高考数学-基本不等式专题

公众号arctan2016
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基等式专题辅导
知识点总结
1基等式原始形式
（1） Rba  abba 222 
（2） Rba 
2
22 baab 
2基等式般形式（均值等式）
* Rba  abba 2
3基等式两重变形
（1） * Rba  abba 
2
（2） * Rba 
2
2 



  baab
总结：两正数积定植时值
两正数定植时积值
特说明：等式中仅 ba  时取
4求值条件：正二定三相等
5常结
（1） 0x  1 2x x
  (仅 1x  时取）
（2） 0x  1 2x x
   (仅 1x   时取）
（3） 0ab 2
a
b
b
a (仅 ba  时取）
（4） Rba 
2)2(
22
2 babaab 
（5） * Rba 
2211
1 22 babaab
ba


特说明：等式中仅 ba  时取
6柯西等式
（1） a b c d R 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd   
（2） 1 2 3 1 2 3 a a a b b b R ：
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( )a a a b b b a b a b a b      
（3）设 1 2 1 2 n na a a b b b 两组实数
2 2 2
1 2( na a a  ) 2 2 2
1 2 )nb b b ( 2
1 1 2 2( )n na b a b a b  
二题型分析
题型：利基等式证明等式
1设 ba 均正数证明等式 ab ≥
ba
11
2

2 已 知 cba 两 两 相 等 实 数 求 证 ：
cabcabcba  222
3已知 1a b c   求证： 2 2 2 1
3a b c  
4已 知 a b c R 1a b c   求 证 ：
abccba 8)1)(1)(1( 
5已 知 a b c R 1a b c   求 证 ：
1 1 11 1 1 8a b c
            公众号arctan2016
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6（2013 年新课标Ⅱ卷数学（理）选修 4—5：等式选讲
设 a b c 均正数 1a b c   证明
(Ⅰ) 1
3ab bc ca   (Ⅱ)
2 2 2
1a b c
b c a
  
7（2013 年江苏卷（数学）选修 4—5：等式选 讲
已知 0 ba 求证 baabba 2233 22 
题型二：利等式求函数值域
1求列函数值域
（1） 2
2
2
13 xxy  （2） )4( xxy 
（3） )0(1  xxxy （4） )0(1  xxxy
题型三：利等式求值 （）（凑项）
1已知 2x 求函数
42
442 
xxy 值
变式 1：已知 2x 求函数
42
42 
xxy 值
变式 2：已知 2x 求函数
42
42 
xxy 值公众号arctan2016
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练：1已知 5
4x  求函数 14 2 4 5y x x
   
值
2已知 5
4x  求函数 14 2 4 5y x x
   
值
题型四：利等式求值 （二）（凑系数）
1 时求 (8 2 )y x x  值
变式 1： 时求 4 (8 2 )y x x  值
变式 2：设
2
30  x 求函数 )23(4 xxy  值
2 0 2 x 求 y x x ( )6 3 值
变式： 40  x 求 )28( xxy  值
3求函数 )2
5
2
1(2512  xxxy 值
（提示：方利基等式）
变式：求函数 )4
11
4
3(41134  xxxy 值公众号arctan2016
4
题型五：巧1代换求值问题
1已知 120  baba 求 t a b
 1 1 值
法：
法二：
变式 1：已知 220  baba 求 t a b
 1 1 值
变式 2：已知 2 8 0 1x y x y
   求 xy 值
变式 3：已知 0 yx 1 1 9x y
  求 x y 值
变式 4：已知 0 yx 1 9 4x y
  求 x y 值
变式 5：
（1） 0 yx 12  yx 求 1 1
x y
 值
（2）  Ryxba 1
y
b
x
a 求 yx  值
变式 6：已知正项等数列 na 满足： 567 2aaa 
存两项 nm aa 14aaa nm  求
nm
41  值公众号arctan2016
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题型六：分离换元法求值（解）
1求函数 )1(1
1072

 xx
xxy 值域
变式：求函数 )1(1
82

 xx
xy 值域
2求函数
52
2


x
xy 值（提示：换元法）
变式：求函数
94
1


x
xy 值
题型七：基等式综合应
1已知 1loglog 22  ba 求 ba 93  值
2已知 0 ba 求 abba 211  值
变 式 1 ： 果 0 ba 求 关 ba 表 达 式
)(
112
baaaba  值
变式 2：已知 10  aa 时函数 1)1(log  xy a
图恒定点 A 点 A 直线 0 nymx 求
nm 24  值公众号arctan2016
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3已知 0 yx 822  xyyx 求 yx 2 值
变式 1：已知 0 ba 满足 3 baab 求 ab 范围
变式 2：（2010 山东）已知 0 yx
3
1
2
1
2
1  yx

求 xy 值（提示：通分三角换元）
变式 3：已知 0 yx 122  xyyx 求 xy 值
4设正实数 zyx 满足 043 22  zyxyx
z
xy
取值时
zyx
212  值（ ） （ ）
A． 0 B．1 C．
4
9 D．3
（提示：代入换元利基等式函数求值）
变式：设 zyx 正数满足 032  zyx 求
xz
y2

值公众号arctan2016
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题型八：利基等式求参数范围
1已知 0 yx 9)1)(( 
y
a
xyx 恒成立求正实
数 a 值
2已知 0 zyx
zx
n
zyyx 
11 恒成立
果  Nn 求 n 值（参考：4）
（提示：分离参数换元法）
变式：已知 0 ba 满 241 
ba
cba  恒成立
求 c 取值范围
题型九：利柯西等式求值
1二维柯西等式
)( 时等号成立仅 bcadd
b
c
aRdcba 
a b c d R 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd   
2二维形式柯西等式变式
bdacdcba  2222)1(
)( 时等号成立仅 bcadd
b
c
aRdcba 
bdacdcba  2222)2(
)( 时等号成立仅 bcadd
b
c
aRdcba 
2)())()(3( bdacdcba 
)0( 时等号成立仅 bcadd
b
c
adcba 
3二维形式柯西等式量形式
 
)0( 等号成立时存实数仅

  kak
4三维柯西等式
1 2 3 1 2 3 a a a b b b R ：
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( )a a a b b b a b a b a b      
)(
3
3
2
2
1
1 时等号成立仅
b
a
b
a
b
aRba ii 
5般 n 维柯西等式
设 1 2 1 2 n na a a b b b 两组实数
2 2 2
1 2( na a a  ) 2 2 2
1 2 )nb b b ( 2
1 1 2 2( )n na b a b a b  
)(
2
2
1
1 时等号成立仅
n
n
ii b
a
b
a
b
aRba 公众号arctan2016
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题型分析
题型：利柯西等式般形式求值
1设 x y z R 2 2 2 4x y z   zyx 22 
值 时 )( zyx
析： ]2)2(1)[()22( 2222222  zyxzyx
3694 
∴ zyx 22  值 6
时
3
2
2)2(1
6
221 222

 zyx
∴
3
2x
3
4y
3
4z
2设 x y z R 2 2 6x y z   求 2 2 2x y z 
值 m 求时 x y z 值
Ans ： )3
43
23
4()(4  zyxm
3设 x y z R 332  zyx 求 222 )1( zyx 
值 时 y
（析： 0)1(32332  zyxzyx ）
4已知 2 3 6a b c a b c   
2 2 24 9a b c  值 ( 12Ans )
5 设 x y z R 满
足 2 2 2 1x y z   2 3 14x y z   求 zyx 
值
6求  coscossincos3sin2  值
值（ Ans ：值 22 值  22 ）
析：令

a  (2sin 3 cos cos)

b  (1sincos)

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