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试卷类型：Ａ
高 三 年 级 考 试
数 学 试 题（理科）
选择题（题 １２ 题题 ５ 分 ６０ 分． 题出四选项中
项符合题目求． ）
１． 已知集合 Ａ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ（ｘ － ２）≤０｝Ｂ ＝ ｛ｘ ｜０ ＜ ｘ≤１｝ Ａ∩Ｂ ＝
Ａ． ｛ｘ ｜０≤ｘ≤１｝ Ｂ． ｛ｘ ｜０ ＜ ｘ≤１｝
Ｃ． ｛ｘ ｜０ ＜ ｘ≤２｝ Ｄ．
２． 已知命题 ｐ： ｘ０ ∈Ｒｘ２
０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６ ＜ ０ ｐ
Ａ． ｘ∈Ｒｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６≥０ Ｂ． ｘ０ ∈Ｒｘ２
０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６ ＞ ０
Ｃ． ｘ∈Ｒｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６ ＞ ０ Ｄ． ｘ０ ∈Ｒｘ２
０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６≥０
３． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ ＋ ｘ２ － ２ ｙ ＝ ｆ（ｘ）零点区间
Ａ． （０１） Ｂ． （１２） Ｃ． （２３） Ｄ． （２４）
４． 已知 ｔａｎ（α ＋ β）＝ ２
５ ｔａｎ（β － π
４ ）＝ １
４ ｔａｎ（α ＋ π
４ ）值
Ａ． １
６ Ｂ． ２２
１３ Ｃ． ３
２２ Ｄ． １３
１８
５． 已知数列｛ａｎ ｝中ａ１ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ ）Ｓｎ 前 ｎ 项 Ｓ５ 值
Ａ． ６３ Ｂ． ６２ Ｃ． ６１ Ｄ． ５７
６． 设 Ｄ △ＡＢＣ 面点→ＡＢ ＝ ２ →ＤＣ
Ａ →． ＢＤ ＝ →ＡＣ － ３
２
→ＡＢ Ｂ →． ＢＤ ＝ ３
２
→ＡＣ － →ＡＢ
Ｃ →． ＢＤ ＝ １
２
→ＡＣ － →ＡＢ Ｄ →． ＢＤ ＝ →ＡＣ － １
２
→ＡＢ
高三数学试题（理）第 １ 页（ ４ 页）７． 函数 ｆ（ｘ）＝ ｅ２ｘ － １
ｘ２ ｅｘ 图象致
８． 设 ａｂ 两条直线αβ 两面 ａ⊥ｂ 充分条件
Ａ． ａ⊥αｂ∥βα⊥β Ｂ． ａ⊥αｂ⊥βα∥β
Ｃ． ａ αｂ⊥βα∥β Ｄ． ａ αｂ∥βα⊥β
９． 某体三视图图示该体表面积
Ａ． （ 槡１０ ＋ ２ ２）π
２ ＋ １ Ｂ． １３π
６
Ｃ． （ 槡１１ ＋ ２）π
２ ＋ １ Ｄ． （ 槡１１ ＋ ２ ２）π
２ ＋ １
１０． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０ω ＞ ０｜ φ ｜ ＜ π
２ ）
值槡２图象相邻两条称轴间距离 π
２ ｆ（ｘ）图象关点（－ π
１２０）
称列判断正确
Ａ． 函数 ｆ（ｘ）图象需 ｙ 槡＝ ２ｃｏｓ２ｘ 图象右移 π
６ 单位
Ｂ． 函数 ｆ（ｘ）图象关直线 ｘ ＝ ５
１２π 称
Ｃ． ｘ∈［－ π
６ π
６ ］时函数 ｆ（ｘ）值 槡－ ２
Ｄ． 函数 ｆ（ｘ）［π
６ π
３ ］单调递增
１１． 设 Ｆ１ Ｆ２ 分双曲线 ｘ２ － ｙ２
４ ＝ １ 左右焦点双曲线右支存点 Ｐ
（→ＯＰ ＋ ＯＦ→
２ ）·Ｆ２
→ Ｐ ＝ ０（Ｏ 坐标原点）｜ ＰＦ→
１ ｜ ＝ λ ｜ ＰＦ→
２ ｜ λ 值
Ａ． １
３ Ｂ． １
２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
１２． 已知函数 ｆ （ｘ）导函数 ｆ ′ （ｘ） ｆ （ｘ）＋ ｆ ′ （ｘ）＞ ２ｆ （０）＝ ５等式
ｆ（ｘ）－ ３ｅ － ｘ ＞ ２解集
Ａ． （－ ∞ ０） Ｂ． （－ ∞ ０）∪（１＋ ∞ ）
Ｃ． （０＋ ∞ ） Ｄ． （１＋ ∞ ）
高三数学试题（理）第 ２ 页（ ４ 页）二填空题：题 ４ 题题 ５ 分 ２０ 分．
１３． 实数 ｘｙ 满足
ｘ ＋ ｙ － １≥０
ｘ － ｙ － ２≤０
ｙ≤{ １
ｚ ＝ － １
３ ｘ ＋ ｙ 值 ▲ ．
１４． 已知直线 ｌ：ｘ 槡－ ３ｙ ＋ ４ ＝ ０ 圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ９ 交 ＡＢ 两点 ＡＢ 分作 ｌ 垂线 ｘ
轴交 ＣＤ 两点｜ ＣＤ｜ ＝ ▲ ．
１５． 直线 ｙ ＝ ａｘ 曲线 ｙ ＝ ２ｌｎｘ ＋ １ 条切线实数 ａ ＝ ▲ ．
１６． △ＡＢＣ 中Ｄ ＢＣ 中点Ｈ ＡＤ 中点点 Ｈ 作直线 ＭＮ 分边 ＡＢＡＣ
交 ＭＮ →ＡＭ ＝ →ｘ ＡＢ→ＡＮ ＝ →ｙ ＡＣ中 ｘｙ∈Ｒ ｘ ＋ ４ｙ 值 ▲ ．
三解答题： ７０ 分． 解答应写出文字说明证明程演算步骤． 第 １７ ～ ２１ 题必考题
试题考生必须作答． 第 ２２２３ 题选考题考生根求作答．
１７． （１２ 分）
已知 ａｂｃ 分△ＡＢＣ 三角 ＡＢＣ 边 ２ａｓｉｎ Ｃ ＋ π( )３ 槡＝ ３ｂ．
（１）求角 Ａ 值．
（２） ｂ ＝ ３ｃ ＝ ４点 Ｄ ＢＣ 边ＡＤ ＝ ＢＤ求 ＡＤ 长．
１８． （１２ 分）
设数列｛ａｎ ｝前 ｎ 项 Ｓｎ 已知 ａ１ ＝ １ａ２ ＝ ２ Ｓｎ ＋ ２ ＝ ３Ｓｎ ＋ ３．
（１）求｛ａｎ ｝通项公式
（２）求 Ｓ２ｎ ．
１９． （１２ 分）
图 １行四边形 ＡＢＣＤ 中ＡＢ ＝ ２ＡＤ∠ＤＡＢ ＝ ６０°点 Ｅ ＡＢ 中点点 Ｆ
ＣＤ 中点． 分 ＤＥＢＦ △ＡＤＥ △ＣＢＦ 折起面 ＡＤＥ∥面 ＣＢＦ（点 ＡＣ
面 ＢＦＤＥ 侧）连接 ＡＣＣＥ图 ２ 示．
（１）求证：ＣＥ⊥ＢＦ
（２） ＡＤ ＝ ２面 ＣＢＦ⊥面 ＢＦＤＥ 时求二面角 Ｂ － ＡＣ － Ｄ 余弦值．
高三数学试题（理）第 ３ 页（ ４ 页）２０． （１２ 分）
已知椭圆 Ｃ１ ：ｘ２
ａ２ ＋ ｙ２
ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０）离
心率槡２
２ 抛物线 Ｃ２ ：ｙ２ ＝ － ４ｘ 准线椭
圆 Ｃ１ 截线段长槡２．
（１）求椭圆 Ｃ１ 方程
（２）图点 ＡＦ 分椭圆 Ｃ１ 左
顶点左焦点直线 ｌ 椭圆 Ｃ１ 交
两点 ＭＮ （ＭＮ ｘ 轴方）．
∠ＡＦＭ ＝ ∠ＯＦＮ．
证明：直线 ｌ 定点求出该定点坐标．
２１． （１２ 分）
设 ａ∈Ｒ函数 ｆ（ｘ）＝ ａｌｎｘ － ｘ．
（１） ｆ（ｘ）零点求实数 ａ 取值范围．
（２） ａ ＝ １证明： ｍ≤２ 时ｘｆ ′（ｘ）＜ ｅｘ － ｍｘ２ ．
请考生第 ２２２３ 题中选题作答． 果做做第题记分．
２２． ［选修 ４ －４：坐标系参数方程］（１０ 分）
面直角坐标系 ｘＯｙ 中曲线 Ｃ 参数方程 ｘ ＝ ２ｃｏｓβ
ｙ ＝ ２ｓｉｎβ{ ＋ １
（β 参数）． 坐标原
点极点ｘ 轴正半轴极轴建立极坐标系． 直线 ｌ 极坐标方程 ρｃｏｓ（α － π
４ ） 槡＝ ２．
（１）求曲线 Ｃ 极坐标方程直线 ｌ 直角坐标方程
（２）已知直线 ｌ 曲线 Ｃ 交 ＭＮ 两点 ｘ 轴交点 Ｐ． 求｜ ＰＭ｜ ·｜ ＰＮ｜ ．
２３． ［选修 ４ －５：等式选讲］（１０ 分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ － ｍ｜ ｍ∈Ｒ．
（１） ｍ ＝ ３ 时解等式 ｆ（ｘ）≥３．
（２）存 ｘ０ 满足 ｆ（ｘ０ ）＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜ 求实数 ｍ 取值范围．
高三数学试题（理）第 ４ 页（ ４ 页）高三数学试题（ 理） 参考答案评分标准
选择题
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ
二填空题
１３． － １ １４． 槡４ １５
３ １５． ２ｅ － １
２ １６． ９
４
三解答题
１７． （１２ 分）
解：（１） ２ａｓｉｎ Ｃ ＋ π( )３ 槡＝ ３ｂ
变形 ２ｓｉｎＡ ｓｉｎＣｃｏｓ π
３ ＋ ｃｏｓＣｓｉｎ π( )３ 槡＝ ３ｓｉｎＢ
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＝ ３ｓｉｎ［π － （Ａ ＋ Ｃ）］
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＝ ３ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ） ２ 分
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＝ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＋ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＝ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ ４ 分
ｓｉｎＣ≠０
ｓｉｎＡ 槡＝ ３ｃｏｓＡ
ｔａｎＡ 槡＝ ３ ５ 分
∵ Ａ∈（０π） ∴ Ａ ＝ π
３ ６ 分
（２）题意：
ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓＡ
＝ １６ ＋ ９ － ２ × ４ × ３ × １
２
＝ １３
∴ ａ 槡＝ １３ ７ 分
ａ
ｓｉｎＡ ＝ ｂ
ｓｉｎＢ
∴ ｓｉｎＢ ＝ ｂｓｉｎＡ
ａ ＝ 槡３ ３
槡２ １３
∴ ｃｏｓＢ ＝ １ － ｓｉｎ２槡 Ｂ ＝ ５
槡２ １３
９ 分
高三数学试题（理）参考答案 第 １ 页（ ６ 页）△ＡＢＤ 中∵ ＡＤ ＝ ＢＤ∴ ∠Ｂ ＝ ∠ＢＡＤ．
ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ ｓｉｎ（π － ２Ｂ）＝ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ １０ 分
△ＡＢＤ 中正弦定理
ＡＤ
ｓｉｎＢ ＝ ＡＢ
ｓｉｎ∠ＡＤＢ
ＡＤ
ｓｉｎＢ ＝ ４
２ｓｉｎＢｃｏｓＢ
∴ ＡＤ ＝ ２
ｃｏｓＢ ＝ 槡４ １３
５ １２ 分
１８． （１２ 分）解：（１）∵ Ｓｎ ＋ ２ ＝ ３Ｓｎ ＋ ３．
∴ ｎ ＞ １ 时Ｓｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ － １ ＋ ３∴ ａｎ ＋ ２ ＝ ３ａｎ ３ 分
∵ ａ１ ＝ １ａ２ ＝ ２Ｓ３ ＝ ３Ｓ１ ＋ ３∴ ３ ＋ ａ３ ＝ ３ ＋ ３∴ ａ３ ＝ ３ ＝ ３ａ１ ４ 分
∴ ａｎ ＋ ２ ＝ ３ａｎ ｎ∈Ｎ 成立 ５ 分
数列｛ａ２ｎ － １ ｝首项 １公 ３ 等数列数列｛ａ２ｎ ｝首项 ２公 ３ 等数列．
ａ２ｎ － １ ＝ ３ｎ － １ ａ２ｎ ＝ ２ × ３ｎ － １ ７ 分
∴ ａｎ ＝
３
ｎ － １
２ ｎ 奇数
２ × ３
ｎ
２ － １ ｎ 偶数{ ．
８ 分
（２）Ｓ２ｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ … ＋ ａ２ｎ
＝ （ａ１ ＋ ａ３ ＋ … ＋ ａ２ｎ － １ ）＋ （ａ２ ＋ ａ４ ＋ …ａ２ｎ ） １０ 分
＝ （１ ＋ ３ ＋ … ＋ ３ｎ － １ ）＋ ２（１ ＋ ３ ＋ …３ｎ － １ ）
＝ ３（１ ＋ ３ ＋ … ＋ ３ｎ － １ ）
＝ ３（３ｎ － １）
２ ． １２ 分
１９． （１２ 分）解：（１）四边形 ＡＢＣＤ 行四边形ＡＢ ＝ ２ＡＤ∠ＤＡＢ ＝
６０°点 Ｆ ＣＤ 中点 ＣＦ ＝ ＣＢ∠ＦＣＢ ＝ ６０°△ＣＢＦ 等边三角形． ２ 分
连接 ＥＦ ＢＦ ＝ ＣＢ ＝ ＢＥ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＣＦＢ ＝ ６０°
△ＢＥＦ 等边三角形． ３ 分
取 ＢＦ 中点 Ｏ连接 ＯＣＯＥ图示ＣＯ⊥ＢＦ
ＥＯ⊥ＢＦ．
ＢＦ⊥面 ＣＯＥ． ５ 分 ＢＦ⊥ＣＥ ６ 分（２）（１）知：ＢＦ⊥ＣＯＢＦ⊥ＥＯ．
面 ＣＢＦ⊥面 ＢＦＤＥ ＣＯ⊥ＥＯ．
点 Ｏ 坐标原点直线 ＯＥＯＢＯＣ 分 ｘ 轴ｙ 轴 ｚ 轴建立图示空间直角坐标系．
ＡＤ ＝ ２ ：ＢＦ ＝ ２ＯＥ ＝ ＯＣ 槡＝ ３Ｂ（０１０）Ｃ（００槡３）Ｅ（槡３００）高三数学试题（理）参考答案 第 ２ 页（ ６ 页）Ｆ（０－ １０）．
→ＢＣ ＝ （０－ １槡３）→ＥＢ ＝ （ 槡－ ３１０）→ＦＣ ＝ （０１槡３）．
→ＤＦ ＝ →ＥＢ →ＤＦ ＝ （ 槡－ ３１０）．
设面 ＢＣＥ 法量 ｍ ＝ （ｘ１ ｙ１ ｚ１ ）面
ＣＤＦ 法量 ｎ ＝ （ｘ２ ｙ２ ｚ２ ）
→ＢＣ·ｍ ＝ ０→ＥＢ·ｍ ＝ ０{ － ｙ１ 槡＋ ３ｚ１ ＝ ０
槡－ ３ｘ１ ＋ ｙ１ ＝ ０{ 取 ｘ１ ＝ １ ｙ１ 槡＝ ３
ｚ１ ＝ １．
→ＦＣ·ｎ ＝ ０→ＤＦ·ｎ ＝ ０{ ｙ２ 槡＋ ３ｚ２ ＝ ０
槡－ ３ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ０{ 取 ｘ２ ＝ １ｙ２ 槡＝ ３ｚ２ ＝ － １．
ｍ ＝ （１槡３１）ｎ ＝ （１槡３－ １） １１ 分
ｃｏｓ ＜ ｍｎ ＞ ＝ ｍ·ｎ
｜ ｍ｜ ·｜ ｎ｜ ＝ ３
５
二面角 Ｂ － ＡＣ － Ｄ 余弦值 ３
５ ． １２ 分
２０． （１２ 分）解：（１）题意知抛物线 Ｃ２ 准线方程：ｘ ＝ １
椭圆 Ｃ１ 准线截弦长槡２
∴ 点（１槡２
２ ）椭圆
∴ １
ａ２ ＋ １
２ｂ２ ＝ １ ① １ 分
ｅ ＝ ｃ
ａ ＝ 槡２
２
∴ ｅ２ ＝ ａ２ － ｂ２
ａ２ ＝ １
２
∴ ａ２ ＝ ２ｂ２ ② ２ 分
①②联立解：
ａ２ ＝ ２ｂ２ ＝ １
∴ 椭圆 Ｃ１ 标准方程：
ｘ２
２ ＋ ｙ２ ＝ １ ４ 分
（２）设直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍＭ（ｘ１ ｙ１ ）Ｎ（ｘ２ ｙ２ ）直线 ｌ 代入椭圆方程整理（２ｋ２ ＋ １）ｘ２ ＋ ４ｋｍｘ ＋ ２ｍ２ － ２ ＝ ０
Δ ＝ １６ｋ２ ｍ２ － ４（２ｋ２ ＋ １）（２ｍ２ － ２）
＝ １６ｋ２ － ８ｍ２ ＋ ８ ＞ ０
２ｋ２ － ｍ２ ＋ １ ＞ ０
高三数学试题（理）参考答案 第 ３ 页（ ６ 页）ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ４ｋｍ
２ｋ２ ＋ １ｘ１ ·ｘ２ ＝ ２ｍ２ － ２
２ｋ２ ＋ １ ６ 分
题意
ｋＦＭ ＝ ｙ１
ｘ１ ＋ １ｋＦＮ ＝ ｙ２
ｘ２ ＋ １
∵ 点 ＭＮ ｘ 轴方∠ＡＦＭ ＝ ∠ＯＦＮ
∴ ｋＦＭ ＝ － ｋＦＮ ７ 分
∴ ｙ１
ｘ１ ＋ １ ＝ － ｙ２
ｘ２ ＋ １
ｋｘ１ ＋ ｍ
ｘ１ ＋ １ ＝ － ｋｘ２ ＋ ｍ
ｘ２ ＋ １
（ｋｘ１ ＋ ｍ）（ｘ２ ＋ １）＝ － （ｋｘ２ ＋ ｍ）（ｘ１ ＋ １）整理：
２ｋｘ１ ｘ２ ＋ （ｋ ＋ ｍ）（ｘ１ ＋ ｘ２ ）＋ ２ｍ ＝ ０ ９ 分
∴ ２ｋ·（２ｍ２ － ２）
２ｋ２ ＋ １ － ４ｋｍ（ｋ ＋ ｍ）
２ｋ２ ＋ １ ＋ ２ｍ（２ｋ２ ＋ １）
２ｋ２ ＋ １ ＝ ０
：４ｋｍ２ － ４ｋ － ４ｋ２ ｍ － ４ｋｍ２ ＋ ４ｋ２ ｍ ＋ ２ｍ ＝ ０
整理：ｍ ＝ ２ｋ １１ 分
∴ 直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ ＋ ２ｋ ＝ ｋ（ｘ ＋ ２）
∴ 直线 ｌ 定点（－ ２０）． １２ 分
２１． （１２ 分）解：∵ ｆ（ｘ）＝ ａｌｎｘ － ｘ
∴ ｆ（ｘ）定义域（０＋ ∞ ）
ｆ ′（ｘ）＝ ａ
ｘ － １ ＝ ａ － ｘ
ｘ １ 分
（１）① ａ ＜ ０ ｆ ′（ｘ）＜ ０ｆ（ｘ）（０＋ ∞ ）减函数
∵ ｆ（１）＝ － １ ＜ ０ｆ ｅ
１
( )ａ ＝ １ － ｅ
１
ａ
１
ａ ＜ ０ ０ ＜ ｅ
１
ａ ＜ １ ｆ ｅ
１
( )ａ ＝ １ － ｅ
１
ａ ＞ ０
∴ ｆ（１）·ｆ（ｅ
１
ａ ）＜ ０函数 ｆ（ｘ）（０＋ ∞ ）唯零点 ２ 分
② ａ ＝ ０ｆ（ｘ）＝ － ｘ（０＋ ∞ ）零点 ３ 分
③ ａ ＞ ０令 ｆ ′（ｘ）＝ ０ ｘ ＝ ａ（０ａ）ｆ ′（ｘ）＞ ０函数 ｆ（ｘ）增函数（ａ＋ ∞ ）ｆ ′（ｘ）＜ ０函数 ｆ（ｘ）减函数（０＋ ∞ ）ｆ（ｘ）值 ｆ（ａ）＝ ａｌｎａ － ａ ｆ（ｘ）零点 ｆ（ａ）＝ ａｌｎａ － ａ ＜ ０解 ０ ＜ ａ ＜ ｅ ４ 分
求实数 ａ 取值范围［０ｅ） ５ 分
（２） ａ ＝ １ 时 ｘｆ ′（ｘ）＜ ｅｘ － ｍｘ２ 整理：
－ ｍｘ２ ＋ ｘ ＋ ｅｘ － １ ＞ ０（ｘ ＞ ０）证 ｍ≤２ 时式成立高三数学试题（理）参考答案 第 ４ 页（ ６ 页）证：ｅｘ － ２ｘ２ ＋ ｘ － １ ＞ ０（ｘ ＞ ０）成立． ６ 分
令 ｇ（ｘ）＝ ｅｘ － ２ｘ２ ＋ ｘ － １（ｘ ＞ ０） ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ － ４ｘ ＋ １
令 ｈ（ｘ）＝ ｇ′（ｘ） ｈ′（ｘ）＝ ｅｘ － ４
令 ｈ′（ｘ）＝ ０：ｘ ＝ ２ｌｎ２．
ｈ′（ｘ）单调递增 ｘ∈（０２ｌｎ２）时
ｈ′（ｘ）＜ ０ｈ（ｘ）单调递减 ｇ′（ｘ）单调递减 ｘ∈（２ｌｎ２＋ ∞ ）时ｈ′（ｘ）＞ ０ｈ（ｘ）单调递增 ｇ′（ｘ）单调递增． ８ 分
ｇ′（２ｌｎ２）＝ ５ － ８ｌｎ２ ＜ ０
ｇ′（０）＝ ２ ＞ ０
ｇ′（２）＝ ｅ２ － ８ ＋ １ ＝ ｅ２ － ７ ＞ ０
零点存性定理知 ｘ１ ∈（０２ｌｎ２） ｘ２ ∈（２ｌｎ２２） ｇ′（ｘ１ ）＝ ｇ′（ｘ２ ）＝ ０
０ ＜ ｘ ＜ ｘ１ ｘ ＞ ｘ２ 时
ｇ′（ｘ）＞ ０ｇ（ｘ）单调递增 ｘ１ ＜ ｘ ＜ ｘ２ 时ｇ′（ｘ）＜ ０ｇ（ｘ）单调递减 ｇ（ｘ）值 ｇ（０）＝ ０ ｇ（ｘ２ ）． １０ 分
ｈ（ｘ２ ）＝ ０ ｅｘ２ ＝ ４ｘ２ － １
ｇ（ｘ２ ）＝ ｅｘ２ － ２ｘ２
２ ＋ ｘ２ － １ ＝ － ２ｘ２
２ ＋ ５ｘ２ － ２ ＝ － （ｘ２ － ２）（２ｘ２ － １） ｘ２ ∈（２ｌｎ２２） ｇ（ｘ２ ）＞ ０
ｘ ＞ ０ 时ｇ（ｘ）＞ ０原等式成立． １２ 分
２２． （１０ 分）
解：（１）∵ 曲线 Ｃ 参数方程 ｘ ＝ ２ｃｏｓβ
ｙ ＝ ２ｓｉｎβ{ ＋ １（β 参数）
∴ 化直角坐标方程：ｘ２ ＋ （ｙ － １）２ ＝ ４ ２ 分
令 ｘ ＝ ρｃｏｓθｙ ＝ ρｓｉｎθ
曲线 Ｃ 极坐标方程：
ρ２ － ２ρｓｉｎθ － ３ ＝ ０ ４ 分
直线 ｌ 极坐标方程 ρｃｏｓ（α － π
４ ） 槡＝ ２
槡２
２ ρｃｏｓα ＋ 槡２
２ ρｓｉｎα 槡＝ ２
直线 ｌ 直角坐标方程：ｘ ＋ ｙ － ２ ＝ ０． ６ 分
（２）（１）知直线 ｌ 交 ｘ 轴点 Ｐ（２０）高三数学试题（理）参考答案 第 ５ 页（ ６ 页）直线 ｌ 参数方程表示 ｘ ＝ ２ － 槡２
２ ｔ
ｙ ＝ 槡２
２
{ ｔ
（ｔ 参数） ８ 分
代入 ｘ２ ＋ （ｙ － １）２ ＝ ４
：ｔ２ 槡－ ３ ２ｔ ＋ １ ＝ ０
韦达定理 ｔ１ ｔ２ ＝ １
｜ ＰＭ｜ ·｜ ＰＮ｜ ＝ １ １０ 分
２３． （１０ 分）解：（１） ｍ ＝ ３ 时
ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ － ３ ｜ ＝
３ｘ － ４ｘ ＞ ３
２
２ － ｘ１≤ｘ≤ ３
２
４ － ３ｘｘ
＜ １
２ 分
ｆ（ｘ）≥３
ｘ ＞ ３
２ 时３ｘ － ４≥３解 ｘ≥ ７
３
１≤ｘ≤ ３
２ 时２ － ｘ≥３解．
ｘ ＜ １ 时４ － ３ｘ≥３解 ｘ≤ １
３
综等式 ｆ（ｘ）≥３ 解集：（－ ∞ １
３ ］∪［７
３ ＋ ∞ ） ６ 分
（２）存 ｘ０ 满足 ｆ（ｘ０ ）＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜
存 ｘ０ 满足｜ ｘ０ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ０ － ｍ｜ ＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜
｜ ｘ０ － １ ｜ ＋ ｜ ｘ０ － ｍ
２ ｜ ＜ １ ８ 分
∵ ｜ ｘ０ － １ ｜ ＋ ｜ ｘ０ － ｍ
２ ｜ ≥｜ ｘ０ － １ － ｘ０ ＋ ｍ
２ ｜ ＝ ｜ － １ ＋ ｍ
２ ｜ ９ 分
∴ 需｜ － １ ＋ ｍ
２ ｜ ＜ １
解 ０ ＜ ｍ ＜ ４． １０ 分
高三数学试题（理）参考答案 第 ６ 页（ ６ 页）
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试卷类型：Ａ
高 三 年 级 考 试
数 学 试 题（理科）
选择题（题 １２ 题题 ５ 分 ６０ 分． 题出四选项中
项符合题目求． ）
１． 已知集合 Ａ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ（ｘ － ２）≤０｝Ｂ ＝ ｛ｘ ｜０ ＜ ｘ≤１｝ Ａ∩Ｂ ＝
Ａ． ｛ｘ ｜０≤ｘ≤１｝ Ｂ． ｛ｘ ｜０ ＜ ｘ≤１｝
Ｃ． ｛ｘ ｜０ ＜ ｘ≤２｝ Ｄ．
２． 已知命题 ｐ： ｘ０ ∈Ｒｘ２
０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６ ＜ ０ ｐ
Ａ． ｘ∈Ｒｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６≥０ Ｂ． ｘ０ ∈Ｒｘ２
０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６ ＞ ０
Ｃ． ｘ∈Ｒｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６ ＞ ０ Ｄ． ｘ０ ∈Ｒｘ２
０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６≥０
３． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ ＋ ｘ２ － ２ ｙ ＝ ｆ（ｘ）零点区间
Ａ． （０１） Ｂ． （１２） Ｃ． （２３） Ｄ． （２４）
４． 已知 ｔａｎ（α ＋ β）＝ ２
５ ｔａｎ（β － π
４ ）＝ １
４ ｔａｎ（α ＋ π
４ ）值
Ａ． １
６ Ｂ． ２２
１３ Ｃ． ３
２２ Ｄ． １３
１８
５． 已知数列｛ａｎ ｝中ａ１ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ ）Ｓｎ 前 ｎ 项 Ｓ５ 值
Ａ． ６３ Ｂ． ６２ Ｃ． ６１ Ｄ． ５７
６． 设 Ｄ △ＡＢＣ 面点→ＡＢ ＝ ２ →ＤＣ
Ａ →． ＢＤ ＝ →ＡＣ － ３
２
→ＡＢ Ｂ →． ＢＤ ＝ ３
２
→ＡＣ － →ＡＢ
Ｃ →． ＢＤ ＝ １
２
→ＡＣ － →ＡＢ Ｄ →． ＢＤ ＝ →ＡＣ － １
２
→ＡＢ
高三数学试题（理）第 １ 页（ ４ 页）７． 函数 ｆ（ｘ）＝ ｅ２ｘ － １
ｘ２ ｅｘ 图象致
８． 设 ａｂ 两条直线αβ 两面 ａ⊥ｂ 充分条件
Ａ． ａ⊥αｂ∥βα⊥β Ｂ． ａ⊥αｂ⊥βα∥β
Ｃ． ａ αｂ⊥βα∥β Ｄ． ａ αｂ∥βα⊥β
９． 某体三视图图示该体表面积
Ａ． （ 槡１０ ＋ ２ ２）π
２ ＋ １ Ｂ． １３π
６
Ｃ． （ 槡１１ ＋ ２）π
２ ＋ １ Ｄ． （ 槡１１ ＋ ２ ２）π
２ ＋ １
１０． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０ω ＞ ０｜ φ ｜ ＜ π
２ ）
值槡２图象相邻两条称轴间距离 π
２ ｆ（ｘ）图象关点（－ π
１２０）
称列判断正确
Ａ． 函数 ｆ（ｘ）图象需 ｙ 槡＝ ２ｃｏｓ２ｘ 图象右移 π
６ 单位
Ｂ． 函数 ｆ（ｘ）图象关直线 ｘ ＝ ５
１２π 称
Ｃ． ｘ∈［－ π
６ π
６ ］时函数 ｆ（ｘ）值 槡－ ２
Ｄ． 函数 ｆ（ｘ）［π
６ π
３ ］单调递增
１１． 设 Ｆ１ Ｆ２ 分双曲线 ｘ２ － ｙ２
４ ＝ １ 左右焦点双曲线右支存点 Ｐ
（→ＯＰ ＋ ＯＦ→
２ ）·Ｆ２
→ Ｐ ＝ ０（Ｏ 坐标原点）｜ ＰＦ→
１ ｜ ＝ λ ｜ ＰＦ→
２ ｜ λ 值
Ａ． １
３ Ｂ． １
２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
１２． 已知函数 ｆ （ｘ）导函数 ｆ ′ （ｘ） ｆ （ｘ）＋ ｆ ′ （ｘ）＞ ２ｆ （０）＝ ５等式
ｆ（ｘ）－ ３ｅ － ｘ ＞ ２解集
Ａ． （－ ∞ ０） Ｂ． （－ ∞ ０）∪（１＋ ∞ ）
Ｃ． （０＋ ∞ ） Ｄ． （１＋ ∞ ）
高三数学试题（理）第 ２ 页（ ４ 页）二填空题：题 ４ 题题 ５ 分 ２０ 分．
１３． 实数 ｘｙ 满足
ｘ ＋ ｙ － １≥０
ｘ － ｙ － ２≤０
ｙ≤{ １
ｚ ＝ － １
３ ｘ ＋ ｙ 值 ▲ ．
１４． 已知直线 ｌ：ｘ 槡－ ３ｙ ＋ ４ ＝ ０ 圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ９ 交 ＡＢ 两点 ＡＢ 分作 ｌ 垂线 ｘ
轴交 ＣＤ 两点｜ ＣＤ｜ ＝ ▲ ．
１５． 直线 ｙ ＝ ａｘ 曲线 ｙ ＝ ２ｌｎｘ ＋ １ 条切线实数 ａ ＝ ▲ ．
１６． △ＡＢＣ 中Ｄ ＢＣ 中点Ｈ ＡＤ 中点点 Ｈ 作直线 ＭＮ 分边 ＡＢＡＣ
交 ＭＮ →ＡＭ ＝ →ｘ ＡＢ→ＡＮ ＝ →ｙ ＡＣ中 ｘｙ∈Ｒ ｘ ＋ ４ｙ 值 ▲ ．
三解答题： ７０ 分． 解答应写出文字说明证明程演算步骤． 第 １７ ～ ２１ 题必考题
试题考生必须作答． 第 ２２２３ 题选考题考生根求作答．
１７． （１２ 分）
已知 ａｂｃ 分△ＡＢＣ 三角 ＡＢＣ 边 ２ａｓｉｎ Ｃ ＋ π( )３ 槡＝ ３ｂ．
（１）求角 Ａ 值．
（２） ｂ ＝ ３ｃ ＝ ４点 Ｄ ＢＣ 边ＡＤ ＝ ＢＤ求 ＡＤ 长．
１８． （１２ 分）
设数列｛ａｎ ｝前 ｎ 项 Ｓｎ 已知 ａ１ ＝ １ａ２ ＝ ２ Ｓｎ ＋ ２ ＝ ３Ｓｎ ＋ ３．
（１）求｛ａｎ ｝通项公式
（２）求 Ｓ２ｎ ．
１９． （１２ 分）
图 １行四边形 ＡＢＣＤ 中ＡＢ ＝ ２ＡＤ∠ＤＡＢ ＝ ６０°点 Ｅ ＡＢ 中点点 Ｆ
ＣＤ 中点． 分 ＤＥＢＦ △ＡＤＥ △ＣＢＦ 折起面 ＡＤＥ∥面 ＣＢＦ（点 ＡＣ
面 ＢＦＤＥ 侧）连接 ＡＣＣＥ图 ２ 示．
（１）求证：ＣＥ⊥ＢＦ
（２） ＡＤ ＝ ２面 ＣＢＦ⊥面 ＢＦＤＥ 时求二面角 Ｂ － ＡＣ － Ｄ 余弦值．
高三数学试题（理）第 ３ 页（ ４ 页）２０． （１２ 分）
已知椭圆 Ｃ１ ：ｘ２
ａ２ ＋ ｙ２
ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０）离
心率槡２
２ 抛物线 Ｃ２ ：ｙ２ ＝ － ４ｘ 准线椭
圆 Ｃ１ 截线段长槡２．
（１）求椭圆 Ｃ１ 方程
（２）图点 ＡＦ 分椭圆 Ｃ１ 左
顶点左焦点直线 ｌ 椭圆 Ｃ１ 交
两点 ＭＮ （ＭＮ ｘ 轴方）．
∠ＡＦＭ ＝ ∠ＯＦＮ．
证明：直线 ｌ 定点求出该定点坐标．
２１． （１２ 分）
设 ａ∈Ｒ函数 ｆ（ｘ）＝ ａｌｎｘ － ｘ．
（１） ｆ（ｘ）零点求实数 ａ 取值范围．
（２） ａ ＝ １证明： ｍ≤２ 时ｘｆ ′（ｘ）＜ ｅｘ － ｍｘ２ ．
请考生第 ２２２３ 题中选题作答． 果做做第题记分．
２２． ［选修 ４ －４：坐标系参数方程］（１０ 分）
面直角坐标系 ｘＯｙ 中曲线 Ｃ 参数方程 ｘ ＝ ２ｃｏｓβ
ｙ ＝ ２ｓｉｎβ{ ＋ １
（β 参数）． 坐标原
点极点ｘ 轴正半轴极轴建立极坐标系． 直线 ｌ 极坐标方程 ρｃｏｓ（α － π
４ ） 槡＝ ２．
（１）求曲线 Ｃ 极坐标方程直线 ｌ 直角坐标方程
（２）已知直线 ｌ 曲线 Ｃ 交 ＭＮ 两点 ｘ 轴交点 Ｐ． 求｜ ＰＭ｜ ·｜ ＰＮ｜ ．
２３． ［选修 ４ －５：等式选讲］（１０ 分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ － ｍ｜ ｍ∈Ｒ．
（１） ｍ ＝ ３ 时解等式 ｆ（ｘ）≥３．
（２）存 ｘ０ 满足 ｆ（ｘ０ ）＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜ 求实数 ｍ 取值范围．
高三数学试题（理）第 ４ 页（ ４ 页）高三数学试题（ 理） 参考答案评分标准
选择题
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ
二填空题
１３． － １ １４． 槡４ １５
３ １５． ２ｅ － １
２ １６． ９
４
三解答题
１７． （１２ 分）
解：（１） ２ａｓｉｎ Ｃ ＋ π( )３ 槡＝ ３ｂ
变形 ２ｓｉｎＡ ｓｉｎＣｃｏｓ π
３ ＋ ｃｏｓＣｓｉｎ π( )３ 槡＝ ３ｓｉｎＢ
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＝ ３ｓｉｎ［π － （Ａ ＋ Ｃ）］
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＝ ３ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ） ２ 分
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＝ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＋ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ
ｓｉｎＡｓｉｎＣ 槡＝ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ ４ 分
ｓｉｎＣ≠０
ｓｉｎＡ 槡＝ ３ｃｏｓＡ
ｔａｎＡ 槡＝ ３ ５ 分
∵ Ａ∈（０π） ∴ Ａ ＝ π
３ ６ 分
（２）题意：
ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓＡ
＝ １６ ＋ ９ － ２ × ４ × ３ × １
２
＝ １３
∴ ａ 槡＝ １３ ７ 分
ａ
ｓｉｎＡ ＝ ｂ
ｓｉｎＢ
∴ ｓｉｎＢ ＝ ｂｓｉｎＡ
ａ ＝ 槡３ ３
槡２ １３
∴ ｃｏｓＢ ＝ １ － ｓｉｎ２槡 Ｂ ＝ ５
槡２ １３
９ 分
高三数学试题（理）参考答案 第 １ 页（ ６ 页）△ＡＢＤ 中∵ ＡＤ ＝ ＢＤ∴ ∠Ｂ ＝ ∠ＢＡＤ．
ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ ｓｉｎ（π － ２Ｂ）＝ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ １０ 分
△ＡＢＤ 中正弦定理
ＡＤ
ｓｉｎＢ ＝ ＡＢ
ｓｉｎ∠ＡＤＢ
ＡＤ
ｓｉｎＢ ＝ ４
２ｓｉｎＢｃｏｓＢ
∴ ＡＤ ＝ ２
ｃｏｓＢ ＝ 槡４ １３
５ １２ 分
１８． （１２ 分）解：（１）∵ Ｓｎ ＋ ２ ＝ ３Ｓｎ ＋ ３．
∴ ｎ ＞ １ 时Ｓｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ － １ ＋ ３∴ ａｎ ＋ ２ ＝ ３ａｎ ３ 分
∵ ａ１ ＝ １ａ２ ＝ ２Ｓ３ ＝ ３Ｓ１ ＋ ３∴ ３ ＋ ａ３ ＝ ３ ＋ ３∴ ａ３ ＝ ３ ＝ ３ａ１ ４ 分
∴ ａｎ ＋ ２ ＝ ３ａｎ ｎ∈Ｎ 成立 ５ 分
数列｛ａ２ｎ － １ ｝首项 １公 ３ 等数列数列｛ａ２ｎ ｝首项 ２公 ３ 等数列．
ａ２ｎ － １ ＝ ３ｎ － １ ａ２ｎ ＝ ２ × ３ｎ － １ ７ 分
∴ ａｎ ＝
３
ｎ － １
２ ｎ 奇数
２ × ３
ｎ
２ － １ ｎ 偶数{ ．
８ 分
（２）Ｓ２ｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ … ＋ ａ２ｎ
＝ （ａ１ ＋ ａ３ ＋ … ＋ ａ２ｎ － １ ）＋ （ａ２ ＋ ａ４ ＋ …ａ２ｎ ） １０ 分
＝ （１ ＋ ３ ＋ … ＋ ３ｎ － １ ）＋ ２（１ ＋ ３ ＋ …３ｎ － １ ）
＝ ３（１ ＋ ３ ＋ … ＋ ３ｎ － １ ）
＝ ３（３ｎ － １）
２ ． １２ 分
１９． （１２ 分）解：（１）四边形 ＡＢＣＤ 行四边形ＡＢ ＝ ２ＡＤ∠ＤＡＢ ＝
６０°点 Ｆ ＣＤ 中点 ＣＦ ＝ ＣＢ∠ＦＣＢ ＝ ６０°△ＣＢＦ 等边三角形． ２ 分
连接 ＥＦ ＢＦ ＝ ＣＢ ＝ ＢＥ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＣＦＢ ＝ ６０°
△ＢＥＦ 等边三角形． ３ 分
取 ＢＦ 中点 Ｏ连接 ＯＣＯＥ图示ＣＯ⊥ＢＦ
ＥＯ⊥ＢＦ．
ＢＦ⊥面 ＣＯＥ． ５ 分 ＢＦ⊥ＣＥ ６ 分（２）（１）知：ＢＦ⊥ＣＯＢＦ⊥ＥＯ．
面 ＣＢＦ⊥面 ＢＦＤＥ ＣＯ⊥ＥＯ．
点 Ｏ 坐标原点直线 ＯＥＯＢＯＣ 分 ｘ 轴ｙ 轴 ｚ 轴建立图示空间直角坐标系．
ＡＤ ＝ ２ ：ＢＦ ＝ ２ＯＥ ＝ ＯＣ 槡＝ ３Ｂ（０１０）Ｃ（００槡３）Ｅ（槡３００）高三数学试题（理）参考答案 第 ２ 页（ ６ 页）Ｆ（０－ １０）．
→ＢＣ ＝ （０－ １槡３）→ＥＢ ＝ （ 槡－ ３１０）→ＦＣ ＝ （０１槡３）．
→ＤＦ ＝ →ＥＢ →ＤＦ ＝ （ 槡－ ３１０）．
设面 ＢＣＥ 法量 ｍ ＝ （ｘ１ ｙ１ ｚ１ ）面
ＣＤＦ 法量 ｎ ＝ （ｘ２ ｙ２ ｚ２ ）
→ＢＣ·ｍ ＝ ０→ＥＢ·ｍ ＝ ０{ － ｙ１ 槡＋ ３ｚ１ ＝ ０
槡－ ３ｘ１ ＋ ｙ１ ＝ ０{ 取 ｘ１ ＝ １ ｙ１ 槡＝ ３
ｚ１ ＝ １．
→ＦＣ·ｎ ＝ ０→ＤＦ·ｎ ＝ ０{ ｙ２ 槡＋ ３ｚ２ ＝ ０
槡－ ３ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ０{ 取 ｘ２ ＝ １ｙ２ 槡＝ ３ｚ２ ＝ － １．
ｍ ＝ （１槡３１）ｎ ＝ （１槡３－ １） １１ 分
ｃｏｓ ＜ ｍｎ ＞ ＝ ｍ·ｎ
｜ ｍ｜ ·｜ ｎ｜ ＝ ３
５
二面角 Ｂ － ＡＣ － Ｄ 余弦值 ３
５ ． １２ 分
２０． （１２ 分）解：（１）题意知抛物线 Ｃ２ 准线方程：ｘ ＝ １
椭圆 Ｃ１ 准线截弦长槡２
∴ 点（１槡２
２ ）椭圆
∴ １
ａ２ ＋ １
２ｂ２ ＝ １ ① １ 分
ｅ ＝ ｃ
ａ ＝ 槡２
２
∴ ｅ２ ＝ ａ２ － ｂ２
ａ２ ＝ １
２
∴ ａ２ ＝ ２ｂ２ ② ２ 分
①②联立解：
ａ２ ＝ ２ｂ２ ＝ １
∴ 椭圆 Ｃ１ 标准方程：
ｘ２
２ ＋ ｙ２ ＝ １ ４ 分
（２）设直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍＭ（ｘ１ ｙ１ ）Ｎ（ｘ２ ｙ２ ）直线 ｌ 代入椭圆方程整理（２ｋ２ ＋ １）ｘ２ ＋ ４ｋｍｘ ＋ ２ｍ２ － ２ ＝ ０
Δ ＝ １６ｋ２ ｍ２ － ４（２ｋ２ ＋ １）（２ｍ２ － ２）
＝ １６ｋ２ － ８ｍ２ ＋ ８ ＞ ０
２ｋ２ － ｍ２ ＋ １ ＞ ０
高三数学试题（理）参考答案 第 ３ 页（ ６ 页）ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ４ｋｍ
２ｋ２ ＋ １ｘ１ ·ｘ２ ＝ ２ｍ２ － ２
２ｋ２ ＋ １ ６ 分
题意
ｋＦＭ ＝ ｙ１
ｘ１ ＋ １ｋＦＮ ＝ ｙ２
ｘ２ ＋ １
∵ 点 ＭＮ ｘ 轴方∠ＡＦＭ ＝ ∠ＯＦＮ
∴ ｋＦＭ ＝ － ｋＦＮ ７ 分
∴ ｙ１
ｘ１ ＋ １ ＝ － ｙ２
ｘ２ ＋ １
ｋｘ１ ＋ ｍ
ｘ１ ＋ １ ＝ － ｋｘ２ ＋ ｍ
ｘ２ ＋ １
（ｋｘ１ ＋ ｍ）（ｘ２ ＋ １）＝ － （ｋｘ２ ＋ ｍ）（ｘ１ ＋ １）整理：
２ｋｘ１ ｘ２ ＋ （ｋ ＋ ｍ）（ｘ１ ＋ ｘ２ ）＋ ２ｍ ＝ ０ ９ 分
∴ ２ｋ·（２ｍ２ － ２）
２ｋ２ ＋ １ － ４ｋｍ（ｋ ＋ ｍ）
２ｋ２ ＋ １ ＋ ２ｍ（２ｋ２ ＋ １）
２ｋ２ ＋ １ ＝ ０
：４ｋｍ２ － ４ｋ － ４ｋ２ ｍ － ４ｋｍ２ ＋ ４ｋ２ ｍ ＋ ２ｍ ＝ ０
整理：ｍ ＝ ２ｋ １１ 分
∴ 直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ ＋ ２ｋ ＝ ｋ（ｘ ＋ ２）
∴ 直线 ｌ 定点（－ ２０）． １２ 分
２１． （１２ 分）解：∵ ｆ（ｘ）＝ ａｌｎｘ － ｘ
∴ ｆ（ｘ）定义域（０＋ ∞ ）
ｆ ′（ｘ）＝ ａ
ｘ － １ ＝ ａ － ｘ
ｘ １ 分
（１）① ａ ＜ ０ ｆ ′（ｘ）＜ ０ｆ（ｘ）（０＋ ∞ ）减函数
∵ ｆ（１）＝ － １ ＜ ０ｆ ｅ
１
( )ａ ＝ １ － ｅ
１
ａ
１
ａ ＜ ０ ０ ＜ ｅ
１
ａ ＜ １ ｆ ｅ
１
( )ａ ＝ １ － ｅ
１
ａ ＞ ０
∴ ｆ（１）·ｆ（ｅ
１
ａ ）＜ ０函数 ｆ（ｘ）（０＋ ∞ ）唯零点 ２ 分
② ａ ＝ ０ｆ（ｘ）＝ － ｘ（０＋ ∞ ）零点 ３ 分
③ ａ ＞ ０令 ｆ ′（ｘ）＝ ０ ｘ ＝ ａ（０ａ）ｆ ′（ｘ）＞ ０函数 ｆ（ｘ）增函数（ａ＋ ∞ ）ｆ ′（ｘ）＜ ０函数 ｆ（ｘ）减函数（０＋ ∞ ）ｆ（ｘ）值 ｆ（ａ）＝ ａｌｎａ － ａ ｆ（ｘ）零点 ｆ（ａ）＝ ａｌｎａ － ａ ＜ ０解 ０ ＜ ａ ＜ ｅ ４ 分
求实数 ａ 取值范围［０ｅ） ５ 分
（２） ａ ＝ １ 时 ｘｆ ′（ｘ）＜ ｅｘ － ｍｘ２ 整理：
－ ｍｘ２ ＋ ｘ ＋ ｅｘ － １ ＞ ０（ｘ ＞ ０）证 ｍ≤２ 时式成立高三数学试题（理）参考答案 第 ４ 页（ ６ 页）证：ｅｘ － ２ｘ２ ＋ ｘ － １ ＞ ０（ｘ ＞ ０）成立． ６ 分
令 ｇ（ｘ）＝ ｅｘ － ２ｘ２ ＋ ｘ － １（ｘ ＞ ０） ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ － ４ｘ ＋ １
令 ｈ（ｘ）＝ ｇ′（ｘ） ｈ′（ｘ）＝ ｅｘ － ４
令 ｈ′（ｘ）＝ ０：ｘ ＝ ２ｌｎ２．
ｈ′（ｘ）单调递增 ｘ∈（０２ｌｎ２）时
ｈ′（ｘ）＜ ０ｈ（ｘ）单调递减 ｇ′（ｘ）单调递减 ｘ∈（２ｌｎ２＋ ∞ ）时ｈ′（ｘ）＞ ０ｈ（ｘ）单调递增 ｇ′（ｘ）单调递增． ８ 分
ｇ′（２ｌｎ２）＝ ５ － ８ｌｎ２ ＜ ０
ｇ′（０）＝ ２ ＞ ０
ｇ′（２）＝ ｅ２ － ８ ＋ １ ＝ ｅ２ － ７ ＞ ０
零点存性定理知 ｘ１ ∈（０２ｌｎ２） ｘ２ ∈（２ｌｎ２２） ｇ′（ｘ１ ）＝ ｇ′（ｘ２ ）＝ ０
０ ＜ ｘ ＜ ｘ１ ｘ ＞ ｘ２ 时
ｇ′（ｘ）＞ ０ｇ（ｘ）单调递增 ｘ１ ＜ ｘ ＜ ｘ２ 时ｇ′（ｘ）＜ ０ｇ（ｘ）单调递减 ｇ（ｘ）值 ｇ（０）＝ ０ ｇ（ｘ２ ）． １０ 分
ｈ（ｘ２ ）＝ ０ ｅｘ２ ＝ ４ｘ２ － １
ｇ（ｘ２ ）＝ ｅｘ２ － ２ｘ２
２ ＋ ｘ２ － １ ＝ － ２ｘ２
２ ＋ ５ｘ２ － ２ ＝ － （ｘ２ － ２）（２ｘ２ － １） ｘ２ ∈（２ｌｎ２２） ｇ（ｘ２ ）＞ ０
ｘ ＞ ０ 时ｇ（ｘ）＞ ０原等式成立． １２ 分
２２． （１０ 分）
解：（１）∵ 曲线 Ｃ 参数方程 ｘ ＝ ２ｃｏｓβ
ｙ ＝ ２ｓｉｎβ{ ＋ １（β 参数）
∴ 化直角坐标方程：ｘ２ ＋ （ｙ － １）２ ＝ ４ ２ 分
令 ｘ ＝ ρｃｏｓθｙ ＝ ρｓｉｎθ
曲线 Ｃ 极坐标方程：
ρ２ － ２ρｓｉｎθ － ３ ＝ ０ ４ 分
直线 ｌ 极坐标方程 ρｃｏｓ（α － π
４ ） 槡＝ ２
槡２
２ ρｃｏｓα ＋ 槡２
２ ρｓｉｎα 槡＝ ２
直线 ｌ 直角坐标方程：ｘ ＋ ｙ － ２ ＝ ０． ６ 分
（２）（１）知直线 ｌ 交 ｘ 轴点 Ｐ（２０）高三数学试题（理）参考答案 第 ５ 页（ ６ 页）直线 ｌ 参数方程表示 ｘ ＝ ２ － 槡２
２ ｔ
ｙ ＝ 槡２
２
{ ｔ
（ｔ 参数） ８ 分
代入 ｘ２ ＋ （ｙ － １）２ ＝ ４
：ｔ２ 槡－ ３ ２ｔ ＋ １ ＝ ０
韦达定理 ｔ１ ｔ２ ＝ １
｜ ＰＭ｜ ·｜ ＰＮ｜ ＝ １ １０ 分
２３． （１０ 分）解：（１） ｍ ＝ ３ 时
ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ － ３ ｜ ＝
３ｘ － ４ｘ ＞ ３
２
２ － ｘ１≤ｘ≤ ３
２
４ － ３ｘｘ
＜ １
２ 分
ｆ（ｘ）≥３
ｘ ＞ ３
２ 时３ｘ － ４≥３解 ｘ≥ ７
３
１≤ｘ≤ ３
２ 时２ － ｘ≥３解．
ｘ ＜ １ 时４ － ３ｘ≥３解 ｘ≤ １
３
综等式 ｆ（ｘ）≥３ 解集：（－ ∞ １
３ ］∪［７
３ ＋ ∞ ） ６ 分
（２）存 ｘ０ 满足 ｆ（ｘ０ ）＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜
存 ｘ０ 满足｜ ｘ０ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ０ － ｍ｜ ＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜
｜ ｘ０ － １ ｜ ＋ ｜ ｘ０ － ｍ
２ ｜ ＜ １ ８ 分
∵ ｜ ｘ０ － １ ｜ ＋ ｜ ｘ０ － ｍ
２ ｜ ≥｜ ｘ０ － １ － ｘ０ ＋ ｍ
２ ｜ ＝ ｜ － １ ＋ ｍ
２ ｜ ９ 分
∴ 需｜ － １ ＋ ｍ
２ ｜ ＜ １
解 ０ ＜ ｍ ＜ ４． １０ 分
高三数学试题（理）参考答案 第 ６ 页（ ６ 页）
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