解析教案
第章 量坐标
章教学目：通章学学生掌握量运算概念熟练掌握线性运算非线性运算基性质运算规律分量表示会利量运算建立空间坐标系解决某问题章利代数方法研究空间图形性质基础
章教学重点： （1）量基概念量间关系种刻划（2）量线性运算积运算定义运算规律分量表示
章教学难点： （1）量运算空间坐标系联系（2）量数量积量积区联系（3）量运算面立体中应
章教学容：
§11 量基概念
定义：方量称量力速度位移等
二表示：带箭头线段表示量箭头表示量方线段长度代表量量量模（长度）
始点A终点B量记作模记做
注：方便起见少数情形量始终点字母标记量外般写黑体字母abc……标记量希腊字母λμν……标记数量
三两种特殊量：
1零量：模等0量零量简称零量0记
注：零量唯方定量
2单位量：模等1量称单位量特非0量单位量称单位量记作
四量间种特殊关系：
1行（线）：量a行量b意a直线行b直线记作a∥b规定：零量行量
2相等：量a等量b意ab模相等记作ab
注：二量相等否仅取决模方位置关种位置关量称量提量指量
3反量：量a模相等方相反量称a反量记作a显然 零量反量身
4面量：行面组量称面量易见两量总面三量中两量线三量定面零量面量组面
注意：应量数量严格区开：
①量较没意义 ②量没运算类似式子没意义
§12 量加法
量加法：
定义1 设邻边作行四边形取角线量记图11称记作
（图11）
种行四边形角线量规定两量方法称作量加法行四边形法
果量量直线规定样量：
指相时量方原两量相模等两量模
指相反时量模等两量模差绝值方模值量方致
行四边形边行相等样作出两量量：
定义2 作终点起点作联接（图12）
（12）
该方法称作量加法三角形法
（图12）
量加法三角形法实质：
两量首尾相联量首量尾连线两量量
量加法定义证明量加法具列运算规律：
定理1 量加法满足面运算律：
1交换律 （122）
2结合律 （123）
证 交换律证明量加法定义证
证结合律 空间点O开始次作
定理1知三量相加先序结合序结果总相简单写作
二 量减法
定义3 做差记
显然
特
三角形法出：减长度相方相反量加量行四边形法作出量设邻边作行四边形角线量
例1 设互线三量试证明次终点始点相连成三角形充条件零量
证 必性 设三量构成三角形（图13）
（图13）
充分性 设作构成三角形
例2 量法证明：角线互相分四边形行四边形
证 设四边形角线交点互相分（图14）
图出：
∥四边形行四边形
（图14）
§13 数量量
定义131 设数量量积量记作模等倍方规定：时量方方相时量零量时量方方相反
特取量模模相等方相反负量定义知：
量数量积定义导出数量运算符合列运算规律：
定理131 数量量法满足面运算律：
1) 1·
2)结合律 (131)
3)分配律
(132)
4) (133)
证 1)定义显然成立
2)显然量方致
3）分配律 果中少0等式显然成立
反
ⅰ) 显然
ⅱ）妨设
ⅰ)
情形类似证明
常结：
定理3 ( 数量 )量量行记作反量量行( 数量)
设非零量表示方单位量
方方
规定：
表明：非零量模原量方单位量
请注意：量间没定义法运算决式子改写成形式
十分显然种错误受实数运算法惯性作造成
例1 设AM三角形ABC中线求证
（图15）
证 图15
例2 量法证明：连接三角形两边中点线段行第三边等第三边半
证 设△ABC两边ABAC中点分MN
§14 量线性关系量分解
定义141 量数量组成量做量线性组合称量线性表示称分解成量线性组合
定理141 果量量量线充条件量线性表示存实数 (141)
系数唯确定
证 成立定义131知量量线反果量量线定存实数（见13节中135证明）
证唯性：果
定理142 果量线量面充条件量线性表示
(142)
系数唯确定
证：
（图16）
线定义114知设中线定理141中中零果线
结始点设终点分
作行线次交直线（图16）定理 141设行四边形法
反设果中零线面果量加法行四边形法知面面
证唯性
果假设矛盾理
证明唯性
定理143 果量面空间意量量线性表示存组实数 (143)
系数xyz唯确定
证明方法定理142类似
定义142 量存全零实数
(144)
称量线性相关
线性相关量做线性关量线性关：
定理144 时量线性相关充条件中少量余量线性组合
证 设量线性相关存全零实数
中少等0妨设
反设量中量妨设余量线性组合
数1全0量线性相关
定理145 果组量中部分量线性相关组量线性相关
证 设中部分妨设前r量线性相关存全零实数全零线性相关
推 果组量中含零量组量线性相关
类似证明面定理：
定理146 两量线线性相关
定理147 三量面线性相关
定理148 空间意四四量总线性相关
例1 试证明：点线段充条件：存非负实数中意取定点
证（先证必性）设线段
取点
取
（充分性）点非负实数
线直线
线段
例2设两线量证明线充条件
证 线线性相关
存全0实数 (145)
线 线性关方程非零解
§15 标架坐标
空间点直角坐标
面直角坐标系建立面点序数组间应关系沟通面图形数研究
沟通空间图形数研究 类似面解析方法通引进空间直角坐标系实现
1空间直角坐标系
空间定点作三条互相垂直数轴原点般具相长度单位三条轴分轴(横轴)轴(轴)轴(竖轴)统称坐标轴
通常轴轴配置水面轴铅垂线正方符合右手规：
(图17)
右手握住轴右手四指头轴正角度转轴正时拇指指轴正
三条坐标轴组成空间直角坐标系点做坐标原点
注：空间直角坐标系画更富立体感通常轴轴间夹角画成左右然实际夹角
2坐标面卦限
三条坐标轴中意两条确定面样定出三面统称坐标面
轴轴决定坐标面称面外面面
三坐标面空间分成八部分八部分称卦限
(图18)
3空间点直角坐标
取定空间直角坐标系建立起空间点序数组间应关系
设空间已知点点分作垂直轴轴轴三面轴轴轴交点次三点轴轴轴坐标次：空间点唯确定序数组组数点坐标
次称点横坐标坐标竖坐标记
反已知序数组轴取坐标点轴取坐标点轴取坐标点然分作轴轴轴垂直面三面交点序数组坐标空间点
样通空间直角坐标系建立空间点序数组间应关系
定义1 面序数组点坐标系坐标记
二 空间两点间距离公式
定理1 设空间两点两点间距离
(151)
证 作三分垂直三坐标轴面六面围成角线长方体图示
(图19)
直角三角形
直角三角形
特点坐标原点距离
三 空间量坐标
定义2 设坐标轴单位量空间意量存唯组实数组序实数做量坐标系坐标记
定理2 设量始终点坐标分量坐标
(152)
证 点量坐标定义知
定义知
定理3 两量分量等两量应分量
证 设
+
(153)
类似证面两定理：
定理4 设
定理5 设线充条件
(154)
定理6 三非零量面充条件 (155)
证 面存全0实数
全0
§16 量轴射影
空间点轴投影：
设已知点轴点作轴垂直面面轴交点做点轴投影
(图110)
二量轴投影：
定义1 设量始点终点轴投影分轴线段值做量轴投影记作轴称投影轴
(图111)
里值样数：
(1) 数绝值等量模
(2)方轴正致时方轴正相反时
三空间两量夹角：
设两量交点(相交中量移相交)中量绕点两量决定面旋转正方量正方重合样旋转角度(限定)称间夹角记作
(图112)
行指相时规定间夹角指相反时规定夹角
类似规定量数轴间夹角
量行移动数轴相交然量绕交点量数轴决定面旋转量正方数轴正方重合样旋转角度称量数轴夹角
四 投影定理：
定理161 量轴投影等量模轴量夹角余弦
(161)
(图113)
证 量始点引轴轴轴行具相正方未轴量夹角等轴量夹角
式知：量轴投影数值量
非零量投影轴成锐角时量投影正
定理162 量 (162)
证 取设分轴投影显然
类似证面定理：
定理163 量实数 (163)
§17 两量数性积
定义171 两量ab 模|a||b|夹角q 余弦积称量数量积 记作ab ab|a||b|cosq
定义投影关系 ab|b|Prjb a|a|Prjab
数量积性质
(1) a·a|a| 2记a·aa 2a2|a| 2
(2) 两非零量 ab 果 a· b0 a^b
反 果a^b a· b 0
定理171 果认零量量垂直 a^ bÛ a· b 0
定理172 数量积满足面运算律：
(1)交换律 a· b b·a
(2)分配律( a+b)×ca×c+b×c
( (3)la)· b a·(lb ) l(a·b)
(la)·(mb )lm(a·b) lm数
证 （1）定义知显然
(2)证明
c0时 式显然成立
c¹0时
(a+b)×c|c|Prjc(a+b)
|c|(Prjca+Prjcb)
|c|Prjca+|c|Prjcb
a×c+b×c
（3）类似证明
例1 试量证明三角形余弦定理
证 设ΔABC中 ∠BCAq||a ||b ||c 证
c 2a 2+b 22 a b cos q
记a b c cab
|c|2c × c(ab)(ab)a22×ab+b2|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)
c 2a 2+b 22 a b cos q
数量积坐标表示
定理173 设a{ax ay az } b{bx by bz }
a·baxbx+ayby+azbz
证 a· b( ax i+ ay j + az k)·(bx i + by j + bz k)
ax bx i·i + ax by i·j + ax bz i·k
+ay bx j ·i + ay by j ·j + ay bz j·k
+az bx k·i + az by k·j + az bz k·k
ax bx + ay by + az bz
定理174 设a{}量a模
|a|
证 定理172知
|a|2a2
|a|
量方角方余弦：量坐标轴成角做量方角方角余弦量方余弦
定理175 设a{}a方余弦
cos
cos
cos
中分量ax轴y轴z轴夹角
证 ai|a|cosai
|a|cos
cos
理证 cos
cos
显然
两量夹角余弦坐标表示
定理176 设q(a ^ b) a¹0b¹0时
证 a·b|a||b|cosq
例2 已知三点M (11 1) A (22 1) B (21 2) 求ÐAMB
解 MA量记a MB量记b ÐAMB 量ab夹角
a{11 0} b{10 1}
a×b1´1+1´0+0´11
§18 两量量积
定义181 两量ab量积(称外积)量记做a´b模|a´b| |a||b|sin 方ab垂直 ab a´b确定序构成右手标架｛Oaba´b｝
定义知量积列性质：
(1) a´a0
(2) 两非零量ab 果a´b0 ab反 果ab a´b 0
定理181 两线量ab 量积模等ab边构成行四边形面积
定理182 两量ab线充条件a´b0
证 ab线时sin(ab)0|a´b||a||b| sin(ab)0a´b0反a´b0时定义知a 0 b 0ab零成量线总abab线
定理183 量积满足面运算律
(1) 反交换律 a´bb´a
(2) 分配律 (a+b)´ca´c+b´c
(3) 数子结合律 (la)´ba´(lb)l(a´b) (l数)
证 （略）
推 c´ (a+b) c ´ a+ c ´b
定理184 设a ax i + ay j + az k b bx i + by j + bz k a´b(aybz azby)i+(azbx axbz)j+（axby aybx）k
证 量积运算律
a´b(ax i+ay j+az k)´(bx i+by j +bz k)
axbx i´i+axby i´j +axbz i´k
+aybx j´i+ayby j´j+aybz j´k+azbx k´i+azby k´ +azbz k´k
i´ij´jk´k0 i´jk j´ki k´ij
a´b(aybz azby)i+(azbx axbz)j+（axby aybx）k
帮助记忆 利三阶行列式符号 式写成
aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi
(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay bx)k
例1 设a(2 1 1) b(11 2) 计算a´b
解 2ij2kk4ji i5j 3k
例2 已知三角形ABC顶点分A (1 2 3)B (3 4 5)C (2 4 7) 求三角形ABC面积
解 根量积定义 知三角形ABC面积
(2 2 2) (1 2 4)
4i6j+2k
例3 设刚体等角速度w 绕l 轴旋转 计算刚体点M线速度
解 刚体绕l 轴旋转时 l 轴量n表示角速度 等角速度 方右手规定出 右手握住l 轴 右手四手指转刚体旋转方致时 姆指指n方
设点M旋转轴l距离a l轴取点O作量r q 表示nr夹角
a |r| sinq
设线速度v 物理学线速度角速度间关系知 v
|v| | n|a |n||r| sinq
v方垂直通M点l轴面 v垂直nr v指nrv符合右手规
v n´r
§19 三量混合积
定义191 定空间三量做三量混合积记做
定理191 三面量混合积绝值等棱行六面体体积构成右手系时混合积正构成左手系时混合积负构成右手系时构成左手系时
证 量面结试始点构成棱行六面体底面边行四边形面积高体积
根数性积定义
中夹角
构成右手系时
构成左手系时
定理192 三量面充条件
证 三量面定理191知
反果根定理171方面性积定义知面
定理193 轮换混合积三子改变值调俩子改变混合积符号
证 面时定理显然成立面时混合积绝值等棱行六面体体积轮换序时改变左右手系混合积变调意两间序时右手系变左左变右混合积变号
推
定理194 设
证 量性积计算知
根量数性积
推 三量面充条件
例1 设三量满足证明：面
证明：两边做数量积：
面
例2 已知四面体顶点坐标求体积
解：
§110三量双重外积
定义1101 定空间三量先做中两量积量第三量做量积结果然量做三量双重量积
三量双重量积垂直
垂直面
定理1101 （1101）
证 中零量线垂直（1101）两边零量定理显然成立
现设非零量线证明（1101）成立先证
（1）
面线设 （2）
（2）式两边分作数量积
解（1）式成立
证（1101）成立面意设
利（1）式
例1 试证
证明：
三式相加
例2． 证明：
证明：设
结
知识点回顾：
解析基思想代数方法研究问题代数运算引中根做法空间结构系统代数化数量化章中引入量运算通量坐标系空间中点三元序数组建立应关系空间结构代数化基础
通章学应掌握量种运算概念熟练掌握线性运算非线性运算基性质运算规律分量表示会利量运算建立空间坐标系解决某问题利两量数量积零判断种垂直关系两量量积零量判断种行问题三量混合积零判断面问题空间直角坐标系利量积模求面积混合积求体积等问题
1量加法运算规律：
（1）
（2）
（3）
（4）
2数运算规律：
（1） 1·
（2）
（3）
（4）
3 两量数量积
（1）ab|a||b|cosq
（2）a^ bÛ a· b 0
（3）空间直角坐标系设a{ax ay az } b{bx by bz }
a·baxbx+ayby+azbz
4．两量量积
（1）两量ab量积(称外积)量记做a´b模|a´b| |a||b|sin 方ab垂直 ab a´b确定序构成右手标架｛Oaba´b｝
（2）两量ab线充条件a´b0
（3）空间直角坐标系 设a ax i + ay j + az k b bx i + by j + bz k a´b(aybz azby)i+(azbx axbz)j+（axby aybx）k
（4）两线量ab 量积模等ab边构成行四边形面积
5三量混合积
（1）三面量混合积绝值等棱行六面体体积构成右手系时混合积正构成左手系时混合积负构成右手系时构成左手系时
（2）三量面充条件
（3）空间直角坐标系设
典型题
1 已知四面体ＡＢＣＤ顶点坐标Ａ（４３０）Ｂ（６０６）
Ｃ（０００） Ｄ
求（１）△ＢＣＤ面积
（２）四面体ＡＢＣＤ体积
（３）Ｃ△ＢＣＤ距离
解：（1）
2分
△BCD面积
（2）四面体ABCD体积
（3）设CBCD面距离h
2 量法证明：PΔABC重心充条件．
证明：设P△ABC重心DBC边中点
PD△PBC中线
设DBC边中点
线PBC边中线
理PABAC边中线P△ABC重心
3 证明：四面体顶点面重心连线段点点顶点距离面重心距离三倍 四面体顶点坐标交点坐标表示出
[证明]：设四面体A1A2A3A4Ai面重心Gi 欲证AiGi交点(i＝1 2 3 4)
AiGi取点Pi＝3 ＝
设Ai (xi yi zi)(i＝1 2 3 4)
G1
G2
G3
G4
P1()
ºP1()
理P2ºP3ºP4ºP1AiGi交点P点顶点距离等点面重心距离三倍
4四面体中设点重心（三中线交点）求矢量矢量
分解式
解：重心连接延长BC交P
理
（1）
（2）
（3）
（1）（2）（3）
第二章 轨迹方程
章教学目：通章学学生理解空间坐标系曲面空间曲线方程定义表示熟悉空间中特殊曲面曲线方程
章教学重点：空间坐标系曲面空间曲线方程定义
章教学难点：（1）空间坐标系母线行坐标轴柱面方程面坐标系关面曲线方程区（2）空间坐标系空间曲线般方程规范表示
章教学容：
§21面曲线方程
面空间取定坐标系面空间点序数组(坐标)建立应关系曲线曲面(轨迹) 方程建立应关系
1面曲线 具某种特征性质点集合(轨迹)
曲线方程1 曲线点具性质
2具性质点曲线
2曲线方程 方程图形
定义211 面取定坐标系果方程条曲线着关系1满足方程必曲线某点坐标 2曲线点坐标满足方程方程做条曲线方程条曲线做方程图形
例1 求圆心原点半径R圆方程
解 意点圆
类似 圆心半径R圆方程
例2 已知两点求满足条件动点轨迹方程
解 动点轨迹
方整理
方整理
求轨迹方程
注 求曲线方程时化简程中造成范围
变化方程代表曲线点条件
完全相符必须补
3 曲线参数方程
变量 变化变化量
量函数唯确定
定义212 坐标系量函数 ()做曲线量式参数方程
曲线坐标式参数方程
曲线普通方程
例3 圆直线滑动滚动求圆周点轨迹
(图23)
解取直角坐标系设半径圆轴滚动开始时点P恰原点O(图23)段时间滚动圆直线轴切点移A点圆心移C点时
设角角
P点轨迹量式参数方程
坐标式参数方程
取时消参数段普通方程
种曲线做旋轮线称摆线
例4 已知圆半径圆半径设圆动圆圆滑动滚动动圆周某点P轨迹做旋轮线(称摆线)求旋轮线方程
解
设运动开始时动点P圆周A点重合取圆中心O原点OAx轴OOA垂直直线y轴建立坐标系某程圆圆接触点B圆中心CC定OB
设角角
弧AB等弧BP角
P点量式参数方程坐标式参数方程
（∞﹤<+∞）
例5 线绕固定圆周线头拉紧反方旋转线圆周解放出放出部分成圆切线求线头轨迹
解 设圆半径线头初位置
圆周点右图建立坐标系
设
矢量轴成角
求点轨迹矢量式参数方程式该轨迹坐标式参数方程
该曲线渐伸线切展线
§22 曲面方程
曲面方程：
1 定义221 设Σ曲面F（xyz）0三元方程空间中建立坐标系Σ点P（xyz）坐标满足F（xyz）0坐标满足方程点曲面Σ称F（xyz）0曲面Σ方程曲面Σ做方程F（xyz）0图形
难出点曲面Σ〈═〉该点坐标满足Σ方程曲面点方程解间应 ∴Σ方程代数性质必反映出Σ性质
2 三元方程表示种特殊图形：
空间中曲面方程三元方程反否三元方程表示空间中曲面呢？般言成立特殊情况
1° F（xyz）0左端分解成两（）式F1（xyz）F2（xyz）积F（xyz）≡F1（xyz）F2（xyz）
F（xyz）0〈═〉F1（xyz）0F2（xyz）0时
F（xyz）0表示两叶曲面分F1（xyz）0F2（xyz）0方程时称F（xyz）0表示图形变态曲面
三坐标面
20方程
仅表示坐标原点点（123）
3°方程表示干条曲线
表示z轴x轴
4°方程表示实图形
时称表示图形虚曲面
3 求法：
例1：求行坐标面面方程
解：设行面面ππz轴交点
∈π〈═〉面
0
理行两坐标面面方程
例2：求作两定点A（121）B（013）等距离点轨迹
解：
（图21）
设求轨迹Σ
〈═〉2x+4y2z+62y6z+10
〈═〉2x6y4z+40〈═〉x3y2z+20
求轨迹x3y2z+20
例3：求半径R球面方程
解：建立直角坐标系{Oijk}设球心（abc）
P（xyz）球面Σ〈═〉∣∣R〈═〉
特M（abc）坐标原点球面Σ方程
x²+y²+z²R²
综合述条例纳出求曲面方程般步骤：
1°建立适坐标系（方程易求求出方程简单）
2°设动点Σ坐标P（xyz）根已知条件推出曲面点坐标应满足方程
3°方程作解化简
二 曲面参数方程：
定义222 设DR²序数集意（uv）∈D某应规唯确定量r应称种应关系D二元量函数记作
rr（uv）（uv）∈D
定义223 设Σ曲面rr（uv）（uv）∈D二元量函数空间坐标系意（uv）∈D 径 r（uv）终点P总曲面Σ意P∈Σ必找（uv）∈Dr
（uv） 称rr（uv）Σ量式参数方程记作Σ：rr（uv）（uv）∈D
令 r（uv）{x（uv）y（uv）z（uv）}
称 （uv）∈D
Σ坐标式参数方程记作Σ： （uv）∈D
(图22) (图23)
例：建立球面参数方程：
解：简单起见设坐标原点位球心球面半径R图
意M（xyz）∈球面Σ令PM xy面投影
令∠（）
r
∣∣cos i+∣∣sin j+∣∣cos
∣∣sin cos i+ ∣∣sin sinj+∣∣cos
Rsin cos i+Rsin sinj +Rcos
∴球面参数方程 ： 0π 0<2π
三 球坐标系柱坐标系
定义224 空间中建立直角坐标系空间中点M（xyz）设∣OM∣ρ MO中心ρ半径球面存φθ （*）
反意ρ（ρ≥0）φ（0π）θ（0<2π）通（*）确定空间中点M（xyz）称序三数组ρφθM点 球坐标（空间极坐标）记作M（ρφθ）
注：1°空间中点球坐标间非应
2°已知M点球坐标通（*）求直角坐标已知M直角坐 标
（**）
便求球坐标
定义225 空间中建立直角坐标系M（xyz）设z轴距离ρ M落z轴中心轴ρ半径圆柱面θu （*）
反ρ（ρ≥0）θ（0≦θ<2π）u（∣u∣<）（*）式
确定空间中点M（xyz）称序三数组ρθuM点柱坐标记作M（ρθu）
注：1°空间中点柱坐标非应
2°柱面坐标求直角坐标利(*)直角坐标求柱坐标需式进行
例：直角坐标系圆柱面双曲柱面面抛物柱面图形：
(图24)
(图25)
(图26) (图27)
§23 空间曲线方程
空间曲线般方程
1 定义231 设L空间曲线三元方程组空间中建立坐标系L点M(xyz)坐标满足方程组坐标满足方程组点曲线L称曲线L般方程称普通方程记作L
(图28)
注 1°空间坐标系曲线方程定两方程联立成方程组
2°方程组表达曲线意义曲线成二曲面交线（图28）
3°空间曲线方程唯(解)
均表示z轴
2 曲线射影柱面方程表达曲线
曲线L准线母线行坐标轴柱面称L射影柱面记L三射影柱面方程 (xy)0 (yz)0 (zx)0
便L射影柱面表达方程
已知曲线L需L方程中分消xyz便三射影柱面
方程(yz)0 (zx)0 (xy)0
例设曲线L 试求L射影柱面射影柱面方程表达曲线
解L方程中分消xyz
z²4y4zx²+z²4zx²+4z0
L射影柱面
(1) (2) (3)
便均L射影柱面表达方程
注利方程(2)作出L草图
二 空间曲线参数方程
1定义232 设L空间曲线rr(t)t∈A元函数空间坐标系P∈L
t∈A r（t）t∈A必P∈Lr（t） 称rr（t）
t∈A曲线L量式参数方程记作Lrr（t）t∈At ——参数
点r（t）{x（t）y（t）z（t）}
称 t∈A
L坐标式参数方程
注：空间曲线参数方程中仅参数曲面参数方程中两参数惯称曲线单参数曲面双参数
2求法：
例：质点半径a圆柱面方面绕圆柱面轴作匀速转动方面圆柱面母线方作匀速直线运动求质点运动轨迹
解：圆柱面轴作z轴建立直角坐标系{Oijk}图妨设质点起始点x轴质点角速率线速率分ων质点轨迹L∈Lxy面投影′
(图29)
r + acos i+asin j+k
令b
racos i+asin j+b k
————L量式参数方程
结
知识点回顾：
面空间取定坐标系面空间点序实数组（xy）(xyz)建立应关系基础面曲线空间曲面成具某种特征性质点集合特征性质坐标系中反映坐标间某种特定关系种关系找出方程图形方程图形间应关系样研究曲线曲面问题转化代数问题曲面方程F（xyz）0研究空间中三曲面否公点问题结求三曲面方程公解解三元联立方程组问题例方程组
果实数解三曲面公点方程组解公点坐标方程组实数解三曲面没公点
面曲线普通方程参数方程单参数曲面普通方程参数方程双参数空间曲线普通方程参数方程单参数
参数方程消参数普通方程普通方程化参数方程时形式唯定保证原方程等价
典型题：
1 长度＞0）线段两端点分轴正半轴轴正半轴移动求线段中点轨迹两端点线段中点
解：设中
∴线段中点轨迹
2 质点着已知圆锥面条直母线圆锥顶点起作等速直线运动方面条母线圆锥面圆锥顶点绕圆锥轴（旋转轴）作等速运动时质点圆锥面轨迹做圆锥螺线试建立圆锥螺线方程
解：取圆锥面顶点坐标原点圆锥轴z轴建立直角坐标系设圆锥顶角旋转角速度直线运动速度V动点初始位置原点动点直母线初始位置xoz面t秒质点达P点P点xoy面射影NNx轴射影M
圆锥螺旋线量式参数方程
坐标式参数方程（﹣∞
第三章 面空间直线
章教学目： 通章学学生掌握空间坐标系面直线方程种形式掌握确定面直线条件熟练掌握点面空间直线间种位置关系解析条件直观概念
章教学重点：（1）空间坐标系面方程点位式点法式直线方程点式标准式（2）点面空间直线间种位置关系解析条件（3）面空间直线种度量关系量化公式
章教学难点： （1）异面直线公垂线方程（2）综合运位置关系解析条件求面空间直线方程
章教学容：
§31 面方程
1．面点位式方程
空间定点M0两线量ab通点M0ab行面p 惟确定 量ab面p 方位量 意两p 行线量作面p 方位量
取标架设点M0径面p 意点M径r {xyz}（图） 点M面p充条件量量ab面 ab线面条件写成
ua＋vb
r －r0式写成
r r0＋ua＋vb (31－1)
方程做面p 点位式量参数方程中uv参数
令a {}b {}(31－1)
(31－2)
方程做面p 点位式坐标参数方程中uv参数
(31－1)式两边a×b作积消参数uv
(r －r0ab) 0 (313)
0 (31－4)
p 点位式普通方程
例1：已知面p三非线点（i 123）求通（i 123）面方程
解： 建立坐标系{Oe1 e2 e3}设ri {}i 123 动点M设r {xyz}取方位量M1定点面p量参数方程坐标参数方程般方程次
r ＋u(－)＋v(－r1) (31－5)
(31－6)
0 (31－7)
(31－5)(31－6)(31－7)统称面三点式方程
特p 三坐标轴交点(a00)(0b0)(00c)中abc≠0面p 方程
0 (31－8)
(31－9)
方程面p截距式方程中abc称p 三坐标轴截距
2．面般方程
空间面点M0(x0y0z0)两方位量a {}b {}确定面方程(31－4)表示 (31－4)展开写成
Ax＋By＋Cz＋D 0 (31－10)
中 A B C
a {}b {}线ABC全零说明空间面关abc三元次方程表示
反三元次方程(31－10)妨设A≠0(31－10)改写成
显然表示点M0 (－D A00)两线量{B－A0}{C0－A }决定面
定理311 空间中面方程表关变数xyz三元次方程反关变数xyz三元次方程表示面
方程(31－10) 称面p 般方程
现先讨种特殊面方程（面坐标系讲具某种特殊位置）：
1D0面通原点
2ABC中0例C0面通Z轴
3 ABC中两0DBC0面行yoz坐标面
余情况学讨
3．面法式方程
定点M0非零量nM0n垂直面p惟确定 称np法量 空间坐标系{Oijk}设 {x0y0z0}n {ABC}面点M径r {xyz}总⊥n
n(r－r0) 0 (31－11)
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) 0 (31－12)
方程(31－11)(31－12)面p 点法式方程 (31－12)中系数ABC简明意义面p 法量分量
特取M0Op 作垂线垂足n单位量 面原点时取n单位量n0面原点时取n0正垂直面两方中
设|| p p n0点Pn0确定面方程
n0(r－p n0) 0
式中r面动径 式写成
n0r－p 0 (31－13)
方程面量式法式方程
设r {xyz}n0 {cosacosbcosg}(31－13)
x cosa＋y cosb＋z cosg－p 0 (31－14)
面坐标法式方程简称法式方程
面坐标法式方程特征：
1°次项系数单位量分量方等1
2°常数项－p≤0（意味着p ≥ 0）
3°p原点面距离
例3 求通点行z轴面方程
解：设行z轴面方程Ax＋By＋D 0通2A－B＋D 03A－2B＋D 0两式ABC
求面方程x＋y－1 0
4．化般方程法式方程
直角坐标系已知p般方程Ax＋By＋Cz＋D 0n {ABC}p法量Ax＋By＋Cz＋D 0写
nr＋D 0 (31－15)
(31－13)较知
(31－15)法式方程
lAx＋lBy＋lCz＋lD 0 (31－16)
中正负号选取D≠0时应(31－16)常数项负D＝0时意选
程称面方程法式化做法化子
例2：已知两点求线段垂直分面方程
解：
中点坐标：
面点法式方程：
整理：
例3：面：化法式方程求出原点指面单位法量
解：
法式方程：
§32 面点相关位置
面点位置关系两种情形点面点面 前者条件点坐标满足面方程 点面时般求点面距离离差反映点面侧
1．点面距离
定义321 点M0面p 引垂线垂足Q 量面p单位法量n0射影做M0面p间离差记作
d 射影n0 (32－1)
显然 d 射影n0 ·n0 ∣∣cos∠(n0) ±∣∣
n0时离差d > 0n0反时离差d < 0 仅M0面时离差d 0
显然离差绝值点M0面p 距离
定理321 点M0面（31－13）间离差
d n0r0－p (32－2)
证：根定义322图d 射影n0 n0 （） n0（r0－q） n0r0－n0 q
中qQ面（3113）n0 q pd n0r0－p
推1 面p 法式方程 p间离差
(32－3)
推2 点面Ax＋By＋Cz＋D 0间距离
(32－4)
2．面划分空间问题 三元次等式意义
设面般方程
Ax＋By＋Cz＋D 0
空间中点M（xyz）间离差
l (Ax＋By＋Cz＋D)
式中l面法化子
Ax＋By＋Cz＋D (32－5)
面侧点d 符号相面异侧点d 符号l取定符号固定
面：Ax＋By＋Cz＋D 0空间划分两部分某部分点M(xyz) Ax＋By＋Cz＋D > 0部分点Ax＋By＋Cz＋D < 0面点Ax＋By＋Cz＋D 0
§33 两面相关位置
空间两面相关位置3种情形相交行重合
设两面p1p2方程分
p1： (1)
p2： (2)
两面p1p2相交行重合决定方程（1）（2）构成方程组解解数解面定理
定理331 两面（1）（2）相交充条件
(33－1)
行充条件
(33－2)
重合充条件
(33－3)
两面p1p2法量分仅n1行n2时p1p2相交仅n1∥n2时p1p2行重合样面3条件
面定义两面间夹角
设两面法量间夹角q称p1p2二面角∠(p1p2) q p－q两面间夹角
显然
±cosq ± (33－4)
定理332 两面（1）（2）垂直充条件
(33－5)
例 面两点 垂直面x＋y＋z 0求方程
解 设求面法量n {ABC}
求面
n垂直面x＋y＋z 0法线量{111}A＋B＋C 0
解方程组
求面方程
约非零子C
2x－y－z 0
§34 空间直线方程
1．直线点式方程
空间定点非零量v {XYZ}点M0行量v直线l惟确定 量v直线l方量 显然直线l行飞零量均作直线l方量
面建立直线l方程
图设M (xyz) 直线l意点应径r { xyz }应径r0vt∈R t v
r－r0 t v
直线l点式量参数方程
r r0＋t v (34－1)
诸相关量分量代入式
根量加法性质直线l点式坐标参数方程
－∞ < t < ＋∞ (34－2)
消参数t直线l点式称方程
(34－3)
方程直线l标准方程 特说明作业考试时求直线方程结果应写成称式
例1 设直线L通空间两点M1(x1y1z1)M2(x2y2z2)取M1定点方位量直线两点式方程
(34－4)
根前面分析直线方程(34－1)
式子清楚出直线参数方程(34－1)(34－2)中参数意义：参数t绝值等定点M0动点M间距离方量模值表明线段M0M长度方量v长度 |t| 倍
特取方量单位量v 0 {cosacosbcosg}
(34－1)(34－2)(34－3)次变
r r0＋t v0 (34－5)
－∞ < t < ＋∞ (34－6)
(34－7)
时 |v| 1t绝值恰等l两点M0M间距离
直线l方量方角abg cosacosbcosg 分做直线l方角方余弦
意v行非零量v'作直线l方量二者分量成例般称X ：Y ：Z直线l方数表示直线l方
2．直线般方程
空间直线l成两面p1p2交线 事实两相交面p1p2方程分
p1：
p2：
空间直线l点坐标时满足两面方程应满足方程组
(34－8)
反果点直线l时面p1p2坐标满足方程组(34－8)
l方程组(34－8)表示方程组(34－8)做空间直线般方程
般说空间直线面限限面中选中两方程联立起空间直线方程
直线标准方程(34－3)般方程特殊形式 标准方程化般式直线射影式方程
直线般方程化标准式需直线取点然取构成直线两面两法量量积直线方量
例 直线般方程
化称式参数方程
解 令y 0直线点（10－2）
两面法量
a {111}b {2－13}
a×b {4－1－3}取直线法量直线称式方程
令求参数方程
§35 直线面相关位置
直线面相关位置直线面相交直线面行直线面3种情形
设直线l面p 方程分
l： (1）
p ：Ax＋By＋Cz＋D 0 (2)
（1）
（2）代入（1）整理
(AX＋BY＋CZ)t －(Ax0＋By0＋Cz0＋D) (3)
仅AX＋BY＋CZ≠0时（3）惟解
时直线l面p 惟公点仅AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0时（3）解直线l面p 没公点仅AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D 0时（3）数解直线l面p
定理351 关直线（1）面（2）相互位置面充条件：
1）相交： AX＋BY＋CZ≠0
2）行： AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0
3）直线面： AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D 0
条件解释：直线l方量v面p 法量n间关系
1）表示vn垂直
2）表示vn垂直直线l点（x0y0z0）面p
3）表示vn垂直直线l点（x0y0z0）面p
直线l面p 相交时求交角
直线面垂直时直线面交角j 指直线面射影构成锐角垂直时规定直角
设v {XYZ}直线l方量n {ABC}面p 法量
令 ∠(lp ) ∠(vn) q
q q－（q 锐角）
sin ∣cosq∣ (35－1)
公式直接定理351中条件
§36 空间直线点相关位置
条直线l方程点M0lM0位置关系两种：点直线点直线代数两种情况应点坐标满足方程点坐标满足方程
点直线时求点直线距离
设空间中点M0(x0y0z0)条直线l：
l：
处M1(x1y1z1)l点v {XYZ}l方量 v邻边作行四变形面积 | v×|点M0直线l距离d行四变形应底 | v | 高
(37－1)
实际计算中记忆式第二等号面部分没实际意义 需根公式前半部分计算
§37空间两直线相关位置
1．空间两直线位置关系：
空间两直线相关位置异面面面时相交行重合3种情形
设二直线方程
： i 12
处直线l1点方量v1 {X1Y1Z1}决定直线l2点方量v2 {X2Y2Z2}决定 图容易出两直线相关位置决定三量v1v2相互关系 仅三量异面时两直线异面仅三量面时两直线面
面时v1v2行l1l2相交v1∥v2行l1l2行v1∥v2∥l1l2重合
定理361 空间两直线l1l2相关位置面充条件
1）异面：
(36－1)
2）相交： (36－2)
3）行： (36－3)
4）重合： (36－4)
2．空间两直线夹角
行空间两直线两量间夹角空间两直线夹角
显然两直线间夹角q认间夹角p－q
定理362 空间两直线l1l2夹角余弦
(36－5)
推 两直线l1l2垂直充条件
X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 0 (36－6)
3．二异面直线间距离公垂线方程
空间两直线点间短距离两条直线间距离
两相交两重合直线间距离零两行直线间距离等中直线意点直线距离
两条异面直线垂直相交直线两异面直线公垂线 两异面直线间距离等公垂线夹两异面直线间线段长
设两异面直线l1l2方程前l1l2公垂线交点分N1N2l1l2间距离
(36－6)
现求两异面直线l1l2公垂线方程
图公垂线l0方量取作 {XYZ}公垂线l0作两面交线两面通点M1v1方量面通点M2v2方量 公垂线l0般方程写 (36－7)
例1求通点面行直线相交直线方程
解：设直线方程：
条件：
直线方程：
例2 已知两直线：
⑴ 证明异面直线
⑵ 求公垂线方程
解： ⑴两直线异面
⑵ 公垂线方：公垂线方程：
化简：
：
§38 面束
1．面束
定义381 空间中直线l面集合称轴面束l称面束轴
定义382 空间中行定面p面集合称行面束
轴行面束统称面束
定理381 果两面
p1：x＋y＋z＋ 0 （1）
p2：x＋y＋z＋ 0 （2）
交条直线L直线L轴轴面束方程
l(x＋y＋z＋)＋m (x＋y＋z＋) 0 (38－1)
中l m 全零意实数
证 先证(38－1)表示L面
(38－1)(l+m )x＋(l+m )y＋(l+m )z＋l＋m 0
式中xyz系数必全零然
－m：l ：： ：
相交矛盾 表示(38－1)面pp显然通交线L
证明L面p必存全零实数lmp方程(38－1)
首先p取l 1m 0p取l 0m 1
般p≠i 12取p点A(abc)L(38－1)表示面通L条件
l (a+b+c+)＋m (a+b+c+) 0
l：m －(a+b+c+) ：(a+b+c+)
妨取 l －(a+b+c+)m a+b+c+
ALl m 全零LA面p 方程必写成(38－1)形式
例 求二面4x－y＋3z－1 0x＋5y－z＋2 0交线原点面方程
解 略（讲解时实推）
定理382 果两面
p1：x＋y＋z＋ 0 （1）
p2：x＋y＋z＋ 0 （2）
行面方程
l(x＋y＋z＋)＋m (x＋y＋z＋) 0 (38－1)
行面束面束中面p1p2行 式中l m 全零意实数
－m ：l≠A1 ：A2 B1 ：B2 C1 ：C2
定理38 3 行面p：Ax＋By＋Cz＋D 0面方程表
Ax＋By＋Cz＋l 0 (38－2)
例 求面3x＋y－z＋4 0行z轴截距等－6面方程
解 设求面3x＋y－z＋t 0点 (00－6) 面
t＋6 0 t －6
求面方程 3x＋y－z－6 0
2．面
定义383 空间中定点面集合称面称心
定理384 定点()面方程
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) 0 (38－3)
中ABC意全零实数
更般
定义383 空间中定点面集合称面称心
定理38 5 定点()面方程
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) 0 (38－4)
中ABC意全零实数
定理38 6 意全0l mn方程
(38－5)
表示三面
： 3
（惟）交点()面p反意面p必存全零l mnp 方程(38－4)
结
知识点回顾：
通章学学生掌握空间坐标系面直线方程种形式掌握确定面直线条件熟练掌握点面空间直线间种位置关系解析条件直观概念
（1）空间坐标系面方程点位式点法式
空间取仿射坐标系设点径面意点径面量式参数方程中参数
设点坐标分设面坐标式参数方程参数
面点位式方程
空间中面方程表示成关变量 xyz 次方程反关变量 xyz 次方程表示面Ax+By+Cz+D0 做面般方程
取空间直角坐标系设点径 面意点径面点法式方程
（2）空间直线种方程
空间取仿射坐标系已知直线点动点方量量式参数方程
坐标式参数方程：
称式方程标准方程：
设两面方程（＊）果 方程组（＊）中系数行列式
全零相交交线设 意点两面坐标必满足方程组（＊）反坐标满足方程组（＊）点两面定两面交线直线 方程组（＊）表示直线方程做直线般方程
（3）点离差点面距离
果点面引垂线垂足量面单位法量射影做点面间离差记做
点面距离公式：
（4）点直线距离：
（5）异面直线公垂线方程
两异面直线
典型题：
1面两点 垂直面
求方程
解 设求面法线量
显然 求面
垂直面法线量
解方程组
点法式方程
约非零子
求方程
2 称式方程参数方程硎局毕span>
解 先找出直线点：取 代入方程组
解二元次方程组
直线点
找该直线方量两面交线两面法线量
垂直取
直线称式方程
直线参数方程
3分列条件确定值：
（1）表示面
（2）表示二行面
（3）表示二互相垂直面
解：（1）欲二方程表示面：
：
：
（2）欲二方程表示二行面：
：
（3）欲二方程表示二垂直面：：
4 试验证直线：面：相交求出交点交角
解：
直线面相交
直线坐标式参数方程：
设交点处应参数
交点（101）
设直线面交角：
5 定两异面直线：试求公垂线方程
解：
公垂线方程：
第四章 柱面锥面旋转曲面常见二次曲面
章教学目： 学生掌握柱面锥面旋转曲面定义方程求法方程特征熟练掌握五种常见二次曲面定义标准方程特征解性质会画草图
章教学重点： （1）常见二次曲面定义标准方程图形特征（2）坐标面曲线绕坐标轴旋转时产生旋转曲面方程求法 （3）通求柱面锥面旋转曲面方程理解动曲线产生曲面思想方法
章教学难点 ：（1）柱面锥面方程求法中消参数意义理解（2）双曲抛物面性质分析（3）二次曲面直纹性证明
章教学容：
§41 柱面
柱面
定义411 空间行定方条定曲线相交族行直线产生曲面做柱面 中定方柱面方定曲呓兄面准线行直线族中条柱面母线
注：1°柱面准线惟（举例）
2°面直线柱面
建立柱面方程
设定坐标系柱面S准线
(1)
母线方数XYZ M1(x1y1z1) 准线点M1母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程
F(xyz) 0
（1）准线{XYZ}方柱面方程
里需特强调消参数意义点M1遍历准线位置动直线（1）扫出符合求柱面
例1 已知柱面准线方程母线方数－101求该柱面方程
解 设M1(x1y1z1)准线点M1(x1y1z1)母线
(1)
(2)
(3)
(1) (4)
(4)代入(2)(3) (5)
(6)
（5）（6） (7)
（7）代入（5）（（6））求柱面方程
例2 已知圆柱面轴点M1(1－21)柱面求圆柱面方程
解法 记求圆柱面S
S母线行轴母线方数1－2－2求圆柱面准线圆例1方法解题
空间圆总成某球面某面交线圆柱面准线圆成轴点 M0(01－1)中心半径球面已知点M1(1－21) 垂直轴面交线准线圆G
设G 意点
（1）
（2）
S母线
（3）
（1）（2）（3）消参数x1y1z1S方程
圆柱面成动点轴线等距离点轨迹里距离圆柱面半径例2面第二种解法
解法二 轴方量v {1－2－2}轴定点M0(01－1)M1(1－21)S定点点M1l距离
设M(xyz) 圆柱面意点M轴l距离
化简整理S方程
二柱面判定定理
定理411
空间直角坐标系中含两元（坐标）三元方程表示曲面柱面母线行缺元（坐标）名坐标轴
空间直角坐标系里柱面 xoy坐标面交线分椭圆双曲线抛物线次做椭圆柱面双曲柱面抛物柱面统称二次柱面
三空间曲线射影柱面
空间曲线L (15)果（15）中次消元取中两方程组（16）方成样（16）（15）两等价方程组（16）表示曲线（15）条曲面
通已知曲线(15)理方程表示曲面通已知曲线(15)定理411知曲面表示母线行z轴柱面直角坐标系起母线垂直xoy坐标面曲面做空间曲线（15）xoy坐标面射影射影柱面曲线做空间曲线（15）xoy坐标面射影曲线
理分做曲线（15）xoz坐标面yoz坐标面射影射影柱面曲线做空间曲线（15）xoz坐标面yoz坐标面射影曲线
§42 锥面
定义421 空间通定点条定曲线相交族直线产生曲面做锥面 里定点做锥面顶点定曲线锥面准线直线族中条锥面母线
注：1°锥面准线惟（举例）
2°面柱面锥面
3°条直线锥面
4°柱面母线成穷远处相交话柱面顶点穷远点锥面
建立锥面方程
设锥面S准线
(1)
顶点A(x0y0z0) M1(x1y1z1) 准线点M1锥面母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程F(xyz) 0
（1）准线A顶点锥面方程
里消参数意义柱面情形类似点M1跑遍准线点动直线（2）扫出符合求锥面
面定理出锥面方程特征
先介绍齐次函数概念
设实数函数
处t取值应确定意义称n元次齐次函数应方程 0次齐次方程
例 u x2y＋2yz2＋xyz三次齐次函数
定理421 关xyz齐次方程总表示顶点原点锥面
证： 齐次方程定义
时曲面S：原点
设S非原点意点满足 直线方程
代入 0直线点坐标满足曲面S方程 直线曲面S：曲面S：种通坐标原点直线组成原点顶点锥面
推 关x－x0y－y0z－z0齐次方程总表示顶点(x0 y0 z0)锥面
证 设x－x0y－y0z－z0齐次方程
F (x－x0y－y0z－z0) 0 (*)
作坐标变换(*)化
(**)
(**)齐次方程表示顶点锥面
表示顶点点锥面
注 特殊情况关齐次方程表示原点 例 样曲面般称实顶点虚锥面
例1 锥面顶点原点准线求锥面方程
解 设准线意点M1母线：
(4)
(5)
(6)
(6)代入(4) (7)
(7)代入(3) (42－1)
求锥面称二次锥面
二次锥面方程(42－1)表示图形a b时熟悉圆锥面
例2 已知圆锥面顶点A(123)轴l垂直面母线轴l组成30°角试求该圆锥面方程
解 设求曲面S母线点M母线方量
题圆锥轴线方量面p法量n {22－1}
根题意vn夹角30°150°
化简整理圆锥面方程
关x－1y－2z－3二次齐次方程 结果定理421推直接验证
圆锥面种特殊锥面面解法种适合圆锥面特殊方法 然先求出圆锥面准线利顶点准线求出该圆锥面方程
§43 旋转曲面
1．般旋转曲面方程
定义431 空间条曲线G 绕定直线l旋转周产生曲面S做旋转曲面（回转曲面） G 做S母线l称S旋转轴简称轴
设旋转曲面S母线G点G 绕轴l旋转时绕l旋转形成圆称S纬圆纬线行圆 l边界半面S交线称S线
S纬圆实际母线G 点垂直轴l面S交线 S纬圆构成整S
S线形状相作S母线母线定线 里母线定面曲线线面曲线
直角坐标系设旋转曲面S母线
G： (1)
旋转轴
l (2)
里l点XYZl方数
设M1 (x1y1z1) 母线G 意点M1纬圆总成垂直轴l面P0中心半径球面交线 M1纬圆方程
(3)
(4)
M1跑遍整母线时出旋转曲面纬圆求旋转曲面成纬圆构成
M1 (x1y1z1) 母线G
(5)
（3）（4）（5）4等式消参数x1y1z1方程
F (xyz) 0
S方程
例1 求直线G ：绕直线旋转旋转曲面S方程
解 设M1 (x1y1z1) 母线G 点旋转轴原点M1纬圆方程
(7)
M1母线 (8)
（8） (9)
(9)代入(7)
S方程
2．坐标面曲线绕坐标轴旋转旋转曲面方程
旋转曲面总作条线绕旋转轴旋转生成 方便总取旋转曲面条线作母线
更进步直角坐标系导出旋转曲面方程时常母线面取作坐标面旋转曲面方程具特殊形式
设旋转曲面S母线yOz面曲线
旋转轴y轴
设M1(0y1z1)母线点M1纬圆
两方程组消旋转曲面方程
实际旋转曲面方程前面图直接出
设M1(0y1z1)母线点M(xyz)M1纬圆意点图中辅助图知
y1 y z1 ±|O'M1| ±|O'M| ± (10)
M1(0y1z1)母线F(y1z1) 0(10)结果代入求旋转曲面方程
类似母线旋转轴轴旋转曲面方程：
坐标面曲线绕坐标轴旋转旋转曲面方程类似求出
规律：
坐标面曲线G 绕坐标面坐标轴旋转时旋转曲面方程根面方法直接写出：保持方程形式变曲线G 坐标面里方程中旋转轴名坐标保持变两坐标方方根代方程中坐标
例S面绕轴S方程
例2 椭圆分绕长轴（x轴）短轴（y轴）旋转旋转曲面方程分：
图形分做长形旋转椭球面扁形旋转椭球面图
例3 圆
绕z轴旋转旋转曲面方程：
化简整理
曲面环面图示形状象救生圈
§44 椭球面
定义441 直角坐标系方程
(44－1)
表示曲面椭球面称椭圆面 方程（44－1）做椭球面标准方程 中abc意正常数 通常假设a≥b≥c > 0
椭球面性质
（1）称性
方程（44－1）中－z代z方程变意椭球面（44－1）关xy面称 理椭球面（44－1）关yz面zx面称 椭球面称面称面
方程（44－1）中时－y－z代yz方程变椭球面（44－1）关轴称 理椭球面（44－1）关y轴z轴称 椭球面称轴称轴
方程（44－1）中时－x－y－z代xyz方程变椭球面（44－1）关坐标原点称 椭球面称中心称中心
abc三数中两相等（44－1）表示旋转椭球面三数相等时（44－1）球面 球面旋转椭球面椭球面特殊情形
（2）顶点轴半轴
椭球面（44－1）称轴（3坐标轴）6交点
(±a00)(0±b0)(00±c)
称椭球面顶点
果a > b > c >0分称2a2b2c椭球面长轴中轴短轴称abc椭球面半长轴半中轴半短轴 里轴半轴长度概念
（3）范围
椭球面方程出
| x |≤a| y |≤b| z |≤c
椭球面完全封闭长方体部长方体6面
x ±ay ±bz ±c
围成6面椭球面相切切点椭球面6顶点
（4）形状
行坐标面面截曲面利截痕分析曲面形状作行截割法 种截痕类似表示形等高线
行截割法讨椭球面知形状致图 应注意截线中椭圆概念动椭圆运动中产生椭球面程分析
椭球面参数方程
椭球面般写成
0≤q≤p0≤j≤2p
事实截线方程：
表
令
h ±c时分取椭球面（44－1）参数方程
例：设动点点距离等点面距离半试求动点轨迹
解：设动点求轨迹
：
方程
§45 双曲面
较直观理解双曲面特征先例子
yz面双曲线分绕虚轴（z轴）实轴（y轴）旋转两旋转曲面
分称旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面 图形示
图1
图2
1．单叶双曲面
定义451 直角坐标系方程
(abc >0) (45－1)
表示图形称单叶双曲面方程(45－1)称单叶双曲面标准方程
性质形状
（i）称性 单叶双曲面(45－1)关三坐标轴三坐标面原点称 原点(45－1)称中心
（ii）界性 方程(45－1)知单叶双曲面(45－1)界曲面
（iii）顶点坐标轴交点坐标面交线
单叶双曲面(45－1)xy轴分交（±a00）（0±b0）z轴实交点
述四点称单叶双曲面实顶点z轴交点（00±ci）称两虚交点
(45－1)三坐标面z 0y 0x 0交三条曲线
(1)
(2)
(3)
中（1）单叶双曲面(45－1)腰椭圆（2）（3）均单叶双曲面双曲线
（iv）行坐标面面交线
考察(45－1)形状先行xy面面z k截截线
(4)
族椭圆顶点半轴ba∣k∣逐渐增时椭圆（4）逐渐变 见单叶双曲面(45－1)系列行椭圆构成椭圆顶点分二相互垂直双曲线变化
族行yz面面x k截(45－1)截线
(5)
∣k∣< a时（6）双曲线实轴行y轴虚轴行z轴顶点∣k∣ a时（6）二相交线交点（k00）∣k∣>a时（6）双曲线实轴行z轴虚轴行y轴顶点
组行zx面面截(45－1)截线情况述相仿 截线图形图示
综单叶双曲面(45－1)图形图（1）示 图（1）中画出腰椭圆两条双曲线
般单叶双曲面理解节开始时旋转单叶双曲面x轴方作伸缩变换
直角系方程
表示图形单叶双曲面绘图时注意须确定虚轴
二 双叶双曲面：
1 定义：直角坐标系方程
（abc > 0） (45－2)
表示图形称双叶双曲面(45－2)称双叶双曲面标准方程
性质形状：
（i）称性 双叶双曲面(45－2)关三坐标轴三坐标面原点称原点中心
（ii）界性 (45－2)见双叶双曲面界曲面
（iii）坐标轴交点坐标面交线
双叶双曲面(45－2)x轴y轴交z轴交（00±c）实顶点
双叶双曲面(45－2)三坐标面交三条曲线
(5)
(6)
(7)
（5）虚椭圆表明双叶双曲面(45－2)xy面相交（实交点） （6）（7）均双曲线实轴z轴虚轴分y轴x轴顶点（00±c）
（iv）行坐标面面交线：
考察双叶双曲面(45－2)形状先行xy面面截(45－2)截线
(8)
∣k∣< c时(45－2)z k实交点
∣k∣ c时(45－2)z k交（00±c）
∣k∣> c时（8）椭圆顶点(0±bk)(±a0k)半轴ba
见双叶双曲面(45－2)z ±c外系列行椭圆构成 椭圆顶点双曲线（6）（7）变化
行yz面面截(45－2) 截线
(9)
意实数k(9)均双曲线实轴行z轴虚轴行y轴顶点
(k0±c)
双叶双曲面(45－2)示意图前面图（2）准确说图（2）双叶双曲面
示意图
行zx面面截(45－2)截线情况述相仿
直角系方程
表示图形双叶双曲面
谈谈单叶双曲面双叶双曲面方程识点学生容易出错
两种双曲面方程左边xyz方项正负右边1－1
方程右边化成1左边两项正项负表示单叶双曲面 左边两项负项正表示双叶双曲面
方程左边化成两项正项负右边1表示单叶双曲面右边－1表示双叶双曲面
绘图时注意区分实轴虚轴保证坐标轴标注符合右手系原
例：已知单叶双曲面试求面方程面行面（面）曲面交线相交直线
解：设求面该面单叶双曲面交线：
（*）
交线（*）二相交直线须：
求面方程：
理行面满足单叶双曲面交线二相交直线该面：
§46 抛物面
yz面抛物线绕轴旋转旋转面
写成
旋转抛物面垂直称轴面交线圆 该曲面着x轴y轴方进行伸缩变形者说通压缩变换般椭圆抛物面
1．椭圆抛物面：
定义461 直角坐标系方程
(46－1)
表示图形称椭圆抛物面(46－1)称椭圆抛物面标准方程中ab意正常数
特征形状
（i）称性：椭圆抛物面(46－1)关z轴yOz面zOx面称称中心
（ii）界性：(46－1)知z ≥0∴椭圆抛物面(46－1)位xy面方z轴正界
（iii）顶点坐标面交线
(46－1)三坐标轴均交原点顶点三坐标面交三条曲线
(1)
(2)
(3)
（2）（3）均抛物线顶点均原点开口方均指z轴正称轴均z轴
（1）原点
（iv）行坐标面面交线
首先(46－1)行xy面面交
(4)
时（4）原点
时（4）椭圆顶点（0±bk）（±a0k）
见椭圆抛物面(46－1)xy面方系列行椭圆构成椭圆顶点抛物线（2）（3）变化
椭圆抛物面(46－1)行yz面面x k交抛物线
(5)
抛物线全等顶点（0）称轴行z轴开口方z轴正
行zx面面截(46－1)截线情况述结类似椭圆抛物面特征：
椭圆抛物面抛物线定抛物线移动形成轨迹移动程中动抛物线顶点始终定抛物线开口方定抛物线开口方致动抛物线面始终定抛物线面保持垂直图示
直角坐标系方程表示图形椭圆抛物面 作图时应确定正确称轴正确标注坐标轴
2．双曲抛物面：
定义462 直角坐标系方程
（ab>0） (46－2)
表示图形称双曲抛物面马鞍面(46－2)称双曲抛物面标准方程
特性形状
（i）称性 双曲抛物面(46－2)关z轴yz面zx面称双曲抛物面称中心
（ii）界性 (46－2)知双曲抛物面(46－2)界曲线
（iii）坐标轴交点坐标面交线
(46－2)三坐标轴均交原点顶点(46－2)三坐标面交3曲线
(6)
(7)
(8)
（6）交原点二相交直线（7）（8）均抛物线顶点均原点开口方指z轴正z轴负 称轴均z轴
（iv）行坐标面面交线：
首先(46－2)行xy面面z k交曲线
(9)
时（9）（6）
时（9）双曲线顶点（±a0k）
时（9）双曲线顶点（0±k）
见双曲抛物面(46－2)行xy面族行双曲线构成双曲线顶点抛物线（7）（8）变化
双曲抛物面(46－2)示意图
外双曲抛物面(46－2)行yz面面交抛物线
(10)
均全等抛物线顶点（k0）抛物线（7）称轴行z轴开口方z轴负（7）开口方相反
行zx面面截(46－2)截线情况类似结
双曲抛物面抛物线定抛物线移动形成轨迹移动程中动抛物线顶点始终定抛物线开口方定抛物线开口方相反面始终保持垂直图右图示意
直角坐标系方程表示图形双曲抛物面
例：已知椭圆抛物面顶点原点称面面面点求椭圆抛物面方程
解：题意设求椭圆抛物面方程：
令确定
均该曲面
：
求椭圆抛物面方程：
：
§47 单叶双曲面双曲抛物面直母线
前面已注意柱面锥面族直母线单叶双曲面双曲抛物面直线存
连续族直线产生曲面称直纹面族直线称直纹面直母线
椭球面双叶双曲面椭圆抛物面均直纹面
柱面锥面条空间曲线切线形成曲面法线形成曲面等直纹面直纹面族直线构成
指出单叶双曲面双曲抛物面直纹面仅两种两族直线直纹面
1．单叶双曲面直纹性
设单叶双曲面
(1)
改写分解式
() () (2)
引进等零参数u考察（2）方程组
(3)
两方程组
(4)
(4')
方程组（4）（4'）实际（3）中u→0u→∞时两种极限情形
u取值（3）（4）（4'）表示直线（3）（4）（4'）合起族直线做u族直线
现证明u族直线构成单叶双曲面（1）（1）族直母线
首先u族直线中直线均单叶双曲面（1）u≠0时（3）两式相（1）（3）表示直线点曲面（1）满足（4）（4'）点显然满足（2）满足（1）直线（4）（4'）点（1）
反设()曲面（1）点
(5)
显然1＋1－时零失般性设1+≠0时
取（5）便
点()直线（3）
（5）必1－ 0点直线（4）
曲面（1）意点必定u族直线中某条
证明单叶双曲面（1）u族直线构成单叶双曲面直纹面u族直线单叶双曲面（1）族直母线称u族直母线
理直线
（v≠0常数） (6)
两条直线
(7)
(7')
合组成直线族单叶双曲面（1）族直母线称单叶双曲面（1）v族直母线
图表示单叶双曲面两族直母线递推概分布情况
推 单叶双曲面点两族直母线中条通点
避免取极限常单叶双曲面u族直母线写成
(47－1)
中uw时零uw≠0时式w(47－1)化（3）u 0时便化（4）w 0时便化（4'）
v族直母线写成
(47－2)
中vt时零
(47－1)(47－2)中直线分赖u wv t值
2．双曲抛物面直纹性：
双曲抛物面
样证明两族直母线图
方程分
(47－3)
(47－4)
面结：
推 双曲抛物面点两族直母线中条通点
应注意双曲抛物面两族直母线方程双参数原
单叶双曲面双曲抛物面直母线建筑着重应常构成建筑骨架
实例 兰州第二热电厂冷水塔形状单叶双曲面现场工解建筑时钢筋构假特点
单叶双曲面双曲抛物面直母线性质：
定理471 单叶双曲面异族意两条直母线必面双曲抛物面异族意两条直母线必相交
定理472 单叶双曲面双曲抛物面族意两条直母线必异面直线双曲抛物面族全体直母线行面
例：求列直纹面直母线族方程：
（1） （2）
解：（1）原方程：
：
：
避免取极限方程写成：
（1）
原方程变形：： （2）
令（2）便（1）
原曲面直母线族（1）中全零
（2）原方程变形：
：
（1）
： （2）
（1）（2）原曲面两组直母线族方程
结
知识点回顾：
（1） 柱面方程：设定坐标系柱面S准线
(1)
母线方数XYZ M1(x1y1z1) 准线点M1母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程
F(xyz) 0
（1）准线{XYZ}方柱面方程
（2）锥面方程：设锥面S准线
(1)
顶点A(x0y0z0) M1(x1y1z1) 准线点M1锥面母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程
F(xyz) 0
（1）准线A顶点锥面方程
（3）旋转曲面方程：直角坐标系设旋转曲面S母线
G： (1)
旋转轴
l (2)
里l点XYZl方数
设M1 (x1y1z1) 母线G 意点M1纬圆总成垂直轴l面P0中心半径球面交线 M1纬圆方程
(3)
(4)
M1跑遍整母线时出旋转曲面纬圆求旋转曲面成纬圆构成
M1 (x1y1z1) 母线G
(5)
（3）（4）（5）4等式消参数x1y1z1方程
F (xyz) 0
S方程
（4）常见二次曲面：
1椭球面标准方程：
参数方程： 0≤q≤p0≤j≤2p
2 单叶双曲面标准方程： (abc >0)
双叶双曲面标准方程：（abc > 0）
3 椭圆抛物面标准方程：
双曲抛物面标准方程：（ab>0）
典型题：
1已知柱面准线：
（1）母线行轴（2）母线行直线试求柱面方程
解：（1）方程
中消：
：
求柱面方程
2 1求顶点原点准线锥面方程
解：设锥面点直线：
设准线交存代入准线方程消参数：
：
求锥面方程
3 直线绕轴旋转求旋转面方程值讨什曲面？
解：先求旋转面方程式：
取母线点纬圆：
（3）
（1）——（3）消：
求旋转面方程
时旋转面圆柱面（轴轴）
时旋转面圆锥面（轴轴顶点原点）
时旋转面变轴
时旋转面单叶旋转双曲面
4 椭球面中心（原点）某定方曲面点距离设定方方余弦分试证：
证明：定方曲面点该点坐标
该点曲面
5 设动点距离等点面距离两倍试求动点轨迹
解：设动点求轨迹
：
轨迹方程
6 已知椭圆抛物面顶点原点称面面面点求椭圆抛物面方程
解：题意设求椭圆抛物面方程：
令确定
均该曲面
：
求椭圆抛物面方程：
7双曲抛物面求行面直母线
解：双曲抛物面两族直母线：
第族直母线方矢量：
第二族直母线方矢量：
题意求直母线应满足：
求直母线方程： ：
第五章 二次曲线般理
章教学目 学生高中已学二次曲线标准方程简单性质 通章学学生更加深入系统层次掌握二次曲线相关般概念种性质总体握二次曲线实质熟悉化简二次曲线方程方法解二次曲线分类
章教学重点：（1）二次曲线直线关系二次曲线种性质讨 （2）二次曲线方程化简
章教学难点 （1）二次曲线直径切线求法（2）二次曲线渐进方理解尤轭直径方间关系（3）二次曲线方程化简二次曲线新旧坐标系图形绘制
章教学容：
§50 预备知识
1．绪
二次曲线种重面曲线．面直角坐标系仿射坐标系种曲线方程总关xy二元二次方程统称二次曲线．二次曲线分退化非退化两类中非退化实曲线椭圆（包括圆）双曲线抛物线3种．3种曲线成面圆锥面交线称圆锥曲线圆锥截线．
章重点详讨般二次曲线种性质．
面章引讨方便先二次曲线标准方程简单性质进行复性概述．
复标准方程表示圆锥曲线讨般二次曲线．
面直角坐标系二元二次方程
(1)
表示曲线做二次曲线．中二次项系数全零．
二次曲线中椭圆（包括圆）抛物线双曲线外曲线．二次曲线称轴坐标轴行二次曲线中心顶点坐标原点时方程般标准形式较复杂表现方程（1）中系数全零少零．章讨般二次曲线性质出二次曲线中心渐线直径直径方等重概念．
2．虚元素穷远元素干重记号引进
需研究直线二次曲线相交问题入手认识二次曲线某性质．求直线二次曲线交点必须涉解二次方程问题．二次方程根虚数必代数中引进虚数实数扩充成复数样面引进虚元素．
面建立笛卡坐标系序实数 (xy) 表示面点果xy中少虚数然认 (xy) 表示面点样点做面虚点xy做虚点坐标．相应坐标实数点做面实点．果两虚点应坐标轭复数两点做轭虚点实点虚点统称复点
面引进虚点然讨量直线等概念．设面两复点称M1始点M2终点复量记做果中少虚数称虚量果点M (xy) 坐标满足表达式
中l复数说点M分M1M2定l特点做线段M1M2中点．
做两点决定直线参数方程式中t参数意复数．消参数t
Ax ＋ By ＋ C 0
称方程直线般方程果ABC三实数成例直线实直线否做虚直线．
轭复数实数连结两轭虚点线段中点实点．时候两条相交虚直线交点实点．
面引进虚点曲线方程中会出现虚系数．约定讨问题时考虑实系数曲线方程．引入虚点实系数方程表示曲线含许虚点甚实系数方程表示曲线虚点实点．
讨某特殊问题需面引入穷远点穷远直线两穷远元素．认两条行直线穷远点相交面穷远点构成穷远直线．设x y∈C坐标（xy）表示点称穷远点．
讨问题书写方便引进面记号：
F (xy ) ≡
F1 (xy) ≡
F2 (xy) ≡
F3 (xy) ≡
F (xy) ≡
根记号含义验证面恒等式成立：
F(xy) ≡ xF1(xy) ＋ y F2(xy) ＋ F3(xy) (50－1)
称F (xy) 系数组成矩阵
二次曲线（1）系数矩阵称F (xy) 矩阵F (xy) 系数排成矩阵
做F (xy) 矩阵．显然二次曲线（1）系数矩阵A第第二第三行元素分F1(xy)F2(xy) F3(xy) 系数．
AF *实称矩阵．
方便讨引进面行列式：
里I1矩阵F*迹（角线元素）I2 det F*（矩阵F*行列式）I3 det A（矩阵A行列式）两项分I3中元素a22a11代数余子式．
§51 二次曲线直线相关位置
现讨二次曲线G
(1)
点具方X︰Y直线l
(2)
交点．（2）代入（1）整理关t方程
(3)
利前面记号（3）写成
(51－1)
方程（52－1）分种情况讨．
1．F (XY ) ≠ 0．时（51－1）关t二次方程判式：
D [ F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ]2 － F (X Y ) F ( x0 y0 )
分三种情况：
1°D＞0．方程（51－3）两等实根代入（2）便直线l二次曲线G 两实交点．
2°D 0．方程（51－3）两相等实根时直线l二次曲线G 两相互重合实交点．
3°D＜0．方程（51－3）两轭虚根时直线l二次曲线G 交两轭虚点．
2．F ( XY ) 0时分三种情况：
1°F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ≠ 0．时（51－3）关t次方程惟实根直线l二次曲线G 惟实交点．
2°F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ＝ 0F ( x0 y0 ) ≠ 0．时方程（51－3）解直线l二次曲线G 没交点．
3°F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ＝ F ( x0 y0 ) ＝ 0．时方程（51－3）成恒等式（实虚）t值满足直线l切点G l公点说直线l全部二次曲线G ．
注 点（x0y0 ）具方X︰Y直线l般方程
写成参数方程（2）．
X ≠ 0时直线l方X︰Y仅l斜率Y︰X．X 0时直线l斜率存者说正穷l方表示成0 1X︰Y表示直线方斜率表示显更方便．
§52 二次曲线渐方中心渐线
1．二次曲线渐方
52中已二次曲线（1）具方X Y直线（2）满足条件
F (XY) ≡ (52－1)
时直线二次曲线者实交点者没交点者直线（2）全部二次曲线（1）成二次曲线组成部分．
定义521 满足条件F (XY ) 0方做二次曲线渐方否做非渐方．
二次曲线（1）二次项系数全零渐方X Y满足方程（52－1）总确定解．
（52－1）改写成
（53－1）改写成
必a12 ≠ 0（52－1）变成
X 0Y 0．方X Y应非零量XY时零时解
X Y 1 0 X Y 0 1
时
仅I2 > 0时二次曲线（1）渐方轭虚方I2 0时（1）实渐方I2 < 0时（1）两实渐方．二次曲线渐方两非渐方数．
二次曲线根实渐方数目分类．
定义522 没实渐方二次曲线做椭圆型实渐方二次曲线做抛物型两实渐方二次曲线做双曲型．
二次曲线（1）渐方分3类判定标准I2．
1）椭圆型曲线：I2 > 0
2）抛物型曲线：I2 0
3）双曲型曲线：I2 < 0．
前面讨椭圆抛物线双曲线分属椭圆型抛物型双曲型二次曲线反三种类型曲线包括椭圆抛物线双曲线外种曲线．
2．二次曲线中心渐线
已证明直线l方X Y二次曲线G 非渐方时时lG 总交两点（两实交点两重合实交点两轭虚交点）称两点确定线段二次曲线弦．
定义523 果点C二次曲线通弦中点点C做二次曲线中心．
根定义C二次曲线称中心．点 (x0y0) 二次曲线G中心时G 意非渐方方直线（2）G 交两点M1M2点 (x0y0) 弦M1M2中点．（2）代入G 方程（1）方程（52－1）．
设弦M1M2两端点．直线（2）两点应
(x0y0) M1M2中点
XY时零必
t1t2方程两根根韦达定理
(4)
X Y二次曲线G 意非渐方关XY次齐次方程（4）穷解方程系数必全零
(5)
反果点 (x0y0 ) 满足（5）式逆推必 (x0y0 ) 二次曲线（1）中心结．
已证明
命题521 点C (x0y0) 二次曲线中心充条件
(52－2)
推 坐标原点二次曲线中心充条件曲线方程里含xy次项．
根（52－2）二次曲线中心实际方程组
(52－3)
确定．
时方便记忆利偏导数记号方程组（52－3）写成
二次曲线F(x y) 0恒．
果（53－3）惟解时二次曲线（1）惟中心（52－3）解中心坐标．
果时（53－3）解二次曲线（1）没中心时（53－3）数解时两条直线重合该直线点二次曲线（1）中心条直线做二次曲线中心直线．
定义524 惟中心二次曲线做中心二次曲线没中心二次曲线做心二次曲线条中心直线二次曲线做线心二次曲线心二次曲线线心二次曲线统称非中心二次曲线．
根定义确定中心方程组（52－3）二次曲线中心分类：
1）中心曲线：
2）非中心曲线：I2 0
1°心曲线：
2°线心曲线：．
已出二次曲线两种分类种渐方分类种中心分类．容易出椭圆型曲线双曲型曲线中心曲线抛物型曲线非中心曲线包括心曲线线心曲线．
定义525 通二次曲线中心二次曲线渐方方直线做二次曲线渐线．
椭圆型曲线两条虚渐线实渐线双曲型曲线两条实渐线．抛物型曲线心曲线渐线线心曲线条渐线中心直线．
命题522 二次曲线渐线二次曲线者没交点者整条直线二次曲线成二次曲线组成部分．
证 设直线（2）二次曲线（1）渐线里 (x0y0) 二次曲线（1）中心X Y（1）渐方
F ( X Y ) 0
根直线二次曲线相交情况讨方程（51－1）解讨 (x0y0) 二次曲线时（51－1）解渐线（2）二次曲线（1）没公点 (x0y0) 二次曲线时（51－1）穷解渐线（2）点全部二次曲线（1）成二次曲线组成部分．（证毕）
特指出面结：
命题523 设二次曲线G：中心型二次曲线(x0y0) G 中心G 两条渐线方程
(52－4)
证 设X YG 渐方X Y必满足
(x0y0) G 中心时G 渐线方程写
X Y 代入（52－4）恰表示G 两条渐线．G 双曲型曲线时（52－4）方程实数范围分解成两次方程表示两条实渐线G 椭圆型曲线时方程表示两条虚渐线．
作命题523直接推直接写出椭圆双曲线
渐线方程
§53 二次曲线切线
定义531 果直线二次曲线交相互重合两点条直线做二次曲线切线重合交点做切点．果直线全部二次曲线称二次曲线切线时直线点作切点．
设M0 (x0y0) 二次曲线（1）点M0直线l方程总写成（2）形式：
代入（1）方程（51－1）．欲l成（1）切线F ( X Y ) ≠ 0时必须判式
(6)
M0 (x0y0) 二次曲线F (x0y0 ) 0（6）变
(7)
F ( X Y ) 0时直线l二次曲线（1）切线必定整条直线二次曲线F (x0y0 ) 0外惟条件然（7）．
方X Y满足条件（7）时直线（2）定二次曲线点M 0 (x0y0 ) 切线．
果全零（7）
X Y (－)
二次曲线点M0 (x0y0 ) 切线方程
(53－1)
(53－2)
果 0（7）变恒等式意方X Y二次曲线切方切线确定通点M0 (x0y0)意直线二次曲线切线．
定义532 二次曲线（1）满足条件 0点 (x0y0) 做二次曲线奇异点简称奇点．二次曲线非奇异点做二次曲线正常点．
命题531 果 (x0y0) 二次曲线（1）正常点二次曲线通点( x0y0 ) 切线方程( x0y0 ) 切点．果 ( x0y0 ) 二次曲线（1）奇点二次曲线通点 ( x0y0 ) 切线确定者说通点 ( x0y0 ) 条直线二次曲线（1）切线．
推 果 (x0y0 ) 二次曲线（1）正常点二次曲线通点 ( x0y0 ) 切线方程
(53－3)
证 方程（53－2）改写
式
(8)
整理（53－3）．
公式（53－3）具便记忆特点．确定点 (x0y0) 二次曲线（1）正常点（1）中代代xy ( x0y ＋ xy0 ) 2代x ( x ＋ x0 ) 2y ( y ＋ y0 ) 2代二次曲线正常点 ( x0y0 ) 切线方程．
容易证明椭圆抛物线双曲线没奇点．椭圆双曲线抛物线正常点 ( x0y0 )种曲线 ( x0y0 )切线方程
出公式（53－3）解决点 (x0y0) 二次曲线时切线存性切线存时直接写出切线方程问题．问题切线奇点关节没涉问题面专门讨．
例中介绍种间接分析方法便定二次曲线G求G 外点切线．
例1 求二次曲线x2 － xy ＋ y2 － 1 0通点 (02) 切线方程．
解法 F (02) 3点 (02) 曲线直接应节出切线公式．
点 (02) 直线方程写成
中t参数XY直线方数
F1 (02) － 1F2 (02) 2
根直线二次曲线相切条件（6）
－ 3() 0
化简 2 － 0
(2X － Y)(X ＋ Y ) 0
X Y 1︰2 X Y 1︰－ 1
两方已知二次曲线渐方二次曲线点 (02) 切线方．求切线方程
2x － y ＋ 2 0 x ＋ y － 2 0
解法二 设 (02) 切线已知二次曲线相切点 ()切线方程
(9)
通点 (02) (02) 满足方程 (02) 代入化简
(10)
方面点 () 二次曲线
(11)
解（10）（11）联立方程组切点坐标
切点坐标分代入（9）求切线方程
2x － y ＋ 2 0 x ＋ y － 2 0
出专著二次曲线中关奇点切线结
命题532 二次曲线奇点充条件中心曲线时中心奇点
命题533 二次曲线G 奇点仅列情况成立：
i）I3 0I2 > 0．时椭圆型二次曲线G 退化惟中心变成点椭圆G 中心G 惟奇点．
ii）I3 0I2 < 0．时双曲型二次曲线G 退化两相交直线G 惟奇点G 惟中心——两条相交直线交点．
iii）I3 I2 K1 0．时抛物型二次曲线G 退化两重合直线G 数奇点奇点构成G 中心直线G 身G 点奇点．
命题533知0二次曲线奇点必条件
面关切线重统公式：
命题534 实点否二次曲线（1）（1）M0 切线方程皆
(544)
证 M0X Y方直线方程总写
－ ∞< t < ＋ ∞ (12)
（12）代入（1）
(13)
方程根t确定直线l二次曲线G 相关位置．定义G 切线G交相互重合两点直线妨假定X YG 渐方lG 相切充条件二次方程（13）判式等零
(14)
关XY二次齐次式方程中X Y切线方．（12）应
代入（14）关二次齐次式：
(53－5)
改写方程（53－4）．
时直线（12）方满足（12）（1）相切条件（14）方程（53－5）方程（53－4）表示二次曲线（1）点M0切线．（证毕）
M0（1）正常点时F0 0切线方程（53－4）变
正般解析教科书结．
M0二次曲线G 时（53－4）左边够实数域分解两关x － x0y － y0次式积表示G M0两条实切线否表示两条虚切线．
§54 二次曲线直径
1．二次曲线直径
已讨直线二次曲线相交种情况．直线行二次曲线某非渐方时条直线二次曲线总交两点（两实点两重合实点轭虚点）两点决定二次曲线条弦．现研究二次曲线族行弦中点轨迹．
命题541 二次曲线族行弦中点轨迹条直线．
证 设X Y二次曲线非渐方F (XY) ≠ 0 (x0y0 ) 行方X Y弦中点 ( x0y0 ) 弦
二次曲线F (xy) 0两交点（弦两端点）二次方程
F (XY) ＋ F ( x0 y0 ) 0 (2)
两根决定 ( x0 y0 ) 弦中点根前面关中心关讨必
＋ 0
说明行方X Y弦中点 ( x0y0 ) 坐标满足方程
(3)
(54－1)
反果点 ( x0y0 ) 满足方程（54－1）方程（2）绝值相等符号相反两根点 ( x0y0 ) 具方X︰Y弦中点方程（54－1）族行某非渐方X︰Y弦中点轨迹方程．
方程（54－1）次项系数全零
时
X︰Y非渐方假设矛盾（54－1）二元次方程条直线．命题证．
定义541 二次曲线行弦中点轨迹做二次曲线直径应行弦做轭条直径轭弦直径做轭行弦方直径．
前述斜率k Y X应方X Y
推 果二次曲线族行弦斜率k轭族行弦直径方程
(54－2)
里定义二次曲线直径条实直线条线段行某非渐方行弦两实点连线两虚点连线中点实点实点构成条实直线仅仅条实线段．
认直径条直线说圆直径条线段区．数情况包括圆二次曲线直径成直线更便进行理讨．
二次曲线非渐方X Y般穷方程（3）（54－2）出果F1 (xy) 0F2 (xy) 0表示两条直线方程（54－1）表示直线构成面直线束．记直线束HH具性质：
时H中心直线束时H行直线束果F1(xy) 0F2(xy) 0表示直线时（3）（54－2）表示条直线．
果F1(xy) 0F2(xy) 0中矛盾方程F1(xy) 0中a11 a12 0时成立（3）（54－2）表示行直线束F1 (x y) 0F2 (x y) 0中恒等式F1 (x y) 0中a11 a12 a13 0成立（3）（54－2）表示条直线．
二次曲线中心曲线时全部直径属中心直线束直线束中心二次曲线中心二次曲线心曲线时全部直径属行直线束方二次曲线渐方X︰Y 二次曲线线心曲线时二次曲线条直径方程
()
线心二次曲线中心直线：
命题542 中心二次曲线直径通曲线中心心二次曲线直径行曲线渐方线心二次曲线直径条曲线中心直线．
图541出三种二次曲线直径情形图中直径粗线画出．
（a）中心曲线直径中心直线束
（b）心曲线直径行直线束
（c）线心曲线直径条直线
图541
例1 求椭圆双曲线直径．
解 F (xy)≡ F1(xy)＝ F2(xy)＝
根（3）轭非渐方X︰Y直径方程
显然直径通曲线中心（00）．
例2 求抛物线＝2px直径．
解 F (xy)≡2px － ＝0
F1(xy)＝pF2(xy)＝－ y
轭非渐方X︰Y直径
X p － Y y＝0
y＝
抛物线＝2px直径行渐方1︰0．
注 里X︰Y抛物线＝2px非渐方．抛物线＝2px渐方满足齐次方程 0解．Y' 0时X' ≠ 0解1 0．直径y pX Y方恰1︰0x轴方．
例3 求二次曲线F (xy)≡轭非渐方X︰Y直径
解 ∵ F1 (xy)＝x － y ＋ 1F2 (xy)＝－ x ＋ y － 1
∴ 直径方程
X (x － y ＋ 1) ＋ Y (－ x ＋ y － 1)＝0
(X － Y )(x － y ＋ 1)＝0
已知曲线F (xy)＝0渐方X '︰Y '＝1︰1非渐方X︰Y定X ≠ Y曲线轭非渐方X︰Y直径
x － y ＋ 1＝0
条直径．
事实曲线线心二次曲线条直径．
2．轭方轭直径
二次曲线非渐方X︰Y轭直径方程总写成（54－1）形式（54－1）方
X'︰Y'＝－ ︰ (54－3)
称方非渐方X︰Y轭方．
根（54－3）存非零实数t
X'＝－ tY'＝t
X︰Y非渐方F (X Y ) ≠ 0设t ≠ 0I2 ≠ 0二次曲线中心二次曲线时F (X ' Y ' ) ≠ 0I2＝0二次曲线非中心二次曲线时F (X' Y' )＝0．
命题543 中心二次曲线非渐方轭方然非渐方非中心二次曲线非渐方轭方渐方．
（54－3）二次曲线非渐方X︰Y轭方X'︰Y' 间关系
(54－4)
（54－4）式出两方X︰YX'︰Y' 称中心曲线说非渐方X︰Y轭方非渐方X' Y' Y' 轭方X︰Y．
意定非渐方X︰Y作组行方行弦中点确定条轭非渐方X︰Y直径l'设方X' Y'．X' Y'非渐方样X' Y' 确定条直径ll方必然X︰Y．
定义542 中心二次曲线具相互轭方直径做轭直径．
设 代入（54－4）
(54－5)
轭直径斜率满足关系式．
例椭圆轭直径斜率kk' 关系
(4)
双曲线轭直径斜率kk' 关系
(5)
（54－4）中果设
X'︰Y'＝X︰Y
显然时X︰Y二次曲线渐方．果二次曲线轭方（54－4）作代数推广渐方成轭方渐线成轭直径．
（14）出椭圆轭直径斜率kk' 具相反符号（假定kk' 皆零）轭直径象限里（图542）．k > 0k值增时k' < 0绝值着减．表示椭圆条直径绕中心逆时针方转动时轭直径绕着中心逆时针方转动．
（15）出双曲线轭直径斜率kk' 具相符号（假定kk' 皆零）轭直径位象限里（图54 3）．时时双曲线轭直径位渐线异侧．次k > 0k值增时k' > 0绝值着减．表示双曲线条直径绕中心逆时针方旋转时轭直径绕着中心时针方旋转．外果条直径斜率趋（ －）轭直径斜率趋（ －．双曲线渐线轭直径极限位置．更详说明双曲线渐线成直径两条重合轭直径．
图542
图543
例子中讨标准坐标系中进行kk' 中零必穷实际时轭直径中心二次曲线称轴坐标轴．根极限观点考虑椭圆认时k® ＋∞应图542中直径l' 趋x轴轭直径l趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界双曲线认时k' ® ＋∞应图543中直径l趋x轴轭直径l' 趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界．
x － y ＋ 1＝0
条直径．
事实曲线线心二次曲线条直径．
2．轭方轭直径
二次曲线非渐方X︰Y轭直径方程总写成（54－1）形式（54－1）方
X'︰Y'＝－ ︰ (54－3)
称方非渐方X︰Y轭方．
根（54－3）存非零实数t
X'＝－ tY'＝t
X︰Y非渐方F (X Y ) ≠ 0设t ≠ 0I2 ≠ 0二次曲线中心二次曲线时F (X ' Y ' ) ≠ 0I2＝0二次曲线非中心二次曲线时F (X' Y' )＝0．
命题543 中心二次曲线非渐方轭方然非渐方非中心二次曲线非渐方轭方渐方．
（54－3）二次曲线非渐方X︰Y轭方X'︰Y' 间关系
(54－4)
（54－4）式出两方X︰YX'︰Y' 称中心曲线说非渐方X︰Y轭方非渐方X' Y' Y' 轭方X︰Y．
意定非渐方X︰Y作组行方行弦中点确定条轭非渐方X︰Y直径l'设方X' Y'．X' Y'非渐方样X' Y' 确定条直径ll方必然X︰Y．
定义542 中心二次曲线具相互轭方直径做轭直径．
设 代入（54－4）
(54－5)
轭直径斜率满足关系式．
例椭圆轭直径斜率kk' 关系
(4)
双曲线轭直径斜率kk' 关系
(5)
（54－4）中果设
X'︰Y'＝X︰Y
显然时X︰Y二次曲线渐方．果二次曲线轭方（54－4）作代数推广渐方成轭方渐线成轭直径．
（14）出椭圆轭直径斜率kk' 具相反符号（假定kk' 皆零）轭直径象限里（图542）．k > 0k值增时k' < 0绝值着减．表示椭圆条直径绕中心逆时针方转动时轭直径绕着中心逆时针方转动．
（15）出双曲线轭直径斜率kk' 具相符号（假定kk' 皆零）轭直径位象限里（图54 3）．时时双曲线轭直径位渐线异侧．次k > 0k值增时k' > 0绝值着减．表示双曲线条直径绕中心逆时针方旋转时轭直径绕着中心时针方旋转．外果条直径斜率趋（ －）轭直径斜率趋（ －．双曲线渐线轭直径极限位置．更详说明双曲线渐线成直径两条重合轭直径．
图542
图543
例子中讨标准坐标系中进行kk' 中零必穷实际时轭直径中心二次曲线称轴坐标轴．根极限观点考虑椭圆认时k® ＋∞应图542中直径l' 趋x轴轭直径l趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界双曲线认时k' ® ＋∞应图543中直径l趋x轴轭直径l' 趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界．
§55 二次曲线直径方
定义551 二次曲线垂直轭弦直径做二次曲线直径直径方垂直直径方做二次曲线方．
定义二次曲线方正交轭方．
显然直径二次曲线称轴直径做二次曲线轴轴曲线交点做曲线顶点．
现求二次曲线
F(xy)≡ (1)
方直径．
果二次曲线（1）中心曲线二次曲线（1）非渐方X︰Y轭直径（54－1）（54－2）．设直径方X '︰Y '两方轭
X'︰Y'＝︰ (16)
方X︰YX'︰Y' 垂直直角坐标系两量{X︰Y}{ X'︰Y' }垂直积零XX' ＋ YY' 0写成
X'︰Y'＝－ Y︰X (17)
（17）代入（16）
X︰Y＝︰ (18)
X︰Y成中心二次曲线（1）方条件
(55－1)
成立中l ≠ 0．（55－1）改写成
(55－1')
关XY齐次线性方程组．XY全零齐次线性方程组非零解系数行列式
(19)
(55－2)
中心二次曲线说（55－2）解出l代入（55－1）（55－1'）方．
果二次曲线（1）非中心二次曲线直径方总惟渐方
X1 Y1＝
垂直方显然
X2 Y2＝＝
非中心二次曲线（1）方面两种：
渐方
X1 Y1＝－ a12 a11 a22 (－ a12) (20)
非渐方
X2 Y2＝a11 a12 a12 a22 (21)
方程（55－2）中令I2 0两根
两根代入（55－1）（55－1'）方恰非中心二次曲线渐方非渐方．
样根方程（55－2）根（55－1'）求二次曲线方方法推广非中心二次曲线．
方X︰Y成二次曲线（1）方条件（55－1'）成立里l方程（55－2）根．
定义552 方程（19）（55－2）做二次曲线（1）特征方程特征方程根做二次曲线特征根．
二次曲线（1）特征方程（55－2）求出特征根l代入（55－1）（55－1'）相应方．果方非渐方根轭方直径．
需解决特征根存问题面命题保证．
命题551 二次曲线特征根实数．
证 特征方程判式
D＝≥0
二次曲线特征根实数．
命题552 二次曲线特征根全零．
证 果二次曲线特征根 l1 l2 0（55－2）韦达定理
a11＝a12＝a22＝0
二次曲线定义矛盾二次曲线特征根全零．
命题553 二次曲线（1）特征根l确定方X︰Yl ≠ 0时二次曲线非渐方l＝0时二次曲线渐方．
证 首先
（55－1）
XY全零l ≠ 0时 ≠ 0X︰Y二次曲线（1）非渐方l＝0时＝0X︰Y二次曲线（1）渐方．
命题554 中心二次曲线少两条直径非中心二次曲线条直径．
证 二次曲线（1）特征方程（55－2）解两特征根
1°二次曲线（1）中心曲线时I2 ≠ 0．果特征方程判式 D＝＝0＝＝0时中心曲线圆（包括点圆虚圆）特征根二重根
l＝a11＝a22 (≠ 0)
代入（55－1）（55－1'）两恒等式方X︰Y满足实方圆非渐方通圆心直线仅直径圆直径圆数条称轴．
果特征方程判式 D＝＞0特征根两等非零实根l 1l 2分代入（55－1'）相应两非渐方
X1 Y1＝a12 (l1 － a11)＝(l1 － a22) a12 (22)
X2 Y2＝a12 (l2 － a11)＝(l2 － a22) a12 (23)
两方轭现证明垂直．
（22）（23）存非零实数t
{X1Y1}×{X2Y2}＝{a12 t(l1 － a11) t}×{a12 t(l2 － a11) t}
＝
＝
＝
＝
＝ 0
两方相互垂直非圆中心二次曲线互相垂直互相轭直径．
2°二次曲线（1）非中心曲线时I2＝0时两特征根
＝ ＋ ＝0
非渐方l1＝ ＋ 应方非中心二次曲线条直径．
例1 求二次曲线方直径．
解 ∵ I1＝1 ＋ 1＝2I2＝＝ ≠ 0
∴ 曲线中心曲线特征方程
解方程两特征根：
代入方程（55－1'）
方程组解特征根确定方X1 Y1 1 1．
代入方程（55－1'）
特征根确定方X2 Y2 － 1 1．
二次曲线轭方1 1直径
x ＋ y＝0
二次曲线轭方 － 1 1直径
－
x － y＝0
例2 求二次曲线方直径．
解 ∵ I1＝1 ＋ 1＝2I2＝＝0
∴ 曲线非中心曲线特征方程
两特征根 l1＝2l2＝0
l1＝2非中心二次曲线非零特征根确定二次曲线非渐方：
X1 Y1＝－ 1︰(2 － 1) － 1︰1
特征根l2＝0确定二次曲线渐方：
X2 Y2＝－ 1︰1︰1
曲线惟直径非渐方－ 1︰1确定：
－( x － y － 2 ) ＋ (－ x ＋ y )＝0
x － y － 1＝0
§56 二次曲线方程化简分类
设面出两标架 {Oi j } {O'i' j' } 决定右手直角坐标系里iji' j' 两组坐标基量面两标准正交基次称两坐标系旧坐标系新坐标系．
坐标系位置完全原点坐标基量决定新坐标系旧坐标系间关系O' {Oi j } 中坐标i' j' {Oi j } 中分量决定．
直角坐标变换总分解成移轴（坐标移）转轴（坐标旋转）两步骤．
1．移轴
果两标架 {Oi j } {O'i j' } 原点OO' O' {Oi j }中坐标 (x0y0)两标架坐标基量相
i' i j' j
标架 {O'i' j'} 成标架 {Oi j } 原点移O'点（图571）．种坐标变换做移轴（坐标移）．
设P面意点标架 {Oi j} {O'i' j'} 坐标分 (xy) ()
{xy} {x0y0} ＋ {x'y' }
根量相等定义移轴公式
图561
(56－1)
中解出x' y'逆变换公式
(56－2)
2．转轴
两标架 {Oi j } {O'i' j'} 原点相O O'坐标基量∠(ii' ) a标架 {O'i'j'} 成标架 {Oij } 绕O点旋转a 角（图562）．种标架 {Oij } 标架 {O'i'j'}坐标变换做转轴（坐标旋转）．
面推导转轴公式．
设P面意点 {Oi j } {O'i' j'} 坐标分 (xy) ()
∠(ii' ) a新旧坐标基量间关系
图562
OO'点直接转轴公式：
(56－3)
（57－3）中解出x' y '旧坐标表示新坐标逆变换公式：
(56－4)
式中a 坐标轴旋转角．
（56－4）式成标架 {Oi'j'} 绕O旋转－ a 角变 {Oij} 转轴公式．
* 根线性代数理（56－3）写里坐标变换矩阵正交矩阵逆矩阵逆变换公式直接写出．
3．般坐标变换公式
般情况旧坐标系O－xy变成新坐标系O'－x'y'总分两步完成．先移轴坐标原点新坐标系原点O' 重合变成坐标系O'－然辅助坐标系O'－xy 转轴成新坐标系O'－x'y'（图563）．
设面点P旧坐标新坐标分 (xy) (x'y' )辅助坐标系O'－xy 中坐标 (xy )（56－1）（56－4）分
两式般坐标变换公式
图563
(56－5)
（56－5）解出x'y' 便逆变换公式
(56－6)
面直角坐标变换公式（56－5）新坐标系原点坐标 (x0 y0) 坐标轴旋转角 a 决定．
4．定新坐标轴确定坐标变换
确定坐标变换公式坐标移旋转外方法．
假定已出新坐标系两坐标轴旧坐标系中方程规定轴正方确定种坐标变换公式．
设直角坐标系xOy里定两条相互垂直直线
l1：
l2：
中．果取直线l1新坐标系中横轴O'x'直线l2轴O'y'设面意点M旧坐标新坐标分（xy）（x'y'）． | x' | 点M（xy）O'y' 轴距离M点l2距离（图564）
图564
理
掉绝值符号便坐标变换公式
(56－7)
新坐标系然右手坐标系（56－7）式公式（56－4）较决定（56－7）中符号．
（56－7）中第式右端x系数应第二式右端y系数相等（56－7）符号选取两项系数号．
种坐标变换方法常求般中心二次曲线直径情况两条直径作新坐标轴二次曲线方程化标准方程．
5．坐标变换二次曲线方程系数变化规律
设二次曲线G 方程
F (x y)≡ (1)
选择适坐标变换曲线G新坐标系方程简单必须先解坐标变换二次曲线方程系数变化规律．般坐标变换总成移轴转轴组成首先分考察移轴转轴二次曲线G 方程（1）系数样变化．
移轴（56－1）
设二次曲线G 新方程
化简整理：
里 (2)
命题561 移轴（56－1）二次曲线方程（1）系数变换规律：
1°二次项系数变
2°次项系数变
3°常数项变．
（x0y0）二次曲线（1）中心时 0二次曲线中心时作移轴新原点二次曲线中心重合新坐标系二次曲线新方程中包含次项．
转轴公式（56－3）
代入（1）转轴（56－3）二次曲线（1）新方程
里
(3)
命题562 转轴（56－3）二次曲线方程（1）系数变换规律：
1°二次项系数般改变．新方程二次项系数仅原方程二次项系数旋转角关次项系数常数项关．
2°次项系数般改变．新方程次项系数仅原方程次项系数旋转角关二次项系数常数项关．
3°常数项变．
（3）中
中解出
转轴二次曲线方程（1）次项系数变换规律点坐标xy变换规律完全致．原方程次项时通转轴完全消次项原方程次项时通转轴会产生次项．
二次曲线方程（1）里转轴新方程中．取旋转角a．
令
(56－8)
余切值意实数总a 满足（56－8）说总适转轴消（1）中xy项．
2．确定坐标变换步骤基原
条二次曲线方程先移轴转轴进行坐标变换先转轴移轴进行坐标变换两种方法方程化简．
果决定先转轴根（56－8）确定坐标系旋转角．种类型二次曲线先转轴总行．
果决定先移先确定旧坐标系原点移处．中心二次曲线般新坐标系中心定曲线中心中心先求出．心二次曲线曲线标准方程应该新坐标系中心定曲线顶点顶点易先求出．
利坐标变换二次曲线方程进行化简时般面原进行：
先根I2判断曲线类型．
果I2 ≠ 0说明曲线中心型．应先求出中心移轴然转轴．
果I2＝0说明曲线非中心型先转轴消交叉项xy方程配方般确定新坐标系原点移轴．
验证明里出原定程度减少方程化简运算量．
3．二次曲线方程化简实例方法分析
通例题分析说明具体定二次曲线方程进行化简．
例1 化简二次曲线方程画出图形．
解 I2 1 × 4 － 2 2 0曲线抛物型（非中心型）应先转轴．
设旋转角a应：
tana＝2
取tana＝2（取tana＝－ 1 2样原方程化简）
转轴公式
代入原方程化简整理转轴新方程
配方
作移轴
曲线方程化简形式
写成标准方程
条抛物线．顶点新坐标系O－xy 原点原方程图形根坐标系O－xy 中标准方程作出图561示．
作图点：坐标系O－xy旋转角度成O'－x'y'坐标系O'－x'y' 移（0）
图564
O－xy．新坐标系O－xy 中
根抛物线标准方程作图．
出曲线原坐标系中位置作图时需新旧坐标系时画出．
例2 化简二次曲线方程
画出图形．
解 I2＝5 × 2 － 22＝6≠0曲线中心二次曲线．解方程组
中心 (21)．取 (21) 新原点作移轴
原方程变 ①
里实际需计算F (21)＝－ 4移轴时二次项系数变．
转轴消项．令
tana＝－ 2
取tana＝1 2转轴公式
代入 ①方程化简
标准方程
椭圆图形图565
图565
示．
较准确画出新旧坐标系曲线图形必须掌握例新旧原点位置坐标轴旋转角．题中坐标轴旋转角．
注 题转轴时取tana＝－ 2（旋转角）转轴公式
标准方程 图形相原坐标系位置变．时Ox轴正恰图562中y 轴反．
利转轴消二次曲线方程xy项意义坐标轴旋转二次曲线方行位置．果二次曲线特征根l确定方X︰Y
行方斜率
∴
面介绍通转轴移轴化简二次曲线方程方法实际坐标轴变换二次曲线直径（称轴）重合位置．果中心曲线坐标原点曲线中心重合果心曲线坐标原点曲线顶点重合果线心曲线坐标原点曲线中心重合．
根消二次曲线方程中交叉项意义化简二次曲线（1）方程时先求出曲线直径然作新坐标轴作坐标变换．
例3 化简二次曲线方程
作出图形．
解法1 I2＝1 × 1 － < 0二次曲线双曲型．
令
解中心坐标 (－ 22) ．
作坐标移
原方程化
令
转轴应取旋转角 p 4．转轴
图566
二次曲线方程化简
条双曲线图形图563示．
解法2
I1＝1 ＋ 1＝2 I2＝1 × 1 －
曲线特征方程
解两特征根
曲线两方
︰︰︰1
︰︰︰1
曲线两条直径
x ＋ y＝0 x － y ＋ 4＝0
取x － y ＋ 4＝0x' 轴x ＋ y＝0y' 轴根（57－7）取坐标变换公式
反解出xy
代入已知曲线方程整理曲线新坐标系标准方程
条双曲线．
作图时必须首先确定x' 轴正．变换公式x' 表达式右端x项系数y项系数系数公式（57－7）较知道x' 轴x轴交角时坐标变换公式直接新坐标系原点旧坐标 (－ 22)．新坐标系确定曲线新坐标系里标准方程作出图形图3－7认移轴转轴次完成．
两种解法相解法1显简便计算量步骤较规范具较强操作性．解法2强调直接根直径出般坐标变换公式理定价值．
心二次曲线条直径解法2选坐标轴条坐标轴确定呢？求出条直径二次曲线交点——二次曲线顶点然取顶点垂直已知直径直线作条坐标轴写出般坐标变换公式进二次曲线方程化简．
例4 化简二次曲线方程．
解 I1 1 ＋ 1 2I2 1 × 1 － 12 0曲线非中心型．
解特征方程特征根 l 1 2 l 2 0．
曲线非渐方应l 1 2方X︰Y＝1︰1曲线直径
x ＋ y ＋ 0
直径方程原曲线方程联立求曲线顶点(3 16－15 16)．顶点求非渐方方直线
x － y － 0
顶点垂直直径直线．
取直径新坐标系x' 轴取直线y' 轴作坐标变换变换公式
解出xy
代入已知方程整理化标准方程
条抛物线．画出条抛物线必须确定代表x' 轴直线正．设x' 轴x轴交角a根变换公式轴正确定．新坐标轴作出新坐标系根抛物线标准方程作出图形（图形略）．
例5 化简二次曲线方程 ．
解 二次曲线矩阵
A
A第行第二行元素成例表示F1 (xy) 0F2 (xy) 0条直线曲线线心曲线惟条直径曲线中心直线曲线直径方程F1 (x y) 0：
x － y ＋ 1 0
取新坐标系x' 轴取意垂直中心直线直线x ＋ y＝0新坐标系y' 轴作坐标变换变换公式
解出xy
代入已知方程整理
2 y'＝
两条行直线（图564）．
线心曲线直接原方程分解两次式立作出图形．例5方程改写
原方程表示两条直线
图567
x － y ＋ 3 0 x － y － 1 0
图象图564示．
二次曲线方程表示两条实直线时直接分解两次方程通常简单效化简方法样避免进行坐标变换．线心曲线外中心二次曲线两条相交直线时原方程直接分解．
例6 化简二次曲线方程．
解 计算I2 < 0I3 0知二次曲线退化双曲型曲线表示两条相交直线．直接原方程左边分解式
(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) 0
原二次曲线方程表示两条相交直线
x － y ＋ 3 0 2x ＋ 3y － 7 0
4．二次曲线简化方程
通面例子出面般结．
命题563 通适坐标变换二次曲线方程总化成面三简化方程中：
（ 1 \* ROMAN I）
（ 2 \* ROMAN II）
（ 3 \* ROMAN III）．
证 二次曲线分中心曲线心曲线线心曲线三类现三种情况讨．
1°已知二次曲线中心曲线时取轭相互垂直直径作坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线样坐标系方程
时原点曲线中心方程中没次项
次二次曲线两条直径（坐标轴）方1︰00︰1互相轭必．
曲线方程
（I）
中心曲线
2°已知二次曲线心曲线时取惟直径x轴取顶点（直径曲线交点）非渐方方直线（顶点垂直直径直线）y轴建立坐标系时假设曲线方程
时直径轭方X︰Y＝0︰1直径方程
x轴直线y＝0重合
顶点坐标原点重合 (00) 满足曲线方程a33 0．
次曲线心曲线．
曲线方程
（II）
3°已知二次曲线线心曲线时取中心直线（曲线惟直径直径）x轴意垂直中心直线直线y轴建立坐标系设曲线方程
线心曲线中心直线方程
中第二方程表示x轴条件
第方程条件表示x轴必须恒等式
线心曲线简化方程：
（III）
命题证毕．
5．二次曲线分类
根命题563中二次曲线三种简化方程系数种情况写出二次曲线种标准方程出二次曲线分类．
（I）中心曲线
时方程化
中 ．
果A > 0B > 0设
方程
[1] （椭圆）
果A < 0B < 0设
方程
[2] （虚椭圆）
AB异号失般性设A＞0B＜0（相反情况两坐标轴OxOy调）．设
方程
[3] （双曲线）
时果a11a22号假设a11＞0a22＞0（相反情况方程两边 － 1）设
方程
[4] （点椭圆作相交实点二轭虚直线）
果a11a22异号类似
[5] （两相交直线）
（II）心曲线
妨设a13a22异号（号时令x － x'y y'异号）令
[6] （抛物线）
（III）线心曲线
a22≠0
方程改写：
a33a22异号时设方程
[7] （两行实直线）
a33a22号设方程
[8] （两行轭虚直线）
a33＝0时方程
[9] （两重合实直线）
面命题：
命题564 通适选取坐标系二次曲线方程总写成面9种标准方程中种形式：
[1] （椭圆）
[2] （虚椭圆）
[3] （双曲线）
[4] （点椭圆成相交实点两轭虚直线）
[5] （两相交直线）
[6] （抛物线）
[7] （两行直线）
[8] （两行轭虚直线）
[9] （两重合直线）．
根命题二次曲线分9类．中圆虚圆点圆分入 [1][2] [4]类中
§57 应变量化简二次曲线方程
许情况需确定二次曲线原坐标系位置需确定形状类型．应变量化简二次曲线方程简单做点．二次曲线坐标系方程方程系数确定量（圆锥曲线焦参数长短轴离心率等）坐标系改变改变者说坐标变换改变量变量．
研究变量半变量方程某系数函数变量具密切关系．面出变量半变量确切定义．
1．变量半变量
设二次曲线意定直角坐标系中方程
(1)
设直角坐标变换T：曲线方程（1）左端变
项式F (x'y' ) 二元二次项式系数项式F (x y ) 系数坐标变换T系数表出．
定义571 设F (xy) 系数组成非常值函数f果直角坐标变换TF (xy) 变F (x'y' ) 时
函数f做二次曲线（1）直角坐标变换T变量．果函数f值转轴变换变函数做二次曲线（1）直角坐标变换半变量．
命题571 二次曲线（1）直角坐标变换三变量I1I2I3半变量K1：
证 直角坐标变换T总通移轴（56－1）转轴（56－3）两步完成证明分移轴转轴两种情况．
先证明移轴（57－1）I1I2I3变K1般改变．
移轴二次曲线（1）二次项系数变
K1移轴般改变例F (xy)≡2xyK1＝0通移轴（57－1）F (xy) 变时
≢ 0
≠K1
现证明转轴（57－3）I1I2I3K1变．I1I2考虑方程二次项系数够根（3）转轴：
(4)
利三角函数关系
（4）化：
(5)
现证I3转轴变．
＝
转轴已证变转轴二次曲线方程常数项变
＝
（3）代入化简整理
＝
理
＝－
证明K1转轴变．
K1
二次曲线（1）常数项转轴变（3）中表达式直接计算
命题证毕．
命题572 二次曲线（1）线心曲线时K1直角坐标变换变量．
证 首先证明线心曲线方程具简化方程
（III）
时K1直角坐标变换变．K1半变量证明移轴变．
移轴（56－1）（III）左端变
时
＝
次果F (xy) 0移轴（56－1）变成（III）反（III）移轴（56－2）变成F (xy) 0线心二次曲线通移轴方程化成（III）时K1变．
现设线心二次曲线F (xy) 0意直角坐标变换t变成F (x'y' ) 0证明K'1＝K1．F (xy) 0线心二次曲线总存直角坐标变换F (xy) 0变成（III）左端反定通直角坐标变换（III）左端变成F (xy)通坐标变换tF (xy) 变成F' (x'y' )存直角坐标变换（III）左端变成F' (x'y' )．
根前面已证明通直角坐标变换t1F (xy) 0变成（III）左端时K1变K1＝．
通直角坐标变换（ 3 \* ROMAN III）左端变F' (x'y' ) 0时＝＝K1．
命题证毕．
2．应变量化简二次曲线方程
已证明二次曲线方程总化成三简化方程（I）（II）（III）中．现应二次曲线三变量I1I2I3半变量K1化简二次曲线方程．种方法特点必求出具体坐标变换公式计算变量半变量决定二次曲线简化方程进写出标准方程．方便然分中心曲线心曲线线心曲线三种情况讨．
1°中心曲线 时I2≠0简化方程
（I）
根二次方程根系数关系知道特征方程
两根＝l1＝l2分二次曲线特征根．
次
样：
命题573 果二次曲线（1）中心二次曲线简化方程
(57－1)
中l1l2二次曲线特征方程两根（方程中撇号已略）．
例1 求二次曲线
简化方程标准方程．
解
I1 1 ＋ 1 2I2 1 × 1 － 32 － 8 < 0
曲线双曲线．特征方程
l2 － 2l － 8＝0
解特征根 l1＝4l2＝ － 2曲线简化方程：
化成标准方程
2°心曲线 时I2＝0I3≠0简化方程
（II）
I1 I 3< 0．
命题574 果二次曲线（1）心曲线简化方程
(57－2)
里根号前正负号意选取（方程中撇号已略）．
例2 求二次曲线
简化方程标准方程．
解 题显然a≥0xy均非负．
a 0时原方程表示坐标原点．时须注意原方程写成两边方样会出原方程表示两条相交实直线错误结．
a > 0时原方程变形
（x≥0y≥0）
I1 2I2 0原方程表示仅第象限实图形段抛物线称轴直线y x顶点(a 4 a 4)曲线两端点坐标 (0a) (a0)．
简化方程
标准方程
3°线心曲线 时简化方程
（III）
＝K1
：
命题575 果二次曲线（1）线心曲线简化方程
(57－3)
（方程中撇号已略）
（57－1）（57－2）（57－3）：
命题576 果出二次曲线（1）变量半变量判断已知曲线种曲线条件：
[1] 椭圆：I2＞0I1I3＜0
[2] 虚椭圆：I2＞0I1I3＞0
[3] 点椭圆（称交实点轭虚直线）：I2＞0I3＝0
[4] 双曲线：I2＜0I3 ≠ 0
[5] 相交直线：I2＜0I3＝0
[6] 抛物线：I2＝0I3 ≠ 0
[7] 行直线：I2＝I3＝0K1＜0
[8] 行虚直线：I2＝I3＝0K1＞0
[9] 重合直线：I2＝I3＝K1＝0 ．
命题证明命题583证明十分类似处略．
推 二次曲线（1）表示两条直线（实虚重合）充条件I3＝0．
二次曲线直角坐标变换变量十分重概念．解析目通曲线方程研究曲线性质二次曲线方程系数构成变量I1I2I3K1完全刻画二次曲线形状特征．变量够深刻反映方程曲线关系数形结合认识提高新高度．
结
知识点回顾
章研究直线二次曲线相交问题入手讨般二次曲线渐方中心渐线切线直径直径等重概念性质导出二次曲线角度进行分类例方分类中心分类讨二般二次曲线代数理坐标变换开始介绍般二次曲线方程化简判问题特二次曲线直径作新做标注简化二次曲线方程二次曲线理代数理联系起加强学科间联系突出代数作工具研究目
时章提出二次曲线直角坐标变换变量十分重概念定理576知二次曲线方程系数构成变量完全刻画二次曲线形状仅深刻反映方程曲线关系数形结合问题提高新认识
通章学应该掌握知识点：
1 二次曲线直线位置关系讨转化元二次方程
根情况进行讨
2． 二次曲线渐方中心角度进行分类方渐方渐方二次曲线分三类：椭圆型曲线抛物型曲线双曲型曲线满足点二次曲线中心中心二次曲线分中心曲线非中心曲线中非中心曲线分心曲线线心曲线
3 二次曲线直径方章难点较抽象学程中认真掌握直径轭方轭直径直径方概念二次曲线分类方程化简奠定基础
4 二次曲线方程化简分类通坐标变换二次曲线方程化简意二次曲线方程化简9简单形式时构造二次曲线变量作二次曲线进步研究
典型例题
例1 试确定值二次曲线交
⑴ 两实点 ⑵ 实点 ⑶ 两轭虚点
解：直线方程带入二次曲线方程：
时两实点
时两实点
时两实点
例2 满足什条件时二次曲线
（1）唯中心（2）没中心（3）条中心直线
解：（1）知时方程唯解时曲线唯中心
（2）时方程解时曲线没中心
（3）时方程数解时曲线线心曲线
例3 试证果二次曲线
渐进线两渐进线方程
Φ
式中二次曲线中心
证明：
设渐进线意点曲线渐进方
Φ
例4 证明直线渐进线二次曲线方程总写成
证明：
设渐进线二次曲线
渐进线Φ中曲线中心Φ
Φ
曲线中心
Φ
令代入式
渐进线二次曲线写
例5 设焦点曲线族里变动参数作行已知直线曲线切线求切线切点轨迹方程
解：设切点坐标（534）曲线切线行代入整理
切点轨迹
例6 证明二次曲线两特征根确定方相互垂直
证明：设分曲线两特征根确定方分
两方相互垂直
例7 试证方程
确定实圆必须须
证明：曲线
表示实圆充条件特征方程
相等实根方程确定实圆必须须
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第章 量坐标
章教学目：通章学学生掌握量运算概念熟练掌握线性运算非线性运算基性质运算规律分量表示会利量运算建立空间坐标系解决某问题章利代数方法研究空间图形性质基础
章教学重点： （1）量基概念量间关系种刻划（2）量线性运算积运算定义运算规律分量表示
章教学难点： （1）量运算空间坐标系联系（2）量数量积量积区联系（3）量运算面立体中应
章教学容：
§11 量基概念
定义：方量称量力速度位移等
二表示：带箭头线段表示量箭头表示量方线段长度代表量量量模（长度）
始点A终点B量记作模记做
注：方便起见少数情形量始终点字母标记量外般写黑体字母abc……标记量希腊字母λμν……标记数量
三两种特殊量：
1零量：模等0量零量简称零量0记
注：零量唯方定量
2单位量：模等1量称单位量特非0量单位量称单位量记作
四量间种特殊关系：
1行（线）：量a行量b意a直线行b直线记作a∥b规定：零量行量
2相等：量a等量b意ab模相等记作ab
注：二量相等否仅取决模方位置关种位置关量称量提量指量
3反量：量a模相等方相反量称a反量记作a显然 零量反量身
4面量：行面组量称面量易见两量总面三量中两量线三量定面零量面量组面
注意：应量数量严格区开：
①量较没意义 ②量没运算类似式子没意义
§12 量加法
量加法：
定义1 设邻边作行四边形取角线量记图11称记作
（图11）
种行四边形角线量规定两量方法称作量加法行四边形法
果量量直线规定样量：
指相时量方原两量相模等两量模
指相反时量模等两量模差绝值方模值量方致
行四边形边行相等样作出两量量：
定义2 作终点起点作联接（图12）
（12）
该方法称作量加法三角形法
（图12）
量加法三角形法实质：
两量首尾相联量首量尾连线两量量
量加法定义证明量加法具列运算规律：
定理1 量加法满足面运算律：
1交换律 （122）
2结合律 （123）
证 交换律证明量加法定义证
证结合律 空间点O开始次作
定理1知三量相加先序结合序结果总相简单写作
二 量减法
定义3 做差记
显然
特
三角形法出：减长度相方相反量加量行四边形法作出量设邻边作行四边形角线量
例1 设互线三量试证明次终点始点相连成三角形充条件零量
证 必性 设三量构成三角形（图13）
（图13）
充分性 设作构成三角形
例2 量法证明：角线互相分四边形行四边形
证 设四边形角线交点互相分（图14）
图出：
∥四边形行四边形
（图14）
§13 数量量
定义131 设数量量积量记作模等倍方规定：时量方方相时量零量时量方方相反
特取量模模相等方相反负量定义知：
量数量积定义导出数量运算符合列运算规律：
定理131 数量量法满足面运算律：
1) 1·
2)结合律 (131)
3)分配律
(132)
4) (133)
证 1)定义显然成立
2)显然量方致
3）分配律 果中少0等式显然成立
反
ⅰ) 显然
ⅱ）妨设
ⅰ)
情形类似证明
常结：
定理3 ( 数量 )量量行记作反量量行( 数量)
设非零量表示方单位量
方方
规定：
表明：非零量模原量方单位量
请注意：量间没定义法运算决式子改写成形式
十分显然种错误受实数运算法惯性作造成
例1 设AM三角形ABC中线求证
（图15）
证 图15
例2 量法证明：连接三角形两边中点线段行第三边等第三边半
证 设△ABC两边ABAC中点分MN
§14 量线性关系量分解
定义141 量数量组成量做量线性组合称量线性表示称分解成量线性组合
定理141 果量量量线充条件量线性表示存实数 (141)
系数唯确定
证 成立定义131知量量线反果量量线定存实数（见13节中135证明）
证唯性：果
定理142 果量线量面充条件量线性表示
(142)
系数唯确定
证：
（图16）
线定义114知设中线定理141中中零果线
结始点设终点分
作行线次交直线（图16）定理 141设行四边形法
反设果中零线面果量加法行四边形法知面面
证唯性
果假设矛盾理
证明唯性
定理143 果量面空间意量量线性表示存组实数 (143)
系数xyz唯确定
证明方法定理142类似
定义142 量存全零实数
(144)
称量线性相关
线性相关量做线性关量线性关：
定理144 时量线性相关充条件中少量余量线性组合
证 设量线性相关存全零实数
中少等0妨设
反设量中量妨设余量线性组合
数1全0量线性相关
定理145 果组量中部分量线性相关组量线性相关
证 设中部分妨设前r量线性相关存全零实数全零线性相关
推 果组量中含零量组量线性相关
类似证明面定理：
定理146 两量线线性相关
定理147 三量面线性相关
定理148 空间意四四量总线性相关
例1 试证明：点线段充条件：存非负实数中意取定点
证（先证必性）设线段
取点
取
（充分性）点非负实数
线直线
线段
例2设两线量证明线充条件
证 线线性相关
存全0实数 (145)
线 线性关方程非零解
§15 标架坐标
空间点直角坐标
面直角坐标系建立面点序数组间应关系沟通面图形数研究
沟通空间图形数研究 类似面解析方法通引进空间直角坐标系实现
1空间直角坐标系
空间定点作三条互相垂直数轴原点般具相长度单位三条轴分轴(横轴)轴(轴)轴(竖轴)统称坐标轴
通常轴轴配置水面轴铅垂线正方符合右手规：
(图17)
右手握住轴右手四指头轴正角度转轴正时拇指指轴正
三条坐标轴组成空间直角坐标系点做坐标原点
注：空间直角坐标系画更富立体感通常轴轴间夹角画成左右然实际夹角
2坐标面卦限
三条坐标轴中意两条确定面样定出三面统称坐标面
轴轴决定坐标面称面外面面
三坐标面空间分成八部分八部分称卦限
(图18)
3空间点直角坐标
取定空间直角坐标系建立起空间点序数组间应关系
设空间已知点点分作垂直轴轴轴三面轴轴轴交点次三点轴轴轴坐标次：空间点唯确定序数组组数点坐标
次称点横坐标坐标竖坐标记
反已知序数组轴取坐标点轴取坐标点轴取坐标点然分作轴轴轴垂直面三面交点序数组坐标空间点
样通空间直角坐标系建立空间点序数组间应关系
定义1 面序数组点坐标系坐标记
二 空间两点间距离公式
定理1 设空间两点两点间距离
(151)
证 作三分垂直三坐标轴面六面围成角线长方体图示
(图19)
直角三角形
直角三角形
特点坐标原点距离
三 空间量坐标
定义2 设坐标轴单位量空间意量存唯组实数组序实数做量坐标系坐标记
定理2 设量始终点坐标分量坐标
(152)
证 点量坐标定义知
定义知
定理3 两量分量等两量应分量
证 设
+
(153)
类似证面两定理：
定理4 设
定理5 设线充条件
(154)
定理6 三非零量面充条件 (155)
证 面存全0实数
全0
§16 量轴射影
空间点轴投影：
设已知点轴点作轴垂直面面轴交点做点轴投影
(图110)
二量轴投影：
定义1 设量始点终点轴投影分轴线段值做量轴投影记作轴称投影轴
(图111)
里值样数：
(1) 数绝值等量模
(2)方轴正致时方轴正相反时
三空间两量夹角：
设两量交点(相交中量移相交)中量绕点两量决定面旋转正方量正方重合样旋转角度(限定)称间夹角记作
(图112)
行指相时规定间夹角指相反时规定夹角
类似规定量数轴间夹角
量行移动数轴相交然量绕交点量数轴决定面旋转量正方数轴正方重合样旋转角度称量数轴夹角
四 投影定理：
定理161 量轴投影等量模轴量夹角余弦
(161)
(图113)
证 量始点引轴轴轴行具相正方未轴量夹角等轴量夹角
式知：量轴投影数值量
非零量投影轴成锐角时量投影正
定理162 量 (162)
证 取设分轴投影显然
类似证面定理：
定理163 量实数 (163)
§17 两量数性积
定义171 两量ab 模|a||b|夹角q 余弦积称量数量积 记作ab ab|a||b|cosq
定义投影关系 ab|b|Prjb a|a|Prjab
数量积性质
(1) a·a|a| 2记a·aa 2a2|a| 2
(2) 两非零量 ab 果 a· b0 a^b
反 果a^b a· b 0
定理171 果认零量量垂直 a^ bÛ a· b 0
定理172 数量积满足面运算律：
(1)交换律 a· b b·a
(2)分配律( a+b)×ca×c+b×c
( (3)la)· b a·(lb ) l(a·b)
(la)·(mb )lm(a·b) lm数
证 （1）定义知显然
(2)证明
c0时 式显然成立
c¹0时
(a+b)×c|c|Prjc(a+b)
|c|(Prjca+Prjcb)
|c|Prjca+|c|Prjcb
a×c+b×c
（3）类似证明
例1 试量证明三角形余弦定理
证 设ΔABC中 ∠BCAq||a ||b ||c 证
c 2a 2+b 22 a b cos q
记a b c cab
|c|2c × c(ab)(ab)a22×ab+b2|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)
c 2a 2+b 22 a b cos q
数量积坐标表示
定理173 设a{ax ay az } b{bx by bz }
a·baxbx+ayby+azbz
证 a· b( ax i+ ay j + az k)·(bx i + by j + bz k)
ax bx i·i + ax by i·j + ax bz i·k
+ay bx j ·i + ay by j ·j + ay bz j·k
+az bx k·i + az by k·j + az bz k·k
ax bx + ay by + az bz
定理174 设a{}量a模
|a|
证 定理172知
|a|2a2
|a|
量方角方余弦：量坐标轴成角做量方角方角余弦量方余弦
定理175 设a{}a方余弦
cos
cos
cos
中分量ax轴y轴z轴夹角
证 ai|a|cosai
|a|cos
cos
理证 cos
cos
显然
两量夹角余弦坐标表示
定理176 设q(a ^ b) a¹0b¹0时
证 a·b|a||b|cosq
例2 已知三点M (11 1) A (22 1) B (21 2) 求ÐAMB
解 MA量记a MB量记b ÐAMB 量ab夹角
a{11 0} b{10 1}
a×b1´1+1´0+0´11
§18 两量量积
定义181 两量ab量积(称外积)量记做a´b模|a´b| |a||b|sin 方ab垂直 ab a´b确定序构成右手标架｛Oaba´b｝
定义知量积列性质：
(1) a´a0
(2) 两非零量ab 果a´b0 ab反 果ab a´b 0
定理181 两线量ab 量积模等ab边构成行四边形面积
定理182 两量ab线充条件a´b0
证 ab线时sin(ab)0|a´b||a||b| sin(ab)0a´b0反a´b0时定义知a 0 b 0ab零成量线总abab线
定理183 量积满足面运算律
(1) 反交换律 a´bb´a
(2) 分配律 (a+b)´ca´c+b´c
(3) 数子结合律 (la)´ba´(lb)l(a´b) (l数)
证 （略）
推 c´ (a+b) c ´ a+ c ´b
定理184 设a ax i + ay j + az k b bx i + by j + bz k a´b(aybz azby)i+(azbx axbz)j+（axby aybx）k
证 量积运算律
a´b(ax i+ay j+az k)´(bx i+by j +bz k)
axbx i´i+axby i´j +axbz i´k
+aybx j´i+ayby j´j+aybz j´k+azbx k´i+azby k´ +azbz k´k
i´ij´jk´k0 i´jk j´ki k´ij
a´b(aybz azby)i+(azbx axbz)j+（axby aybx）k
帮助记忆 利三阶行列式符号 式写成
aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi
(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay bx)k
例1 设a(2 1 1) b(11 2) 计算a´b
解 2ij2kk4ji i5j 3k
例2 已知三角形ABC顶点分A (1 2 3)B (3 4 5)C (2 4 7) 求三角形ABC面积
解 根量积定义 知三角形ABC面积
(2 2 2) (1 2 4)
4i6j+2k
例3 设刚体等角速度w 绕l 轴旋转 计算刚体点M线速度
解 刚体绕l 轴旋转时 l 轴量n表示角速度 等角速度 方右手规定出 右手握住l 轴 右手四手指转刚体旋转方致时 姆指指n方
设点M旋转轴l距离a l轴取点O作量r q 表示nr夹角
a |r| sinq
设线速度v 物理学线速度角速度间关系知 v
|v| | n|a |n||r| sinq
v方垂直通M点l轴面 v垂直nr v指nrv符合右手规
v n´r
§19 三量混合积
定义191 定空间三量做三量混合积记做
定理191 三面量混合积绝值等棱行六面体体积构成右手系时混合积正构成左手系时混合积负构成右手系时构成左手系时
证 量面结试始点构成棱行六面体底面边行四边形面积高体积
根数性积定义
中夹角
构成右手系时
构成左手系时
定理192 三量面充条件
证 三量面定理191知
反果根定理171方面性积定义知面
定理193 轮换混合积三子改变值调俩子改变混合积符号
证 面时定理显然成立面时混合积绝值等棱行六面体体积轮换序时改变左右手系混合积变调意两间序时右手系变左左变右混合积变号
推
定理194 设
证 量性积计算知
根量数性积
推 三量面充条件
例1 设三量满足证明：面
证明：两边做数量积：
面
例2 已知四面体顶点坐标求体积
解：
§110三量双重外积
定义1101 定空间三量先做中两量积量第三量做量积结果然量做三量双重量积
三量双重量积垂直
垂直面
定理1101 （1101）
证 中零量线垂直（1101）两边零量定理显然成立
现设非零量线证明（1101）成立先证
（1）
面线设 （2）
（2）式两边分作数量积
解（1）式成立
证（1101）成立面意设
利（1）式
例1 试证
证明：
三式相加
例2． 证明：
证明：设
结
知识点回顾：
解析基思想代数方法研究问题代数运算引中根做法空间结构系统代数化数量化章中引入量运算通量坐标系空间中点三元序数组建立应关系空间结构代数化基础
通章学应掌握量种运算概念熟练掌握线性运算非线性运算基性质运算规律分量表示会利量运算建立空间坐标系解决某问题利两量数量积零判断种垂直关系两量量积零量判断种行问题三量混合积零判断面问题空间直角坐标系利量积模求面积混合积求体积等问题
1量加法运算规律：
（1）
（2）
（3）
（4）
2数运算规律：
（1） 1·
（2）
（3）
（4）
3 两量数量积
（1）ab|a||b|cosq
（2）a^ bÛ a· b 0
（3）空间直角坐标系设a{ax ay az } b{bx by bz }
a·baxbx+ayby+azbz
4．两量量积
（1）两量ab量积(称外积)量记做a´b模|a´b| |a||b|sin 方ab垂直 ab a´b确定序构成右手标架｛Oaba´b｝
（2）两量ab线充条件a´b0
（3）空间直角坐标系 设a ax i + ay j + az k b bx i + by j + bz k a´b(aybz azby)i+(azbx axbz)j+（axby aybx）k
（4）两线量ab 量积模等ab边构成行四边形面积
5三量混合积
（1）三面量混合积绝值等棱行六面体体积构成右手系时混合积正构成左手系时混合积负构成右手系时构成左手系时
（2）三量面充条件
（3）空间直角坐标系设
典型题
1 已知四面体ＡＢＣＤ顶点坐标Ａ（４３０）Ｂ（６０６）
Ｃ（０００） Ｄ
求（１）△ＢＣＤ面积
（２）四面体ＡＢＣＤ体积
（３）Ｃ△ＢＣＤ距离
解：（1）
2分
△BCD面积
（2）四面体ABCD体积
（3）设CBCD面距离h
2 量法证明：PΔABC重心充条件．
证明：设P△ABC重心DBC边中点
PD△PBC中线
设DBC边中点
线PBC边中线
理PABAC边中线P△ABC重心
3 证明：四面体顶点面重心连线段点点顶点距离面重心距离三倍 四面体顶点坐标交点坐标表示出
[证明]：设四面体A1A2A3A4Ai面重心Gi 欲证AiGi交点(i＝1 2 3 4)
AiGi取点Pi＝3 ＝
设Ai (xi yi zi)(i＝1 2 3 4)
G1
G2
G3
G4
P1()
ºP1()
理P2ºP3ºP4ºP1AiGi交点P点顶点距离等点面重心距离三倍
4四面体中设点重心（三中线交点）求矢量矢量
分解式
解：重心连接延长BC交P
理
（1）
（2）
（3）
（1）（2）（3）
第二章 轨迹方程
章教学目：通章学学生理解空间坐标系曲面空间曲线方程定义表示熟悉空间中特殊曲面曲线方程
章教学重点：空间坐标系曲面空间曲线方程定义
章教学难点：（1）空间坐标系母线行坐标轴柱面方程面坐标系关面曲线方程区（2）空间坐标系空间曲线般方程规范表示
章教学容：
§21面曲线方程
面空间取定坐标系面空间点序数组(坐标)建立应关系曲线曲面(轨迹) 方程建立应关系
1面曲线 具某种特征性质点集合(轨迹)
曲线方程1 曲线点具性质
2具性质点曲线
2曲线方程 方程图形
定义211 面取定坐标系果方程条曲线着关系1满足方程必曲线某点坐标 2曲线点坐标满足方程方程做条曲线方程条曲线做方程图形
例1 求圆心原点半径R圆方程
解 意点圆
类似 圆心半径R圆方程
例2 已知两点求满足条件动点轨迹方程
解 动点轨迹
方整理
方整理
求轨迹方程
注 求曲线方程时化简程中造成范围
变化方程代表曲线点条件
完全相符必须补
3 曲线参数方程
变量 变化变化量
量函数唯确定
定义212 坐标系量函数 ()做曲线量式参数方程
曲线坐标式参数方程
曲线普通方程
例3 圆直线滑动滚动求圆周点轨迹
(图23)
解取直角坐标系设半径圆轴滚动开始时点P恰原点O(图23)段时间滚动圆直线轴切点移A点圆心移C点时
设角角
P点轨迹量式参数方程
坐标式参数方程
取时消参数段普通方程
种曲线做旋轮线称摆线
例4 已知圆半径圆半径设圆动圆圆滑动滚动动圆周某点P轨迹做旋轮线(称摆线)求旋轮线方程
解
设运动开始时动点P圆周A点重合取圆中心O原点OAx轴OOA垂直直线y轴建立坐标系某程圆圆接触点B圆中心CC定OB
设角角
弧AB等弧BP角
P点量式参数方程坐标式参数方程
（∞﹤<+∞）
例5 线绕固定圆周线头拉紧反方旋转线圆周解放出放出部分成圆切线求线头轨迹
解 设圆半径线头初位置
圆周点右图建立坐标系
设
矢量轴成角
求点轨迹矢量式参数方程式该轨迹坐标式参数方程
该曲线渐伸线切展线
§22 曲面方程
曲面方程：
1 定义221 设Σ曲面F（xyz）0三元方程空间中建立坐标系Σ点P（xyz）坐标满足F（xyz）0坐标满足方程点曲面Σ称F（xyz）0曲面Σ方程曲面Σ做方程F（xyz）0图形
难出点曲面Σ〈═〉该点坐标满足Σ方程曲面点方程解间应 ∴Σ方程代数性质必反映出Σ性质
2 三元方程表示种特殊图形：
空间中曲面方程三元方程反否三元方程表示空间中曲面呢？般言成立特殊情况
1° F（xyz）0左端分解成两（）式F1（xyz）F2（xyz）积F（xyz）≡F1（xyz）F2（xyz）
F（xyz）0〈═〉F1（xyz）0F2（xyz）0时
F（xyz）0表示两叶曲面分F1（xyz）0F2（xyz）0方程时称F（xyz）0表示图形变态曲面
三坐标面
20方程
仅表示坐标原点点（123）
3°方程表示干条曲线
表示z轴x轴
4°方程表示实图形
时称表示图形虚曲面
3 求法：
例1：求行坐标面面方程
解：设行面面ππz轴交点
∈π〈═〉面
0
理行两坐标面面方程
例2：求作两定点A（121）B（013）等距离点轨迹
解：
（图21）
设求轨迹Σ
〈═〉2x+4y2z+62y6z+10
〈═〉2x6y4z+40〈═〉x3y2z+20
求轨迹x3y2z+20
例3：求半径R球面方程
解：建立直角坐标系{Oijk}设球心（abc）
P（xyz）球面Σ〈═〉∣∣R〈═〉
特M（abc）坐标原点球面Σ方程
x²+y²+z²R²
综合述条例纳出求曲面方程般步骤：
1°建立适坐标系（方程易求求出方程简单）
2°设动点Σ坐标P（xyz）根已知条件推出曲面点坐标应满足方程
3°方程作解化简
二 曲面参数方程：
定义222 设DR²序数集意（uv）∈D某应规唯确定量r应称种应关系D二元量函数记作
rr（uv）（uv）∈D
定义223 设Σ曲面rr（uv）（uv）∈D二元量函数空间坐标系意（uv）∈D 径 r（uv）终点P总曲面Σ意P∈Σ必找（uv）∈Dr
（uv） 称rr（uv）Σ量式参数方程记作Σ：rr（uv）（uv）∈D
令 r（uv）{x（uv）y（uv）z（uv）}
称 （uv）∈D
Σ坐标式参数方程记作Σ： （uv）∈D
(图22) (图23)
例：建立球面参数方程：
解：简单起见设坐标原点位球心球面半径R图
意M（xyz）∈球面Σ令PM xy面投影
令∠（）
r
∣∣cos i+∣∣sin j+∣∣cos
∣∣sin cos i+ ∣∣sin sinj+∣∣cos
Rsin cos i+Rsin sinj +Rcos
∴球面参数方程 ： 0π 0<2π
三 球坐标系柱坐标系
定义224 空间中建立直角坐标系空间中点M（xyz）设∣OM∣ρ MO中心ρ半径球面存φθ （*）
反意ρ（ρ≥0）φ（0π）θ（0<2π）通（*）确定空间中点M（xyz）称序三数组ρφθM点 球坐标（空间极坐标）记作M（ρφθ）
注：1°空间中点球坐标间非应
2°已知M点球坐标通（*）求直角坐标已知M直角坐 标
（**）
便求球坐标
定义225 空间中建立直角坐标系M（xyz）设z轴距离ρ M落z轴中心轴ρ半径圆柱面θu （*）
反ρ（ρ≥0）θ（0≦θ<2π）u（∣u∣<）（*）式
确定空间中点M（xyz）称序三数组ρθuM点柱坐标记作M（ρθu）
注：1°空间中点柱坐标非应
2°柱面坐标求直角坐标利(*)直角坐标求柱坐标需式进行
例：直角坐标系圆柱面双曲柱面面抛物柱面图形：
(图24)
(图25)
(图26) (图27)
§23 空间曲线方程
空间曲线般方程
1 定义231 设L空间曲线三元方程组空间中建立坐标系L点M(xyz)坐标满足方程组坐标满足方程组点曲线L称曲线L般方程称普通方程记作L
(图28)
注 1°空间坐标系曲线方程定两方程联立成方程组
2°方程组表达曲线意义曲线成二曲面交线（图28）
3°空间曲线方程唯(解)
均表示z轴
2 曲线射影柱面方程表达曲线
曲线L准线母线行坐标轴柱面称L射影柱面记L三射影柱面方程 (xy)0 (yz)0 (zx)0
便L射影柱面表达方程
已知曲线L需L方程中分消xyz便三射影柱面
方程(yz)0 (zx)0 (xy)0
例设曲线L 试求L射影柱面射影柱面方程表达曲线
解L方程中分消xyz
z²4y4zx²+z²4zx²+4z0
L射影柱面
(1) (2) (3)
便均L射影柱面表达方程
注利方程(2)作出L草图
二 空间曲线参数方程
1定义232 设L空间曲线rr(t)t∈A元函数空间坐标系P∈L
t∈A r（t）t∈A必P∈Lr（t） 称rr（t）
t∈A曲线L量式参数方程记作Lrr（t）t∈At ——参数
点r（t）{x（t）y（t）z（t）}
称 t∈A
L坐标式参数方程
注：空间曲线参数方程中仅参数曲面参数方程中两参数惯称曲线单参数曲面双参数
2求法：
例：质点半径a圆柱面方面绕圆柱面轴作匀速转动方面圆柱面母线方作匀速直线运动求质点运动轨迹
解：圆柱面轴作z轴建立直角坐标系{Oijk}图妨设质点起始点x轴质点角速率线速率分ων质点轨迹L∈Lxy面投影′
(图29)
r + acos i+asin j+k
令b
racos i+asin j+b k
————L量式参数方程
结
知识点回顾：
面空间取定坐标系面空间点序实数组（xy）(xyz)建立应关系基础面曲线空间曲面成具某种特征性质点集合特征性质坐标系中反映坐标间某种特定关系种关系找出方程图形方程图形间应关系样研究曲线曲面问题转化代数问题曲面方程F（xyz）0研究空间中三曲面否公点问题结求三曲面方程公解解三元联立方程组问题例方程组
果实数解三曲面公点方程组解公点坐标方程组实数解三曲面没公点
面曲线普通方程参数方程单参数曲面普通方程参数方程双参数空间曲线普通方程参数方程单参数
参数方程消参数普通方程普通方程化参数方程时形式唯定保证原方程等价
典型题：
1 长度＞0）线段两端点分轴正半轴轴正半轴移动求线段中点轨迹两端点线段中点
解：设中
∴线段中点轨迹
2 质点着已知圆锥面条直母线圆锥顶点起作等速直线运动方面条母线圆锥面圆锥顶点绕圆锥轴（旋转轴）作等速运动时质点圆锥面轨迹做圆锥螺线试建立圆锥螺线方程
解：取圆锥面顶点坐标原点圆锥轴z轴建立直角坐标系设圆锥顶角旋转角速度直线运动速度V动点初始位置原点动点直母线初始位置xoz面t秒质点达P点P点xoy面射影NNx轴射影M
圆锥螺旋线量式参数方程
坐标式参数方程（﹣∞
第三章 面空间直线
章教学目： 通章学学生掌握空间坐标系面直线方程种形式掌握确定面直线条件熟练掌握点面空间直线间种位置关系解析条件直观概念
章教学重点：（1）空间坐标系面方程点位式点法式直线方程点式标准式（2）点面空间直线间种位置关系解析条件（3）面空间直线种度量关系量化公式
章教学难点： （1）异面直线公垂线方程（2）综合运位置关系解析条件求面空间直线方程
章教学容：
§31 面方程
1．面点位式方程
空间定点M0两线量ab通点M0ab行面p 惟确定 量ab面p 方位量 意两p 行线量作面p 方位量
取标架设点M0径面p 意点M径r {xyz}（图） 点M面p充条件量量ab面 ab线面条件写成
ua＋vb
r －r0式写成
r r0＋ua＋vb (31－1)
方程做面p 点位式量参数方程中uv参数
令a {}b {}(31－1)
(31－2)
方程做面p 点位式坐标参数方程中uv参数
(31－1)式两边a×b作积消参数uv
(r －r0ab) 0 (313)
0 (31－4)
p 点位式普通方程
例1：已知面p三非线点（i 123）求通（i 123）面方程
解： 建立坐标系{Oe1 e2 e3}设ri {}i 123 动点M设r {xyz}取方位量M1定点面p量参数方程坐标参数方程般方程次
r ＋u(－)＋v(－r1) (31－5)
(31－6)
0 (31－7)
(31－5)(31－6)(31－7)统称面三点式方程
特p 三坐标轴交点(a00)(0b0)(00c)中abc≠0面p 方程
0 (31－8)
(31－9)
方程面p截距式方程中abc称p 三坐标轴截距
2．面般方程
空间面点M0(x0y0z0)两方位量a {}b {}确定面方程(31－4)表示 (31－4)展开写成
Ax＋By＋Cz＋D 0 (31－10)
中 A B C
a {}b {}线ABC全零说明空间面关abc三元次方程表示
反三元次方程(31－10)妨设A≠0(31－10)改写成
显然表示点M0 (－D A00)两线量{B－A0}{C0－A }决定面
定理311 空间中面方程表关变数xyz三元次方程反关变数xyz三元次方程表示面
方程(31－10) 称面p 般方程
现先讨种特殊面方程（面坐标系讲具某种特殊位置）：
1D0面通原点
2ABC中0例C0面通Z轴
3 ABC中两0DBC0面行yoz坐标面
余情况学讨
3．面法式方程
定点M0非零量nM0n垂直面p惟确定 称np法量 空间坐标系{Oijk}设 {x0y0z0}n {ABC}面点M径r {xyz}总⊥n
n(r－r0) 0 (31－11)
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) 0 (31－12)
方程(31－11)(31－12)面p 点法式方程 (31－12)中系数ABC简明意义面p 法量分量
特取M0Op 作垂线垂足n单位量 面原点时取n单位量n0面原点时取n0正垂直面两方中
设|| p p n0点Pn0确定面方程
n0(r－p n0) 0
式中r面动径 式写成
n0r－p 0 (31－13)
方程面量式法式方程
设r {xyz}n0 {cosacosbcosg}(31－13)
x cosa＋y cosb＋z cosg－p 0 (31－14)
面坐标法式方程简称法式方程
面坐标法式方程特征：
1°次项系数单位量分量方等1
2°常数项－p≤0（意味着p ≥ 0）
3°p原点面距离
例3 求通点行z轴面方程
解：设行z轴面方程Ax＋By＋D 0通2A－B＋D 03A－2B＋D 0两式ABC
求面方程x＋y－1 0
4．化般方程法式方程
直角坐标系已知p般方程Ax＋By＋Cz＋D 0n {ABC}p法量Ax＋By＋Cz＋D 0写
nr＋D 0 (31－15)
(31－13)较知
(31－15)法式方程
lAx＋lBy＋lCz＋lD 0 (31－16)
中正负号选取D≠0时应(31－16)常数项负D＝0时意选
程称面方程法式化做法化子
例2：已知两点求线段垂直分面方程
解：
中点坐标：
面点法式方程：
整理：
例3：面：化法式方程求出原点指面单位法量
解：
法式方程：
§32 面点相关位置
面点位置关系两种情形点面点面 前者条件点坐标满足面方程 点面时般求点面距离离差反映点面侧
1．点面距离
定义321 点M0面p 引垂线垂足Q 量面p单位法量n0射影做M0面p间离差记作
d 射影n0 (32－1)
显然 d 射影n0 ·n0 ∣∣cos∠(n0) ±∣∣
n0时离差d > 0n0反时离差d < 0 仅M0面时离差d 0
显然离差绝值点M0面p 距离
定理321 点M0面（31－13）间离差
d n0r0－p (32－2)
证：根定义322图d 射影n0 n0 （） n0（r0－q） n0r0－n0 q
中qQ面（3113）n0 q pd n0r0－p
推1 面p 法式方程 p间离差
(32－3)
推2 点面Ax＋By＋Cz＋D 0间距离
(32－4)
2．面划分空间问题 三元次等式意义
设面般方程
Ax＋By＋Cz＋D 0
空间中点M（xyz）间离差
l (Ax＋By＋Cz＋D)
式中l面法化子
Ax＋By＋Cz＋D (32－5)
面侧点d 符号相面异侧点d 符号l取定符号固定
面：Ax＋By＋Cz＋D 0空间划分两部分某部分点M(xyz) Ax＋By＋Cz＋D > 0部分点Ax＋By＋Cz＋D < 0面点Ax＋By＋Cz＋D 0
§33 两面相关位置
空间两面相关位置3种情形相交行重合
设两面p1p2方程分
p1： (1)
p2： (2)
两面p1p2相交行重合决定方程（1）（2）构成方程组解解数解面定理
定理331 两面（1）（2）相交充条件
(33－1)
行充条件
(33－2)
重合充条件
(33－3)
两面p1p2法量分仅n1行n2时p1p2相交仅n1∥n2时p1p2行重合样面3条件
面定义两面间夹角
设两面法量间夹角q称p1p2二面角∠(p1p2) q p－q两面间夹角
显然
±cosq ± (33－4)
定理332 两面（1）（2）垂直充条件
(33－5)
例 面两点 垂直面x＋y＋z 0求方程
解 设求面法量n {ABC}
求面
n垂直面x＋y＋z 0法线量{111}A＋B＋C 0
解方程组
求面方程
约非零子C
2x－y－z 0
§34 空间直线方程
1．直线点式方程
空间定点非零量v {XYZ}点M0行量v直线l惟确定 量v直线l方量 显然直线l行飞零量均作直线l方量
面建立直线l方程
图设M (xyz) 直线l意点应径r { xyz }应径r0vt∈R t v
r－r0 t v
直线l点式量参数方程
r r0＋t v (34－1)
诸相关量分量代入式
根量加法性质直线l点式坐标参数方程
－∞ < t < ＋∞ (34－2)
消参数t直线l点式称方程
(34－3)
方程直线l标准方程 特说明作业考试时求直线方程结果应写成称式
例1 设直线L通空间两点M1(x1y1z1)M2(x2y2z2)取M1定点方位量直线两点式方程
(34－4)
根前面分析直线方程(34－1)
式子清楚出直线参数方程(34－1)(34－2)中参数意义：参数t绝值等定点M0动点M间距离方量模值表明线段M0M长度方量v长度 |t| 倍
特取方量单位量v 0 {cosacosbcosg}
(34－1)(34－2)(34－3)次变
r r0＋t v0 (34－5)
－∞ < t < ＋∞ (34－6)
(34－7)
时 |v| 1t绝值恰等l两点M0M间距离
直线l方量方角abg cosacosbcosg 分做直线l方角方余弦
意v行非零量v'作直线l方量二者分量成例般称X ：Y ：Z直线l方数表示直线l方
2．直线般方程
空间直线l成两面p1p2交线 事实两相交面p1p2方程分
p1：
p2：
空间直线l点坐标时满足两面方程应满足方程组
(34－8)
反果点直线l时面p1p2坐标满足方程组(34－8)
l方程组(34－8)表示方程组(34－8)做空间直线般方程
般说空间直线面限限面中选中两方程联立起空间直线方程
直线标准方程(34－3)般方程特殊形式 标准方程化般式直线射影式方程
直线般方程化标准式需直线取点然取构成直线两面两法量量积直线方量
例 直线般方程
化称式参数方程
解 令y 0直线点（10－2）
两面法量
a {111}b {2－13}
a×b {4－1－3}取直线法量直线称式方程
令求参数方程
§35 直线面相关位置
直线面相关位置直线面相交直线面行直线面3种情形
设直线l面p 方程分
l： (1）
p ：Ax＋By＋Cz＋D 0 (2)
（1）
（2）代入（1）整理
(AX＋BY＋CZ)t －(Ax0＋By0＋Cz0＋D) (3)
仅AX＋BY＋CZ≠0时（3）惟解
时直线l面p 惟公点仅AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0时（3）解直线l面p 没公点仅AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D 0时（3）数解直线l面p
定理351 关直线（1）面（2）相互位置面充条件：
1）相交： AX＋BY＋CZ≠0
2）行： AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0
3）直线面： AX＋BY＋CZ 0Ax0＋By0＋Cz0＋D 0
条件解释：直线l方量v面p 法量n间关系
1）表示vn垂直
2）表示vn垂直直线l点（x0y0z0）面p
3）表示vn垂直直线l点（x0y0z0）面p
直线l面p 相交时求交角
直线面垂直时直线面交角j 指直线面射影构成锐角垂直时规定直角
设v {XYZ}直线l方量n {ABC}面p 法量
令 ∠(lp ) ∠(vn) q
q q－（q 锐角）
sin ∣cosq∣ (35－1)
公式直接定理351中条件
§36 空间直线点相关位置
条直线l方程点M0lM0位置关系两种：点直线点直线代数两种情况应点坐标满足方程点坐标满足方程
点直线时求点直线距离
设空间中点M0(x0y0z0)条直线l：
l：
处M1(x1y1z1)l点v {XYZ}l方量 v邻边作行四变形面积 | v×|点M0直线l距离d行四变形应底 | v | 高
(37－1)
实际计算中记忆式第二等号面部分没实际意义 需根公式前半部分计算
§37空间两直线相关位置
1．空间两直线位置关系：
空间两直线相关位置异面面面时相交行重合3种情形
设二直线方程
： i 12
处直线l1点方量v1 {X1Y1Z1}决定直线l2点方量v2 {X2Y2Z2}决定 图容易出两直线相关位置决定三量v1v2相互关系 仅三量异面时两直线异面仅三量面时两直线面
面时v1v2行l1l2相交v1∥v2行l1l2行v1∥v2∥l1l2重合
定理361 空间两直线l1l2相关位置面充条件
1）异面：
(36－1)
2）相交： (36－2)
3）行： (36－3)
4）重合： (36－4)
2．空间两直线夹角
行空间两直线两量间夹角空间两直线夹角
显然两直线间夹角q认间夹角p－q
定理362 空间两直线l1l2夹角余弦
(36－5)
推 两直线l1l2垂直充条件
X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 0 (36－6)
3．二异面直线间距离公垂线方程
空间两直线点间短距离两条直线间距离
两相交两重合直线间距离零两行直线间距离等中直线意点直线距离
两条异面直线垂直相交直线两异面直线公垂线 两异面直线间距离等公垂线夹两异面直线间线段长
设两异面直线l1l2方程前l1l2公垂线交点分N1N2l1l2间距离
(36－6)
现求两异面直线l1l2公垂线方程
图公垂线l0方量取作 {XYZ}公垂线l0作两面交线两面通点M1v1方量面通点M2v2方量 公垂线l0般方程写 (36－7)
例1求通点面行直线相交直线方程
解：设直线方程：
条件：
直线方程：
例2 已知两直线：
⑴ 证明异面直线
⑵ 求公垂线方程
解： ⑴两直线异面
⑵ 公垂线方：公垂线方程：
化简：
：
§38 面束
1．面束
定义381 空间中直线l面集合称轴面束l称面束轴
定义382 空间中行定面p面集合称行面束
轴行面束统称面束
定理381 果两面
p1：x＋y＋z＋ 0 （1）
p2：x＋y＋z＋ 0 （2）
交条直线L直线L轴轴面束方程
l(x＋y＋z＋)＋m (x＋y＋z＋) 0 (38－1)
中l m 全零意实数
证 先证(38－1)表示L面
(38－1)(l+m )x＋(l+m )y＋(l+m )z＋l＋m 0
式中xyz系数必全零然
－m：l ：： ：
相交矛盾 表示(38－1)面pp显然通交线L
证明L面p必存全零实数lmp方程(38－1)
首先p取l 1m 0p取l 0m 1
般p≠i 12取p点A(abc)L(38－1)表示面通L条件
l (a+b+c+)＋m (a+b+c+) 0
l：m －(a+b+c+) ：(a+b+c+)
妨取 l －(a+b+c+)m a+b+c+
ALl m 全零LA面p 方程必写成(38－1)形式
例 求二面4x－y＋3z－1 0x＋5y－z＋2 0交线原点面方程
解 略（讲解时实推）
定理382 果两面
p1：x＋y＋z＋ 0 （1）
p2：x＋y＋z＋ 0 （2）
行面方程
l(x＋y＋z＋)＋m (x＋y＋z＋) 0 (38－1)
行面束面束中面p1p2行 式中l m 全零意实数
－m ：l≠A1 ：A2 B1 ：B2 C1 ：C2
定理38 3 行面p：Ax＋By＋Cz＋D 0面方程表
Ax＋By＋Cz＋l 0 (38－2)
例 求面3x＋y－z＋4 0行z轴截距等－6面方程
解 设求面3x＋y－z＋t 0点 (00－6) 面
t＋6 0 t －6
求面方程 3x＋y－z－6 0
2．面
定义383 空间中定点面集合称面称心
定理384 定点()面方程
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) 0 (38－3)
中ABC意全零实数
更般
定义383 空间中定点面集合称面称心
定理38 5 定点()面方程
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) 0 (38－4)
中ABC意全零实数
定理38 6 意全0l mn方程
(38－5)
表示三面
： 3
（惟）交点()面p反意面p必存全零l mnp 方程(38－4)
结
知识点回顾：
通章学学生掌握空间坐标系面直线方程种形式掌握确定面直线条件熟练掌握点面空间直线间种位置关系解析条件直观概念
（1）空间坐标系面方程点位式点法式
空间取仿射坐标系设点径面意点径面量式参数方程中参数
设点坐标分设面坐标式参数方程参数
面点位式方程
空间中面方程表示成关变量 xyz 次方程反关变量 xyz 次方程表示面Ax+By+Cz+D0 做面般方程
取空间直角坐标系设点径 面意点径面点法式方程
（2）空间直线种方程
空间取仿射坐标系已知直线点动点方量量式参数方程
坐标式参数方程：
称式方程标准方程：
设两面方程（＊）果 方程组（＊）中系数行列式
全零相交交线设 意点两面坐标必满足方程组（＊）反坐标满足方程组（＊）点两面定两面交线直线 方程组（＊）表示直线方程做直线般方程
（3）点离差点面距离
果点面引垂线垂足量面单位法量射影做点面间离差记做
点面距离公式：
（4）点直线距离：
（5）异面直线公垂线方程
两异面直线
典型题：
1面两点 垂直面
求方程
解 设求面法线量
显然 求面
垂直面法线量
解方程组
点法式方程
约非零子
求方程
2 称式方程参数方程硎局毕span>
解 先找出直线点：取 代入方程组
解二元次方程组
直线点
找该直线方量两面交线两面法线量
垂直取
直线称式方程
直线参数方程
3分列条件确定值：
（1）表示面
（2）表示二行面
（3）表示二互相垂直面
解：（1）欲二方程表示面：
：
：
（2）欲二方程表示二行面：
：
（3）欲二方程表示二垂直面：：
4 试验证直线：面：相交求出交点交角
解：
直线面相交
直线坐标式参数方程：
设交点处应参数
交点（101）
设直线面交角：
5 定两异面直线：试求公垂线方程
解：
公垂线方程：
第四章 柱面锥面旋转曲面常见二次曲面
章教学目： 学生掌握柱面锥面旋转曲面定义方程求法方程特征熟练掌握五种常见二次曲面定义标准方程特征解性质会画草图
章教学重点： （1）常见二次曲面定义标准方程图形特征（2）坐标面曲线绕坐标轴旋转时产生旋转曲面方程求法 （3）通求柱面锥面旋转曲面方程理解动曲线产生曲面思想方法
章教学难点 ：（1）柱面锥面方程求法中消参数意义理解（2）双曲抛物面性质分析（3）二次曲面直纹性证明
章教学容：
§41 柱面
柱面
定义411 空间行定方条定曲线相交族行直线产生曲面做柱面 中定方柱面方定曲呓兄面准线行直线族中条柱面母线
注：1°柱面准线惟（举例）
2°面直线柱面
建立柱面方程
设定坐标系柱面S准线
(1)
母线方数XYZ M1(x1y1z1) 准线点M1母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程
F(xyz) 0
（1）准线{XYZ}方柱面方程
里需特强调消参数意义点M1遍历准线位置动直线（1）扫出符合求柱面
例1 已知柱面准线方程母线方数－101求该柱面方程
解 设M1(x1y1z1)准线点M1(x1y1z1)母线
(1)
(2)
(3)
(1) (4)
(4)代入(2)(3) (5)
(6)
（5）（6） (7)
（7）代入（5）（（6））求柱面方程
例2 已知圆柱面轴点M1(1－21)柱面求圆柱面方程
解法 记求圆柱面S
S母线行轴母线方数1－2－2求圆柱面准线圆例1方法解题
空间圆总成某球面某面交线圆柱面准线圆成轴点 M0(01－1)中心半径球面已知点M1(1－21) 垂直轴面交线准线圆G
设G 意点
（1）
（2）
S母线
（3）
（1）（2）（3）消参数x1y1z1S方程
圆柱面成动点轴线等距离点轨迹里距离圆柱面半径例2面第二种解法
解法二 轴方量v {1－2－2}轴定点M0(01－1)M1(1－21)S定点点M1l距离
设M(xyz) 圆柱面意点M轴l距离
化简整理S方程
二柱面判定定理
定理411
空间直角坐标系中含两元（坐标）三元方程表示曲面柱面母线行缺元（坐标）名坐标轴
空间直角坐标系里柱面 xoy坐标面交线分椭圆双曲线抛物线次做椭圆柱面双曲柱面抛物柱面统称二次柱面
三空间曲线射影柱面
空间曲线L (15)果（15）中次消元取中两方程组（16）方成样（16）（15）两等价方程组（16）表示曲线（15）条曲面
通已知曲线(15)理方程表示曲面通已知曲线(15)定理411知曲面表示母线行z轴柱面直角坐标系起母线垂直xoy坐标面曲面做空间曲线（15）xoy坐标面射影射影柱面曲线做空间曲线（15）xoy坐标面射影曲线
理分做曲线（15）xoz坐标面yoz坐标面射影射影柱面曲线做空间曲线（15）xoz坐标面yoz坐标面射影曲线
§42 锥面
定义421 空间通定点条定曲线相交族直线产生曲面做锥面 里定点做锥面顶点定曲线锥面准线直线族中条锥面母线
注：1°锥面准线惟（举例）
2°面柱面锥面
3°条直线锥面
4°柱面母线成穷远处相交话柱面顶点穷远点锥面
建立锥面方程
设锥面S准线
(1)
顶点A(x0y0z0) M1(x1y1z1) 准线点M1锥面母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程F(xyz) 0
（1）准线A顶点锥面方程
里消参数意义柱面情形类似点M1跑遍准线点动直线（2）扫出符合求锥面
面定理出锥面方程特征
先介绍齐次函数概念
设实数函数
处t取值应确定意义称n元次齐次函数应方程 0次齐次方程
例 u x2y＋2yz2＋xyz三次齐次函数
定理421 关xyz齐次方程总表示顶点原点锥面
证： 齐次方程定义
时曲面S：原点
设S非原点意点满足 直线方程
代入 0直线点坐标满足曲面S方程 直线曲面S：曲面S：种通坐标原点直线组成原点顶点锥面
推 关x－x0y－y0z－z0齐次方程总表示顶点(x0 y0 z0)锥面
证 设x－x0y－y0z－z0齐次方程
F (x－x0y－y0z－z0) 0 (*)
作坐标变换(*)化
(**)
(**)齐次方程表示顶点锥面
表示顶点点锥面
注 特殊情况关齐次方程表示原点 例 样曲面般称实顶点虚锥面
例1 锥面顶点原点准线求锥面方程
解 设准线意点M1母线：
(4)
(5)
(6)
(6)代入(4) (7)
(7)代入(3) (42－1)
求锥面称二次锥面
二次锥面方程(42－1)表示图形a b时熟悉圆锥面
例2 已知圆锥面顶点A(123)轴l垂直面母线轴l组成30°角试求该圆锥面方程
解 设求曲面S母线点M母线方量
题圆锥轴线方量面p法量n {22－1}
根题意vn夹角30°150°
化简整理圆锥面方程
关x－1y－2z－3二次齐次方程 结果定理421推直接验证
圆锥面种特殊锥面面解法种适合圆锥面特殊方法 然先求出圆锥面准线利顶点准线求出该圆锥面方程
§43 旋转曲面
1．般旋转曲面方程
定义431 空间条曲线G 绕定直线l旋转周产生曲面S做旋转曲面（回转曲面） G 做S母线l称S旋转轴简称轴
设旋转曲面S母线G点G 绕轴l旋转时绕l旋转形成圆称S纬圆纬线行圆 l边界半面S交线称S线
S纬圆实际母线G 点垂直轴l面S交线 S纬圆构成整S
S线形状相作S母线母线定线 里母线定面曲线线面曲线
直角坐标系设旋转曲面S母线
G： (1)
旋转轴
l (2)
里l点XYZl方数
设M1 (x1y1z1) 母线G 意点M1纬圆总成垂直轴l面P0中心半径球面交线 M1纬圆方程
(3)
(4)
M1跑遍整母线时出旋转曲面纬圆求旋转曲面成纬圆构成
M1 (x1y1z1) 母线G
(5)
（3）（4）（5）4等式消参数x1y1z1方程
F (xyz) 0
S方程
例1 求直线G ：绕直线旋转旋转曲面S方程
解 设M1 (x1y1z1) 母线G 点旋转轴原点M1纬圆方程
(7)
M1母线 (8)
（8） (9)
(9)代入(7)
S方程
2．坐标面曲线绕坐标轴旋转旋转曲面方程
旋转曲面总作条线绕旋转轴旋转生成 方便总取旋转曲面条线作母线
更进步直角坐标系导出旋转曲面方程时常母线面取作坐标面旋转曲面方程具特殊形式
设旋转曲面S母线yOz面曲线
旋转轴y轴
设M1(0y1z1)母线点M1纬圆
两方程组消旋转曲面方程
实际旋转曲面方程前面图直接出
设M1(0y1z1)母线点M(xyz)M1纬圆意点图中辅助图知
y1 y z1 ±|O'M1| ±|O'M| ± (10)
M1(0y1z1)母线F(y1z1) 0(10)结果代入求旋转曲面方程
类似母线旋转轴轴旋转曲面方程：
坐标面曲线绕坐标轴旋转旋转曲面方程类似求出
规律：
坐标面曲线G 绕坐标面坐标轴旋转时旋转曲面方程根面方法直接写出：保持方程形式变曲线G 坐标面里方程中旋转轴名坐标保持变两坐标方方根代方程中坐标
例S面绕轴S方程
例2 椭圆分绕长轴（x轴）短轴（y轴）旋转旋转曲面方程分：
图形分做长形旋转椭球面扁形旋转椭球面图
例3 圆
绕z轴旋转旋转曲面方程：
化简整理
曲面环面图示形状象救生圈
§44 椭球面
定义441 直角坐标系方程
(44－1)
表示曲面椭球面称椭圆面 方程（44－1）做椭球面标准方程 中abc意正常数 通常假设a≥b≥c > 0
椭球面性质
（1）称性
方程（44－1）中－z代z方程变意椭球面（44－1）关xy面称 理椭球面（44－1）关yz面zx面称 椭球面称面称面
方程（44－1）中时－y－z代yz方程变椭球面（44－1）关轴称 理椭球面（44－1）关y轴z轴称 椭球面称轴称轴
方程（44－1）中时－x－y－z代xyz方程变椭球面（44－1）关坐标原点称 椭球面称中心称中心
abc三数中两相等（44－1）表示旋转椭球面三数相等时（44－1）球面 球面旋转椭球面椭球面特殊情形
（2）顶点轴半轴
椭球面（44－1）称轴（3坐标轴）6交点
(±a00)(0±b0)(00±c)
称椭球面顶点
果a > b > c >0分称2a2b2c椭球面长轴中轴短轴称abc椭球面半长轴半中轴半短轴 里轴半轴长度概念
（3）范围
椭球面方程出
| x |≤a| y |≤b| z |≤c
椭球面完全封闭长方体部长方体6面
x ±ay ±bz ±c
围成6面椭球面相切切点椭球面6顶点
（4）形状
行坐标面面截曲面利截痕分析曲面形状作行截割法 种截痕类似表示形等高线
行截割法讨椭球面知形状致图 应注意截线中椭圆概念动椭圆运动中产生椭球面程分析
椭球面参数方程
椭球面般写成
0≤q≤p0≤j≤2p
事实截线方程：
表
令
h ±c时分取椭球面（44－1）参数方程
例：设动点点距离等点面距离半试求动点轨迹
解：设动点求轨迹
：
方程
§45 双曲面
较直观理解双曲面特征先例子
yz面双曲线分绕虚轴（z轴）实轴（y轴）旋转两旋转曲面
分称旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面 图形示
图1
图2
1．单叶双曲面
定义451 直角坐标系方程
(abc >0) (45－1)
表示图形称单叶双曲面方程(45－1)称单叶双曲面标准方程
性质形状
（i）称性 单叶双曲面(45－1)关三坐标轴三坐标面原点称 原点(45－1)称中心
（ii）界性 方程(45－1)知单叶双曲面(45－1)界曲面
（iii）顶点坐标轴交点坐标面交线
单叶双曲面(45－1)xy轴分交（±a00）（0±b0）z轴实交点
述四点称单叶双曲面实顶点z轴交点（00±ci）称两虚交点
(45－1)三坐标面z 0y 0x 0交三条曲线
(1)
(2)
(3)
中（1）单叶双曲面(45－1)腰椭圆（2）（3）均单叶双曲面双曲线
（iv）行坐标面面交线
考察(45－1)形状先行xy面面z k截截线
(4)
族椭圆顶点半轴ba∣k∣逐渐增时椭圆（4）逐渐变 见单叶双曲面(45－1)系列行椭圆构成椭圆顶点分二相互垂直双曲线变化
族行yz面面x k截(45－1)截线
(5)
∣k∣< a时（6）双曲线实轴行y轴虚轴行z轴顶点∣k∣ a时（6）二相交线交点（k00）∣k∣>a时（6）双曲线实轴行z轴虚轴行y轴顶点
组行zx面面截(45－1)截线情况述相仿 截线图形图示
综单叶双曲面(45－1)图形图（1）示 图（1）中画出腰椭圆两条双曲线
般单叶双曲面理解节开始时旋转单叶双曲面x轴方作伸缩变换
直角系方程
表示图形单叶双曲面绘图时注意须确定虚轴
二 双叶双曲面：
1 定义：直角坐标系方程
（abc > 0） (45－2)
表示图形称双叶双曲面(45－2)称双叶双曲面标准方程
性质形状：
（i）称性 双叶双曲面(45－2)关三坐标轴三坐标面原点称原点中心
（ii）界性 (45－2)见双叶双曲面界曲面
（iii）坐标轴交点坐标面交线
双叶双曲面(45－2)x轴y轴交z轴交（00±c）实顶点
双叶双曲面(45－2)三坐标面交三条曲线
(5)
(6)
(7)
（5）虚椭圆表明双叶双曲面(45－2)xy面相交（实交点） （6）（7）均双曲线实轴z轴虚轴分y轴x轴顶点（00±c）
（iv）行坐标面面交线：
考察双叶双曲面(45－2)形状先行xy面面截(45－2)截线
(8)
∣k∣< c时(45－2)z k实交点
∣k∣ c时(45－2)z k交（00±c）
∣k∣> c时（8）椭圆顶点(0±bk)(±a0k)半轴ba
见双叶双曲面(45－2)z ±c外系列行椭圆构成 椭圆顶点双曲线（6）（7）变化
行yz面面截(45－2) 截线
(9)
意实数k(9)均双曲线实轴行z轴虚轴行y轴顶点
(k0±c)
双叶双曲面(45－2)示意图前面图（2）准确说图（2）双叶双曲面
示意图
行zx面面截(45－2)截线情况述相仿
直角系方程
表示图形双叶双曲面
谈谈单叶双曲面双叶双曲面方程识点学生容易出错
两种双曲面方程左边xyz方项正负右边1－1
方程右边化成1左边两项正项负表示单叶双曲面 左边两项负项正表示双叶双曲面
方程左边化成两项正项负右边1表示单叶双曲面右边－1表示双叶双曲面
绘图时注意区分实轴虚轴保证坐标轴标注符合右手系原
例：已知单叶双曲面试求面方程面行面（面）曲面交线相交直线
解：设求面该面单叶双曲面交线：
（*）
交线（*）二相交直线须：
求面方程：
理行面满足单叶双曲面交线二相交直线该面：
§46 抛物面
yz面抛物线绕轴旋转旋转面
写成
旋转抛物面垂直称轴面交线圆 该曲面着x轴y轴方进行伸缩变形者说通压缩变换般椭圆抛物面
1．椭圆抛物面：
定义461 直角坐标系方程
(46－1)
表示图形称椭圆抛物面(46－1)称椭圆抛物面标准方程中ab意正常数
特征形状
（i）称性：椭圆抛物面(46－1)关z轴yOz面zOx面称称中心
（ii）界性：(46－1)知z ≥0∴椭圆抛物面(46－1)位xy面方z轴正界
（iii）顶点坐标面交线
(46－1)三坐标轴均交原点顶点三坐标面交三条曲线
(1)
(2)
(3)
（2）（3）均抛物线顶点均原点开口方均指z轴正称轴均z轴
（1）原点
（iv）行坐标面面交线
首先(46－1)行xy面面交
(4)
时（4）原点
时（4）椭圆顶点（0±bk）（±a0k）
见椭圆抛物面(46－1)xy面方系列行椭圆构成椭圆顶点抛物线（2）（3）变化
椭圆抛物面(46－1)行yz面面x k交抛物线
(5)
抛物线全等顶点（0）称轴行z轴开口方z轴正
行zx面面截(46－1)截线情况述结类似椭圆抛物面特征：
椭圆抛物面抛物线定抛物线移动形成轨迹移动程中动抛物线顶点始终定抛物线开口方定抛物线开口方致动抛物线面始终定抛物线面保持垂直图示
直角坐标系方程表示图形椭圆抛物面 作图时应确定正确称轴正确标注坐标轴
2．双曲抛物面：
定义462 直角坐标系方程
（ab>0） (46－2)
表示图形称双曲抛物面马鞍面(46－2)称双曲抛物面标准方程
特性形状
（i）称性 双曲抛物面(46－2)关z轴yz面zx面称双曲抛物面称中心
（ii）界性 (46－2)知双曲抛物面(46－2)界曲线
（iii）坐标轴交点坐标面交线
(46－2)三坐标轴均交原点顶点(46－2)三坐标面交3曲线
(6)
(7)
(8)
（6）交原点二相交直线（7）（8）均抛物线顶点均原点开口方指z轴正z轴负 称轴均z轴
（iv）行坐标面面交线：
首先(46－2)行xy面面z k交曲线
(9)
时（9）（6）
时（9）双曲线顶点（±a0k）
时（9）双曲线顶点（0±k）
见双曲抛物面(46－2)行xy面族行双曲线构成双曲线顶点抛物线（7）（8）变化
双曲抛物面(46－2)示意图
外双曲抛物面(46－2)行yz面面交抛物线
(10)
均全等抛物线顶点（k0）抛物线（7）称轴行z轴开口方z轴负（7）开口方相反
行zx面面截(46－2)截线情况类似结
双曲抛物面抛物线定抛物线移动形成轨迹移动程中动抛物线顶点始终定抛物线开口方定抛物线开口方相反面始终保持垂直图右图示意
直角坐标系方程表示图形双曲抛物面
例：已知椭圆抛物面顶点原点称面面面点求椭圆抛物面方程
解：题意设求椭圆抛物面方程：
令确定
均该曲面
：
求椭圆抛物面方程：
：
§47 单叶双曲面双曲抛物面直母线
前面已注意柱面锥面族直母线单叶双曲面双曲抛物面直线存
连续族直线产生曲面称直纹面族直线称直纹面直母线
椭球面双叶双曲面椭圆抛物面均直纹面
柱面锥面条空间曲线切线形成曲面法线形成曲面等直纹面直纹面族直线构成
指出单叶双曲面双曲抛物面直纹面仅两种两族直线直纹面
1．单叶双曲面直纹性
设单叶双曲面
(1)
改写分解式
() () (2)
引进等零参数u考察（2）方程组
(3)
两方程组
(4)
(4')
方程组（4）（4'）实际（3）中u→0u→∞时两种极限情形
u取值（3）（4）（4'）表示直线（3）（4）（4'）合起族直线做u族直线
现证明u族直线构成单叶双曲面（1）（1）族直母线
首先u族直线中直线均单叶双曲面（1）u≠0时（3）两式相（1）（3）表示直线点曲面（1）满足（4）（4'）点显然满足（2）满足（1）直线（4）（4'）点（1）
反设()曲面（1）点
(5)
显然1＋1－时零失般性设1+≠0时
取（5）便
点()直线（3）
（5）必1－ 0点直线（4）
曲面（1）意点必定u族直线中某条
证明单叶双曲面（1）u族直线构成单叶双曲面直纹面u族直线单叶双曲面（1）族直母线称u族直母线
理直线
（v≠0常数） (6)
两条直线
(7)
(7')
合组成直线族单叶双曲面（1）族直母线称单叶双曲面（1）v族直母线
图表示单叶双曲面两族直母线递推概分布情况
推 单叶双曲面点两族直母线中条通点
避免取极限常单叶双曲面u族直母线写成
(47－1)
中uw时零uw≠0时式w(47－1)化（3）u 0时便化（4）w 0时便化（4'）
v族直母线写成
(47－2)
中vt时零
(47－1)(47－2)中直线分赖u wv t值
2．双曲抛物面直纹性：
双曲抛物面
样证明两族直母线图
方程分
(47－3)
(47－4)
面结：
推 双曲抛物面点两族直母线中条通点
应注意双曲抛物面两族直母线方程双参数原
单叶双曲面双曲抛物面直母线建筑着重应常构成建筑骨架
实例 兰州第二热电厂冷水塔形状单叶双曲面现场工解建筑时钢筋构假特点
单叶双曲面双曲抛物面直母线性质：
定理471 单叶双曲面异族意两条直母线必面双曲抛物面异族意两条直母线必相交
定理472 单叶双曲面双曲抛物面族意两条直母线必异面直线双曲抛物面族全体直母线行面
例：求列直纹面直母线族方程：
（1） （2）
解：（1）原方程：
：
：
避免取极限方程写成：
（1）
原方程变形：： （2）
令（2）便（1）
原曲面直母线族（1）中全零
（2）原方程变形：
：
（1）
： （2）
（1）（2）原曲面两组直母线族方程
结
知识点回顾：
（1） 柱面方程：设定坐标系柱面S准线
(1)
母线方数XYZ M1(x1y1z1) 准线点M1母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程
F(xyz) 0
（1）准线{XYZ}方柱面方程
（2）锥面方程：设锥面S准线
(1)
顶点A(x0y0z0) M1(x1y1z1) 准线点M1锥面母线方程
(2)
(3)
（2）（3）4等式中消参数x1y1z1三元方程
F(xyz) 0
（1）准线A顶点锥面方程
（3）旋转曲面方程：直角坐标系设旋转曲面S母线
G： (1)
旋转轴
l (2)
里l点XYZl方数
设M1 (x1y1z1) 母线G 意点M1纬圆总成垂直轴l面P0中心半径球面交线 M1纬圆方程
(3)
(4)
M1跑遍整母线时出旋转曲面纬圆求旋转曲面成纬圆构成
M1 (x1y1z1) 母线G
(5)
（3）（4）（5）4等式消参数x1y1z1方程
F (xyz) 0
S方程
（4）常见二次曲面：
1椭球面标准方程：
参数方程： 0≤q≤p0≤j≤2p
2 单叶双曲面标准方程： (abc >0)
双叶双曲面标准方程：（abc > 0）
3 椭圆抛物面标准方程：
双曲抛物面标准方程：（ab>0）
典型题：
1已知柱面准线：
（1）母线行轴（2）母线行直线试求柱面方程
解：（1）方程
中消：
：
求柱面方程
2 1求顶点原点准线锥面方程
解：设锥面点直线：
设准线交存代入准线方程消参数：
：
求锥面方程
3 直线绕轴旋转求旋转面方程值讨什曲面？
解：先求旋转面方程式：
取母线点纬圆：
（3）
（1）——（3）消：
求旋转面方程
时旋转面圆柱面（轴轴）
时旋转面圆锥面（轴轴顶点原点）
时旋转面变轴
时旋转面单叶旋转双曲面
4 椭球面中心（原点）某定方曲面点距离设定方方余弦分试证：
证明：定方曲面点该点坐标
该点曲面
5 设动点距离等点面距离两倍试求动点轨迹
解：设动点求轨迹
：
轨迹方程
6 已知椭圆抛物面顶点原点称面面面点求椭圆抛物面方程
解：题意设求椭圆抛物面方程：
令确定
均该曲面
：
求椭圆抛物面方程：
7双曲抛物面求行面直母线
解：双曲抛物面两族直母线：
第族直母线方矢量：
第二族直母线方矢量：
题意求直母线应满足：
求直母线方程： ：
第五章 二次曲线般理
章教学目 学生高中已学二次曲线标准方程简单性质 通章学学生更加深入系统层次掌握二次曲线相关般概念种性质总体握二次曲线实质熟悉化简二次曲线方程方法解二次曲线分类
章教学重点：（1）二次曲线直线关系二次曲线种性质讨 （2）二次曲线方程化简
章教学难点 （1）二次曲线直径切线求法（2）二次曲线渐进方理解尤轭直径方间关系（3）二次曲线方程化简二次曲线新旧坐标系图形绘制
章教学容：
§50 预备知识
1．绪
二次曲线种重面曲线．面直角坐标系仿射坐标系种曲线方程总关xy二元二次方程统称二次曲线．二次曲线分退化非退化两类中非退化实曲线椭圆（包括圆）双曲线抛物线3种．3种曲线成面圆锥面交线称圆锥曲线圆锥截线．
章重点详讨般二次曲线种性质．
面章引讨方便先二次曲线标准方程简单性质进行复性概述．
复标准方程表示圆锥曲线讨般二次曲线．
面直角坐标系二元二次方程
(1)
表示曲线做二次曲线．中二次项系数全零．
二次曲线中椭圆（包括圆）抛物线双曲线外曲线．二次曲线称轴坐标轴行二次曲线中心顶点坐标原点时方程般标准形式较复杂表现方程（1）中系数全零少零．章讨般二次曲线性质出二次曲线中心渐线直径直径方等重概念．
2．虚元素穷远元素干重记号引进
需研究直线二次曲线相交问题入手认识二次曲线某性质．求直线二次曲线交点必须涉解二次方程问题．二次方程根虚数必代数中引进虚数实数扩充成复数样面引进虚元素．
面建立笛卡坐标系序实数 (xy) 表示面点果xy中少虚数然认 (xy) 表示面点样点做面虚点xy做虚点坐标．相应坐标实数点做面实点．果两虚点应坐标轭复数两点做轭虚点实点虚点统称复点
面引进虚点然讨量直线等概念．设面两复点称M1始点M2终点复量记做果中少虚数称虚量果点M (xy) 坐标满足表达式
中l复数说点M分M1M2定l特点做线段M1M2中点．
做两点决定直线参数方程式中t参数意复数．消参数t
Ax ＋ By ＋ C 0
称方程直线般方程果ABC三实数成例直线实直线否做虚直线．
轭复数实数连结两轭虚点线段中点实点．时候两条相交虚直线交点实点．
面引进虚点曲线方程中会出现虚系数．约定讨问题时考虑实系数曲线方程．引入虚点实系数方程表示曲线含许虚点甚实系数方程表示曲线虚点实点．
讨某特殊问题需面引入穷远点穷远直线两穷远元素．认两条行直线穷远点相交面穷远点构成穷远直线．设x y∈C坐标（xy）表示点称穷远点．
讨问题书写方便引进面记号：
F (xy ) ≡
F1 (xy) ≡
F2 (xy) ≡
F3 (xy) ≡
F (xy) ≡
根记号含义验证面恒等式成立：
F(xy) ≡ xF1(xy) ＋ y F2(xy) ＋ F3(xy) (50－1)
称F (xy) 系数组成矩阵
二次曲线（1）系数矩阵称F (xy) 矩阵F (xy) 系数排成矩阵
做F (xy) 矩阵．显然二次曲线（1）系数矩阵A第第二第三行元素分F1(xy)F2(xy) F3(xy) 系数．
AF *实称矩阵．
方便讨引进面行列式：
里I1矩阵F*迹（角线元素）I2 det F*（矩阵F*行列式）I3 det A（矩阵A行列式）两项分I3中元素a22a11代数余子式．
§51 二次曲线直线相关位置
现讨二次曲线G
(1)
点具方X︰Y直线l
(2)
交点．（2）代入（1）整理关t方程
(3)
利前面记号（3）写成
(51－1)
方程（52－1）分种情况讨．
1．F (XY ) ≠ 0．时（51－1）关t二次方程判式：
D [ F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ]2 － F (X Y ) F ( x0 y0 )
分三种情况：
1°D＞0．方程（51－3）两等实根代入（2）便直线l二次曲线G 两实交点．
2°D 0．方程（51－3）两相等实根时直线l二次曲线G 两相互重合实交点．
3°D＜0．方程（51－3）两轭虚根时直线l二次曲线G 交两轭虚点．
2．F ( XY ) 0时分三种情况：
1°F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ≠ 0．时（51－3）关t次方程惟实根直线l二次曲线G 惟实交点．
2°F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ＝ 0F ( x0 y0 ) ≠ 0．时方程（51－3）解直线l二次曲线G 没交点．
3°F1 ( x0 y0 )X ＋ F2 ( x0 y0 )Y ＝ F ( x0 y0 ) ＝ 0．时方程（51－3）成恒等式（实虚）t值满足直线l切点G l公点说直线l全部二次曲线G ．
注 点（x0y0 ）具方X︰Y直线l般方程
写成参数方程（2）．
X ≠ 0时直线l方X︰Y仅l斜率Y︰X．X 0时直线l斜率存者说正穷l方表示成0 1X︰Y表示直线方斜率表示显更方便．
§52 二次曲线渐方中心渐线
1．二次曲线渐方
52中已二次曲线（1）具方X Y直线（2）满足条件
F (XY) ≡ (52－1)
时直线二次曲线者实交点者没交点者直线（2）全部二次曲线（1）成二次曲线组成部分．
定义521 满足条件F (XY ) 0方做二次曲线渐方否做非渐方．
二次曲线（1）二次项系数全零渐方X Y满足方程（52－1）总确定解．
（52－1）改写成
（53－1）改写成
必a12 ≠ 0（52－1）变成
X 0Y 0．方X Y应非零量XY时零时解
X Y 1 0 X Y 0 1
时
仅I2 > 0时二次曲线（1）渐方轭虚方I2 0时（1）实渐方I2 < 0时（1）两实渐方．二次曲线渐方两非渐方数．
二次曲线根实渐方数目分类．
定义522 没实渐方二次曲线做椭圆型实渐方二次曲线做抛物型两实渐方二次曲线做双曲型．
二次曲线（1）渐方分3类判定标准I2．
1）椭圆型曲线：I2 > 0
2）抛物型曲线：I2 0
3）双曲型曲线：I2 < 0．
前面讨椭圆抛物线双曲线分属椭圆型抛物型双曲型二次曲线反三种类型曲线包括椭圆抛物线双曲线外种曲线．
2．二次曲线中心渐线
已证明直线l方X Y二次曲线G 非渐方时时lG 总交两点（两实交点两重合实交点两轭虚交点）称两点确定线段二次曲线弦．
定义523 果点C二次曲线通弦中点点C做二次曲线中心．
根定义C二次曲线称中心．点 (x0y0) 二次曲线G中心时G 意非渐方方直线（2）G 交两点M1M2点 (x0y0) 弦M1M2中点．（2）代入G 方程（1）方程（52－1）．
设弦M1M2两端点．直线（2）两点应
(x0y0) M1M2中点
XY时零必
t1t2方程两根根韦达定理
(4)
X Y二次曲线G 意非渐方关XY次齐次方程（4）穷解方程系数必全零
(5)
反果点 (x0y0 ) 满足（5）式逆推必 (x0y0 ) 二次曲线（1）中心结．
已证明
命题521 点C (x0y0) 二次曲线中心充条件
(52－2)
推 坐标原点二次曲线中心充条件曲线方程里含xy次项．
根（52－2）二次曲线中心实际方程组
(52－3)
确定．
时方便记忆利偏导数记号方程组（52－3）写成
二次曲线F(x y) 0恒．
果（53－3）惟解时二次曲线（1）惟中心（52－3）解中心坐标．
果时（53－3）解二次曲线（1）没中心时（53－3）数解时两条直线重合该直线点二次曲线（1）中心条直线做二次曲线中心直线．
定义524 惟中心二次曲线做中心二次曲线没中心二次曲线做心二次曲线条中心直线二次曲线做线心二次曲线心二次曲线线心二次曲线统称非中心二次曲线．
根定义确定中心方程组（52－3）二次曲线中心分类：
1）中心曲线：
2）非中心曲线：I2 0
1°心曲线：
2°线心曲线：．
已出二次曲线两种分类种渐方分类种中心分类．容易出椭圆型曲线双曲型曲线中心曲线抛物型曲线非中心曲线包括心曲线线心曲线．
定义525 通二次曲线中心二次曲线渐方方直线做二次曲线渐线．
椭圆型曲线两条虚渐线实渐线双曲型曲线两条实渐线．抛物型曲线心曲线渐线线心曲线条渐线中心直线．
命题522 二次曲线渐线二次曲线者没交点者整条直线二次曲线成二次曲线组成部分．
证 设直线（2）二次曲线（1）渐线里 (x0y0) 二次曲线（1）中心X Y（1）渐方
F ( X Y ) 0
根直线二次曲线相交情况讨方程（51－1）解讨 (x0y0) 二次曲线时（51－1）解渐线（2）二次曲线（1）没公点 (x0y0) 二次曲线时（51－1）穷解渐线（2）点全部二次曲线（1）成二次曲线组成部分．（证毕）
特指出面结：
命题523 设二次曲线G：中心型二次曲线(x0y0) G 中心G 两条渐线方程
(52－4)
证 设X YG 渐方X Y必满足
(x0y0) G 中心时G 渐线方程写
X Y 代入（52－4）恰表示G 两条渐线．G 双曲型曲线时（52－4）方程实数范围分解成两次方程表示两条实渐线G 椭圆型曲线时方程表示两条虚渐线．
作命题523直接推直接写出椭圆双曲线
渐线方程
§53 二次曲线切线
定义531 果直线二次曲线交相互重合两点条直线做二次曲线切线重合交点做切点．果直线全部二次曲线称二次曲线切线时直线点作切点．
设M0 (x0y0) 二次曲线（1）点M0直线l方程总写成（2）形式：
代入（1）方程（51－1）．欲l成（1）切线F ( X Y ) ≠ 0时必须判式
(6)
M0 (x0y0) 二次曲线F (x0y0 ) 0（6）变
(7)
F ( X Y ) 0时直线l二次曲线（1）切线必定整条直线二次曲线F (x0y0 ) 0外惟条件然（7）．
方X Y满足条件（7）时直线（2）定二次曲线点M 0 (x0y0 ) 切线．
果全零（7）
X Y (－)
二次曲线点M0 (x0y0 ) 切线方程
(53－1)
(53－2)
果 0（7）变恒等式意方X Y二次曲线切方切线确定通点M0 (x0y0)意直线二次曲线切线．
定义532 二次曲线（1）满足条件 0点 (x0y0) 做二次曲线奇异点简称奇点．二次曲线非奇异点做二次曲线正常点．
命题531 果 (x0y0) 二次曲线（1）正常点二次曲线通点( x0y0 ) 切线方程( x0y0 ) 切点．果 ( x0y0 ) 二次曲线（1）奇点二次曲线通点 ( x0y0 ) 切线确定者说通点 ( x0y0 ) 条直线二次曲线（1）切线．
推 果 (x0y0 ) 二次曲线（1）正常点二次曲线通点 ( x0y0 ) 切线方程
(53－3)
证 方程（53－2）改写
式
(8)
整理（53－3）．
公式（53－3）具便记忆特点．确定点 (x0y0) 二次曲线（1）正常点（1）中代代xy ( x0y ＋ xy0 ) 2代x ( x ＋ x0 ) 2y ( y ＋ y0 ) 2代二次曲线正常点 ( x0y0 ) 切线方程．
容易证明椭圆抛物线双曲线没奇点．椭圆双曲线抛物线正常点 ( x0y0 )种曲线 ( x0y0 )切线方程
出公式（53－3）解决点 (x0y0) 二次曲线时切线存性切线存时直接写出切线方程问题．问题切线奇点关节没涉问题面专门讨．
例中介绍种间接分析方法便定二次曲线G求G 外点切线．
例1 求二次曲线x2 － xy ＋ y2 － 1 0通点 (02) 切线方程．
解法 F (02) 3点 (02) 曲线直接应节出切线公式．
点 (02) 直线方程写成
中t参数XY直线方数
F1 (02) － 1F2 (02) 2
根直线二次曲线相切条件（6）
－ 3() 0
化简 2 － 0
(2X － Y)(X ＋ Y ) 0
X Y 1︰2 X Y 1︰－ 1
两方已知二次曲线渐方二次曲线点 (02) 切线方．求切线方程
2x － y ＋ 2 0 x ＋ y － 2 0
解法二 设 (02) 切线已知二次曲线相切点 ()切线方程
(9)
通点 (02) (02) 满足方程 (02) 代入化简
(10)
方面点 () 二次曲线
(11)
解（10）（11）联立方程组切点坐标
切点坐标分代入（9）求切线方程
2x － y ＋ 2 0 x ＋ y － 2 0
出专著二次曲线中关奇点切线结
命题532 二次曲线奇点充条件中心曲线时中心奇点
命题533 二次曲线G 奇点仅列情况成立：
i）I3 0I2 > 0．时椭圆型二次曲线G 退化惟中心变成点椭圆G 中心G 惟奇点．
ii）I3 0I2 < 0．时双曲型二次曲线G 退化两相交直线G 惟奇点G 惟中心——两条相交直线交点．
iii）I3 I2 K1 0．时抛物型二次曲线G 退化两重合直线G 数奇点奇点构成G 中心直线G 身G 点奇点．
命题533知0二次曲线奇点必条件
面关切线重统公式：
命题534 实点否二次曲线（1）（1）M0 切线方程皆
(544)
证 M0X Y方直线方程总写
－ ∞< t < ＋ ∞ (12)
（12）代入（1）
(13)
方程根t确定直线l二次曲线G 相关位置．定义G 切线G交相互重合两点直线妨假定X YG 渐方lG 相切充条件二次方程（13）判式等零
(14)
关XY二次齐次式方程中X Y切线方．（12）应
代入（14）关二次齐次式：
(53－5)
改写方程（53－4）．
时直线（12）方满足（12）（1）相切条件（14）方程（53－5）方程（53－4）表示二次曲线（1）点M0切线．（证毕）
M0（1）正常点时F0 0切线方程（53－4）变
正般解析教科书结．
M0二次曲线G 时（53－4）左边够实数域分解两关x － x0y － y0次式积表示G M0两条实切线否表示两条虚切线．
§54 二次曲线直径
1．二次曲线直径
已讨直线二次曲线相交种情况．直线行二次曲线某非渐方时条直线二次曲线总交两点（两实点两重合实点轭虚点）两点决定二次曲线条弦．现研究二次曲线族行弦中点轨迹．
命题541 二次曲线族行弦中点轨迹条直线．
证 设X Y二次曲线非渐方F (XY) ≠ 0 (x0y0 ) 行方X Y弦中点 ( x0y0 ) 弦
二次曲线F (xy) 0两交点（弦两端点）二次方程
F (XY) ＋ F ( x0 y0 ) 0 (2)
两根决定 ( x0 y0 ) 弦中点根前面关中心关讨必
＋ 0
说明行方X Y弦中点 ( x0y0 ) 坐标满足方程
(3)
(54－1)
反果点 ( x0y0 ) 满足方程（54－1）方程（2）绝值相等符号相反两根点 ( x0y0 ) 具方X︰Y弦中点方程（54－1）族行某非渐方X︰Y弦中点轨迹方程．
方程（54－1）次项系数全零
时
X︰Y非渐方假设矛盾（54－1）二元次方程条直线．命题证．
定义541 二次曲线行弦中点轨迹做二次曲线直径应行弦做轭条直径轭弦直径做轭行弦方直径．
前述斜率k Y X应方X Y
推 果二次曲线族行弦斜率k轭族行弦直径方程
(54－2)
里定义二次曲线直径条实直线条线段行某非渐方行弦两实点连线两虚点连线中点实点实点构成条实直线仅仅条实线段．
认直径条直线说圆直径条线段区．数情况包括圆二次曲线直径成直线更便进行理讨．
二次曲线非渐方X Y般穷方程（3）（54－2）出果F1 (xy) 0F2 (xy) 0表示两条直线方程（54－1）表示直线构成面直线束．记直线束HH具性质：
时H中心直线束时H行直线束果F1(xy) 0F2(xy) 0表示直线时（3）（54－2）表示条直线．
果F1(xy) 0F2(xy) 0中矛盾方程F1(xy) 0中a11 a12 0时成立（3）（54－2）表示行直线束F1 (x y) 0F2 (x y) 0中恒等式F1 (x y) 0中a11 a12 a13 0成立（3）（54－2）表示条直线．
二次曲线中心曲线时全部直径属中心直线束直线束中心二次曲线中心二次曲线心曲线时全部直径属行直线束方二次曲线渐方X︰Y 二次曲线线心曲线时二次曲线条直径方程
()
线心二次曲线中心直线：
命题542 中心二次曲线直径通曲线中心心二次曲线直径行曲线渐方线心二次曲线直径条曲线中心直线．
图541出三种二次曲线直径情形图中直径粗线画出．
（a）中心曲线直径中心直线束
（b）心曲线直径行直线束
（c）线心曲线直径条直线
图541
例1 求椭圆双曲线直径．
解 F (xy)≡ F1(xy)＝ F2(xy)＝
根（3）轭非渐方X︰Y直径方程
显然直径通曲线中心（00）．
例2 求抛物线＝2px直径．
解 F (xy)≡2px － ＝0
F1(xy)＝pF2(xy)＝－ y
轭非渐方X︰Y直径
X p － Y y＝0
y＝
抛物线＝2px直径行渐方1︰0．
注 里X︰Y抛物线＝2px非渐方．抛物线＝2px渐方满足齐次方程 0解．Y' 0时X' ≠ 0解1 0．直径y pX Y方恰1︰0x轴方．
例3 求二次曲线F (xy)≡轭非渐方X︰Y直径
解 ∵ F1 (xy)＝x － y ＋ 1F2 (xy)＝－ x ＋ y － 1
∴ 直径方程
X (x － y ＋ 1) ＋ Y (－ x ＋ y － 1)＝0
(X － Y )(x － y ＋ 1)＝0
已知曲线F (xy)＝0渐方X '︰Y '＝1︰1非渐方X︰Y定X ≠ Y曲线轭非渐方X︰Y直径
x － y ＋ 1＝0
条直径．
事实曲线线心二次曲线条直径．
2．轭方轭直径
二次曲线非渐方X︰Y轭直径方程总写成（54－1）形式（54－1）方
X'︰Y'＝－ ︰ (54－3)
称方非渐方X︰Y轭方．
根（54－3）存非零实数t
X'＝－ tY'＝t
X︰Y非渐方F (X Y ) ≠ 0设t ≠ 0I2 ≠ 0二次曲线中心二次曲线时F (X ' Y ' ) ≠ 0I2＝0二次曲线非中心二次曲线时F (X' Y' )＝0．
命题543 中心二次曲线非渐方轭方然非渐方非中心二次曲线非渐方轭方渐方．
（54－3）二次曲线非渐方X︰Y轭方X'︰Y' 间关系
(54－4)
（54－4）式出两方X︰YX'︰Y' 称中心曲线说非渐方X︰Y轭方非渐方X' Y' Y' 轭方X︰Y．
意定非渐方X︰Y作组行方行弦中点确定条轭非渐方X︰Y直径l'设方X' Y'．X' Y'非渐方样X' Y' 确定条直径ll方必然X︰Y．
定义542 中心二次曲线具相互轭方直径做轭直径．
设 代入（54－4）
(54－5)
轭直径斜率满足关系式．
例椭圆轭直径斜率kk' 关系
(4)
双曲线轭直径斜率kk' 关系
(5)
（54－4）中果设
X'︰Y'＝X︰Y
显然时X︰Y二次曲线渐方．果二次曲线轭方（54－4）作代数推广渐方成轭方渐线成轭直径．
（14）出椭圆轭直径斜率kk' 具相反符号（假定kk' 皆零）轭直径象限里（图542）．k > 0k值增时k' < 0绝值着减．表示椭圆条直径绕中心逆时针方转动时轭直径绕着中心逆时针方转动．
（15）出双曲线轭直径斜率kk' 具相符号（假定kk' 皆零）轭直径位象限里（图54 3）．时时双曲线轭直径位渐线异侧．次k > 0k值增时k' > 0绝值着减．表示双曲线条直径绕中心逆时针方旋转时轭直径绕着中心时针方旋转．外果条直径斜率趋（ －）轭直径斜率趋（ －．双曲线渐线轭直径极限位置．更详说明双曲线渐线成直径两条重合轭直径．
图542
图543
例子中讨标准坐标系中进行kk' 中零必穷实际时轭直径中心二次曲线称轴坐标轴．根极限观点考虑椭圆认时k® ＋∞应图542中直径l' 趋x轴轭直径l趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界双曲线认时k' ® ＋∞应图543中直径l趋x轴轭直径l' 趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界．
x － y ＋ 1＝0
条直径．
事实曲线线心二次曲线条直径．
2．轭方轭直径
二次曲线非渐方X︰Y轭直径方程总写成（54－1）形式（54－1）方
X'︰Y'＝－ ︰ (54－3)
称方非渐方X︰Y轭方．
根（54－3）存非零实数t
X'＝－ tY'＝t
X︰Y非渐方F (X Y ) ≠ 0设t ≠ 0I2 ≠ 0二次曲线中心二次曲线时F (X ' Y ' ) ≠ 0I2＝0二次曲线非中心二次曲线时F (X' Y' )＝0．
命题543 中心二次曲线非渐方轭方然非渐方非中心二次曲线非渐方轭方渐方．
（54－3）二次曲线非渐方X︰Y轭方X'︰Y' 间关系
(54－4)
（54－4）式出两方X︰YX'︰Y' 称中心曲线说非渐方X︰Y轭方非渐方X' Y' Y' 轭方X︰Y．
意定非渐方X︰Y作组行方行弦中点确定条轭非渐方X︰Y直径l'设方X' Y'．X' Y'非渐方样X' Y' 确定条直径ll方必然X︰Y．
定义542 中心二次曲线具相互轭方直径做轭直径．
设 代入（54－4）
(54－5)
轭直径斜率满足关系式．
例椭圆轭直径斜率kk' 关系
(4)
双曲线轭直径斜率kk' 关系
(5)
（54－4）中果设
X'︰Y'＝X︰Y
显然时X︰Y二次曲线渐方．果二次曲线轭方（54－4）作代数推广渐方成轭方渐线成轭直径．
（14）出椭圆轭直径斜率kk' 具相反符号（假定kk' 皆零）轭直径象限里（图542）．k > 0k值增时k' < 0绝值着减．表示椭圆条直径绕中心逆时针方转动时轭直径绕着中心逆时针方转动．
（15）出双曲线轭直径斜率kk' 具相符号（假定kk' 皆零）轭直径位象限里（图54 3）．时时双曲线轭直径位渐线异侧．次k > 0k值增时k' > 0绝值着减．表示双曲线条直径绕中心逆时针方旋转时轭直径绕着中心时针方旋转．外果条直径斜率趋（ －）轭直径斜率趋（ －．双曲线渐线轭直径极限位置．更详说明双曲线渐线成直径两条重合轭直径．
图542
图543
例子中讨标准坐标系中进行kk' 中零必穷实际时轭直径中心二次曲线称轴坐标轴．根极限观点考虑椭圆认时k® ＋∞应图542中直径l' 趋x轴轭直径l趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界双曲线认时k' ® ＋∞应图543中直径l趋x轴轭直径l' 趋y轴两条象限轭直径象限趋极限象限边界．
§55 二次曲线直径方
定义551 二次曲线垂直轭弦直径做二次曲线直径直径方垂直直径方做二次曲线方．
定义二次曲线方正交轭方．
显然直径二次曲线称轴直径做二次曲线轴轴曲线交点做曲线顶点．
现求二次曲线
F(xy)≡ (1)
方直径．
果二次曲线（1）中心曲线二次曲线（1）非渐方X︰Y轭直径（54－1）（54－2）．设直径方X '︰Y '两方轭
X'︰Y'＝︰ (16)
方X︰YX'︰Y' 垂直直角坐标系两量{X︰Y}{ X'︰Y' }垂直积零XX' ＋ YY' 0写成
X'︰Y'＝－ Y︰X (17)
（17）代入（16）
X︰Y＝︰ (18)
X︰Y成中心二次曲线（1）方条件
(55－1)
成立中l ≠ 0．（55－1）改写成
(55－1')
关XY齐次线性方程组．XY全零齐次线性方程组非零解系数行列式
(19)
(55－2)
中心二次曲线说（55－2）解出l代入（55－1）（55－1'）方．
果二次曲线（1）非中心二次曲线直径方总惟渐方
X1 Y1＝
垂直方显然
X2 Y2＝＝
非中心二次曲线（1）方面两种：
渐方
X1 Y1＝－ a12 a11 a22 (－ a12) (20)
非渐方
X2 Y2＝a11 a12 a12 a22 (21)
方程（55－2）中令I2 0两根
两根代入（55－1）（55－1'）方恰非中心二次曲线渐方非渐方．
样根方程（55－2）根（55－1'）求二次曲线方方法推广非中心二次曲线．
方X︰Y成二次曲线（1）方条件（55－1'）成立里l方程（55－2）根．
定义552 方程（19）（55－2）做二次曲线（1）特征方程特征方程根做二次曲线特征根．
二次曲线（1）特征方程（55－2）求出特征根l代入（55－1）（55－1'）相应方．果方非渐方根轭方直径．
需解决特征根存问题面命题保证．
命题551 二次曲线特征根实数．
证 特征方程判式
D＝≥0
二次曲线特征根实数．
命题552 二次曲线特征根全零．
证 果二次曲线特征根 l1 l2 0（55－2）韦达定理
a11＝a12＝a22＝0
二次曲线定义矛盾二次曲线特征根全零．
命题553 二次曲线（1）特征根l确定方X︰Yl ≠ 0时二次曲线非渐方l＝0时二次曲线渐方．
证 首先
（55－1）
XY全零l ≠ 0时 ≠ 0X︰Y二次曲线（1）非渐方l＝0时＝0X︰Y二次曲线（1）渐方．
命题554 中心二次曲线少两条直径非中心二次曲线条直径．
证 二次曲线（1）特征方程（55－2）解两特征根
1°二次曲线（1）中心曲线时I2 ≠ 0．果特征方程判式 D＝＝0＝＝0时中心曲线圆（包括点圆虚圆）特征根二重根
l＝a11＝a22 (≠ 0)
代入（55－1）（55－1'）两恒等式方X︰Y满足实方圆非渐方通圆心直线仅直径圆直径圆数条称轴．
果特征方程判式 D＝＞0特征根两等非零实根l 1l 2分代入（55－1'）相应两非渐方
X1 Y1＝a12 (l1 － a11)＝(l1 － a22) a12 (22)
X2 Y2＝a12 (l2 － a11)＝(l2 － a22) a12 (23)
两方轭现证明垂直．
（22）（23）存非零实数t
{X1Y1}×{X2Y2}＝{a12 t(l1 － a11) t}×{a12 t(l2 － a11) t}
＝
＝
＝
＝
＝ 0
两方相互垂直非圆中心二次曲线互相垂直互相轭直径．
2°二次曲线（1）非中心曲线时I2＝0时两特征根
＝ ＋ ＝0
非渐方l1＝ ＋ 应方非中心二次曲线条直径．
例1 求二次曲线方直径．
解 ∵ I1＝1 ＋ 1＝2I2＝＝ ≠ 0
∴ 曲线中心曲线特征方程
解方程两特征根：
代入方程（55－1'）
方程组解特征根确定方X1 Y1 1 1．
代入方程（55－1'）
特征根确定方X2 Y2 － 1 1．
二次曲线轭方1 1直径
x ＋ y＝0
二次曲线轭方 － 1 1直径
－
x － y＝0
例2 求二次曲线方直径．
解 ∵ I1＝1 ＋ 1＝2I2＝＝0
∴ 曲线非中心曲线特征方程
两特征根 l1＝2l2＝0
l1＝2非中心二次曲线非零特征根确定二次曲线非渐方：
X1 Y1＝－ 1︰(2 － 1) － 1︰1
特征根l2＝0确定二次曲线渐方：
X2 Y2＝－ 1︰1︰1
曲线惟直径非渐方－ 1︰1确定：
－( x － y － 2 ) ＋ (－ x ＋ y )＝0
x － y － 1＝0
§56 二次曲线方程化简分类
设面出两标架 {Oi j } {O'i' j' } 决定右手直角坐标系里iji' j' 两组坐标基量面两标准正交基次称两坐标系旧坐标系新坐标系．
坐标系位置完全原点坐标基量决定新坐标系旧坐标系间关系O' {Oi j } 中坐标i' j' {Oi j } 中分量决定．
直角坐标变换总分解成移轴（坐标移）转轴（坐标旋转）两步骤．
1．移轴
果两标架 {Oi j } {O'i j' } 原点OO' O' {Oi j }中坐标 (x0y0)两标架坐标基量相
i' i j' j
标架 {O'i' j'} 成标架 {Oi j } 原点移O'点（图571）．种坐标变换做移轴（坐标移）．
设P面意点标架 {Oi j} {O'i' j'} 坐标分 (xy) ()
{xy} {x0y0} ＋ {x'y' }
根量相等定义移轴公式
图561
(56－1)
中解出x' y'逆变换公式
(56－2)
2．转轴
两标架 {Oi j } {O'i' j'} 原点相O O'坐标基量∠(ii' ) a标架 {O'i'j'} 成标架 {Oij } 绕O点旋转a 角（图562）．种标架 {Oij } 标架 {O'i'j'}坐标变换做转轴（坐标旋转）．
面推导转轴公式．
设P面意点 {Oi j } {O'i' j'} 坐标分 (xy) ()
∠(ii' ) a新旧坐标基量间关系
图562
OO'点直接转轴公式：
(56－3)
（57－3）中解出x' y '旧坐标表示新坐标逆变换公式：
(56－4)
式中a 坐标轴旋转角．
（56－4）式成标架 {Oi'j'} 绕O旋转－ a 角变 {Oij} 转轴公式．
* 根线性代数理（56－3）写里坐标变换矩阵正交矩阵逆矩阵逆变换公式直接写出．
3．般坐标变换公式
般情况旧坐标系O－xy变成新坐标系O'－x'y'总分两步完成．先移轴坐标原点新坐标系原点O' 重合变成坐标系O'－然辅助坐标系O'－xy 转轴成新坐标系O'－x'y'（图563）．
设面点P旧坐标新坐标分 (xy) (x'y' )辅助坐标系O'－xy 中坐标 (xy )（56－1）（56－4）分
两式般坐标变换公式
图563
(56－5)
（56－5）解出x'y' 便逆变换公式
(56－6)
面直角坐标变换公式（56－5）新坐标系原点坐标 (x0 y0) 坐标轴旋转角 a 决定．
4．定新坐标轴确定坐标变换
确定坐标变换公式坐标移旋转外方法．
假定已出新坐标系两坐标轴旧坐标系中方程规定轴正方确定种坐标变换公式．
设直角坐标系xOy里定两条相互垂直直线
l1：
l2：
中．果取直线l1新坐标系中横轴O'x'直线l2轴O'y'设面意点M旧坐标新坐标分（xy）（x'y'）． | x' | 点M（xy）O'y' 轴距离M点l2距离（图564）
图564
理
掉绝值符号便坐标变换公式
(56－7)
新坐标系然右手坐标系（56－7）式公式（56－4）较决定（56－7）中符号．
（56－7）中第式右端x系数应第二式右端y系数相等（56－7）符号选取两项系数号．
种坐标变换方法常求般中心二次曲线直径情况两条直径作新坐标轴二次曲线方程化标准方程．
5．坐标变换二次曲线方程系数变化规律
设二次曲线G 方程
F (x y)≡ (1)
选择适坐标变换曲线G新坐标系方程简单必须先解坐标变换二次曲线方程系数变化规律．般坐标变换总成移轴转轴组成首先分考察移轴转轴二次曲线G 方程（1）系数样变化．
移轴（56－1）
设二次曲线G 新方程
化简整理：
里 (2)
命题561 移轴（56－1）二次曲线方程（1）系数变换规律：
1°二次项系数变
2°次项系数变
3°常数项变．
（x0y0）二次曲线（1）中心时 0二次曲线中心时作移轴新原点二次曲线中心重合新坐标系二次曲线新方程中包含次项．
转轴公式（56－3）
代入（1）转轴（56－3）二次曲线（1）新方程
里
(3)
命题562 转轴（56－3）二次曲线方程（1）系数变换规律：
1°二次项系数般改变．新方程二次项系数仅原方程二次项系数旋转角关次项系数常数项关．
2°次项系数般改变．新方程次项系数仅原方程次项系数旋转角关二次项系数常数项关．
3°常数项变．
（3）中
中解出
转轴二次曲线方程（1）次项系数变换规律点坐标xy变换规律完全致．原方程次项时通转轴完全消次项原方程次项时通转轴会产生次项．
二次曲线方程（1）里转轴新方程中．取旋转角a．
令
(56－8)
余切值意实数总a 满足（56－8）说总适转轴消（1）中xy项．
2．确定坐标变换步骤基原
条二次曲线方程先移轴转轴进行坐标变换先转轴移轴进行坐标变换两种方法方程化简．
果决定先转轴根（56－8）确定坐标系旋转角．种类型二次曲线先转轴总行．
果决定先移先确定旧坐标系原点移处．中心二次曲线般新坐标系中心定曲线中心中心先求出．心二次曲线曲线标准方程应该新坐标系中心定曲线顶点顶点易先求出．
利坐标变换二次曲线方程进行化简时般面原进行：
先根I2判断曲线类型．
果I2 ≠ 0说明曲线中心型．应先求出中心移轴然转轴．
果I2＝0说明曲线非中心型先转轴消交叉项xy方程配方般确定新坐标系原点移轴．
验证明里出原定程度减少方程化简运算量．
3．二次曲线方程化简实例方法分析
通例题分析说明具体定二次曲线方程进行化简．
例1 化简二次曲线方程画出图形．
解 I2 1 × 4 － 2 2 0曲线抛物型（非中心型）应先转轴．
设旋转角a应：
tana＝2
取tana＝2（取tana＝－ 1 2样原方程化简）
转轴公式
代入原方程化简整理转轴新方程
配方
作移轴
曲线方程化简形式
写成标准方程
条抛物线．顶点新坐标系O－xy 原点原方程图形根坐标系O－xy 中标准方程作出图561示．
作图点：坐标系O－xy旋转角度成O'－x'y'坐标系O'－x'y' 移（0）
图564
O－xy．新坐标系O－xy 中
根抛物线标准方程作图．
出曲线原坐标系中位置作图时需新旧坐标系时画出．
例2 化简二次曲线方程
画出图形．
解 I2＝5 × 2 － 22＝6≠0曲线中心二次曲线．解方程组
中心 (21)．取 (21) 新原点作移轴
原方程变 ①
里实际需计算F (21)＝－ 4移轴时二次项系数变．
转轴消项．令
tana＝－ 2
取tana＝1 2转轴公式
代入 ①方程化简
标准方程
椭圆图形图565
图565
示．
较准确画出新旧坐标系曲线图形必须掌握例新旧原点位置坐标轴旋转角．题中坐标轴旋转角．
注 题转轴时取tana＝－ 2（旋转角）转轴公式
标准方程 图形相原坐标系位置变．时Ox轴正恰图562中y 轴反．
利转轴消二次曲线方程xy项意义坐标轴旋转二次曲线方行位置．果二次曲线特征根l确定方X︰Y
行方斜率
∴
面介绍通转轴移轴化简二次曲线方程方法实际坐标轴变换二次曲线直径（称轴）重合位置．果中心曲线坐标原点曲线中心重合果心曲线坐标原点曲线顶点重合果线心曲线坐标原点曲线中心重合．
根消二次曲线方程中交叉项意义化简二次曲线（1）方程时先求出曲线直径然作新坐标轴作坐标变换．
例3 化简二次曲线方程
作出图形．
解法1 I2＝1 × 1 － < 0二次曲线双曲型．
令
解中心坐标 (－ 22) ．
作坐标移
原方程化
令
转轴应取旋转角 p 4．转轴
图566
二次曲线方程化简
条双曲线图形图563示．
解法2
I1＝1 ＋ 1＝2 I2＝1 × 1 －
曲线特征方程
解两特征根
曲线两方
︰︰︰1
︰︰︰1
曲线两条直径
x ＋ y＝0 x － y ＋ 4＝0
取x － y ＋ 4＝0x' 轴x ＋ y＝0y' 轴根（57－7）取坐标变换公式
反解出xy
代入已知曲线方程整理曲线新坐标系标准方程
条双曲线．
作图时必须首先确定x' 轴正．变换公式x' 表达式右端x项系数y项系数系数公式（57－7）较知道x' 轴x轴交角时坐标变换公式直接新坐标系原点旧坐标 (－ 22)．新坐标系确定曲线新坐标系里标准方程作出图形图3－7认移轴转轴次完成．
两种解法相解法1显简便计算量步骤较规范具较强操作性．解法2强调直接根直径出般坐标变换公式理定价值．
心二次曲线条直径解法2选坐标轴条坐标轴确定呢？求出条直径二次曲线交点——二次曲线顶点然取顶点垂直已知直径直线作条坐标轴写出般坐标变换公式进二次曲线方程化简．
例4 化简二次曲线方程．
解 I1 1 ＋ 1 2I2 1 × 1 － 12 0曲线非中心型．
解特征方程特征根 l 1 2 l 2 0．
曲线非渐方应l 1 2方X︰Y＝1︰1曲线直径
x ＋ y ＋ 0
直径方程原曲线方程联立求曲线顶点(3 16－15 16)．顶点求非渐方方直线
x － y － 0
顶点垂直直径直线．
取直径新坐标系x' 轴取直线y' 轴作坐标变换变换公式
解出xy
代入已知方程整理化标准方程
条抛物线．画出条抛物线必须确定代表x' 轴直线正．设x' 轴x轴交角a根变换公式轴正确定．新坐标轴作出新坐标系根抛物线标准方程作出图形（图形略）．
例5 化简二次曲线方程 ．
解 二次曲线矩阵
A
A第行第二行元素成例表示F1 (xy) 0F2 (xy) 0条直线曲线线心曲线惟条直径曲线中心直线曲线直径方程F1 (x y) 0：
x － y ＋ 1 0
取新坐标系x' 轴取意垂直中心直线直线x ＋ y＝0新坐标系y' 轴作坐标变换变换公式
解出xy
代入已知方程整理
2 y'＝
两条行直线（图564）．
线心曲线直接原方程分解两次式立作出图形．例5方程改写
原方程表示两条直线
图567
x － y ＋ 3 0 x － y － 1 0
图象图564示．
二次曲线方程表示两条实直线时直接分解两次方程通常简单效化简方法样避免进行坐标变换．线心曲线外中心二次曲线两条相交直线时原方程直接分解．
例6 化简二次曲线方程．
解 计算I2 < 0I3 0知二次曲线退化双曲型曲线表示两条相交直线．直接原方程左边分解式
(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) 0
原二次曲线方程表示两条相交直线
x － y ＋ 3 0 2x ＋ 3y － 7 0
4．二次曲线简化方程
通面例子出面般结．
命题563 通适坐标变换二次曲线方程总化成面三简化方程中：
（ 1 \* ROMAN I）
（ 2 \* ROMAN II）
（ 3 \* ROMAN III）．
证 二次曲线分中心曲线心曲线线心曲线三类现三种情况讨．
1°已知二次曲线中心曲线时取轭相互垂直直径作坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线样坐标系方程
时原点曲线中心方程中没次项
次二次曲线两条直径（坐标轴）方1︰00︰1互相轭必．
曲线方程
（I）
中心曲线
2°已知二次曲线心曲线时取惟直径x轴取顶点（直径曲线交点）非渐方方直线（顶点垂直直径直线）y轴建立坐标系时假设曲线方程
时直径轭方X︰Y＝0︰1直径方程
x轴直线y＝0重合
顶点坐标原点重合 (00) 满足曲线方程a33 0．
次曲线心曲线．
曲线方程
（II）
3°已知二次曲线线心曲线时取中心直线（曲线惟直径直径）x轴意垂直中心直线直线y轴建立坐标系设曲线方程
线心曲线中心直线方程
中第二方程表示x轴条件
第方程条件表示x轴必须恒等式
线心曲线简化方程：
（III）
命题证毕．
5．二次曲线分类
根命题563中二次曲线三种简化方程系数种情况写出二次曲线种标准方程出二次曲线分类．
（I）中心曲线
时方程化
中 ．
果A > 0B > 0设
方程
[1] （椭圆）
果A < 0B < 0设
方程
[2] （虚椭圆）
AB异号失般性设A＞0B＜0（相反情况两坐标轴OxOy调）．设
方程
[3] （双曲线）
时果a11a22号假设a11＞0a22＞0（相反情况方程两边 － 1）设
方程
[4] （点椭圆作相交实点二轭虚直线）
果a11a22异号类似
[5] （两相交直线）
（II）心曲线
妨设a13a22异号（号时令x － x'y y'异号）令
[6] （抛物线）
（III）线心曲线
a22≠0
方程改写：
a33a22异号时设方程
[7] （两行实直线）
a33a22号设方程
[8] （两行轭虚直线）
a33＝0时方程
[9] （两重合实直线）
面命题：
命题564 通适选取坐标系二次曲线方程总写成面9种标准方程中种形式：
[1] （椭圆）
[2] （虚椭圆）
[3] （双曲线）
[4] （点椭圆成相交实点两轭虚直线）
[5] （两相交直线）
[6] （抛物线）
[7] （两行直线）
[8] （两行轭虚直线）
[9] （两重合直线）．
根命题二次曲线分9类．中圆虚圆点圆分入 [1][2] [4]类中
§57 应变量化简二次曲线方程
许情况需确定二次曲线原坐标系位置需确定形状类型．应变量化简二次曲线方程简单做点．二次曲线坐标系方程方程系数确定量（圆锥曲线焦参数长短轴离心率等）坐标系改变改变者说坐标变换改变量变量．
研究变量半变量方程某系数函数变量具密切关系．面出变量半变量确切定义．
1．变量半变量
设二次曲线意定直角坐标系中方程
(1)
设直角坐标变换T：曲线方程（1）左端变
项式F (x'y' ) 二元二次项式系数项式F (x y ) 系数坐标变换T系数表出．
定义571 设F (xy) 系数组成非常值函数f果直角坐标变换TF (xy) 变F (x'y' ) 时
函数f做二次曲线（1）直角坐标变换T变量．果函数f值转轴变换变函数做二次曲线（1）直角坐标变换半变量．
命题571 二次曲线（1）直角坐标变换三变量I1I2I3半变量K1：
证 直角坐标变换T总通移轴（56－1）转轴（56－3）两步完成证明分移轴转轴两种情况．
先证明移轴（57－1）I1I2I3变K1般改变．
移轴二次曲线（1）二次项系数变
K1移轴般改变例F (xy)≡2xyK1＝0通移轴（57－1）F (xy) 变时
≢ 0
≠K1
现证明转轴（57－3）I1I2I3K1变．I1I2考虑方程二次项系数够根（3）转轴：
(4)
利三角函数关系
（4）化：
(5)
现证I3转轴变．
＝
转轴已证变转轴二次曲线方程常数项变
＝
（3）代入化简整理
＝
理
＝－
证明K1转轴变．
K1
二次曲线（1）常数项转轴变（3）中表达式直接计算
命题证毕．
命题572 二次曲线（1）线心曲线时K1直角坐标变换变量．
证 首先证明线心曲线方程具简化方程
（III）
时K1直角坐标变换变．K1半变量证明移轴变．
移轴（56－1）（III）左端变
时
＝
次果F (xy) 0移轴（56－1）变成（III）反（III）移轴（56－2）变成F (xy) 0线心二次曲线通移轴方程化成（III）时K1变．
现设线心二次曲线F (xy) 0意直角坐标变换t变成F (x'y' ) 0证明K'1＝K1．F (xy) 0线心二次曲线总存直角坐标变换F (xy) 0变成（III）左端反定通直角坐标变换（III）左端变成F (xy)通坐标变换tF (xy) 变成F' (x'y' )存直角坐标变换（III）左端变成F' (x'y' )．
根前面已证明通直角坐标变换t1F (xy) 0变成（III）左端时K1变K1＝．
通直角坐标变换（ 3 \* ROMAN III）左端变F' (x'y' ) 0时＝＝K1．
命题证毕．
2．应变量化简二次曲线方程
已证明二次曲线方程总化成三简化方程（I）（II）（III）中．现应二次曲线三变量I1I2I3半变量K1化简二次曲线方程．种方法特点必求出具体坐标变换公式计算变量半变量决定二次曲线简化方程进写出标准方程．方便然分中心曲线心曲线线心曲线三种情况讨．
1°中心曲线 时I2≠0简化方程
（I）
根二次方程根系数关系知道特征方程
两根＝l1＝l2分二次曲线特征根．
次
样：
命题573 果二次曲线（1）中心二次曲线简化方程
(57－1)
中l1l2二次曲线特征方程两根（方程中撇号已略）．
例1 求二次曲线
简化方程标准方程．
解
I1 1 ＋ 1 2I2 1 × 1 － 32 － 8 < 0
曲线双曲线．特征方程
l2 － 2l － 8＝0
解特征根 l1＝4l2＝ － 2曲线简化方程：
化成标准方程
2°心曲线 时I2＝0I3≠0简化方程
（II）
I1 I 3< 0．
命题574 果二次曲线（1）心曲线简化方程
(57－2)
里根号前正负号意选取（方程中撇号已略）．
例2 求二次曲线
简化方程标准方程．
解 题显然a≥0xy均非负．
a 0时原方程表示坐标原点．时须注意原方程写成两边方样会出原方程表示两条相交实直线错误结．
a > 0时原方程变形
（x≥0y≥0）
I1 2I2 0原方程表示仅第象限实图形段抛物线称轴直线y x顶点(a 4 a 4)曲线两端点坐标 (0a) (a0)．
简化方程
标准方程
3°线心曲线 时简化方程
（III）
＝K1
：
命题575 果二次曲线（1）线心曲线简化方程
(57－3)
（方程中撇号已略）
（57－1）（57－2）（57－3）：
命题576 果出二次曲线（1）变量半变量判断已知曲线种曲线条件：
[1] 椭圆：I2＞0I1I3＜0
[2] 虚椭圆：I2＞0I1I3＞0
[3] 点椭圆（称交实点轭虚直线）：I2＞0I3＝0
[4] 双曲线：I2＜0I3 ≠ 0
[5] 相交直线：I2＜0I3＝0
[6] 抛物线：I2＝0I3 ≠ 0
[7] 行直线：I2＝I3＝0K1＜0
[8] 行虚直线：I2＝I3＝0K1＞0
[9] 重合直线：I2＝I3＝K1＝0 ．
命题证明命题583证明十分类似处略．
推 二次曲线（1）表示两条直线（实虚重合）充条件I3＝0．
二次曲线直角坐标变换变量十分重概念．解析目通曲线方程研究曲线性质二次曲线方程系数构成变量I1I2I3K1完全刻画二次曲线形状特征．变量够深刻反映方程曲线关系数形结合认识提高新高度．
结
知识点回顾
章研究直线二次曲线相交问题入手讨般二次曲线渐方中心渐线切线直径直径等重概念性质导出二次曲线角度进行分类例方分类中心分类讨二般二次曲线代数理坐标变换开始介绍般二次曲线方程化简判问题特二次曲线直径作新做标注简化二次曲线方程二次曲线理代数理联系起加强学科间联系突出代数作工具研究目
时章提出二次曲线直角坐标变换变量十分重概念定理576知二次曲线方程系数构成变量完全刻画二次曲线形状仅深刻反映方程曲线关系数形结合问题提高新认识
通章学应该掌握知识点：
1 二次曲线直线位置关系讨转化元二次方程
根情况进行讨
2． 二次曲线渐方中心角度进行分类方渐方渐方二次曲线分三类：椭圆型曲线抛物型曲线双曲型曲线满足点二次曲线中心中心二次曲线分中心曲线非中心曲线中非中心曲线分心曲线线心曲线
3 二次曲线直径方章难点较抽象学程中认真掌握直径轭方轭直径直径方概念二次曲线分类方程化简奠定基础
4 二次曲线方程化简分类通坐标变换二次曲线方程化简意二次曲线方程化简9简单形式时构造二次曲线变量作二次曲线进步研究
典型例题
例1 试确定值二次曲线交
⑴ 两实点 ⑵ 实点 ⑶ 两轭虚点
解：直线方程带入二次曲线方程：
时两实点
时两实点
时两实点
例2 满足什条件时二次曲线
（1）唯中心（2）没中心（3）条中心直线
解：（1）知时方程唯解时曲线唯中心
（2）时方程解时曲线没中心
（3）时方程数解时曲线线心曲线
例3 试证果二次曲线
渐进线两渐进线方程
Φ
式中二次曲线中心
证明：
设渐进线意点曲线渐进方
Φ
例4 证明直线渐进线二次曲线方程总写成
证明：
设渐进线二次曲线
渐进线Φ中曲线中心Φ
Φ
曲线中心
Φ
令代入式
渐进线二次曲线写
例5 设焦点曲线族里变动参数作行已知直线曲线切线求切线切点轨迹方程
解：设切点坐标（534）曲线切线行代入整理
切点轨迹
例6 证明二次曲线两特征根确定方相互垂直
证明：设分曲线两特征根确定方分
两方相互垂直
例7 试证方程
确定实圆必须须
证明：曲线
表示实圆充条件特征方程
相等实根方程确定实圆必须须
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