高考数学-数列中一类元素交并问题

数列中类元素交问题
数列中类元素交问题实际考查思想方法公倍数余数分析法二项式定理应
类型 两等差数列取交集数列问题
典例 1 数列{ }na 通项公式 2 3
2n
na   数列{b }n 通项公式 nb 53 4n   ．
设集合 *{ | 2 }nA x x a n N   *{ | 4 }nB y y b n N   ．等差数列{ }nc 项 1nc A B c 
A B 中数 10265 125c    求{ }nc 通项公式．
答案 7 24nc n 
解析意 *n N 2 2 34 12 5 2(6 1) 3n na n b n n          ∴ B A ∴ A B B
∵ 1c A B 中数∴ 1c 17  设等差数列{ }nc 公差 d
∴ 265 17 9 125d      527 129 d    4 nb 12 公差等差数列
∴ *12 ( )d k k N   ∴ 24d   ∴ 7 24nc n  ．
类型二 等差数列二次型数列取交集数列问题
典例 2 已知数列{ na }通项公式 7 2na n  数列{ nb }通项公式 2
nb n ．数列{ na }{ nb }
中相项序排列作数列{ nc }数列 nc 通项公式____．
答案










 




 

偶数
奇数
nn
nn
Cn 2
2
2
67
2
17
解析解：设 227 mn  考察 m 模 7 余数问题
kkkkkkkm 7172737475767  时验证： 3747  kkm 时存满足条件 n 存
{ nc }中项目次： 3125241817111043 bbbbbbbbb
求数列{ nc }通项公式：










 




 

偶数
奇数
nn
nn
Cn 2
2
2
67
2
17
类型三 等差数列指数型数列取交集数列问题
典例 3 已知数列{ }na { }nb 通项公式分 3 19na n  2n
nb  { }na { }nb 中公项
序排列构成新数列记{ }nc
（1）试写出 1c 2c 3c 4c 值纳数列{ }nc 通项公式
（2）证明（1）猜想结
答案（1） 2 12 n
nc  （2）见解析
解析解：（1） 1
1 1 7 2c b a   3
2 3 9 2c b a   5
3 5 17 2c b a   7
4 7 48 2c b a  
纳： 2 12 n
nc 
（2） n ma b 2 19 2 1 63 3
m m
n    
 (3 1) 16 3
m
n    二项式定理

0 1 1 1 2 2 2 1 1 13 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) ( 1) 16 3
m m m m m m m
m m m m mC C C C Cn
              
 m 奇数时 n 整数解  2 1
2 1 2 n
n nc b 
 
模拟：
1 设数列{an}通项公式 12  nan 数列{bn}通项公式 bn＝3n－2．集合 A
＝{x∣x＝ann∈N*}B＝{x∣x＝bnn∈N*}．集合 A∪B 中元素次排列构成数列 c1c2c3 …{cn}通项公式___________
答案












knn
knn
knn
cn
42
23
242
3
122
13
解析解： 561)23(223  kka k 361)13(213  kka k
161323  kka k 2312 562)12(3   kk akkb
Akkb k  262232
kkkkk ababa 32131223   321k
)(34  Nkkn 时 56  kcn 24  kn )(  Nk
36  kcn )(14  Nkkn 时 26  kcn
)(4  Nkkn 时 16  kcn
 nc 通项公式











knk
knk
knk
knk
cn
416
1426
2436
3456
：












knn
knn
knn
cn
42
23
242
3
122
13
2 已知项均正数等差数列{ }na 公差 d 等 0设 1 3 ka a a 公 q 等数列{ }nb 前三项
（1） k7 1 2a 
（i）求数列{ }n na b 前 n 项 Tn
（ii）数列{ }na { }nb 相项掉剩项次构成新数列{ }nc 设前 n 项 Sn求
2 1 1 *
2 1 2 3 2 ( 2 )n
n n
nS n n N 
       值
（2）存 m>k *m N 1 3 k ma a a a 成等数列求证 k 奇数答案(1) （i） 12n
nT n   （ii）1（2）见解析
解析
(1) 7k  1 3 7 a a a 成等数列 na 公差 0d  等差数列
   2
1 1 12 6a d a a d   整理 1 2a d 1 2a  1d 
1 1 2b a  32 1
1 1 1
2 2ab a dq b a a
      1
1 11 1 2n n
n na a n d n b b q        
①错位相减法方法求 n na b 前 n 项 12n
nT n  
1 新数列{ }nc 前 2 1n n  项数列  na 前 2 1n  项减数列  nb 前 n 项
1
2 1
(2 1)(2 2 ) 2(2 1) (2 1)(2 1)2 2 1n
n n n
n n
nS 
 
      
2 1 1 *
2 1 2 3 2 ( 2 )n
n n
nS n n N 
       1．
(2) dkaada ))1(()2( 11
2
1  整理 )5(4 1
2  kdad
0d
4
)5(1  kad 3 1
1 1
2 3
2
a a d kq a a
   
存 m＞km∈N* 1 3 k ma a a a 成等数列
3
1
3
1 2
3



  kaqaam
正项等差数列{an}中
4
)5)(1()1( 1
11
 kmaadmaam

3
1
1
1 2
3
4
)5)(1( 



  kakmaa 01 a   32 4 ( 1)( 5) ( 3)m k k    
 2 4 ( 1)( 5)m k   偶数 3( 3)k  偶数 3k 偶数 k 奇数
3 设 1 2 na a a 项均零等差数列 ( 4)n  公差 0d  数列删某项数
列（原序）等数列
① 4n  时求 1a
d
数值②求 n 值
（2）求证：定正整数 ( 4)n  存项公差零等差数列 1 2 nb b b 中
意三项（原序）组成等数列答案(1) ① 1 4a
d
 1 1a
d
 ② 4n  （2）见解析
解析题考查等差数列等数列综合应
（1）① n4 时 1 2 3 4 a a a a 中删首项末项否等差数列中连续三项成等数列推出
d0
删 2a 2
3 1 4a a a  2
1 1 1( 2 ) ( 3 )a d a a d    化简 1 4 0a d  1 4a
d

删 3a 2
2 1 4a a a  2
1 1 1( ) ( 3 )a d a a d    化简 1 0a d  1 1a
d

综 1 4a
d
 1 1a
d

② n5 时 1 2 3 4 5 a a a a a 中样删 1 2 4 5 a a a a 否出现连续三项
删 3a 1 5 2 4a a a a   1 1 1 1( 4 ) ( ) ( 3 )a a d a d a d     化简 23 0d  0d 3a
删
n≥6 时存样等差数列事实数列 1 2 3 2 1 n n na a a a a a  中删首项末
项删 2a 必 1 3 2n na a a a    0d 矛盾样删 1na  1 3 2n na a a a    0d
矛盾删 3 2 na a  中意必 1 2 1n na a a a    0d 矛盾(者说： n≥6 时删
项剩余项中必连续三项)综述 4n 
（2）假设某正整数 n存公差 d n 项等差数列 nbbb 21 中 1 1 1 x y zb b b  
（ 0 1x y z n     ）意三项成等数列 2
1 1 1y x zb b b    2
1 1 1( ) ( ) ( )b yd b xd b zd    
化简 2 2
1( ) ( 2 )y xz d x z y b d    （*）
1 0b d  知 2y xz 2x z y  时 0 时 0
2y xz 2x z y  时 0 时 x y z  题设矛盾
2y xz 2x z y  时 0（*）
2
1
2
b y xz
d x z y
  
0 1x y z n     xyz 整数式右边理数 1b
d
理数
意正整数 )4( nn 1b
d
理数相应数列满足题意求数列
例 n 项数列 11 2 1 2 2 ……1 ( 1) 2n  满足求
4数列{ }na 中 1 1a  意 k N  2 1 2 2 1 k k ka a a  成等数列公kq 2 2 1 2 2 k k ka a a  成等差数列公差 kd 设 1
1k
k
b q
 
（1） 1 2d  求 2a 值
（2）求证：数列 kb 等差数列
（3） 1 2q  设
1
n
n
n
bc b 
 否存 m k  2 k m k m  *N≥ 1c mc kc 成等数列．存
求出符合条件 m k 值存请说明理．
答案(1) 2 2a  2 1a   （2）见解析（3） 2m  8k 
解析解：（1）∵ 1 2d  ∴ 3 2 2a a  2
2 31a a 
解 2 2a  2 1a  
（2）∵ 2 2 1 2 2 k k ka a a  成等差数列 ∴ 2 1 2 2 22 k k ka a a  
2 1
2 2 2 2 1 1k
k k k k
k
aa a a qq

     1
1 2k
k
qq   1
11 k
k
k
qq q
 

1
1 1 11 1 1
k
k k k
q
q q q
    

1
1 1 11 1k kq q
  
1 1k kb b  
数列 kb 公差 1 等差数列
（3） 1 2q  1
1
1 11b q
 
1 ( 1) 1nb n n    
∴
1 1
n
n
n
b nc b n
   1
1 2 1 1m k
m kc c cm k
   
．
假设存 m k  2 k m k m  *N≥ 1c mc kc 成等数列
2
1m kc c c
2 1
1 2 1
m k
m k
      
．
整理
2
2
2
2 1
mk m m
   
．
0k  2 2 1 0m m    ．
解1 2 1 2m    ．
2m m *N≥ 2m  时 8k  ．
存 2m  8k  1c mc kc 成等数列．
5 数列{ }na 中 1 1a  意 *k N 12212  kkk aaa 成等数列公 kq （1） )(2 *Nkqk  求 1 3 5 2 1 ka a a a    
（2）意 *k N ka2 12 ka 22 ka 成等差数列公差 kd 设 1
1k
k
b q
 
① 求证： kb 成等差数列指出公差
② 21 d 试求数列{ }kd 前 k 项 kD
答案(1) 1 (4 1)3
k  （2）①见解析② ( 3)
2k
k kD  22kD k
解析解：(1) 2kq  2 1
2 1
4k
k
a
a


 1 3 5 2 1 ka a a a  首项 1公 4 等数列
1 3 5 2 1
1 4 1 (4 1)1 4 3
k
k
ka a a a 
     
(2) ① 2 2 1 2 2 k k ka a a  成等差数列 2 1 2 2 22 k k ka a a  
2 1
2 2 2 2 1 1k
k k k k
k
aa a a qq

     1
1 2k
k
qq   1
11 k
k
k
qq q
 

1
1 1 11 1 1
k
k k k
q
q q q
    
1
1 1 11 1k kq q
   1 1k kb b  
 kb 等差数列公差 1
② 1 2d  3 2 2a a  2
2 3 21 2a a a    解 2 2a  2 1a  
(ⅰ) 2 2a  时 1 2q  1 1b  1 ( 1) 1kb k k     1
1k
kq

1
k
kq k

2
2 1
2
2 1
( 1)k
k
a k
a k



2 1 2 1 3
2 1 1
2 1 2 3 1
k k
k
k k
a a aa aa a a
 

 
   
2 2 2
2
2 2 2
( 1) 2 1 ( 1)( 1) 1
k k kk k
     

2
2 1
2
( 1) ( 1)1
k
k
k
a ka k kkq
k
     2 1 2 1k k kd a a k    ( 3)
2k
k kD (ⅱ) 2 1a   时 1 1q   1
1
2b   1 3( 1) 12 2kb k k       1 3
1 2k
kq
 

1
2
3
2
k
k
q
k




2 1 2 1 3
2 1 1
2 1 2 3 1
k k
k
k k
a a aa aa a a
 

 
   
2 2 2
2
2 2 2
1 3 1( ) ( ) ( ) 12 2 2 1 4( )3 5 1 2( ) ( ) ( )2 2 2
k k
k
k k
 
     
  

2 1
2 (2 1)(2 3)k
k
k
aa k kq
    2 1 2 4 2k k kd a a k    22kD k
综述 ( 3)
2k
k kD  22kD k
6 数列 na 项均正数意 *n N 存 *k N 2
2n k n n ka a a   成立称数列 na
kJ 型数列
（1）数列 na 2J 型数列 2 88 1a a  求 2na
（2）数列 na 3J 型数列 4J 型数列证明：数列 na 等数列
答案(1)   4
1
2 2
1
2
n
n
na a q

  （2）见解析
解析解：（1）题意 2a 4a 6a 8a …成等数列公  1
38
2
1
2
aq a    4
1
2 2
1
2
n
n
na a q

  ．
（2）证明：{ na } 4J 型数列
1a 5a 9a 13a 17a 21a …成等数列设公t
{ na } 3J 型数列
1a 4a 7a 10a 13a …成等数列设公 1
2a 5a 8a 11a 14a …成等数列设公 2
3a 6a 9a 12a 15a …成等数列设公 3
4 313
1
1
a ta   4 317
2
5
a ta   4 321
3
9
a ta   ．
1 2 3    妨记 1 2 3     
4
3t  ．
 (3 2) 11 3
3 2 1 1
kk
ka a a 
 
    2 (3 1) 12 2 33
3 1 5 1 1 1
kkk k
ka a a t a a   
  
    
 1 3 13 2 3 33
3 9 1 1 1
kkk k
ka a a t a a   
    
  13
1
n
na a 

 { na }等数列．
7 设 M 部分正整数组成集合数列 }{ na 首项 11 a 前 n 项 nS 已知意整数 k M
n k 时 )(2 knknkn SSSS   成立．
（1）设 {1}M  22 a 求 5a 值
（2）设 {34}M  求数列 }{ na 通项公式
答案(1)8 （2） 2 1na n 
解析解：（1）题设 1 1 12 2( )n n nn S S S S    时 1 1 1( ) ( ) 2n n n nS S S S S    
1 1 2 22 2 2 2 2( 2) 2 2n n na a a a n a a n n           时 5a 值 8
（2）题设知 {34} 2 2n k n k n kk M n k S S S       时S
1 1 12 2n k n k n kS S S S       两式相减
1 1 1 1 1 1 12 n k n k n n k n k n n ka a a a a a a               
6 3 3 68 n n n n nn a a a a a    时 成等差数列 6 2 2 6 n n n na a a a    成等差数列
8n  时 3 3 6 62 n n n n na a a a a       （*）
6 6 2 2 2 2 8 2n n n n n n na a a a n a a a           时
2 2 3 1 1 3 9 n n n n n n n na a a a n a a a a         时 成等差数列
3 3 1 1n n n na a a a     
（*）式知 1 1 1 12 n n n n n n na a a a a a a       
9n  时设 1n nd a a  
2 8 6 8m m   时 （*）式知 6 122 m m ma a a  
7 1 132 m m ma a a   
7 6 1 13 122( ) ( )m m m m m ma a a a a a         1 2 m ma a d d d     1n na a d   意 2n  成立 2 2 ( {34})n k n k k kS S S S k     知
3 4( ) ( ) 2 9 2 16 2n k n n n k kS S S S S d S d S      
解 4 2 1
7 3 2 2 2
da d a d a  
数列{ }na 等差数列 1 1 2a d 知
数列{ }na 通项公式 2 1na n 

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