第二章 §2.6　函数的图像

§26　函数图
考试求　1实际情境中会根需选择恰方法(图法列表法解析法)表示函数2会画简单函数图3会运函数图研究函数性质解决方程解数等式解问题．


1．利描点法作函数图方法步骤

2．利图变换法作函数图
(1)移变换

(2)伸缩变换
①y＝f(x)
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
y＝af(x)．
(3)称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0a≠1)y＝logax(a>0a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
微思考
1．函数f(x)图关直线x＝a称f(x)解析式满足什条件？
提示　f(a＋x)＝f(a－x)f(x)＝f(2a－x)．
2．函数y＝f(x)y＝f(2－x)图什关系？
提示　y＝f(x)y＝f(2－x)图关直线x＝1称．

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)函数y＝f(1－x)图y＝f(－x)图左移1单位长度．(　×　)
(2)x∈(0＋∞)时函数y＝|f(x)|y＝f(|x|)图相．(　×　)
(3)函数y＝f(x)图关y轴称函数y＝f(x)y＝f(－x)图关y轴称．(　×　)
(4)函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)函数y＝f(x)图关直线x＝1称．(　√　)
题组二　教材改编
2．列图函数y＝图(　　)

答案　C
解析　图y＝x2图中x<0部分y＝x－1图中x≥0部分组成．
3．2 h某种药物注射进患者血液中注射期间血液中药物含量呈线性增加停止注射血液中药物含量呈指数衰减反映血液中药物含量Q时间t变化图(　　)


答案　B
解析　题意2 h血液中药物含量Q持续增加停止注射Q呈指数衰减图B适合．
4已知函数f(x)R单调部分图图示等式－2
答案　1
解析　图知等式－2题组三　易错纠
5．函数f(x)图右移1单位长度图函数y＝ex图关y轴称f(x)等(　　)
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1
答案　D
解析　题意f(x)图y＝ex图关y轴称左移1单位长度．
∴y＝ex
y＝e－xy＝e－(x＋1)＝e－x－1
∴f(x)＝e－x－1
6．函数f(x)＝2x＋3图右移3单位长度函数g(x)图函数g(x)＝________
答案　2x－3
解析　g(x)＝2(x－3)＋3＝2x－3


题型 作出函数图

例1　作出列函数图：
(1)y＝2x＋1－1
(2)y＝|lg(x－1)|
(3)y＝x2－|x|－2
解　(1)y＝2x图左移1单位长度y＝2x＋1图图移1单位长度y＝2x＋1－1图图①示．
(2)首先作出y＝lg x图然右移1单位长度y＝lg(x－1)图图x轴方部分翻折x轴方求函数y＝|lg(x－1)|图图②示(实线部分)．
(3)y＝x2－|x|－2＝函数偶函数先描点法作出[0＋∞)图根称性作出(－∞0)图图图③示．

思维升华　图变换法作函数图
(1)熟练掌握种基初等函数图二次函数反例函数指数函数数函数幂函数形y＝x＋函数．
(2)函数图某基初等函数图移翻折称伸缩利图变换作出注意变换序．
踪训练1 作出列函数图：
(1)y＝(2)y＝|x2－4x＋3|
解　(1)y＝＝2＋函数图y＝图右移1单位长度移2单位长度图①示．
(2)先描点法作出函数y＝x2－4x＋3图x轴方图x轴翻折x轴方图变图②实线部分示．


题型二 函数图辨识

例2　(1)(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝[－ππ]图致(　　)


答案　D
解析　∵f(－x)＝＝－＝－f(x)∴f(x)奇函数排A
∵f(π)＝＝>0∴排BC选D
(2)图列函数图(　　)

A．y＝2x－x2－1 B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex D．y＝
答案　C
解析　函数定义域R排D
x<0时y>0A中x＝－1时y＝2－1－1－1＝－<0排A
B中sin x＝0时y＝0∴y＝数零点排B

思维升华　辨识函数图入手点
(1)函数定义域判断图左右位置函数值域判断图位置．
(2)函数奇偶性判断图称性．
(3)函数特征点排合求图．
(4)函数单调性判断图变化趋势．
(5)函数周期性判断图循环复．
踪训练2　(1)(2020·武汉调研)函数f(x)＝致图(　　)


答案　B
解析　易知定义域(－∞0)∪(0＋∞)关原点称．f(－x)＝＝－＝
－f(x)f(x)奇函数图关原点称排Af(1)＝3－＝>0排Dx→＋∞时3x→＋∞f(x)→＋∞排C选项B符合．
(2)已知定义区间[02]函数y＝f(x)图图示y＝－f(2－x)图(　　)


答案　B
解析　y＝f(x)
y＝f(－x)
y＝f(2－x)
y＝－f(2－x)．

题型三 函数图应

命题点1　研究函数性质
例3　已知函数f(x)＝x|x|－2x列结正确(　　)
A．f(x)偶函数递增区间(0＋∞)
B．f(x)偶函数递减区间(－∞1)
C．f(x)奇函数递减区间(－11)
D．f(x)奇函数递增区间(－∞0)
答案　C
解析　函数f(x)＝x|x|－2x
掉绝值
f(x)＝
画出函数f(x)图图示观察图知函数f(x)图关原点称函数f(x)奇函数(－11)减少．

命题点2　确定零点数解等式
例4　(1)设奇函数f(x)(0＋∞)增函数f(1)＝0等式<0解集(　　)
A．(－10)∪(1＋∞)
B．(－∞－1)∪(01)
C．(－∞－1)∪(1＋∞)
D．(－10)∪(01)
答案　D
解析　f(x)奇函数
等式<0化<0
xf(x)<0f(x)致图图示

原等式解集(－10)∪(01)．
(2)已知f(x)＝函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1零点数________．
答案　5
解析　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0解f(x)＝1
作出y＝f(x)图图知零点数5

命题点3　求参数取值范围
例5　(2021·唐山模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋1g(x)＝kx方程f(x)＝g(x)两相等实根实数k取值范围__________．
答案　
解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1图图示直线g(x)＝kx直线AB行时斜率1直线g(x)＝kxA点时斜率f(x)＝g(x)两相等实根时k取值范围

f(x)>g(x)恒成立实数k取值范围________．
答案　
解析　图作出函数f(x)图

－1≤k<时
函数g(x)＝kx图恒函数f(x)图方．
思维升华　(1)利函数图研究函数性质
已知易画出定区间图函数性质(单调性奇偶性周期性值(值域)零点)常助图研究定注意性质图特征应关系．
(2)利函数图解决某方程等式求解问题方程f(x)＝g(x)根函数f(x)g(x)图交点横坐标等式f(x)踪训练3　(1)函数f(x)＝ax－x－a(a>0a≠1)两零点实数a取值范围________．
答案　(1＋∞)
解析　函数f(x)零点数函数y＝ax(a>0a≠1)函数y＝x＋a图交点数图a>1时两函数图两交点01

(2)已知函数y＝f(x)图圆x2＋y2＝2两段弧图示等式f(x)>f(－x)－2x解集________．

答案　(－10)∪(1]
解析　图知函数f(x)奇函数原等式等价转化f(x)>－x
面直角坐标系中分画出y＝f(x)y＝－x图
图知等式解集(－10)∪(1]．


课时精练

1．函数y＝－ex图(　　)
A．y＝ex图关y轴称
B．y＝ex图关坐标原点称
C．y＝e－x图关y轴称
D．y＝e－x图关坐标原点称
答案　D
解析　点(xy)关原点称点(－x－y)知D正确．
2．函数f(x)＝(2x＋2－x)ln|x|图致(　　)


答案　B
解析　∵f(x)定义域{x|x≠0}f(－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f(x)∴f(x)偶函数关y轴称排Dx∈(01)时2x＋2－x>0ln|x|<0知f(x)<0排AC
3．函数y＝lg 图需函数y＝lg x图点(　　)
A．左移3单位长度移1单位长度
B．右移3单位长度移1单位长度
C．左移3单位长度移1单位长度
D．右移3单位长度移1单位长度
答案　C
解析　∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1
∴y＝lg x
y＝lg(x＋3)
y＝lg(x＋3)－1
4．列函数中图函数f(x)＝ln x图关直线x＝1称(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案　B
解析　方法　设求函数图点坐标(xy)关直线x＝1称点坐标(2－xy)称性知点(2－xy)函数f(x)＝ln x图y＝ln(2－x)．
方法二　题意知称轴点(10)函数y＝ln x图求函数图代入选项中函数解析式逐检验排ACD
5．(2021·成诊断)已知函数f(x)定义R奇函数x>0时f(x)＝1－2－x等式f(x)<－解集(　　)
A．(－∞－1) B．(－∞－1]
C．(1＋∞) D．[1＋∞)
答案　A
解析　x>0时f(x)＝1－2－x>0f(x)定义R奇函数f(x)<－解集f(x)>解集关原点称1－2－x>2－x<＝2－1x>1f(x)<－解集(－∞－1)．选A
6．函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)列四结：
①f(x＋2)偶函数
②f(x＋2)奇函数
③f(x)区间(－∞2)减少区间(2＋∞)增加
④f(x)没值．
中正确(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　A
解析　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)偶函数①正确②错误．作出f(x)图图示知f(x)
(－∞2)减少(2＋∞)增加图知函数存值0③正确④错误．

7．已知函数y＝f(－x)图点(42)函数y＝f(x)图定点________．
答案　(－42)
解析　y＝f(－x)y＝f(x)图关y轴称
y＝f(x)图定点(－42)．
8．函数f(x)＝图关点(11)称实数a＝________
答案　1
解析　f(x)＝＝a＋
关点(1a)称a＝1
9．(2020·福州质检)设函数y＝f(x)图y＝x＋a图关直线y＝x称f(3)＋f ＝4实数a＝________
答案　－2
解析　设(xy)y＝f(x)图意点(yx)函数y＝x＋a图．
x＝y＋ay＝ x－a
f(x)＝x－a
f(3)＋f ＝4－1＋1－2a＝4a＝－2
10．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m零点两实数m取值范围________．
答案　{－1}∪(0＋∞)
解析　面直角坐标系作出函数y＝x2－2|x|图直线y＝m知m>0m＝－1时直线y＝m函数y＝x2－2|x|图两交点函数f(x)＝x2－2|x|－m两零点．

11．已知函数f(x)＝试讨方程f(x)－a＝0根数情况．
解　作出f(x)图图．

方程f(x)－a＝0根数
函数y＝f(x)y＝a交点数
图知
a>4时方程实数根
a＝4a≤0时方程1实数根
1012．已知函数f(x)＝2xx∈R
(1)m取值时方程|f(x)－2|＝m解？两解？
(2)等式f2(x)＋f(x)－m>0R恒成立求m取值范围．
解　 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|G(x)＝m画出F(x)图图示．

图知m＝0m≥2时函数F(x)G(x)图交点原方程解0(2)令f(x)＝t(t>0)H(t)＝t2＋t
H(t)＝2－区间(0＋∞)增函数
H(t)>H(0)＝0
t2＋t>m区间(0＋∞)恒成立应m≤0
求m取值范围(－∞0]．

13图圆两坐标轴分切AB两点圆动点PA开始圆周逆时针方匀速旋转回A点△OBP面积时间变化图相符合(　　)


答案　A
解析　△OBP中OB＝r定值∴△OBP面积点Px轴距离h确定．PA点逆时针旋转A时点Px轴距离先减0逐渐增2r然2r逐渐减r选A
14．(2020·济南模拟)直角坐标系AB两点满足：(1)点ABf(x)图(2)点AB关原点称称点(AB)函数f(x)谐点(AB)(BA)作谐点．已知函数f(x)＝f(x)谐点(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　作出函数y＝x2＋2x(x<0)图关原点称图(图中虚线部分)函数y＝(x≥0)图交点数观察图交点数2f(x)谐点2．


15．(2020·太原调研)已知函数g(x)＝－|x－1|h(x)＝cos πxx∈(－24)时函数g(x)h(x)交点横坐标分记xi(i＝12…n)i等(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　C
解析　易知g(x)＝－|x－1|图关直线x＝1称h(x)＝cos πx图关直线x＝1称．作出两函数图图示．

根图知两函数7交点中点横坐标x＝1外6交点关直线x＝1称i＝3×2＋1＝7
16图函数y＝f(x)图曲线段OA直线段AB构成．

(1)写出函数y＝f(x)解析式
(2)提出满足函数y＝f(x)图变化规律实际问题．
解　(1)0≤x≤2时曲线段OA类似指数函数y＝2xO(00)A(23)知f(x)＝2x－1
2解
时y＝－x＋5
f(x)＝
(2)答案唯合理．
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