专题27 形数——助图形思考
阅读思考
数学研究数量关系空间形式科学数形数形关联转化数学研究永恒题解题言数形恰结合常常助问题解决美国数学家斯蒂恩说：果特定问题转化图形思维整体握问题创造性思考问题解法．问题转化图形问题中条件结直观整体表示出十分重解题方法现阶段助图形思考指两方面：
1．定图形获取解题信息
数学问题表述方法文字叙述通图形（数轴图表面图形等）呈现善定图形获取解题信息重技．
2．意画图辅助解题
图形直观形象表示数量关系解题中意画图（画直线图列表构造图
形等）帮助分析理复杂数量关系问题获简解．
阅读思考
例1图圆周均匀钉9枚钉子钉尖橡皮筋套住
中3枚套三角形套出三角形中
形状____________种
（五羊杯竞赛试题）
解题思路：圆周长保持变设圆周长9套成三角形三边应弧长分妨设助图形分析找出满足条件整数解
例2列快车甲驶乙列慢车乙驶甲两车时出发设慢车行驶时间（h）两车间距离（km）图中折线表示间函数关系根图进行探究：
信息读取
（1）甲乙两间距离___________km
（2）请解释图中点B实际意义
图理解
（3）求慢车快车速度
（4）求线段BC表示间函数关系式写出变量取值范围
问题解决
（5）第二列快车甲出发驶乙速度第列快车相第列快车慢车相遇30分钟第二列快车慢车相遇求第二列快车第列快车晚车发少时？
（江苏省南京市中考试题）
解题思路：函数图包含两种层次信息：慢车行驶900km12h等直接感知浅层结构信息0～4时间稍段时间快车慢车速度定值C点表示快车某时刻已达终点等需分析运算获深层结构信息
例3某电视台解三特色栏目收视情况28位观众进行调查调查知：位观众少收中栏目没收栏目观众中收栏目数收栏目两倍收栏目观众中收栏目观众数收栏目外时收栏目数1收栏目观众中半没收栏目求栏目收视率
（数学周报杯全国数学竞赛试题）
解题思路：设未知数助图表表示题中数量间关系
例4甲乙丙丁戌五名学参加推铅球赛通知抽签决定出赛序未公布序前出赛序进行猜测甲猜：乙第三丙第五乙猜：戌第四丁第五丙猜：甲第戌第四丁猜：丙第乙第二戌猜：甲第三丁第四老师说出赛序少猜中问：出赛序中第第三第五分位学？
（希杯邀请赛试题）
解题思路：文字罗列出条件相互关系错综复杂便分析推断妨助图表直观表示研究象关系
例5某班50名学期末考试优秀学生数科目表：
科
二科
三科
科目
数
外
语
数语
数外
语外
数语外
数
32
31
29
16
17
18
10
里科优秀者包括两三科优秀者两科优秀者包括三科优秀者试说明述统计表错误
（创新杯竞赛试题）
解题思路：助图形直观表示出数学外语语文优秀学生集合利分析推断
力训练
1．甲乙丙丁强五位学起赛象棋两赛盘现止甲已赛4盘乙赛3盘丙赛2盘丁赛1盘强已赛________盘
（华罗庚金杯竞赛试题）
2．某市储运部紧急调拨批物资调进物资4时调进物资2时开始调出物资（调进物资调出物资速度保持变）储运部库存物资时间间函数关系图批物资开始调进全部调出需时间___________________
（山东省济南市中考试题）
3．甲乙两时出发速度匀速汽车原休息甲乙两距离乙骑车时间间函数关系图图两距离______________________千米
4．台计算机硬盘分3区区情况图示硬盘率______________________
（希杯邀请赛试题）
5．三支足球队举行单循环赛（支队支队赛场三场）表出赛部分结果：
球队
赛场数
胜
负
总进球数
总失球数
2
2
1
2
1
2
4
2
3
7
请根表填队队赛时分_______________
（重庆市竞赛试题）
6．图某班全体学生外出时车步行骑车数分布直方图扇形统计图（两图完整）列结中错误（ ）
A．该班总数50 B．骑车数占总数20％
C．步行数30 D．车数骑车数25倍
7．某骑车直线旅行先前进千米休息段时间原路返回千米（）前进千米离起点距离时间关系示意图（ ）
A． B． C． D．
8．圆形块算分四区域栽种观赏植物区域种种植物相邻（公边）两块里中植物现4种植物供选择栽种方案数 ( )
A．66 B．68
C．60 D．84
（重庆市竞赛试题）
9．某校参加数学竞赛120名男生80名女生参加英语竞赛120名女生80名男生已知该校总260名学生参加竞赛中75名男生两科竞赛参加问参加数学竞赛没参加英语竞赛女生数少？
（祖杯邀赛试题）
10．某租辆汽车城前城途城市通两城市间需时间（单位：h）图示汽车行驶均速度kmh汽车行驶 km需均费元试指出城出发城短线路求出需费少少元？
（全国初中数学竞赛试题）
11刚回营两抢险队接救灾命令：分队立出发赶30千米外A镇二分队疲劳营休息时赶A镇参加救灾分队出发知唯通A镇道路里营10千米处发生塌方塌方处形复杂必须分队1时通．已知分队行进速度5千米时二分队行进速度千米时．
（1）二分队营休息问二分队时赶A镇？
（2）需二分队分队时赶A镇二分队应营休息时？
（3）列图中①②分描述分队二分队离A镇距离（千米）时间（时）函数关系请写出认合理图代号说明实际意义．
A B C D
(安徽省中考题)
12已知函数．
（1）直角坐标系中作出函数图象．
（2）已知关方程三解求取值范围．
（创新杯竞赛试题）
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数学研究数量关系空间形式科学数形数形关联转化数学研究永恒题解题言数形恰结合常常助问题解决美国数学家斯蒂恩说：果特定问题转化图形思维整体握问题创造性思考问题解法．问题转化图形问题中条件结直观整体表示出十分重解题方法现阶段助图形思考指两方面：
1．定图形获取解题信息
数学问题表述方法文字叙述通图形（数轴图表面图形等）呈现善定图形获取解题信息重技．
2．意画图辅助解题
图形直观形象表示数量关系解题中意画图（画直线图列表构造图
形等）帮助分析理复杂数量关系问题获简解．
阅读思考
例1图圆周均匀钉9枚钉子钉尖橡皮筋套住
中3枚套三角形套出三角形中
形状____________种
（五羊杯竞赛试题）
解题思路：圆周长保持变设圆周长9套成三角形三边应弧长分妨设助图形分析找出满足条件整数解
例2列快车甲驶乙列慢车乙驶甲两车时出发设慢车行驶时间（h）两车间距离（km）图中折线表示间函数关系根图进行探究：
信息读取
（1）甲乙两间距离___________km
（2）请解释图中点B实际意义
图理解
（3）求慢车快车速度
（4）求线段BC表示间函数关系式写出变量取值范围
问题解决
（5）第二列快车甲出发驶乙速度第列快车相第列快车慢车相遇30分钟第二列快车慢车相遇求第二列快车第列快车晚车发少时？
（江苏省南京市中考试题）
解题思路：函数图包含两种层次信息：慢车行驶900km12h等直接感知浅层结构信息0～4时间稍段时间快车慢车速度定值C点表示快车某时刻已达终点等需分析运算获深层结构信息
例3某电视台解三特色栏目收视情况28位观众进行调查调查知：位观众少收中栏目没收栏目观众中收栏目数收栏目两倍收栏目观众中收栏目观众数收栏目外时收栏目数1收栏目观众中半没收栏目求栏目收视率
（数学周报杯全国数学竞赛试题）
解题思路：设未知数助图表表示题中数量间关系
例4甲乙丙丁戌五名学参加推铅球赛通知抽签决定出赛序未公布序前出赛序进行猜测甲猜：乙第三丙第五乙猜：戌第四丁第五丙猜：甲第戌第四丁猜：丙第乙第二戌猜：甲第三丁第四老师说出赛序少猜中问：出赛序中第第三第五分位学？
（希杯邀请赛试题）
解题思路：文字罗列出条件相互关系错综复杂便分析推断妨助图表直观表示研究象关系
例5某班50名学期末考试优秀学生数科目表：
科
二科
三科
科目
数
外
语
数语
数外
语外
数语外
数
32
31
29
16
17
18
10
里科优秀者包括两三科优秀者两科优秀者包括三科优秀者试说明述统计表错误
（创新杯竞赛试题）
解题思路：助图形直观表示出数学外语语文优秀学生集合利分析推断
力训练
1．甲乙丙丁强五位学起赛象棋两赛盘现止甲已赛4盘乙赛3盘丙赛2盘丁赛1盘强已赛________盘
（华罗庚金杯竞赛试题）
2．某市储运部紧急调拨批物资调进物资4时调进物资2时开始调出物资（调进物资调出物资速度保持变）储运部库存物资时间间函数关系图批物资开始调进全部调出需时间___________________
（山东省济南市中考试题）
3．甲乙两时出发速度匀速汽车原休息甲乙两距离乙骑车时间间函数关系图图两距离______________________千米
4．台计算机硬盘分3区区情况图示硬盘率______________________
（希杯邀请赛试题）
5．三支足球队举行单循环赛（支队支队赛场三场）表出赛部分结果：
球队
赛场数
胜
负
总进球数
总失球数
2
2
1
2
1
2
4
2
3
7
请根表填队队赛时分_______________
（重庆市竞赛试题）
6．图某班全体学生外出时车步行骑车数分布直方图扇形统计图（两图完整）列结中错误（ ）
A．该班总数50 B．骑车数占总数20％
C．步行数30 D．车数骑车数25倍
7．某骑车直线旅行先前进千米休息段时间原路返回千米（）前进千米离起点距离时间关系示意图（ ）
A． B． C． D．
8．圆形块算分四区域栽种观赏植物区域种种植物相邻（公边）两块里中植物现4种植物供选择栽种方案数 ( )
A．66 B．68
C．60 D．84
（重庆市竞赛试题）
9．某校参加数学竞赛120名男生80名女生参加英语竞赛120名女生80名男生已知该校总260名学生参加竞赛中75名男生两科竞赛参加问参加数学竞赛没参加英语竞赛女生数少？
（祖杯邀赛试题）
10．某租辆汽车城前城途城市通两城市间需时间（单位：h）图示汽车行驶均速度kmh汽车行驶 km需均费元试指出城出发城短线路求出需费少少元？
（全国初中数学竞赛试题）
11刚回营两抢险队接救灾命令：分队立出发赶30千米外A镇二分队疲劳营休息时赶A镇参加救灾分队出发知唯通A镇道路里营10千米处发生塌方塌方处形复杂必须分队1时通．已知分队行进速度5千米时二分队行进速度千米时．
（1）二分队营休息问二分队时赶A镇？
（2）需二分队分队时赶A镇二分队应营休息时？
（3）列图中①②分描述分队二分队离A镇距离（千米）时间（时）函数关系请写出认合理图代号说明实际意义．
A B C D
(安徽省中考题)
12已知函数．
（1）直角坐标系中作出函数图象．
（2）已知关方程三解求取值范围．
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