中考刺：观察纳型问题(提高)
选择题
1．（2015秋•扬州校级月考）图数轴质点原点出发数轴跳动次正方负方跳1单位5次跳动质点落表示数3点（允许重复点）质点运动方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2 面坐标系中正方形ABCD位置图示点A坐标（10）点D坐标（02）延长CB交x轴点A1作正方形A1B1C1C延长C1B1交x轴点A2作正方形A2B2C2C1…样规律进行第2012正方形面积（ ）
A． B．
C． D．
3 边长a等边三角形记第1等边三角形取边三等分点次连接正六边形记第1正六边形取正六边形相邻三边中点次连接等边三角形记第2等边三角形取边三等分点次连接正六边形记第2正六边形（图）…方式次操作第6正六边形边长（ ）
A． B．
C． D．
二填空题
4．图线段ACn+1（中n正整数）点B线段AC线段AC侧作正方形ABMN正方形BCEF连接AMMEEA△AME．AB1时△AME面积记S1AB2时△AME面积记S2AB3时△AME面积记S3…ABn时△AME面积记Sn．n≥2时SnSn1______．
5．图面直角坐标系中正六边形ABCDEF中CD坐标分（10）（20）．滑动情况六边形着x轴右滚动滚动程中六边形顶点ABCDEF中会点
（452）点______．
6（2016春•固始县期末）图示面直角坐标系中第次三角形OAB变换成三角形OA1B1第二次三角形OA1B1变换成三角形OA2B2．第三次三角形OA2B2变换成三角形OA3B3已知A（12）A1（22）A2（42）A3（82）B（20）B1（40）B2（80）B3（160）．．
（1）观察次变换前三角形变化？找出规律三角形△OA3B3变换成三角形OA4B4A4坐标______B4坐标______．
（2）第（1）题找规律三角形OAB进行n次变换三角形OAnBn推测An坐标______Bn坐标______
三解答题
7．图中正方形边长1正方形组成：
（1）观察图形请填写列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
蓝色正方形数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
蓝色正方形数
…
（2）边长n（n≥1）正方形中设蓝色正方形数P1白色正方形数P2问否存偶数nP25P1？存请写出n值存请说明理．
8 定义：某图形分割干相似图形称图形相似图形
探究：般意三角形相似图形次连结三角形边中点原三角形分割四相似三角形△DEF（图乙）第次次连结边中点进行分割称1阶分割（图1）1阶分割出4三角形分次连结边中点进行分割称2阶分割（图2）……次规操作n阶分割三角形全等三角形（n正整数）设时三角形面积Sn
（1）△DEF面积10000n值时2＜Sn＜3？（请计算器进行探索求少写出三次尝试估算程）
（2）n＞1时请写出反映Sn－1SnSn＋1间关系等式（必证明）
9 （2016•台州）定义：三角相等四边形三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中∠A∠B∠C求∠A取值范围
（2）图折叠行四边形纸片DEBF顶点EF分落边BEBF点AC处折痕分DGDH．求证：四边形ABCD三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中∠A∠B∠CCBCD4AD长值时AB长值少？求时角线AC长．
10 国古代周髀算记载公元前1120年商高周公说根直尺折成直角两端连结直角三角形果勾三股四弦等五概括勾三股四弦五
（1）观察：3455121372425……发现勾股数勾奇数3起没间断计算（9－1）（9＋1）（25－1）（25＋1）根发现规律分写出表示72425股弦算式
（2）根⑴规律n（n奇数n≥3）代数式表示勾股数勾股弦合情猜想间二种相等关系中种猜想加证明
（3）继续观察435681081517……发现组第数偶数4起没间断运类似述探索方法直接m（m偶数m＞4）代数式表示股弦
答案解析
答案解析 选择题
1答案D
解析
∵数轴质点原点出发数轴跳动次正方负方跳1单位5次跳动质点落表示数3点（允许重复点）
∴质点运动方案：方案：0→﹣1→0→1→2→3
方案二：0→1→0→1→2→3
方案三：0→1→2→1→2→3
方案四：0→1→2→3→2→3
方案五：0→1→2→3→4→3．
选项A错误选项B错误选项C错误选项D正确．
选D．
2答案D
解析
∵点A坐标（10）点D坐标（02）
∴OA1OD2
设正方形面积分S1S2…S2012
根题意：AD∥BC∥C1A2∥C2B2
∴∠BAA1∠B1A1A2∠B2A2x
∵∠ABA1∠A1B1A290°
∴△BAA1∽△B1A1A2
直角△ADO中根勾股定理：AD
∴ABADBC
∴S15
∵∠DAO+∠ADO90°∠DAO+∠BAA190°
∴∠ADO∠BAA1
∴tan∠BAA1
∴A1B
∴A1BA1CBC+A1B
∴S2×55×（）2
∴
∴A2B1×
∴A2C1B1C1+A2B1+×（）2
∴S3×55×（）4
：Sn5×（）2n2
∴S20125×（）2×201225×（）4022．
选D．
3答案A
解析
连接ADDFDB
∵六边形ABCDEF正六边形
∴∠ABC∠BAF∠∠AFEABAF∠E∠C120°EFDEBCCD
∴∠EFD∠EDF∠CBD∠BDC30°
∵∠AFE∠ABC120°
∴∠AFD∠ABD90°
Rt△ABDRtAFD中
∴Rt△△ABD≌Rt△AFD
∴∠BAD∠FAD×120°60°
∴∠FAD+∠AFE60°+120°180°
∴AD∥EF
∵GI分AFDE中点
∴GI∥EF∥AD
∴∠FGI∠FAD60°
∵六边形ABCDEF正六边形△QKM等边三角形
∴∠EDM60°∠M
∴EDEM
理AFQF
AFQFEFEM
∵等边三角形QKM边长a
∴第正六边形ABCDEF边长a等边三角形QKM边长
F作FZ⊥GIZE作EN⊥GIN
FZ∥EN
∵EF∥GI
∴四边形FZNE行四边形
∴EFZNa
∵GFAF×aa∠FGI60°（已证）
∴∠GFZ30°
∴GZGFa
理INa
∴GIa+a+aa第等边三角形边长a面求出第正六边形边长方法类似求出第二正六边形边长×a
理第二等边三角形边长×a面求出第正六边形边长方法类似求出第三
正六边形边长××a
理第三等边三角形边长××a第四正六边形边长×××a
第四等边三角形边长×××a第五正六边形边长××××a
第五等边三角形边长××××a第六正六边形边长×××××a
第六正六边形边长×a
选A．
二填空题
4答案
解析
连接BE
∵线段AC侧作正方形ABMN正方形BCEF
∴BE∥AM
∴△AME△AMB底等高
∴△AME面积△AMB面积
∴ABn时△AME面积记Snn2
Sn1（n1）2n2n+
∴n≥2时SnSn1
答案：
5答案B
解析
图示：
滚动单位长度时EFA应点分E′F′A′连接A′D点F′E′作F′G⊥A′D
E′H⊥A′D
∵六边形ABCD正六边形
∴∠A′F′G30°
∴A′GA′F′理HD
∴A′D2
∵D（20）
∴A′（22）OD2
∵正六边形滚动6单位长度时正滚动周
∴点（22）开始点（452）正滚动43单位长度
∵7…1
∴恰滚动7周
∴会点（452）点B．
答案：B．
6答案（1）A4（162）B4（320）（2）（2n2）（2n+10）．
解析（1）根题意A4横坐标16坐标3B4横坐标32坐标0．
A4（162）B4（320）
（2）题规律知An坐标总2横坐标2nBn坐标总0横坐标2n+1．
An（2n2）Bn（2n+10）．
三解答题
7答案解析
（1）15913奇数2n－1481216偶数2n．
（2）（1）知n偶数时P12n∴P2n2－2n（总数n2减蓝色正方形数2n）
根题意n2－2n5×2nn2－12n0解n0（合题意舍）n12．∴存偶数n12 P25P1
8答案解析
解：
（1）△DEFn阶分割三角形数∴Sn＝
n＝5时S5＝≈977
n＝6时S6＝≈244
n＝7时S7＝≈061
∴n＝6时2＜S6＜3
（2）S＝S×S
9答案解析
解：（1）∵∠A∠B∠C
∴3∠A+∠ADC360°
∴∠ADC360°﹣3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°
∴60°＜∠A＜120°
（2）证明：∵四边形DEBF行四边形
∴∠E∠F∠E+∠EBF180°．
∵DEDADFDC
∴∠E∠DAE∠F∠DCF
∵∠DAE+∠DAB180°∠DCF+∠DCB180°∠E+∠EBF180°
∴∠DAB∠DCB∠ABC
∴四边形ABCD三等角四边形
（3）①60°＜∠A＜90°时图1
点D作DF∥ABDE∥BC
∴四边形BEDF行四边形∠DFC∠B∠DEA
∴EBDFDEFB
∵∠A∠B∠C∠DFC∠B∠DEA
∴△DAE∽△DCFADDEDCDF4
设ADxABy
∴AEy﹣4CF4﹣x
∵△DAE∽△DCF
∴
∴
∴y﹣x2+x+4﹣（x﹣2）2+5
∴x2时y值5
：AD2时AB值5
②∠A90°时三等角四边形正方形
∴ADABCD4
③90°＜∠A＜120°时∠D锐角图2
∵AE4﹣AB＞0
∴AB＜4
综述AD2时AB长值5
时AE1图3
点C作CM⊥ABMDN⊥ABN
∵DADEDN⊥AB
∴ANAE
∵∠DAN∠CBM∠DNA∠CMB90°
∴△DAN∽△CBM
∴
∴BM1
∴AM4CM
∴AC．
10答案解析
解：
（1）∵（9－1）＝4（9＋1）＝5（25－1）＝12（25＋1）＝13
∴72425股算式：（49－1）＝（72－1）
弦算式：（49＋1）＝（72＋1）
（2）n奇数n≥3勾股弦代数式分：n（n2－1）（n2＋1）
例关系式①：弦－股＝1关系式②：勾2＋股2＝弦2
证明关系式①：弦－股＝（n2＋1）－（n2－1）＝［（n2＋1）－（n2－1）］＝1
证明关系式②：勾2＋股2＝n2＋［（n2－1）］2＝n4＋n2＋＝（n2＋1）2＝弦2
∴猜想证
（3）例探索m偶数m＞4时
股弦代数式分：（）2－1（）2＋1
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选择题
1．（2015秋•扬州校级月考）图数轴质点原点出发数轴跳动次正方负方跳1单位5次跳动质点落表示数3点（允许重复点）质点运动方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2 面坐标系中正方形ABCD位置图示点A坐标（10）点D坐标（02）延长CB交x轴点A1作正方形A1B1C1C延长C1B1交x轴点A2作正方形A2B2C2C1…样规律进行第2012正方形面积（ ）
A． B．
C． D．
3 边长a等边三角形记第1等边三角形取边三等分点次连接正六边形记第1正六边形取正六边形相邻三边中点次连接等边三角形记第2等边三角形取边三等分点次连接正六边形记第2正六边形（图）…方式次操作第6正六边形边长（ ）
A． B．
C． D．
二填空题
4．图线段ACn+1（中n正整数）点B线段AC线段AC侧作正方形ABMN正方形BCEF连接AMMEEA△AME．AB1时△AME面积记S1AB2时△AME面积记S2AB3时△AME面积记S3…ABn时△AME面积记Sn．n≥2时SnSn1______．
5．图面直角坐标系中正六边形ABCDEF中CD坐标分（10）（20）．滑动情况六边形着x轴右滚动滚动程中六边形顶点ABCDEF中会点
（452）点______．
6（2016春•固始县期末）图示面直角坐标系中第次三角形OAB变换成三角形OA1B1第二次三角形OA1B1变换成三角形OA2B2．第三次三角形OA2B2变换成三角形OA3B3已知A（12）A1（22）A2（42）A3（82）B（20）B1（40）B2（80）B3（160）．．
（1）观察次变换前三角形变化？找出规律三角形△OA3B3变换成三角形OA4B4A4坐标______B4坐标______．
（2）第（1）题找规律三角形OAB进行n次变换三角形OAnBn推测An坐标______Bn坐标______
三解答题
7．图中正方形边长1正方形组成：
（1）观察图形请填写列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
蓝色正方形数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
蓝色正方形数
…
（2）边长n（n≥1）正方形中设蓝色正方形数P1白色正方形数P2问否存偶数nP25P1？存请写出n值存请说明理．
8 定义：某图形分割干相似图形称图形相似图形
探究：般意三角形相似图形次连结三角形边中点原三角形分割四相似三角形△DEF（图乙）第次次连结边中点进行分割称1阶分割（图1）1阶分割出4三角形分次连结边中点进行分割称2阶分割（图2）……次规操作n阶分割三角形全等三角形（n正整数）设时三角形面积Sn
（1）△DEF面积10000n值时2＜Sn＜3？（请计算器进行探索求少写出三次尝试估算程）
（2）n＞1时请写出反映Sn－1SnSn＋1间关系等式（必证明）
9 （2016•台州）定义：三角相等四边形三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中∠A∠B∠C求∠A取值范围
（2）图折叠行四边形纸片DEBF顶点EF分落边BEBF点AC处折痕分DGDH．求证：四边形ABCD三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中∠A∠B∠CCBCD4AD长值时AB长值少？求时角线AC长．
10 国古代周髀算记载公元前1120年商高周公说根直尺折成直角两端连结直角三角形果勾三股四弦等五概括勾三股四弦五
（1）观察：3455121372425……发现勾股数勾奇数3起没间断计算（9－1）（9＋1）（25－1）（25＋1）根发现规律分写出表示72425股弦算式
（2）根⑴规律n（n奇数n≥3）代数式表示勾股数勾股弦合情猜想间二种相等关系中种猜想加证明
（3）继续观察435681081517……发现组第数偶数4起没间断运类似述探索方法直接m（m偶数m＞4）代数式表示股弦
答案解析
答案解析 选择题
1答案D
解析
∵数轴质点原点出发数轴跳动次正方负方跳1单位5次跳动质点落表示数3点（允许重复点）
∴质点运动方案：方案：0→﹣1→0→1→2→3
方案二：0→1→0→1→2→3
方案三：0→1→2→1→2→3
方案四：0→1→2→3→2→3
方案五：0→1→2→3→4→3．
选项A错误选项B错误选项C错误选项D正确．
选D．
2答案D
解析
∵点A坐标（10）点D坐标（02）
∴OA1OD2
设正方形面积分S1S2…S2012
根题意：AD∥BC∥C1A2∥C2B2
∴∠BAA1∠B1A1A2∠B2A2x
∵∠ABA1∠A1B1A290°
∴△BAA1∽△B1A1A2
直角△ADO中根勾股定理：AD
∴ABADBC
∴S15
∵∠DAO+∠ADO90°∠DAO+∠BAA190°
∴∠ADO∠BAA1
∴tan∠BAA1
∴A1B
∴A1BA1CBC+A1B
∴S2×55×（）2
∴
∴A2B1×
∴A2C1B1C1+A2B1+×（）2
∴S3×55×（）4
：Sn5×（）2n2
∴S20125×（）2×201225×（）4022．
选D．
3答案A
解析
连接ADDFDB
∵六边形ABCDEF正六边形
∴∠ABC∠BAF∠∠AFEABAF∠E∠C120°EFDEBCCD
∴∠EFD∠EDF∠CBD∠BDC30°
∵∠AFE∠ABC120°
∴∠AFD∠ABD90°
Rt△ABDRtAFD中
∴Rt△△ABD≌Rt△AFD
∴∠BAD∠FAD×120°60°
∴∠FAD+∠AFE60°+120°180°
∴AD∥EF
∵GI分AFDE中点
∴GI∥EF∥AD
∴∠FGI∠FAD60°
∵六边形ABCDEF正六边形△QKM等边三角形
∴∠EDM60°∠M
∴EDEM
理AFQF
AFQFEFEM
∵等边三角形QKM边长a
∴第正六边形ABCDEF边长a等边三角形QKM边长
F作FZ⊥GIZE作EN⊥GIN
FZ∥EN
∵EF∥GI
∴四边形FZNE行四边形
∴EFZNa
∵GFAF×aa∠FGI60°（已证）
∴∠GFZ30°
∴GZGFa
理INa
∴GIa+a+aa第等边三角形边长a面求出第正六边形边长方法类似求出第二正六边形边长×a
理第二等边三角形边长×a面求出第正六边形边长方法类似求出第三
正六边形边长××a
理第三等边三角形边长××a第四正六边形边长×××a
第四等边三角形边长×××a第五正六边形边长××××a
第五等边三角形边长××××a第六正六边形边长×××××a
第六正六边形边长×a
选A．
二填空题
4答案
解析
连接BE
∵线段AC侧作正方形ABMN正方形BCEF
∴BE∥AM
∴△AME△AMB底等高
∴△AME面积△AMB面积
∴ABn时△AME面积记Snn2
Sn1（n1）2n2n+
∴n≥2时SnSn1
答案：
5答案B
解析
图示：
滚动单位长度时EFA应点分E′F′A′连接A′D点F′E′作F′G⊥A′D
E′H⊥A′D
∵六边形ABCD正六边形
∴∠A′F′G30°
∴A′GA′F′理HD
∴A′D2
∵D（20）
∴A′（22）OD2
∵正六边形滚动6单位长度时正滚动周
∴点（22）开始点（452）正滚动43单位长度
∵7…1
∴恰滚动7周
∴会点（452）点B．
答案：B．
6答案（1）A4（162）B4（320）（2）（2n2）（2n+10）．
解析（1）根题意A4横坐标16坐标3B4横坐标32坐标0．
A4（162）B4（320）
（2）题规律知An坐标总2横坐标2nBn坐标总0横坐标2n+1．
An（2n2）Bn（2n+10）．
三解答题
7答案解析
（1）15913奇数2n－1481216偶数2n．
（2）（1）知n偶数时P12n∴P2n2－2n（总数n2减蓝色正方形数2n）
根题意n2－2n5×2nn2－12n0解n0（合题意舍）n12．∴存偶数n12 P25P1
8答案解析
解：
（1）△DEFn阶分割三角形数∴Sn＝
n＝5时S5＝≈977
n＝6时S6＝≈244
n＝7时S7＝≈061
∴n＝6时2＜S6＜3
（2）S＝S×S
9答案解析
解：（1）∵∠A∠B∠C
∴3∠A+∠ADC360°
∴∠ADC360°﹣3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°
∴60°＜∠A＜120°
（2）证明：∵四边形DEBF行四边形
∴∠E∠F∠E+∠EBF180°．
∵DEDADFDC
∴∠E∠DAE∠F∠DCF
∵∠DAE+∠DAB180°∠DCF+∠DCB180°∠E+∠EBF180°
∴∠DAB∠DCB∠ABC
∴四边形ABCD三等角四边形
（3）①60°＜∠A＜90°时图1
点D作DF∥ABDE∥BC
∴四边形BEDF行四边形∠DFC∠B∠DEA
∴EBDFDEFB
∵∠A∠B∠C∠DFC∠B∠DEA
∴△DAE∽△DCFADDEDCDF4
设ADxABy
∴AEy﹣4CF4﹣x
∵△DAE∽△DCF
∴
∴
∴y﹣x2+x+4﹣（x﹣2）2+5
∴x2时y值5
：AD2时AB值5
②∠A90°时三等角四边形正方形
∴ADABCD4
③90°＜∠A＜120°时∠D锐角图2
∵AE4﹣AB＞0
∴AB＜4
综述AD2时AB长值5
时AE1图3
点C作CM⊥ABMDN⊥ABN
∵DADEDN⊥AB
∴ANAE
∵∠DAN∠CBM∠DNA∠CMB90°
∴△DAN∽△CBM
∴
∴BM1
∴AM4CM
∴AC．
10答案解析
解：
（1）∵（9－1）＝4（9＋1）＝5（25－1）＝12（25＋1）＝13
∴72425股算式：（49－1）＝（72－1）
弦算式：（49＋1）＝（72＋1）
（2）n奇数n≥3勾股弦代数式分：n（n2－1）（n2＋1）
例关系式①：弦－股＝1关系式②：勾2＋股2＝弦2
证明关系式①：弦－股＝（n2＋1）－（n2－1）＝［（n2＋1）－（n2－1）］＝1
证明关系式②：勾2＋股2＝n2＋［（n2－1）］2＝n4＋n2＋＝（n2＋1）2＝弦2
∴猜想证
（3）例探索m偶数m＞4时
股弦代数式分：（）2－1（）2＋1
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