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秘密★启前
高三期期末考试
数 学（理科）试 题 卷
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
第Ⅰ卷（ 60 分）
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项
符合题目求
1．已知
A． B． C． D．
2．复数 复面应点
A．( 1 1) B．( 11) C．(1 1) D．(11)
3．已知量 (1 ) (3 2)a m b ()a b b
A． 6 B 6 C8 D 8
4．圆 x2 + y2 4x 6y +9 0圆心直线 ax + y +1 0 距离 2
A 4
3 B 3
4 C 2 D2
5 现 5 站成排相中甲乙相邻丙丁相邻站法
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
6．已知 x ln3 y log4 2 1
2ze
A x y z B z x y C z y x D y z x
7．（原创）张丘建算公元 5 世纪中国古代容丰富数学著作书中卷第二十三问：女善
织日益功疾初日织五尺月织九匹三丈．问半月积？意思女子织布天前
天织相量布第天织五尺月( 30 天计)织布 9 匹 3 丈．问：前半月( 15 天计)
织少布？已知 1 匹＝4 丈1 丈＝10 尺估算出前半月织布约
A．195 尺 B．133 尺 C．130 尺 D．135 尺 第 2 页 4 页
8．设 mn两条直线ab 两面 m ^ an ^ b m^ na ^ b
A充分必条件 B．必充分条件
C充条件 D．充分必条件
9．函数 图右移 1
4 周期图应函数 f (x)函数 f (x)单调
递增区间
A B
C D
10．执行右图示程序框图输出结果
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线
22
221( 0 0)yx abab 左右焦点分 F1F2 F2 直线交双曲线右支 PQ 两
点| PF1 || F1F2 ||QF2 | 2| PF2 |该双曲线离心率
A． 5
3
B． 7
3
C． D．
12 （原创）已知 f (x)定义 R奇函数 时 时满足
意 x0取值范围
A B C D
第Ⅱ卷（ 90 分）
二填空题（题 5 分满分 20 分答案填答题纸）
13． x y满足约束条件 值_______________． 第 3 页 4 页
14 次体育课定点投篮测试中投篮 5 次投中两次通测试停止投篮 已知某
学投篮次命中概率 2
3
该学心理素质较次投中否互影响 该学恰投 3 次通
测试概率
15． 1+ 1
x2
æ
èç
ö
ø÷ 1+ x()6
展开式中 2x 系数
16（原创）已知数列 na 前 n 项 nS满足 *12(3 N)nnnS a n S2020
三解答题 （题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17．（题满分 12 分）
中 D BC边点
（1）求 sin B值
（2） 求 AC 长
18．（题满分 12 分）
某市中学高三年级统计学生 20 次数学周测成绩（满分 150 分）现甲乙两位学 20 次
成绩茎叶图示：
（1）根茎叶图求甲乙两位学成绩中位数判断甲乙两位学成绩谁更？
（2）学乙成绩频率分布直方图补充完整
（3）现甲乙两位学低 140 分成绩中意选出 2 成绩设选出 2 成绩中含甲成绩
数 求 分布列数学期
19．（题满分 12 分）
已知四棱锥 底面 ABCD等腰梯形 AB CD
（1）证明： 面 PBD
（2）点 E 棱 PC点 OE面 PAD求二面角 余弦值
110 ⼄成绩100O
0035
0030
0025
0020
0015
0010
0005
130 140120 150
频率
组距
9 6
7
6
4
4
5
9
1
4
3
3
4
6
2
2
1
7
3
2
98
7
6
8
7
5
8
6
5
1
5
4
5
0
2
1
5
3
2
15
14
13
12
11
10
9
⼄甲
A
D
P
C
E
B
O第 4 页 4 页
20．（题满分 12 分）
已知点 坐标轴两点动点 P满足直线 PA PB斜率积 （
中 m常数 ） 记 P轨迹曲线 C
（1）求 C 方程说明 C 什曲线
（2）点 A斜率 k 直线曲线 C 交点 M点 N 曲线 C
求 k 取值范围
21．（原创）（题满分 12 分）
已知函数
（1）设 （中 f ＇(x) f (x)导数）求 h(x)值
（2）设 g(x)零点求 a 取值范围
请考生 2223 两题中选题作答果做做第题记分
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy中曲线 C 参数方程 ( 参数) 坐标原点 O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线 l极坐标方程 直线 l曲线 C 相切．
（1）求曲线 极坐标方程
（2）曲线 C 取两点 MN 原点 O构成 满足 求 面积值．
23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知 0 0ab>> 222ab+
（1） 意正数 ab恒成立求 x 取值范围
（2）证明
第1页5页
2020 级高三月考 参考答案
选择题：
1A 2 B3C4B5B6D7B8C9B10D11A12 B
7 题解析：9 匹 3 丈 390 尺 天织布数成等差数列首项 记公差
选 B
11 题解析：
（舍）
12 题解析：取 奇函数
时 时 取
时 理
时 时 存
时 令 解
二填空题（题 5 分满分 20 分答案填答题纸）
13． 14． 15．8016
15 题解析： 项系数
项系数 ∴ 系数
16 题解析： 时 时 ① ②
a1 5 d
S30 5×30+ 30×29
2 d 390 d 16
29 S15 15×5+15×14
2 ×16
29 75+15×7×16
29 ≥≈ 75+15×7×16
30
75+56 131
| PF1 | 2c| PF |1 − | PF2 | 2a | PF2 | 2c − 2a|QF2 | 2 | PF2 | 4c − 4a |QF1 | 4c − 2a
cos∠PF2 F1 −cos∠QF2 F1
(2c − 2a)2 + (2c)2 − (2c)2
2(2c − 2a)2c − (4c − 4a)2 + (2c)2 − (4c − 2a)2
2(4c − 4a)2c
(2c − 2a)2 + (2c)2 − (2c)2 −16(c − a)2 + 4c2 − 4(2c − a)2
2 4(c − a)2 −8(c − a)2 − 2c2 + 2(2c − a)2
12(c − a)2 + 2c2 2(2c − a)2 3c2 −8ac+5a2 03e2 −8e+5 0 e 5
3 e 1
x ∈[02] −x ∈[−20] f (−x) (−x)2 +2(−x) f (x) f (x) −x2 +2x
(0 x 2) f (x)max f (1) 1 x 0 f (x+2) 1
3 f (x) x ∈[46] x−4∈[02]
f (x) 1
3 f (x−2) 1
3⋅1
3 f (x−4) 1
9 f (x−4) 1
9 −(x−4)2 +2(x−4)⎡⎣ ⎤⎦ f (x)max f (5) 1
9
x ∈[68] f (x) 1
27 −(x−6)2 +2(x−6)⎡⎣ ⎤⎦ f (x)max f (7) 1
27
1
9 > 7
144 > 1
27 x0 ∈[56]
f (x0 ) 7
144 f (x) 1
9 −(x−4)2 +2(x−4)⎡⎣ ⎤⎦
1
9 −(x−4)2 +2(x−4)⎡⎣ ⎤⎦ 7
144 x 23
4
−1 8
27
1
4 − 1
4⋅32020
( ) ( ) ( )666
22
111+ 111 1xxxxx
æö+×++×+ç÷èø ( )61 x+ 2x 2
6
65C152
´
( )6
2
1 1 xx ×+ 2x 4
6C 15 2x 15 15 30+
1n 11
12 3aa 1
1
3a n 2 111
12 3nnnSa 12 3nnnSa第2页5页
②① 整理
…
三解答题 （题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17解：(1)∵ ∴
∵ ∴
∴
……………… ………6 分
(2) 中正弦定理： ∴ 中余弦定理
∴ ………12 分
18．解：（1）甲中位数 119乙中位数 128乙成绩更………………2 分
（2）乙频率分布直方图右图示 …………………4 分
（3）甲乙低 140 分成绩 5 取值 012
分布列 ……………………………………………………10 分
……………… …………………………………12 分
19． （1）证明：等腰梯形 中
面 ……………………………6 分
1 1
112 33nnn nnaaa + 1
2+ 3nn naa 2n 21 2
2
3aa+ 4n 43 4
2
3aa+
6n 65 6
2
3aa+ a2018 + a2017 2
32018 a2020 + a2019 2
32020
S2020 2
32 + 2
34 + 2
36 ++ 2
32016 + 2
32018 + 2
32020 2 ×
1
9
1− 1
9
1− ( 1
32 )1010( ) 1
4 (1− 1
32020 )
cos∠ADB cos π − ∠ADC( ) −cos∠ADC 5
5 ∠ADB ∈ 0π( ) sin∠ADB 2 5
5
cos∠BAD 3
5∠BAD ∈ 0π( ) sin∠BAD 4
5
sin B sin π − ∠BAD + ∠ADB( )⎡⎣ ⎤⎦ sin ∠BAD + ∠ADB( )
sin∠BADcos∠ADB + cos∠BADsin∠ADB 4
5 × 5
5 + 3
5 × 2 5
5 2 5
5
ΔABD AD
sin B BD
sin∠BAD
AD
2 5
5
2
4
5
AD 5 ΔADC
AC 2 AD2 + DC 2 − 2AD⋅ DC ⋅cos∠ADC 5+1+ 2 × 5 ×1× 5
5 8 AC 2 2
ξ
P(ξ 0) C3
2
C5
2 3
10 P(ξ 1) C2
1C3
1
C5
2 6
10 P(ξ 2) C2
2
C5
2 1
10
ξ
E(ξ) 0× 3
10 +1× 6
10 +2× 1
10 08
ABCD AB CD ΔOAB ∼ ΔOCD ∴ OA
OC AB
CD 2
AC 3 ∴ OA OB 2OC OD 1 OA2 +OB2 AB2 OA⊥ OB AC ⊥ BD
PB ⊥ AC BD ∩ PB B ∴ AC ⊥ PBD
0 1 2
ξ
P 3
10
6
10
1
10
110 100O
0035
0030
0025
0020
0015
0010
0005
130 140120 150
第3页5页
（2）连结 （1）知 面
面 …………………………8 分
图建立 直角坐标系面 法量 ……………………………………9 分
面 面 面 面
三等分点 三等分点
中
设 法量 解 ……………………………………11 分
设求二面角 面角 ……………12 分
20．解（1）设点 整理
直线 斜率存
求轨迹方程 …………………………………………4 分
曲线 表示掉左右顶点焦点 轴椭圆 …………………………………………5 分
（2）AM 方程 联立 整理
解 ………7 分
AN 方程 理 带入
………………………………8 分
整理 ……………………………9 分
……………………………………………………10 分
PO AC ⊥ PBD ∴ AC ⊥ PO ∴ PO PA2 −OA2 2
PO2 + BO2 PB2 PO ⊥ BO BO ∩ AC O PO ⊥ ABCD
O−xyz ABD m (001)
∵ OE PAD OE ⊂ PAC PAC ∩ PAD PA
∴ OE PA O AC ∴ E PC
A(200)B(020)C(−100)D(0−10)O(000)
P(002)E(−2
301) ΔABE AB
(−220) AE
(−5
2 01)
n (x0 y0 z0 ) AB
⋅ n 0
AE
⋅ n 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
n (114)
E − AB− D θ cosθ
n⋅ m
| n || m | 4
1+1+16
4
18
2 2
3
P(x y) kPA y
x+ m
kPB y
x− m kPAkPB y2
x2 −m − 3
m
my2 −3x2 +3m 3x2 + my2 3m x2
m + y2
3 1 PA PB y ≠ 0
x2
m + y2
3 1(y ≠ 0)
m>3 C x
y k x + m( )
x2
m + y2
3 1
y k x + m( )
⎧
⎨⎪
⎩⎪
3+ mk 2( )x2 + 2m mk 2x + m2k 2 − 3m 0
x − m x − m mk 2 − 3 m
3+ mk 2 AM 1+ k 2 − m mk 2 − 3 m
3+ mk 2 + m 1+ k 2 ⋅ 6 m
3+ mk 2
y k ＇ x + m( ) AN 1+ k ＇2 ⋅ 6 m
3+ mk ＇2 k ＇ −1
k
AN 1+ k 2
| k | ⋅ 6 m
3+ m
k
1+ k 2
| k | ⋅ 6 mk 2
3k 2 + m
3 AM AN 3 1+ k 2 ⋅ 6 m
3+ mk 2 1+ k 2
| k | ⋅ 6 mk 2
3k 2 + m k >0 3 1+ k 2 ⋅ 6 m
3+ mk 2 1+ k 2
⋅ 6 mk
3k 2 + m
3
3+ mk 2 k
3k 2 + m 9k 2 +3m 3k + mk 3 m 9k 2 − 3k
k 3 − 3
m>3 9k 2 − 3k
k 3 − 3 > 3 3k 2 − k
k 3 − 3 >1
3k 2 − k − k 3 + 3
k 3 − 3 > 0 k 3 − 3k 2 + k + 3
k 3 − 3 < 0 k 3 + k − 3(k 2 +1)
k 3 − 3 < 0 k(k 2 +1) − 3(k 2 +1)
k 3 − 3 < 0
A
D
P
C
E
B
x y
z
O第4页5页
解 …………………………………………12 分
21． 解：（1） 定义域
时 单减 时 单增
……………………………………4 分
（2）① 时（1）知 单增 时
时 时
时 解 …………………………………6 分
减函数
② 时
令 显然
函数 单调递增
时 单减 时 单增
时 解 …………………………………8 分
③ 时 时 零点 ………………………………9 分
④ 时 令 证存
令
令
需
记 单增 单增
存 前 解
综述 时 零点 ……………………………………………12 分
(k 2 +1)(k −3)(k 3 −3)<0 k 2 +1>0 (k −3)(k 3 −3)<0 (k −3)(k − 33 )(k 2 + 33 k + 323 )<0
k 2 + 33 k + 323 >0 (k −3)(k − 33 )<0 33 < k <3
f ＇(x) 2x+1−(ln x+ x⋅ 1
x) 2x−ln x h(x) 2x−ln x (0+∞)
h＇(x) 2− 1
x 2x−1
x 0< x < 1
2 h＇(x)<0 h(x) x > 1
2 h＇(x)>0 h(x)
h(x)min h(1
2) 1−ln 1
2 1+ln2
a 0 h(x) f ＇(x)1 ln2>0 f (x) x2 + x−xln x x 1
f (x) f (1) 2>0 0< x <1 xln x <0 x2 + x >0 f (x)>0 ex−a + x >0 a 0
g(x) ex−a + x−af (x)>0 g(x) 0
g(x) ex−a + x−a(x2 + x−xln x) ex ⋅(1
e)a −a(x2 + x−xln x)+ x ϕ(a) x2 + x−xln x >0
0< 1
e <1 ϕ(a) a
0< a <1 ϕ(a)>ϕ(1) ex−1 −x2 −x+ xln x+ x ex−1 −x2 + xln x
p(x) ex−1 −x2 + xln x p(1) 0 p＇(x) ex−1 −2x+ln x+1 p＇(1) 0
p＇＇(x) ex−1 −2+ 1
x (x−1)+1−2+ 1
x x+ 1
x −2 2 x⋅ 1
x −2 0 p＇(x)
p＇(1) 0 0< x <1 p＇(x)<0 p(x) x >1 p＇(x)>0 p(x)
p(x)min p(1) 0 ϕ(a)>ϕ(1) p(x)0 g(x) 0
a 1 g(x) p(x) g(1) p(1) 0 g(x) 0
a >1 g(x) ϕ(a)<ϕ(1) p(x) x 1 g(1)< p(1) 0 x0 g(x0 )>0
g(x) ex−a + x−a(x2 + x−xln x) ex−a + x−xa(x+1+ln x) x[ ex−a−ln x +1−a(x+1−ln x) ]
g(x)>0 ⇔ ex−a−ln x +1−a(x+1−ln x)>0 h(x) ex−a−ln x +1−a(x+1−ln x)>0
x e2a h(e2a ) ee2a−a−lne2a +1−a(e2a +1−lne2a ) ee2a−3a +1−a(e2a +1−2a)
ee2a−3a +1−ae2a −a+2a2 ee2a−3a −ae2a +(1−a+2a2 ) 1−a+2a2 >0 ee2a−3a −ae2a 0
ee2a−3a −ae2a 0 ⇔ ee2a−3a ae2a ⇔ lnee2a−3a lnae2a ⇔ e2a −3a lna+2a ⇔ e2a lna+5a
p(a) e2a −lna−5a p(a)＇ 2e2a − 1
a −5 p(a)＇> p(1) 2e2 −5>0 p(a)
p(a)> p(1) e2 −5>0 x0 e2a g(x0 )>0 g(1)<0 g(x) 0 (1e2a )
a 1 g(x) 0第5页5页
22．解：(1)直线 直角坐标方程 曲线 C 圆心 半径 圆直线 曲线
相切： 曲线 普通方程
曲线 极坐标方程 ……………………5 分
(2)(1)妨设 ( )
……………………10 分
23 解（1）
恒成立
时 解
时 解
时 解
综述 取值范围 …………………………………………………5 分
（2）
………………………10 分
l y 3x+2 ( 31) r l
C r | 3× 3−1+2 |
2 2 C (x− 3)2 +(y−1)2 4
C ρ2 −2 3ρcosθ−2ρsinθ 0 ρ 4sin(θ+ π
3)
M(ρ1θ)N(ρ2 θ− π
3) ρ1ρ2 >0
SΔMON 1
2 ρ1ρ2 sin π
3 3
4 ρ1ρ2 3
4 ⋅4sin(θ+ π
3)⋅4sin(θ− π
3 + π
3) 4 3sinθsin(θ+ π
3)
4 3sinθ(1
2 sinθ+ 3
2 cosθ) 2 3(sin2 θ+ 3sinθcosθ) 2 3(1−cos2θ
2 + 3
2 sin2θ)
2 3(sin2θ 3
2 − 1
2 cos2θ+ 1
2) 2 3sin(2θ− π
6 )+ 3 3 3
( 1
a2 + 4
b2 )×2 ( 1
a2 + 4
b2 )(a2 +b2 ) 5+ b2
a2 + 4a2
b2 5+2 b2
a2 ×4a2
b2 9 1
a2 + 4
b2 9
2
1
a2 + 4
b2 | 2x−1|−| x−1| | 2x−1|−| x−1| 9
2
x 1 2x−1−x+1 9
2 1 x 9
2
1
2 x <1 2x−1+ x−1 9
2
1
2 x <1
x < 1
2 −2x+1+ x−1 9
2 −9
2 x < 1
2
x −9
2 x 9
2
(1
a + 1
b)(a5 +b5 ) a4 +b4 + b5
a + a5
b (a2 +b2 )2 +(b5
a + a5
b )−2a2b2
4+(b5
a + a5
b )−2a2b2 4+2 b5
a ⋅ a5
b −2a2b2 4+2a2b2 −2a2b2 4
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秘密★启前
高三期期末考试
数 学（理科）试 题 卷
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
第Ⅰ卷（ 60 分）
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项
符合题目求
1．已知
A． B． C． D．
2．复数 复面应点
A．( 1 1) B．( 11) C．(1 1) D．(11)
3．已知量 (1 ) (3 2)a m b ()a b b
A． 6 B 6 C8 D 8
4．圆 x2 + y2 4x 6y +9 0圆心直线 ax + y +1 0 距离 2
A 4
3 B 3
4 C 2 D2
5 现 5 站成排相中甲乙相邻丙丁相邻站法
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
6．已知 x ln3 y log4 2 1
2ze
A x y z B z x y C z y x D y z x
7．（原创）张丘建算公元 5 世纪中国古代容丰富数学著作书中卷第二十三问：女善
织日益功疾初日织五尺月织九匹三丈．问半月积？意思女子织布天前
天织相量布第天织五尺月( 30 天计)织布 9 匹 3 丈．问：前半月( 15 天计)
织少布？已知 1 匹＝4 丈1 丈＝10 尺估算出前半月织布约
A．195 尺 B．133 尺 C．130 尺 D．135 尺 第 2 页 4 页
8．设 mn两条直线ab 两面 m ^ an ^ b m^ na ^ b
A充分必条件 B．必充分条件
C充条件 D．充分必条件
9．函数 图右移 1
4 周期图应函数 f (x)函数 f (x)单调
递增区间
A B
C D
10．执行右图示程序框图输出结果
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线
22
221( 0 0)yx abab 左右焦点分 F1F2 F2 直线交双曲线右支 PQ 两
点| PF1 || F1F2 ||QF2 | 2| PF2 |该双曲线离心率
A． 5
3
B． 7
3
C． D．
12 （原创）已知 f (x)定义 R奇函数 时 时满足
意 x0取值范围
A B C D
第Ⅱ卷（ 90 分）
二填空题（题 5 分满分 20 分答案填答题纸）
13． x y满足约束条件 值_______________． 第 3 页 4 页
14 次体育课定点投篮测试中投篮 5 次投中两次通测试停止投篮 已知某
学投篮次命中概率 2
3
该学心理素质较次投中否互影响 该学恰投 3 次通
测试概率
15． 1+ 1
x2
æ
èç
ö
ø÷ 1+ x()6
展开式中 2x 系数
16（原创）已知数列 na 前 n 项 nS满足 *12(3 N)nnnS a n S2020
三解答题 （题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17．（题满分 12 分）
中 D BC边点
（1）求 sin B值
（2） 求 AC 长
18．（题满分 12 分）
某市中学高三年级统计学生 20 次数学周测成绩（满分 150 分）现甲乙两位学 20 次
成绩茎叶图示：
（1）根茎叶图求甲乙两位学成绩中位数判断甲乙两位学成绩谁更？
（2）学乙成绩频率分布直方图补充完整
（3）现甲乙两位学低 140 分成绩中意选出 2 成绩设选出 2 成绩中含甲成绩
数 求 分布列数学期
19．（题满分 12 分）
已知四棱锥 底面 ABCD等腰梯形 AB CD
（1）证明： 面 PBD
（2）点 E 棱 PC点 OE面 PAD求二面角 余弦值
110 ⼄成绩100O
0035
0030
0025
0020
0015
0010
0005
130 140120 150
频率
组距
9 6
7
6
4
4
5
9
1
4
3
3
4
6
2
2
1
7
3
2
98
7
6
8
7
5
8
6
5
1
5
4
5
0
2
1
5
3
2
15
14
13
12
11
10
9
⼄甲
A
D
P
C
E
B
O第 4 页 4 页
20．（题满分 12 分）
已知点 坐标轴两点动点 P满足直线 PA PB斜率积 （
中 m常数 ） 记 P轨迹曲线 C
（1）求 C 方程说明 C 什曲线
（2）点 A斜率 k 直线曲线 C 交点 M点 N 曲线 C
求 k 取值范围
21．（原创）（题满分 12 分）
已知函数
（1）设 （中 f ＇(x) f (x)导数）求 h(x)值
（2）设 g(x)零点求 a 取值范围
请考生 2223 两题中选题作答果做做第题记分
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy中曲线 C 参数方程 ( 参数) 坐标原点 O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线 l极坐标方程 直线 l曲线 C 相切．
（1）求曲线 极坐标方程
（2）曲线 C 取两点 MN 原点 O构成 满足 求 面积值．
23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知 0 0ab>> 222ab+
（1） 意正数 ab恒成立求 x 取值范围
（2）证明
第1页5页
2020 级高三月考 参考答案
选择题：
1A 2 B3C4B5B6D7B8C9B10D11A12 B
7 题解析：9 匹 3 丈 390 尺 天织布数成等差数列首项 记公差
选 B
11 题解析：
（舍）
12 题解析：取 奇函数
时 时 取
时 理
时 时 存
时 令 解
二填空题（题 5 分满分 20 分答案填答题纸）
13． 14． 15．8016
15 题解析： 项系数
项系数 ∴ 系数
16 题解析： 时 时 ① ②
a1 5 d
S30 5×30+ 30×29
2 d 390 d 16
29 S15 15×5+15×14
2 ×16
29 75+15×7×16
29 ≥≈ 75+15×7×16
30
75+56 131
| PF1 | 2c| PF |1 − | PF2 | 2a | PF2 | 2c − 2a|QF2 | 2 | PF2 | 4c − 4a |QF1 | 4c − 2a
cos∠PF2 F1 −cos∠QF2 F1
(2c − 2a)2 + (2c)2 − (2c)2
2(2c − 2a)2c − (4c − 4a)2 + (2c)2 − (4c − 2a)2
2(4c − 4a)2c
(2c − 2a)2 + (2c)2 − (2c)2 −16(c − a)2 + 4c2 − 4(2c − a)2
2 4(c − a)2 −8(c − a)2 − 2c2 + 2(2c − a)2
12(c − a)2 + 2c2 2(2c − a)2 3c2 −8ac+5a2 03e2 −8e+5 0 e 5
3 e 1
x ∈[02] −x ∈[−20] f (−x) (−x)2 +2(−x) f (x) f (x) −x2 +2x
(0 x 2) f (x)max f (1) 1 x 0 f (x+2) 1
3 f (x) x ∈[46] x−4∈[02]
f (x) 1
3 f (x−2) 1
3⋅1
3 f (x−4) 1
9 f (x−4) 1
9 −(x−4)2 +2(x−4)⎡⎣ ⎤⎦ f (x)max f (5) 1
9
x ∈[68] f (x) 1
27 −(x−6)2 +2(x−6)⎡⎣ ⎤⎦ f (x)max f (7) 1
27
1
9 > 7
144 > 1
27 x0 ∈[56]
f (x0 ) 7
144 f (x) 1
9 −(x−4)2 +2(x−4)⎡⎣ ⎤⎦
1
9 −(x−4)2 +2(x−4)⎡⎣ ⎤⎦ 7
144 x 23
4
−1 8
27
1
4 − 1
4⋅32020
( ) ( ) ( )666
22
111+ 111 1xxxxx
æö+×++×+ç÷èø ( )61 x+ 2x 2
6
65C152
´
( )6
2
1 1 xx ×+ 2x 4
6C 15 2x 15 15 30+
1n 11
12 3aa 1
1
3a n 2 111
12 3nnnSa 12 3nnnSa第2页5页
②① 整理
…
三解答题 （题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17解：(1)∵ ∴
∵ ∴
∴
……………… ………6 分
(2) 中正弦定理： ∴ 中余弦定理
∴ ………12 分
18．解：（1）甲中位数 119乙中位数 128乙成绩更………………2 分
（2）乙频率分布直方图右图示 …………………4 分
（3）甲乙低 140 分成绩 5 取值 012
分布列 ……………………………………………………10 分
……………… …………………………………12 分
19． （1）证明：等腰梯形 中
面 ……………………………6 分
1 1
112 33nnn nnaaa + 1
2+ 3nn naa 2n 21 2
2
3aa+ 4n 43 4
2
3aa+
6n 65 6
2
3aa+ a2018 + a2017 2
32018 a2020 + a2019 2
32020
S2020 2
32 + 2
34 + 2
36 ++ 2
32016 + 2
32018 + 2
32020 2 ×
1
9
1− 1
9
1− ( 1
32 )1010( ) 1
4 (1− 1
32020 )
cos∠ADB cos π − ∠ADC( ) −cos∠ADC 5
5 ∠ADB ∈ 0π( ) sin∠ADB 2 5
5
cos∠BAD 3
5∠BAD ∈ 0π( ) sin∠BAD 4
5
sin B sin π − ∠BAD + ∠ADB( )⎡⎣ ⎤⎦ sin ∠BAD + ∠ADB( )
sin∠BADcos∠ADB + cos∠BADsin∠ADB 4
5 × 5
5 + 3
5 × 2 5
5 2 5
5
ΔABD AD
sin B BD
sin∠BAD
AD
2 5
5
2
4
5
AD 5 ΔADC
AC 2 AD2 + DC 2 − 2AD⋅ DC ⋅cos∠ADC 5+1+ 2 × 5 ×1× 5
5 8 AC 2 2
ξ
P(ξ 0) C3
2
C5
2 3
10 P(ξ 1) C2
1C3
1
C5
2 6
10 P(ξ 2) C2
2
C5
2 1
10
ξ
E(ξ) 0× 3
10 +1× 6
10 +2× 1
10 08
ABCD AB CD ΔOAB ∼ ΔOCD ∴ OA
OC AB
CD 2
AC 3 ∴ OA OB 2OC OD 1 OA2 +OB2 AB2 OA⊥ OB AC ⊥ BD
PB ⊥ AC BD ∩ PB B ∴ AC ⊥ PBD
0 1 2
ξ
P 3
10
6
10
1
10
110 100O
0035
0030
0025
0020
0015
0010
0005
130 140120 150
第3页5页
（2）连结 （1）知 面
面 …………………………8 分
图建立 直角坐标系面 法量 ……………………………………9 分
面 面 面 面
三等分点 三等分点
中
设 法量 解 ……………………………………11 分
设求二面角 面角 ……………12 分
20．解（1）设点 整理
直线 斜率存
求轨迹方程 …………………………………………4 分
曲线 表示掉左右顶点焦点 轴椭圆 …………………………………………5 分
（2）AM 方程 联立 整理
解 ………7 分
AN 方程 理 带入
………………………………8 分
整理 ……………………………9 分
……………………………………………………10 分
PO AC ⊥ PBD ∴ AC ⊥ PO ∴ PO PA2 −OA2 2
PO2 + BO2 PB2 PO ⊥ BO BO ∩ AC O PO ⊥ ABCD
O−xyz ABD m (001)
∵ OE PAD OE ⊂ PAC PAC ∩ PAD PA
∴ OE PA O AC ∴ E PC
A(200)B(020)C(−100)D(0−10)O(000)
P(002)E(−2
301) ΔABE AB
(−220) AE
(−5
2 01)
n (x0 y0 z0 ) AB
⋅ n 0
AE
⋅ n 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
n (114)
E − AB− D θ cosθ
n⋅ m
| n || m | 4
1+1+16
4
18
2 2
3
P(x y) kPA y
x+ m
kPB y
x− m kPAkPB y2
x2 −m − 3
m
my2 −3x2 +3m 3x2 + my2 3m x2
m + y2
3 1 PA PB y ≠ 0
x2
m + y2
3 1(y ≠ 0)
m>3 C x
y k x + m( )
x2
m + y2
3 1
y k x + m( )
⎧
⎨⎪
⎩⎪
3+ mk 2( )x2 + 2m mk 2x + m2k 2 − 3m 0
x − m x − m mk 2 − 3 m
3+ mk 2 AM 1+ k 2 − m mk 2 − 3 m
3+ mk 2 + m 1+ k 2 ⋅ 6 m
3+ mk 2
y k ＇ x + m( ) AN 1+ k ＇2 ⋅ 6 m
3+ mk ＇2 k ＇ −1
k
AN 1+ k 2
| k | ⋅ 6 m
3+ m
k
1+ k 2
| k | ⋅ 6 mk 2
3k 2 + m
3 AM AN 3 1+ k 2 ⋅ 6 m
3+ mk 2 1+ k 2
| k | ⋅ 6 mk 2
3k 2 + m k >0 3 1+ k 2 ⋅ 6 m
3+ mk 2 1+ k 2
⋅ 6 mk
3k 2 + m
3
3+ mk 2 k
3k 2 + m 9k 2 +3m 3k + mk 3 m 9k 2 − 3k
k 3 − 3
m>3 9k 2 − 3k
k 3 − 3 > 3 3k 2 − k
k 3 − 3 >1
3k 2 − k − k 3 + 3
k 3 − 3 > 0 k 3 − 3k 2 + k + 3
k 3 − 3 < 0 k 3 + k − 3(k 2 +1)
k 3 − 3 < 0 k(k 2 +1) − 3(k 2 +1)
k 3 − 3 < 0
A
D
P
C
E
B
x y
z
O第4页5页
解 …………………………………………12 分
21． 解：（1） 定义域
时 单减 时 单增
……………………………………4 分
（2）① 时（1）知 单增 时
时 时
时 解 …………………………………6 分
减函数
② 时
令 显然
函数 单调递增
时 单减 时 单增
时 解 …………………………………8 分
③ 时 时 零点 ………………………………9 分
④ 时 令 证存
令
令
需
记 单增 单增
存 前 解
综述 时 零点 ……………………………………………12 分
(k 2 +1)(k −3)(k 3 −3)<0 k 2 +1>0 (k −3)(k 3 −3)<0 (k −3)(k − 33 )(k 2 + 33 k + 323 )<0
k 2 + 33 k + 323 >0 (k −3)(k − 33 )<0 33 < k <3
f ＇(x) 2x+1−(ln x+ x⋅ 1
x) 2x−ln x h(x) 2x−ln x (0+∞)
h＇(x) 2− 1
x 2x−1
x 0< x < 1
2 h＇(x)<0 h(x) x > 1
2 h＇(x)>0 h(x)
h(x)min h(1
2) 1−ln 1
2 1+ln2
a 0 h(x) f ＇(x)1 ln2>0 f (x) x2 + x−xln x x 1
f (x) f (1) 2>0 0< x <1 xln x <0 x2 + x >0 f (x)>0 ex−a + x >0 a 0
g(x) ex−a + x−af (x)>0 g(x) 0
g(x) ex−a + x−a(x2 + x−xln x) ex ⋅(1
e)a −a(x2 + x−xln x)+ x ϕ(a) x2 + x−xln x >0
0< 1
e <1 ϕ(a) a
0< a <1 ϕ(a)>ϕ(1) ex−1 −x2 −x+ xln x+ x ex−1 −x2 + xln x
p(x) ex−1 −x2 + xln x p(1) 0 p＇(x) ex−1 −2x+ln x+1 p＇(1) 0
p＇＇(x) ex−1 −2+ 1
x (x−1)+1−2+ 1
x x+ 1
x −2 2 x⋅ 1
x −2 0 p＇(x)
p＇(1) 0 0< x <1 p＇(x)<0 p(x) x >1 p＇(x)>0 p(x)
p(x)min p(1) 0 ϕ(a)>ϕ(1) p(x)0 g(x) 0
a 1 g(x) p(x) g(1) p(1) 0 g(x) 0
a >1 g(x) ϕ(a)<ϕ(1) p(x) x 1 g(1)< p(1) 0 x0 g(x0 )>0
g(x) ex−a + x−a(x2 + x−xln x) ex−a + x−xa(x+1+ln x) x[ ex−a−ln x +1−a(x+1−ln x) ]
g(x)>0 ⇔ ex−a−ln x +1−a(x+1−ln x)>0 h(x) ex−a−ln x +1−a(x+1−ln x)>0
x e2a h(e2a ) ee2a−a−lne2a +1−a(e2a +1−lne2a ) ee2a−3a +1−a(e2a +1−2a)
ee2a−3a +1−ae2a −a+2a2 ee2a−3a −ae2a +(1−a+2a2 ) 1−a+2a2 >0 ee2a−3a −ae2a 0
ee2a−3a −ae2a 0 ⇔ ee2a−3a ae2a ⇔ lnee2a−3a lnae2a ⇔ e2a −3a lna+2a ⇔ e2a lna+5a
p(a) e2a −lna−5a p(a)＇ 2e2a − 1
a −5 p(a)＇> p(1) 2e2 −5>0 p(a)
p(a)> p(1) e2 −5>0 x0 e2a g(x0 )>0 g(1)<0 g(x) 0 (1e2a )
a 1 g(x) 0第5页5页
22．解：(1)直线 直角坐标方程 曲线 C 圆心 半径 圆直线 曲线
相切： 曲线 普通方程
曲线 极坐标方程 ……………………5 分
(2)(1)妨设 ( )
……………………10 分
23 解（1）
恒成立
时 解
时 解
时 解
综述 取值范围 …………………………………………………5 分
（2）
………………………10 分
l y 3x+2 ( 31) r l
C r | 3× 3−1+2 |
2 2 C (x− 3)2 +(y−1)2 4
C ρ2 −2 3ρcosθ−2ρsinθ 0 ρ 4sin(θ+ π
3)
M(ρ1θ)N(ρ2 θ− π
3) ρ1ρ2 >0
SΔMON 1
2 ρ1ρ2 sin π
3 3
4 ρ1ρ2 3
4 ⋅4sin(θ+ π
3)⋅4sin(θ− π
3 + π
3) 4 3sinθsin(θ+ π
3)
4 3sinθ(1
2 sinθ+ 3
2 cosθ) 2 3(sin2 θ+ 3sinθcosθ) 2 3(1−cos2θ
2 + 3
2 sin2θ)
2 3(sin2θ 3
2 − 1
2 cos2θ+ 1
2) 2 3sin(2θ− π
6 )+ 3 3 3
( 1
a2 + 4
b2 )×2 ( 1
a2 + 4
b2 )(a2 +b2 ) 5+ b2
a2 + 4a2
b2 5+2 b2
a2 ×4a2
b2 9 1
a2 + 4
b2 9
2
1
a2 + 4
b2 | 2x−1|−| x−1| | 2x−1|−| x−1| 9
2
x 1 2x−1−x+1 9
2 1 x 9
2
1
2 x <1 2x−1+ x−1 9
2
1
2 x <1
x < 1
2 −2x+1+ x−1 9
2 −9
2 x < 1
2
x −9
2 x 9
2
(1
a + 1
b)(a5 +b5 ) a4 +b4 + b5
a + a5
b (a2 +b2 )2 +(b5
a + a5
b )−2a2b2
4+(b5
a + a5
b )−2a2b2 4+2 b5
a ⋅ a5
b −2a2b2 4+2a2b2 −2a2b2 4
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