中考数学压轴题集合（二）
17（2005浙江台州）图面直角坐标系⊙Cy轴相切D
点x轴相交A（20）B（80）两点圆心C第四象限
（1）求点C坐标
（2）连结BC延长交⊙C点E线段BE点P
AB2＝BP·BE否推出AP⊥BE？请出结说明理
（3）直线BE否存点QAQ2＝BQ·EQ？存求出点Q坐标存请说明理
[解] （1） C（54）
（2）连结AE ∵BE⊙O直径 ∴∠BAE90°
△ABE△PBA中AB2＝BP· BE ∠ABE∠PBA
∴△ABE∽△PBA
∴∠BPA∠BAE90° AP⊥BE
（3）分析：假设直线EB存点QAQ2＝BQ· EQ Q点位置三种情况：
①三条线段两条等长三条均等长容易知点C点Q
②两条等长点Q线段EBRt△EBA中射影定理知点QAQ⊥EB垂足
③两条等长点Q线段EB外条件想切割线定理知QA切⊙C点A设Q()点Q作QR⊥x轴点R相似三角形性质切割线定理勾股定理三角函数直线解析式等种解法
解题程：
① 点Q1C重合时AQ1Q1BQ1E 显然AQ12＝BQ1· EQ1
∴Q1(5 4)符合题意
② Q2点线段EB ∵△ABE中∠BAE90°
∴点Q2AQ2BE垂足
∴AQ2 48（）
∴Q2点横坐标2+ AQ2·∠BAQ2 2+384584
AQ2·∠BAQ2288
∴点Q2（584288）
③方法：符合题意点Q3线段EB外
点Q3点A⊙C切线直线BE第象限交点
Rt△Q3BR∽Rt△EBA△EBA三边长分6810
妨设BR3tRQ34tBQ35t
Rt△ARQ3∽Rt△EAB
t
〖注处列方程 AQ32 Q3B·Q3EQ3R2+AR2列方程)等等〗
∴Q3点横坐标8+3t Q3点坐标
Q3（）
方法二：设添辅助线 直线 BEB(8 0) C(5 4)
∴直线BE解析式
设Q3（）点Q3作Q3R⊥x轴点R
∵易证∠Q3AR ∠AEB Rt△AQ3R∽Rt△EAB
∴
∴t 进点Q3 坐标∴Q3（）
方法三：符合题意点Q3线段EB外连结Q3A延长交轴F
∴∠Q3AB ∠Q3EA
R t△OAF中OF2×点F坐标（0）
∴直线AF解析式
直线BE解析式
∴交点Q3（）
18（2005海长宁）图1抛物线关y轴称顶点C坐标（0h ）(h>0) 交x轴点A（d0）B（d0）（d>0）
（1）求抛物线解析式（hd表示）
（2）图2ABC视抛物线形拱桥①～⑤拉杆均垂直x轴垂足次线段AB6等分点h9米
(i )求拉杆⑤DE长度
F
G
x
y
C
B
O
A
图4
(ii)d值增变图3拉杆⑤DE长度会改变？(需写结)
（3）图4点G线段OAOGkd（例系数k常数0≤k≤1）GF⊥x轴交抛物线点F试探索k值时
tg∠FOG tg∠CAO？时点GOA线段什关系？
[解] （1）顶点式题意设yax2+h
代入A（d0）a
∴yx2+h
(2)(i)h9代入（1）中解析式yx2+9
题意OEd设D（dyD）
点D抛物线yD(d)2+95∴DE5米
(ii) 拉杆⑤DE长度变
（3）OGkd∴点F坐标设（kdyF）代入yx2+h ：
yF h(1－k2)
tg∠FOG tg∠CAO
解 （∵0时点G线段OA黄金分割点
19（2006海金山）已知：抛物线A（20）B（80）C（0）
C
O
（1）求抛物线解析式
（2）设抛物线顶点P△APB翻折点P落线段AB（AB重合）记作折痕EF设A xPE y求y关x函数关系式写出定义域
（3）点线段AB运动AB重合时否△EF边x轴垂直？请求出时点坐标请说明理
[解] （1）设
代入
∴
（2）顶点P（
APABBP6
∴
作G
中
∴
（3）轴
（舍）
∴
轴
（舍）
∴
轴 显然
∴
20 （2006湖北十堰）已知抛物线：（常数）顶点轴交点抛物线抛物线关轴称顶点连接．
注：抛物线顶点坐标．
（1）请横线直接写出抛物线解析式：________________________
（2）时判定形状说明理
（3）抛物线否存点四边形菱形？果存请求出值果存请说明理．
[解] （1）．
（2）时等腰直角三角形． 3分
理：
图：点点关轴称点轴
．
点作抛物线称轴交轴点作．
时顶点坐标．
点坐标
．．
．
称性知．
等腰直角三角形．
（3）假设抛物线存点四边形菱形．
（2）知．
等边三角形．
．
四边形菱形点点点关称．
交点点．
点坐标分
．
中．
．
抛物线存点四边形菱形时．
21（2006湖北宜昌）图点O坐标原点点A（n0）x轴动点(n＜0）AO边作矩形AOBC点C第二象限OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o矩形AGDE．点A直线y＝kx＋m 交y轴点FFB＝FA．抛物线yax2+bx+c点EFG直线AF交点H点H作HM⊥x轴垂足点M．
(1)求k值
(2)点A位置改变时△AMH面积矩形AOBC 面积值否改变？说明理．
[解] （1）根题意：E（3n0） G（n－n）
x＝0时y＝kx＋m＝m∴点F坐标（0m）
∵Rt△AOF中AF2＝m2＋n2
∵FB＝AF
∴m2＋n2＝(2n－m)2
化简：m＝－075n
y＝kx＋mx＝n时y＝0
∴0＝kn－075n
∴k＝075
（2）∵抛物线yax2+bx+c点EFG
∴
解：a＝b＝－c＝－075n
∴抛物线yx2－x－075n
解方程组：
：x1＝5ny1＝3nx2＝0y2＝－075n
∴H坐标：（5n3n）HM＝－3nAM＝n－5n＝－4n
∴△AMH面积＝05×HM×AM＝6n2
矩形AOBC 面积＝2n2∴△AMH面积∶矩形AOBC 面积＝31着点A位置改变改变．
22（2005黑龙江）图面直角坐标系中Rt△ABC斜边ABx轴AB25顶点Cy轴负半轴tan∠ACO点P线段OCPOPC长(PO (1)求ACBC长
(2)求P点坐标
(3)x轴否存点Q点ACPQ顶点四边形梯形存请直接写出直线PQ解析式存请说明理．
[解] (1)∵ ∠ACB900CO⊥AB∴ ∠ACO∠ABC． ∴ tan∠ABC
Rt△ABC中设AC3aBC4a
AB5a5a25 ∴ a5
∴ AC15 BC20
(2)∵ S△ABCAC·BCOC·AB ∴ OC12
∴ PO+PC4+2k12． ∴ k4
∴ 方程化x212x+32O．解x14x28
∵ PO∴ PO4． ∴ P(O4)
(3)存直线PQ解析式：y x4y 4
23（2006黑龙江）图面直角坐标系中点AB分x轴y轴线段OAOB长(0A方程x218x+720两根点C线段AB中点点D线段OCOD2CD．
(1)求点C坐标
(2)求直线AD解析式
(3)P直线AD点面否存点Q0APQ顶点四边形菱形存请直接写出点Q坐标存请说明理．
[解] (1)OA6OB12
点C线段AB中点OCAC
作CE⊥x轴点E．
∴ OEOA3CEOB6．
∴ 点C坐标(36)
(2)作DF⊥x轴点F
△OFD∽△OEC求OF2DF4．
∴ 点D坐标(24)
设直线AD解析式ykx+b．
A(60)D(24)代
解
∴ 直线AD解析式yx+6
(3)存．
Q1(33)
Q2(33)
Q3(33)
Q4(66)
二函数方程综合压轴题
1（2004江苏宿迁）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2
（1）抛物线x轴两交点AB分原点两侧AB＝试求m
值
（2）设C抛物线y轴交点抛物线存关原点称两点MN △MNC面积等27试求m值
M
N
C
x
y
O
[解]（1）设点Ａ（x10）B(x20)
x1 x2方程 x2－mx＋m－2＝0两根
∵x1 ＋ x2 ＝m x1·x2 m－2 ＜0 m＜2
AB＝∣x1 － x2∣＝
∴m2－4m＋30
解：m1m3(舍)
∴m值1
（2）设M(ab)N(－a－b)
∵MN抛物线两点
∴
①＋②：－2a2－2m＋4＝0
∴a2＝－m＋2
∴m＜2时存满足条件中两点MN
∴
时MNy轴距离均
点C坐标（02－m）S△M N C 27
∴2××（2－m）×27
∴解m－7
2（2005福建三明）已知二次函数(常数△)图象轴相交AB两点AB两点间距离例通研究中函数图象(图)出表中第2行相交数
△
－5
6
1
2
3
1
－
－2
－2
3
（1）表空格中填正确数
（2）根述表d△值猜想间什关系？举符合条件二次函数验证猜想
（3）函数(常数△)证明猜想
[解] （1）第行
第三行 △9
（2）猜想：△
例：中
∴△
（3）证明令∵△>0
设两根
+
3（2006海浦东）已知：二次函数图象顶点x轴．
（1）试判断二次函数图象开口方说明理
（2）求证：函数图象x轴必两交点
（3）果函数图象x轴相交点A（x10）B（x20）y轴相交点C△ABC面积等2．求函数解析式．
[解] （1）∵二次函数图象顶点x轴
∴．
∴．
∵∴．
∴函数图象开口方．
（解：∵二次函数图象顶点x轴y轴正半轴相交
∴函数图象开口方．
（2）∵∴函数二次函数．
．
∵∴．
∴Δ>0．
∴函数图象x轴必两交点．
（3）题意．
∵∴．
点C坐标（01）．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴求函数解析式．
4（2005天津）已知二次函数
（1）a 2c 3二次函数图点（12）求b值
（2）a 2b + c 2b > c二次函数图点（p 2）求证：b≥0
（3）a + b + c 0a > b > c二次函数图点（q a）试问变量x q +4时二次函数应函数值y否0？请证明结
[解]（1）a 2c 3时二次函数
∵该函数图点（12）
∴解b1
（2）a 2b + c 2时二次函数
∵该函数图点（p2）
∴
p方程根
∴判式△
∵b + c 2b > c
∴b > b 2b > 1b + 8 > 0
∴
（3）∵二次函数图点（qa）
∴
∴q方程根
判式△
∵
∴△
a > b > c知a > 0c < 0
∴3a c > 0
∴
∴q方程根
∴
时
∵a > b ≥ 0
∴
∴
∴时二次函数应函数值0
5（2006江苏盐城）已知：图A（01）y轴定点Bx轴动点AB边∠OAB外部作∠BAE＝∠OAB B作BC⊥AB交AE点C
(1)B点横坐标时求线段AC长
(2)点Bx轴运动时设点C横坐标分yx试求yx函数关系式（点B运动O点时点CO点重合）
(3)设点P（01）直线l(2)中求函数图象两公点M1(x1y1)M2(x2y2)x12+x22－6(x1+x2)8求直线l解析式．
[解] (1)方法：Rt△AOB中求AB＝
y
A
O
B
x
C
D
G
H
∵∠OAB＝∠BAC∠AOB＝∠ABCRt∠
∴△ABO∽△ABC∴求：AC＝
方法二：题意知：tan∠OAB
(2)方法：BO重合时延长CB交y轴点DC作CH⊥x轴交x轴点H证AC＝ADBD＝
∵AO⊥OBAB⊥BD∴△ABO∽△BDOOB2＝AO×OD
化简：yOBC三点重合时yx0∴yx函数关系式：y
方法二：点C作CG⊥x轴交AB延长线点HAC2＝(1－y)2+x2(1+y)2化简
(3)设直线解析式ykx+b题意：消y：x24kx4b0题设知：
x12+x226(x1+x2)8(4k)2+8b24k8b116k224k 160解：k12k2k12b1时
△＝16k2+16b6416>0符合题意k2b1时△＝16k2+16b416<0合题意（舍）
∴求直线l解析式：y2x1
6（2006广东广州）已知抛物线y x2+mx2m2(m≠0)．
(1)求证：该抛物线x轴两交点
(2)点P(0n)作y轴垂线交该抛物线点A点B(点A点P左边)
否存实数mnAP2PB存求出mn满足条件存请说明理．
[解] （1）△
∵
∴△
∴该抛物线轴两交点
（2）题意易知点坐标满足方程：
方程两相等实数根△
…………………①
求根公式知两根：
∴
分两种情况讨：
第种：点点左边点点右边
∵
∴
∴………………②
∴………………………③
②式解
…………………………④
第二种：点点左边
∵
∴
∴………………⑤
∴………………………⑥
⑤式解
………⑦
综合①③④⑥⑦知满足条件点存时应满足条件：
三动态型压轴题
1（2001天津）已知：Rt△ABC中∠B＝90°BC＝4cmAB＝8cmDEF分ABACBC边中点．PAB边动点PQ∥BC交AC点QPQ边点A异侧作正方形PQMN记正方形PQMN矩形EDBF公部分面积y．
（1）图AP＝3cm时求y值
（2）设AP＝xcm试含x代表式表示y（cm）2
（3）y＝2cm2时试确定点P位置．
[解]（1） ∵ PQ∥BC∴ ．∵ BC＝4AB＝8AP＝3∴ PQ＝．∵ DAB中点∴ AD＝AB＝4PD＝AD－AP＝1．
∵ PQMN正方形DN＝PN－PD＝PQ－PD＝∴ y＝MN·DN＝cm2．
（2）∵ AP＝x∴ AN＝x．
o≤x＜时y＝0
≤x＜4时
4≤x＜时y＝x
≤x≤8时y＝2（8－x）＝－2x＋16．
（3）y＝2代入y＝—2x＋16（≤x≤8）时x＝7P点距A点7cm
y＝2代入时P点距A点cm．
2（2002海）操作：三角尺放边长1正方形ABCD直角顶点P角线AC滑动直角边始终点B边射线DC相交点Q．
图5图6图7
探究：设AP两点间距离x．
（1）点Q边CD时线段PQ线段PB间样关系？试证明观察结
（2）点Q边CD时设四边形PBCQ面积y求yx间函数解析式写出函数定义域
（3）点P线段AC滑动时△PCQ否成等腰三角形？果指出△PCQ成等腰三角形点Q位置求出相应x值果试说明理．（图5图6图7形状相图5供操作实验图6图7备）
[解]
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB
证明：点P作MN∥BC分交AB点M交CD点N四边形AMND四边形BCNM矩形△AMP△CNP等腰直角三角形（图1）．
∴ NP＝NC＝MB．
∵ ∠BPQ＝90°∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
∠BPM＋∠PBM＝90°∴ ∠QPN＝∠PBM．
∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°∴ △QNP≌△PMB．
∴ PQ＝PB．
（2）解法
（1）△QNP≌△PMB．NQ＝MP．
∵AP＝x∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝BM＝PN＝CN＝1－
∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．
S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．
S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．
y＝x2－＋1（0≤x＜）．
解法二
作PT⊥BCT垂足（图2）四边形PTCN正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
∠PNQ＝∠PTB＝90°PB＝PQ∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN
＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1
∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）．
（3）△PCQ成等腰三角形
①点P点A重合点Q点D重合时PQ＝QC△PCQ等腰三角形
时x＝0
②点Q边DC延长线CP＝CQ时△PCQ等腰三角形（图3）
解法： 时QN＝PM＝CP＝－xCN＝CP＝1－．
∴ CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．
－x＝－1时x＝1．
解法二： 时∠CPQ＝∠PCN＝225°∠APB＝90°－225°＝675°
∠ABP＝180°－（45°＋675°）＝675°∠APB＝∠ABP
∴ AP＝AB＝1∴ x＝1．
O
N
P
Q
M
C
C1
B1
A1
A
B
图1
3（2006河北课改）图1220×20等距网格（格宽高均1单位长）中Rt△ABC点A点M重合位置开始秒1单位长速
度先移BC边网底部重合时继续样速度右
移点C点P重合时Rt△ABC停止移动设运动时间
x秒△QAC面积y
（1）图1Rt△ABC移Rt△A1B1C1位置时
请网格中画出Rt△A1B1C1关直线QN成轴称图形
（2）图2Rt△ABC移程中请求出y
O
N
P
Q
M
C
A
B
图2
x函数关系式说明x分取值时y取值
值？值值分少？
（3）Rt△ABC右移程中请说明x取值时y
取值值？值值分少？什？
[解] （1）图1△A2B2C2△A1B1C1关直线QN成轴称图形 …………2分
O
N
P
Q
M
C
A
B
C
A
B
图2
O
N
P
Q
M
C1
C2
B1
A1
A2
B2
图1
（2）△ABC秒1单位长速度移x秒时（图2）：
MAxMBx+4MQ20
yS梯形QMBCS△AMQS△ABC
2x+40(0≤x≤16)
次函数性质知：
x0时y取值y40
x16时y取值y2×16+4072
（3）解法：
△ABC继续秒1单位长速度右移时时16≤x≤32PB20（x16）36xPCPB432x
∴yS梯形BAQPS△CPQS△ABC
2x+104(16≤x≤32)
次函数性质知：
x32时y取值y2×32+10440
x16时y取值y2×16+10472
解法二：
△ABC左右移程中△QAC时刻位置应着（2）中△QAC某时刻位置样两三角形关直线QN成轴称
根轴称性质需考察△ABC移程中△QAC面积变化情况便知道△ABC左右移程中△QAC面积变化情况
x16时y取值y72
x32时y取值y40
4 (2004山东枣庄)图△ABC中AB＝17AC＝5∠CAB＝45°点OBA移动O圆心作⊙O⊙O边BC相切切点D设⊙O半径x四边形AODC面积y．
A
B
O
D
C
（1）求 yx函数关系式
（2）求x取值范围
（3）x值时⊙OBCAC相切？
[解]（1）图①点C作CE⊥AB垂足E．
Rt△ACE中AC5∠CAB45°
∴ AECE AC·sin45°．
∴ BEAB－AE17－512
．
∴ tanB．
∵ CB切⊙O点D
∴ OD⊥BC．
tanB
∴ BD．
∵ S四边形AODC S△ABC－S△BOD
∴ －
．
A
B
C
D
E
F
O
①
A
B
C
D
O
G
②
(2)点C作CF⊥CB交ABF．
Rt△BCF中 CFBC·tanB13×．
∴ x取值范围0＜x≤．
（3）⊙OBCAC相切时设⊙OAC切点G连结OGOC（图②）OGODx．
∵ S△AOC+S△BOC S△ABC
∴ ．
∴ ．
5（2004浙江宁波）已知半圆直径AB＝16P点AB动点(AB重合) PQ⊥AB 垂足P交半圆OQPB半圆O1直径⊙O2半圆O半圆O1PQ相切切点分MNC．
（1）P点O点重合时(图1) 求⊙O2半径r
图⑵
图⑴
A
O
（P）
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
B
P
·
A
O
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
B
（2）P点AB移动时(图2) 设PQ＝x⊙O2半径r．求Rx函数关系式求出r取值范围．
[解] (1)连结OO2O1O2O2C作O2D⊥ABD．
∵⊙O2⊙O⊙O1PQ相切
∴OO2＝8－r
O1O2＝4＋r．
∵四边形ODO2C矩形
∴OD＝rO1D＝4－r
根勾股定理
∴r＝2．
(2) ∵AB⊙O直径PQ⊥AB．
∴PQ2＝AP·PB．
设⊙O1半径a
x2＝2a（16－2a）＝4（8a－a2）．
连结OO2O1O2O2C作O2D⊥ABD
∴＝＝
根勾股定理
化简．
∴ ．
∵0≤x≤8
∴0≤r≤8．
A
Q
B
图⑴
O
（P）
N
·
O2
·
O1
M
C
B
D
图⑵
P
·
A
O
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
D
6（2005河北）图12直角梯形ABCD中AD∥BC∠C＝90°BC＝16DC＝12AD＝21动点P点D出发射线DA方秒2两单位长速度运动动点Q点C出发线段CB秒1单位长速度点B运动点PQ分点DC时出发点Q运动点B时点P停止运动设运动时间t（秒）
（1）设△BPQ面积S求St间函数关系式
（2）t值时BPQ三点顶点三角形等腰三角形？
（3）线段PQ线段AB相交点O2AO＝OB时求∠BQP正切值
（4）否存时刻tPQ⊥BD？存求出t值存请说明理
（1）图3点P作PM⊥BC垂足M四边形PDCM矩形∴PM＝DC＝12
[解]A
B
M
C
D
P
Q
图3
∵QB＝16－t∴S＝×12×(16－t)＝96－t
（2）图知：CM＝PD＝2tCQ＝t热BPQ三点顶点三角形等腰三角形分三种情况：
①PQ＝BQRt△PMQ中PQ2＝BQ2 解t＝
A
②BP＝BQRt△PMB中BP2＝BQ2 ：
Δ＝－704＜0
∴解∴PB≠BQ
③PB＝PQPB2＝PQ2
整理解（合题意舍）
综合面讨知：t＝秒时BPQ三点顶点三角形等腰三角形
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图4
（3）图4△OAP∽△OBQ
∵AP＝2t－21BQ＝16－t∴2(2t－21)＝16－t
∴t＝
点Q作QE⊥AD垂足E
∵PD＝2tED＝QC＝t∴PE＝t
RT△PEQ中tan∠QPE＝
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图5
（4）设存时刻tPQ⊥BD图5点Q作QE⊥ADS垂足ERt△BDC∽Rt△QPE
解t＝9
t＝9秒时PQ⊥BD
7（2005河南）图直角梯形ABCD中AD∥BCAB⊥BCAB＝2DC＝2点P边BC运动(BC重合)设PC＝x四边形ABPD面积y
（1）求y关x函数关系式写出变量x取值范围
（2）D圆心半径作⊙DP圆心PC长半径作⊙Px值时⊙D⊙P相切？求出两圆相切时四边形ABPD面积
[解]（1）点D作DE⊥BCE
∵∠ABC＝900∴DE＝AB＝2
∵DC＝2∴EC＝＝2
∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3
∴S四边形ABPD＝＝4－x
y＝－x＋4 (0＜x＜3）
（2）PE重合时⊙P⊙D相交合题意
点P点E重合时Rt△DEP中
DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8
∵⊙P半径x⊙D半径
∴①⊙P⊙D外切时
(x＋)2＝x2－4x＋8解 x＝
时四边形ABPD面积y＝4－＝
②⊙P⊙D切时
(x＋)2＝x2－4x＋8解 x＝
时四边形ABPD面积y＝4－＝
∴⊙P⊙D相切时四边形ABPD面积
8（2005江苏宿迁）已知：图△ABC中∠C＝90°AC＝3厘米CB＝4厘米．两动点PQ分AC两点时时针方△ABC边运动．点Q运动点A时PQ两点运动停止．点PQ运动速度分1厘米秒2厘米秒设点P运动时间（秒）．
（1）时间值时PCQ三点顶点三角形面积（图中阴影部分）等2厘米2
（2）点PQ运动时阴影部分形状变化．设PQ△ABC围成阴影部分面积S（厘米2）求出S时间函数关系式指出变量取值范围
（3）点PQ运动程中阴影部分面积S值？请求出值没请说明理．
[解] （1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2
解 ＝1＝2
∴时间1秒2秒时S△PCQ＝2厘米2
（2）①0＜≤2时S＝＝
②2＜≤3时 S＝＝
③3＜≤45时S＝＝
（3）
①0＜≤2时＝S值S1＝
②2＜≤3时＝3S值S2＝
③3＜≤45时＝S值S3＝
∵S1＜S2＜S3 ∴＝时S值S值＝．
9（2005江苏泰州）图1边长分43两等边三角形纸片ABCC′D′E′叠放起（CC′重合）
（1）操作：固定△ABC△C′D′E′绕点C时针旋转30°△CDE连结ADBECE延长线交ABF（图2）
探究：图2中线段BEAD间样关系？试证明结
（2）操作：图2中△CDE线段CF着CF方秒1单位速度移移△CDE设△PQR（图3）
探究：设△PQR移动时间x秒△PQR△ABC重叠部分面积y求yx间函数解析式写出函数变量x取值范围
（3）操作：图1中△C′D′E′固定△ABC移动顶点C落C′E′中点边BC交D′E′点M边AC交D′C′点N设∠AC C′α（30°＜α＜90°＝（图4）
E′
D′
图2
图3
D′
E′
图4
C
（C）
（C）
探究：图4中线段C′N·E′M值否α变化变化？果没变化请求出C′N·E′M值果变化请说明理
[解] （1）BEAD
证明：∵△ABC△DCE等边三角形
∴∠ACB∠DCE60° CACBCECD
∴∠BCE∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BEAD
T
S
（旋转方法证明BEAD）
（2）图△CQT中 ∵∠TCQ30° ∠RQT60°
∴∠QTC30° ∴∠QTC∠TCQ
∴QTQCx
∴ RT3－x
∵∠RTS＋∠R90° ∴∠RST90°
∴y×32 －(3－x)2－(3－x)2＋(0≤x≤3)
（3）C′N·E′M值变
证明：∵∠ACC′60°∴∠MCE′＋∠NCC′120°
∵∠CNC′＋∠NCC′120° ∴∠MCE′∠CNC′
∵∠E′∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ∴C′N·E′MC′C·E′C×
10（2005江苏南通）图面直角坐标系中已知A（－100）B（－86）O坐标原点△OABAB翻折△PAB．四边形OAPB先移3单位长度右移m（m＞0）单位长度四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1四边形OAPB重叠部分图形周长l．
（1）求A1P1两点坐标（含m式子表示）
（2）求周长lm间函数关系式写出m取值范围．
[解] （1）点B作BQ⊥OA点Q．（图1）
O
－3
y
B
x
A
P
Q
α
图1
∵ 点A坐标（－100）
∴点A1坐标（－10＋m－3）OA＝10．
∵ 点B坐标（－86）
∴BQ＝6OQ＝8．
Rt△OQB中
．
∴OA＝OB＝10．
翻折性质知PA＝OA＝10PB＝OB＝10 ∴四边形OAPB菱形
∴PB∥AO∴P点坐标（－186）
∴P1点坐标（－18＋m3）．
（2）①0＜m≤4时（图2） 点B1作B1Q1⊥x轴点Q1B1 Q1＝63＝3
x
O
y
B
A
P1
A1
O1
B1
Q1
F
α
Q
β
图2
P
设O1B1 交x轴点F∵O1B1∥BO∴∠α＝∠β
Rt△FQ1B1中
∴∴Q1F＝4
∴B1F＝＝5
∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2
x
O
B
A
P1
A1
O1
B1
图3
P
S
H
F
y
∴AF＝AQ+QQ1+ Q1F＝2+m+4＝6+m
∴周长l＝2（B1F＋AF）
＝2（5＋6＋m）
＝2 m＋22
②4＜m＜14时（图3）
设P1A1交x轴点SP1B1交OB
点H
OS
y
B
S
x
A
移性质 OH＝B1F＝5
时AS＝m－4
∴OS＝OA－AS
＝10－（m－4）＝14－m
∴周长l＝2（OH＋OS）
＝2（5＋14－m）
＝－2 m＋38．
11（2005新疆乌鲁木齐）四边形OABC等腰梯形OA∥BC建立图面直角坐标系中A（40）B（32）点MO点秒3单位速度终点A运动时点NB点出发秒1单位速度终点C运动点N作NP垂直x轴P点连结AC交NPQ连结MQ
（1）写出C点坐标
（2）动点N运动t秒求Q点坐标（含t式子表示
（3）△AMQ面积S时间t函数关系式写出变量t取值范围
（4）t取值时△AMQ面积
（5）t值时△AMQ等腰三角形
[解] （1）C（12）
（2）C作CEx轴ECE＝2
动点N运动t秒时NB＝t
∴点Q横坐标3—t
设Q点坐标yQ
PQ∥CE
∴
∴点Q（）
（3）点M秒2单位运动∴OM＝2tAM＝4—2t
S△AMQ＝
＝
＝
t＝2时M运动A点AMQ存∴t2
∴t取值范围0≤t＜2
（4）S△AMQ＝
（5）①QM＝QA
∵QP⊥OA∴MP＝AP
MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t
1＋t＝3—3t
t＝
∴t＝时△QMA等腰三角形
②AQ＝AM
AQ2＝AP2＋PQ2＝
AQ
AM＝4—2t
＝4—2t
∴t＝时△QMA等腰三角形
③MQ＝MA
MQ2＝MP2＋PQ2
＝
∴＝
解t＝t＝—1（舍）
∵0＜＜2
∴t＝时△QMA等腰三角形
综述：t＝ t＝ t＝△QMA等腰三角形
12 (2005浙江温州)图Rt△ABC中已知AB＝BC＝CA＝4cmAD⊥BCD点PQ分BC两点时出发中点PBC终点C运动速度1cms点PCAAB终点B运动速度2cms设运动时间x(s)
⑴ 求x值时PQ⊥AC
⑵ 设△PQD面积y(cm2)0＜x＜2时求yx函数关系式
⑶ 0＜x＜2时求证：AD分△PQD面积
⑷ 探索PQ直径圆AC位置关系请写出相应位置关系x取值范围(求写出程)
[解] （1）∵QAB时显然PQ垂直AC
题意：BP＝xCQ＝2xPC＝4－x
∴AB＝BC＝CA＝4∠C＝600
PQ⊥AC∠QPC＝300∴PC＝2CQ
∴4－x＝2×2x∴x＝
∴x＝(QAC)时PQ⊥AC
（2）0＜x＜2时PBDQAC点Q作QH⊥BCH
∵∠C＝600QC＝2x∴QH＝QC×sin600＝x
∵AB＝ACAD⊥BC∴BD＝CD＝BC＝2
∴DP＝2－x∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－
（3）0＜x＜2时Rt△QHC中QC＝2x∠C＝600
∴HC＝x∴BP＝HC
∵BD＝CD∴DP＝DH
∵AD⊥BCQH⊥BC∴AD∥QH
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO
∴AD分△PQD面积
（4）显然存x值PQ直径圆AC相离
x＝时PQ直径圆AC相切
0≤x＜＜x＜＜x≤4时PQ直径圆AC相交
13 （2005海静安）图4已知⊙O半径OA弦AB4点C弦AB点C圆心CO半径圆线段OA相交点E．
（1）求值
（2）设ACOE求间函数解析式写出定义域
（3）点CAB运动时⊙C否⊙O相切？果请求出⊙C⊙O相切时AC长果请说明理．
[解] （1）点O作OD⊥AB垂足D
∵AB⊙O弦∴ADAB2∴．
（2）点C作CF⊥OE垂足F∵OE⊙C弦
Rt△ACF中AFAC·
∵AF+OFOA∴
∴函数解析式．函数定义域
（3）⊙C⊙O相切． Rt△AOD中OD．
⊙C⊙O相切时OC
∵CD∴．
∴ ⊙COA相点O符合题意．
∴⊙C⊙O相切时AC长
14 （2005海闵行）已知：图梯形ABCD中．
点EAD边连结CE．点PAB边动点
点P作交BC点Q．设．
A
B
C
D
P
E
Q
(1) 求值
(2) 求yx函数解析式写出函数定义域
(3) 时求x值．
[解] (1) 点A作垂足点F．
∵
∴．
Rt△ABF中∴．
(2) 分延长BACE交点G．
∵∴．
∵∴
∵∴．
∵∴
．
．
yx函数解析式．
(3) 时解．
时．
15
16（2006广东课改）图示面直角坐标中四边形OABC等腰梯形BC∥OAOA7AB4∠ COA60°点Px轴—动点点P点0点A重合．连结CP点P作PD交AB点D．
(1)求点B坐标
(2)点P运动什位置时△OCP等腰三角形求时点P坐标
(3)点P运动什位置时∠CPD∠OAB求时点P坐标
[解] (1)作BQ⊥x轴Q
∵ 四边形ABCD等腰梯形
∴∠BAQ＝∠COA＝60°
RtΔBQA中BA4
∴BQAB·sin∠BAO4×sin60°
AQAB·cos∠BAO4×cos60°2
∴OQOAAQ725
∵点B第象限
∴点B坐标(5 )
(2)ΔOCP等腰三角形∵∠COP60°
时ΔOCP等边三角形顶角120°等腰三角形
ΔOCP等边三角形OPOCPC4点Px轴正半轴
∴点P坐标(40)
ΔOCP顶角120°等腰三角形点Px轴负半轴OPOC4
∴点P坐标(40)
∴点P坐标(40)(40)
(2)∠CPD∠OAB
∵∠CPA∠OCP+∠COP
∠OAB∠COP60°
∴∠OCP∠DPA
时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴
ADABBD4
APOAOP7OP
∴
OP16
∴点P坐标(10)(60)
17（2006海静安）图O圆心两心圆中圆半径1AB圆相切点A圆相交B圆弦BC⊥AB点C作圆切线交AB延长线DOC交圆E．
（1） 求证：△AOB∽△BDC
（2） 设圆半径CD长求间函数解析式写出定义域．
（3） △BCE否成等腰三角形？果求出圆半径果请说明理．
[解] (1)∵⊙OCD相切点C∴∠DCO90°
∴∠BCD+∠OBC90º
∵CB⊥AD∴∠ABO+∠OCB90º
∵OCOB∴∠OBC∠OCB
∴∠BCD∠ABO
∵⊙OAB相切点A∴∠BAO90° ∴∠CBD∠BAO．
∴△AOB∽△BDC．
(2) 点O作OH⊥BC垂足H．
∵∠OAB∠ABC∠BHO90º∴四边形OABH矩形
∵BC⊙O弦∴BC2BH 2OA2
Rt△OAB中AB．
∵△AOB∽△BDC∴
∴∴函数解析式
定义域．
(3) EBEC时∠ECB∠EBC∠ECB∠OBC∴EBEC．
CECB时OCCE+OECB+OE2+13．
BCBE时∠BEC∠ECB∠OBC△BCE∽△OCB．
设OC xCE(负值舍)
∴OC
综述△BCE成等腰三角形时圆半径3．
18 （2006山东青岛）图①两形状完全相直角三角形ABCEFG叠放起（点A点E重合）已知AC＝8cmBC＝6cm∠C＝90°EG＝4cm∠EGF＝90°O △EFG斜边中点．
图②整△EFG图①位置出发1cms 速度射线AB方移△EFG 移时点P△EFG顶点G出发1cms 速度直角边GF点F运动点P达点F时点P停止运动△EFG停止移．设运动时间x（s）FG延长线交 ACH四边形OAHP面积y（cm2)（考虑点PGF重合情况）．
（1）x值时OP∥AC
（2）求yx 间函数关系式确定变量x取值范围．
（3）否存某时刻四边形OAHP面积△ABC面积13∶24？存求出x值存说明理．
（参考数：1142 ＝129961152 ＝132251162 ＝13456
442 ＝1936452 ＝2025462 ＝2116）
[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴．
∴FG＝＝3cm．
∵PFG中点时OP∥EG EG∥AC
∴OP∥AC．
∴ x ＝＝×3＝15（s）．
∴x15s时OP∥AC ．
（2）Rt△EFG 中勾股定理：EF ＝5cm．
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH ．
∴．
∴．
∴ AH＝（ x ＋5）FH＝（x＋5）．
点O作OD⊥FP 垂足 D ．
∵点OEF中点
∴OD＝EG＝2cm．
∵FP＝3－x
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP
＝·AH·FH－·OD·FP
＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）
＝x2＋x＋3（0＜x＜3．
（3）假设存某时刻x四边形OAHP面积△ABC面积13∶24．
S四边形OAHP＝×S△ABC
∴x2＋x＋3＝××6×8
∴6x2＋85x－250＝0
解 x1＝ x2＝ －（舍）．
∵0＜x＜3
∴x＝（s）时四边形OAHP面积△ABC面积13∶24．
19（2006河北）图Rt△ABC中∠C＝90°AC＝12BC＝16动点P点A出发AC边点C秒3单位长速度运动动点Q点C出发CB边点B秒4单位长速度运动．PQ分点AC时出发中点达端点时点停止运动．运动程中△PCQ关直线PQ称图形△PDQ．设运动时间t（秒）．
（1）设四边形PCQD面积y求yt函数关系式
（2）t值时四边形PQBA梯形？
（3）否存时刻tPD∥AB？存求出t值存请说明理
A
P
C
Q
B
D
（4）通观察画图折纸等方法猜想否存时刻tPD⊥AB？存请估计t值括号中时间段（0≤t≤11＜t≤22＜t≤33＜t≤4）存请简说明理．
[解] （1）题意知 CQ＝4tPC＝12－3t
∴S△PCQ ．
∵△PCQ△PDQ关直线PQ称
∴y2S△PCQ ．
（2）时PQ∥ABAPBQ行时四边形PQBA梯形
∵CA12CB16CQ＝4t CP＝12－3t
∴ 解t＝2．
∴t＝2秒时四边形PQBA梯形．
（3）设存时刻tPD∥AB延长PD交BC点M图2
PD∥AB∠QMD∠B∵∠QDM∠C90°
∴图2
A
P
C
Q
B
D
M
Rt△QMD∽Rt△ABC
∵QDCQ4tAC＝12
AB20
∴QM．
PD∥AB
解t＝．
∴t＝秒时PD∥AB．
（4）存时刻tPD⊥AB．
时间段：2＜t≤3．
四探究型压轴题
1（2004福建南）已知：图① A半径2⊙O点POA延长线动点P作⊙O切线切点B设PA＝m PB＝n
（1）n＝4时求m值
（2）⊙O否存点C△PBC等边三角形？存请求出时m值存请说明理
（3）m值时⊙O存唯点MPB构成PB底等腰三角形？直接答出：时⊙OPB构成等腰三角形点？（图②图③供解题时选）
A
B
图①
P
·
O
A
·
O
A
·
O
图②
图③
[解] （1）解法：连结OB
∵PB切⊙OB
∴∠OBP＝90O
∴
∵PO＝2+mPB＝nOB＝2
∴
n＝4时解（舍）
∴ m值
解法二：延长PO交⊙OQPAQ⊙O割线
∵PB切⊙OB
∴分
∵PB＝nPA＝mPO＝m+4
∴
n＝4时解（舍）
∴ m值分
（2）存点C△PBC等边三角形
∠OPB＝30O时点P作⊙O条切线PCC切点．
∴PB ＝ PC ∠OPB ＝∠OPC
∴∠BPC＝60O ∴△PBC等边三角形
连结OB∠OBP＝90O OB＝2OP＝4
∴m＝PA＝OP－OA＝22
（3）图设EF线段PB垂直分线垂足D EF⊙O相切点M时M符合求
连结OBOM易四边形OMDB正方形．
∴BD＝DP＝OM＝2
∴n＝PB＝4
（l）n＝4时m＝
∴m＝时⊙O存唯气点MPB构成PB底等腰三角形…13分
时⊙O3点PB 构成等腰三角形
（3点分MM1 M2 中MPB中垂线⊙O切点M1延长BO⊙O 交点M2点B关OP称点）
A
B
P
·
O
M
D
E
F
2（2005福建南）定义：某图形分割干相似图形称图形相似图形
探究：
（1）图甲已知△ABC中∠C900△ABC分割成2相似
直角三角形？请图甲中画出分割线说明理
（2）般意三角形相似图形次连结三角形边中点
B
C
A
图甲
原三角形分割四相似三角形△DEF
(图乙)第次次连结边中点进行分割称1阶分割（图1）
1阶分割出4三角形分次连结边中点进行分
割称2阶分割（图2）…次规操作
n阶分割三角形全等三角形（n正整数）设时
三角形面积SN
①△DEF面积10000n值时2（请计算器进行探索求少写出三次尝试估算程）
②n>1时请写出反映Sn1SnSn+1间关系等式（必证明）
[解]（1） 正确画出分割线CD
（图点C作CD⊥AB垂足DCD满足求
分割线画成直线扣分）
理：∵ ∠B ∠B∠CDB∠ACB90°
∴△BCD ∽△ACB
（2）① △DEF N阶分割三角形数
∴ S
n 5时S ≈ 977
n 6 时 S ≈ 244
n7 时S ≈ 061
∴ n 6时2 ＜S ＜ 3
S S × S
② S 4 S S 4 S
3（2005广西玉林）图(1)AB⊙O直径射线AT⊥AB点P射线A T动点(PA重合)PC⊙O相切CC作CE⊥ABE连结BC延长BC交AT点D连结PB交CEF．
(1)请写出PAPD间关系式说明理
(2)请找出图中三角形面积PB分成两等分加证明
(3)设ACD三点圆半径RCFR时求∠APC度数图(2)中作出点P(求尺规作图写作法保留作图痕迹)．
[解] (1)连结AC．
AT⊥ABAB⊙O直径
A T⊙O切线．
PC⊙O切线
PAPC．
∠PAC∠PCA．
AB⊙O直径
∠ACB90°
∠PAC+∠ADC90°∠PCA+∠PCD90°
∠ADC∠PCD．
PDPCPA．
(2)(1)知PDPA高见△ABDPB分成面积相等两三角形．
AT⊥ABCE⊥AB
AT∥CE．
CFPDBFBPEFPABFBP．
CFPDEFPA．
CFEF． (6分)
见△CEBPB分成面积相等两三角形．(7分)
(3)(1)知PAPCPD
PA△ACD外接圆半径PAR．
(2)知CFEFCF14 R
EF14 PA．
EFPA14．
EF∥ATBEABEFPA14
CE BE
Rt△ACE中
tan∠CAE3．
∠CAE30°
∠PAC90°∠CAE60°
PAPC△PAC等边三角形．
∠APC60°
P点作图方法见图．
4（2005湖南常德）图AB⊙O直径BC⊙O弦⊙O割线PDE垂直AB点F交BC点G连结PC∠BAC∠BCP求解列问题：
F
P
D
E
(1)求证：CP⊙O切线
B
(2)∠ABC30°BGCG时求PDPE长两根元二次方程
(3)(1)条件变点C劣弧AD运动时应具备什条件结BG2BF·BO成立？试写出猜想说明理
[解] (1) 连结OC证∠OCP90°
(2)∵∠B30° ∴∠A∠BGP60°
∴∠BCP∠BGP60°
∴ΔCPG正三角形
∴PGCP
∵PC切⊙OC
∴PC2PD·PE
∵BC ∴AB6 FD EG
∴PD2
∴PD+PE
∴PDPE两根元二次方程x2－48x＋100
(3)GBC中点OG⊥BCOG∥AC∠BOG∠BAC…时结BG2BF·BO成立结成立证明ΔBFG∽ΔBGOΔBFG∽ΔBGO条件
5 （2005陕西）已知：直线a∥bPQ直线a两点MN直线b两点
P
Q
M
N
a
b
图①
（1） 图①线段PMQN夹行
直线ab间四边形PMNQ
等腰梯形两腰PM＝QN
请参图①图②中画出异
图①种图形夹行
直线ab间两条线段相等
（2） 继续探究发现两条行直
a
b
图②
线ab截学图形
会两条曲线段相等（曲线两
点间部分做曲线段
全等变换重合两条曲线
段做曲线段相等）
请图③中画出种图形夹
P
Q
M
N
a
b
图④
S1
S2
S3
S4
n
m
行直线ab间两条曲线段相等
a
b
图③
（3） 图④梯形PMNQ块绿化梯形底PQ＝m底MN＝nm＜n现计划价格两种花草种植S1S2S3S4四块里价格相花草相邻节省费园艺师应选择两块种植价格较便宜花草？请说明理
[解]P
Q
M
N
a
b
图例：
（1）
P
（Q）
M
N
a
b
（2）
P
Q
M
N
a
b
图例：
P
Q
M
N
a
b
（3）∵△PMN△QMN底等高
∴S△PMN＝S△QMN∴S3+S2S4+S2∴S3S4
∵△POQ∽△NOM ∴
∴S2＝
∵∴
∴
∵m＞n
∴ ∴S1+S2＞S3+S4
园艺师应选择S1S2两块种植价格较便宜花草两块面积两块面积
6（2005重庆） 已知四边形ABCD中P角线BD点P作MN∥ADEF∥CD分交ABCDADBC点MNEF设＝PM·PE＝PN·PF解答列问题：
（1）四边形ABCD矩形时见图1请判断关系说明理
（2）四边形ABCD行四边形∠A锐角时见图2（1）中结否成立？说明理
（3）（2）条件设否存样实数？存请求出满足条件值存请说明理
[解] （1）∵ABCD矩形MN∥ADEF∥CD
∴四边形PEAMPNCF均矩形
∴＝PM·PE＝＝PN·PF＝
∵BD角线
∴△PMB≌△BFP△PDE≌△DPN△DBA≌△DBC
∵
∴＝
∴
（2）成立理：
∵ABCD行四边形MN∥ADEF∥CD
∴四边形PEAMPNCF均行四边形
仿（1）证
E作EH⊥MN点H
∴
理
∵∠MPE＝∠FPN＝∠A
∴
∴PM·PE＝PN·PF
（3）方法1：存理：
（2）知
∴
∵
∴
∴
存实数
方法2：存理：
连结AP设△PMB△PMA△PEA△PED面积分
∴
∴
∴∴
存实数
7（2006江西南昌）问题背景 某课外学组次学研讨中两命题：
① 图1正三角形ABC中MN分ACAB点BMCN相交点O∠BON 60°BM CN
② 图2正方形ABCD中MN分CDAD点BMCN相交点O∠BON 90°BM CN
然运类思想提出命题：
③ 图3正五边形ABCDE中MN分CDDE点BMCN相交点O∠BON 108°BM CN
务求
（1）请①②③三命题中选择进行证明（说明：选①做4分选②做3分选③做5分）
（2）请继续完成面探索：
① 图4正n（n≥3）边形ABCDEF…中MN分CDDE点BMCN相交点O问∠BON等少度时结BM CN成立？（求证明）
② 图5五边形ABCDE中MN分DEAE点BMCN相交点O∠BON 108°时请问结BM CN否成立？成立请予证明成立请说明理
[解] （1）选命题①
证明：图1中∵ ∠BON 60° ∴ ∠CBM +∠BCN 60°
∵ ∠BCN +∠ACN 60° ∴ ∠CBM ∠ACN
∵ BC CA ∠BCM ∠CAN 60°
∴ △BCM ≌ △CAN
∴ BM CN
选命题②
证明：图2中∵ ∠BON 90° ∴ ∠CBM +∠BCN 90°
∵ ∠BCN +∠DCN 90° ∴ ∠CBM ∠DCN
∵ BC CD ∠BCM ∠CDN 90°
∴ △BCM ≌ △CDN
∴ BM CN
选命题③
证明：图3中∵ ∠BON 108° ∴ ∠CBM +∠BCN 108°
∵ ∠BCN +∠DCN 108° ∴ ∠CBM ∠DCN
∵ BC CD ∠BCM ∠CDN 108°
∴ △BCM ≌ △CDN
∴ BM CN
（2）① ∠BON 时结BM CN成立
② BM CN成立
证明：图5连结BDCE
△BCD△CDE中
∵ BC CD∠BCD ∠CDE 108°CD DE
∴ △BCD ≌ △CDE
∴ BD CE∠BDC ∠CED∠DBC ∠ECD
∵ ∠OBC +∠OCB 108°∠OCB +∠OCD 108°
∴ ∠MBC ∠NCD
∵ ∠DBC ∠ECD 36°∴ ∠DBM ∠ECN
∴ △BDM ≌ △ECN
8（2006山东日）阅读面材料：
图（1）AB直径半圆O点PAPBP延长线分交半圆O点CD．求证：AP·AC+BP·BDAB2．
证明：连结ADBCP作PM⊥AB∠ADB∠AMP90ｏ
∴点DMAP直径圆理：MCBP直径圆．
割线定理： AP·ACAM·ABBP·BDBM·BA
AP·AC+BP·BDAM·AB+BM·ABAB·（AM+BM）AB2．
点P半圆周时AP·AC+BP·BDAP2+BP2AB2成立：
（1）图（2）点P半圆周外时结AP·AC+BP·BDAB2否成立？什？
（2）图（3）点P切线BE外侧时什结？结写出．
[解]（1）AP·AC+BP·BDAB2成立．
证明：图（2）∵∠PCM∠PDM900
∴点CDPM直径圆
∴AC·APAM·MDBD·BPBM·BC
∴AC·AP+BD·BPAM·MD+BM·BC
已知AM·MD+BM·BCAB2
∴AP·AC+BP·BDAB2．
（2）图（3）P作PM⊥AB交AB延长线M连结ADBC
CMPB直径圆∴AP·ACAB·AM①
DMPA直径圆∴BP·BDAB·BM②
图象知：ABAMBM③
①②③：AP·ACBP·BDAB·（AMBM）AB2．
9（2006江苏宿迁）设边长2a正方形中心A直线l组边垂直直线l半径r⊙O圆心O直线l运动点AO间距离d．
（1）图①r＜a时根dar间关系⊙O正方形公点数填入表：
dar间关系
公点数
d＞a＋r
图①
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
r＜a时⊙O正方形公点数
（2）图②r＝a时根dar间关系⊙O正方形公点数填入表：
dar间关系
图②
公点数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
r＝a时⊙O正方形公点数
图③
（3）图③⊙O正方形5公点时试说明r＝a
（4）r＞a情形请仿……时⊙O正方形公点数
形式少出关⊙O正方形公点数正确结．
[解] 图①
（1）
dar间关系
公点数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a－r＜d＜a＋r
2
d＝a－r
1
d＜a－r
0
r＜a时⊙O正方形公点数012
图②
（2）
B
C
D
F
E
dar间关系
公点数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a≤d＜a＋r
2
d＜a
4
r＝a时⊙O正方形公点数0124
（3）方法：图示连结OC．
OE＝OC＝r OF＝EF－OE＝2a－r．
Rt△OCF中勾股定理：
OF2＋FC2＝OC2
（2a－r）2＋a2＝r2
4a2－4ar＋r2＋a2＝r2
5a2＝4ar
5a＝4r
∴r ＝a．
B
N
E
方法二：图连结BDOEBEDE．
∵四边形BCMN正方形
∴∠C＝∠M＝∠N＝90°
∴BD⊙O直径∠BED＝90°
M
D
∴∠BEN＋∠DEM ＝90°
C
∵∠BEN＋∠EBN＝90°
∴∠DEM＝∠EBN
∴△BNE∽△EMD
∴
∴DM＝a
OE梯形BDMN中位线
OE＝（BN＋MD）＝a．
（4）①a＜r＜时⊙O正方形公点数0124678
②r＝a时⊙O正方形公点数01258
③时⊙O正方形公点数0123468
④时⊙O正方形公点数01234
⑤时⊙O正方形公点数01234．
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17（2005浙江台州）图面直角坐标系⊙Cy轴相切D
点x轴相交A（20）B（80）两点圆心C第四象限
（1）求点C坐标
（2）连结BC延长交⊙C点E线段BE点P
AB2＝BP·BE否推出AP⊥BE？请出结说明理
（3）直线BE否存点QAQ2＝BQ·EQ？存求出点Q坐标存请说明理
[解] （1） C（54）
（2）连结AE ∵BE⊙O直径 ∴∠BAE90°
△ABE△PBA中AB2＝BP· BE ∠ABE∠PBA
∴△ABE∽△PBA
∴∠BPA∠BAE90° AP⊥BE
（3）分析：假设直线EB存点QAQ2＝BQ· EQ Q点位置三种情况：
①三条线段两条等长三条均等长容易知点C点Q
②两条等长点Q线段EBRt△EBA中射影定理知点QAQ⊥EB垂足
③两条等长点Q线段EB外条件想切割线定理知QA切⊙C点A设Q()点Q作QR⊥x轴点R相似三角形性质切割线定理勾股定理三角函数直线解析式等种解法
解题程：
① 点Q1C重合时AQ1Q1BQ1E 显然AQ12＝BQ1· EQ1
∴Q1(5 4)符合题意
② Q2点线段EB ∵△ABE中∠BAE90°
∴点Q2AQ2BE垂足
∴AQ2 48（）
∴Q2点横坐标2+ AQ2·∠BAQ2 2+384584
AQ2·∠BAQ2288
∴点Q2（584288）
③方法：符合题意点Q3线段EB外
点Q3点A⊙C切线直线BE第象限交点
Rt△Q3BR∽Rt△EBA△EBA三边长分6810
妨设BR3tRQ34tBQ35t
Rt△ARQ3∽Rt△EAB
t
〖注处列方程 AQ32 Q3B·Q3EQ3R2+AR2列方程)等等〗
∴Q3点横坐标8+3t Q3点坐标
Q3（）
方法二：设添辅助线 直线 BEB(8 0) C(5 4)
∴直线BE解析式
设Q3（）点Q3作Q3R⊥x轴点R
∵易证∠Q3AR ∠AEB Rt△AQ3R∽Rt△EAB
∴
∴t 进点Q3 坐标∴Q3（）
方法三：符合题意点Q3线段EB外连结Q3A延长交轴F
∴∠Q3AB ∠Q3EA
R t△OAF中OF2×点F坐标（0）
∴直线AF解析式
直线BE解析式
∴交点Q3（）
18（2005海长宁）图1抛物线关y轴称顶点C坐标（0h ）(h>0) 交x轴点A（d0）B（d0）（d>0）
（1）求抛物线解析式（hd表示）
（2）图2ABC视抛物线形拱桥①～⑤拉杆均垂直x轴垂足次线段AB6等分点h9米
(i )求拉杆⑤DE长度
F
G
x
y
C
B
O
A
图4
(ii)d值增变图3拉杆⑤DE长度会改变？(需写结)
（3）图4点G线段OAOGkd（例系数k常数0≤k≤1）GF⊥x轴交抛物线点F试探索k值时
tg∠FOG tg∠CAO？时点GOA线段什关系？
[解] （1）顶点式题意设yax2+h
代入A（d0）a
∴yx2+h
(2)(i)h9代入（1）中解析式yx2+9
题意OEd设D（dyD）
点D抛物线yD(d)2+95∴DE5米
(ii) 拉杆⑤DE长度变
（3）OGkd∴点F坐标设（kdyF）代入yx2+h ：
yF h(1－k2)
tg∠FOG tg∠CAO
解 （∵0
19（2006海金山）已知：抛物线A（20）B（80）C（0）
C
O
（1）求抛物线解析式
（2）设抛物线顶点P△APB翻折点P落线段AB（AB重合）记作折痕EF设A xPE y求y关x函数关系式写出定义域
（3）点线段AB运动AB重合时否△EF边x轴垂直？请求出时点坐标请说明理
[解] （1）设
代入
∴
（2）顶点P（
APABBP6
∴
作G
中
∴
（3）轴
（舍）
∴
轴
（舍）
∴
轴 显然
∴
20 （2006湖北十堰）已知抛物线：（常数）顶点轴交点抛物线抛物线关轴称顶点连接．
注：抛物线顶点坐标．
（1）请横线直接写出抛物线解析式：________________________
（2）时判定形状说明理
（3）抛物线否存点四边形菱形？果存请求出值果存请说明理．
[解] （1）．
（2）时等腰直角三角形． 3分
理：
图：点点关轴称点轴
．
点作抛物线称轴交轴点作．
时顶点坐标．
点坐标
．．
．
称性知．
等腰直角三角形．
（3）假设抛物线存点四边形菱形．
（2）知．
等边三角形．
．
四边形菱形点点点关称．
交点点．
点坐标分
．
中．
．
抛物线存点四边形菱形时．
21（2006湖北宜昌）图点O坐标原点点A（n0）x轴动点(n＜0）AO边作矩形AOBC点C第二象限OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o矩形AGDE．点A直线y＝kx＋m 交y轴点FFB＝FA．抛物线yax2+bx+c点EFG直线AF交点H点H作HM⊥x轴垂足点M．
(1)求k值
(2)点A位置改变时△AMH面积矩形AOBC 面积值否改变？说明理．
[解] （1）根题意：E（3n0） G（n－n）
x＝0时y＝kx＋m＝m∴点F坐标（0m）
∵Rt△AOF中AF2＝m2＋n2
∵FB＝AF
∴m2＋n2＝(2n－m)2
化简：m＝－075n
y＝kx＋mx＝n时y＝0
∴0＝kn－075n
∴k＝075
（2）∵抛物线yax2+bx+c点EFG
∴
解：a＝b＝－c＝－075n
∴抛物线yx2－x－075n
解方程组：
：x1＝5ny1＝3nx2＝0y2＝－075n
∴H坐标：（5n3n）HM＝－3nAM＝n－5n＝－4n
∴△AMH面积＝05×HM×AM＝6n2
矩形AOBC 面积＝2n2∴△AMH面积∶矩形AOBC 面积＝31着点A位置改变改变．
22（2005黑龙江）图面直角坐标系中Rt△ABC斜边ABx轴AB25顶点Cy轴负半轴tan∠ACO点P线段OCPOPC长(PO
(2)求P点坐标
(3)x轴否存点Q点ACPQ顶点四边形梯形存请直接写出直线PQ解析式存请说明理．
[解] (1)∵ ∠ACB900CO⊥AB∴ ∠ACO∠ABC． ∴ tan∠ABC
Rt△ABC中设AC3aBC4a
AB5a5a25 ∴ a5
∴ AC15 BC20
(2)∵ S△ABCAC·BCOC·AB ∴ OC12
∴ PO+PC4+2k12． ∴ k4
∴ 方程化x212x+32O．解x14x28
∵ PO
(3)存直线PQ解析式：y x4y 4
23（2006黑龙江）图面直角坐标系中点AB分x轴y轴线段OAOB长(0A
(1)求点C坐标
(2)求直线AD解析式
(3)P直线AD点面否存点Q0APQ顶点四边形菱形存请直接写出点Q坐标存请说明理．
[解] (1)OA6OB12
点C线段AB中点OCAC
作CE⊥x轴点E．
∴ OEOA3CEOB6．
∴ 点C坐标(36)
(2)作DF⊥x轴点F
△OFD∽△OEC求OF2DF4．
∴ 点D坐标(24)
设直线AD解析式ykx+b．
A(60)D(24)代
解
∴ 直线AD解析式yx+6
(3)存．
Q1(33)
Q2(33)
Q3(33)
Q4(66)
二函数方程综合压轴题
1（2004江苏宿迁）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2
（1）抛物线x轴两交点AB分原点两侧AB＝试求m
值
（2）设C抛物线y轴交点抛物线存关原点称两点MN △MNC面积等27试求m值
M
N
C
x
y
O
[解]（1）设点Ａ（x10）B(x20)
x1 x2方程 x2－mx＋m－2＝0两根
∵x1 ＋ x2 ＝m x1·x2 m－2 ＜0 m＜2
AB＝∣x1 － x2∣＝
∴m2－4m＋30
解：m1m3(舍)
∴m值1
（2）设M(ab)N(－a－b)
∵MN抛物线两点
∴
①＋②：－2a2－2m＋4＝0
∴a2＝－m＋2
∴m＜2时存满足条件中两点MN
∴
时MNy轴距离均
点C坐标（02－m）S△M N C 27
∴2××（2－m）×27
∴解m－7
2（2005福建三明）已知二次函数(常数△)图象轴相交AB两点AB两点间距离例通研究中函数图象(图)出表中第2行相交数
△
－5
6
1
2
3
1
－
－2
－2
3
（1）表空格中填正确数
（2）根述表d△值猜想间什关系？举符合条件二次函数验证猜想
（3）函数(常数△)证明猜想
[解] （1）第行
第三行 △9
（2）猜想：△
例：中
∴△
（3）证明令∵△>0
设两根
+
3（2006海浦东）已知：二次函数图象顶点x轴．
（1）试判断二次函数图象开口方说明理
（2）求证：函数图象x轴必两交点
（3）果函数图象x轴相交点A（x10）B（x20）y轴相交点C△ABC面积等2．求函数解析式．
[解] （1）∵二次函数图象顶点x轴
∴．
∴．
∵∴．
∴函数图象开口方．
（解：∵二次函数图象顶点x轴y轴正半轴相交
∴函数图象开口方．
（2）∵∴函数二次函数．
．
∵∴．
∴Δ>0．
∴函数图象x轴必两交点．
（3）题意．
∵∴．
点C坐标（01）．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴求函数解析式．
4（2005天津）已知二次函数
（1）a 2c 3二次函数图点（12）求b值
（2）a 2b + c 2b > c二次函数图点（p 2）求证：b≥0
（3）a + b + c 0a > b > c二次函数图点（q a）试问变量x q +4时二次函数应函数值y否0？请证明结
[解]（1）a 2c 3时二次函数
∵该函数图点（12）
∴解b1
（2）a 2b + c 2时二次函数
∵该函数图点（p2）
∴
p方程根
∴判式△
∵b + c 2b > c
∴b > b 2b > 1b + 8 > 0
∴
（3）∵二次函数图点（qa）
∴
∴q方程根
判式△
∵
∴△
a > b > c知a > 0c < 0
∴3a c > 0
∴
∴q方程根
∴
时
∵a > b ≥ 0
∴
∴
∴时二次函数应函数值0
5（2006江苏盐城）已知：图A（01）y轴定点Bx轴动点AB边∠OAB外部作∠BAE＝∠OAB B作BC⊥AB交AE点C
(1)B点横坐标时求线段AC长
(2)点Bx轴运动时设点C横坐标分yx试求yx函数关系式（点B运动O点时点CO点重合）
(3)设点P（01）直线l(2)中求函数图象两公点M1(x1y1)M2(x2y2)x12+x22－6(x1+x2)8求直线l解析式．
[解] (1)方法：Rt△AOB中求AB＝
y
A
O
B
x
C
D
G
H
∵∠OAB＝∠BAC∠AOB＝∠ABCRt∠
∴△ABO∽△ABC∴求：AC＝
方法二：题意知：tan∠OAB
(2)方法：BO重合时延长CB交y轴点DC作CH⊥x轴交x轴点H证AC＝ADBD＝
∵AO⊥OBAB⊥BD∴△ABO∽△BDOOB2＝AO×OD
化简：yOBC三点重合时yx0∴yx函数关系式：y
方法二：点C作CG⊥x轴交AB延长线点HAC2＝(1－y)2+x2(1+y)2化简
(3)设直线解析式ykx+b题意：消y：x24kx4b0题设知：
x12+x226(x1+x2)8(4k)2+8b24k8b116k224k 160解：k12k2k12b1时
△＝16k2+16b6416>0符合题意k2b1时△＝16k2+16b416<0合题意（舍）
∴求直线l解析式：y2x1
6（2006广东广州）已知抛物线y x2+mx2m2(m≠0)．
(1)求证：该抛物线x轴两交点
(2)点P(0n)作y轴垂线交该抛物线点A点B(点A点P左边)
否存实数mnAP2PB存求出mn满足条件存请说明理．
[解] （1）△
∵
∴△
∴该抛物线轴两交点
（2）题意易知点坐标满足方程：
方程两相等实数根△
…………………①
求根公式知两根：
∴
分两种情况讨：
第种：点点左边点点右边
∵
∴
∴………………②
∴………………………③
②式解
…………………………④
第二种：点点左边
∵
∴
∴………………⑤
∴………………………⑥
⑤式解
………⑦
综合①③④⑥⑦知满足条件点存时应满足条件：
三动态型压轴题
1（2001天津）已知：Rt△ABC中∠B＝90°BC＝4cmAB＝8cmDEF分ABACBC边中点．PAB边动点PQ∥BC交AC点QPQ边点A异侧作正方形PQMN记正方形PQMN矩形EDBF公部分面积y．
（1）图AP＝3cm时求y值
（2）设AP＝xcm试含x代表式表示y（cm）2
（3）y＝2cm2时试确定点P位置．
[解]（1） ∵ PQ∥BC∴ ．∵ BC＝4AB＝8AP＝3∴ PQ＝．∵ DAB中点∴ AD＝AB＝4PD＝AD－AP＝1．
∵ PQMN正方形DN＝PN－PD＝PQ－PD＝∴ y＝MN·DN＝cm2．
（2）∵ AP＝x∴ AN＝x．
o≤x＜时y＝0
≤x＜4时
4≤x＜时y＝x
≤x≤8时y＝2（8－x）＝－2x＋16．
（3）y＝2代入y＝—2x＋16（≤x≤8）时x＝7P点距A点7cm
y＝2代入时P点距A点cm．
2（2002海）操作：三角尺放边长1正方形ABCD直角顶点P角线AC滑动直角边始终点B边射线DC相交点Q．
图5图6图7
探究：设AP两点间距离x．
（1）点Q边CD时线段PQ线段PB间样关系？试证明观察结
（2）点Q边CD时设四边形PBCQ面积y求yx间函数解析式写出函数定义域
（3）点P线段AC滑动时△PCQ否成等腰三角形？果指出△PCQ成等腰三角形点Q位置求出相应x值果试说明理．（图5图6图7形状相图5供操作实验图6图7备）
[解]
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB
证明：点P作MN∥BC分交AB点M交CD点N四边形AMND四边形BCNM矩形△AMP△CNP等腰直角三角形（图1）．
∴ NP＝NC＝MB．
∵ ∠BPQ＝90°∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
∠BPM＋∠PBM＝90°∴ ∠QPN＝∠PBM．
∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°∴ △QNP≌△PMB．
∴ PQ＝PB．
（2）解法
（1）△QNP≌△PMB．NQ＝MP．
∵AP＝x∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝BM＝PN＝CN＝1－
∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．
S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．
S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．
y＝x2－＋1（0≤x＜）．
解法二
作PT⊥BCT垂足（图2）四边形PTCN正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
∠PNQ＝∠PTB＝90°PB＝PQ∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN
＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1
∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）．
（3）△PCQ成等腰三角形
①点P点A重合点Q点D重合时PQ＝QC△PCQ等腰三角形
时x＝0
②点Q边DC延长线CP＝CQ时△PCQ等腰三角形（图3）
解法： 时QN＝PM＝CP＝－xCN＝CP＝1－．
∴ CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．
－x＝－1时x＝1．
解法二： 时∠CPQ＝∠PCN＝225°∠APB＝90°－225°＝675°
∠ABP＝180°－（45°＋675°）＝675°∠APB＝∠ABP
∴ AP＝AB＝1∴ x＝1．
O
N
P
Q
M
C
C1
B1
A1
A
B
图1
3（2006河北课改）图1220×20等距网格（格宽高均1单位长）中Rt△ABC点A点M重合位置开始秒1单位长速
度先移BC边网底部重合时继续样速度右
移点C点P重合时Rt△ABC停止移动设运动时间
x秒△QAC面积y
（1）图1Rt△ABC移Rt△A1B1C1位置时
请网格中画出Rt△A1B1C1关直线QN成轴称图形
（2）图2Rt△ABC移程中请求出y
O
N
P
Q
M
C
A
B
图2
x函数关系式说明x分取值时y取值
值？值值分少？
（3）Rt△ABC右移程中请说明x取值时y
取值值？值值分少？什？
[解] （1）图1△A2B2C2△A1B1C1关直线QN成轴称图形 …………2分
O
N
P
Q
M
C
A
B
C
A
B
图2
O
N
P
Q
M
C1
C2
B1
A1
A2
B2
图1
（2）△ABC秒1单位长速度移x秒时（图2）：
MAxMBx+4MQ20
yS梯形QMBCS△AMQS△ABC
2x+40(0≤x≤16)
次函数性质知：
x0时y取值y40
x16时y取值y2×16+4072
（3）解法：
△ABC继续秒1单位长速度右移时时16≤x≤32PB20（x16）36xPCPB432x
∴yS梯形BAQPS△CPQS△ABC
2x+104(16≤x≤32)
次函数性质知：
x32时y取值y2×32+10440
x16时y取值y2×16+10472
解法二：
△ABC左右移程中△QAC时刻位置应着（2）中△QAC某时刻位置样两三角形关直线QN成轴称
根轴称性质需考察△ABC移程中△QAC面积变化情况便知道△ABC左右移程中△QAC面积变化情况
x16时y取值y72
x32时y取值y40
4 (2004山东枣庄)图△ABC中AB＝17AC＝5∠CAB＝45°点OBA移动O圆心作⊙O⊙O边BC相切切点D设⊙O半径x四边形AODC面积y．
A
B
O
D
C
（1）求 yx函数关系式
（2）求x取值范围
（3）x值时⊙OBCAC相切？
[解]（1）图①点C作CE⊥AB垂足E．
Rt△ACE中AC5∠CAB45°
∴ AECE AC·sin45°．
∴ BEAB－AE17－512
．
∴ tanB．
∵ CB切⊙O点D
∴ OD⊥BC．
tanB
∴ BD．
∵ S四边形AODC S△ABC－S△BOD
∴ －
．
A
B
C
D
E
F
O
①
A
B
C
D
O
G
②
(2)点C作CF⊥CB交ABF．
Rt△BCF中 CFBC·tanB13×．
∴ x取值范围0＜x≤．
（3）⊙OBCAC相切时设⊙OAC切点G连结OGOC（图②）OGODx．
∵ S△AOC+S△BOC S△ABC
∴ ．
∴ ．
5（2004浙江宁波）已知半圆直径AB＝16P点AB动点(AB重合) PQ⊥AB 垂足P交半圆OQPB半圆O1直径⊙O2半圆O半圆O1PQ相切切点分MNC．
（1）P点O点重合时(图1) 求⊙O2半径r
图⑵
图⑴
A
O
（P）
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
B
P
·
A
O
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
B
（2）P点AB移动时(图2) 设PQ＝x⊙O2半径r．求Rx函数关系式求出r取值范围．
[解] (1)连结OO2O1O2O2C作O2D⊥ABD．
∵⊙O2⊙O⊙O1PQ相切
∴OO2＝8－r
O1O2＝4＋r．
∵四边形ODO2C矩形
∴OD＝rO1D＝4－r
根勾股定理
∴r＝2．
(2) ∵AB⊙O直径PQ⊥AB．
∴PQ2＝AP·PB．
设⊙O1半径a
x2＝2a（16－2a）＝4（8a－a2）．
连结OO2O1O2O2C作O2D⊥ABD
∴＝＝
根勾股定理
化简．
∴ ．
∵0≤x≤8
∴0≤r≤8．
A
Q
B
图⑴
O
（P）
N
·
O2
·
O1
M
C
B
D
图⑵
P
·
A
O
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
D
6（2005河北）图12直角梯形ABCD中AD∥BC∠C＝90°BC＝16DC＝12AD＝21动点P点D出发射线DA方秒2两单位长速度运动动点Q点C出发线段CB秒1单位长速度点B运动点PQ分点DC时出发点Q运动点B时点P停止运动设运动时间t（秒）
（1）设△BPQ面积S求St间函数关系式
（2）t值时BPQ三点顶点三角形等腰三角形？
（3）线段PQ线段AB相交点O2AO＝OB时求∠BQP正切值
（4）否存时刻tPQ⊥BD？存求出t值存请说明理
（1）图3点P作PM⊥BC垂足M四边形PDCM矩形∴PM＝DC＝12
[解]A
B
M
C
D
P
Q
图3
∵QB＝16－t∴S＝×12×(16－t)＝96－t
（2）图知：CM＝PD＝2tCQ＝t热BPQ三点顶点三角形等腰三角形分三种情况：
①PQ＝BQRt△PMQ中PQ2＝BQ2 解t＝
A
②BP＝BQRt△PMB中BP2＝BQ2 ：
Δ＝－704＜0
∴解∴PB≠BQ
③PB＝PQPB2＝PQ2
整理解（合题意舍）
综合面讨知：t＝秒时BPQ三点顶点三角形等腰三角形
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图4
（3）图4△OAP∽△OBQ
∵AP＝2t－21BQ＝16－t∴2(2t－21)＝16－t
∴t＝
点Q作QE⊥AD垂足E
∵PD＝2tED＝QC＝t∴PE＝t
RT△PEQ中tan∠QPE＝
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图5
（4）设存时刻tPQ⊥BD图5点Q作QE⊥ADS垂足ERt△BDC∽Rt△QPE
解t＝9
t＝9秒时PQ⊥BD
7（2005河南）图直角梯形ABCD中AD∥BCAB⊥BCAB＝2DC＝2点P边BC运动(BC重合)设PC＝x四边形ABPD面积y
（1）求y关x函数关系式写出变量x取值范围
（2）D圆心半径作⊙DP圆心PC长半径作⊙Px值时⊙D⊙P相切？求出两圆相切时四边形ABPD面积
[解]（1）点D作DE⊥BCE
∵∠ABC＝900∴DE＝AB＝2
∵DC＝2∴EC＝＝2
∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3
∴S四边形ABPD＝＝4－x
y＝－x＋4 (0＜x＜3）
（2）PE重合时⊙P⊙D相交合题意
点P点E重合时Rt△DEP中
DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8
∵⊙P半径x⊙D半径
∴①⊙P⊙D外切时
(x＋)2＝x2－4x＋8解 x＝
时四边形ABPD面积y＝4－＝
②⊙P⊙D切时
(x＋)2＝x2－4x＋8解 x＝
时四边形ABPD面积y＝4－＝
∴⊙P⊙D相切时四边形ABPD面积
8（2005江苏宿迁）已知：图△ABC中∠C＝90°AC＝3厘米CB＝4厘米．两动点PQ分AC两点时时针方△ABC边运动．点Q运动点A时PQ两点运动停止．点PQ运动速度分1厘米秒2厘米秒设点P运动时间（秒）．
（1）时间值时PCQ三点顶点三角形面积（图中阴影部分）等2厘米2
（2）点PQ运动时阴影部分形状变化．设PQ△ABC围成阴影部分面积S（厘米2）求出S时间函数关系式指出变量取值范围
（3）点PQ运动程中阴影部分面积S值？请求出值没请说明理．
[解] （1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2
解 ＝1＝2
∴时间1秒2秒时S△PCQ＝2厘米2
（2）①0＜≤2时S＝＝
②2＜≤3时 S＝＝
③3＜≤45时S＝＝
（3）
①0＜≤2时＝S值S1＝
②2＜≤3时＝3S值S2＝
③3＜≤45时＝S值S3＝
∵S1＜S2＜S3 ∴＝时S值S值＝．
9（2005江苏泰州）图1边长分43两等边三角形纸片ABCC′D′E′叠放起（CC′重合）
（1）操作：固定△ABC△C′D′E′绕点C时针旋转30°△CDE连结ADBECE延长线交ABF（图2）
探究：图2中线段BEAD间样关系？试证明结
（2）操作：图2中△CDE线段CF着CF方秒1单位速度移移△CDE设△PQR（图3）
探究：设△PQR移动时间x秒△PQR△ABC重叠部分面积y求yx间函数解析式写出函数变量x取值范围
（3）操作：图1中△C′D′E′固定△ABC移动顶点C落C′E′中点边BC交D′E′点M边AC交D′C′点N设∠AC C′α（30°＜α＜90°＝（图4）
E′
D′
图2
图3
D′
E′
图4
C
（C）
（C）
探究：图4中线段C′N·E′M值否α变化变化？果没变化请求出C′N·E′M值果变化请说明理
[解] （1）BEAD
证明：∵△ABC△DCE等边三角形
∴∠ACB∠DCE60° CACBCECD
∴∠BCE∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BEAD
T
S
（旋转方法证明BEAD）
（2）图△CQT中 ∵∠TCQ30° ∠RQT60°
∴∠QTC30° ∴∠QTC∠TCQ
∴QTQCx
∴ RT3－x
∵∠RTS＋∠R90° ∴∠RST90°
∴y×32 －(3－x)2－(3－x)2＋(0≤x≤3)
（3）C′N·E′M值变
证明：∵∠ACC′60°∴∠MCE′＋∠NCC′120°
∵∠CNC′＋∠NCC′120° ∴∠MCE′∠CNC′
∵∠E′∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ∴C′N·E′MC′C·E′C×
10（2005江苏南通）图面直角坐标系中已知A（－100）B（－86）O坐标原点△OABAB翻折△PAB．四边形OAPB先移3单位长度右移m（m＞0）单位长度四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1四边形OAPB重叠部分图形周长l．
（1）求A1P1两点坐标（含m式子表示）
（2）求周长lm间函数关系式写出m取值范围．
[解] （1）点B作BQ⊥OA点Q．（图1）
O
－3
y
B
x
A
P
Q
α
图1
∵ 点A坐标（－100）
∴点A1坐标（－10＋m－3）OA＝10．
∵ 点B坐标（－86）
∴BQ＝6OQ＝8．
Rt△OQB中
．
∴OA＝OB＝10．
翻折性质知PA＝OA＝10PB＝OB＝10 ∴四边形OAPB菱形
∴PB∥AO∴P点坐标（－186）
∴P1点坐标（－18＋m3）．
（2）①0＜m≤4时（图2） 点B1作B1Q1⊥x轴点Q1B1 Q1＝63＝3
x
O
y
B
A
P1
A1
O1
B1
Q1
F
α
Q
β
图2
P
设O1B1 交x轴点F∵O1B1∥BO∴∠α＝∠β
Rt△FQ1B1中
∴∴Q1F＝4
∴B1F＝＝5
∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2
x
O
B
A
P1
A1
O1
B1
图3
P
S
H
F
y
∴AF＝AQ+QQ1+ Q1F＝2+m+4＝6+m
∴周长l＝2（B1F＋AF）
＝2（5＋6＋m）
＝2 m＋22
②4＜m＜14时（图3）
设P1A1交x轴点SP1B1交OB
点H
OS
y
B
S
x
A
移性质 OH＝B1F＝5
时AS＝m－4
∴OS＝OA－AS
＝10－（m－4）＝14－m
∴周长l＝2（OH＋OS）
＝2（5＋14－m）
＝－2 m＋38．
11（2005新疆乌鲁木齐）四边形OABC等腰梯形OA∥BC建立图面直角坐标系中A（40）B（32）点MO点秒3单位速度终点A运动时点NB点出发秒1单位速度终点C运动点N作NP垂直x轴P点连结AC交NPQ连结MQ
（1）写出C点坐标
（2）动点N运动t秒求Q点坐标（含t式子表示
（3）△AMQ面积S时间t函数关系式写出变量t取值范围
（4）t取值时△AMQ面积
（5）t值时△AMQ等腰三角形
[解] （1）C（12）
（2）C作CEx轴ECE＝2
动点N运动t秒时NB＝t
∴点Q横坐标3—t
设Q点坐标yQ
PQ∥CE
∴
∴点Q（）
（3）点M秒2单位运动∴OM＝2tAM＝4—2t
S△AMQ＝
＝
＝
t＝2时M运动A点AMQ存∴t2
∴t取值范围0≤t＜2
（4）S△AMQ＝
（5）①QM＝QA
∵QP⊥OA∴MP＝AP
MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t
1＋t＝3—3t
t＝
∴t＝时△QMA等腰三角形
②AQ＝AM
AQ2＝AP2＋PQ2＝
AQ
AM＝4—2t
＝4—2t
∴t＝时△QMA等腰三角形
③MQ＝MA
MQ2＝MP2＋PQ2
＝
∴＝
解t＝t＝—1（舍）
∵0＜＜2
∴t＝时△QMA等腰三角形
综述：t＝ t＝ t＝△QMA等腰三角形
12 (2005浙江温州)图Rt△ABC中已知AB＝BC＝CA＝4cmAD⊥BCD点PQ分BC两点时出发中点PBC终点C运动速度1cms点PCAAB终点B运动速度2cms设运动时间x(s)
⑴ 求x值时PQ⊥AC
⑵ 设△PQD面积y(cm2)0＜x＜2时求yx函数关系式
⑶ 0＜x＜2时求证：AD分△PQD面积
⑷ 探索PQ直径圆AC位置关系请写出相应位置关系x取值范围(求写出程)
[解] （1）∵QAB时显然PQ垂直AC
题意：BP＝xCQ＝2xPC＝4－x
∴AB＝BC＝CA＝4∠C＝600
PQ⊥AC∠QPC＝300∴PC＝2CQ
∴4－x＝2×2x∴x＝
∴x＝(QAC)时PQ⊥AC
（2）0＜x＜2时PBDQAC点Q作QH⊥BCH
∵∠C＝600QC＝2x∴QH＝QC×sin600＝x
∵AB＝ACAD⊥BC∴BD＝CD＝BC＝2
∴DP＝2－x∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－
（3）0＜x＜2时Rt△QHC中QC＝2x∠C＝600
∴HC＝x∴BP＝HC
∵BD＝CD∴DP＝DH
∵AD⊥BCQH⊥BC∴AD∥QH
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO
∴AD分△PQD面积
（4）显然存x值PQ直径圆AC相离
x＝时PQ直径圆AC相切
0≤x＜＜x＜＜x≤4时PQ直径圆AC相交
13 （2005海静安）图4已知⊙O半径OA弦AB4点C弦AB点C圆心CO半径圆线段OA相交点E．
（1）求值
（2）设ACOE求间函数解析式写出定义域
（3）点CAB运动时⊙C否⊙O相切？果请求出⊙C⊙O相切时AC长果请说明理．
[解] （1）点O作OD⊥AB垂足D
∵AB⊙O弦∴ADAB2∴．
（2）点C作CF⊥OE垂足F∵OE⊙C弦
Rt△ACF中AFAC·
∵AF+OFOA∴
∴函数解析式．函数定义域
（3）⊙C⊙O相切． Rt△AOD中OD．
⊙C⊙O相切时OC
∵CD∴．
∴ ⊙COA相点O符合题意．
∴⊙C⊙O相切时AC长
14 （2005海闵行）已知：图梯形ABCD中．
点EAD边连结CE．点PAB边动点
点P作交BC点Q．设．
A
B
C
D
P
E
Q
(1) 求值
(2) 求yx函数解析式写出函数定义域
(3) 时求x值．
[解] (1) 点A作垂足点F．
∵
∴．
Rt△ABF中∴．
(2) 分延长BACE交点G．
∵∴．
∵∴
∵∴．
∵∴
．
．
yx函数解析式．
(3) 时解．
时．
15
16（2006广东课改）图示面直角坐标中四边形OABC等腰梯形BC∥OAOA7AB4∠ COA60°点Px轴—动点点P点0点A重合．连结CP点P作PD交AB点D．
(1)求点B坐标
(2)点P运动什位置时△OCP等腰三角形求时点P坐标
(3)点P运动什位置时∠CPD∠OAB求时点P坐标
[解] (1)作BQ⊥x轴Q
∵ 四边形ABCD等腰梯形
∴∠BAQ＝∠COA＝60°
RtΔBQA中BA4
∴BQAB·sin∠BAO4×sin60°
AQAB·cos∠BAO4×cos60°2
∴OQOAAQ725
∵点B第象限
∴点B坐标(5 )
(2)ΔOCP等腰三角形∵∠COP60°
时ΔOCP等边三角形顶角120°等腰三角形
ΔOCP等边三角形OPOCPC4点Px轴正半轴
∴点P坐标(40)
ΔOCP顶角120°等腰三角形点Px轴负半轴OPOC4
∴点P坐标(40)
∴点P坐标(40)(40)
(2)∠CPD∠OAB
∵∠CPA∠OCP+∠COP
∠OAB∠COP60°
∴∠OCP∠DPA
时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴
ADABBD4
APOAOP7OP
∴
OP16
∴点P坐标(10)(60)
17（2006海静安）图O圆心两心圆中圆半径1AB圆相切点A圆相交B圆弦BC⊥AB点C作圆切线交AB延长线DOC交圆E．
（1） 求证：△AOB∽△BDC
（2） 设圆半径CD长求间函数解析式写出定义域．
（3） △BCE否成等腰三角形？果求出圆半径果请说明理．
[解] (1)∵⊙OCD相切点C∴∠DCO90°
∴∠BCD+∠OBC90º
∵CB⊥AD∴∠ABO+∠OCB90º
∵OCOB∴∠OBC∠OCB
∴∠BCD∠ABO
∵⊙OAB相切点A∴∠BAO90° ∴∠CBD∠BAO．
∴△AOB∽△BDC．
(2) 点O作OH⊥BC垂足H．
∵∠OAB∠ABC∠BHO90º∴四边形OABH矩形
∵BC⊙O弦∴BC2BH 2OA2
Rt△OAB中AB．
∵△AOB∽△BDC∴
∴∴函数解析式
定义域．
(3) EBEC时∠ECB∠EBC∠ECB∠OBC∴EBEC．
CECB时OCCE+OECB+OE2+13．
BCBE时∠BEC∠ECB∠OBC△BCE∽△OCB．
设OC xCE(负值舍)
∴OC
综述△BCE成等腰三角形时圆半径3．
18 （2006山东青岛）图①两形状完全相直角三角形ABCEFG叠放起（点A点E重合）已知AC＝8cmBC＝6cm∠C＝90°EG＝4cm∠EGF＝90°O △EFG斜边中点．
图②整△EFG图①位置出发1cms 速度射线AB方移△EFG 移时点P△EFG顶点G出发1cms 速度直角边GF点F运动点P达点F时点P停止运动△EFG停止移．设运动时间x（s）FG延长线交 ACH四边形OAHP面积y（cm2)（考虑点PGF重合情况）．
（1）x值时OP∥AC
（2）求yx 间函数关系式确定变量x取值范围．
（3）否存某时刻四边形OAHP面积△ABC面积13∶24？存求出x值存说明理．
（参考数：1142 ＝129961152 ＝132251162 ＝13456
442 ＝1936452 ＝2025462 ＝2116）
[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴．
∴FG＝＝3cm．
∵PFG中点时OP∥EG EG∥AC
∴OP∥AC．
∴ x ＝＝×3＝15（s）．
∴x15s时OP∥AC ．
（2）Rt△EFG 中勾股定理：EF ＝5cm．
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH ．
∴．
∴．
∴ AH＝（ x ＋5）FH＝（x＋5）．
点O作OD⊥FP 垂足 D ．
∵点OEF中点
∴OD＝EG＝2cm．
∵FP＝3－x
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP
＝·AH·FH－·OD·FP
＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）
＝x2＋x＋3（0＜x＜3．
（3）假设存某时刻x四边形OAHP面积△ABC面积13∶24．
S四边形OAHP＝×S△ABC
∴x2＋x＋3＝××6×8
∴6x2＋85x－250＝0
解 x1＝ x2＝ －（舍）．
∵0＜x＜3
∴x＝（s）时四边形OAHP面积△ABC面积13∶24．
19（2006河北）图Rt△ABC中∠C＝90°AC＝12BC＝16动点P点A出发AC边点C秒3单位长速度运动动点Q点C出发CB边点B秒4单位长速度运动．PQ分点AC时出发中点达端点时点停止运动．运动程中△PCQ关直线PQ称图形△PDQ．设运动时间t（秒）．
（1）设四边形PCQD面积y求yt函数关系式
（2）t值时四边形PQBA梯形？
（3）否存时刻tPD∥AB？存求出t值存请说明理
A
P
C
Q
B
D
（4）通观察画图折纸等方法猜想否存时刻tPD⊥AB？存请估计t值括号中时间段（0≤t≤11＜t≤22＜t≤33＜t≤4）存请简说明理．
[解] （1）题意知 CQ＝4tPC＝12－3t
∴S△PCQ ．
∵△PCQ△PDQ关直线PQ称
∴y2S△PCQ ．
（2）时PQ∥ABAPBQ行时四边形PQBA梯形
∵CA12CB16CQ＝4t CP＝12－3t
∴ 解t＝2．
∴t＝2秒时四边形PQBA梯形．
（3）设存时刻tPD∥AB延长PD交BC点M图2
PD∥AB∠QMD∠B∵∠QDM∠C90°
∴图2
A
P
C
Q
B
D
M
Rt△QMD∽Rt△ABC
∵QDCQ4tAC＝12
AB20
∴QM．
PD∥AB
解t＝．
∴t＝秒时PD∥AB．
（4）存时刻tPD⊥AB．
时间段：2＜t≤3．
四探究型压轴题
1（2004福建南）已知：图① A半径2⊙O点POA延长线动点P作⊙O切线切点B设PA＝m PB＝n
（1）n＝4时求m值
（2）⊙O否存点C△PBC等边三角形？存请求出时m值存请说明理
（3）m值时⊙O存唯点MPB构成PB底等腰三角形？直接答出：时⊙OPB构成等腰三角形点？（图②图③供解题时选）
A
B
图①
P
·
O
A
·
O
A
·
O
图②
图③
[解] （1）解法：连结OB
∵PB切⊙OB
∴∠OBP＝90O
∴
∵PO＝2+mPB＝nOB＝2
∴
n＝4时解（舍）
∴ m值
解法二：延长PO交⊙OQPAQ⊙O割线
∵PB切⊙OB
∴分
∵PB＝nPA＝mPO＝m+4
∴
n＝4时解（舍）
∴ m值分
（2）存点C△PBC等边三角形
∠OPB＝30O时点P作⊙O条切线PCC切点．
∴PB ＝ PC ∠OPB ＝∠OPC
∴∠BPC＝60O ∴△PBC等边三角形
连结OB∠OBP＝90O OB＝2OP＝4
∴m＝PA＝OP－OA＝22
（3）图设EF线段PB垂直分线垂足D EF⊙O相切点M时M符合求
连结OBOM易四边形OMDB正方形．
∴BD＝DP＝OM＝2
∴n＝PB＝4
（l）n＝4时m＝
∴m＝时⊙O存唯气点MPB构成PB底等腰三角形…13分
时⊙O3点PB 构成等腰三角形
（3点分MM1 M2 中MPB中垂线⊙O切点M1延长BO⊙O 交点M2点B关OP称点）
A
B
P
·
O
M
D
E
F
2（2005福建南）定义：某图形分割干相似图形称图形相似图形
探究：
（1）图甲已知△ABC中∠C900△ABC分割成2相似
直角三角形？请图甲中画出分割线说明理
（2）般意三角形相似图形次连结三角形边中点
B
C
A
图甲
原三角形分割四相似三角形△DEF
(图乙)第次次连结边中点进行分割称1阶分割（图1）
1阶分割出4三角形分次连结边中点进行分
割称2阶分割（图2）…次规操作
n阶分割三角形全等三角形（n正整数）设时
三角形面积SN
①△DEF面积10000n值时2
②n>1时请写出反映Sn1SnSn+1间关系等式（必证明）
[解]（1） 正确画出分割线CD
（图点C作CD⊥AB垂足DCD满足求
分割线画成直线扣分）
理：∵ ∠B ∠B∠CDB∠ACB90°
∴△BCD ∽△ACB
（2）① △DEF N阶分割三角形数
∴ S
n 5时S ≈ 977
n 6 时 S ≈ 244
n7 时S ≈ 061
∴ n 6时2 ＜S ＜ 3
S S × S
② S 4 S S 4 S
3（2005广西玉林）图(1)AB⊙O直径射线AT⊥AB点P射线A T动点(PA重合)PC⊙O相切CC作CE⊥ABE连结BC延长BC交AT点D连结PB交CEF．
(1)请写出PAPD间关系式说明理
(2)请找出图中三角形面积PB分成两等分加证明
(3)设ACD三点圆半径RCFR时求∠APC度数图(2)中作出点P(求尺规作图写作法保留作图痕迹)．
[解] (1)连结AC．
AT⊥ABAB⊙O直径
A T⊙O切线．
PC⊙O切线
PAPC．
∠PAC∠PCA．
AB⊙O直径
∠ACB90°
∠PAC+∠ADC90°∠PCA+∠PCD90°
∠ADC∠PCD．
PDPCPA．
(2)(1)知PDPA高见△ABDPB分成面积相等两三角形．
AT⊥ABCE⊥AB
AT∥CE．
CFPDBFBPEFPABFBP．
CFPDEFPA．
CFEF． (6分)
见△CEBPB分成面积相等两三角形．(7分)
(3)(1)知PAPCPD
PA△ACD外接圆半径PAR．
(2)知CFEFCF14 R
EF14 PA．
EFPA14．
EF∥ATBEABEFPA14
CE BE
Rt△ACE中
tan∠CAE3．
∠CAE30°
∠PAC90°∠CAE60°
PAPC△PAC等边三角形．
∠APC60°
P点作图方法见图．
4（2005湖南常德）图AB⊙O直径BC⊙O弦⊙O割线PDE垂直AB点F交BC点G连结PC∠BAC∠BCP求解列问题：
F
P
D
E
(1)求证：CP⊙O切线
B
(2)∠ABC30°BGCG时求PDPE长两根元二次方程
(3)(1)条件变点C劣弧AD运动时应具备什条件结BG2BF·BO成立？试写出猜想说明理
[解] (1) 连结OC证∠OCP90°
(2)∵∠B30° ∴∠A∠BGP60°
∴∠BCP∠BGP60°
∴ΔCPG正三角形
∴PGCP
∵PC切⊙OC
∴PC2PD·PE
∵BC ∴AB6 FD EG
∴PD2
∴PD+PE
∴PDPE两根元二次方程x2－48x＋100
(3)GBC中点OG⊥BCOG∥AC∠BOG∠BAC…时结BG2BF·BO成立结成立证明ΔBFG∽ΔBGOΔBFG∽ΔBGO条件
5 （2005陕西）已知：直线a∥bPQ直线a两点MN直线b两点
P
Q
M
N
a
b
图①
（1） 图①线段PMQN夹行
直线ab间四边形PMNQ
等腰梯形两腰PM＝QN
请参图①图②中画出异
图①种图形夹行
直线ab间两条线段相等
（2） 继续探究发现两条行直
a
b
图②
线ab截学图形
会两条曲线段相等（曲线两
点间部分做曲线段
全等变换重合两条曲线
段做曲线段相等）
请图③中画出种图形夹
P
Q
M
N
a
b
图④
S1
S2
S3
S4
n
m
行直线ab间两条曲线段相等
a
b
图③
（3） 图④梯形PMNQ块绿化梯形底PQ＝m底MN＝nm＜n现计划价格两种花草种植S1S2S3S4四块里价格相花草相邻节省费园艺师应选择两块种植价格较便宜花草？请说明理
[解]P
Q
M
N
a
b
图例：
（1）
P
（Q）
M
N
a
b
（2）
P
Q
M
N
a
b
图例：
P
Q
M
N
a
b
（3）∵△PMN△QMN底等高
∴S△PMN＝S△QMN∴S3+S2S4+S2∴S3S4
∵△POQ∽△NOM ∴
∴S2＝
∵∴
∴
∵m＞n
∴ ∴S1+S2＞S3+S4
园艺师应选择S1S2两块种植价格较便宜花草两块面积两块面积
6（2005重庆） 已知四边形ABCD中P角线BD点P作MN∥ADEF∥CD分交ABCDADBC点MNEF设＝PM·PE＝PN·PF解答列问题：
（1）四边形ABCD矩形时见图1请判断关系说明理
（2）四边形ABCD行四边形∠A锐角时见图2（1）中结否成立？说明理
（3）（2）条件设否存样实数？存请求出满足条件值存请说明理
[解] （1）∵ABCD矩形MN∥ADEF∥CD
∴四边形PEAMPNCF均矩形
∴＝PM·PE＝＝PN·PF＝
∵BD角线
∴△PMB≌△BFP△PDE≌△DPN△DBA≌△DBC
∵
∴＝
∴
（2）成立理：
∵ABCD行四边形MN∥ADEF∥CD
∴四边形PEAMPNCF均行四边形
仿（1）证
E作EH⊥MN点H
∴
理
∵∠MPE＝∠FPN＝∠A
∴
∴PM·PE＝PN·PF
（3）方法1：存理：
（2）知
∴
∵
∴
∴
存实数
方法2：存理：
连结AP设△PMB△PMA△PEA△PED面积分
∴
∴
∴∴
存实数
7（2006江西南昌）问题背景 某课外学组次学研讨中两命题：
① 图1正三角形ABC中MN分ACAB点BMCN相交点O∠BON 60°BM CN
② 图2正方形ABCD中MN分CDAD点BMCN相交点O∠BON 90°BM CN
然运类思想提出命题：
③ 图3正五边形ABCDE中MN分CDDE点BMCN相交点O∠BON 108°BM CN
务求
（1）请①②③三命题中选择进行证明（说明：选①做4分选②做3分选③做5分）
（2）请继续完成面探索：
① 图4正n（n≥3）边形ABCDEF…中MN分CDDE点BMCN相交点O问∠BON等少度时结BM CN成立？（求证明）
② 图5五边形ABCDE中MN分DEAE点BMCN相交点O∠BON 108°时请问结BM CN否成立？成立请予证明成立请说明理
[解] （1）选命题①
证明：图1中∵ ∠BON 60° ∴ ∠CBM +∠BCN 60°
∵ ∠BCN +∠ACN 60° ∴ ∠CBM ∠ACN
∵ BC CA ∠BCM ∠CAN 60°
∴ △BCM ≌ △CAN
∴ BM CN
选命题②
证明：图2中∵ ∠BON 90° ∴ ∠CBM +∠BCN 90°
∵ ∠BCN +∠DCN 90° ∴ ∠CBM ∠DCN
∵ BC CD ∠BCM ∠CDN 90°
∴ △BCM ≌ △CDN
∴ BM CN
选命题③
证明：图3中∵ ∠BON 108° ∴ ∠CBM +∠BCN 108°
∵ ∠BCN +∠DCN 108° ∴ ∠CBM ∠DCN
∵ BC CD ∠BCM ∠CDN 108°
∴ △BCM ≌ △CDN
∴ BM CN
（2）① ∠BON 时结BM CN成立
② BM CN成立
证明：图5连结BDCE
△BCD△CDE中
∵ BC CD∠BCD ∠CDE 108°CD DE
∴ △BCD ≌ △CDE
∴ BD CE∠BDC ∠CED∠DBC ∠ECD
∵ ∠OBC +∠OCB 108°∠OCB +∠OCD 108°
∴ ∠MBC ∠NCD
∵ ∠DBC ∠ECD 36°∴ ∠DBM ∠ECN
∴ △BDM ≌ △ECN
8（2006山东日）阅读面材料：
图（1）AB直径半圆O点PAPBP延长线分交半圆O点CD．求证：AP·AC+BP·BDAB2．
证明：连结ADBCP作PM⊥AB∠ADB∠AMP90ｏ
∴点DMAP直径圆理：MCBP直径圆．
割线定理： AP·ACAM·ABBP·BDBM·BA
AP·AC+BP·BDAM·AB+BM·ABAB·（AM+BM）AB2．
点P半圆周时AP·AC+BP·BDAP2+BP2AB2成立：
（1）图（2）点P半圆周外时结AP·AC+BP·BDAB2否成立？什？
（2）图（3）点P切线BE外侧时什结？结写出．
[解]（1）AP·AC+BP·BDAB2成立．
证明：图（2）∵∠PCM∠PDM900
∴点CDPM直径圆
∴AC·APAM·MDBD·BPBM·BC
∴AC·AP+BD·BPAM·MD+BM·BC
已知AM·MD+BM·BCAB2
∴AP·AC+BP·BDAB2．
（2）图（3）P作PM⊥AB交AB延长线M连结ADBC
CMPB直径圆∴AP·ACAB·AM①
DMPA直径圆∴BP·BDAB·BM②
图象知：ABAMBM③
①②③：AP·ACBP·BDAB·（AMBM）AB2．
9（2006江苏宿迁）设边长2a正方形中心A直线l组边垂直直线l半径r⊙O圆心O直线l运动点AO间距离d．
（1）图①r＜a时根dar间关系⊙O正方形公点数填入表：
dar间关系
公点数
d＞a＋r
图①
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
r＜a时⊙O正方形公点数
（2）图②r＝a时根dar间关系⊙O正方形公点数填入表：
dar间关系
图②
公点数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
r＝a时⊙O正方形公点数
图③
（3）图③⊙O正方形5公点时试说明r＝a
（4）r＞a情形请仿……时⊙O正方形公点数
形式少出关⊙O正方形公点数正确结．
[解] 图①
（1）
dar间关系
公点数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a－r＜d＜a＋r
2
d＝a－r
1
d＜a－r
0
r＜a时⊙O正方形公点数012
图②
（2）
B
C
D
F
E
dar间关系
公点数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a≤d＜a＋r
2
d＜a
4
r＝a时⊙O正方形公点数0124
（3）方法：图示连结OC．
OE＝OC＝r OF＝EF－OE＝2a－r．
Rt△OCF中勾股定理：
OF2＋FC2＝OC2
（2a－r）2＋a2＝r2
4a2－4ar＋r2＋a2＝r2
5a2＝4ar
5a＝4r
∴r ＝a．
B
N
E
方法二：图连结BDOEBEDE．
∵四边形BCMN正方形
∴∠C＝∠M＝∠N＝90°
∴BD⊙O直径∠BED＝90°
M
D
∴∠BEN＋∠DEM ＝90°
C
∵∠BEN＋∠EBN＝90°
∴∠DEM＝∠EBN
∴△BNE∽△EMD
∴
∴DM＝a
OE梯形BDMN中位线
OE＝（BN＋MD）＝a．
（4）①a＜r＜时⊙O正方形公点数0124678
②r＝a时⊙O正方形公点数01258
③时⊙O正方形公点数0123468
④时⊙O正方形公点数01234
⑤时⊙O正方形公点数01234．
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