2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题（PDF版含答案）

页 1 第

数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)

第Ⅰ卷 (60 分)
选择题：题 12 题题 5 分满分 60 分题出四选项中项符合题
目求
1已知集合  2 20A x x x     2 1 0B x x   ABU( )
A  1   B 1 12


C 1 22


D 1 2


2设复数 z 满足 1izz   ( i 虚数单位) 复面应点( x y )( )
A yx B yx C   221 1 1xy    D   221 1 1xy   
3带路丝绸路济带21 世纪海丝绸路简称旨积极发展国线
国家济合作关系造政治互信济融合文化包容
命运体 2013 年带路建设成果显著右
图 20132017 年国带路线国家进出口情况
统计图列描述错误．．( )
A五年2013 年出口额少
B五年出口总额进口总额
C五年出口增速前四年逐年降
D五年2017 年进口增速快
4列等关系正确( )
A 2 3 4log 3 log 4 log 5 B 2 4 3log 3 log 5 log 4
C 2 4 3log 3 log 5 log 4 D 2 3 4log 3 log 4 log 5
5已知等差数列 na 前 n 项 nS 1 3a 
4 7329aa  7S 值等( )
A21 B1 C42 D0
6执行右图程序框图输出 i 值等( )
A2 B3 C4 D5
7函数 22
cos
xx
y xx
 
图象致( ) 页 2 第

8函数   sin 2f x x 图象右移11
6
 单位图象应函数  gx列说法正确
( )
A  gx图象关
12x  称 B  gx 0  2 零点
C  gx区间 5 36


单调递减 D  gx 02

值域 3 02



9已知双曲线 C：
22
221xy
ab( 00ab)左右焦点分 12FF圆 2F 双曲线C 渐线相切M
圆 2F 双曲线 C 交点 120FMFM
uuuur uuuuur 双曲线C 离心率等( )
A 5 B2 C 3 D 2
10射线测厚技术原理公式 0
tI I e  中 0II 分射线穿测物前强度e 然数
底数t 测物厚度 测物密度 测物射线吸收系数工业通常镅 241( 241 Am )低
 射线测量钢板厚度种射线钢板半价层厚度 08钢密度 76种射线吸收系数
( )
(注：半价层厚度指已知射线强度减弱半某种物质厚度ln2 06931 结果精确 0001)
A 0110 B 0112 C 0114 D 0116
11已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 角线 1BD 作面 交棱 1AA 点 E交棱 1CC 点 F：
①面 分正方体两部分体积相等
②四边形 1BFD E 定行四边形
③面 面 1DBB 垂直
④四边形 1BFD E 面积值
中正确结序号( )
A①④ B②③ C ①②④ D ①②③④
12已知函数   0
1 ln 0
x
x
exfx
xe x x x
     


函数       F x f f x ef x零点数( ) ( e
然数底数)
A6 B5 C4 D3
页 3 第
第Ⅱ卷 (90 分)
卷包括必考题选考题两部分第 13 题—第 21 题必考题试题考生必须作答第 22 题第
23 题选考题考生根求作答
二填空题：题 4 题题 5 分满分 20 分答案填答题卡相应位置
13已知量 a 
r (11)   2bm
r
a
r ∥  2ab
rr m 值等
14直线 l 抛物线 C： 2 12yx 焦点 F抛物线C 交 AB 两点弦 AB 长 16直
线 l 倾斜角等
15学强国中宣部深入学宣传新时代中国特色社会义思想容
立足全体员面全社会优质学台该台设阅读文章视听学等栏目假设
栏目中某时段更新 2 篇文章 4 视频位学者准备学 2 篇文章中 2 视频 2
篇文章学序相邻学法 种
16已知三棱锥 A BCD 棱长均 6 n 球球 1O 三棱锥 A BCD 四面相切球 2O
三棱锥 A BCD 三面球 1O 相切类推…球 nO 三棱锥 A BCD 三面球 1nO  相切
( 2n  nN )球 1O 体积等 球 nO 表面积等

三解答题：题 6 题满分 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17(题满分 12 分)
ABC 中角 ABC 边分 a b c 2a  cos cos 2 cos 0a C c A b B  
(1)求 B
(2) BC 边中线 AM 长 5 求 ABC 面积



18(题满分 12 分)
湖名城创新高合肥历史文化积淀深厚民俗文景观丰富科教资源众然风
光秀美成中学生研学游理想更推进研学游项目某旅游学校位实
生某旅行社实期间研学游项目分科技体验游民俗文游然风光游三种类型
前年该旅行社接全省高学生研学游学校中机抽取 100 学校统计：
研学游类
型
科技体验
游
民俗文
游
然风光
游
学校数 40 40 20
该实生明年省意组织高研学游学校中机抽取 3 学校统计频率代
学校选择研学游类型概率(假设学校选择研学游类型时仅选择中类受学校选择结果
影响)： 页 4 第
(1) 3 学校选择研学游类型科技体验游然风光游求两种类型学校选择
概率
(2)设 3 学校中选择科技体验游学校数机变量 X求 X 分布列数学期


19(题满分 12 分)
图已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中面 11AAC C  面 ABC
1AA AC AC BC
(1)证明： 1AC  1AB
(2)设 2AC CB 1 60A ACo 求二面角 11C AB B余弦值


20(题满分 12 分)
设椭圆 C
22
221xy
ab( 0ab)左右顶点 12AA顶点 12BB菱形 1 1 2 2ABAB 切圆C
半径 2 椭圆离心率 2
2

(1)求椭圆 C 方程
(2)设 MN 椭圆关原点称两点椭圆点 P 满足 PM PN 试判断直线 PM PN 圆
C位置关系证明结


21(题满分 12 分)
已知函数  
21
x
xfx e
 ( e 然数底数)
(1)求函数  fx零点 0x 曲线  y f x 0xx 处切线方程
(2)设方程  f x m ( 0m  )两实数根 1x 2x 求证： 12
1212x x m e
   



请考生第 2223 题中选题作答注意：做选定题目果做做第题
目计分作答时请 2B 铅笔答题卡选题号应方框涂黑
22(题满分 10 分)选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中直线 l 参数方程
23 2
21 2
xt
yt
 
 
(t 参数)坐标原点极点 x 轴正半轴
A
C
B
B1
C1
A1页 5 第
极轴极坐标系中曲线 C 方程 4cos 6sin  
(1)求曲线 C 直角坐标方程
(2)设曲线 C 直线 l 交点 MN点 A 坐标(31)求 AM AN


23(题满分 10 分)选修 45：等式选讲
已知函数   2f x x m x    ( mR )等式  20fx解集  4
(1)求 m 值
(2) 0a  0b  3c  22a b c m   求   1 1 3abc   值 页 6 第
)
参考答案评分标准

选择题：题 12 题题 5 分 60 分



二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
132 14
3
 2
3


1572

16 6 1
6
4n

 (第空 2 分第二空 3 分)

三解答题：题 6 题满分 70 分
17(题满分 12 分)
解：(1) ABC 中
sin sin sin
a b c
ABC cos cos 2 cos 0a C c A b B  
∴sin cos sin cos 2sin cos 0ACCABB   ∴  sin 1 2 cos 0BB  
∵sin 0B  ∴ 2cos 2B 
∵ B 三角形角 ∴ 3
4B  ………………………………5 分
(2) ABM 中 3154BM AM B AB c   
余弦定理  222 2 cosAM c BM c BM B     ∴ 2 2 4 0cc  
∵ 0c  ∴ 2c 
中 2a 
∴ 面积 1 sin 12S ac B ………………………………12 分

18(题满分 12 分)
(1)题意学校选择科技体验游概率 2
5
选择然风光游概率 1
5

∴ 3 学校选择研学游类型科技体验游然风光游两种类型学校选择概
率：
22
22
33
2 1 1 2 18
5 5 5 5 125PCC                       
………………………………5 分
(2) X 取值 0123
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C D D B A B A C C B 页 7 第
 
3
0
3
3 270 5 125PXC   
 
2
1
3
2 3 541 5 5 125PXC         

 
2
2
3
2 3 362 5 5 125PXC            
 
3
3
3
283 5 125PXC   

∴ X 分布列
0 1 2 3
P 27
125
54
125
36
125
8
125

∴ 27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5EX          ……………………………12 分
解：∵机变量 服 23 5XB

∼ ∴ 263 55EX np    ……………………………12 分

19(题满分 12 分)
(1)连结 1AC
∵ 1AA AC 四边形 11AAC C 菱形∴ 11AC AC
∵面 11AAC C  面 ABC 面 11AAC C I 面
ABC AC
BC  面 ABC BC  AC
∴ 面 11AAC C
∵ 11BC B C ∴ 11BC  面 11AAC C ∴ 1 1 1BCAC
∵ 1 1 1 1AC B C CI
∴ 1AC  面 11AB C 1AB 面 11AB C
∴ 1AC  1AB …………………………5 分
(2)取 11AC 中点 M连结CM
∵ 1AA AC 四边形 11AAC C 菱形 1 60A ACo ∴ 11CM AC CM AC
∵CM BC C 原点CA CB CM 正方建立空间直角坐标系图
设 1CB  22AC CB 1AA AC 1 60A ACo
∴ C(000) 1A(10 3 )A(200)B(010) 1B(11 3 )
(1)知面 11C AB 法量  1 1 0 3CA 
uuuv
设面 1ABB 法量  n x y z
v 1 n AB n AB
v uuuv v uuuuv∴
1
0
0
n AB
n AB
  
v uuuv
v uuuuv
∵  2 1 0AB 
uuuv  1 3 1 3AB 
uuv ∴ 20
3 3 0
xy
x y z
     
页 8 第
令 1x  12
3
yz 112
3
n  
v
∴ 1
1
1
23cos 4162 3
CA nCA n
CA n
   
 
uuuv vuuuv v
uuuv v
∴二面角 11C AB B余弦值 3
4 ……………………………12 分

20(题满分 12 分)
(1)设椭圆半焦距 c 椭圆离心率 2
2
知 2b c a b
设圆C半径 r 22r a b ab  
∴ 22 3 2bb 解 3b  ∴ 6a 
∴椭圆 C 方程
22
163
xy ……………………………5 分
(2)∵ MN 关原点称 PM PN ∴OP MN
设  11M x y  22P x y
直线 PM 斜率存时设直线 PM 方程 y kx m
直线椭圆方程联立  22 26x kx m    2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m    
∴
12 2
2
12 2
4
21
26
21
kmxx k
mxx k
      

∵  11OM x y
uuuuv  22OP x y
uuuv
∴   1 2 1 2 1 2 1 2OMOP xx yy xx kx mkx m      
uuuuv uuuv
      2
2 2 2 2
1 2 1 2 22
2 6 4112 1 2 1
m kmkxxkmxxm k km mkk
    
 22
2
3 2 2
021
mk
k



∴ 222 2 0mk   2222mk
∴圆C圆心 O 直线 PM 距离
2
2
1
m r
k


∴直线 PM 圆C相切
直线 斜率存时题意  11N x y  11P x y
1122xy ∴ 22
11xy 结合
22
11163
xy 2
1 2x 
∴直线 原点 O 距离 2
∴直线 PM 圆C相切
理直线 PN 圆C相切
∴直线 PM PN 圆 相切 …………………………12 分 页 9 第

21(题满分 12 分)
(1)  
21 0x
xfx e
 1x  ∴函数零点 0 1x 
 
2 21
x
xxfx e
   12fe   10f 
曲线  y f x 1x  处切线方程  21y e x
  21f e
   10f 
∴曲线  y f x 1x  处切线方程  2 1yxe   ………………………5 分
(2)  
2 21
x
xxfx e
 
    1 2 1 2 x     U 时   0fx   1 2 1 2x   时   0fx 
∴  fx单调递增区间    1 2 1 2     单调递减区间 1 2 1 2
(1)知 1x  1x  时   0fx 11x   时   0fx
面证明：  1 1x 时    21e x f x
时
     
2
1112 1 2 1 0 02
x
x
xxe x f x e x ee
        
易知   1 1
2
x xg x e    1 1x 单调递增
 10g 
∴    10g x g    1 1x   恒成立
∴ 时    21e x f x
 21y e x
ym
   
12
mx e记 1 12
mx e
 
妨设 12xx 121 1 2 1xx     
∴ 1 2 1 2 2 1 2 12
mx x x x x x x e
       

证 12
1212x x m e
   
证 2
11 2 122
mxmee
             
证 2 1xm
∵
2
2
21
x
xm e
 ∴证
2
2
2
2
11 x
xx e
     2
221 1 0xx e x    
∵  2 1 2 1x  证  2
2 10xex  
令      11xxx e x x e     页 10 第
 1 2 0x 时   0x   x 单调递减函数
 01x 时   0x   x 单调递增函数
∴    00x∴  2
2 10xex  
∴ 12
1212x x m e
   
…………………………12 分

22(题满分 10 分)
(1)曲线 C 方程 4cos 6sin  ∴ 2 4 cos 6 sin    ∴ 2246x y x y  
曲线 C 直角坐标方程：    222 3 13xy    …………………………5 分
(2)直线
23 2
21 2
xt
l
yt
 
 
代入曲线C
2
2221 2 1322tt                

整理 2 3 2 8 0tt  
∵  2
3 2 32 0     设 12tt 方程两实数根
1232tt 12 8tt  ∴ 12tt 异号
∵点 A(31)直线 l
∴  2
1 2 1 2 1 2 1 24 50 5 2AMANtt tt tt tt         
…………………………10 分

23(题满分 10 分)
解：(1)∵   2f x x m x    ∴  2 2 0f x x m x      解集  4
∴ 2x m x 解 28m 6m  …………………………5 分
(2)∵ 6m  ∴ 2 12a b c  
∵ 0a  0b  3c 
∴        1 2 2 31 1 3 2
a b cabc      
      3 331 2 2 31 1 2 1 12 322 3 2 3 2 3
a b c a b c                

仅 1 2 2 3a b c     结合 2 12a b c   解 3a  1b  7c  时等号成立
∴    1 1 3abc   值 32

…………………………10 分



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