第三章 函数
第五节 二次函数综合应
第1课时 二次函数实际应
(建议时间：40分钟)
1 图省古老石拱桥——晋城景德桥晋城市城区通阳城沁水交通道继赵州桥国现存历史悠久古代珍贵桥梁．已知AB长约20米桥拱高点CAB距离9米水方x轴选取点A坐标原点建立直角坐标系抛物线表达式y＝－x2＋x选取点B坐标原点时抛物线表达式( )
第1题图
A y＝x2－x B y＝x2＋x
C y＝－x2 D y＝－x2－x
2 (2019连云港)图利直角墙角修建梯形储料场ABCD中∠C＝120°新建墙BCCD总长12 m该梯形储料场ABCD面积( )
第2题图
A 18 m2
B 18m2
C 24m2
D m2
3 (2019襄阳)(教九P43问题改编)图击球飞行高度h(单位：m)飞行时间t(单位：s)间具关系h＝20t－5t2球飞出落时间________s
第3题图
4 (2019锦州)2019年法国举办女足世界杯奉献场足球盛宴．某商场销售批足球文化衫已知该文化衫进价件40元售价件60元时月销售出100件根市场行情现决定涨价销售调查表明件商品售价涨1元月少销售出2件设件商品售价x元．月销售y件．
(1)求yx间函数关系式
(2)件商品售价定少元时月利润恰2250元
(3)件商品售价定少元时月获利润？月利润少？
5 (2019成)着5G技术发展类5G产品充满期．某公司计划某区销售款5G产品根市场分析该产品销售价格销售周期变化变化设该产品第x(x正整数)销售周期台销售价格y元yx间满足图示次函数关系．
(1)求yx间关系式
(2)设该产品第x销售周期销售数量p(万台)px关系p＝x＋描述．根信息试问：销售周期销售收入？时该产品台销售价格少元？
第5题图
6 (2019武汉)某商店销售种商品市场调查发现该商品周销售量y(件)售价x(元件)次函数售价周销售量周销售利润w(元)三组应值表：
售价x(元件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)
(1)①求y关x函数解析式(求写出变量取值范围)
②该商品进价________元件售价____元件时周销售利润利润______元
(2)某种原该商品进价提高m元件(m>0)物价部门规定该商品售价超65元件该商店销售中周销售量售价然满足(1)中函数关系．周销售利润1400元求m值．
7 迎接第二届全国青年运动会召开山西体育场周边社区积极参社区改造晋阳社区片空进行修建改造已知投资50000元修建休闲区投资40000元修建鹅卵石健身道面积相等修建1方米休闲区修建1方米鹅卵石健身道费高20元．
(1)求修建1方米休闲区修建1方米鹅卵石健身道费少元？
(2)图新入住区需块长60 米宽40米矩形空修建四面积相等休闲区余空修建成横宽x 米宽10米鹅卵石健身道横宽度超宽度工程队晋阳社区相费变．
①含x(米)代数式表示休闲区面积S(方米)注明x取值范围
②综合实际情况现求横宽满足1≤x≤5x少时修建休闲区鹅卵石健身道总价w低低造价少元？
第7题图
第2课时 二次函数综合题
(建议时间：40分钟)
1 (2019贺州改编)综合探究
图面直角坐标系中已知点B坐标(－10)OA＝OC抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)图象ABC三点．
(1)求点C坐标抛物线表达式
(2)点P直线AC方抛物线动点作PD⊥AC点DPD值时求时点P坐标PD值．
第1题图
2 (2019德阳改编)综合探究
图面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交AB两点y轴负半轴交点C已知抛物线称轴直线x＝BC两点坐标分B(20)C(0－3)点P直线BC方抛物线动点(BC两点重合)．
(1)求抛物线表达式
(2)图连接PBPC△PBC问否存着样点P△PBC面积？果存求出面积值时点P坐标果存请说明理．
第2题图
3 综合探究
图抛物线y＝－x2＋x＋4图象x轴交AB两点(点A点B左侧)y轴交点C直线l抛物线交BC两点点P第象限抛物线动点点P作PD⊥x轴垂足点DPDBC交点E设点P横坐标m
(1)求直线l表达式点A坐标
(2)试探究否存点P△PCE等腰三角形？存请直接写出点P横坐标m值存请说明理．
第3题图
4 综合探究
图已知抛物线y＝x2－x－4图象x轴交AB两点(点A位点B左侧)y轴交点C点DAB秒1单位长度速度AB间点A点B运动(点DAB重合)．连接ACBCCD设点D运动时间t(t＞0)．
(1)求直线BC函数表达式抛物线顶点坐标
(2)E抛物线点否存样t值BCDE顶点四边形行四边形？存直接写出t值存请说明理．
第4题图
参考答案
第1课时 二次函数实际应
1 D 解析点B坐标原点时相点A坐标原点基础左移20单位y＝－x2＋x化顶点式y＝－(x－10)2＋9∴移抛物线表达式y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x
题解解图点B坐标原点时设抛物线表达式y＝ax2＋bx点A坐标(－200)点C坐标(－109)AC坐标代入表达式解∴点B坐标原点时抛物线表达式y＝－x2－x
第1题解图
2 C 解析设BC长x mCD＝(12－x)m解图点C作CE⊥AB点E∵∠DCB＝120°
∴∠BCE＝30°∴CE＝CB·cos30°＝xBE＝CB·sin30°＝x∴S四边形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x ∵－<0∴x＝－＝8时面积值：－×82＋6×8＝24(m2)．
第2题解图
3 4 解析∵球飞行高度h飞行时间t满足二次函数关系h＝20 t－5 t2＝－5(t－2)2＋20∴t＝2时球运动高点．∴球飞出落时间4s
4 解：(1)根题意y＝ 100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)
(2)题意：(－2x＋220)(x－40)＝2250
x2－150x＋5525＝0
解x1＝65x2＝85
答：件商品售价定65元85元时利润恰2250元
(3)设利润W元
∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450
∵a＝－2<0
∴抛物线开口．
∵60≤x≤110
∴x＝75时W值W＝2450(元)．
答：售价定75元时获利润利润2450元．
5 解：(1)设y关x函数关系式y＝kx＋b(k≠0)图象知
点(17000)(55000)代入
解
∴y关x函数关系式y＝－500x＋7500
(2)设销售收入W根题意
W＝yp＝(－500x＋7500)·(x＋)
整理W＝－250(x－7)2＋16000
∵－250＜0∴Wx＝7时取值值16000元
时该产品台销售价格－500×7＋7500＝4000元．
答：第7销售周期销售收入时该产品台销售价格4000元．
6 解：(1)①y＝－2x＋200
②40701800
(2)题意知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m称轴直线x＝
∵m＞0
∴称轴x＝＞70
∵抛物线开口称轴左侧yx增增
∴x＝65时ymax＝1400代入表达式解m＝5
7 解：(1)设修建1方米鹅卵石健身道费m元修建1方米休闲区费(m＋20)元根题意
＝解m＝80
检验 m＝80原分式方程解符合实际
m＋20＝80＋20＝100
答：修建1方米休闲区费100元修建1方米鹅卵石健身道费80元
(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)
＝－90x＋1200(0＜x≤10)
②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]
＝－1800x＋216000
∵－1800<0∴wx增减．
∵1≤x≤5∴x＝5时w＝－1800×5＋216000＝207000(元)．
答：x＝5时修建休闲区鹅卵石健身道总价w低低造价207000元．
第2课时 二次函数综合题
1 解：(1)题意C(0－4)．
∵OA＝OC
∴A(40)．
A(40)B(－10)带入y＝ax2＋bx－4
解
∴抛物线表达式y＝x2－3x－4
(2)解图点P作PE⊥x轴交AC点E
第1题解图
∴PE∥y轴．
∵OA＝OC
∴∠PED＝∠OCA＝45°
∴△DEP等腰直角三角形
∴PD＝PE
∴PE取值时PD取值
易直线AC解析式y＝x－4
设P(xx2－3x－4)E(xx－4)
PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4
∵0＜x＜4
∴x＝2时PE取值值4
时PD取值值4×＝2点P坐标(2－6)．
2 解：(1)∵抛物线称轴直线x＝
∴－＝b＝－a
∵抛物线点C(0－3)
∴代入c＝－3
∴抛物线表达式y＝ax2－ax－3
∵抛物线点B(20)
∴代入a＝b＝－
∴抛物线表达式y＝x2－x－3
(2)存．解图点P作PE⊥x轴点E交BC点F
第2题解图
设直线BC表达式y＝mx＋n
B(20)C(0－3)代入y＝mx＋n
解
∴直线BC表达式y＝x－3
设点P坐标(x x2－x－3)点F坐标(xx－3)
∵点P直线BC方抛物线动点
∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x
∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE
＝PF·OB
＝·(－x2＋x)·2
＝－x2＋3x
＝－(x－)2＋
∵－<0
∴x＝时△PBC面积取值值
x＝时y＝x2－x－3＝－3
∴时点P坐标(－3)．
3 解：(1)∵抛物线表达式y＝－x2＋x＋4
令x＝0解y＝4∴C(04)．
令y＝0－x2＋x＋4＝0
解x1＝－1x2＝3
∵点A点B左侧∴A(－10)B(30)．
设直线l表达式y＝kx＋n(k≠0)
B(30)C(04)代入y＝kx＋n
解
∴直线l表达式y＝－x＋4
(2)存m值1时△PCE等腰三角形．
解法提示根题意三种情况：
①CP＝CE时解图①点C作CH⊥PE点HPE＝2PH
第3题解图①
(1)PE＝－m2＋4m
∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m
∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．
解：m＝1m＝0(合题意舍)
②EP＝EC时解图②点C作CH⊥PE点H
第3题解图②
易△EHC∽△COB
∴＝
∵CH＝mBC＝5BO＝3
∴CE＝＝m
(1)PE＝－m2＋4m
∴－m2＋4m＝m
解：m＝m＝0(合题意舍)
③PC＝PE时解图③点P作PG⊥CE点G
第3题解图③
易证△PGE∽△BOC
∴＝＝
∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m
∵PC＝PEPG⊥CECE＝m
∴GE＝CE＝－m2＋m＝m
解m＝m＝0(合题意舍)
综述m值1时△PCE等腰三角形．
4 解：(1)抛物线y＝x2－x－4中
y＝0时x2－x－4＝0
解x1＝－2x2＝8
∴A(－20)B(80)
x＝0时y＝－4
∴C(0－4)
设直线BC表达式y＝ax＋b
∵直线BCB(80)C(0－4)两点
∴解
∴直线BC表达式y＝x－4
∵抛物线y＝x2－x－4＝(x－3)2－
∴抛物线顶点坐标(3－)
(2)存．满足条件t值4－3
解法提示根题意分三种情况讨(解图)：①BC边点E位x轴方时时点E直线y＝4抛物线交点∴x2－x－4＝4解x1＝3＋x2＝3－∴xD1＝3＋－8＝－5xD2＝3－－8＝－－5∴D1(－50)D2(－－50)(点A左侧合题意舍)时D1A＝－3∴t＝－3②BC边点E位x轴方时时点E直线y＝－4抛物线交点∴x2－x－4＝－4解x1＝6x2＝0(点C重合合题意舍)∴xD3＝6＋8＝14∴D3(140)(B点右侧合题意舍)③BC角线时时满足条件点E横坐标然6CE4＝BD4＝6xD4＝8－6＝2∴D4(20)时D4A＝4∴t＝4综t值4－3
第4题解图
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第五节 二次函数综合应
第1课时 二次函数实际应
(建议时间：40分钟)
1 图省古老石拱桥——晋城景德桥晋城市城区通阳城沁水交通道继赵州桥国现存历史悠久古代珍贵桥梁．已知AB长约20米桥拱高点CAB距离9米水方x轴选取点A坐标原点建立直角坐标系抛物线表达式y＝－x2＋x选取点B坐标原点时抛物线表达式( )
第1题图
A y＝x2－x B y＝x2＋x
C y＝－x2 D y＝－x2－x
2 (2019连云港)图利直角墙角修建梯形储料场ABCD中∠C＝120°新建墙BCCD总长12 m该梯形储料场ABCD面积( )
第2题图
A 18 m2
B 18m2
C 24m2
D m2
3 (2019襄阳)(教九P43问题改编)图击球飞行高度h(单位：m)飞行时间t(单位：s)间具关系h＝20t－5t2球飞出落时间________s
第3题图
4 (2019锦州)2019年法国举办女足世界杯奉献场足球盛宴．某商场销售批足球文化衫已知该文化衫进价件40元售价件60元时月销售出100件根市场行情现决定涨价销售调查表明件商品售价涨1元月少销售出2件设件商品售价x元．月销售y件．
(1)求yx间函数关系式
(2)件商品售价定少元时月利润恰2250元
(3)件商品售价定少元时月获利润？月利润少？
5 (2019成)着5G技术发展类5G产品充满期．某公司计划某区销售款5G产品根市场分析该产品销售价格销售周期变化变化设该产品第x(x正整数)销售周期台销售价格y元yx间满足图示次函数关系．
(1)求yx间关系式
(2)设该产品第x销售周期销售数量p(万台)px关系p＝x＋描述．根信息试问：销售周期销售收入？时该产品台销售价格少元？
第5题图
6 (2019武汉)某商店销售种商品市场调查发现该商品周销售量y(件)售价x(元件)次函数售价周销售量周销售利润w(元)三组应值表：
售价x(元件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)
(1)①求y关x函数解析式(求写出变量取值范围)
②该商品进价________元件售价____元件时周销售利润利润______元
(2)某种原该商品进价提高m元件(m>0)物价部门规定该商品售价超65元件该商店销售中周销售量售价然满足(1)中函数关系．周销售利润1400元求m值．
7 迎接第二届全国青年运动会召开山西体育场周边社区积极参社区改造晋阳社区片空进行修建改造已知投资50000元修建休闲区投资40000元修建鹅卵石健身道面积相等修建1方米休闲区修建1方米鹅卵石健身道费高20元．
(1)求修建1方米休闲区修建1方米鹅卵石健身道费少元？
(2)图新入住区需块长60 米宽40米矩形空修建四面积相等休闲区余空修建成横宽x 米宽10米鹅卵石健身道横宽度超宽度工程队晋阳社区相费变．
①含x(米)代数式表示休闲区面积S(方米)注明x取值范围
②综合实际情况现求横宽满足1≤x≤5x少时修建休闲区鹅卵石健身道总价w低低造价少元？
第7题图
第2课时 二次函数综合题
(建议时间：40分钟)
1 (2019贺州改编)综合探究
图面直角坐标系中已知点B坐标(－10)OA＝OC抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)图象ABC三点．
(1)求点C坐标抛物线表达式
(2)点P直线AC方抛物线动点作PD⊥AC点DPD值时求时点P坐标PD值．
第1题图
2 (2019德阳改编)综合探究
图面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交AB两点y轴负半轴交点C已知抛物线称轴直线x＝BC两点坐标分B(20)C(0－3)点P直线BC方抛物线动点(BC两点重合)．
(1)求抛物线表达式
(2)图连接PBPC△PBC问否存着样点P△PBC面积？果存求出面积值时点P坐标果存请说明理．
第2题图
3 综合探究
图抛物线y＝－x2＋x＋4图象x轴交AB两点(点A点B左侧)y轴交点C直线l抛物线交BC两点点P第象限抛物线动点点P作PD⊥x轴垂足点DPDBC交点E设点P横坐标m
(1)求直线l表达式点A坐标
(2)试探究否存点P△PCE等腰三角形？存请直接写出点P横坐标m值存请说明理．
第3题图
4 综合探究
图已知抛物线y＝x2－x－4图象x轴交AB两点(点A位点B左侧)y轴交点C点DAB秒1单位长度速度AB间点A点B运动(点DAB重合)．连接ACBCCD设点D运动时间t(t＞0)．
(1)求直线BC函数表达式抛物线顶点坐标
(2)E抛物线点否存样t值BCDE顶点四边形行四边形？存直接写出t值存请说明理．
第4题图
参考答案
第1课时 二次函数实际应
1 D 解析点B坐标原点时相点A坐标原点基础左移20单位y＝－x2＋x化顶点式y＝－(x－10)2＋9∴移抛物线表达式y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x
题解解图点B坐标原点时设抛物线表达式y＝ax2＋bx点A坐标(－200)点C坐标(－109)AC坐标代入表达式解∴点B坐标原点时抛物线表达式y＝－x2－x
第1题解图
2 C 解析设BC长x mCD＝(12－x)m解图点C作CE⊥AB点E∵∠DCB＝120°
∴∠BCE＝30°∴CE＝CB·cos30°＝xBE＝CB·sin30°＝x∴S四边形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x ∵－<0∴x＝－＝8时面积值：－×82＋6×8＝24(m2)．
第2题解图
3 4 解析∵球飞行高度h飞行时间t满足二次函数关系h＝20 t－5 t2＝－5(t－2)2＋20∴t＝2时球运动高点．∴球飞出落时间4s
4 解：(1)根题意y＝ 100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)
(2)题意：(－2x＋220)(x－40)＝2250
x2－150x＋5525＝0
解x1＝65x2＝85
答：件商品售价定65元85元时利润恰2250元
(3)设利润W元
∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450
∵a＝－2<0
∴抛物线开口．
∵60≤x≤110
∴x＝75时W值W＝2450(元)．
答：售价定75元时获利润利润2450元．
5 解：(1)设y关x函数关系式y＝kx＋b(k≠0)图象知
点(17000)(55000)代入
解
∴y关x函数关系式y＝－500x＋7500
(2)设销售收入W根题意
W＝yp＝(－500x＋7500)·(x＋)
整理W＝－250(x－7)2＋16000
∵－250＜0∴Wx＝7时取值值16000元
时该产品台销售价格－500×7＋7500＝4000元．
答：第7销售周期销售收入时该产品台销售价格4000元．
6 解：(1)①y＝－2x＋200
②40701800
(2)题意知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m称轴直线x＝
∵m＞0
∴称轴x＝＞70
∵抛物线开口称轴左侧yx增增
∴x＝65时ymax＝1400代入表达式解m＝5
7 解：(1)设修建1方米鹅卵石健身道费m元修建1方米休闲区费(m＋20)元根题意
＝解m＝80
检验 m＝80原分式方程解符合实际
m＋20＝80＋20＝100
答：修建1方米休闲区费100元修建1方米鹅卵石健身道费80元
(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)
＝－90x＋1200(0＜x≤10)
②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]
＝－1800x＋216000
∵－1800<0∴wx增减．
∵1≤x≤5∴x＝5时w＝－1800×5＋216000＝207000(元)．
答：x＝5时修建休闲区鹅卵石健身道总价w低低造价207000元．
第2课时 二次函数综合题
1 解：(1)题意C(0－4)．
∵OA＝OC
∴A(40)．
A(40)B(－10)带入y＝ax2＋bx－4
解
∴抛物线表达式y＝x2－3x－4
(2)解图点P作PE⊥x轴交AC点E
第1题解图
∴PE∥y轴．
∵OA＝OC
∴∠PED＝∠OCA＝45°
∴△DEP等腰直角三角形
∴PD＝PE
∴PE取值时PD取值
易直线AC解析式y＝x－4
设P(xx2－3x－4)E(xx－4)
PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4
∵0＜x＜4
∴x＝2时PE取值值4
时PD取值值4×＝2点P坐标(2－6)．
2 解：(1)∵抛物线称轴直线x＝
∴－＝b＝－a
∵抛物线点C(0－3)
∴代入c＝－3
∴抛物线表达式y＝ax2－ax－3
∵抛物线点B(20)
∴代入a＝b＝－
∴抛物线表达式y＝x2－x－3
(2)存．解图点P作PE⊥x轴点E交BC点F
第2题解图
设直线BC表达式y＝mx＋n
B(20)C(0－3)代入y＝mx＋n
解
∴直线BC表达式y＝x－3
设点P坐标(x x2－x－3)点F坐标(xx－3)
∵点P直线BC方抛物线动点
∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x
∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE
＝PF·OB
＝·(－x2＋x)·2
＝－x2＋3x
＝－(x－)2＋
∵－<0
∴x＝时△PBC面积取值值
x＝时y＝x2－x－3＝－3
∴时点P坐标(－3)．
3 解：(1)∵抛物线表达式y＝－x2＋x＋4
令x＝0解y＝4∴C(04)．
令y＝0－x2＋x＋4＝0
解x1＝－1x2＝3
∵点A点B左侧∴A(－10)B(30)．
设直线l表达式y＝kx＋n(k≠0)
B(30)C(04)代入y＝kx＋n
解
∴直线l表达式y＝－x＋4
(2)存m值1时△PCE等腰三角形．
解法提示根题意三种情况：
①CP＝CE时解图①点C作CH⊥PE点HPE＝2PH
第3题解图①
(1)PE＝－m2＋4m
∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m
∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．
解：m＝1m＝0(合题意舍)
②EP＝EC时解图②点C作CH⊥PE点H
第3题解图②
易△EHC∽△COB
∴＝
∵CH＝mBC＝5BO＝3
∴CE＝＝m
(1)PE＝－m2＋4m
∴－m2＋4m＝m
解：m＝m＝0(合题意舍)
③PC＝PE时解图③点P作PG⊥CE点G
第3题解图③
易证△PGE∽△BOC
∴＝＝
∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m
∵PC＝PEPG⊥CECE＝m
∴GE＝CE＝－m2＋m＝m
解m＝m＝0(合题意舍)
综述m值1时△PCE等腰三角形．
4 解：(1)抛物线y＝x2－x－4中
y＝0时x2－x－4＝0
解x1＝－2x2＝8
∴A(－20)B(80)
x＝0时y＝－4
∴C(0－4)
设直线BC表达式y＝ax＋b
∵直线BCB(80)C(0－4)两点
∴解
∴直线BC表达式y＝x－4
∵抛物线y＝x2－x－4＝(x－3)2－
∴抛物线顶点坐标(3－)
(2)存．满足条件t值4－3
解法提示根题意分三种情况讨(解图)：①BC边点E位x轴方时时点E直线y＝4抛物线交点∴x2－x－4＝4解x1＝3＋x2＝3－∴xD1＝3＋－8＝－5xD2＝3－－8＝－－5∴D1(－50)D2(－－50)(点A左侧合题意舍)时D1A＝－3∴t＝－3②BC边点E位x轴方时时点E直线y＝－4抛物线交点∴x2－x－4＝－4解x1＝6x2＝0(点C重合合题意舍)∴xD3＝6＋8＝14∴D3(140)(B点右侧合题意舍)③BC角线时时满足条件点E横坐标然6CE4＝BD4＝6xD4＝8－6＝2∴D4(20)时D4A＝4∴t＝4综t值4－3
第4题解图
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