高考数学复习 导数综合题经典百题

1
导数综合题典百题
1．已知函数 ( ) ln f x x a x  中 a 常数 1a  
（Ⅰ） 1a   时求 ( )f x 2[ee ]（e2718 28…）值域
（Ⅱ） ( ) e 1f x   意 2[ee ]x 恒成立求实数 a 取值范围
2 已知函数 1ln)( R axxaxf
（I）曲线 )(xfy  点 ))1(1( f 处切线直线 02  yx 垂直求 a 值
（II）求函数 )(xf 单调区间
（III） a1 2x 时证明： 52)1(  xxf
3 已知 3 2 2( ) 6 9f x x ax a x   （ aR ）．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 单调递减区间
（Ⅱ） 0a  时  03x  ( ) 4f x  恒成立求实数 a 取值范围．
4．已知函数 )()1(3
1)( 223 R babxaaxxxf
（I） x1 )(xf 极值点求 a 值
（II） )(xfy  图象点（1 )1(f ）处切线方程 03  yx
（i）求 )(xf 区间[24]值
（ii）求函数 )(])2()(＇[)( R  memxmxfxG x 单调区间
5．已知函数 ln)( x
axxf 
（I） a<0 时求函数 )(xf 单调区间
（II）函数 f（x）[1e]值 2
3 求 a 值
6．已知函数  bamxbaxmxxf )1(3)( 22
3
R
（1）求函数 )(xf 导函数 )(xf 
（2） 1m 时函数 )(xf R 增函数求 baz  值
（3） 21  ba 时函数 )(xf （2+∞）存单调递增区间求 m 取值范围
7．已知函数 ( ) 2ln pf x px xx
  2
（1） 2p  求曲线 ( ) (1 (1))f x f点 处切线
（2）函数 ( )f x 定义域增函数求正实数 p 取值范围
（3）设函数 2( ) [1 ]eg x ex
 少存点 0x 0 0( ) ( )f x g x 成立求实数 p 取值范
围
8设函数 21( ) ( ) 2ln ( ) f x p x x g x xx
   
（I）直线 l 函数 )()( xgxf 图象相切函数 )(xf 图象相切点 (10) 求实数 p 值
（II） )(xf 定义域单调函数求实数 p 取值范围
9 已知函数 常数中 aaaxxgxxxf a )10(log)(22
1)( 2  果 )()()( xgxfxh 
定义域增函数 ( )h x 存零点（ ( ) ( )h x h x 导函数）
（I）求 a 值
（ II ） 设 ( ( )) ( ( ))( )A m g m B n g n m n 函 数 ( )y g x 图 象 两 点
0
( ) ( )( ) g n g mg x n m
   0( ( ) ( ) ) g x g x m x n   导函数 证明
10 设函数 2( ) lnf x x m x 2( )h x x x a  
（Ⅰ） a0 时 ( ) ( )f x h x （1+∞）恒成立求实数 m 取值范围
（Ⅱ） m2 时函数 ( ) ( ) ( )k x f x h x  ［13］恰两零点求实数 a 取值范围
（Ⅲ）否存实数 m函数 ( )f x 函数 ( )h x 公定义域具相单调性？存求出 m
值存说明理．
11 已知函数 )()2()2](2[)33()( 2 ntfmfttexxxf x  设定义域
（I）试确定 t 取值范围函数 ]2[)( txf  单调函数
（II）求证： mn 
（III）求证：意 20
0 )1(3
2)()2(2 0
 t
e
xftxt x
满足总存 确定样 0x
数
12 已知函数 xaxxf ln)( 2  ]21( 增函数 xaxxg )( (01)减函数
（1）求 )(xf )(xg 表达式
（2）求证 0x 时方程 2)()(  xgxf 唯解3
(3） 1b 时 2
12)(
x
bxxf  x ∈ ]10( 恒成立求 b 取值范围
13 已知函数 Rxff 0)(＇0)1(＇  恒成立
（1）求 dca 值
（2） 0)()(＇4
1
24
3)( 2  xhxfbbxxxh 解等式
（3）否存实数 m函数 ]2[)(＇)(  mmmxxfxg 区间 值－5？
存请求出实数 m 值存请说明理
14 已知函数 3 2( ) 1f x x ax x    aR ．
（Ⅰ）讨函数 ( )f x 单调区间
（Ⅱ）设函数 ( )f x 区间 2 1
3 3
    
减函数求 a 取值范围．
15 设函数 ln( ) ln ln( 1)1
xf x x xx
   
．
（Ⅰ）求 f(x)单调区间极值
（Ⅱ）否存实数 a关 x 等式 ( )f x a≥ 解集（0+  ）？存求 a 取值范围
存试说明理．
16 某三家工厂分位矩形 ABCD 顶点 AB CD 中点 P 处已知 AB20kmCB 10km
处理三家工厂污水现矩形 ABCD 区域（含边界） AB 等距离点 O 处建造污水
处理厂铺设排污道 AOBOOP 设排污道
总长 y km．
（Ⅰ）列求写出函数关系式：
①设∠BAO (rad) y 表示成 函数关系式
②设 OP x (km) y 表示成 x x 函数关系式．
（Ⅱ）请选（Ⅰ）中函数关系式确定污水处理厂位置三条排污道总长度短．
17已知函数 )(ln)( Rax
axxf 
（Ⅰ）求 )(xf 极值
（Ⅱ）函数 )(xf 图象函数 )(xg 1 图象区间 ]0( 2e 公点求实数 a 取值范围
C
B
P
O
A
D4
18已知函数 )1ln()ln(1
)ln()(  xaxx
axxf )0( Raa 
（Ⅰ）求函数 ( )f x 定义域
（Ⅱ）求函数 ( )f x 单调区间
（Ⅲ） a >0 时存 x ( ) ln(2 )f x a 成立求 a 取值范围
19某种商品成 5 元 件开始 8 元件销售销售量 50 件获利润商家先采
取提价降价两种措施进行试销试销发现：销售价涨 1 元天销售量减少 10 件降价
日销售量 Q（件）实际销售价 x（元）满足关系：
239(2 29 107)x x  (5 7)x 
198 6
5
x
x

 (7 8)x 
（1）求总利润（利润＝销售额－成）y（元）销售价 x（件）函数关系式
（2）试问：实际销售价少元时总利润
20已知函数
2 1( ) xg x x c
 
图关原点成中心称 设函数 2 1( ) ( )ln
x cxf x g x x
  ．
(1)求 ( )f x 单调区间
(2)已知 x me x 意 (1 )x  恒成立．求实数 m 取值范围(中 e 然数底数)．
21设函数 xbxxf ln)1()( 2  中b 常数．
（Ⅰ）
2
1b 时判断函数 ( )f x 定义域单调性
（Ⅱ）函数 ( )f x 极值点求b 取值范围 ( )f x 极值点
（Ⅲ） 1b   试利（II）求证：n 3 时恒  2
1 1ln 1 lnn nn n
   
22已知函数 2
2
1( ) ln( 1) ( ) 1f x x g x ax
   
（1） 求 ( )g x ( 2 ( 2))P g 处切线方程 l
（2） ( )f x 极值点直线l 距离 1求 a 值
（3） 求方程 ( ) ( )f x g x 根数
23某建筑公司块宽矩形面(图示)进行开发建设阴影 部分
公设施建设开发求栏栅隔开(栏栅求直线)公 设
施边界曲线 2( ) 1 ( 0)f x ax a   部分栏栅矩形区域边界交点 MN交曲线点 P设
( ( ))P t f t
（1） OMN （O 坐标原点）面积 S 表示成t 函数 ( )S t
O x
y
M
N
P
Q＝5
（2） 1
2t  处 ( )S t 取值求时 a 值 ( )S t 值
24．已知定义域 R 函数 1
2( ) 2
x
x
bf x a
  
奇函数．
(1) 求 a b 值
(2)意 t R 等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立 求 k 取值范围
25．已知函数 ( )f x 意实数 x 均 ( ) ( 2)f x kf x  中常数 k 负数 ( )f x 区间 02 表
达式 ( ) ( 2)f x x x 
（1）求 ( 1)f  (25)f 值
（2）写出 ( )f x  33 表达式讨函数 ( )f x  33 单调性
（3）求出 ( )f x  33 值值求出相应变量取值
26．已知函数 3( ) ( )f x x x a  （ 0x a R）
求函数 )(xf 单调区间
求函数 )(xf  18 值值．
27．已知函数  xf 定义 R 奇函数 0x 时     xxxxf 22 cos2cossin 
求 0x 时  xf 表达式
关 x 方程   oaxf  解求实数 a 范围
28．已知函数  Nxxfy )( 满足：①意 a b N )()()( bafbbfaaf  )(abf
②意 n∈N * [ ( )] 3f f n n ．
（Ⅰ）试证明： ( )f x N 单调增函数
（Ⅱ）求 (1) (6) (28)f f f 
（Ⅲ）令 (3 )n
na f n N  试证明：
1 2
1 1 1 1 4 2 4n
n
n a a a
     
29．已知函数 axxxaxxf  23)1ln()( ．
（Ⅰ）
3
2x )(xfy  极值点求实数 a 值
（Ⅱ） )(xfy  )1[  增函数求实数 a 取值范围
6
（Ⅲ） 1a 时方程
x
bxxf  3)1()1( 实根求实数b 取值范围．
30．已知函数 Rxxfy  )( 满足 )()1( xafxf  a 0 实常数
（1） 10  x 时 )1()( xxxf  求函数  10)(  xxfy 值域
（2）（1）条件求函数   Nnnnxxfy  1)( 解析式
（3） 10  x 时 xxf 3)(  试研究函数 y f (x) 区间  0 否单调函数？
求出 a 取值范围请说明理
31．已知函数   3 2f x x ax bx c      0 减函数 01 增函数函数  f x R
三零点 1 中零点．
（1）求b 值
（2）求  2f 取值范围
（3）试探究直线 1y x  函数  y f x 图交点数情况说明理．
32．定义 R 函 babxaxxxf ()( 23  常数） x－1 处取极值 )(xf 图
  1 1P f 数处切线行直线 8y x
（1）求函数  f x 解析式极值
（2）设 0k  求等式  f x kx 解集
（3）意     112 sin cos 27R f f     求证：
33．已知函数 )()1ln()( Rxxexf x  列性质：
)(][ 0 baxbax  存 )()()(
0xfab
afbf 
 成立
（1）利性质证明 0x 唯
（2）设 ABC 函数 )(xf 图象三点试判断△ABC 形状说明理
34．已知函数 1ln)()()(  xxgRaaxxf
（1）函数 xxfxxgxh 2)(21)()(  存单调递减区间求 a 取值范围
（2） a>0 时试讨两函数图象交点数．
35．设函数 f(x)定义域 D 关原点称0∈D存常数 a>0 f(a)1
1 2
1 2
1 2
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f xf x x f x f x
  
（1）写出 f(x)函数解析式说明符合题设条件7
（2）判断证明函数 f(x)奇偶性
（3）存正常数 T等式 f(x)f(x+T)者 f(x)f(xT) x∈D 成立称 f(x)周期函数T
周期试问 f(x)周期函数？求出周期 T说明理
36 设 意 实 数 x y 函 数 ( )f x ( )g x 满 足 1( 1) ( )3f x f x 
(0) 3f  ( ) ( ) 2g x y g x y   (5) 13g  *n N
（Ⅰ）求数列{ ( )}f n { ( )}g n 通项公式
（Ⅱ）设 [ ( )]2n
nc g f n 求数列{ }nc 前项 nS
（Ⅲ）设 ( ) 3nF n S n  存整数 m M 意正整数 n 等式 ( )m F n M  恒成立求 M m
值
37．定义区间 D 函数 ( )f x 存闭区间[ ]a b D 常数 c 意 1 [ ]x a b
1( )f x c 意 2x ∈D 2 [ ]x a b 时 2( )f x c 恒成立称函数 ( )f x 区间 D 底
型函数
（Ⅰ）判断函数 1( ) | 1| | 2 |f x x x    2 ( ) | 2 |f x x x   否 R 底型函数？ 说明
理
（Ⅱ）设 ( )f x （Ⅰ）中底型函数k 非零常数等式| | | | | | ( )t k t k k f x    
切t R 恒成立求实数 x 取值范围
（Ⅲ）函数 2( ) 2g x mx x x n    区间[ 2 )  底型函数求 m n 值

38．设函数 f(x)定义域 R|f(x)|≤|x|意实数 x 均成立称函数 f(x) 函数
（1）试判断函数 )(1 xf xxsin )(2 xf
1

x
x
e
e 中  函数说明理
（2）求证： a>1函数 f(x)ln(x2+a)lna  函数
39．集合 A 具备列性质函数 )(xf 组成：
(1) 函数 )(xf 定义域[0 )
(2) 函数 )(xf 值域[ 24)
(3) 函数 )(xf [0 ) 增函数．试分探究列两题：
（Ⅰ）判断函数 1( ) 2( 0)f x x x   2
1( ) 4 6 ( ) ( 0)2
xf x x    否属集合 A？简说明理．8
（Ⅱ）（I）中认属集合 A 函数 )(xf 等式 )1(2)2()(  xfxfxf 否意
0x 总成立？成立什？成立请证明结．
40．已知 ( )f x 定义 0∞ 函数满足 ( ) 2 ( 1)f x f x  ．设   1nI n n  nN ．  01x
时 2( )f x x x  ．分求 1x I 2x I   1nx I n n   时 ( )f x 表达式 1( )f x 2 ( )f x ( )nf x ．
41 已知函数  axxaxf (3)( 3 R 0a ）
（I）求 )(xf 单调区间
（II）曲线 )(()( 33 afaxfy 点 ）处切线恒 y 轴定点求定点坐标
（III）
30 1
axa  曲线 ))(()( 11 xfxxfy 点 处切线 x 轴交点（ 02x ）试较
21 xx 加证明
42 已知函数 f(x)
2 1ln [ 2]2
a x x a R xx
      
(Ⅰ) 1[ 2 )4a  时 求 ( )f x 值
(Ⅱ) 设 2( ) [ ( ) ln ]g x f x x x   k ( )g x 图象两点连线斜率否存实数 a 1k  恒成
立存求 a 取值范围存请说明理
43已知函数 f（ｘ）＝  
x
x 1ln1 
(1)求函数定义域
(2)确定函数 f（ｘ）定义域单调性证明结
(3)ｘ>０时f（ｘ）＞
1x
k 恒成立 求正整数 k 值
44 已知函数 ( ) logaf x x ( ) 2log (2 2)( 0 1 )ag x x t a a t R      图象 2x  处切线互相
行
(Ⅰ) 求t 值
（Ⅱ）设 )()()( xfxgxF   14x 时 ( ) 2F x  恒成立求 a 取值范围
45 已知函数 bx
xxaxf 
1
2)1ln()( 图象直线 02  yx 相切点 )0( c
（1）求 a 值
（2）求函数 )(xf 单调区间极值
46 已知函数． 3( ) 2f x x ax  2( )g x bx cx  图象点 P(20)点 P 处公切线．
(1)求 f(x) g(x)表达式点 P 处公切线方程
(2)设 ( )( ) ln( 1)8
mg xF x xx
   中 0m  求 F(x)单调区间．
47 已知函数 xxf )( )1ln()( xxg  1)( x
xxh 
（1）证明： 0x 时恒 )()( xgxf 
（2） 0x 时等式 )0()(  kxk
kxxg 恒成立求实数 k 取值范围
48 已知函数 f(x)x3＋bx2＋cx＋d 两极值点 x11 x22直线 y6x＋1 曲线 yf(x)相切 P 点
(1)求 b c 郝进制作 (2)求函数 yf(x)解析式9
(3) d 整数时 求 P 点 yf(x)相切异 P 点直线方程
49 已知函数 f(x)x3－3ax(a∈R)．
(I) al 时求 f(x)极值
(Ⅱ)直线菇 x+y+m0 意 m∈R 曲线 yf(x)切线求 a 取值范围
(Ⅲ)设 g(x)|f(x)|x∈[－l1]求 g(x)值 F(a)解析式．
50 已 知 函 数 | | 1y x  2 2 2y x x t    1 1( )2
ty x x
  ( 0)x  值 恰 方 程
3 2 0x ax bx c    三根中 0 1t  ．
（Ⅰ）求证： 2 2 3a b 
（Ⅱ）设 1( )x M 2( )x N 函数 3 2( )f x x ax bx c    两极值点．
① 1 2
2| | 3x x  求函数 ( )f x 解析式②求| |M N 取值范围．
51已知函数 f(x)
3
1 x3+
2
1 ax2+ax2(a∈R)
(1)函数 f(x)区间(∞+∞)单调增函数求实数 a 取值范围
(2)设 A(x1f(x1))B(x2f(x2))函数 f(x)两极值点直线 AB 斜率
6
5 求实数 a 取值范围
52 已 知 函 数 )(32)( 23 Rcbacxbxaxxf  图 象 关 原 点 称 1x 时
3
2)( 取极值－xf ．
（1）求 abc 值
（2）  11x 时图象否存两点两点处切线互相垂直？证明结．
53 x 三次函数 f（x） x3 +（m2－4m + 2）x + m3－6m2 + 9m－1．
（Ⅰ） f（x）极值求 m 取值范围
（Ⅱ） m （1）取值范围变化时求 f（x）极值极值 g（m）求 g（m）
值值．
54 已知函数 36)2(2
3)( 23  xxaaxxf
（I） a > 2 时求 f(x)极值
（II）讨方程 f(x) 0 根数
55 设函数 )1)()(1()(  aaxxxxf
（1）求导数 )(＇ xf 证明 )(xf 两极值点
（2）（1）中 21 xx 等式 0)()( 21  xfxf 成立求 a 取值范围
56 已知 Rt  函数 2
1)( 3 txxxf 
（Ⅰ） t1 时求函数 )(xfy  区间[02]值10
（Ⅱ） )(xf 区间[－22]单调函数求 t 取值范围
（Ⅲ））否存常数 t意 6|)(|]22[  xfx 恒成立存请求出 t存请说
明理
57 设 x1 )0()()( 223
212  axabxaxxfxxx 函数 两极值点
（1） 21 21  xx 求函数 f(x)解析式
（2） bxx 求22|||| 21  值
（3） )()()( 1221 xxaxfxgaxxxx  函数 求证： )23(12
1|)(| 2 aaxg
58 已知函数 1163)( 23  axxaxxf 1263)( 2  xxxg 直线 9  kxym 0)1( f ．
（Ⅰ）求 a 值
（Ⅱ）否存 k 值直线 m 曲线 )(xfy  切线 )(xgy  切线果存求出 k
值果存说明理．
（Ⅲ）果 2x x )(9)( xgkxxf  成立求 k 取值范围．
59 设函数 3 2( )f x x ax bx   ( 0)x  图象直线 4y  相切 (14)M ．
（Ⅰ）求 3 2( )f x x ax bx   区间 (04] 值值
（Ⅱ）否存两等正数 s t ( )s t [ ]x s t 时函数 3 2( )f x x ax bx   值域[ ]s t
存求出样正数 s t 存请说明理
（Ⅲ）设存两等正数 s t ( )s t [ ]x s t 时函数 3 2( )f x x ax bx   值域[ ]ks kt 求
正数 k 取值范围．
60 已知函数 f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c y 轴截距－5区间[01]单调递增[12]单调递
减 x＝0x＝2 时取极值．
（Ⅰ）求函数 f(x)解析式
（Ⅱ）否找函数 f(x)垂直 x 轴称轴证明结
（Ⅲ）设关 x 方程 f(x)＝λ2x2－5 恰三实根实数λ取值范围集合 A两非零实根
x1x2．试问：否存实数 m等式 m2＋tm＋2≤|x1－x2|意
t∈[－33] λ∈A 恒成立？存求 m 取值范围存请说明理．
61 已知 f(x)x3+bx2+cx+2
(Ⅰ) f(x) x1 时极值1求 bc 值
(Ⅱ) b 非零实数时证明 f(x)图存直线(b2c)x+y+10 行切线
(Ⅲ)记函数|f′(x)|(1≤x≤1)值 M求证：M≥
2
3
62 设函数 ( ) | 1| | 1|f x x ax + + + 已知 ( 1) (1)f f 1 1( ) ( )f fa a
（a∈R a≠0）函数11
3 2( )g x ax bx cx   （b∈Rc 正整数）两极值点该函数图象取极值两点 AB
坐标原点 O 直线
（1）试求 ab 值
（2） 0x  时函数 ( )g x 图象恒函数 ( )f x 图象方求正整数 c 值
63 已知函数 3 2( ) 3 8f x x bx cx    3 2( )g x x bx cx   （中 3 02 b   ） ( ) ( ) 5 ( )F x f x g x 
(1) ( ) 0f g m   ．
（1）求 m 取值范围
（2）方程 ( ) 0F x  实根？什？
64 已知函数 f(x) 3 2 ( Rx bx cx d b c d    常数)导函数 f′(x)3x x42 
f(1)7设 F(x)f(x)ax 2 (a∈R)
(Ⅰ) a<2 时求 F(x)极值
(Ⅱ)意 x∈ 0 F(x)≥0 成立求 a 取值范围证明等式
6
139132

aaa
65已知二次函数 ( )f x xx  2 等式 xxfxf 2)()(  解集 C
（1）求集合 C
（2）方程 5)( 1  xx aaf )10(  aa C 解求实数 a 取值范围
（3）记 )(xf C 值域 A ]10[23)( 3  xttxxxg 值域 B BA  求实数t 取值
范围．
66设函数 3 2( ) 2 4f x ax bx cx d    （ a b c d R ）图象关原点称 1x  时 f(x)取极
值 1
3

①求 a b c d 值
②  11x  时图象否存两点两点处切线互相垂直？试证明结
③  1 2 11x x   求证： 1 2
4( ) ( ) 3f x f x 
67已知函数 )2()(3
1)(2
)1(
3
1)( 23  区间 xfkxxgxkxxf 增函数
（1）求 k 取值范围
（2）函数 )()( xgxf 图象三交点求实数 k 取值范围
68已知函数 ）（）（ 023  acxbxaxxf 定义 R 奇函数 1x 时函数取极值 1．
(1)求 cba 值
(2)  1121 xx 求证： 221  ）（）（ xfxf 12
(3)求证：曲线 )(xfy  存两点 BA BA 两点切线垂直直线 AB ．
69 已知函数 )0()(ln)(  ax
axgxxf 设 )()()( xgxfxF 
（Ⅰ）求 F（x）单调区间
（Ⅱ）  )30)((  xxFy 图象意点 )( 00 yxP 切点切线斜率
2
1k 恒成立求实
数 a 值
（Ⅲ）否存实数 m 函数 1)1
2( 2  mx
agy 图象 )1( 2xfy  图象恰四
交点？存求出 m 取值范围存说名理
70 定义 )0()1()(  yxxyxF y
（1）令函数 ))94(log1()( 2
2  xxFxf 图象曲线 C1曲线 C1 y 轴交点 A（0m）坐
标原点 O 作曲线 C1 切线切点 B（nt）（n>0）设曲线 C1 点 AB 间曲线段线段 OA
OB 围成图形面积 S求 S 值
（2） )()(* xyFyxFyxNyx  证明时
（3）令函数 ))1(log1()( 23
2  bxaxxFxg 图象曲线 C2 存实数 b 曲线 C2
)14( 00  xx 处斜率－8 切线求实数 a 取值范围
71 （1）求证： 1a  时等式
2
( 1) 2
x
n ax ee x   n R 恒成立
（2）（01）中常数 a 问否存 0 0x 
0
0
2
0
0 1 2
x
x ax ee x   成立？
果存求出符合条件 0x 否说明理
72 函数 2ln  xy 图象量 )21(a 移函数 )(xf 图象
（1） 0x 证明：
2
2)( 
x
xxf
（2）等式 32)(2
1 222  bmmxfx ]11[x ]11[b 恒成立求实数 m 取值范围
73 已 知 函 数 | | 1y x  2 2 2y x x t    1 1( )2
ty x x
  ( 0)x  值 恰 方 程
3 2 0x ax bx c    三根中 0 1t  ．
（1）求证： 2 2 3a b 
（2）设 1( )x M 2( )x N 函数 3 2( )f x x ax bx c    两极值点．
① 1 2
2| | 3x x  求函数 ( )f x 解析式 ②求| |M N 取值范围．13
74 已知函数
bx
axxf  2)( 1x 处取极值 2
（Ⅰ）求函数 )(xf 解析式
（Ⅱ）函数 )(xf 区间（m2m＋1）增函数求实数 m 取值范围
（Ⅲ） P（x0y0）
bx
axxf  2)( 图象意点直线 l
bx
axxf  2)( 图象相切点 P
求直线 l 斜率取值范围
75 已知：函数 xmxxf  3)( 图象 )1( nN 切点切线倾斜角
4
 ．
（Ⅰ）求 m n 值
（Ⅱ）否存正整数 k 等式 1993)(  kxf ]31[x 恒成立？果存
请求出正整数 k 果存请说明理
（Ⅲ）求证： )2
1(2|)(cos)(sin| ttfxfxf  （ Rx  0t ）．
76 设 M 满足列条件函数 )(xf 构成集合：①方程 )(xf 0 x 实数根②
函数 )(xf 导数 )(xf  满足 1)(0  xf
（I）判断函数
4
sin
2)( xxxf  否集合 M 中元素说明理
（II）集合 M 中元素 )(xf 具面性质： )(xf 定义域 D意
[mn]  D存 0x [mn]等式 )()()()( 0xfmnmfnf  成立
试性质证明：方程 0)(  xxf 实数根
（III）设 1x 方程 0)(  xxf 实数根求证： )(xf 定义域中意
2|)()(|1||1|| 23131232  xfxfxxxxxx 时
77 函数 2 2( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R    1x  处取极值
（I）求 a b 关系式（ a 表示 b ）求 ( )f x 单调区间
（II）否存实数 m意 (01)a 1 2 [02]x x  总 1 2| ( ) ( ) |f x f x 
2 1[( 2) ] 1m a m e   恒成立存求出 m 范围存请说明理．
78 已知二次函数 2( )f x ax bx c   直线 1 2l x  直线 2
2 8l y t t   （中 0 2t  t 常数）
直线l 1l 2 函数  f x 图象 2l y 轴函数  f x 图象围成封闭图形图阴影示
（Ⅰ）求 a b c 值
（Ⅱ）求阴影面积 S 关t 函数  S t 解析式
（Ⅲ） ln6)( mxxg  问否存实数 m  y f x 图象  y g x 图象两
交点？存求出 m 值存说明理14
79 已知函数 2
3
)( a
xxf  图象斜率 3 两条切线间距离
5
102 f(x)导数 )(＇ xf 函数
3)(＇)()( 
x
xbfxfxg
（1）函数 g(x) x1 极值求 g(x)解析式
（2）函数 g(x)[11]增函数 )(42 xgmbb  [11]成立求实数 m 取值范围
80 设关 x 方程 012  mxx 两实根αβ   定义函数
1
2)( 2 

x
mxxf
（I）求 )(f 值
（II）判断 )()( 区间xf 单调性加证明
（III）  正实数①试较 )()()( 
 fff 

②证明 |||)()(| 


 

 ff
81 设直线 )()( xFySxgyl  曲线 直线 l 曲线 S 时满足列两条件：
①直线 l 曲线 S 相切少两切点
② 意 x∈R )()( xFxg  称直线 l 曲线 S 夹线．
（1）已知函数 ( ) 2sinf x x x  ．求证： 2y x  曲线 ( )f x 夹线．
（2）观察图：
根图试推测曲线 )0(sin  nxnmxyS 夹线方程出证明．
82 存实常数 k b 函数 ( )f x ( )g x 定义域意实数 x 分满足： ( )f x kx b 
( )g x kx b  称直线 l y kx b  ( )f x ( )g x 隔离直线．已知 2( )h x x ( ) 2 lnx e x  （15
中 e 然数底数）．
(Ⅰ)求 ( ) ( ) ( )F x h x x  极值
(Ⅱ) 函数 ( )h x ( )x 否存隔离直线？存求出隔离直线方程存请说明理．
83已知函数 mxxxf  )1ln()(
（1）函数 )(xf )0(  单调递减求实数 m 取值范围
（2）求函数 )(xf 极值
（3）求证： )(2ln)1(
1
2
1
1
1 *Nnnnnn
 
84设 xxx
axf ln)(  3)( 23  xxxg
（1） 2a 时求曲线 )(xfy  1x 处切线方程
（2）果存 1x ]20[2 x Mxgxg  )()( 21 成立求满足述条件整数 M
（3）果意 s ]22
1[t )()( tgsf  成立求实数 a 取值范围
85已知函数 2ln)( xxxf 
（1）函数 axxfxg  )()( 定义域增函数求实数 a 取值范围
（2）（1）条件 1a xx aeexh 3)( 3  ]2ln0[x 求 )(xh 极值
（3）设 )(3)(2)( 2 RkkxxxfxF  函数 )(xF 存两零点 m )0( nmn  nmx 02
问：函数 )(xF 点 ))(( 00 xFx 处切线否行 x 轴？求出该切线方程请说明理
86已知函数 )sin(3)( 3 xaxxxf   中 a R
（1） 0a 时求 )1(f 值判断函数 )(xf 奇偶性
（2） 0a 时函数 )(xfy  图 1x 处切线坐标原点求  值
（3） 0 时求函数 )(xf ]20[ 值
答案解析
1解：（Ⅰ） 1a   时 ( ) ln f x x x 
1( ) 1 f x x
   ………………2 分16
令 ( ) 0f x  11 0x
  解 1x  函数 ( )f x (1 ) 增函数
函数 ( )f x 2[ee ]增函数 ………………4 分
(e) e 1f   2 2(e ) e 2f   函数 ( )f x 2[ee ] 值域 2[e 1e 2] 
………………6 分
（Ⅱ） ( ) 1 af x x
   令 ( ) 0f x  1 0a
x
  x a 
(0 )x a  时 ( ) 0f x  函数 ( )f x (0 )a 单调递减
( )x a   时 ( ) 0f x  函数 ( )f x ( )a  单调递增 ……………7 分
1 ea   e 1a    易函数 ( )f x 2[ee ]增函数
时 2
max( ) (e )f x f ( ) e 1f x   2[ee ]x 恒成立需 2(e ) e 1f  
2e 2 e 1a  
2e e 1
2a   

2 2e e 1 (e 3e 1)( e) 02 2
        
2e e 1 e2
     时解
………………8 分
2e ea   2e ea    易知函数 ( )f x [e ]a 减函数 2[ e ]a 增函数
( ) e 1f x   2[ee ]x 恒成立需 2
(e) e 1
(e ) e 1
f
f
 
  
2
1
e e 1
2
a
a
    


2 2e e 1 e e 1( 1) 02 2
        
2 2
2e e 1 e e 1( e ) 02 2
       

2
2 e e 1e 2a      ………………10 分
2ea  2ea   易函数 ( )f x 2[ee ]减函数
时 max( ) (e)f x f ( ) e 1f x   2[ee ]x 恒成立需 (e) e 1f  
e e 1a   1a   2ea   2ea   ……………12 分
综合述实数 a 取值范围
2e e 1( ]2
   ……………13 分
2 解：（I）函数 }0|{)( xxxf 定义域
1)( 2xx
axf  ……………………………………………………………………2 分
曲线 ))1(1()( fxfy 点 处切线直线 02  yx 垂直
21)1(  af
a1………………………………………………………………………………4 分[源学科网][源学_科_网 Z_X_X_K]17
（II） 1)( 2x
axxf 
0a 时 0)()0(  xfx 定义域恒成立
)0()( xf 增函数
)0(10)(0 
axxfa 时
)(0)()10( xfxfax  时 单调递增
)(0)()1( xfxfax  时 单调递减…………………………8 分
（III） a1 时 )2[1
1)1ln()1(  xxxxf
令 521
1)1ln()(  xxxxg

)1(
)2)(12(2
)1(
1
1
1)( 22 



x
xx
xxxg ………………10 分
)2()(0)(2  时 xgxxgx 单调递减
0)()(0)2(  xgxgg 时
0521
1)1ln(  xxx
a1 52)1(2  xxfx 时 成立……………………13 分
3 解：（Ⅰ） 2 2＇( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a      
（1） 3a a 0a  时 2＇( ) 3 0f x x  成立．
（2） 3a a 0a  时单调减区间 (3 )a a ．
（3） 3a a 0a  时单调减区间 ( 3 )a a ．5 分
（Ⅱ） 2 2＇( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a     
( )f x (0 )a 递增 ( 3 )a a 递减 (3 )a  递增．
（1） 3a  时函数 ( )f x [03]递增
函数 ( )f x [03]值 (3)f
 03x  ( ) 4f x  恒成立需 (3) 4
3
f
a

 
解 a ．
（2）1 3a  时 3 3a a  时函数 ( )f x [0 ]a 递增[ 3]a 递减函数 ( )f x
[03]值 ( )f a 18
 03x  ( ) 4f x  恒成立需 ( ) 4
1 3
f a
a

  
解 1a  ．
（3） 1a  时3 3a 时函数 ( )f x [ 3 ]a a 递减[3 3]a 递增
函数 ( )f x [03]值 ( )f a 者 (3)f ．
2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a   
① 30 4a  时 ( ) (3)f a f
 03x  ( ) 4f x  恒成立需
(3) 4
30 4
f
a
  
解 2 3 3[1 ]9 4a  ．
② 3 14 a  时 ( ) (3)f a f
 03x  ( ) 4f x  恒成立需
( ) 4
3 14
f a
a
  
解 3( 1)4a ．
综述 2 3[1 1]9a  ． 14 分
4．解：（1） 12)( 22  aaxxxf
1x 极值点
0)1(  f 022  aa
0 x 2…………………………………………………………3 分
（2） ))1(1( f 03  yx 2)1(  f
∵（12） )(xfy  baa  13
12 2
11211)1( 2  aakf
3
810122  baaa
2)(3
8
3
1)( 222 xxxfxxxf 
（i） 0)(  xf 知 x0 x2 )(xf 极值点[源ZxxkCom]
8)4(4)2(3
4)2(3
8)0(  ffff19
)(xf 区间[－24]值 8…………………………8 分
（ii） xemmxxxG  )()( 2
])2([)()2()( 22 xmxemmxxeemxxG xxx  
令 0)(  xG mxx  20
m2 时 0)(  xG 时 )(xG )(  单调递减
2m 时：
x (－∞2－
m) 2－m （2－m0） 0 （0+∞）
G′（x） － 0 + 0 －
G（x） 减 增 减
时 G（x）（－∞2－m）（0+∞）单调递减（2－m0）单调递增
2m 时：
x （－∞0） 0 （02－m） 2－m （2－m+∞）
G′（x） － 0 + 0 －
G（x） 减 增 减
时 G（x）（－∞0）（2－m+∞）单调递减（02－m）单调递增综述： m2 时
G（x）（－∞+∞）单调递减
2m 时G（x）（－∞2－m）（0+∞）单调递减（2－m0）单调递增
2m 时G（x）（－∞0）（2－m+∞）单调递减（02－m）单调递增
5．解：函数
x
axxf  ln)( 定义域 )0(  …………1 分
22
1)(＇
x
ax
x
a
xxf  …………3 分
（1） 0)(＇0  xfa
函数定义域 )0(  单调递增 …………5 分
（II）[1e]发情况讨：
① a<1 时 0)(＇ xf 函数 )(xf 单调递增
值 1)1(  af
函数[1e]值
2
3 相矛盾 …………6 分
② a1 时函数  exf 1)( 单调递增
值 1)1( f20
样值
2
3 相矛盾 …………7 分
③ ea 1 时函数  axf 1)( 0)(＇ xf 单调递减
 ea 0)(＇ xf 单调递增
函数 )(xf 满足值 1ln)(  aaf
2
31ln eaa  …………9 分
④ ae 时函数   0)(＇1)( xfexf 单调递减
值 2)( ef 值
2
3 相矛盾 …………10 分
⑤ a>e 时显然函数 ]1[)( exf 单调递减
值 21)( 
e
aef
值
2
3 相矛盾 …………12 分
综述a 值 e …………13 分
6．（I）解： 2 2( ) 2 (1 )f x mx ax b     ……3 分
（II）函数 ( )f x R 增函数
( ) 0f x  R 恒成立
2 2 2 24 4(1 ) 0 1a b a b      
设 cos ( 0 1)sin
a r rb r
 
   
参数
)4sin(2)sin(cos   rrbaz
1)4sin(   r1 时 baz  取值 2
（圆面意义解 baz  值 2 ）…………………………8 分
（Ⅲ）① 0m 时 12)( 2  xmxmf 开口抛物线显然 )(xf  （2+∞）存子区
间 0)(  xf m 取值范围（0+∞）
② m0 时显然成立
③ 0m 时 12)( 2  xmxmf 开口抛物线 )(xf  （2+∞）存子区间21
0)(  xf 应满足











0)1(
21
0
mf
m
m










0)2(
21
0
f
m
m
解 02
1  m
2
1
4
3  m m 取值范围 )04
3(
m 取值范围 )4
3(  ……………………………………………………13 分
7．解：（1） 2p  时
函数 2( ) 2 2ln (1) 2 2 2ln1 0f x x x fx
      
2
2 2( ) 2f x x x
  
曲线 ( )f x 点 (1 (1))f 处切线斜率
(1) 2 2 2 2f      1 分
曲线 ( )f x 点 (1 (1))f 处切线方程
0 2( 1)y x  
2 2y x 
（2）
2
2 2
2 2( ) p px x pf x p x x x
      3 分
令 2( ) 2h x px x p   ( )f x 定义域（0∞）增函
需 ( ) 0h x  （0+∞）恒成立 4 分
题意 20 ( ) 2p h x px x p    图象开口抛物线称轴方程
1 (0 )x p
  
min
1( ) h x p p
  
需 1 0 1p pp
   时22
( ) 0 ( ) 0h x f x 
( )f x （0+∞）增函数正实数 p 取值范围 1 6 分
（3） 2( ) [1 ]eg x ex
 减函数
x e  时
min( ) 2g x 
min1 ( ) 2x g x e 时
( ) [22 ]g x e 1 分
① 0p  时 2( ) 2h x px x p  
图象开口抛物线称轴 1x p
 y 车左侧
(0) 0h  ( ) [1 ]f x x e 减函数
0p  时 ( ) 2h x x 
[1 ]x e
2
2( ) 0 ( ) 0xh x f x x
   
时 ( ) [1 ]f x x e 减函数
0p  时 ( ) [1 ]f x x e 单调递减
max( ) (1) 0 2f x f    合题意
② 0 1p  时 [1 ]x e 1 0x x
  
1 1( ) ( ) 2ln 2ln f x p x x x xx x
     
（2）知 1p  时 ( ) [1 ]f x x e 增函数
1 1 12ln 2ln 2 2x xe e ex e e
         合题意 11 分
③ 1p  时（2）知 ( ) [1 ]f x x e 增函数
(1) 0 2f  
( ) [1 ]g x x e 减函数23
需 max min( ) ( ) [1 ]f x g x x e 
max min
1( ) ( ) ( ) 2ln ( ) 2f x f e p e e g xe
    
1( ) 2ln 2P e ee
  
解 2
4
1
ep e
 

实数 p 取值范围 2
4( )1
e
e

13 分
8 解：（Ⅰ）方法：∵ ＇
2
2( ) pf x p x x
   ………………………………2 分
∴ ＇ (1) 2( 1)f p  ．
设直线 2( 1)( 1)l y p x  
设 l 2( )g x x 相切点 M（ 0 0x y ） ………………………………3 分
∵ ( ) 2g x x  ∴2 0 2( 1)x p 
∴ 2
0 01 ( 1)x p y p   
代入直线 l 方程解 p1 p3． ………………………………6 分
方法二：
直线方程l 代入 2y x
2( 1)( 1) 0p x   ∴ 24( 1) 8( 1) 0p p     
解 p1 p3 ． ………………………………6 分
（Ⅱ）∵ 2
2
＇ 2)(
x
pxpxxf 
① )(xf 单调增函数须 0)(＇ xf (0 ) 恒成立
022  pxpx (0 ) 恒成立
xxx
xp 1
2
1
2
2



 (0 ) 恒成立
11
2 

xx
1p 时 )(xf (0 ) 单调增函数 …………9 分
② )(xf 单调减函数须 0)(＇ xf (0 ) 恒成立
022  pxpx (0 ) 恒成立
xxx
xp 1
2
1
2
2



 (0 ) 恒成立
2 01x x


0p 时 )(xf (0 ) 单调减函数． …………11 分
综 )(xf (0 ) 单调函数 p 取值范围 1p 0p ．……12 分
9 解：（I） )0(log22
1)( 2  xxxxxh a
ln
12)( axxxh 
)0()( xh 增函数24
)0(0
ln
12 
ax
x 恒成立 ……………………………1 分
ln
120ln
120 2
axxaxxx  时
)0(1)1(2 22  xxx 值  1
ln
11ln
11 aa
 （※）
见 )1ln
10ln
110(1 矛盾 
aaaa
（※）式 1ln a ① ………………………………………… 4 分
时 )0(ln
1ln2ln
ln
12)(
2
 xax
axax
axxxh
2( ) ( ) ( 2ln ) 4ln 0h x a a     存 正 零点知
解 1ln a ② )0ln1(0ln  aaa
①② 1ln a
时 eaxxh  存正零点 1)( 求 ……………………………6 分
注：没提（验证） 1ln a 时 1)(  xxh 存正零点 扣分
（II）（I） 1)(ln)(
0
0 xxgxxg 
lnln)()(1
0
0 mn
mnxmn
mgng
x 

 ……………………………7 分
证明 ln ln
n mm n m
 
（☆）
（☆）等价 0lnln  mnmmnm ……………………………8 分
构造函数 )0(lnln)( nxxnxxnxxr 
)0(lnln)( nxxnxr  时
]0()(0)( nxrxr  增函数
0)()(  nrmrnm 时 0lnln  mnmmnm
mx 0 证明 ……………………………11 分
理证 lnln 0 nxmmn
mnn 
 综 ……………………………12 分
注：没综等字眼结扣 1 分25
10 解：（Ⅰ） a0 ( ) ( )f x g x lnm x x  

ln
xm x
 ┉┉┉┉┉┉┉┉1 分
记
ln
x
x
  ( ) ( )f x g x （1+∞）恒成立等价 min( )m x
求 2
ln 1＇( ) ln
xx x
  ┉┉┉┉┉┉┉┉2 分
(1 )x e 时 ＇( ) 0x  ( )x e  时 ＇( ) 0x  ┉┉┉┉┉┉┉┉3 分
( )x xe 处取极值值
min( ) ( )x e e   m e ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分
（Ⅱ）函数 ( ) ( ) ( )k x f x h x   13 恰两零点等价方程 2lnx x a   13 恰
两相异实根．┉┉┉┉┉┉┉┉5 分
令 ( ) 2lng x x x  2＇( ) 1g x x
  ┉┉┉┉┉┉┉┉6 分
[12)x 时 ＇( ) 0g x  (23]x 时 ＇( ) 0g x 
g（x）[12]单调递减函数 (23] 单调递增函数．
min( ) (2) 2 2ln 2g x g   ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分
g（1）1g（3）32ln3
∵g（1）>g（3）∴需 g（2） a 取值范围（22ln232ln3） ┉┉┉┉┉┉┉┉9 分
（Ⅲ）存 m 1
2
函数 f（x）函数 h（x）公定义域具相单调性．
2
min
2＇( ) 2 m x mf x x x x
   函数 f（x）定义域（0+∞）．┉┉┉┉┉┉10 分
0m  ( )＇ 0f x  函数 f（x）（0+∞）单调递增合题意┉┉┉11 分
0m  ( )＇ 0f x  2x2m>0解 x>
2
m x<
2
m （舍）
0m  时函数单调递增区间（
2
m +∞）
单调递减区间（0
2
m ） ┉┉┉┉┉┉┉┉12 分
h（x）（0+∞）单调递减区间（0 1
2
）单调递增区间（ 1
2
+∞）26
需
2
m 1
2
解 m 1
2
┉┉┉┉┉┉┉┉13 分
m 1
2
时函数 f（x）函数 h（x）公定义域具相单调性．┉14 分
11 解：（I） xxx exxexexxxf  )1()32()33()( 2 ……1 分
( ) 0 1 0 ( ) 0 0 1f x x x f x x        
( ) ( 0)(1 ) (01) 3f x    递增 递减 分
( ) [ 2 ] 2 0 4f x t t    欲 单调函数 分
（II）证： 1)()10()1()0()(  xxfxf 递减递增 处取极值 e
2
13( 2) ( ) [ 2 ] ( 2)f e f x fe
      值
2 ( 2) ( ) 7t f f t m n      时 分
（III）证： 2
0
2
0
20
0
2
0
0 )1(3
2)1(3
2)()(
00

txxt
e
xfxx
e
xf
xx

2 2 2 22 2( ) ( 1) ( ) ( 1) 03 3g x x x t g x x x t        令 问题转化证明方程
( 2 ) 9t  解 讨解数 分
2 22 2 2( 2) 6 ( 1) ( 2)( 4) ( ) ( 1) ( 1)3 3 3g t t t g t t t t           
1 ( 2)( 1)3 t t  
① )2(0)(0)()2(124 txgtggtt  时 解解
………………11 分
② 0)1(3
2)0(0)(0)2(41 2  tgtggt 时
)2(0)( txg  解两解
③ )2(0)(100)(1 2 txgxxxxxgt  时 解
24 ( ) 6 0 2 3t g x x x x x         时
( ) 0 ( 24) 13g x    解 分
0
20
0
( ) 2 2 ( 2 ) ( 1) 3x
f xt x t te
     综述 意 总存 满足27
04 2 1 t t x    时 唯 适合题意
12 解 （1） 2)( x
axxf  题意 ]21(0)(  xxf 22xa  ]21(x
∵式恒成立∴ 2a ① …………………………1 分

x
axg
2
1)(  题意 )10(0)(  xxg xa 2 )10(x
∵式恒成立∴ 2a ② …………………………2 分
①② 2a …………………………3 分
∴ 2)(ln2)( 2 xxxgxxxf  …………………………4 分
（2）(1)知方程 2)()(  xgxf 022ln22  xxxx
设 22ln2)( 2  xxxxxh 1122)(
xxxxh 
令 0)(  xh 0x 0)222)(1(  xxxxx 解知 1x ……………………5 分
令 0)(  xh 100  xx 解 …………………………6 分
列表分析
x (01) 1 (1+)
)(xh 0 +
)(xh 递减 0 递增
知 )(xh 1x 处值 0 …………………………7 分
10  xx 时 )(xh ＞0
∴ 0)( xh (0+)解
x＞0 时方程 2)()(  xgxf 唯解 …………………………8 分
（3）
设 2 ＇
2 3
1 2 2( ) 2ln 2 ( ) 2 2 0x x x bx x x bx x x
          ………………9 分
( )x (01]减函数 min( ) (1) 1 2 1 0x b       1b   ……………11 分
： 11  b 求范围 …………………………12 分
13 解：（1） 0)0( f 0d
2
10)1(＇2
1)(＇ 2  cafcxaxxf
02
10)(＇ 2  cxaxRxf 恒成立 恒成立
02
1
2
12  axax 恒成立
显然 0a 时式恒成立
axaxxfa 
2
1
2
1)(0 2函数 二次函数28
切 0)(  xfRx 二次函数性质





0)2
1(4)2
1(
0
2 aa
a

4
10)4
1(
0
016
1
2
1
0
22 










aa
a
aa
a
解
4
1 ca ．
（2） 4
1 ca 4
1
2
1
4
1)( 2  xxxf
04
1
24
3
4
1
2
1
4
10)()( 22  bbxxxxxhxf
0)2
1)((02)2
1(2  xbxbxbx
)2
1(2
1)2
1(2
1 bbbb 解集时解集时  解集时2
1b ．
（3） 4
1 ca 4
1
2
1
4
1)( 2  xxxf
4
1)2
1(4
1)()( 2  xmxmxxfxg
该函数图象开口称轴 12  mx
假设存实数 m 函数
4
1)2
1(4
1)()( 2  xmxmxxfxg 区间 ]2[ mm
值－5
① ]2[)(121  nmxgmmm 区间函数时 递增
54
1)2
1(4
15)( 2  mmmmg
解 3
73  mm 13
7  3
7m 舍
② ]12[)(21211  mmxgmmmm 区间函数时 递减
区间 ]212[  mm 递增
5)12(  mg
54
1)12)(2
1()12(4
1 2  mmm
解 均应舍 212
1
2
1212
1
2
1  mm
③ 1m 时 ]2[)(212  mmxgmm 区间函数 递减
5)2(  mg
54
1)2)(2
1()2(4
1 2  mmm29
解 221221221  mmm 中 应舍
综 2213  mm 时
函数 5]2[)()(  值区间 mmmxxfxg
14 解：（1） 3 2( ) 1f x x ax x    求导： 2( ) 3 2 1f x x ax   
2 3a ≤ 时 0≤ ( ) 0f x ≥ ( )f x R 递增
2 3a  ( ) 0f x  求两根
2 3
3
a ax   
( )f x
2 3
3
a a      
递增
2 23 3
3 3
a a a a         
递减
2 3
3
a a        
递增
（2）
2
2
3 2
3 3
3 1
3 3
a a
a a
   
   
≤
≥
2 3a  解： 7
4a≥
15 解：（Ⅰ） 2 2
1 ln 1 1 ln( ) (1 ) (1 ) 1 (1 )
x xf x x x x x x x
         
．·························· 2 分
(01)x 时 ( ) 0f x 
(1 )x ∞ 时 ( ) 0f x 
( )f x (01) 单调递增 (1 )∞ 单调递减．··············································· 4 分
知 ( )f x (0 )∞ 极值 (1) ln 2f  没极值．································ 6 分
（Ⅱ）（ⅰ） 0a ≤ 时
 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )ln(1 ) ln( ) 01 1
x x x xx x x xf x x x
        

关 x 等式 ( )f x a≥ 解集 (0 )∞ ．················································· 10 分
（ⅱ） 0a  时 ln 1( ) ln 11
xf x x x
      
知 ln 2 1(2 ) ln 11 2 2
n
n
n nf       
中 n 正整数30
2 2
2
1 1ln 1 1 log ( 1)2 2 2
n n
n n
a e n e           
．········································· 12 分
2n≥ 时 ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2
( 1)1 2 1 (1 1) 1
2
n
n n
n n
n n n
     
．
2ln 2 4ln 2 11 2
a nn n
   
．
取整数 0n 满足 2
0 2log ( 1)
n
n e   0
4ln 2 1n a
  0 2n ≥
0
0 0
0 ln 2 1(2 ) ln 11 2 2 2 2
n
n n
n a af a         

0a  时关 x 等式 ( )f x a≥ 解集 (0 )∞ ．
综合（ⅰ）（ⅱ）知存 a 关 x 等式 ( )f x a≥ 解集 (0 )∞ a 取值范围
 0∞ ． 14 分
16 （Ⅰ）①条件知 PQ 垂直分 AB∠BAO (rad) 10
cos cos
AQOA   
10
cosOB  OP＝10 10tan 10－10ta
10 10 10 10tancos cosy OA OB OP        
求函数关系式 20 10sin 10cosy 

  0 4
    
② OP x (km) OQ＝10－ x OA OB  2 2 210 10 20 200x x x    
求函数关系式  22 20 200 0 10y x x x x     
（Ⅱ）选择函数模型①     ＇
2 2
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
    
 
     
令 ＇y  0 sin 1
2
  0 4
  
6

0 6
    
时 ＇ 0y  y  减函数 6 4
     
时 ＇ 0y  y  增函数
6

时 min 10 10 3y   时点 P 位线段 AB 中垂线距离 AB 边31
10 3
3
km 处
17 解：（1） 2
)(ln1)()0()( x
axxfxf 定义域
令 aexxf  10)(
)(0)()0( 1 xfxfex a   时 增函数
)(0)()( 1 xfxfex a   时 减函数
∴ 111 )()()(   aaa eefxfexxf 极值处取极值
（2）（i） 21 ee a  时 时1a （Ⅰ）知 )0()( 1 aexf  增函数 ]( 21 ee a 减函数
1 1( ) ( )a a
maxf x f e e   
](0)(]0(0)( 2eexxfexxfex aaa   时时 时 )0()( 1 aexf
1)()( xgxf 图象 图象 ]0( 2e 公点等价 11 ae
解 111  aaa
（ii） 121  aee a 时 ]0()( 2exf 增函数
∴ 2
22 2)(]0()( e
aefexf 值
原问题等价 212 2
2  eae
a 解
1a ∴解
18 解：（Ⅰ） 0a 时函数 ( )f x 定义域 )0( 
0a 时函数 ( )f x 定义域 )01(
（Ⅱ）
1
11
)1(
)ln(1
)( 2 



xxx
axx
x
xf
22
2
)1(
)ln(
)1(
)1()1()ln()1(




x
ax
xx
xxxaxxx
令 ( ) 0f x  时 ln 0ax  1x a

① 0a  时 1(0 )x a
 时 ( ) 0f x  1( )x a
  时 ( ) 0f x  32
0a  时函数递增区间 1(0 )a
递减区间 1( )a

② 1 0a   时 1 0ax   ( ) 0f x 
1 0a   时 ( )f x ( 10)x  单调递增．
③ 1a   时 1( 1 )x a
  ( ) 0f x  1( 0)x a
 ( ) 0f x 
1a   时 ( )f x 单调递增区间 1( 0)a
单调递减区间 1( 1 )a
 ．
（Ⅲ） 0a  时函数递增区间 1(0 )a
单调递减区间 1( )a

存 x ( ) ln(2 )f x a 成立须 1( ) ln(2 )f aa


01 1ln( ) ln 2 2 0 11 12
aa aa a aa a a
          
19 解：（1）题意
 
239(2 29 107)( 5)(5 7)
198 6 ( 5)(7 8)5
50 10( 8) ( 5)( 8)
{
x x x x
xy x xx
x x x
    
   
   
3 2
2
39 (2 39 252 535)(5 7)
6(33 )(7 8)
10 180 650( 8)
{
x x x x
x x
x x x
     
   
   
（2）（1）：5 7x  时 3 239 (2 39 252 535)y x x x    
＇ 2234( 13 42) 234( 6)( 7)y x x x x     
5 6x  时 ＇ 0y  ( )y f x 增函数
6 7x  时 ＇ 0 ( )y y f x  减函数
 6x  时 max( ) (16) 195f x f 
7 8x  时  6(33 ) 150156y x  
8x  时 210( 9) 160y x   
9x  时 max 160y 
综知： 6x  时总利润值 19533
20 解 (1) 已知 C0 ∴
ln
)(1)(
2
x
xxfx
xxg 
2
ln 1( ) ln
xf x x
  令 ( ) 0f x  x e ．列表
x (01) (1 )e ( )e 
( )f x +
( )f x 单调减 单调减 单调增
( )f x 单调增区间 ( )e  单调减区间 (01) (1 )e
(2) x me x 两边取数 lnx m x ． 1x  ．
ln
xm x

(1)知 (1 )x  时 ( ) ( )f x f e e  ． m e ．
21 解：（1）题意知 ( )f x 定义域 )0( 
)0( 2
1)2
1(22222)(＇
2
2


 xx
bx
x
bxx
x
bxxf

2
1b 时 ( ) 0f x  函数 ( )f x 定义域 )0(  单调递增．
（2） ①（Ⅰ） 1
2b  时 ( ) 0f x  函数 ( )f x 极值点．
② 1
2b  时 ( ) 0f x  两解
2
21
2
1
1
bx 
2
21
2
1 2
bx 
0 )  bi 时 舍)0(02
21
2
1
1  bx )0(12
21
2
1 2  bx
时 ( )f x ( )f x x 定义域变化情况表：
x )0( 2x 2x 2( )x  
( )f x  0 
( )f x 减 极值 增
表知： 0b  时 ( )f x 惟极值点
2
21
2
1 bx 
ii） 10 2b  时0< 21 xx  <1 时 ( )f x ( )f x x 变化情况表：
x  10 x 1x 1 2( )x x 2x 2( )x  
( )f x  0  0 
( )f x 增 极值 减 极值 增
表知： 10 2b  时 ( )f x 极值
2
21
2
1
1
bx  极值点
2
21
2
1
2
bx 
综述： 0b 时 ( )f x 惟值点
2
21
2
1 bx  34
10 2b  时 ( )f x 极值点
2
21
2
1 bx  极值点
2
21
2
1 bx 
（3）（2）知 1b   时函数 xxxf ln)1()( 2  时 ( )f x 惟极值点 3 1
2x 
减函数时 )2
310()( 0)(＇)2
310(  xfxfx
成立时恒
恒恒
时
1 ln)1ln( 3
)11ln(10 )11(f(1)
2
31
3
4111 0 3
2
2
n
nnn
nnnf
nn



令函数 )0 ln)1()(  xxxxh （
x
x
xxh 111)(＇ 
2
1ln)1ln(1 3
1)11ln(ln)1ln(
0)11ln(n
1 )1()11( 111 3
)()1[1)( 0)(＇ 1
n
nnnn
nnnn
nhnhnn
xhxxxhxhx




时恒综述知
时
增函数时处连续时

22 解：（1） ＇
2 2
2( ) ( 1)
xg x x
  ＇ ( 2) 2 2g   ( 2) 1g a 
( )g x 点 ( 2 ( 2))P g 处切线方程： 2 2 5 0x y a   
（2） ＇
2
2( ) 01
xf x x
 
0x 
( )f x 仅极值点 (00)M 根题意：
5 13
ad
  2a   8a  
（3）令 2
2
1( ) ( ) ( ) ln( 1) 1h x f x g x x ax
     
＇
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1( ) 21 ( 1) 1 ( 1)
x xh x xx x x x
         
01) (1 )x   时 ＇ ( ) 0h x 
( 1) ( 10)x     时 ＇ ( ) 0h x 
( )h x ( 1)( 10)   时 ( )h x 单调递减35
(01)(1 ) 时 ( )h x 单调递增
( )h x 偶函数 ( 11)x  时 ( )h x 极值 (0) 1h a 
1x   时 ( )h x   1x   时 ( )h x  
x   时 ( )h x   x   时 ( )h x  
( ) ( )f x g x 根情况：
1 0a  时 1a  时原方程 2 根
1 0a  时 1a  时原方程 3 根
1 0a  时 1a  时原方程 4 根
23 解：（1） 2y ax   切线斜率 2at 切线l 方程 2(1 ) 2 ( )y at at x t    
令 0y 
2 2 2 21 1 2 1
2 2 2
at at at atx tat at at
      
21( 0)2
atM at
 令 0t  2 2 2 21 2 1 (01 )y at at at N at      
MON 面积
2 2 2
21 1 (1 )( ) (1 )2 2 4
at atS t atat at
    
(2)
2 4 2 2 2
2 2
3 2 1 ( 1)(3 1)( ) 4 4
a t at at atS t at at
     
0 0a t  ( ) 0S t  2 13 1 0
3
at t
a
  
2 13 1 0
3
at t
a
   时 ( ) 0S t 
2 13 1 0 0
3
at t
a
    时 ( ) 0S t 
1 ( )
3
t S t
a
  时 值
已知 1
2t  处 ( )S t 取值 1 1 42 33
a
a
  
4 13 2a t  时
2
min
4 1(1 )1 23 4( ) ( ) 4 12 34 3 2
S t S
 
  
 36
24(1) a b 值次 21(2) 13k  
►解析：(1) ( )f x 奇函数 (0)f 0 1
1 1 20 1 ( )2 2
x
x
b b f xa a 
      
(1) ( 1)f f   知
111 2 2 24 1 aa a
     
(2) 解法：(1)知 1
1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1
x
x xf x 
    
易知 ( )f x ( )  减函
数 ( )f x 奇函数等式： 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    等价
2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f t t f t k f k t      ( )f x 减函数式推 2 22 2t t k t   ．
切 t R ： 23 2 0t t k   判式 14 12 0 3k k      
解法二：(1)知 1
1 2( ) 2 2
x
xf x 
 
．题设条件：
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
1 2 1 2 0
2 2 2 2
t t t k
t t t k
 
   
  
 
： 2 2 2 22 1 2 2 1 2(2 2)(1 2 ) (2 2)(1 2 ) 0t k t t t t t k          
整 理 23 22 1t t k   底数2>1 23 2 0t t k   式 切 t R 均 成 立 判 式
14 12 0 3k k      
25（1） ( 1)f k   3(25) 4f k
  （2）
2 ( 2)( 4) 3 2
( 2) 2 0
( ) ( 2)0 2
1 ( 2)( 4)2 3
k x x x
kx x x
f x x x x
x x xk
      
        

    
( )f x  3 1   13 增函数 11 减函数
（3）① 1k   ( )f x 3x   处取值 2( 3)f k   1x   处取值 ( 1)f k   ．
② 1k   时 ( )f x 3x   1x  处取值 ( 3) (1) 1f f    1x   3x  处取值
( 1) (3) 1f f   ．
③ 1 0k   时 ( )f x 1x  处取值 (1) 1f   3x  处取值 1(3)f k
  ．
►解析：（1） ( 1) (1) (05) (25)f kf k f kf    
1 1 3(25) (05) (05 2) 05 4f fk k k
       ．37
（2）意实数 ( ) ( 2)xf x kf x 
1( 2) ( ) ( ) ( 2)f x kf x f x f xk
      ．
2 0x   时 0 2 2 ( ) ( 2) ( 2)x f x kf x kx x      
3 2x    时 1 11 2 1 ( ) ( 2) ( 2)( 4)x f x f x x xk k
         ．

2 ( 2)( 4) 3 2
( 2) 2 0
( ) ( 2)0 2
1 ( 2)( 4)2 3
k x x x
kx x x
f x x x x
x x xk
      
        

    
0 ( )k f x   3 1   13 增函数 11 减函数
（3）函数 ( )f x  33 单调性知
( )f x 3x   1x  处取值 2( 3)f k   (1) 1f   1x   3x  处取值
( 1)f k   1(3)f k
  ．
① 1k   ( )f x 3x   处取值 2( 3)f k   1x   处取值 ( 1)f k   ．
② 1k   时 ( )f x 3x   1x  处取值 ( 3) (1) 1f f    1x   3x  处取值
( 1) (3) 1f f   ．
③ 1 0k   时 ( )f x 1x  处取值 (1) 1f   3x  处取值 1(3)f k
  ．
26 0a    0f x   f x  0 增函数．
0a    0f x 
4
ax    f x 单调递增区间 4
a    
单调递减区间
0 4
a   
． 32 15a    时值 1a  15 4a    时值 2 16a  ．
►解析： 解：(1)  
4 1
3 3f x x ax   
1 2
3 3
3 2
4 1 4
3 3 3
x af x x ax
x
    
0a    0f x   f x  0 增函数．
0a    0f x 
4
ax    f x 单调递增区间 4
a    
单调递减区间38
0 4
a   
．(2) 4a     0f x  （  18x ）  f x  18 增函数．
 f x  18x 值  1 1f a  值  8 2 16f a 
32a     0f x  （  18x ）  f x  18 减函数．
 f x  18x 值  8 2 16f a  值  1 1f a  ．
32 4a   
x 1 1 4
a    4
a 84
a    8
 f x  0 +
 f x  1 1f a  ↘ 极值 ↗  8 2 16f a 
 f x  18x 值 33
4 4 4
a af a     

   1 1 8 2 16f a f a     32 15a    时值 1a  15 4a    时值
2 16a  ．
27f(x) 242sin2 



  x        022222222  xfa
►解析：（1） 0x 时
    1cos22sincos2cossin 222  xxxxxxf
22cos2sin  xx 242sin2 



  x
0x 时 0 x    )( xfxf 242sin2 



  x （6 分）
（2）关 x 方程   oaxf  解        022222222  xfa （12 分）
28 (1) (6) (28) 2 9 55 66f f f     
►解析：解：（I） ①知意 * a b a b N 0))()()((  bfafba
0ba )()( bfaf  函数 )(xf *N 单调增函数
（II）令 af )1( 1a 显然 1a 否 1)1())1((  fff 3))1(( ff 矛盾 1a 39
3))1(( ff 3)( af
（I）知 afaf  )1()( 3a
31  a *aN 2a 2)1( f
进 3)( af 知 3)2( f
623))2(()3(  fff 933))3(()6(  fff 1863))6(()9(  fff
2793))9(()18(  fff 54183))18(()27(  fff
81273))27(()54(  fff 54 27 81 54 27   
（I）知函数 )(xf 单调增函数 55154)28( f
(1) (6) (28) 2 9 55 66f f f     
（Ⅲ） 1333))3(()(  nnn
n ffaf
nn
n
n aafffa 3))(()3( 1
1  
 6)3(1  fa
数列 }{ na 6 首项 3 公等数列
∴ 16 3 2 3 ( 123 )n n
na n     
2
1 2
1 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 3( ) (1 )12 3 3 3 2 4 31 3
n
n n
na a a

          

  显然
4
1)
3
11(4
1  n

方面 nCCC nn
nnn
nn 212221)21(3 221  

24)12
11(4
1)3
11(4
1

n
n
nn

综述
4
1111
24 21
 naaan
n 
29（Ⅰ） 0a
（Ⅱ）
2
510  a
（Ⅲ） ]0(
►解析：（Ⅰ） axxax
axf  231)( 2
1
)]2()23(3[ 22


ax
axaaxx40
∵
3
2x ( )f x 极值点∴
2＇( ) 03f
∴ 2 22 23 ( ) (3 2 ) ( 2) 03 3a a a+ + 013
2 a
∴ 0a
0a 时 ＇( ) (3 2)f x x x
2
3x ( )f x 极值点成立
（Ⅱ） ( )f x )1[  增函数
01
)]2()23(3[ 22


ax
axaaxx )1[  恒成立
0a )23()(  xxxf
∴ ( )f x )1[  增函数成立
0a 01 ax 1x 恒成立知 0a
0)2()23(3 22  axaax )1[ x 恒成立
令 )2()23(3)( 22  axaaxxg 称轴
ax 2
1
3
1 
0a
3
1
2
1
3
1 
a
( )g x )1[  增函数
0)1( g 012  aa

2
51
2
51  a
0a
2
510  a ．
（Ⅲ） 1a 时方程
x
bxxf  3)1()1(

x
bxxx  )1()1(ln 2
322 ln)1()1(ln xxxxxxxxxxb  0x 解
求函数 32ln)( xxxxxg  值域．
)(ln 2xxxxb  令 2ln)( xxxxh 

x
xxxxxh )1)(12(211)(  ∵ 0x41
∴ 10  x 时 0)(  xh )(xh (01)增函数
1x 时 0)(  xh )(xh (1+∞)减函数
∴ 0)1()(  hxh )(xh 穷 ∴b 取值范围 ]0(
30（1） 



4
10 （2）     1n
nf x a x n n x     （3） 3a
►解析：（1）   



4
10)(104
1)2
1()( 2 xfxxxf
（2） n x n+1(n 0n Z)    时
       2
1 1 11 2 n
n n nf x af x a f x a f x n       
    1n
nf x a x n n x    
（3） n x n+1(n 0n Z)    时        2
1 1 11 2 n
n n nf x af x a f x a f x n       
nxn
n axf  3)(
显然   Znnnnxaxf nxn
n   013)( 0a 时增函数
时  nn
n aaxf 3)( 
函数 y f (x) 区间 0  单调增函数必 nn aa 31  解： 3a
显然 0a 时函数 y f (x) 区间 0  单调函数
3a
31（1）0（2） 5 2
    
（3）见解析
►解析：（1）解：∵   3 2f x x ax bx c     ∴   23 2f x x ax b     ．
∵  f x  0 减函数 01 增函数
∴ 0x  时  f x 取极值  0 0f   ．
∴ 0b  ．
（2）解：（1）知   3 2f x x ax c   
∵1 函数  f x 零点  1 0f  ∴ 1c a  ．42
∵   23 2 0f x x ax     两根分 1 0x  2
2
3
ax  ．
∵  f x  01 增函数函数  f x R 三零点
∴ 2
2 13
ax   3
2a  ．∴     52 8 4 1 3 7 2f a a a         ．
 2f 取值范围 5 2
    
．
（3）解：（2）知   3 2 1f x x ax a     3
2a  ．
讨直线 1y x  函数  y f x 图交点数情况
求方程组 3 2
1
1
y x
y x ax a
 
     
解数情况．
3 2 1 1x ax a x           3 21 1 1 0x a x x      ．
       21 1 1 1 1 0x x x a x x x         ．
     21 1 2 0x x a x a        ．
∴ 1x     2 1 2 0x a x a     ．
方程    2 1 2 0x a x a     （*）
   2 21 4 2 2 7a a a a        ．
∵ 3
2a 
0  2 2 7 0a a   解 3 2 2 12 a   ．时方程（*）实数解．
0  2 2 7 0a a   解 2 2 1a   ．时方程（*）实数解 2 1x   ．
0  2 2 7 0a a   解 2 2 1a   ． 时 方 程 （ * ） 两 实 数 解 分
2
1
1 2 7
2
a a ax    
2
2
1 2 7
2
a a ax     ．
2a  时 1 0x  2 1x  ．
综述 3 2 2 12 a   时直线 1y x  函数  y f x 图交点．
2 2 1a   2a  时直线 1y x  函数  y f x 图二交点．43
2 2 1a   2a  时直线 1y x  函数  y f x 图三交点．
321）题设知：  
 
＇ 1 0 3 2 0 2
3 2 8 1＇ 1 8
f a b a
a b bf
               

∴ xxxxf  23 2)(   2＇ 3 4 1f x x x  
令 13
10)( 21  xxxf 解
x 变化时     ＇f x f x 变化情况表：
x   1 
1 11 3
    
1
3
 1 3
    
 ＇f x + 0 － 0 +
 f x  0  4
27
 
 f x 极值  1 0f   极值 1 4
3 27f      
……………5 分
（2）  3 2 22 2 1 0x x x kx x x x k       
考虑方程  2 2 1 0x x x k    根情况：
0k  方程  2
1 2 32 1 0 0 1 1x x x k x x k x k         根
 1 1 0 1 1 1 0k k k x x k k x           时 解集
 1 2k x x  时 解集
 0 1 0 1 1k x x k x k       解集
（3） R   1 sin 1 1 cos 1      ∴ ∴
    4 112sin cos 27 27f f f        
∴
33（1）见解析（2）钝角三角形
►解析：证明：假设存 )( 0000 xxbaxx 
)()()(
0xfab
afbf 

∴ )()()(
0

 xfab
afbf44
∵ )()( 00
 xfxf
∴
1
1)()(
1
11
1
)( xxx
x
e
xfxg
ee
exf 




 记
∴ ][)(0
)1(
)( 2 baxf
e
exg x
x


 单调增函数
∴ 0000 xxxxx 矛盾  唯
（2）设 321332211 )()()( xxxyxCyxByxA 
∵ 01
1)( 
 xexf
∴ Rxxf )( 单调减函数
∴ )()()( 321 xfxfxf 
∵ ))()(())()(( 23231121 xfxfxxBCxfxfxxBA 
∴ ))()())(()(())(( 23212321 xfxfxfxfxxxxBCBA 
∵ 0)()(0)()(00 23212321  xfxfxfxfxxxx
∴ 0 BCBA
∴ BB  0cos 钝角
∴△ABC 钝角三角形
34（1）a>1（2）仅两交点
►解析：（1） 21)(＇)0(22ln)( 2  axxxhxxxaxxh
)(xh 存单调递减区间 )0(021)(＇  axxxh 解．

xxaxaxaxxx 21210210 2  时
问题转化 )0(21
2 
xxa 解 a 函数 )0(21
2 
xx
值．
)0(211)11(21
2
2
2 
xxxxx
值1 a>1．
（2）令 )0(1ln)()()(  axaxxgxfxF
函数 1ln)()(  xxgaxxf 交点数函数 )(xF 零点数．45
)0(1)(＇  xxaxF
令 01)(＇ 
xaxF 解 1
ax 
着 x 变化 )()(＇ xFxF 变化情况表：
x )10( a a
1 )1( 
a
)(＇ xF 0 +
)(xF 单调递减 极（）值 2+lna 单调递增
1 )(0ln2)1( 2 xFeaaaF 时  恒 0函数 )(xF 零点．
2 ② 0ln2)1( 2时  eaaaF 表函数 )(xF 仅零点．
③ 00ln2)1( 2时  eaaaF 显然
a
11 
)10()(0)1()1(01)1( axFaFFaF  单调递减
)10()( axF 仅零点
1)(ln)(1 
x
exFax
xa
时
指数函数 )1()(  axa eey 幂函数 xy  增长速度快慢知存 1
0 ax 
1)(
0
0

x
e xa
0111ln1)(ln)(
0
0
0

x
exF
xa
0)()1( 0  xFaF
)1()( 
axF 单调递增 



 1)( axF 图象连续断曲线
)1()( 
axF 仅零点．
)(0 2 xFea 时 仅两零点．
综 )()(2 xgxfea 时 图象交点 )()(2 xgxfea 时 图象仅交点
)()(0 2 xgxfea 时 图仅两交点．
35（1）见解析（2）奇函数（3）见解析46
►解析：（1）取 f(x)tanx定义域{x∣x≠kπ+ 2

k∈Z}关原点称 0∈D
存常数 4a 
f(a)tana1
两角差正切公式知符合
1 2
1 2
1 2
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f xf x x f x f x
  
（2）f(x) D 奇函数证明：f(0)0取 x10x2x
(0) ( )(0 ) 1 (0) ( )
f f xf x f f x
  
f(x)f(x) f(x) D 奇函数
（3）考察 f(x)tanx 正周期 Tπ4a猜测 4a f(x)周期
证明：已知
( ) ( ) ( ) 1( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
f x f a f xf x a f x f a f x
    
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1( 2 ) [( ) ] [ 1] [1 ]1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
f x a f x f xf x a f x a a f x a f x f x f x
                
1( 4 ) [( 2 ) 2 ] ( )2f x a f x a a f xf x a
     
（ ）
f(x)周期函数4a f(x)周期
36（Ⅰ） 11( ) ( )3
nf n  ( ) 13 2( 5) 2 3g n n n    
（Ⅱ） 19 1 3 1 9 2 3 1[1 ( ) ] ( ) 3 3 ( )4 3 2 3 4 4 3
n n n
n
n nS n n        
（Ⅲ） min( ) 3M m 
►解析： 解：（Ⅰ）取 x n 1( 1) ( )3f n f n  取 0x  1(1) (0) 13f f 
数列{ ( )}f n 首项 1公 1
3
等数列 11( ) ( )3
nf n 
取 x n 1y  *( 1) ( ) 2( )g n g n n N    ( 1) ( ) 2g n g n   数列 { ( )}g n 公差 2 等差数列
(5) 13g  ( ) 13 2( 5) 2 3g n n n    
（Ⅱ） 1 11 1[ ( )] [ ( ) ] ( ) 32 2 3 3
n n
n
n nc g f n g n    
2 3 2 1
1 2
1 1 1 1 11 2( ) 3( ) 4( ) ( 1)( ) ( ) 33 3 3 3 3
n n
n nS c c c n n n              
2 3 11 1 1 1 1 12( ) 3( ) ( 1)( ) ( )3 3 3 3 3 3
n n
nS n n n        两式相减
2 3 1
11 ( )2 1 1 1 1 1 1 3 1 131 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 [1 ( ) ] ( ) 213 3 3 3 3 3 3 2 3 31 3
n
n n n n n
nS n n n n n n

              


19 1 3 1 9 2 3 1[1 ( ) ] ( ) 3 3 ( )4 3 2 3 4 4 3
n n n
n
n nS n n        47
（Ⅲ） 19 2 3 1( ) 3 ( )4 4 3
n
n
nF n S n      12 3 1 2 5 1 1( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) 04 3 4 3 3
n n nn nF n F n n       
( )F n 增函数 min( ) (1) 1F n F 
1
2 3lim 03nn
n

  9lim ( ) 4n
F n
 12 3 1( ) 04 3
nn   9( ) 4F n  91 ( ) 4F n 
1m  9
4M  时 ( )m F n M  恒成立存正数 0 1 2 m     345M   意正
整数等式 ( )m F n M  恒成立时 min( ) 3M m 
37（1） 2 ( )f x 底型函数（2）实数 x 范围 1 5[ ]2 2
⑶m＝1n＝1
►解析：（1）函数 1( ) | 1| | 2 |f x x x    [12]x 时 1( ) 1f x 
1x  2x  时 1( ) | ( 1) ( 2) | 1f x x x     恒成立 1( )f x 底型函数
函数 2 ( ) | 2 |f x x x   ( 2]x  时 2 ( ) 2f x  (2 )x  时 2 ( ) 2 2 2f x x  
存闭区间[ ]a b [ ]x a b 时 ( ) 2f x  恒成立 2 ( )f x 底型函数
（Ⅱ）| | | | | | ( )t k t k k f x     切t R 恒成立 min(| | | |) | | ( )t k t k k f x    
min(| | | |) 2 | |t k t k k    2 | | | | ( )k k f x  0k ( ) 2f x 
( ) | 1| | 2 |f x x x    | 1| | 2 | 2x x    解 1 5
2 2x 
实数 x 范围 1 5[ ]2 2
（ Ⅲ ） 函 数 2( ) 2g x mx x x n    区 间 [ 2 )  底 型 函 数 存 区 间
[ ]a b [ 2 )   常数 c 2 2mx x x n c    恒成立
2 22 ( )x x n mx c    恒成立
2
2
1
2 2
m
mc
c n
 
 
 
解
1
1
1
m
c
n

  
 

1
1
1
m
c
n
 
 
 


1
1
1
m
c
n

  
 
时 ( ) | 1|g x x x  
[ 2 1]x    时 ( ) 1g x   ( 1 )x   时 ( ) 2 1 1g x x    恒成立
时 ( )g x 区间[ 2 )  底型函数48

1
1
1
m
c
n
 
 
 
时 ( ) | 1|g x x x   
[ 2 1]x    时 ( ) 2 1 1g x x    ( 1 )x   时 ( ) 1g x 
时 ( )g x 区间[ 2 )  底型函数
综分析m＝1n＝1 求
38（1）
1
)(2 


x
x
e
exf  函数（2） R 恒|f(x)| ≤|x|成立函数 f(x)  函数
►解析：1）∵|xsinx|≤|x|∴f1(x)xsinx  函数
∵
2
1)0(2 f ∴满足|f(0)|≤|0|∴
1
)(2 


x
x
e
exf  函数
（2）设 F(x)f(x)x F′(x) 12
2  ax
x
① x>0 时∵a>1
∴ 11
2
22
22  aax
x
ax
x
x0 时F′(x)1<0
∴ x≥0 时F′(x) 12
2  ax
x <0
∴F(x) 0 减函数
∴F(x)≤F(0) F(0)f(0)0∴F(x)f(x)x≤0
∵x>0 时 f′(x) 02
2  ax
x
∴函数 f(x) 0 增函数∴f(x)≥f(0)0
∴0≤f(x)≤x|f(x)| ≤|x|
② x<0 时x>0 ∴|f(x)|≤|x|显然 f(x)偶函数
∴|f(x)|≤|x||f(x)| ≤|x|
∴ R 恒|f(x)| ≤|x|成立函数 f(x)  函数
39（1）见解析（2）成立
►解析：（1）函数 2)(1  xxf 属集合 A 1( )f x 值域[ 2 )  函数 2)(1  xxf
属集合 A( 149 0 (49) 5 4x f    时 满足条件)49
xxf )2
1(64)(2  ( 0)x  集合 A 中 ① 函数 2 ( )f x 定义域[0 )
② 函数 2 ( )f x 值域[ 24) ③ 函数 2 ( )f x [0 ) 增函数．
（2） 0)4
1()2
1(6)1(2)2()(  xxfxfxf
)1(2)2()(  xfxfxf等式 意 0x 总成立
40 2
1
1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 2f x f x x x        2
2 1
1 1( ) ( 1) ( 2) ( 2)2 2f x f x x x       
21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2n nf x f x n x n x n       ∴
►解析： 1x I ＝ 12 时  1 01x   题意
2
1
1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 2f x f x x x       
2x I  23 时  1 12x   题意
2
2 1
1 1( ) ( 1) ( 2) ( 2)2 2f x f x x x        ．
2( ) 2 ( 1) 2 ( 20 2 ( )nf x f x f x f x n      ∵ …
( ) 2 ( )nf x n f x ∴
  1nx I n n   时  01x n 
21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2n nf x f x n x n x n       ∴ ．
41 解：（I） 19)( 2  xaxf
)(019)(0 2 xfxaxfa 时  R 减函数
330190 2 axaxxaa  解时 33019 2 axaxa
 解
区间 )()33( xfaa  减区间区间 )()3()3( xfaa  增区间…5 分 （II）
点 ))(( 33 afa 处曲线切线斜率 19 3 2 aa

切线方程 ))(19()3( 33 23 axaaay 
令 x0 y－6 切线恒守定点（0－6）…………9 分
（III）点 ))(( 11 xfx 处曲线切线方程 ))(19()3( 1
2
11
3
1 xxxaxxay 
令
ax
xxy 
 2
1
3
1
2 9
60 50
ax
xaxx
ax
xxx 


 2
1
2
11
12
1
3
1
12 9
)3(
9
6
0309030 2
1
2
111  xaaxxaxa
122
1
2
11 0
9
)3( xx
ax
xax 


42 (Ⅰ)2≤ a < 4
1 时 ＇( )f x 0 x1 2
1 1 4 1 1 4 2 2
a ax   
显然1≤x1< 2
1 2
1 1 12 2 2 2x x           
＇( )f x －   1 2
2
x x x x
x
 

2
1 ≤x≤x2 时 ＇( )f x ≥0 ( )f x 单调递增
x2∴ ( )f x max f (x2) 2 1 1 4 1 1 4ln2 21 1 4
a a a
a
    
 
1 1 41 4 ln 2
aa   
(Ⅱ)答 存 7( ]4a  符合条件
解 2( ) [ ( ) ln ]g x f x x x   3ax x
妨设意两点 1 1 1 2 2 2( ) ( )p x y p x y 中 1 2x x

3 3
2 21 2 1 2 2 1
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )y y a x x x xk a x x x xx x x x
         
1k  知 a  1+ 2 2
1 1 2 2( )x x x x 
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
3 3 3 124 x x x x x x      1+ 2 2
1 1 2 2( )x x x x  7 134
   

存 7( ]4a  符合条件
43 解：(1)函数定义域 )0()01(  
(2)  xf  ＝ 2
1
x  


  1ln11 xx
x ＝－
2
1
x
 


  1ln1
1 xx
∵ｘ＞０∴ｘ２＞０
1
1
x
＞０．lｎ（ｘ＋１）＞０∴  xf  ＜０
函数 f（ｘ）区间（０＋∞）减函数．
11
)1(
1)()1ln(1
1)( 22
＇ 
x
x
xxxgxxxg g(x)(10)
减函数知 g(x)>g(0)1>0时  xf  ＝－
2
1
x
 


  1ln1
1 xx
<0函数 f(x)区间(10)减
函数
综知函数 f(x) (10) )0(  减函数
（3） ｘ>０时f（ｘ）＞
1x
k 恒成立 令ｘ＝１ｋ＜２ 2ln1
k 正整数．∴k 值３． ……10 分51
面证明ｋ＝３时f（ｘ）＞
1x
k （ｘ＞０）恒成立．
证ｘ>０时  1x  1ln x ＋１－２ｘ＞０恒成立．
令ｇ（ｘ）＝  1x  1ln x ＋１－２ｘ  xg ＝  1ln x －１
ｘ>ｅ－１时  xg ＞００＜ｘ＜ｅ－１时  xg ＜０．
∴ｘ＝ｅ－１时ｇ（ｘ）取值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．
∴ｘ>０时  1x  1ln x ＋１－２ｘ＞０恒成立．
正整数 k 值３
44 解：(Ⅰ) 1 4( ) log ( ) log2 2a af x e g x ex x t
    
∵函数 ( )f x ( )g x 图象 2x  处切线互相行
(2) (2)f g  
1 4log log2 2a ae et
  
6t 
（Ⅱ） 6t 
( ) ( ) ( )F x g x f x   2log (2 4) loga ax x  －
 
2(2 4)log 14a
x xx
 
令  
2(2 4) 16( ) 4 16 14xh x x xx x
    
 2 2
16 4( 2)( 2)( ) 4 14x xh x xx x
     
∴1 2x  时 ( ) 0h x  2 4x  时 ( ) 0h x 
∴ )(xh  12 单调减函数 24 单调增函数
min( ) (2) 32h x h   ( ) (1) (4) 36maxh x h h   
∴ 10  a 时 min( ) log 36aF x  1a 时 min( ) log 32aF x 
∵  14x 时 ( ) 2F x  恒成立 ∴ min( ) 2F x 
∴满足条件 a 值满足列等式组
0 1
log 36 2a
a 
 
① 1
log 32 2a
a 
 
②
等式组①解集空集解等式组②1 4 2a 
综述满足条件 a 取值范围：1 4 2a 
45 解：（1）∵ bx
xxaxf 
1
2)1ln()( ∴ 2)1(
2
1)(＇ 
xx
axf
∵函数 )(xf 0x 处切线方程 2 xy
∴ 12)0(＇  af ∴ 1a
（2）∵点 )0( c 直线 02  yx ∴ 02 c ∴ 2c
∵ )20( bx
xxxf 
1
2)1ln()( 图象∴ 2)0(  bf
∴ )1(21
2)1ln()(  xx
xxxf
（1）： )1(
)1(
1
)1(
2
1
1)(＇ 22 



 x
x
x
xxxf 52
令 0)(＇ xf 1x 函数 )(xf 单调递增区间（1+∞）
令 0)(＇ xf 11  x 函数 )(xf 单调递减区间（－11）
∴ 1x 时函数 )(xf 取极值 2ln1
46 解：(1)∵ 3( ) 2f x x ax  点 (20)P ∴a8 3( ) 2 8f x x x 
2( ) 6 8f x x x  
∴切线斜率 (2) 16k f  
∵ 2( )g x bx cx  图点 (20)P ∴4b+2c0
∵ ( ) 2 (2) (2) 4 16g x bx c f g b c        解：b8c16
∴ 2( ) 8 16g x x x 
切线方程 16y＝ （x2）． 16xy320
(2) ∵ ( ) ( 2) ln( 1) ( 1)F x m x x x    
1 1( ) ( 1)1 1
mx mF x m xx x
      
m<0 时
1[ (1 )]
( ) 1
m x mF x x
 
  
∵m<0 ∴ 11 1m
 
x>1 1(11 )x m
  时 ( ) 0F x  1(1 )x m
   时 ( ) 0F x 
∴F(x)单调减区间 1(1 )m
 
∴F(x)单调增区间(1 11 m
 )
m<0 时F(x)单调递增区间(1 11 m
 )单调减区间( 11 m
  )
47 解：（1）设 )()()( xgxfxF  )(＇ xF
x
x
x 
11
11
0x 时 0)(＇ xF 函数 )(xF （0 ) 单调递增 )(xF
0x 处连续 0)0()(  FxF 0)()(  xgxf
)()( xgxf 
（2）设
xk
kxxgxG  )()(
)(xG （0 ) 恒 0
xk
kkxxG 
2
)1ln()(
2
22
2
2
))(1(
)2(
)(1
1)(＇
xkx
xkkx
xk
k
xxG 



0)2( 22  xkkx 根 0 22 kk 
区间（0 ) 0)(＇ xG 根 0 22 kk 
022  kk )(xG )20( 2 kk  单调递减
0)0( G )(xG （0 ) 恒 0 矛盾
022  kk )(xG （0 ) 单调递增
0)0( G 满足题设条件 022  kk 20  k
48 解 (1)设直线 y6x＋1 yx3＋bx2＋cx＋d 相切点 P(x0y0)
∵f(x)x3＋bx2＋cx＋d 两极值点 x11x2253
f ＇(x)3x2＋2bx＋c3(x－1)(x－2)3x2－9x＋6
b－9
2
c6
(2) f(x)x3－9
2
x2＋6x＋d P(x0y0)切点
y06x0＋1 ①
y0x0
3－9
2
x0
2＋6x0＋d ②
3x0
2－9x0＋66 ③
③求 x00 x03 ①②联立知 d1＋9
2
x0
2－x0
3 x00 时 d1 x03
时 d 29
2
∴f(x) x3－9
2
x2＋6x＋1 f(x) x3－9
2
x2＋6x＋29
2
(3) d 整数时d1 符合条件 时 P (01)
设 P(01)直线 l ykx＋1 y x3－9
2
x2＋6x＋1相切点(x1y1)
y1kx1＋1 ④
y x1
3－9
2
x1
2＋6x1＋1 ⑤
k3x1
2－9x1＋6 ⑥
④⑤ x1≠0 知 kx1x1
3－9
2
x1
2＋6x1 kx1
2－9
2
x1＋6
联立⑥知 kx1
2－x1＋63x1
2－9x1＋6 x1≠0
∴x1 9
4
时 k15
16
切线方程 y 15
16
x＋1
49 解（1）∵ a1 时   23 3f x x   令  f x 0 x0 x1………………………2 分
 01x 时   0f x     0 1x   时   0f x 
∴  f x  01 单调递减    0 1  单调递增
∴  f x 极值  1f 2………………………………………………………………4 分
（2）∵   23 3f x x a   3a  ………………………………………………………………6 分
∴直线 x y m  0 意 m R 总曲线 y  ( )f x 切线仅1<3a
∴ 1
3a  …………………………………………………………………………………………8 分
(3)     3 3g x f x x ax   [11]偶函数求 [01]值…………9 分
① 0a  时  f x 0  f x  01 单调递增  0 0f 
∴      g x f x f x  ∴    1 1 3F a f a   …………………………………………10 分
② 0a  时     23 3 3f x x a x a x a     
i 1a  1a  时      g x f x f x    f x  01 单 调 递 增 时
   1 3 1F a f a    ……………………………………………………………………12 分54
ii 0 1a  0 1a  时    g x f x 0 a   单调递减 1a   单调递增
10  1 1 3 0f a   1 13 a  时      g x f x f x   0 a   单调递增 1a   单调
递减     2F a f a a a   ……………………………………14 分
20  1 1 3 0f a   10 3a  时
（ⅰ）    1 1 3f a f a    10 4a  时    1 1 3F a f a  
（ⅱ）    1 1 3f a f a    1 1
4 3a  时     2F a f a a a  
综  
11 3 ( )4
12 ( 1)4
3 1[1 )
a a
F a a a a
a
  
  

  

………………………………………………
50 解：（Ⅰ）三函数值次1 1 t 1 t …………………… …3 分
(1) 0f  1c a b   
∴ 3 2 3 2( ) ( 1)f x x ax bx c x ax bx a b         
2( 1)[ ( 1) ( 1)]x x a x a b      
方程 2 ( 1) ( 1) 0x a x a b      两根 1 t 1 t ．
1 1 ( 1)t t a      1 1 1t t a b      ．………………………4 分
2 2( 1 1 ) ( 1)t t a     22 2( 1) ( 1)a b a    
∴ 2 2 3a b  ． …………………………………………………………5 分
（Ⅱ）①题意 1 2x x 方程 2＇( ) 3 2 0f x x ax b    根
1 2
2
3
ax x   1 2 3
bx x 
△ 2(2 ) 12 0a b   3b  ．

2
2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3| | ( ) 4 3 3
a b bx x x x x x        ………………………7 分
2 3
3
b 2
3
 2b  2 2 3 7a b   ．55
（Ⅰ）知 1 1 ( 1) 0t t a       1a  
∴ 7a   ( 1) 7 3c a b     
∴ 3 2( ) 7 2 7 3f x x x x     ．…………………………………………9 分
② 1 2| | | ( ) ( ) |M N f x f x   3 3 2 2
1 2 1 2 1 2| ( ) ( ) ( ) |x x a x x b x x     
2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x x x x x a x x b       
22 3 2 2| ( ) ( ) |3 3 3 3
b a b aa b      
3
24 (3 )27 b  （
32
24 9( )27 2
a ）． ………………………………………11 分
（Ⅰ） 2 2 2( 1) ( 1 1 ) 2 2 1a t t t       
∵ 0 1t 
∴ 22 ( 1) 4a  
1a  
∴ 2 1 2a    
3 2 1a     23 2 2 9a   （ 2 3b  ） …………………13 分
∴
3
240 | | (3 2)27M N    ．…………………………………15 分
51 解：(1)函数 f(x)(∞+∞)单调递增函数
f′(x)x2+ax+a>0 (∞+∞)恒成立
Δa24a<0解 0 a0 时f(x)
3
1 x32 (∞+∞)单调递增函数
a4 时f(x)
3
1 x3+2x2+4x2
3
1 (x+2)3
3
14 (∞+∞)单调递增函数
0≤a≤4 6 分
(2)题意方程 f′(x)0 两实数根 x1x2
Δa24a>0解 a<0 a>4 x1+x2ax1x2a 8 分
f(x1)f(x2)［
3
1 (x12+x1x2+x22)+
2
1 a(x1+x2)+a］(x1x2)

21
21 )()(
xx
xfxf



3
1 ［(x1+x2)2x1x2］+
2
1 a(x1+x2)+a
3
1 (a2a)+
2
1 a(a)+a
6
1 a2+
3
2 a≥
6
5
解1≤a≤5
实数 a 取值范围1≤a<0 452 解：（1）题意意实数 x ： ( ) ( )f x f x  
： 0)0( f b0…(2 分) 3 2( ) 3 ( ) 3 3f x ax cx f x ax c     …(3 分)
1x 时
3
2)( 取极值－xf
： 033)1(  caf 2(1) 3 3f a c    ．…(5 分)
解： 1 13 3a c   1 1 03 3a b c    ．…(6 分)
（2）  11x 时图象存两点两点处切线互相垂直．
假设  11x 时图象存两点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 两点处切线互相垂直．设两条
切线斜率分 1k 2k 121 kk …(8 分)
2( ) 1f x x  知两点处切线斜率分： 2 2
1 1 2 21 1k x k x   
2 2
1 2 1 2( 1)( 1) 1 ( )k k x x      …(10 分)
  2 2
1 2 1 2 1 1 1 0 1 0x x x x       2 2
1 2( 1)( 1) 0x x   
（*）相矛盾假设成立．…(13 分)
 11x 时图象存两点两点处切线互相垂直．…(14 分)
53 解：（Ⅰ） ∵ f（x） x3 +（m2－4m + 2）x + m3－6m2 + 9m－1
∴ f ′（x） 3x2 +（m2－4m + 2）．
f（x）极值 f ′（x） 0 两实数根
∴ m2－4m + 2＜0 ∴ 2222  m ． ……………… 4 分
（Ⅱ）设 f ′（x） 0 实数根（＜）  + 0．
g（m） f（）+ f（）
3 + 3 +（m2－4m + 2）（ + ）+ 2（m3－6m2 + 9m－1）
（ + ）（2－ + 2）+（m2－4m－2）（ + ）+ 2（m3－6m2 + 9m－1）
 +  0 g （ m ） 2 （ m3 － 6m2 + 9m － 1 ）
（ 2222  m ）． ……………… 8 分
∴ g ′（m） 6（m2－4m + 3） g ′（m） 0 m 13．
m 22  … 1 … 3 … 22 
g ′(m) + 0 － 0 +
g（m） )21(2  6 －2 )21(2 
表值 g（1） 6值 g（3）－2． …………12 分
54 解（I） )1)(2
3(36)2(33)( 2  xxaxaaxxf ………………2 分
122 
aa
0)(120)(12  xfxaxfxax 时时 ………………4 分57
)12()1()2()( aaxf 单调递增  单调递减
2)1()( afxf 极值 …………………………………………6 分
（II）① 0)1(30 2  xa 时 根…………………………7 分
② 0)(12120  xfxaxaa 时时
02)1()(0)(12  afxfxfxa
极值时
极值 0)(0)2(  xfaf 三根………………………………9 分
③ 0)(211220  xfaxxaa 时时
0)(21  xfax 时
0)(02)1()(  xfafxf 极值 根………………10 分
④ 0)(0)1(6)(2 2  xfxxfa 时 根………………11 分
⑤ 时2a （I） 04
3)4
31(4)2()( 2 
aafxf 极值
0)( xf 根
综： 0)(0  xfa 时 根
0)(0  xfa 时 三根 ………………………………………12 分
55 解(1) axxaxxf  23 )1()(
3
4
3)2
1(
)3
1(33
)1()3
1(3)1(23)(
2
2
2
22＇


aaxaaaxaxaxxf
方程 0)(＇ xf 两实数解 21 xx ))((3)( 21
＇ xxxxxf 
妨设 21 xx  区间 )( 1x )( 2 x 0)(＇ xf )(xf 增函数区间 )( 21 xx
0)(＇ xf )(xf 减函数
1x 极值点 2x 极值点
(2) 0)()( 21  xfxf ： 0)())(1( 21
2
2
2
1
3
2
3
1  xxaxxaxx
0)(]2))[(1(]3))[(( 2121
2
2121
2
2121  xxaxxxxaxxxxxx58








3
)1(3
2
21
21
axx
axx
1a
03
)1(2]3
2)1(9
4)[1(])1(9
4)[1(3
2 22  aaaaaaaa
整理 0252 2  aa 解 2a
2a 时等式 0)()( 21  xfxf 成立
56 解：(Ⅰ) 012
3)(2
1)( 23  xxfxxxf
3
6 x ………………2 分
]20[x 时 2)2()(9
62)3
6()( minmax  fxffxf …………4 分
（Ⅱ） 2
302
3)( 22 xttxxf  )(6 xft  单调增函数 ………………6 分
2
302
3)( 22 xttxxf  0 ( )t f x  单调减函数 ………………8 分
（Ⅲ） |)(| xf 偶函数意 ]22[x 6|)(| xf 成立
 意 ]20[x 6|)(| xf 成立
1°（Ⅱ）知 0t 6t 时 )(xf 定义域单调函数
意 ]20[x 6|)(| xf 成立 516|42|6|)2(|  ttf
01  t 时意 ]22[x 6|)(| xf 成立 …………10 分
2° 0 6t  时 )2(2
1
2
1)( 23 txxxtxxf  23
602
3)( 2  txtxxf






3
60)( txf 单 调 增 函 数 





23
6t 单 调 减 函 数 ∴ 意 ]20[x
成立6|)(| xf


















3
3
2
2430
51
69
62
51
6)3
6(
6|)2(|
t
t
t
t
tf
f
3
2
2430  t 时意 ]22[x 6|)(| xf 成立 ………………12 分59
综知 3 2431 2t   时意 ]22[x 6|)(| xf 成立 ……14 分
57解： )0(23)( 22  aabxaxxf ………1 分
（1） 21 21  xx 函数 f(x)两极值点
0)2(0)1(  ff ………………………………………………………………2 分
960412023 22  baabaaba 解 ………………………3 分
3696)( 23 xxxxf  …………………………………………………………4 分
（2）∵x1x2 f(x)两极值点 0)()( 21  xfxf
∴x1x2 方程 023 22  abxax 两根
∵△ 4b2 + 12a3 ∴△>0 切 a > 0 Rb  恒成立
00
33
2
21
2121


xxa
axxa
bxx

3
4
9
4)3(4)3
2(|||||| 2
2
2
2121 a
a
ba
a
bxxxx  ……………………6 分
)6(3223
4
9
422|||| 22
2
2
21 aaba
a
bxx  ………………7 分
600)6(30 22  aaab ………………………………………… 8 分
令 369)()6(3)( 22 aaahaaah 
)(0)(40 ahaha  时 （04）增函数
0)(64  aha 时 ∴h (a)（46）减函数
∴a 4 时h(a)极值 96  60)( ah 值 96
∴b 值 64 …………………………………………………………………10 分
（3）证法：∵x1x2 方程 0)(  xf 两根
))((3)( 21 xxxxaxf  …………………………………………………… 12 分60
2
21
21 )2
|3
1|||
(3|3
1|||3|)(|


xxxx
axxxxaxg ………… 14 分
3
13
)3
1(4
3)]3
1()[(4
3|)(|
00
1221
2
12
2
21
2121



xaxaxx
xxaxxxxaxg
xxxxxxx


)23(12
1)3
1
3
1(4
3|)(| 22  aaaaxg ……………………………………16 分
证法二：∵x1x2 方程 0)(  xf 两根
))((3)( 21 xxxxaxf  …………………………………………………… 12 分
3
13 1221  xaxaxx
|]1)(3)[3
1(||)3
1())(3
1(3||)(|  axxaxaaxxaxg
∵x1 < x < x2
)133)(3
1(|)(|  axxaxg ………………………………………………… 14 分
aaaaxa
axxa
3
1
4
3)2(3
)3
13)(3
1(3
2
3
2 

12
)23(
3
1
4
3 2
2
3  aaaaa ……………………………………………16 分
58 解：（Ⅰ） axaxxf 663)( 2  0)1( f 0663  aa a－2
(Ⅱ)直线 m 恒点（09）
先求直线 m yg(x) 切线设切点 )1263( 0
2
00  xxx 66)( 00  xxg
切线方程 ))(66()1263( 000
2
0 xxxxxy  点（09）代入 10 x
10 x 时切线方程 y9 10 x 时切线方程 y12x+9
0)( xf 01266 2  xx 21  xx
1x 时 )(xfy  切线 18y
2x 时 )(xfy  切线方程 9y  9y 公切线
12)( xf 121266 2  xx  0x 1x
0x 时 )(xfy  切线 1112  xy
1x 时 )(xfy  切线 1012  xy  912  xy 公切线
综述 0k 时 9y 两曲线公切线
(Ⅲ)（1） )(9 xgkx  363 2  xxkx 0x 等式恒成立 Rk 
02  x 时等式 6)1(3 
xxk 61
6])(
1)[(36)1(3 
xxxx 0623  0k
0x 时等式 6)1(3 
xxk  126)1(3 
xx  12k
 2x 时 )(9 xgkx  恒成立 120  k
（2） 9)(  kxxf 1112329 23  xxxkx
0x 时 119  恒成立 Rk  02  x 时
xxxk 201232 2 
设
xxxxh 201232)( 2 
xx 20
8
105)4
3(2 2 
02  x 时
8
105)4
3(2 2  x 增函数
x
20 增函数 8)2()(  hxh
 9)(  kxxf 02  x 恒成立 8k
述程考虑 80  k
0x 时 12166)( 2  xxxf )2)(1(6  xx
 ]20(x 时 0)( xf )2(  时 0)( xf  )(xf 2x 时极值 )(xf )0( 
值 9)2( f 9)( xf 0x 0k 时 99 kx  9)(  kxxf 定成立
综述 80  k
59 解：（Ⅰ） 2＇( ) 3 2f x x ax b   题意：
(1) 4
＇(1) 0
f
f

 
1 4
3 2 0
a b
a b
  
   
解 6
9
a
b
 
 
3 2( ) 6 9f x x x x  
2＇( ) 3 12 9 3( 1)( 3)f x x x x x      ＇( ) 0f x  1x  3x 
＇( ) ( )f x f x 区间 (04] 变化情况：
x 0 (01) 1 (13) 3 (34) 4
＇( )f x + 0 — 0 +
( )f x 0
增函
数 4
减函
数 0
增函
数 4
函数 3 2( ) 6 9f x x x x   区间[04] 值 4值 0
（Ⅱ）函数定义域正数知 0s  极值点 (30) 区间[ ]s t
（1）极值点 (14)M 区间[ ]s t 时 0 1 3s t ≤ ≤ 区间 ( )f x 值 4
等 t 区间[ ]s t 没极值点
（2） 3 2( ) 6 9f x x x x   [ ]s t 单调增 0 1s t  ≤ 3 s t  62
( )
( )
f s s
f t t

 

3 2
3 2
6 9
6 9
s s s s
t t t t
      
解 2
4
s
t

 
合求
（3） 3 2( ) 6 9f x x x x   [ ]s t 单调减1 3s t≤ ≤ ( )
( )
f s t
f t s

 

两式相减 s t ： 2( ) 6( ) 10 0s t s t st      ①
两式相开方 2 2[ ( 3)] [ ( 3)]s s t t  
(3 ) (3 )s s t t   整理 s t ： 3s t  ②
①② 3
1
s t
st
 
 
s t 方程 2 3 1 0x x   两根
存 3 5
2s  3 5
2t  满足求
（Ⅲ）（Ⅱ）极值点 (30) 区间[ ]s t
（1）极值点 (14)M 区间[ ]s t 时 0 1 3s t ≤ ≤
①




0 1 3
4
( )
( ) ( )
s t
kt
ks f s
f s f t
 


≤ ≤
≤
②




0 1 3
4
( )
( ) ( )
s t
kt
ks f t
f s f t
 


≤ ≤
≥
① 4k t
 1 3t ≤ 知 4( 4]3k  仅 1t  时 4k 
2( 3)k s  0 1s ≤ 知 [49]k  仅 1s  时 4k 
s t 存满足求 k 值
② 21 (3 )( ) ( ) [ ]4 2
t t ts f t f tk
   0 1s ≤ 解 2 3t ≤
4k t
 2 3t ≤ 知 4( 2]3k 
4( 2]3k  时存 4 [23)t k
  21 (3 )( ) ( ) [ ] (01]4 2
t t ts f t f tk
   
4( ) 4 ( ) ( )f s s f t f tk
 ≥ 满足求
（2）函数 ( )f x 区间[ ]s t 单调递增 0 1s t  ≤ 3 s t 
( )
( )
f s ks
f t kt

 
s t 方程 2 6 9x x k   两根63
方程两根 3[ ]s t 单调增区间
（3）函数 ( )f x 区间[ ]s t 单调递减1 3s t≤ ≤ ( )
( )
f s kt
f t ks

 

两式相整理 2 2 2 2( 3) ( 3)s s t t  
1 3s t   知 ( 3) ( 3)s s t t   3s t 
两式相减 s t
2 2( ) 6( ) 9k s st t s t       2( ) 6( ) 9s t s t st      st 
2 9( )2 4
s tk st   
9(0 )4k  s t 方程 2 3 0x x k   两根
存 3 9 4
2
ks   3 9 4
2
ks   满足求
综 90 4k  时存两等正数 s t ( )s t [ ]x s t 时函数 3 2( ) 6 9f x x x x  
值域恰[ ]ks kt
60 （Ⅰ）解：∵函数 f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c y 轴截距－5 ∴c＝－5
∵函数 f(x)区间[01]单调递增[12]单调递减
∴x＝1 时取极值 x＝0x＝2 时函数 f(x)取极值．
∴x＝0x＝1 x＝2 函数 f(x)三极值点
f＇(x)＝0 三根 012
∴f ＇(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x
∴a＝－4b＝4 ∴函数 f(x)解析式： f(x)＝x4－4x3＋4x2－5
（Ⅱ）解：函数 f(x)存垂直 x 轴称轴设称轴方程 x＝t
f(t +x)＝f(t－x) x∈R 恒成立
(t +x)4－4(t +x)3＋4(t +x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5
化简(t－1)x3+( t2－3 t +2)x＝0 x∈R 恒成立
∴ t－1＝0
t2－3 t +2＝0．∴t＝1
函数 f(x)存垂直 x 轴称轴 x＝1
（Ⅲ）解：x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5 恰三根
x4－4x3＋4x2－λ2x20 恰三根
x2（x2－4x＋4－λ2）＝0∵x＝0 根
∴方程 x2－4x＋4－λ2＝0 应两非零相等实数根
∴△＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0 x1x2＝4－2≠0∴≠0－22．
存实数 m等式 m2＋tm＋2≤|x1－x2|意 t∈[－33] λ∈A 恒成立
∵|x1－x2|＝ (x1－x2)2－4 x1x2＝2||＞0
m2＋tm＋2≤|x1－x2|意 t∈[－33] λ∈A 恒成立
m2＋tm＋2≤0 意 t∈[－33] 恒成立
令 g(t)＝tm +m2＋2 g(t)关 t 线性函数64
∴ g(－3) ≤ 0
g(3) ≤ 0． 解 1≤m≤2
－2≤m≤－1．
∴存实数 m等式 m2＋tm＋2≤|x1－x2|意 t∈[－33] λ∈A 恒成立
61 (Ⅰ)∵f′(x)3x2+2bx+c
f(x) x1 时极值1





1)1(
0)1(＇
f
f (2 分)











5
1
121
023
c
b
cb
cb 解 (3 分)
b1c5 时
f′(x)3x2+2x5(3x+5)(x1)
x>1 时f′(x)>0

3
5 符合 x1 时f(x)极值∴





5
1
c
b (4 分)
(Ⅱ)假设 f(x)图 xt 处切线直线
(b2c)x+y+10 行
∵f′(t)3t2+2bt+c
直线(b2c)x+y+10 斜率 cb2
∴3t2+2bt+ccb2(7 分)
3t2+2bt+b20
∵Δ4（b23b2）8b2
∵b≠0 ∴Δ<0
方程 3t2+2bt+b20 解
存 t f′(t)cb2
f(x)图存直线(b2c)x+y+10 行切线(9 分)
(Ⅲ)证法：∵|f＇(x)||3(x+
3
b )2+c
3
2b |
①|
3
b |>1 M 应|f′(1)||f′(1)|中
∴2M|≥f′(1)|+|f′(1)||32b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12
∴M>6 M≥
2
3 (11 分)
②3≤b≤0 时2M≥|f′(1)+|f′(
3
b )|
|32b+c|+|c
3
2b |≥|
3
2b 2b+3||
3
1 (b3)2|≥3 M≥
2
3
③ 03
b )||3+2b+c|+|c
3
2b |≥|
3
2b +2b+3|65
|
3
1 (b+3)2|>3∴M≥
2
3
综述M≥
2
3 (14 分)
证法二：f′(x)3x2+2bx+c 顶点坐标(
3
33
2bcb  )
①|
3
b |>1 M 应|f′(1)||f′(1)|中
∴2M≥|f′(1)|+|f′(1)||32b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12
∴M>6 M≥
2
3 (11 分)
②|
3
b |≤1 M |f′(1)||f′(1)||
3
3 2bc  |中
(i) c≥
2
3 时2M≥|f′(1)|+|f′(1))|≥|f′(1)|+f′(1)||6+2c|≥3∴M≥
2
3
(2) c<
2
3 时M≥
3|3
3|
22 bbc  c≥c>
2
3
综述M≥
2
3 成立 (14 分)
证法三：∵M |f′(x)|x∈[11]值
∴M≥|f′(0)|M≥|f′(1)|M≥|f′(1)|(11 分)
∴4M≥2|f′(0)|+|f′(1)|+|f′(1)|≥|f′(1)+f′(1)2f′(0)|6 M≥
2
3 (14 分)
62 解：（1） f ( 1) f (1)  ∴ 1 a 2 a 1    ①
1 1f ( ) f ( )a a
  ∴ 1 11 1 2a a
    1 a 2 a a 1    ②
①② 1a  a 1   a 1 时①②成立 a 1   2 分
∴ 3 2( )g x x bx cx    设 x1 x2 函 数 ( )g x 两 极 值 点 x1 x2 方 程
2( ) 3 2g x x bx c    0 两根 24 12 0( )b c c    正整数
∴x1+x2 2
3
b ∵ AOB 三点线
3 2
1 1 1
1
x bx cx
x
  
3 2
2 2 2
2
x bx cx
x
  
∴ 1 2 1 2( )[ ( ) ]x x x x b    0∵x1≠x2∴b x1+x2 2
3
b ∴b0 6 分
（2） 0x  时 min( ) 2f x  7 分66
2( ) 3 0g x x c   
3
cx  知 ( )g x (0 )3
c 单调递增 ( )3
c 
单调递减 2( ) ( )3 3 3 3 3 3
c c c c c cg x g c    极值 9 分
①
13
2 23 3
c
c c
 
 
3c  c 值 1 2（∵ c 正整数） 11 分
② 13
c  时记 ( )g x [1 ]3
cx 切线斜率 2 切点横坐标 0x
2( ) 3 2g x x c    0
2
3
cx  题意 0 0( ) ( )g x f x
3 2
0 0 0 0
22 2 23
cx cx x x c c         2c  3c  矛盾
（构造函数    2h x x g x  1x  恒正）
综求 c 值 1 2 14 分
63 解：（1）∵ 2( ) 3 2 3f x x bx c    (1) 0f   ∴ 3 2 3 0b c   ∴ 2 3
3
bc   ． 1 分
2( ) 3 2 0g m m bm c     2 2 33 2 03
bm bm    ∴ 2(2 6 ) 9 3m b m   ． …3 分
① 2 6 0m  1
3m  时式成立．………………………………………………4 分
② 2 6 0m  1
3m  时
29 3
2 6
mb m
 
．条件 3 02 b  
23 9 3 02 2 6
m
m
  
．

29 3 3
2 6 2
m
m
  
解 0m  1 13 m  ． ……………………………………………5 分

29 3 02 6
m
m
 
解 3 1
3 3m   3
3m  ．…………………………………………6 分
 m 取值范围 3 03 m   3 13 m  ． ………………………………………7 分
（2）实根．………………………………………………………………………………9 分
( ) 0F x  3 23 3 4 4 0x bx cx    ．
记 3 2( ) 3 3 4 4Q x x bx cx    2( ) 9 6 4Q x x bx c    ．
∵ 3 02 b   2 3
3
bc    1 0c   ． ………………………10 分
 △＞0 ( ) 0Q x  相异两实根 1 2 1 2( )x x x x ．67
1 2 1 2
2 43 9x x b x x c     ∴
1 2
1 2
0 1
4 09
x x
x x
    

显然 1 20x x  1
2
4
9x x
 
∴ 1 2 2
2
41 9x x xx
    ∴ 2
2 29 9 4 0x x   ∴ 2
40 3x  ． …………12 分
2
2 2 2 2 2
1 8( ) ( ) 43 3Q x x Q x bx cx     2
2 2
80 43bx cx    16 32 49 9b c  
8 (2 4 ) 49 b c   8 ( 3) 49 c   32 4 09
   ．
2x 三次函数 ( )Q x 极值点 ( )Q x x 轴交点．
∴ 方程 ( ) 0F x  实根．…………………………15 分
64 解：(Ⅰ)∵ cbxxxxxf  2343)( 22
∴ 02  cb
∴ dxxxf  23 2)(
∵ 47)1(  df
∴ 42)( 23  xxxf
∴ 4)2(42)()( 232232  xaxaxxxaxxfxF
xaxxF )2(23)( 2 
03
)2(20)( 21  xaxxF 求
∵ 210 xxa  x 变化时F′(x)F(x)变化情况：
x (∞
3
)2(2 a )
3
)2(2 a (
3
)2(2 a 0) 0 (0+∞)
F′(x) + 0 0 +
F(x) 增函数 极值 减函数 极值 增函数
∴ x0 时F(x)取极值 4
(Ⅱ)(Ⅰ)知 F(x)x3+(2a)x2+4
∵F(x)≥0  0 恒成立  x∈ 0 时F(x) min ≥0
(1) 2a>0 a<2 时(Ⅰ)知 F(x) min F(0)4>0符号题意
(2) 2a≤0 a≥2 时 F′(x)0 求 x 1 03
)2(2
2  xa 21 xx  68
∴   0x 时F(x) min F( 03
)2(2  a )
(
3
42 a ) 3 (a2)(
3
42 a ) 2 +4≥0解等式 2≤a≤5
证等式 6
139132
aaa  需证 3)6(6
16 2  aaa
∵ 5a ∴ 26
16 
aa 23)6( 2 a ( a5 时号成立)

6
139132

aaa 成立( a5 时号成立)
65 [解]（1） 22)()( xxfxf  1 分
0x 时 xx 22 2   10  x 2 分
0x 时 xx 22 2   01  x 3 分
集合 ]11[C 4 分
（2） 05)( 1  xx aaf  05)1()( 2  xx aaa 令 ua x 
方程 05)1()( 2  uauuh 5)0( h 5 分
1a 时 ]1[ aau  0)( uh ]1[ aa
解






05)1()(
05111)1(
2
2
aaaah
aaah  5a 7 分
10  a 时 ]1[ aau  0)( ug ]1[ aa 解






0)1(
0)(
ah
ah

2
10  a 9 分

2
10  a 5a 时方程 C 解唯解10 分
（3） ]24
1[A 11 分
① 0t 时函数
23)( 3 ttxxxg  ]10[x 单调递增函数 )(xg 值域
]2
512[ ttB  ∵ BA  ∴







t
t
2
512
4
1
2 解







5
2
2
1
t
t

5
2t 13 分
② 0t 时取 ]10[ 21 xx 1x  2x
)3)((33)()( 2
221
2
1212
3
21
3
121 txxxxxxtxxtxxxgxg 
10 1t ∵ 10 1  x 10 2  x 1x  2x ∴ 2
221
2
1 xxxx  t33 69
∴ 0)()( 21  xgxg 函数 )(xg 区间 ]10[ 单调递减 ]22
51[ ttB 
∴







22
4
1
2
51
t
t
： 1t 4t 15 分
20 10  t
1 2( ) ( ) 0g x g x  须 2 2
1 1 2 2 3x x x x t   ∵ 1x  2x ∴ 2
13 3x t 1x t
1 2 [ 1]x x t 时 2 2
1 1 2 2 3x x x x t   1 2( ) ( ) 0g x g x  16 分
1 2 [0 ]x x t 时 2 2
1 1 2 2 3x x x x t   1 2( ) ( ) 0g x g x 
函数 )(xg ]1[ t 单调递增 ]0[ t 单调递减 )(xg tx  达值
BA 





4
1)(
2)1(2)0(
tg
gg






01)(2)(8
5
24
23 tt
tt
10  t BA  t 解18 分
综述：t 取值范围： )4[]5
2(  
66 解：①函数 ( )f x 图象关原点称
意实数 x ( ) ( )f x f x  
 3 2 3 22 4 2 4ax bx cx d ax bx cx d        
2 2 0bx d  恒成立  0 0b d 
3 2( ) ( ) 3f x ax cx f x ax c    
1x  时 ( )f x 取极值 2
3
 3 0a c   2
3a c 
1 13a c   
②  11x  时图象存样两点结成立
假设图象存两点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 两点处切线互相垂直 2( ) 1f x x   知两
点处切线斜率分 2 2
1 1 2 21 1K x K x   
2 2
1 2( 1)( 1) 1x x    （*）
1 2x x  [11] 2 2
1 2( 1)( 1) 0x x    （*）矛盾70
③ 2( ) 1f x x   令 ( ) 0f x  1x   ( 1)x  
(1 )x  时 ( ) 0f x  ( 11)x  时 ( ) 0f x 
 ( )f x [11]减函数 max
2( ) ( 1) 3f x f   ……10 分
min
2( ) (1) 3f x f   [11] 2( ) 3f x 
 1 2 11x x   时 1 2 1 2
2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3f x f x f x f x     
67 解：（1）题意 xkxxf )1()( 2  ……………………1 分
)2()( 区间xf 增函数
)2(0)1()( 2  xkxxf 恒成立………………3 分
21  xxk 恒成立
121  kk ……………………5 分
k1 时 )2(1)1(2)( 22  xxxxxf 恒 0
)2()( xf 单增符合题意
k 取值范围 k≤1……………………6 分
（2）设
3
1
2
)1(
3)()()( 2
3
 kxxkxxgxfxh
)1)(()1()( 2  xkxkxkxxh
令 10)(  xkxxh ………………8 分
（1）知 k≤1
① k1 时 )(0)1()( 2 xhxxh  R 递增显然合题意………9 分
② k<1 时 xxhxh )()(  变化情况表：
x )( k k (k1) 1 (1+  )
)(xh + 0 － 0 +
)(xh ↗
极
3
1
26
23
 kk ↘
极
2
1k ↗
……………………11 分71
)()(02
1 xgxfk 欲 图象三交点
方程 )()( xgxf 
0)( xh 三实根
需 03
1
26
23
 kk 0)22)(1( 2  kkk

022
1
2




kk
k 解 31k
综求 k 范围 31k ……………………14 分
68 解：(1)函数 ）（）（ 023  acxbxaxxf 定义 R 奇函数
）（）（ xfxf  02 bx Rx  恒成立 0b
cxaxxf  3）（ caxxf  23）（
 1x 时函数取极值 1 ∴ 103  caca
解
2
3
2
1  ca ． ……………………………………………4 分
(2) xxxf 2
3
2
1 3 ）（ )1)(1(2
3
2
3
2
3)( 2  xxxxf
 11x 时 0 ）（xf  11)(  xxf 减函数 ……………6 分
）（）（）（ 11  fxff 1）（xf
 1121 xx 时 2112121  ）（）（）（）（ xfxfxfxf ．…9 分
(3)设 ））（（）（ 212211 xxyxByxA 
2
3
2
3 2  xxf ）（ BA 两点切线行
2
2
2
121 xxxfxf  ）（）（ ．
 21 xx 21 xx  21 yy 
2
3
2
1 2
1
1
1
12
12 
 xx
y
xx
yyk AB
A 点切线垂直直线 AB ））（（ 12
3
2
1
2
3
2
3 2
1
2
1  xx 12 分
∴ 013123 2
1
4
1  xx ∵ 1012 x关 方程解．
曲线存两点 BA BA 两点切线垂直直线 AB ．72
69 解(Ⅰ) F 0(ln)()()(  xx
axxgxfx )0(1)(＇ 22  x
x
ax
x
a
xxF
）单调递增（  )()(0)(0 axFaxxFa
）单调递减（ axFaxxF 0)()0(0)( 
））单调递增区间（单调递减区间（  0)( aaxF
（Ⅱ） 恒成立)30(2
1)()30()( 02
0
0
02  x
x
axxFkx
x
axxF
min0
2
0 )2
1( xxa 
2
1
2
11 0
2
00 取值时 xxx 
2
12
1  nmnaa …………………………………………4 分
（Ⅲ）
2
1
2
11)
1
2( 2
2 

 mxm
x
agy 图象
)1ln()1( 22  xxfy 图象恰四交点
)1ln(2
1
2
1 22  xmx 四根
2
1
2
1)1ln( 22  xxm 四根
令
2
1
2
1)1ln()( 22  xxxG

1
)1)(1(
1
2
1
2)( 22
3
2 





x
xxx
x
xxxx
x
xxG
x 变化时 )()( xGxG 变化情况表：
x ）（ 1 (10) (01) (1  )
)(xG 符号 + +
)(xG 单调性 ↗ ↘ ↗ ↘
表格知： 02ln)1()1()(2
1)0()(  GGxGGxG 值值
画出草图验证
2
1
2
125ln)2()2(  GG 知 )2ln2
1(m 时
恰四交点 myxGy  )(
图象时
2
1
2
11)
1
2()2ln2
1( 22 

 mxm
x
agym
交点图象恰四)1ln()1( 22  xxfy ………………4 分73
70 解：（1） yxyxF )1()( 
942)94(log1()( 2)94(log2
2
2
2   xxxxFxf xx A（09）…1 分
坐标原点 O 曲线 C1 作切线切点 B（nt）（n>0） 42)(  xxf
)63(
42
942
B
nn
t
nnt
解





 …………3 分
9|)933()294( 3
0
2
3
23
0  xxxdxxxxS
………………5 分
（2）令 2
)1ln(1)(1)1ln()(
x
xx
x
xhxx
xxh
 …………6 分
令 0)1ln(1)(  xxx
xxp 0
)1(1
1
)1(
1)( 22 




x
x
xx
xp
)0[)(  xp 单调递减……………………7 分
0)(10)0()(0  xhxpxpx 时时
)1[)(  xh 单调递减………………8 分
xy yxyxxyy
y
x
xyx )1()1()1ln()1ln()1ln()1ln(1  时
)()( xyFyxFyxNyx   时 ………………9 分
（3） 1)1(log1()( 2322
2  bxaxxbxaxxFxg
设曲线 )14(02  xxC 处斜率－8 切线
题设 23)(0)1(log 223
2 baxxxgbxaxx 
∴存实数 b






11
14
823
0
2
0
3
0
0
0
2
0
bxaxx
x
baxx
解…………11 分
① 238 0
2
0 axxb  代入③ 082 0
2
0  axx …………12 分





084
082
0
0
2
0
x
axx 解 08)1()1(208)4()4(2 22  aa
①
②
③74
101010  aaa ………………14 分
71 （1）证明：(Ⅰ) 0x  时
2
1 2
x
x ax ee x   成立
需证： 2 12
x xae x e x   需证： 2 11 2 x
a xx e
  ①
令 2 1( ) 2 x
a xy x x e
  求导数 2
1 ( 1)( ) ( )
x x
x x
e x e xy x ax axe e
       
∴ 2
1( ) ( )y x x a e
   1a  求 0x  ( ) 0y x 
∴ ( )y x 增函数 ( ) (0) 1y x y  ①式证
（Ⅱ） 0x  时
2
1 2
xx xe x a e   成立
需证：
2
12
x xaxe e x   需证：
2
21 ( 1)2
x xax e x e    ②
令
2
2( ) ( 1)2
x xaxm x e x e    求导数 2( ) ( 1)x xm x xe e a x      
( ) ( 1)xx e a x    0x  时增函数 ( ) (0) 1 0x a     ( ) 0m x 
∴ ( )m x 0x  时减函数 ( ) (0) 1m x m  ②式证
①②讨知原等式
2
2 1 2
xaxe x e   1a  时恒成立…………（6 分）
（2）解：
2
0 00
0 1 2
x xxe x a e    变形
2
0 0
0 1 02 x
ax x
e
   ③
找 X0>0③式成立需找函数
2 1( ) 12 x
ax xt x e
   值
满足 ( )min 0t x  ( )t x 求导数 1( ) ( )xt x x a e
  
令 ( ) 0t x  1xe a
 x lna取 X0 lna
0< x < lna 时 ( ) 0t x  x > lna 时 ( ) 0t x 
( )t x xlna 时取值 2
0( ) (ln ) ( ln 1) 12
at x a a a    
面需证明： 2(ln ) ln 1) 02
a a a a a    0 1a  时成立75
令 2( ) (ln ) ln 12
ap a a a a a    ( )p a 关 a 求导数
21( ) (ln ) 02p a a   ( )p a 增函数
( ) (1) 0p a p  2(ln ) ln 1 02
a a a a a    证
( )t x 值 ( ln ) 0t a 
找常数 0 ln (0 1)x a a    ③式成立 ……………………（14 分）
72 解 ：（ 1 ） 题 设   ln( 1)f x x  令 2 2( ) ( ) ln( 1) 2 2
x xg x f x xx x
     

2
＇
2 2
1 2( 2) 2( ) 1 ( 2) ( 1)( 2)
x x xg x x x x x
      
＇0 ( ) 0x g x   ( )g x  0 增函数
( ) (0) 0g x g    2
2
xf x x
 

（2）原等式等价 2 2 21 ( ) 2 32 x f x m bm   
令 2 2 2 21 1( ) ( ) ln(1 )2 2h x x f x x x    
3
＇
2 2
2( ) 1 1
x x xh x x x x
   

令 ＇ ( ) 0h x  0 1 1x x x    列表（略）
  11x  时 max( ) 0h x  2 2 3 0m bm   
令 2( ) 2 3Q b mb m   
2
2
(1) 2 3 0
( 1) 2 3 0
Q m m
Q m m
         
解 3m   3m 
73 解：（1）三函数值次1 1 t 1 t
(1) 0f  1c a b   
∴ 3 2 3 2( ) ( 1)f x x ax bx c x ax bx a b         
2( 1)[ ( 1) ( 1)]x x a x a b      
方程 2 ( 1) ( 1) 0x a x a b      两根 1 t 1 t ．
1 1 ( 1)t t a      1 1 1t t a b      ．
2 2( 1 1 ) ( 1)t t a     22 2( 1) ( 1)a b a    
∴ 2 2 3a b  ．
（2）①题意 1 2x x 方程 2＇( ) 3 2 0f x x ax b    根
1 2
2
3
ax x   1 2 3
bx x 
△ 2(2 ) 12 0a b   3b  ．76

2
2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3| | ( ) 4 3 3
a b bx x x x x x       
2 3
3
b 2
3
 2b  2 2 3 7a b   ．
（Ⅰ）知 1 1 ( 1) 0t t a       1a  
∴ 7a   ( 1) 7 3c a b     
∴ 3 2( ) 7 2 7 3f x x x x     ．
② 1 2| | | ( ) ( ) |M N f x f x   3 3 2 2
1 2 1 2 1 2| ( ) ( ) ( ) |x x a x x b x x     
2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x x x x x a x x b       
22 3 2 2| ( ) ( ) |3 3 3 3
b a b aa b      
3
24 (3 )27 b  （
32
24 9( )27 2
a ）．
（Ⅰ） 2 2 2( 1) ( 1 1 ) 2 2 1a t t t       
∵ 0 1t  ∴ 22 ( 1) 4a  
1a   ∴ 2 1 2a    
3 2 1a     23 2 2 9a   （ 2 3b  ）
∴
3
240 | | (3 2)27M N    ．
74 解：（Ⅰ）已知函数
bx
axxf 
 2)( 22
2
)(
)2()()(＇ bx
xaxbxaxf 
 …………１分
函数 )(xf 1x 处取极值 2





2)1(
0)1(＇
f
f …………２分












1
4
2
1
02)1(
b
a
b
a
aba
1
4)( 2 

x
xxf ……………………4 分
（Ⅱ）
22
2
22
2
)1(
44
)1(
)2(4)1(4)(＇




x
x
x
xxxxf 0)(＇ xf 044 2  x 11  x

1
4)( 2 

x
xxf 单调增区间（－11）………………………… 6 分
函数 )(xf （m2m＋1）单调递增







mm
m
m
12
112
1
…………７分77
解 01  m ]01( m 时函数 )(xf （m2m＋1）增函数 ………８分
（Ⅲ） 22
2
2 )1(
)2(4)1(4)(＇
1
4)( 



x
xxxxf
x
xxf
直线 l 斜率 22
0
2
0
2
0
0 )1(
8)1(4)(＇ 

x
xxxfk …………９分
k ]
1
1
)1(
2[4 2
0
22
0 



xx
令 ]10(
1
1
2
0

 tt
x
…………１０分
]10()2(4 2  tttk
]42
1[ k 直线 l 斜率 k 取值范围 ]42
1[  ………………1２分
75 解：（Ⅰ） 13)( 2  mxxf 题意  )1(f 4tan  113 m
3
2m …2 分
∵ nf )1( ∴
3
1n ……………………3 分
（Ⅱ）令 012)( 2  xxf
2
2x …………………………4 分

2
21  x 时 012)( 2  xxf
2
2
2
2  x 时 012)( 2  xxf
32
2  x 时 012)( 2  xxf
3
1)1( f
3
2)2
2( f
3
2)2
2( f
15)3( f ]31[x 时 15)(3
2  xf
等式 1993)(  kxf ]31[x 恒成立 2008199315 k
存正整数 2008k 等式 1993)(  kxf
]31[x 恒成立
（Ⅲ）方法： |)(cos)(sin| xfxf  |)coscos3
2()sinsin3
2(| 33 xxxx 
|)cos(sin)cos(sin3
2| 33 xxxx  |]1)coscossin(sin3
2)[cos(sin| 22  xxxxxx
|3
1cossin3
2||cossin|  xxxx 3|cossin|3
1 xx  3|)4sin(2|3
1  x
3
22 ∵ 0t ∴
22
1 
tt 1
4
1
2
2 
t
t
∴ )2
1(2 ttf  )]2
1()2
1(3
2[2 3
tttt  ]3
1)4
1(3
2)[2
1(2 2
2 
tttt
3
22)3
1
3
2(22 
综 )2
1(2|)(cos)(sin| ttfxfxf  （ Rx  0t ） ………14 分
方法二：（Ⅱ）知函数 )(xf [1
2
2 ]增函数[
2
2
2
2 ]减函数[
2
2
1]增函数
3
1)1( f
3
2)2
2( f
3
2)2
2( f
3
1)1( f
x∈[11]时
3
2)(3
2  xf
3
2|)(| xf 78
∵ xsin xcos ∈[11]∴
3
2|)(sin| xf
3
2|)(cos| xf
∴
3
22
3
2
3
2|)(cos||)(sin||)(cos)(sin|  xfxfxfxf ……11 分
∵ 0t ∴ 122
1 
tt 函数 )(xf )1[  增函数
∴
3
22]2)2(3
2[2)2(2)2
1(2 3  fttf …………………13 分
综 )2
1(2|)(cos)(sin| ttfxfxf  （ Rx  0t ）……………14 分
76． 解：（1） xxf cos4
1
2
1)(  …………2 分
]4
34
1[)(  xf 满足条件 1)(0  xf ………………3 分
0x 时 0)0( f 方程 0)(  xxf 实数根 0
函数
4
sin
2)( xxxf  集合 M 中元素…………4 分
（2）假设方程 0)(  xxf 存两实数根  ( ）
0)(0)(   ff ………5 分 妨设   根题意存数 )( c
等式 )()()()( cffff   成立……………………7 分
  )()( ff 1)(  cf
已知 1)(0  xf 矛盾方程 0)(  xxf 实数根…………9 分
（3）妨设 32 xx  0)(  xf )(xf 增函数 )()( 32 xfxf 
01)(  xf 函数 xxf )( 减函数………………10 分
3322 )()( xxfxxf  …………11 分
2323 )()(0 xxxfxf  |||)()(| 2323 xxxfxf  …………12 分
2||||)(||||)()(| 121312132323  xxxxxxxxxxxfxf
77． 解：（I） 2 2( ) [ ( 2) ] xf x x a x a b e       条件： (1) 0f  
2 3 0a b    3 2b a    （1 分）
2 2( ) [ ( 2) 3 ] 0xf x x a x a e        ： ( 1)[ ( 3 )] 0x x a    
4a   时 1x  极值点 4a   （2 分）
4a   时 1x  3x a   4a   时 3x a   1x  （4 分）
综： 4a   时 ( )f x 单调递增区间 ( 3 )a   (1 ) 
单调递减区间 ( 3 1)a  （5 分）79
4a   时 ( )f x 单调递增区间 ( 1) ( 3 )a   
单调递减区间 (1 3 )a  （6 分）
（II） (0 1)a 时(I)知 ( )f x [0 1) 单调递减 (1 2] 单调递增
 [0 2]x 时 1 1
min( ) (1) (1 ) ( 2 )f x f a b e a e       
2(0) ( 3 2 )f a e   (2) 4 2 1f a b    (2) (0)f f
 [0 2]x 时 1( ) [( 2 ) 1]f x a e    （8 分）
条件： 2 1
1 2 max minmax[( 2) ] 1 ( ) ( ) ( ) ( )m a m e f x f x f x f x       11 (2 )a e  
2( 2) 2m a m a    2( 1) 2 0m a m    (01)a  恒成立
令 2( ) ( 1) 2g a m a m    ：
2
2
(0) 2 0 (10 )
(1) 1 0
g m
g m m
       
分
解： 2m  5 1
2m   （14 分）
78 解：（I）图形知二次函数图象点（00）（80）  f x 值 16
2
2
0 1
8 8 0 8
04 164
c a
a b c b
cac b
a

            
解：
∴函数  f x 解析式 xxxf 8)( 2 
（Ⅱ）





xxy
tty
8
8
2
2

80)8(8 21
2 txtxttxx 
∵0≤t≤2∴直线 2l  f x 图象交点坐标 （
)8 2 ttt 
定积分意义知：
22 2 2 2
0
( ) [( 8 ) ( 8 )] [( 8 ) ( 8 ]
t
t
S t t t x x dx x x t t dx            
23 3
2 2 2 2
0[( 8 ) ( 4 )] [( 4 ) ( 8 ) ]3 3
t
t
x xt t x x x t t x            
3 24 4010 163 3t t t     ……………9 分
（Ⅲ）令 ln68)()()( 2 mxxxxfxgx 
0x  函 数  f x 函 数  g x 仅 2 交 点 函 数80
mxxxx  ln68)( 2 图象 x 轴正半轴两交点
)0()3)(1(2682682)(
2
＇  xx
xx
x
xx
xxx
∴ x 1 x 3 时 0)(＇ x
x ∈（01）时 )(0)(＇ xx   增函数 x ∈（13）时 )(0)(＇ xx   减函数 x
∈（3+∞）时 )(0)(＇ xx  
增函数 7)1()(  mx  极值 153ln6)3()(  mx  极值
x →0 时 )(x  )(xx 时
0)( x 仅两正根必须须










0)1(
0)3(
0)3(
0)1(
＇ 














07
0153ln6
0153ln6
07
m
m
m
m ∴ 7m  3ln615 m
∴ 7m  3ln615 m 时函数  f x  g x 图象两交点
79 解： 2
2
3)(＇ xaxf  ∴ 33 2
2  xa
ax  切点坐标(aa)(aa)
∴切线方程 ya3(xa) y+a3(x+a)
整理 3xy2a0 3xy+2a0
5
102
)1(3
|22|
22


 aa 解： 1a 23 3)(＇)( xxfxxf 
333)( 2  bxxxg
（1） bxxg 33)(＇ 2  )(xg x1 处极值
0)1(＇ g 0313 2  b 解 b1
333)( 2  xxxg
（2）∵函数 g(x)[11]增函数 bxxg 33)(＇ 2  [11]恒 0
0b )(42 xgmbb  [11]恒成立 )1(42 gmgb 
bmbb 3442  3 bm ]0(b 恒成立 3m 81
m 取值范围 )3[ 
80 I）解： 01 2  mxx方程 两实根





1


 m
1
)(
)(2
1
2)( 22 




 




 mf
1)(  f …………3 分
（II）
1
2)( 2 

x
mxxf

)1(
)1(2
)1(
2)2()1(2)( 22
2
2
2




x
mxx
x
xmxxxf …………4 分
0))((1)( 2   xxmxxx 时 …………5 分
0)(  xf
)()( xf 增函数 …………7 分
（III）①   00

0)()(
0)()(






















…………9 分
（II）知 )()()( 
 fff 
 …………10 分
②理 )()()( 
 fff 

)()()()()()( 


 ffffff 


|)()(||)()(| 


 ffff 

 …………12 分82
（I）知 11)(1)(   ff
|||||11||)()(| 

  ff
|||)()(| 


 

 ff …………14 分
81 解 （1） 1cos21)(  xxf 0cos x ………………1 分
2
x
时 0cos x
时
2221  xy

22sin22  xxy
………………2 分
21 yy 




  222

直线l 曲线 S 切点 ………………3 分
2
3x
时 0cos x
时
22
321  xy

22
3sin22  xxy
………………4 分
21 yy 




  22
32
3 
直线l 曲线 S 切点 ………………5 分
直线 l 曲线 S 相切少两切点
意 x∈R 0sin22)sin2()2()()(  xxxxxFxg
)()( xFxg  ………………6 分
直线 2  xyl 曲线 xbaxyS sin  夹线 ………………7 分
（2）推测： sin ( 0)y mx n x n   夹线方程 y mx n  …………9 分
①先检验直线 y mx n  曲线 siny mx n x  相切少两切点：
设： ( ) sinF x mx n x 

＇ ( ) cosF x m n x  83
令
＇ ( ) cosF x m n x m   ：
2 2x k  
（kÎ Z） ………………10 分

2 2x k  
时
(2 ) (2 )2 2F k m k n     
：曲线 ( ) sinF x mx n x  点（
2 2k  

(2 )2m k n  
）切线方程：
y－[
(2 )2m k n  
] m [ x －（
2 2k  
）]
化简： y mx n 
直线 y mx n  曲线 siny mx n x  相切数切点．………………12 分
妨设 ( )g x mx n 
②面检验 g（x）³ F（x）
g（x）－F（x） (1 sin ) 0( 0)n x n  
直线 y mx n  曲线 ( ) siny F x mx n x   夹线． ………………14 分
82 解(Ⅰ) ( ) ( ) ( )F x h x x   2 2 ln ( 0)x e x x 
2 2( )( )( ) 2 e x e x eF x x x x
     ． …………………………2 分
x e 时 ( ) 0F x  ． …………………………3 分
 0 x e  时 ( ) 0F x  时函数 ( )F x 递减
x e 时 ( ) 0F x  时函数 ( )F x 递增
∴ x e 时 ( )F x 取极值极值 0 ． …………………………6 分
(Ⅱ)解法：（Ⅰ）知函数 )(xh )(x 图象 ex  处公点存 )(xh )(x 隔
离直线该直线公点． …………………………7 分
设隔离直线斜率 k 直线方程 )( exkey 
ekekxy  ． …………………………8 分
)()( Rxekekxxh  02  ekekxx Rx  时恒成立．84
2)2( ek 
 0 ek 2 ． …………………………10 分
面证明 exex  2)( 0x 时恒成立．
令 ( ) ( ) 2G x x ex e   exexe  2ln2
2 2 ( )( ) 2e e e xG x ex x
    …………………………11 分
x e 时 ( ) 0G x  ．
 0 x e  时 ( ) 0G x  时函数 ( )G x 递增
x e 时 ( ) 0G x  时函数 ( )G x 递减
∴ x e 时 ( )G x 取极值极值 0 ．
( ) 2 ln 2 0G x e x ex e    )0(2)(  xexex 恒成立．………13 分
∴函数 ( )h x ( )x 存唯隔离直线 2y ex e  ． ………………………14 分
解法二： (Ⅰ)知 0x  时 ( ) ( )h x x ( x e 时取等号) ．……7 分
存 ( )h x ( )x 隔离直线存实常数 k b
( ) ( )h x kx b x R   ( ) ( 0)x kx b x    恒成立
令 x e e k e b  e k e b 
k e b e   ekeb  ． …………………………8 分
面解题步骤解法．
83 解： mxxxf  )1ln()(
① 0x 时 01
1)(  mxxf 恒成立

xm 
1
1
0x
11
1  x
1m
求   1m85
② mxxf 
1
1)( )1( x
（1） 0m 时 0)(  xf 恒成立
)(xf )1(  单调递增极值
（2） 0m 时 111 
m
)(xf 


  111 m
单调递增 



  11
m
单调递减
1ln)11()(  mmmfxf 极值
③（1）知 1m 时 )(xf )0(  递减
0x 时 xx  )1ln(
令
1
1

nx )1ln()2ln()1
11ln(1
1  nnnn
)2ln()3ln(2
1  nnn
)12ln()22ln()1(
1  nnnn
)1ln()22ln(12
1
2
1
1
1  nnnnn 
2ln12
1
2
1
1
1  nnn 
84 解：（1） 2a 时 xxxxf ln2)(  1ln2)( 2  xxxf 2)1( f 1)1( f
曲线 )(xfy  1x 处切线方程 3 xy
（2）存 1x ]20[2 x Mxgxg  )()( 21 成立
等价： Mxgxg  max21 )]()([
考察 3)( 23  xxxg )3
2(323)( 2  xxxxxg
x 0 )3
20( 3
2



 23
1
)(xg 0 － 0 ＋86
)(xg －3 递减 极 （ ） 值
27
85
递增
表知：
27
85)3
2()( min  gxg 1)2()( max  gxg
27
112)()()]()([ minmaxmax21  xgxgxgxg
满足条件整数 4M
（3）意 s ]22
1[t )()( tgsf  成立
等价：区间 ]22
1[ 函数 )(xf 值 )(xg 值
（2）知区间 ]22
1[ )(xg 值 1)2( g
1ln)(  xxx
axf 恒成立
等价 xxxa ln2 恒成立
记 xxxxh ln)( 2 xxxxh  ln21)( 0)1( h
记 xxxxm  ln21)( xxm ln23)(  ]22
1[x
0ln23)(  xxm xxxxhxm  ln21)()( ]22
1[ 递减




 12
1x 时 0)(  xh  21x 时 0)(  xh
函数 xxxxh ln)( 2 区间 



 12
1 递增区间 21 递减
1)1()( max  hxh 1a
85 解：（1） axxxaxxfxg  2ln)()( axxxg  21)(
题意知 0)(  xg )0( x 恒成立 min)12( xxa 
0x 2212 
xx 仅
2
2x 时等号成立
22)12( min 
xx 22a
（2）（1）知 221  a )(333)( 23 aeeaeexh xxxx 
0)(  xh ax ln87
 221a ]21[a
① ax ln1  0)(  xh )(xh 单调递减
② 2lnln  xa 0)(  xh )(xh 单调递增
ax ln 时 )(th 取极值极值 aaaaaaah 23)(ln 
（3）设 )(xF ))(( 00 xFx 切线行 x 轴
中 kxxxxF  2ln2)(
kxxxF  22)(
结合题意












④
③
②
①
022
2
0ln2
0ln2
0
0
0
2
2
kxx
xnm
knnn
kmmm
①—② ))((ln2 knmnmn
m  ⑤
③④联立 4))((  knmnm ⑥
⑤⑥
1
)1(2)(2ln




n
m
n
m
nm
nm
n
m ⑦
设 )10(
n
mu ⑦式变 ))10((01
)1(2ln 
 uu
uu
设 ))10((1
)1(2ln 
 uu
uuy
0)1(
)1(
)1(
4)1(
)1(
)1(2)1(21
2
2
2
2
2 



uu
u
uu
uu
u
uu
uy
函数
1
)1(2ln 

u
uuy )10( 单调递增 01  uyy
01
)1(2ln 

u
uu
1
)1(2
ln



n
m
n
m
n
m 式⑤矛盾
)(xF ))(( 00 xFx 处切线行 x 轴88
86 解：（1） 0a 时 )sin(3)( 3 xxxxf   4)1( f 2)1( f
)1()1( ff  )1()1( ff  )(xf 时非奇非偶函数
（2） 0x 时 )sin(3)( 3 xxxxf  )cos(33)( 2 xxxxf 
1x 处切线方程 )1(2  xy 
原点
 2
（3）（i） 0a 时 ]20[x axxxf 33)( 3  33)( 3  xxf
)(xf ]10[ 单调递减 ]21[ 递增 23)1(min  afy
（ii） 2a 时 ]20[x axxxf 33)( 3  033)( 2  xxf )(xf 单调递增
afy 3)0(min 
（iii） 20  a 时





)2(33
)0(33)( 3
3
xaaxx
axaxxxf
ax 0 时 033)( 2  xxf )(xf 单调递增 afy 3)0(min 
2 xa 时 33)( 2  xxf )(xf ]10[ 单调递减 ]21[ 递增 10  a
23)1(min  afy 21  a 时 3
min )( aafy 
10  a 时 26)3(23  aaa ]20[x 时








3
1023)1(
13
13)0(
min
aaf
aaf
y
样 21  a aa 33  afy 3)0(min 
综：
3
1a 时 23)1(min  afy
3
1a 时 afy 3)0(min 

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