2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学（文）试题（pdf版，含解析）

2 019—2020学年高中毕业班第次综合质量检查
文 科 数 学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
出题意图
总体指导思想第次综合质量检测考查基础知识基础力考通性
通法设置题目兼顾二类校学生情况容易较容易题例
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分
2．答题前考生务必姓名准考证号填写答题卡
3．全部答案答答题卡答试卷效
4．考试结束试卷答题卡交回
第Ⅰ卷
选择题：题 12 题题 5 分题出四选项中
项符合题目求
1 已知集合    1 2 A x x B x x     RB A  ð
A  12  xx B 12  xx C 12  xx D 12  xx
解析  1R A x x ð  2 1RB A x x    ð 选 B
考查意图题集合载体考查补集交集等知识考查运算求解力考查数学运
算核心素养
2 复数 i
i
+
a
1
z 纯虚数实数 a 值
A． 2 B．1 C． 1 D． 2
解析 i+ii1 2
1
2
1
2
1 aaa
+
a z ））（（
i
i 已知 01 a
01 ≠+a 解 1a 选 B
考查意图题复数载体考查复数概念复数法运算等知识考查运算求解
力考查数学运算核心素养
3 已知 1
ln 2a  1ln 2b 
1
2ec

 (中 e 然数底数)
A． c a b  B． a c b  C． b c a  D． c b a 
解析 1 1ln2a   1ln 02b  
1
20 e 1c

   ： b c a  选 B
考查意图题数指数载体考查数指数运算较等知识考查
运算求解力考查数学运算核心素养4 已知面量 a b 满足 ( 31)a  | | 4b  ( 2 )a b a   a b 
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
解析 2 21 ( 3) 2a    ( 2 )a b a   ： 2( 2 ) 2 2 2 0a b a a a b a b              
1a b  2 2 22 2 2 4 4a b a a b b             选 C．
考查意图题面量载体考查面量坐标运算模数量积运算等知识
考查运算求解力考查数学运算核心素养
5．盒子中装 4 形状完全相球中 1 白球2 红球1 黄球
中机取出 1 球记颜色放回盒子均匀搅拌机取出 1 球两次取
出球颜色概率
A． 5
8
B． 1
8
C． 5
6
D． 1
6
解析基事件 16 两次取出球颜色相事件 6 两次取出球
颜色相概率 6 3
16 8
 两次取出球颜色概率 3 51 8 8
  选 A
考查意图题古典概型载体考查列举法求基事件总数立事件概率等知
识考查运算求解力逻辑推理力考查直观想象逻辑推理数学运算核心素养
6 已知椭圆 )0(1 >>2
2
2
2
bab
y+a
x：E 点 P （ 2
3
2
2 ）椭圆 E 离心率 2
2
椭圆 E 焦距
A．1 B． 2 C． 2 D 22
解析已知
a
c 2
2 14
3
2
1
22 + ba
222 c+ba 联立解 12 ca
b 1焦距 2选 B
考查意图题椭圆载体考查椭圆性质等知识考查运算求解力逻辑
推理力考查化转化思想数形结合思想函数方程思想考查直观想象逻辑推
理数学运算核心素养
7 已知函数 ( ) 3sin 2 cos2f x x x  函数 ( )f x 图象 x 轴左移 π
6
单位
函数 ( )g x 图象．列关函数 ( )g x 说法正确
A 2
  
  
减函数 B 区间 26 3
  
  
值域 11
C 函数 ( )g x 奇函数 D 图象关直线 π
2x  称解析 ( ) 2sin(2 )6f x x   ( ) 2sin 2( ) 2sin 2 2cos26 6 2g x x x x               

( )g x 偶函数 2
  
  
单调 区间 26 3
  
  
值域 21 图关直线
2x  称 选 D
考查意图题三角函数载体考查三角函数图象变换性质等知识考查运算求解
力逻辑推理力考查化转化思想数形结合思想考查直观想象逻辑推理数
学运算核心素养
8 宋元时期数学名著算学启蒙中关松竹生问题：
松长六尺竹长两尺松日半竹日倍日竹逾松长？
右图解决问题程序框图中 a 松长 b 竹长
输出 n 
A 5 B3 C 4 D 2
解析n1 时a9b4 n2 时a135b8 n3 时a2025b16
n4 时a30375b32时输出 n4选 C
考查意图利程序框图序结构循环结构 结合实际问题
已知条件求出输出 n 值考查程序框图三种基逻辑结构应
考查学生文化素养计算力
9 函数 2xx
xxxf +cos
sin)(  π π 图致
A． B． C． D．
解析 )(xf 奇函数排 BC ≤≤ x0 时 0≥)(xf 排 D选 A
考查意图题函数致图载体考查函数奇偶性判断图称性
函数取值判断图变化趋势等知识考查运算求解力推理证力考查数形结合
思想考查逻辑推理直观想象核心素养
10 出列四命题：
① *
0x N  0sin 12
x  ② 0a  2 1 0ax ax   恒成立充分条件
③函数 ln( ) xf x x
 点 1(e )e
处存切线④函数 2( ) 9lnf x x x  存零点．
中正确命题数
A．1 B．2 C．3 D 4解析① 0 1x  sin 12
  正确② 2 1 0ax ax   恒成立需 0a  2
0
4 0
a
a a

  
解
： 4 0a   错误③函数 ln( ) xf x x
 点 1(e )e
处切线方程 1
ey  错误
④函数 2( ) 9lnf x x x  (1) 1 0f    (3) 9ln3 9 0f   
(1) (3) 0f f  ( )f x  13 存零点正确选 B．
考查意图题充分条件简易逻辑函数导数应等知识载体考查等式
恒成立函数导数意义函数零点判断等知识考查运算求解力推理证力
考查数形结合思想考查逻辑推理直观想象核心素养
11 ABC 中 0120ABC  D 线段 AC 点 030DBC  ABC 面积
2 3 BD 值
A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
解析 12 3 sin1202 ac  8ac  ABC ABD BCDS S S   
1 12 3 sin 90 sin 302 2BDc BDa   8 3 8 3 32 8BD a c
  
仅 2a c 时
4 2a c  时 BD 取值 3 选 B
设计意图题三角形载体考查学生运三角形面积公式综合力运基
等式求值考查运算求解力逻辑推理力考查化转化思想数形结合思想
考查直观想象逻辑推理数学抽象核心素养
12 已知定义 R 连续函数 ( )f x 满足 ( ) (4 )f x f x  ( 2) 0f   ( )f x 函数
( )f x 导函数 2x  时 ( ) ( ) 0f x f x  等式 ( ) 0x f x  解集
A． (06) B． ( 20) C． ( 2)  D． ( 2) (06)  
解析构造函数 ( ) ( )( 2)xg x e f x x 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x xg x e f x e f x e f x f x      ( )g x ( 2) 单调递增
2( 2) ( 2) 0g e f      ( 2)x   时 ( ) 0g x  ( 22)x  时
( ) 0g x  0xe   ( 2)x   时 ( ) 0f x  ( 22)x  时 ( ) 0f x 
( )f x 满足 ( ) (4 )f x f x   ( )f x 图象关直线 2x  称 ( 26)x 
时 ( ) 0f x  ( 2) (6 )x    时 ( ) 0f x  等式 ( ) 0x f x  化： 0
( ) 0
x
f x

 
0
( ) 0
x
f x

 
解： ( 2) (06)x   
选 D
考查意图题函数性质导数应等知识载体考查函数称性函数导
数应判断函数单调性解等式等知识考查运算求解力推理证力考查数形
结合思想考查逻辑推理直观想象核心素养
第Ⅱ卷
卷包括必考题选考题两部分第 13～第 21 题必考题试题考生必须作答
第 2223 题选考题考生根求做答
二填空题：题 4 题题 5 分
13已知 π 2cos( )4 4
  sin 2 
解析sin 2 cos( 2 ) cos 2( )2 4
          
2 22 32cos 1 2( ) 14 4 4
          

考查意图题三角恒等变换公式载体考查学生运角变换综合力考查运
算求解力逻辑推理力考查化转化思想考查直观想象逻辑推理数学运算核
心素养
14已知数列 }{ na 公差 2 等差数列 2 1a  5 1a  6 1a  成等数列
8a 
解析   2
5 2 6( 1) 1 1a a a      2
1 1 1( 4 1) 1 5 1a d a d a d       1 10a 
2d   8 4a   ．
考查意图题等差数列等数列载体考查学生运算求解力逻辑推理力
考查化转化思想考查直观想象逻辑推理数学运算核心素养
15已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 高 2 3 3BC  0120BAC  该三棱柱外接球
表面积
解：底面外接圆半径 12sin
BCr A
  外接球半径 2 2 2
1
1( ) 1 3 42R r AA     外接球
表面积 24 16R 
考查意图考查余弦定理正弦定理应考查柱体体积球表面积计算公式考查
三棱柱外接球结构关系考查学生计算力空间想象力16 已知点 1 2F F 分双曲线 )00(1 >>： 2
2
2
2
bab
y
a
x C 左右焦点A 直线
ax 3
4
双曲线C 交点点 A 1 2F F 直径圆双曲线C 离心率
_____
解：设
4 3
aA y（ ）代入 12
2
2
2
b
ya
x 化简 22
9
7
by 已知 AFAF 21 ⊥ 量知
识 2
9
7)3
4)(3
4( bcaca + 222 cba + 整理 2
7
2
2
a
b C 离心率
2
23
2
71 +e
考查意图题双曲线载体考查直线双曲线性质等知识考查运算
求解力推理证力考查化转化思想数形结合思想函数方程思想考查逻
辑推理直观想象数学运算核心素养
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（题满分 12 分）
国家力提倡科技创新某工厂提升甲产品市场竞争力生产技术进行创新改造
甲产品生产节降耗表格提供节降耗甲产品生产产量 x (吨)相应生产
耗 y (吨)组数．
x (吨) 4 5 6 7
y (吨) 25 3 4 45
（1）请根表提供数二法求出 y 关 x 线性回方程 axby ˆˆˆ 
)ˆˆˆ(
2
1
2
1 xbya
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii








（2）已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品生产耗 7 吨试根（1）求出线性回
方程预测节降耗生产 8 吨甲产品生产耗技术改造前降低少吨？
17（题满分 12 分）
解析
(1) 534
544352554
7654  yx …………2 分5805474635524
4
1

i
ii yx …………4 分
1267654 2222
4
1
2 
i
ix …………5 分
70554126
53554580
4
4
ˆ
2
2
4
1
2
4
1 








xx
yxyx
b
i
i
i
ii
…………7 分
350557053ˆˆ  xbya …………8 分
35070ˆ  xy求回方程 …………9 分
(2) 8x 代入回方程预测相应生产耗
吨255350870 y …………10 分
7525175 吨…………11 分
预测生产 8 吨甲产品生产耗技术改造前降低 175 吨 …………12 分
考查意图题统计载体考查线性回方程等知识考查运算求解力推理
证力考查逻辑推理直观想象数学运算数分析核心素养
18 （题满分 12 分）
已知等数列{ }na 前 n项 nS 2 1( )n
nS a a R n N     
（1）求数列 na 通项公式
（2）设 1
1
n
n
n n
ab S S


 求数列{b }n 前 n项 nT
18 （题满分 12 分）
解析（1）方法 1n  时 1 1 2 1a S a   …………1 分
2n  时 1
1 2n
n n na S S a 
      …………3 分
 na 等数列 1 2 1a a  满足  式 2 1a a  1a  ……5 分
等数列 na 首项 1公 2
等数列 na 通项公式 12n
na  …………6 分
方法二 1n  时 1 1 2 1a S a   …………1 分 2n  时 1
1 2n
n n na S S a 
    …………3 分
2 32 4a a a a  已知 2
2 1 3a a a 解 1 0( )a a  舍 …………5 分
等数列 na 首项 1公 2
等数列 na 通项公式 12n
na  …………6 分
（2）（1）知 2 1n
nS   …………8 分
1
1
n
n
n n
ab S S


    11
2 1 1
2 1 2 12 1 2 1
n
n n nn nb     
…………10 分
1 2 1
1 1 1 1 1 1 11 3 3 7 7 15 2 1 2 1n n n nT b b b 
                                  

1
11 2 1n nT   
…………12 分
方法二 1 1
1 +1 1
1 1 n n n
n
n n n n n n
a s sb S S s s s s
 
 
  …………8 分
1 2
1 2 2 3 3 4 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n n
n n n
T b b b s s s s s s s s s s 
                          
       
……………………10 分
（1）知 2 1n
nS   1
11 2 1n nT    …………12 分
考查意图题等数列载体考查学生求数列通项公式方法数列前 项方
法考查学生运算求解力逻辑推理力考查化转化思想考查直观想象逻辑推
理数学运算核心素养
19 （题满分 12 分）
图体 ABC－A1B1C1 中四边形 ABB1A1 矩形AA1∥CC1
AA12CC1E AB1 中点．
（1）求证：CE∥面 A1B1C1
（2）面 ABB1A1⊥面 ABCAB⊥BCAB＝BC＝CC1＝2
求三棱锥 E ACC1 体积
19 解析（题满分 12 分）
(1)证明 图取 A1B1 中点 F连接 EFFC1
∵E AB1 中点∴EFA1A EF1
2A1A…………2 分
∵AA1∥CC1 AA12CC1∴EFCC1 EFCC1四边形 EFC1C 行四边形
∴CE∥C1F ……………………4 分
∵ 1 1 1CE A B C 面 1 1 1 1C F A B C 面
∴CE∥面 A1B1C1 ……………………6 分
(2) ∵面 AB B1A1⊥面 ABC交线 AB
矩形 AB B1A1 中 A A1⊥AB∴AA1⊥面 ABC…………8 分
∵AA1∥CC1∴CC1⊥面 ABC ……………………9 分
∵BB1∥CC1 1 1 1BB CAC 面 1 1 1CC CAC 面
∴BB1∥ 1 1CAC面 ……………………10 分
∴
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2E ACC B ACC B ACC C ABCV V V V      …………11 分
1 1 1 22 2 22 3 2 3
       ……………………12 分
考查意图考查直线面行垂直位置关系考查面面垂直性质锥体体
积计算公式考查学生空间想象力逻辑推理力计算力考查化
转化数学思想
20．（题满分 12 分）
已知抛物线 ：C xy 42 抛物线C 准线l 焦点 F A 点位第象限抛物
线C 运动直线 AO （O 坐标原点）交l B 点直线 BF 交抛物线C ED 两点
M 线段 DE 中点
（1） AF 5求直线 FB 方程
（2）试问直线 AM 斜率否定值求出该值说明理
20．解析（题满分 12 分）
（1）抛物线 ：C xy 42 准线 1x   焦点 F （10）…………2 分
AF 5 抛物线定义 A 点横坐标 4……………………3 分
A 点位第象限抛物线 ：C xy 42 A 点坐标（44）…………4 分
OAk 1直线 OA 方程 xy 准线 1x   联立解 B（11）……5 分
BFk 2
1
直线 FB 方程 2
1
2
1 xy 2 1 0x y   …………………6 分
（说明：通法方法出 BFk 2
1
OAk 2
1
然求直线方程样分）
（2）已知直线 OA 斜率存设直线 OA 方程 y kx 准线 1x   联立解 B（ k 1 ）
2
kk BF …………………………………7 分
已知 0k > 设直线 FB 方程 12
+ ykx xy 42 联立消 x
0482 k yy ……………………………………8 分
2
64 16 0k
   
设 1 1 2 2( ) D x y E x y（ ） k
8
21 + yy 21 2
16 2x x
k
   …………………9 分
M 线段 DE 中点 M 点坐标 2
8 4( 1 )k k
 …………………10 分
直线 OA 方程 ）（ 0> kkxy xy 42 联立解 A（ kk
44
2 ）…………11 分
直线 AM 斜率 0综知直线 AM 斜率定值 0……………………12 分
考查意图题直线抛物线载体考查直线抛物线性质直线抛物线
位置关系等知识考查运算求解力推理证力考查化转化思想数形结合思想
函数方程思想考查直观想象逻辑推理数学运算核心素养
21 （题满分 12 分）
已知函数 ( ) ln af x x x
  中 a R
（1）试讨函数 )(xf 单调性
（2） 1a  试证明： e cos( )<
x xf x x

20（题满分 12 分）
解析（1） 2 2
1( ) a x af x x x x
    ( 0)x  知： …………1 分
（i） 0a  2( ) 0( 0)x af x xx
    ∴ )(xf 区间 0 增函数．…2 分
（ii） 0a 
∴ x  0a 时 ( ) 0f x  ∴ )(xf 区间 0a 减函数．
x  a  时 ( ) 0f x  ∴ )(xf 区间  a  增函数． …………4 分
综： 0a  时 )(xf 区间  0 增函数
0a  时 )(xf 区间  0a 减函数 )(xf 区间 a  增函数．…5 分
（2） 1a  1( ) ln ( 0)f x x xx
  证 e cos( )<
x xf x x
 需证 ln 1证： ln （i） 0 1x  时 ln 0x x  e cos 1 1 cos1 1 cos1 0x x      
∴时： ln （ii） 1x  时令 ( ) e cos ln 1xg x x x x     0x  ………7 分
∵ ( ) e sin ln 1xg x x x     ………8 分
设 ( ) ( ) e sin ln 1xh x g x x x    
1( ) e cosxh x x x
   
 1x  ∴ 1( ) e cos e 1 1 0xh x x x
        ……9 分
1x  时 ( )h x 单调递增∴ ( ) (1) e sin1 1 0h x h     ( ) 0g x 
∴ ( )g x  1 单调递增∴ ( ) (1) e cos1 1 0g x g     ……10 分
： ( ) e cos ln 1 0xg x x x x    
∴ ln ∴ e cos( )<
x xf x x
 ……11 分
综： 0x  时 e cos( )<
x xf x x
 …………12 分
考查意图题函数导数应知识载体考查函数导数应判断函数单调性
证明等式等知识考查运算求解力推理证力考查分类讨思想构造新函数思
想方法考查逻辑推理核心素养
请考生第 2223 二题中选题作答注意：做选定题目果做做
第题目计分做答时请 2B 铅笔答题卡选题号方框涂黑．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中原点O 极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线l
极坐标方程 π2 cos( ) 14
    曲线C 参数方程： 2(cos sin )
cos sin
x
y
 
 
 
  

（
参数） BA 直线 l 距离 2 两动点点 P 曲线C 动点直线l ．
(1)求曲线 C 普通方程直线l 直角坐标方程．
(2)求 PAB△ 面积值．解析法：直线 l 极坐标方程 1)4(cos2   化成 1sincos  
  sincos  yx 直线l 直角坐标方程 01  yx ……………2 分
曲线C 参数方程化成： 参数）

 (
sincos
sincos2




y
x

方相加 24
2
2
 yx 128
22
 yx ………………5 分
（2）设点 P )sincossin2cos2(   P 直线l 距离：
2
|1sincos3|  d
2
|1)sin(10|   ………………8 分
max
25 2d   ………………9 分
设 PAB 面积 S )2
25(||2
1
max  ABS 2
25  ……10 分
法二：设点 P )sin2cos22( 
23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 |2|)( txxf  1)( xf 解集 )01( ．
（1）求t 解等式 2)(  xxf
（2）已知 Ra b  |22|2)(  xbaxf 切实数 x 成立求证： 12 ba ．
解析（1） 1)( xf ： 121  tx
2
1
2
1 txt 
解集（10） 1t …………………………………3 分

2
1x 时等式 2)(  xxf 化成 212  xx 解： 1x

2
1x 时等式 2)(  xxf 化成 212  xx 解： 1x
综述解集 ( 1) (1 )   ………………………………5 分
（2） 题意 baxx  2|22||12| 切实数 x 恒成立
min|)22||12(|2  xxba …………………………………6 分3|)22()12(||22||12|  xxxx
|22||12|  xx 值 3 ………………………………8 分
 32  ba  Rba
 1)3( 32  baaba ………………………………10 分22解析（题满分 10 分）
直线l 极坐标方程 1)4(cos2   化成 1sincos  
  sincos  yx 直线l 直角坐标方程 01  yx ……………2 分
曲线C 参数方程化成： 参数）

 (
sincos
sincos2




y
x

方相加 24
2
2
 yx 128
22
 yx ………………5 分
设点 P )sincossin2cos2(   P 直线l 距离：
2
|1sincos3|  d
2
|1)sin(10|   ………………8 分
max
25 2d   ………………9 分
设 PAB 面积 S )2
25(||2
1
max  ABS 2
25  ……10 分
法二：设点 P )sin2cos22( 
23解析（题满分 10 分）
已知函数 |2|)( txxf  1)( xf 解集 )01(
（1）求t 解等式 2)(  xxf
（2）已知：  Rba |22|2)(  xbaxf 切实数 x 成立求证： 12 ba
解：（1） 1)( xf ： 121  tx
2
1
2
1 txt 
解集（10） 1t …………………………………3 分

2
1x 时等式 2)(  xxf 化成 212  xx 解： 1x

2
1x 时等式 2)(  xxf 化成 212  xx 解： 1x
综述解集 ( 1) (1 )   ………………………………5 分
（3） 题意 baxx  2|22||12| 切实数 x 恒成立 min|)22||12(|2  xxba …………………………………6 分
3|)22()12(||22||12|  xxxx
|22||12|  xx 值 3 ………………………………8 分
 32  ba  Rba
 1)3( 32  baaba ………………………………10 分

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