①② 6
3m 6
3m .
(Ⅱ)令 1 6 6( 0) (0 )22t m
42
2
2
3222| | 1 1
2
tt
AB t
t
高考真题专项分类(理科数学)第 17 页— 23 页
O 直线 AB 距离
2
2
1
2
1
t
d
t
.
设 ΔAOB 面积 ()St
221 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t ≤
仅 2 1
2t 时等号成立.
ΔAOB 面积值 2
2
.
11.解析(Ⅰ)知 5c 5
3
c
a 3a 2 2 2 4b a c
椭圆 C 标准方程
22
194
xy
(Ⅱ)设两切线 12ll
① 1lx 轴 1 lx轴时应 2 lx轴 2lx 轴知 ( 3 2)P
② 1l x 轴垂直行时 0 3x 设 斜率 k 0k 2l 斜率 1
k
方程 00()y y k x x 联立
2 2 2
0 0 0 0(9 4) 18( ) 9( ) 36 0k x y kx kx y kx
直线椭圆相切 0
2 2 2 2
0 0 0 09( ) (9 4)[( ) 4] 0y kx k k y kx
22
0036 4[( ) 4] 0k y kx
2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y
k 方程 2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y 根
理 方程 2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y 根
1()k k
2
0
2
0
4
9
y
x
22
0013xy中
点 P 轨迹方程 2213xy( 3x )
满足式综知:点 P 轨迹方程 . 高考真题专项分类(理科数学)第 18 页— 23 页
12.解析(Ⅰ)设圆半径 r P 点两段分 mn 2 4r
射影定理 2r mn 三角形面积
2 2 4 2 2114 4 4( ) 1622s m n r m n
4 2 2 4 2118 16 8 1622r m n r r
2mn时 s 取时 ( 2 2)P
∵ 2 2 23c c b aa 双曲线
∴ 2 2 23 2 1c b a ∴双曲线方程
2
2 12
yx
(Ⅱ)(Ⅰ)知 2C 焦点 ( 30)( 30)设 2C 方程
22
22
11
13
xy
bb
中 1 0b 2C 2
1 3b ∴ 2C 方程
22
163
xy
显然l 直线 0y 设l 方程 3x my点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y
22
3
163
x my
xy
22(2 ) 2 3 3 0m y my
∴ 1 2 1 222
2 3 322
my y y ymm
①
1 1 2 20 (22)(22)PA PB x y x y
2
1 2 1 2(1 ) [(32)2]( )726m y y m y y ②
①② 22 2 6 4 611 0mm解 12
3 62 2 622mm
直线l 方程 3 62 302xy 2 6 302xy
13.解析(Ⅰ)椭圆定义知
2a=|PF1|+|PF2|=
2 2 2 24 1 4 11 1 2 23 3 3 3
高考真题专项分类(理科数学)第 19 页— 23 页
2a .已知c=1
椭圆 C 离心率 12
22
ce a .
(Ⅱ)(Ⅰ)知椭圆 C 方程
2
2
x +y2=1.设点 Q 坐标(xy).
(ⅰ)直线 l x 轴垂直时直线 l 椭圆 C 交(01)(0-1)两点
时点 Q 坐标 3502 5
.
(ⅱ)直线 l x 轴垂直时设直线 l 方程 y=kx+2.
MN 直线 l
设点 MN 坐标分( 1x k +2)( 2x k +2)
|AM|2=(1+k2) 2
1x |AN|2=(1+k2) 2
2x .
|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2) 2x .
2 2 2
2 1 1
| | | | | |AQ AM AN
2 2 2 2 2 2
12
2 1 1
1 1 1k x k x k x
2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
22 1 1 x x x x
x x x x x
①
y=kx+2 代入 +y2=1 中
(2k2+1)x2+8kx+6=0②
Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0 k2> 3
2
②知 12xx = 2
8
21
k
k
12xx = 2
6
21k
代入①中化简 2
2
18
10 3x k ③
点 Q 直线 y=kx+2
2yk x
代入③中化简 10(y-2)2-3x2=18
③ k2> 知 0<x2< x∈ 6 02
∪ 60 2
高考真题专项分类(理科数学)第 20 页— 23 页
3502 5
满足 10(y-2)2-3x2=18 x∈ 6622
题意Q(xy)椭圆 C -1≤y≤1
10(y-2)2=18+3x2 (y-2)2∈ 9954
-1≤y≤1 y∈ 1 3 5225
点 Q 轨迹方程 10(y-2)2-3x2=18
中 x∈ y∈ 1 3 5225
14.解析(Ⅰ)解法 1 :设 M 坐标()xy已知
222 ( 5) 3x x y
易知圆 2C 点位直线 2x 右侧 20x
22( 5) 5x y x
化简曲线 1C 方程 2 20yx .
解法 2 :题设知曲线 意点 M 圆心 (50) 距离等直线 5x
距离曲线 焦点直线 准线抛物线方程
.
(Ⅱ)点 P 直线 4x 运动时P 坐标 0( 4 )y 0 3y P
圆 相切直线斜率 k 存 0条切线抛物线两交点切线方程
0 ( 4)y y k x 0kxy+y +4k0
0
2
543
1
k y k
k
整理 22
0072 18 9 0k y k y ①
设 P 作两条切线 PA PC 斜率分 12kk 方程①两实根
00
12
18 72 4
yykk ② 高考真题专项分类(理科数学)第 21 页— 23 页
1 0 1
2
4 0
20
k x y y k
yx
2
1 0 120 20( 4 ) 0k y y y k ③
设四点 ABCD 坐标分 1 2 3 4y y y y 12yy方程③两实根
01
12
1
20( 4 )ykyy k
④
理
02
34
2
20( 4 )ykyy k
⑤
②④⑤三式
0 1 0 2
1 2 3 4
12
400( 4 )( 4 )y k y ky y y y kk
2
0 1 2 0 1 2
12
400 4( ) 16y k k y k k
kk
22
0 0 1 2
12
400[ 16 ] 6400y y k k
kk
P 直线 4x 运动时四点 ABCD 坐标积定值 6400.
15.解析(Ⅰ)解:设 12( 0) ( 0)( 0)F c F c c题意 2 1 2| | | |PF F F
22( ) 2 a c b c
整理 22( ) 1 0 1c c c
a a a (舍) 1 2
c
a 1 2e
(Ⅱ)解:(Ⅰ)知 2 3 a c b c椭圆方程 2 2 23 4 12 x y c
直线 PF2 方程 3( )y x c
AB 两点坐标满足方程组
2 2 23 4 12
3( )
x y c
y x c
消 y 整理 25 8 0x cx
解 12
80 5x x c 高考真题专项分类(理科数学)第 22 页— 23 页
方程组解
2
1
1
2
8 0 5
3 3 3 5
xcx
ycyc
妨设 8 3 3( ) (0 3 )55A c c B c
设点 M 坐标 8 3 3() ( ) ( 3)55xy AM x cy cBM xy c
33( ) 3y x c c x y
8 3 3 8 3 3( )15 5 5 5AM y x y x
( 3 )BM x x 2AM BM
8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x
化简 218 16 3 15 0x xy
2218 15 3 10 5 03 1616 3
xxy c x y c xx
代入
0x
点 轨迹方程 218 16 3 15 0( 0)x xy x
16.解析(1)联立 2xy 2 xy 21 BA xx AB 中点 )2
52
1(Q设线
段 PQ 中点 M 坐标 )( yx
2
2
5
2
2
1 t
y
s
x
2
522
12 ytxs
点 P 曲线C ∴ 2)2
12(2
52 xy 化简 2 112 8y x x 点 P L
点点 A 点 B 重合 22
121 x
4
5
4
1 x ∴中点
轨迹方程 2 112 8y x x (
4
5
4
1 x ).
(2)曲线 2 2 2 51 2 4 025G x ax y y a 高考真题专项分类(理科数学)第 23 页— 23 页
圆 E:
25
49)2()( 22 yax 圆心坐标 )2(aE半径
5
7r
设圆G 直线l : 20xy相切点 ()TTT x y
| 2 2 | 7
52
a 72
5a .
点 ( 2)Na 直线l 垂直直线l 方程 2 1 ( )y x a 20xy .
20
20
xy
x y a
解
2T
ax 22T
ay .
72
5a 时 721210Tx .
∵ 12 分 D 点横坐标
∴切点TD min
72
5a .
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