第二部分三压轴题
压轴题()
8．(2020·山东德州模)已知函数f(x)＝关x方程f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0两实数根m取值范围( )
A
B．(－∞0)∪
C．(－∞－1)∪(－10)∪
D．(－∞0)∪∪(12)
答案 C
解析 x>0时f(x)＝f′(x)＝令f′(x)>00e函数f(x)(0e)单调递增[e＋∞)单调递减f(e)＝画出函数图象图示．f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0(f(x)－m)(f(x)＋1)＝0f(x)＝－1时根图象知1解f(x)＝m1解根图象知m∈(－∞－1)∪(－10)∪选C
12．(选)(2020·山东学附属中学6月模拟检测)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长2图MCC1动点AM⊥面α面说法正确( )
A．直线AB面α成角正弦值范围
B．点M点C1重合时面α截正方体截面面积越周长越
C．点MCC1中点时面α点B面α截正方体截面图形等腰梯形
D．已知NDD1中点AM＋MN时MCC1中点
答案 AC
解析 点D坐标原点DADCDD1直线分xyz轴建立空间直角坐标系Dxyz点A(200)B(220)设点M(02a)(0≤a≤2)∵AM⊥面α面α法量＝(－22a)＝(020)|cos〈〉|＝＝＝∈∴直线AB面α成角正弦值范围A正确MC1重合时连接A1DBDA1BAC正方体ABCD－A1B1C1D1中CC1⊥面ABCD∵BD⊂面ABCD∴BD⊥CC1∵四边形ABCD正方形∴BD⊥AC∵CC1∩AC＝C∴BD⊥面ACC1∵AC1⊂面ACC1∴AC1⊥BD理证AC1⊥A1D∵A1D∩BD＝D∴AC1⊥面A1BD
易知△A1BD边长2等边三角形面积S△A1BD＝×(2)2＝2周长2×3＝6设EFQNGH分棱A1D1A1B1BB1BCCDDD1中点易知六边形EFQNGH边长正六边形面EFQNGH∥面A1BD正六边形EFQNGH周长6面积6××()2＝3
△A1BD面积正六边形EFQNGH面积周长相等B错误设面α交棱A1D1点E(b02)点M(021)＝(－221)
∵AM⊥面αDE⊂面α
∴AM⊥DE·＝－2b＋2＝0b＝1
∴E(102)
∴点E棱A1D1中点理知面α棱A1B1交点F棱A1B1中点F(212)＝(110)＝(220)∴＝∴EF∥DBEF≠DB
空间中两点间距离公式DE＝＝BF＝＝∴DE＝BF∴四边形BDEF等腰梯形C正确矩形ACC1A1矩形CC1D1D展开面图示：
AM＋MN短AMN三点线∵CC1∥DD1∴＝＝＝2－∵DN＝1∴MC＝2－≠CC1∴点M棱CC1中点D错误．选AC
16．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学开展劳动实学生加工制作零件零件截面图示．O圆孔轮廓圆弧AB圆圆心A圆弧AB直线AG切点B圆弧AB直线BC切点四边形DEFG矩形BC⊥DG垂足Ctan∠ODC＝BH∥DGEF＝12 cmDE＝2 cmA直线DEEF距离均7 cm圆孔半径1 cm图中阴影部分面积________ cm2
答案 4＋
解析 设OB＝OA＝r图点A作直线DEEF垂线垂足分MNAN交CG点P题意知AM＝AN＝7EF＝12EN＝AM＝7NF＝EF－EN＝5DE＝2PN＝2AP＝AN－PN＝5PG＝NF＝5AP＝PG∠AGP＝45°BH∥DG∠AHO＝45°AG圆弧AB相切A点OA⊥AG△OAH等腰直角三角形．Rt△OQD中OQ＝5－rDQ＝7－rtan∠ODC＝＝21－r＝25－r解r＝2等腰直角三角形OAH面积S1＝×2×2＝4扇形AOB面积S2＝××(2)2＝3π阴影部分面积S1＋S2－π×12＝4＋
21．已知函数f(x)＝(x2＋2aln x)．
(1)讨f(x)＝(x2＋2aln x)x∈(1e)单调性
(2)存x1x2∈(1e)(x1≠x2)f(x1)＝f(x2)<0成立求a取值范围．
解 (1)f(x)＝(x2＋2aln x)
f′(x)＝x＋＝(x>0)
a≥0时f′(x)>0恒成立
f(x)(1e)单调递增
a<0时f′(x)＝0解x＝(舍负值)
≤1a∈[－10)f(x)(1e)单调递增
≥ea∈(－∞－e2]
f(x)(1e)单调递减
a∈(－e2－1)f(x)(1)单调递减[e)单调递增．
(2)(1)知a≤－e2a≥－1时函数f(x)(1e)单调函数时存x1x2∈(1e)(x1≠x2)f(x1)＝f(x2)<0
a∈(－e2－1)时f(x)(1)单调递减[e)单调递增f(x)x＝处取极值
f(x)极值＝f()＝(－a＋2aln )＝－a＋aln (－a)中a∈(－e2－1)
令g(a)＝－a＋aln (－a)a∈(－e2－1)
g′(a)＝－＋ln (－a)＋＝ln (－a)a∈(－e2－1)
易g′(a)>0g(a)(－e2－1)单调递增
g(－e)＝0
a∈(－e2－e)时f(x)极值<0
时存x1x2∈(1e)(x1≠x2)
f(x1)＝f(x2)<0
a取值范围(－e2－e)．
22．(2020·河北衡水中学高三质量检测)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)抛物线y2＝8x焦点顶点离心率
(1)求椭圆E方程
(2)直线l：y＝kx＋m椭圆E相交AB两点直线x＝－4相交Q点P椭圆E点满足＝＋(中O坐标原点)试问x轴否存点T·定值？存求出点T坐标·值存请说明理．
解 (1)抛物线y2＝8x焦点坐标(20)
题意知a＝2e＝＝
c＝1b＝＝
椭圆E方程＋＝1
(2)设点A(x1y1)B(x2y2)
联立
消y整理(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0
Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0
m2<4k2＋3
根系数关系x1＋x2＝－
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝
＝＋＝(x1＋x2y1＋y2)＝
点P
点P椭圆E2·＋2·＝1化简4m2＝4k2＋3m≠0满足Δ>0
联立点Q(－4m－4k)
设x轴存点T(t0)·定值
＝(－4－tm－4k)·
＝＝
＝＋定值·定值需2＝＝定值t＋1＝0解t＝－1
x轴存定点T(－10)·定值．
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压轴题()
8．(2020·山东德州模)已知函数f(x)＝关x方程f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0两实数根m取值范围( )
A
B．(－∞0)∪
C．(－∞－1)∪(－10)∪
D．(－∞0)∪∪(12)
答案 C
解析 x>0时f(x)＝f′(x)＝令f′(x)>00
12．(选)(2020·山东学附属中学6月模拟检测)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长2图MCC1动点AM⊥面α面说法正确( )
A．直线AB面α成角正弦值范围
B．点M点C1重合时面α截正方体截面面积越周长越
C．点MCC1中点时面α点B面α截正方体截面图形等腰梯形
D．已知NDD1中点AM＋MN时MCC1中点
答案 AC
解析 点D坐标原点DADCDD1直线分xyz轴建立空间直角坐标系Dxyz点A(200)B(220)设点M(02a)(0≤a≤2)∵AM⊥面α面α法量＝(－22a)＝(020)|cos〈〉|＝＝＝∈∴直线AB面α成角正弦值范围A正确MC1重合时连接A1DBDA1BAC正方体ABCD－A1B1C1D1中CC1⊥面ABCD∵BD⊂面ABCD∴BD⊥CC1∵四边形ABCD正方形∴BD⊥AC∵CC1∩AC＝C∴BD⊥面ACC1∵AC1⊂面ACC1∴AC1⊥BD理证AC1⊥A1D∵A1D∩BD＝D∴AC1⊥面A1BD
易知△A1BD边长2等边三角形面积S△A1BD＝×(2)2＝2周长2×3＝6设EFQNGH分棱A1D1A1B1BB1BCCDDD1中点易知六边形EFQNGH边长正六边形面EFQNGH∥面A1BD正六边形EFQNGH周长6面积6××()2＝3
△A1BD面积正六边形EFQNGH面积周长相等B错误设面α交棱A1D1点E(b02)点M(021)＝(－221)
∵AM⊥面αDE⊂面α
∴AM⊥DE·＝－2b＋2＝0b＝1
∴E(102)
∴点E棱A1D1中点理知面α棱A1B1交点F棱A1B1中点F(212)＝(110)＝(220)∴＝∴EF∥DBEF≠DB
空间中两点间距离公式DE＝＝BF＝＝∴DE＝BF∴四边形BDEF等腰梯形C正确矩形ACC1A1矩形CC1D1D展开面图示：
AM＋MN短AMN三点线∵CC1∥DD1∴＝＝＝2－∵DN＝1∴MC＝2－≠CC1∴点M棱CC1中点D错误．选AC
16．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学开展劳动实学生加工制作零件零件截面图示．O圆孔轮廓圆弧AB圆圆心A圆弧AB直线AG切点B圆弧AB直线BC切点四边形DEFG矩形BC⊥DG垂足Ctan∠ODC＝BH∥DGEF＝12 cmDE＝2 cmA直线DEEF距离均7 cm圆孔半径1 cm图中阴影部分面积________ cm2
答案 4＋
解析 设OB＝OA＝r图点A作直线DEEF垂线垂足分MNAN交CG点P题意知AM＝AN＝7EF＝12EN＝AM＝7NF＝EF－EN＝5DE＝2PN＝2AP＝AN－PN＝5PG＝NF＝5AP＝PG∠AGP＝45°BH∥DG∠AHO＝45°AG圆弧AB相切A点OA⊥AG△OAH等腰直角三角形．Rt△OQD中OQ＝5－rDQ＝7－rtan∠ODC＝＝21－r＝25－r解r＝2等腰直角三角形OAH面积S1＝×2×2＝4扇形AOB面积S2＝××(2)2＝3π阴影部分面积S1＋S2－π×12＝4＋
21．已知函数f(x)＝(x2＋2aln x)．
(1)讨f(x)＝(x2＋2aln x)x∈(1e)单调性
(2)存x1x2∈(1e)(x1≠x2)f(x1)＝f(x2)<0成立求a取值范围．
解 (1)f(x)＝(x2＋2aln x)
f′(x)＝x＋＝(x>0)
a≥0时f′(x)>0恒成立
f(x)(1e)单调递增
a<0时f′(x)＝0解x＝(舍负值)
≤1a∈[－10)f(x)(1e)单调递增
≥ea∈(－∞－e2]
f(x)(1e)单调递减
a∈(－e2－1)f(x)(1)单调递减[e)单调递增．
(2)(1)知a≤－e2a≥－1时函数f(x)(1e)单调函数时存x1x2∈(1e)(x1≠x2)f(x1)＝f(x2)<0
a∈(－e2－1)时f(x)(1)单调递减[e)单调递增f(x)x＝处取极值
f(x)极值＝f()＝(－a＋2aln )＝－a＋aln (－a)中a∈(－e2－1)
令g(a)＝－a＋aln (－a)a∈(－e2－1)
g′(a)＝－＋ln (－a)＋＝ln (－a)a∈(－e2－1)
易g′(a)>0g(a)(－e2－1)单调递增
g(－e)＝0
a∈(－e2－e)时f(x)极值<0
时存x1x2∈(1e)(x1≠x2)
f(x1)＝f(x2)<0
a取值范围(－e2－e)．
22．(2020·河北衡水中学高三质量检测)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)抛物线y2＝8x焦点顶点离心率
(1)求椭圆E方程
(2)直线l：y＝kx＋m椭圆E相交AB两点直线x＝－4相交Q点P椭圆E点满足＝＋(中O坐标原点)试问x轴否存点T·定值？存求出点T坐标·值存请说明理．
解 (1)抛物线y2＝8x焦点坐标(20)
题意知a＝2e＝＝
c＝1b＝＝
椭圆E方程＋＝1
(2)设点A(x1y1)B(x2y2)
联立
消y整理(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0
Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0
m2<4k2＋3
根系数关系x1＋x2＝－
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝
＝＋＝(x1＋x2y1＋y2)＝
点P
点P椭圆E2·＋2·＝1化简4m2＝4k2＋3m≠0满足Δ>0
联立点Q(－4m－4k)
设x轴存点T(t0)·定值
＝(－4－tm－4k)·
＝＝
＝＋定值·定值需2＝＝定值t＋1＝0解t＝－1
x轴存定点T(－10)·定值．
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