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数学试题（长郡版）第１ 页（８页）
题
答
线
封
密
号
学
名
姓
级
班
校
学
数 学
分：
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分８页时量
１２０分钟满分１００分
第Ⅰ卷
选择题：题１５题题３分４５分．
１．老师班级５０名学生中次抽取学号５１０１５２０２５３０３５４０４５
５０学生进行作业检查种抽样方法 （ ）
Ａ．机抽样 Ｂ．分层抽样 Ｃ．系统抽样 Ｄ．
★２．某体三视图图示该
体长棱棱长 （ ）
槡Ａ．７
槡Ｂ．６
槡Ｃ．５
槡Ｄ．２ ２
３．设犛狀 等差数列｛犪狀｝前狀项（狀＋１）
犛狀＜狀犛狀＋１（狀∈犖 ）．犪８
犪７
＜－１ （ ）
Ａ．犛狀 值犛８
Ｂ．犛狀 值犛８
Ｃ．犛狀 值犛７
Ｄ．犛狀 值犛７
４．图某学校举行运动会七位评委某体
操项目出 分 数 茎 叶 统 计 图 掉
高分 低 分 剩 数 均 数 方
差分 （ ）
Ａ．８４４．８４ Ｂ．８４１．６
Ｃ．８５１．６ Ｄ．８５４
★５．四面体 犘－犃犅犆 三组棱分相等长度次 槡２ ５槡１３５
该四面体外接球表面积 （ ）
Ａ．２９
４π Ｂ．２８π Ｃ． 槡２９ ２９
６ π Ｄ．２９π数学试题（长郡版）第２ 页（８页）
★６．圆（狓－犪）２＋（狔－犪）２＝８总存点 犃｜犗犃｜≤槡２实数犪
取值范围 （ ）
Ａ．（－３－１）∪（１３） Ｂ．（－３３）
Ｃ．［－１１］ Ｄ．［－３－１］∪［１３］
★７．锐角三角形 犃犅犆 中已知犪犫犮分角犃犅犆 边槡３犫＝
２犪ｓｉｎ犅犪＝４△犃犅犆 面积值 （ ）
Ａ． 槡２ ３ Ｂ． 槡４ ３ Ｃ． 槡８ ３ Ｄ． 槡１６ ３
８． 犘 两条异面直线犾犿 外点 （ ）
Ａ．点 犘 仅条直线犾犿 行
Ｂ．点 犘 仅条直线犾犿 垂直
Ｃ．点 犘 仅条直线犾犿 相交
Ｄ．点 犘 仅条直线犾犿 异面
★９．已知正数数列｛犪狀｝公等１等数列ｌｇ犪１＋ｌｇ犪２０１９＝０
犳（狓）＝ ２
１＋狓２ 犳（犪１）＋犳（犪２）＋…＋犳（犪２０１９）＝ （ ）
Ａ．２０１８ Ｂ．４０３６ Ｃ．２０１９ Ｄ．４０３８
１０．已知△犃犅犆 角犃犅犆 边分犪犫犮犮－犫
犮－犪＝ ｓｉｎ犃
ｓｉｎ犆＋ｓｉｎ犅
犅＝ （ ）
Ａ．π
６ Ｂ．π
４ Ｃ．π
３ Ｄ．３π
４
１１．点（槡２０）引直线犾曲线狔＝ １－狓槡 ２ 相交 犃犅 两点犗 坐标原
点△犃犗犅 面积取值时直线犾斜率等 （ ）
Ａ．槡３
３ Ｂ．－槡３
３
Ｃ．±槡３
３ 槡Ｄ．－ ３
１２．已知函数 犳（狓）＝ｃｏｓ狓狓∈ ０２（ ）π 两 零 点 狓１狓２ 方 程
犳（狓）＝犿 犿≠（ ）０ 两实根狓３狓４四数排
列构成等差数列实数 犿＝ （ ）
Ａ．１
２ Ｂ．－１
２ Ｃ．槡３
２ Ｄ．－槡３
２
１３．已知直线犾：狓－狔－１＝０犾１：２狓－狔－２＝０直线犾２ 犾１ 关直线犾
称犾２ 方程 （ ）
Ａ．狓－２狔＋１＝０ Ｂ．狓－２狔－１＝０
Ｃ．狓＋狔－１＝０ Ｄ．狓＋２狔－１＝０
１４．设面点集 犃＝ （狓狔）｜（狔－狓）· 狔－１（ ）狓 ≥｛ ｝０ 犅＝｛（狓狔）｜（狓－１）２
＋（狔－１）２≤１｝ 犃∩犅 表示面图形面积 （ ）数学试题（长郡版）第３ 页（８页）
Ａ．３π
４ Ｂ．３π
５
Ｃ．４π
７ Ｄ．π
２
１５．数列｛犪狀｝通项犪狀＝狀２ ｃｏｓ２狀π
３－ｓｉｎ２狀π（ ）３ 前狀项犛狀犛３０
（ ）
Ａ．４７０ Ｂ．４９０ Ｃ．４９５ Ｄ．５１０
选择题答题卡
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案
题号 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ 分
答案
第Ⅱ卷
二填空题：题５题题３分１５分．
★１６．已知犪犫犮直角三角形三边长犮斜边长点 犕（犿狀）直线
犾：犪狓＋犫狔＋２犮＝０ 犿２＋狀２ 值 ．
１７．已知函数犳（狓）＝狓２＋犪狓＋犫（犪犫∈犚）值域［０＋∞）关狓
等式犳（狓）＜犮解集（犿犿＋６）实数犮值 ．
１８．已知三棱柱 犃犅犆－犃１犅１犆１ 侧棱底面边 长 相 等犃１ 底 面 犃犅犆
射影 犅犆 中 点 异 面 直 线 犃犅 犆犆１ 成 角 余 弦 值
．
★１９．已知狓＞０狔＞０狓＋狔＝１犪≤１
狓 ＋９
狔
恒成立实数犪值
．
２０．已知犪犫犮分 △犃犅犆 三 角 犃犅犆 边犪＝２（２＋犫）·
（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆△犃犅犆 面积值 ．数学试题（长郡版）第４ 页（８页）
三解答题：题５题题８分４０分．
２１．某城市１００户居民月均电量（单位：度）［１６０１８０）［１８０２００）
［２００２２０）［２２０２４０）［２４０２６０）［２６０２８０）［２８０３００］分组频率分
布直方图图．
（１）求直方图中狓 值
（２）求月均电量众数中位数
（３）月均电量［２２０２４０）［２４０２６０）［２６０２８０）［２８０３００］四
组户中 分 层 抽 样 方 法 抽 取 １１ 户 居 民 月 均 电 量
［２２０２４０）户中应抽取少户？数学试题（长郡版）第５ 页（８页）
★２２．已知数列｛犪狀｝等差数列犪狀≠０满足３２犪３＋３２犪１１ ＝犪２
７数列｛犫狀｝满
足犫狀＋１－２犫狀＝０犫７＝犪７．
（１）求数列｛犫狀｝通项公式
（２）犮狀＝狀犫狀求数列｛犮狀｝前狀项犛狀．数学试题（长郡版）第６ 页（８页）
２３．已知量 犿 槡＝ ３ｓｉｎ狓
４（ ）１ 狀＝ ｃｏｓ狓
４ｃｏｓ２狓（ ）４ 记犳（狓）＝犿·狀．
（１）犳（狓）＝１求ｃｏｓ 狓＋ π（ ）３ 值
（２）锐角△犃犅犆 中角 犃犅犆 边分犪犫犮满足（２犪－犮）·
ｃｏｓ犅＝犫ｃｏｓ犆求犳（２犃）取值范围．数学试题（长郡版）第７ 页（８页）
２４．图已知 正 三 棱 柱 犃犅犆－犃１犅１犆１ 棱 长
４犈 犅犆 中点动 点 犉 侧 棱犆犆１
点犆 重合．
（１）犆犉＝１时求证：犈犉⊥犃１犆
（２）设二面角 犆－犃犉－犈 θ求ｔａｎθ
值．数学试题（长郡版）第８ 页（８页）
２５．已知圆犆：狓２＋狔２＋狓－６狔＋犿＝０直线犾：狓＋２狔－３＝０．
（１）直线犾圆犆 没公点求 犿 取值范围
（２）直线犾圆犆 相交犘犙 两点犗 原点 犗犘⊥犗犙求实数 犿
值．书书书
数学试题参考答案（长郡版）－１
数学参考答案
选择题
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
答 案 Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ
１．Ｃ 解析抽取学号５公差等差数列采抽样方法应系统抽样．
２．Ａ 解析根三视图知该体四棱锥画出图形图示
犃犆 槡＝ ２犇犆＝２犅犈＝２犃犆⊥底面犆犇犈犅
结合图形中数求 犅犆 槡＝ ２
Ｒｔ△犃犅犆 中勾股定理 犃犅＝ 犃犆２＋犅犆槡 ２ ＝ （槡２）２＋（槡２）槡 ２ ＝２
理求 犃犇＝ （槡２）２＋２槡 ２ 槡＝ ６
犃犈＝ 犃犆２＋犆犈槡 ２ ＝ 犃犆２＋犆犇２＋犇犈槡 ２ ＝ （槡２）２＋２２＋１槡 ２ 槡＝ ７．选 Ａ．
３．Ｄ 解析条件犛狀
狀 ＜犛狀＋１
狀＋１狀（犪１＋犪狀）
２狀 ＜
（狀＋１）（犪１＋犪狀＋１）
２（狀＋１） 犪狀 ＜犪狀＋１
等差数列｛犪狀｝递增数列．犪８
犪７
＜－１犪８＞０犪７＜０数列｛犪狀｝前７项均０第８项０
犛狀 值犛７选 Ｄ．
４．Ｃ 解析题意剩数均数 ８０＋ １
５ ×（４×３＋６＋７）＝８５剩数方差 １
５ ×［３×（８４－
８５）２＋（８６－８５）２＋（８７－８５）２］＝１．６．
５．Ｄ 解析四面体 犘－犃犅犆 补 成 长 方 体相 邻 三 面 角 线 长 分 槡２ ５槡１３５
狓２＋狔槡 ２ 槡＝２ ５ 狕２＋狔槡 ２ 槡＝ １３ 狓２＋狕槡 ２ ＝５狓２＝１６狔２＝４狕２＝９
设四 面 体 外 接 球 半 径 犚 四 面 体 外 接 球 长 方 体 外 接 球 外 接 球 直 径 ２犚 ＝
狓２＋狔２＋狕槡 ２ 槡＝ ２９四面体外接球表面积４π犚２＝２９π选 Ｄ．
６．Ｄ 解 析问 题 转 化 圆 （狓－犪）２ ＋ （狔－犪）２ ＝８ 圆 狓２ ＋狔２ ＝２ 相 交 相 切两 圆 圆 心 距 犱＝
（犪－０）２＋（犪－０）槡 ２ 槡＝ ２｜犪｜ 犚－狉≤犱≤犚＋狉 槡 槡２ ２－ ２≤槡２｜犪｜≤ 槡 槡２ ２＋ ２解１≤｜犪｜≤３犪∈
［－３－１］∪［１３］选 Ｄ．
７．Ｂ 解析 槡∵ ３犫＝２犪ｓｉｎ犅犪＝４∴ 犫
ｓｉｎ犅＝ 犪
槡３
２
＝ 犮
ｓｉｎ犆
：ｓｉｎ犃＝槡３
２ 犃 锐角 犃＝ π
３
∴正弦定理：犫＝ ４
槡３
２
ｓｉｎ犅＝ 槡８ ３
３ ｓｉｎ犅犮＝ 槡８ ３
３ ｓｉｎ犆＝ 槡８ ３
３ ×ｓｉｎ ２π
３ －（ ）犅
∴犛△犃犅犆 ＝ １
２犫犮ｓｉｎ犃＝ １
２ × 槡８ ３
３ ｓｉｎ犅× 槡８ ３
３ ·ｓｉｎ ２π
３ －（ ）犅 ×槡３
２ ＝ 槡１６ ３
３ ｓｉｎ犅 槡３
２ｃｏｓ犅＋ １
２ｓｉｎ（ ）犅
＝ 槡１６ ３
３
１
２ｓｉｎ ２犅－ π（ ）６ ＋［ ］１
４ ＝ 槡８ ３
３ ｓｉｎ ２犅－ π（ ）６ ＋ 槡４ ３
３
∵锐角三角形 犃犅犆 中犅∈ π
６ π（ ）２ 数学试题参考答案（长郡版）－２
２犅－ π
６ ∈ π
６ ５π（ ）６
∴２犅－ π
６ ＝ π
２ 犅＝ π
３ 时ｓｉｎ ２犅－ π（ ）６ 取值１
△犃犅犆 面积值 槡８ ３
３ ＋ 槡４ ３
３ 槡＝４ ３．选 Ｂ．
８．Ｂ 解析设点 犘 直线狀狀犾犿 行犾犿 行犾犿 异面矛
盾选项 Ａ 错误犾犿 唯公垂线点 犘 公垂线行直线
条 Ｂ正确选项 ＣＤ 参考右图正方体．设 犃犇 直线犾犃′犅′
直线犿 犘 犘１ 点显然法作出直线两直线相交选项 Ｃ 错误
犘 犘２ 点图 中 知 直 线 犆犆′ 犇′犘２ 均 犾犿 异 面 选 项 Ｄ 错 误．
选 Ｂ．
９．Ｃ 解析∵正数数列｛犪狀｝公等１等数列ｌｇ犪１＋ｌｇ犪２０１９＝０
∴ｌｇ犪１ ·犪２０１９ ＝０犪１ ·犪２０１９ ＝１．∵ 函 数 犳（狓）＝ ２
１＋狓２ ∴犳（狓）＋犳 １（ ）狓 ＝
２
１＋狓２ ＋ ２
１＋ １
狓２
＝２＋２狓２
１＋狓２ ＝２令 犜＝犳（犪１）＋犳（犪２）＋…＋犳（犪２０１９） 犜＝犳（犪２０１９）＋犳（犪２０１８）＋…＋犳（犪１）
∴２犜＝犳（犪１）＋犳（犪２０１９）＋犳（犪２）＋犳（犪２０１８）＋…＋犳（犪２０１９）＋犳（犪１）＝２×２０１９∴犜＝２０１９选 Ｃ．
１０．Ｃ 解析ｓｉｎ犃＝ 犪
２犚ｓｉｎ犅＝ 犫
２犚ｓｉｎ犆＝ 犮
２犚代入整理犮－犫
犮－犪＝ 犪
犮＋犫犮２－犫２＝犪犮－犪２犪２＋犮２－犫２
＝犪犮ｃｏｓ犅＝ １
２ 犅＝ π
３ ．
１１．Ｂ 解析∵犛△犃犗犅 ＝ １
２｜犗犃｜｜犗犅｜·ｓｉｎ∠犃犗犅＝ １
２ｓｉｎ∠犃犗犅≤ １
２ ．
∠犃犗犅＝ π
２ 时△犃犗犅 面积．时 犗 犃犅 距离犱＝槡２
２ ．
设 犃犅 方程狔＝犽（狓 槡－ ２）（犽＜０）犽狓－狔 槡－ ２犽＝０．犱＝ ｜槡２犽｜
犽２槡 ＋１
＝槡２
２
犽＝－槡３
３ ．
犽＝－ｔａｎ∠犗犘犎＝－槡３（ ）３ ．
１２．Ｄ 解析题意知：狓１＝ π
２ 狓２＝３π
２ 狓３狓４ 分布狓１狓２ 中间两侧
狓３狓４ 分布狓１狓２ 中间公差犱＝
３π
２ － π
２
３ ＝ π
３
狓３狓４ 分５π
６ ７π
６ 时求 犿＝ｃｏｓ５π
６ ＝－槡３
２
狓３狓４ 分布狓１狓２ 两侧公差犱＝３π
２ － π
２ ＝π
狓３狓４ 分－ π
２ ５π
２ 合题意．选 Ｄ．
１３．Ｂ 解析设 犃（狓狔）犃１（狓１狔１）分直线犾２犾１ 关犾称点．
狔１－狔
狓１－狓·１＝－１
狓＋狓１
２ －狔＋狔１
２ －１＝０
烅
烄
烆
求 狓１＝狔＋１
狔１＝狓－１｛ ①数学试题参考答案（长郡版）－３
点 犃１（狓１狔１）直线犾１ ２狓１－狔１－２＝０ ②
①代入②２（狔＋１）－（狓－１）－２＝０狓－２狔－１＝０选 Ｂ．
１４．Ｄ 解析面点集 犃 表示面区域等式组
狔－狓≥０
狔－ １
狓 ≥烅
烄
烆 ０
狔－狓≤０
狔－ １
狓 ≤烅
烄
烆 ０
表示面区域
面点集 犅 表示面区域点（１１）圆心１半径圆圆部
作出表示面区域图示图中阴影部分 犃∩犅 表示面图形．
圆曲线狔＝ １
狓 关直线狔＝狓 称阴影部分表示图形面积圆面积 １
２
π
２ 选 Ｄ．
１５．Ａ 解析注意犪狀＝狀２ｃｏｓ２狀π
３ 函数狔＝ｃｏｓ２π狓
３ 正周期３狀 正整数时犪狀 ＋犪狀＋１ ＋
犪狀＋２＝－ １
２狀２－ １
２ （狀＋１）２＋（狀＋２）２＝３狀＋ ７
２ 中狀＝１４７…
犛３０＝（犪１＋犪２＋犪３）＋（犪４＋犪５＋犪６）＋…＋（犪２８＋犪２９＋犪３０）
＝ ３×１＋（ ）７
２ ＋ ３×４＋（ ）７
２ ＋…＋ ３×２８＋（ ）７
２
＝３×１０×（１＋２８）
２ ＋ ７
２ ×１０＝４７０．
二填空题
１６．４ 解析∵犪犫犮直角三角形三边长犮斜边长∴犮＝ 犪２＋犫槡 ２
∵点 犕（犿狀）直线犾：犪狓＋犫狔＋２犮＝０
∴犿２＋狀２ 表示直线犾点原点距离方
∴犿２＋狀２ 值原点直线犾距离方点直线距离公式犱＝ ２犮
犪２＋犫槡 ２ ＝２
∴犿２＋狀２ 值犱２＝４答案４．
１７．９ 解析题意知犳（狓）＝狓２＋犪狓＋犫＝ 狓＋犪（ ）２
２
＋犫－犪２
４ ．
∵犳（狓）值域［０＋∞）∴犫－犪２
４ ＝０．∴犳（狓）＝ 狓＋犪（ ）２
２
．
∵犳（狓）＜犮∴ 狓＋犪（ ）２
２
＜犮－犪
２ －槡犮＜狓＜－犪
２ ＋槡犮．
∴
－犪
２ －槡犮＝犿①
－犪
２ ＋槡犮＝犿＋６．
烅
烄
烆 ②
②－①２槡犮＝６∴犮＝９．
１８．３
４ 解析设 犅犆 中点犇连结 犃１犇犃犇易知θ＝∠犃１犃犅 异面直线数学试题参考答案（长郡版）－４
犃犅 犆犆１ 成角易知ｃｏｓθ＝ｃｏｓ∠犃１犃犇·ｃｏｓ∠犇犃犅＝ 犃犇
犃１犃·犃犇
犃犅＝ ３
４ ．
１９．１６ 解析∵狓＞０狔＞０狓＋狔＝１∴ １
狓 ＋ ９
狔 ＝（狓＋狔） １
狓 ＋ ９（ ）狔 ＝１０＋ 狔
狓 ＋９狓
狔 ≥１０＋２ 狔
狓 ·９狓槡 狔 ＝
１６仅狔＝３狓＝ ３
４ 时取等号．∵等式犪≤ １
狓 ＋ ９
狔
恒成立 １
狓 ＋ ９（ ）狔 ｍｉｎ
≥犪．∴犪∈（－∞１６］
实数犪值１６答案１６．
２０．槡３ 解析犪＝２（２＋犫）（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆
（犪＋犫）（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆根正弦定理
（犪＋犫）（犪－犫）＝（犮－犫）犮化简犫２＋犮２－犪２＝犫犮ｃｏｓ犃＝犫２＋犮２－犪２
２犫犮 ＝ １
２ 犃＝６０°
犫２＋犮２－犫犮＝４≥犫犮犛△犃犅犆 ＝ １
２犫犮ｓｉｎ犃≤槡３．
三解答题
２１．解析（１）（０．００２＋０．００９５＋０．０１１＋０．０１２５＋狓＋０．００５＋０．００２５）×２０＝１狓＝０．００７５
∴直方图中狓 值０．００７５．
（２）月均电量众数２２０＋２４０
２ ＝２３０．
∵（０．００２＋０．００９５＋０．０１１）×２０＝０．４５＜０．５
（０．００２＋０．００９５＋０．０１１＋０．０１２５）×２０＝０．７＞０．５
∴月均电量中位数［２２０２４０）设中位数犪（０．００２＋０．００９５＋０．０１１）×２０＋０．０１２５×（犪－
２２０）＝０．５解犪＝２２４中位数２２４．
（３）月均电量［２２０２４０）户０．０１２５×２０×１００＝２５（户）理求月均电量［２４０２６０）
［２６０２８０）［２８０３００］户分１５户１０户５户抽取 １１
２５＋１５＋１０＋５＝ １
５
∴月均电量［２２０２４０）户中应抽取２５× １
５ ＝５（户）．
２２．解析（１）等差数列性质：３２犪３＋３２犪１１＝犪２
７＝３２×２犪７≠０
解犪７＝６４．
数列｛犫狀｝满足犫狀＋１－２犫狀＝０
数列｛犫狀｝等数列公２．
∵犫７＝犪７＝６４．∴犫１·２６＝６４解犫１＝１．∴犫狀＝２狀－１．
（２）犮狀＝狀犫狀＝狀·２狀－１
∴犛狀＝１＋２×２＋３×２２＋…＋（狀－１）·２狀－２＋狀·２狀－１
２犛狀＝２＋２×２２＋３×２３＋…＋（狀－１）·２狀－１＋狀·２狀
∴－犛狀＝１＋２＋２２＋…＋２狀－１－狀·２狀＝２狀－１
２－１－狀·２狀
犛狀＝（狀－１）·２狀＋１．
２３．解析（１）犳（狓）＝犿·狀 槡＝ ３ｓｉｎ狓
４ｃｏｓ狓
４ ＋ｃｏｓ２狓
４
＝槡３
２ｓｉｎ狓
２ ＋ １
２ｃｏｓ狓
２ ＋ １
２ ＝ｓｉｎ 狓
２ ＋ π（ ）６ ＋ １
２
犳（狓）＝１ｓｉｎ 狓
２ ＋ π（ ）６ ＝ １
２
ｃｏｓ 狓＋ π（ ）３ ＝１－２ｓｉｎ２ 狓
２ ＋ π（ ）６ ＝ １
２ ．
（２）（２犪－犮）ｃｏｓ犅＝犫ｃｏｓ犆
正弦定理（２ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犆）ｃｏｓ犅＝ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆数学试题参考答案（长郡版）－５
２ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅－ｓｉｎ犆ｃｏｓ犅＝ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆
２ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅＝ｓｉｎ（犅＋犆）．
犃＋犅＋犆＝πｓｉｎ（犅＋犆）＝ｓｉｎ犃ｓｉｎ犃≠０
ｃｏｓ犅＝ １
２ 犅＝ π
３ ．
犃＋犆＝ ２
３π犃＝ ２
３π－犆０＜犆＜ π
２
π
６ ＜犃＜ π
２ π
３ ＜犃＋ π
６ ＜２π
３
槡３
２ ＜ｓｉｎ 犃＋ π（ ）６ ≤１犳（２犃）＝ｓｉｎ 犃＋ π（ ）６ ＋ １
２
函数犳（２犃）取值范围 槡３＋１
２ （ ］３
２ ．
２４．解析（１） 犈 作犈犖⊥犃犆 犖连结 犈犉犖犉犃犆１直棱柱性质知底面 犃犅犆⊥侧面 犃１犃犆犆１
底面 犃犅犆∩侧面犃１犃犆犆１＝犃犆犈犖底面犃犅犆犈犖⊥侧面犃１犃犆犆１犖犉 犈犉 侧面犃１犃犆犆１
射影
Ｒｔ△犆犖犈 中犆犖＝犆犈ｃｏｓ６０°＝１
犆犉
犆犆１
＝犆犖
犆犃 ＝ １
４ 犖犉∥犃犆１．
犃犆１⊥犃１犆 犖犉⊥犃１犆
三垂线定理知 犈犉⊥犃１犆．
（２）连结 犃犉 犖 作 犖犕 ⊥犃犉 犕 连结 犕犈
（１）知 犈犖⊥侧面 犃１犃犆犆１根三垂线定理 犈犕⊥犃犉
∠犈犕犖 二面角犆－犃犉－犈 面角∠犈犕犖＝θ
设∠犉犃犆＝α０°＜α≤４５°．
Ｒｔ△犆犖犈 中犖犈＝犈犆· 槡ｓｉｎ６０°＝ ３
Ｒｔ△犃犕犖 中犕犖＝犃犖·ｓｉｎα＝３ｓｉｎα
ｔａｎθ＝犖犈
犕犖 ＝ 槡３
３ｓｉｎα．
０°＜α≤４５°∴０＜ｓｉｎα≤槡２
２
ｓｉｎα＝槡２
２ α＝４５°时ｔａｎθ达值
值ｔａｎθ＝槡３
３ 槡× ２＝槡６
３ 时 犉 犆１ 重合．
２５．解析（１）圆方程配方 狓＋（ ）１
２
２
＋（狔－３）２＝３７－４犿
４ ．３７－４犿
４ ＞０解 犿＜３７
４ ．
直线犾方程圆犆 方程联立
狓＋２狔－３＝０
狓２＋狔２＋狓－６狔＋犿＝０｛
消狔狓２＋ ３－狓（ ）２
２
＋狓－６×３－狓
２ ＋犿＝０
整理５狓２＋１０狓＋４犿－２７＝０． ①
∵直线犾圆犆 没公点∴方程①解
Δ＝１０２－４×５（４犿－２７）＜０解 犿＞８．
∴犿 取值范围 ８３７（ ）４ ．
（２）设 犘（狓１狔１）犙（狓２狔２） 犗犘⊥犗犙 →犗犘· →犗犙＝０
狓１·狓２＋狔１·狔２＝０． ②数学试题参考答案（长郡版）－６
（１）根系数关系
狓１＋狓２＝－２狓１·狓２＝４犿－２７
５ ． ③
∵点 犘犙 直线狓＋２狔－３＝０
∴狔１·狔２＝３－狓１
２ ·３－狓２
２ ＝ １
４ ［９－３（狓１＋狓２）＋狓１·狓２］．
③代入式狔１·狔２＝犿＋１２
５ ． ④
③④代入②狓１·狓２＋狔１·狔２＝４犿－２７
５ ＋犿＋１２
５ ＝０解 犿＝３．
代入方程①检验Δ＞０成立∴犿＝３．
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数学试题（长郡版）第１ 页（８页）
题
答
线
封
密
号
学
名
姓
级
班
校
学
数 学
分：
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分８页时量
１２０分钟满分１００分
第Ⅰ卷
选择题：题１５题题３分４５分．
１．老师班级５０名学生中次抽取学号５１０１５２０２５３０３５４０４５
５０学生进行作业检查种抽样方法 （ ）
Ａ．机抽样 Ｂ．分层抽样 Ｃ．系统抽样 Ｄ．
★２．某体三视图图示该
体长棱棱长 （ ）
槡Ａ．７
槡Ｂ．６
槡Ｃ．５
槡Ｄ．２ ２
３．设犛狀 等差数列｛犪狀｝前狀项（狀＋１）
犛狀＜狀犛狀＋１（狀∈犖 ）．犪８
犪７
＜－１ （ ）
Ａ．犛狀 值犛８
Ｂ．犛狀 值犛８
Ｃ．犛狀 值犛７
Ｄ．犛狀 值犛７
４．图某学校举行运动会七位评委某体
操项目出 分 数 茎 叶 统 计 图 掉
高分 低 分 剩 数 均 数 方
差分 （ ）
Ａ．８４４．８４ Ｂ．８４１．６
Ｃ．８５１．６ Ｄ．８５４
★５．四面体 犘－犃犅犆 三组棱分相等长度次 槡２ ５槡１３５
该四面体外接球表面积 （ ）
Ａ．２９
４π Ｂ．２８π Ｃ． 槡２９ ２９
６ π Ｄ．２９π数学试题（长郡版）第２ 页（８页）
★６．圆（狓－犪）２＋（狔－犪）２＝８总存点 犃｜犗犃｜≤槡２实数犪
取值范围 （ ）
Ａ．（－３－１）∪（１３） Ｂ．（－３３）
Ｃ．［－１１］ Ｄ．［－３－１］∪［１３］
★７．锐角三角形 犃犅犆 中已知犪犫犮分角犃犅犆 边槡３犫＝
２犪ｓｉｎ犅犪＝４△犃犅犆 面积值 （ ）
Ａ． 槡２ ３ Ｂ． 槡４ ３ Ｃ． 槡８ ３ Ｄ． 槡１６ ３
８． 犘 两条异面直线犾犿 外点 （ ）
Ａ．点 犘 仅条直线犾犿 行
Ｂ．点 犘 仅条直线犾犿 垂直
Ｃ．点 犘 仅条直线犾犿 相交
Ｄ．点 犘 仅条直线犾犿 异面
★９．已知正数数列｛犪狀｝公等１等数列ｌｇ犪１＋ｌｇ犪２０１９＝０
犳（狓）＝ ２
１＋狓２ 犳（犪１）＋犳（犪２）＋…＋犳（犪２０１９）＝ （ ）
Ａ．２０１８ Ｂ．４０３６ Ｃ．２０１９ Ｄ．４０３８
１０．已知△犃犅犆 角犃犅犆 边分犪犫犮犮－犫
犮－犪＝ ｓｉｎ犃
ｓｉｎ犆＋ｓｉｎ犅
犅＝ （ ）
Ａ．π
６ Ｂ．π
４ Ｃ．π
３ Ｄ．３π
４
１１．点（槡２０）引直线犾曲线狔＝ １－狓槡 ２ 相交 犃犅 两点犗 坐标原
点△犃犗犅 面积取值时直线犾斜率等 （ ）
Ａ．槡３
３ Ｂ．－槡３
３
Ｃ．±槡３
３ 槡Ｄ．－ ３
１２．已知函数 犳（狓）＝ｃｏｓ狓狓∈ ０２（ ）π 两 零 点 狓１狓２ 方 程
犳（狓）＝犿 犿≠（ ）０ 两实根狓３狓４四数排
列构成等差数列实数 犿＝ （ ）
Ａ．１
２ Ｂ．－１
２ Ｃ．槡３
２ Ｄ．－槡３
２
１３．已知直线犾：狓－狔－１＝０犾１：２狓－狔－２＝０直线犾２ 犾１ 关直线犾
称犾２ 方程 （ ）
Ａ．狓－２狔＋１＝０ Ｂ．狓－２狔－１＝０
Ｃ．狓＋狔－１＝０ Ｄ．狓＋２狔－１＝０
１４．设面点集 犃＝ （狓狔）｜（狔－狓）· 狔－１（ ）狓 ≥｛ ｝０ 犅＝｛（狓狔）｜（狓－１）２
＋（狔－１）２≤１｝ 犃∩犅 表示面图形面积 （ ）数学试题（长郡版）第３ 页（８页）
Ａ．３π
４ Ｂ．３π
５
Ｃ．４π
７ Ｄ．π
２
１５．数列｛犪狀｝通项犪狀＝狀２ ｃｏｓ２狀π
３－ｓｉｎ２狀π（ ）３ 前狀项犛狀犛３０
（ ）
Ａ．４７０ Ｂ．４９０ Ｃ．４９５ Ｄ．５１０
选择题答题卡
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案
题号 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ 分
答案
第Ⅱ卷
二填空题：题５题题３分１５分．
★１６．已知犪犫犮直角三角形三边长犮斜边长点 犕（犿狀）直线
犾：犪狓＋犫狔＋２犮＝０ 犿２＋狀２ 值 ．
１７．已知函数犳（狓）＝狓２＋犪狓＋犫（犪犫∈犚）值域［０＋∞）关狓
等式犳（狓）＜犮解集（犿犿＋６）实数犮值 ．
１８．已知三棱柱 犃犅犆－犃１犅１犆１ 侧棱底面边 长 相 等犃１ 底 面 犃犅犆
射影 犅犆 中 点 异 面 直 线 犃犅 犆犆１ 成 角 余 弦 值
．
★１９．已知狓＞０狔＞０狓＋狔＝１犪≤１
狓 ＋９
狔
恒成立实数犪值
．
２０．已知犪犫犮分 △犃犅犆 三 角 犃犅犆 边犪＝２（２＋犫）·
（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆△犃犅犆 面积值 ．数学试题（长郡版）第４ 页（８页）
三解答题：题５题题８分４０分．
２１．某城市１００户居民月均电量（单位：度）［１６０１８０）［１８０２００）
［２００２２０）［２２０２４０）［２４０２６０）［２６０２８０）［２８０３００］分组频率分
布直方图图．
（１）求直方图中狓 值
（２）求月均电量众数中位数
（３）月均电量［２２０２４０）［２４０２６０）［２６０２８０）［２８０３００］四
组户中 分 层 抽 样 方 法 抽 取 １１ 户 居 民 月 均 电 量
［２２０２４０）户中应抽取少户？数学试题（长郡版）第５ 页（８页）
★２２．已知数列｛犪狀｝等差数列犪狀≠０满足３２犪３＋３２犪１１ ＝犪２
７数列｛犫狀｝满
足犫狀＋１－２犫狀＝０犫７＝犪７．
（１）求数列｛犫狀｝通项公式
（２）犮狀＝狀犫狀求数列｛犮狀｝前狀项犛狀．数学试题（长郡版）第６ 页（８页）
２３．已知量 犿 槡＝ ３ｓｉｎ狓
４（ ）１ 狀＝ ｃｏｓ狓
４ｃｏｓ２狓（ ）４ 记犳（狓）＝犿·狀．
（１）犳（狓）＝１求ｃｏｓ 狓＋ π（ ）３ 值
（２）锐角△犃犅犆 中角 犃犅犆 边分犪犫犮满足（２犪－犮）·
ｃｏｓ犅＝犫ｃｏｓ犆求犳（２犃）取值范围．数学试题（长郡版）第７ 页（８页）
２４．图已知 正 三 棱 柱 犃犅犆－犃１犅１犆１ 棱 长
４犈 犅犆 中点动 点 犉 侧 棱犆犆１
点犆 重合．
（１）犆犉＝１时求证：犈犉⊥犃１犆
（２）设二面角 犆－犃犉－犈 θ求ｔａｎθ
值．数学试题（长郡版）第８ 页（８页）
２５．已知圆犆：狓２＋狔２＋狓－６狔＋犿＝０直线犾：狓＋２狔－３＝０．
（１）直线犾圆犆 没公点求 犿 取值范围
（２）直线犾圆犆 相交犘犙 两点犗 原点 犗犘⊥犗犙求实数 犿
值．书书书
数学试题参考答案（长郡版）－１
数学参考答案
选择题
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
答 案 Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ
１．Ｃ 解析抽取学号５公差等差数列采抽样方法应系统抽样．
２．Ａ 解析根三视图知该体四棱锥画出图形图示
犃犆 槡＝ ２犇犆＝２犅犈＝２犃犆⊥底面犆犇犈犅
结合图形中数求 犅犆 槡＝ ２
Ｒｔ△犃犅犆 中勾股定理 犃犅＝ 犃犆２＋犅犆槡 ２ ＝ （槡２）２＋（槡２）槡 ２ ＝２
理求 犃犇＝ （槡２）２＋２槡 ２ 槡＝ ６
犃犈＝ 犃犆２＋犆犈槡 ２ ＝ 犃犆２＋犆犇２＋犇犈槡 ２ ＝ （槡２）２＋２２＋１槡 ２ 槡＝ ７．选 Ａ．
３．Ｄ 解析条件犛狀
狀 ＜犛狀＋１
狀＋１狀（犪１＋犪狀）
２狀 ＜
（狀＋１）（犪１＋犪狀＋１）
２（狀＋１） 犪狀 ＜犪狀＋１
等差数列｛犪狀｝递增数列．犪８
犪７
＜－１犪８＞０犪７＜０数列｛犪狀｝前７项均０第８项０
犛狀 值犛７选 Ｄ．
４．Ｃ 解析题意剩数均数 ８０＋ １
５ ×（４×３＋６＋７）＝８５剩数方差 １
５ ×［３×（８４－
８５）２＋（８６－８５）２＋（８７－８５）２］＝１．６．
５．Ｄ 解析四面体 犘－犃犅犆 补 成 长 方 体相 邻 三 面 角 线 长 分 槡２ ５槡１３５
狓２＋狔槡 ２ 槡＝２ ５ 狕２＋狔槡 ２ 槡＝ １３ 狓２＋狕槡 ２ ＝５狓２＝１６狔２＝４狕２＝９
设四 面 体 外 接 球 半 径 犚 四 面 体 外 接 球 长 方 体 外 接 球 外 接 球 直 径 ２犚 ＝
狓２＋狔２＋狕槡 ２ 槡＝ ２９四面体外接球表面积４π犚２＝２９π选 Ｄ．
６．Ｄ 解 析问 题 转 化 圆 （狓－犪）２ ＋ （狔－犪）２ ＝８ 圆 狓２ ＋狔２ ＝２ 相 交 相 切两 圆 圆 心 距 犱＝
（犪－０）２＋（犪－０）槡 ２ 槡＝ ２｜犪｜ 犚－狉≤犱≤犚＋狉 槡 槡２ ２－ ２≤槡２｜犪｜≤ 槡 槡２ ２＋ ２解１≤｜犪｜≤３犪∈
［－３－１］∪［１３］选 Ｄ．
７．Ｂ 解析 槡∵ ３犫＝２犪ｓｉｎ犅犪＝４∴ 犫
ｓｉｎ犅＝ 犪
槡３
２
＝ 犮
ｓｉｎ犆
：ｓｉｎ犃＝槡３
２ 犃 锐角 犃＝ π
３
∴正弦定理：犫＝ ４
槡３
２
ｓｉｎ犅＝ 槡８ ３
３ ｓｉｎ犅犮＝ 槡８ ３
３ ｓｉｎ犆＝ 槡８ ３
３ ×ｓｉｎ ２π
３ －（ ）犅
∴犛△犃犅犆 ＝ １
２犫犮ｓｉｎ犃＝ １
２ × 槡８ ３
３ ｓｉｎ犅× 槡８ ３
３ ·ｓｉｎ ２π
３ －（ ）犅 ×槡３
２ ＝ 槡１６ ３
３ ｓｉｎ犅 槡３
２ｃｏｓ犅＋ １
２ｓｉｎ（ ）犅
＝ 槡１６ ３
３
１
２ｓｉｎ ２犅－ π（ ）６ ＋［ ］１
４ ＝ 槡８ ３
３ ｓｉｎ ２犅－ π（ ）６ ＋ 槡４ ３
３
∵锐角三角形 犃犅犆 中犅∈ π
６ π（ ）２ 数学试题参考答案（长郡版）－２
２犅－ π
６ ∈ π
６ ５π（ ）６
∴２犅－ π
６ ＝ π
２ 犅＝ π
３ 时ｓｉｎ ２犅－ π（ ）６ 取值１
△犃犅犆 面积值 槡８ ３
３ ＋ 槡４ ３
３ 槡＝４ ３．选 Ｂ．
８．Ｂ 解析设点 犘 直线狀狀犾犿 行犾犿 行犾犿 异面矛
盾选项 Ａ 错误犾犿 唯公垂线点 犘 公垂线行直线
条 Ｂ正确选项 ＣＤ 参考右图正方体．设 犃犇 直线犾犃′犅′
直线犿 犘 犘１ 点显然法作出直线两直线相交选项 Ｃ 错误
犘 犘２ 点图 中 知 直 线 犆犆′ 犇′犘２ 均 犾犿 异 面 选 项 Ｄ 错 误．
选 Ｂ．
９．Ｃ 解析∵正数数列｛犪狀｝公等１等数列ｌｇ犪１＋ｌｇ犪２０１９＝０
∴ｌｇ犪１ ·犪２０１９ ＝０犪１ ·犪２０１９ ＝１．∵ 函 数 犳（狓）＝ ２
１＋狓２ ∴犳（狓）＋犳 １（ ）狓 ＝
２
１＋狓２ ＋ ２
１＋ １
狓２
＝２＋２狓２
１＋狓２ ＝２令 犜＝犳（犪１）＋犳（犪２）＋…＋犳（犪２０１９） 犜＝犳（犪２０１９）＋犳（犪２０１８）＋…＋犳（犪１）
∴２犜＝犳（犪１）＋犳（犪２０１９）＋犳（犪２）＋犳（犪２０１８）＋…＋犳（犪２０１９）＋犳（犪１）＝２×２０１９∴犜＝２０１９选 Ｃ．
１０．Ｃ 解析ｓｉｎ犃＝ 犪
２犚ｓｉｎ犅＝ 犫
２犚ｓｉｎ犆＝ 犮
２犚代入整理犮－犫
犮－犪＝ 犪
犮＋犫犮２－犫２＝犪犮－犪２犪２＋犮２－犫２
＝犪犮ｃｏｓ犅＝ １
２ 犅＝ π
３ ．
１１．Ｂ 解析∵犛△犃犗犅 ＝ １
２｜犗犃｜｜犗犅｜·ｓｉｎ∠犃犗犅＝ １
２ｓｉｎ∠犃犗犅≤ １
２ ．
∠犃犗犅＝ π
２ 时△犃犗犅 面积．时 犗 犃犅 距离犱＝槡２
２ ．
设 犃犅 方程狔＝犽（狓 槡－ ２）（犽＜０）犽狓－狔 槡－ ２犽＝０．犱＝ ｜槡２犽｜
犽２槡 ＋１
＝槡２
２
犽＝－槡３
３ ．
犽＝－ｔａｎ∠犗犘犎＝－槡３（ ）３ ．
１２．Ｄ 解析题意知：狓１＝ π
２ 狓２＝３π
２ 狓３狓４ 分布狓１狓２ 中间两侧
狓３狓４ 分布狓１狓２ 中间公差犱＝
３π
２ － π
２
３ ＝ π
３
狓３狓４ 分５π
６ ７π
６ 时求 犿＝ｃｏｓ５π
６ ＝－槡３
２
狓３狓４ 分布狓１狓２ 两侧公差犱＝３π
２ － π
２ ＝π
狓３狓４ 分－ π
２ ５π
２ 合题意．选 Ｄ．
１３．Ｂ 解析设 犃（狓狔）犃１（狓１狔１）分直线犾２犾１ 关犾称点．
狔１－狔
狓１－狓·１＝－１
狓＋狓１
２ －狔＋狔１
２ －１＝０
烅
烄
烆
求 狓１＝狔＋１
狔１＝狓－１｛ ①数学试题参考答案（长郡版）－３
点 犃１（狓１狔１）直线犾１ ２狓１－狔１－２＝０ ②
①代入②２（狔＋１）－（狓－１）－２＝０狓－２狔－１＝０选 Ｂ．
１４．Ｄ 解析面点集 犃 表示面区域等式组
狔－狓≥０
狔－ １
狓 ≥烅
烄
烆 ０
狔－狓≤０
狔－ １
狓 ≤烅
烄
烆 ０
表示面区域
面点集 犅 表示面区域点（１１）圆心１半径圆圆部
作出表示面区域图示图中阴影部分 犃∩犅 表示面图形．
圆曲线狔＝ １
狓 关直线狔＝狓 称阴影部分表示图形面积圆面积 １
２
π
２ 选 Ｄ．
１５．Ａ 解析注意犪狀＝狀２ｃｏｓ２狀π
３ 函数狔＝ｃｏｓ２π狓
３ 正周期３狀 正整数时犪狀 ＋犪狀＋１ ＋
犪狀＋２＝－ １
２狀２－ １
２ （狀＋１）２＋（狀＋２）２＝３狀＋ ７
２ 中狀＝１４７…
犛３０＝（犪１＋犪２＋犪３）＋（犪４＋犪５＋犪６）＋…＋（犪２８＋犪２９＋犪３０）
＝ ３×１＋（ ）７
２ ＋ ３×４＋（ ）７
２ ＋…＋ ３×２８＋（ ）７
２
＝３×１０×（１＋２８）
２ ＋ ７
２ ×１０＝４７０．
二填空题
１６．４ 解析∵犪犫犮直角三角形三边长犮斜边长∴犮＝ 犪２＋犫槡 ２
∵点 犕（犿狀）直线犾：犪狓＋犫狔＋２犮＝０
∴犿２＋狀２ 表示直线犾点原点距离方
∴犿２＋狀２ 值原点直线犾距离方点直线距离公式犱＝ ２犮
犪２＋犫槡 ２ ＝２
∴犿２＋狀２ 值犱２＝４答案４．
１７．９ 解析题意知犳（狓）＝狓２＋犪狓＋犫＝ 狓＋犪（ ）２
２
＋犫－犪２
４ ．
∵犳（狓）值域［０＋∞）∴犫－犪２
４ ＝０．∴犳（狓）＝ 狓＋犪（ ）２
２
．
∵犳（狓）＜犮∴ 狓＋犪（ ）２
２
＜犮－犪
２ －槡犮＜狓＜－犪
２ ＋槡犮．
∴
－犪
２ －槡犮＝犿①
－犪
２ ＋槡犮＝犿＋６．
烅
烄
烆 ②
②－①２槡犮＝６∴犮＝９．
１８．３
４ 解析设 犅犆 中点犇连结 犃１犇犃犇易知θ＝∠犃１犃犅 异面直线数学试题参考答案（长郡版）－４
犃犅 犆犆１ 成角易知ｃｏｓθ＝ｃｏｓ∠犃１犃犇·ｃｏｓ∠犇犃犅＝ 犃犇
犃１犃·犃犇
犃犅＝ ３
４ ．
１９．１６ 解析∵狓＞０狔＞０狓＋狔＝１∴ １
狓 ＋ ９
狔 ＝（狓＋狔） １
狓 ＋ ９（ ）狔 ＝１０＋ 狔
狓 ＋９狓
狔 ≥１０＋２ 狔
狓 ·９狓槡 狔 ＝
１６仅狔＝３狓＝ ３
４ 时取等号．∵等式犪≤ １
狓 ＋ ９
狔
恒成立 １
狓 ＋ ９（ ）狔 ｍｉｎ
≥犪．∴犪∈（－∞１６］
实数犪值１６答案１６．
２０．槡３ 解析犪＝２（２＋犫）（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆
（犪＋犫）（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆根正弦定理
（犪＋犫）（犪－犫）＝（犮－犫）犮化简犫２＋犮２－犪２＝犫犮ｃｏｓ犃＝犫２＋犮２－犪２
２犫犮 ＝ １
２ 犃＝６０°
犫２＋犮２－犫犮＝４≥犫犮犛△犃犅犆 ＝ １
２犫犮ｓｉｎ犃≤槡３．
三解答题
２１．解析（１）（０．００２＋０．００９５＋０．０１１＋０．０１２５＋狓＋０．００５＋０．００２５）×２０＝１狓＝０．００７５
∴直方图中狓 值０．００７５．
（２）月均电量众数２２０＋２４０
２ ＝２３０．
∵（０．００２＋０．００９５＋０．０１１）×２０＝０．４５＜０．５
（０．００２＋０．００９５＋０．０１１＋０．０１２５）×２０＝０．７＞０．５
∴月均电量中位数［２２０２４０）设中位数犪（０．００２＋０．００９５＋０．０１１）×２０＋０．０１２５×（犪－
２２０）＝０．５解犪＝２２４中位数２２４．
（３）月均电量［２２０２４０）户０．０１２５×２０×１００＝２５（户）理求月均电量［２４０２６０）
［２６０２８０）［２８０３００］户分１５户１０户５户抽取 １１
２５＋１５＋１０＋５＝ １
５
∴月均电量［２２０２４０）户中应抽取２５× １
５ ＝５（户）．
２２．解析（１）等差数列性质：３２犪３＋３２犪１１＝犪２
７＝３２×２犪７≠０
解犪７＝６４．
数列｛犫狀｝满足犫狀＋１－２犫狀＝０
数列｛犫狀｝等数列公２．
∵犫７＝犪７＝６４．∴犫１·２６＝６４解犫１＝１．∴犫狀＝２狀－１．
（２）犮狀＝狀犫狀＝狀·２狀－１
∴犛狀＝１＋２×２＋３×２２＋…＋（狀－１）·２狀－２＋狀·２狀－１
２犛狀＝２＋２×２２＋３×２３＋…＋（狀－１）·２狀－１＋狀·２狀
∴－犛狀＝１＋２＋２２＋…＋２狀－１－狀·２狀＝２狀－１
２－１－狀·２狀
犛狀＝（狀－１）·２狀＋１．
２３．解析（１）犳（狓）＝犿·狀 槡＝ ３ｓｉｎ狓
４ｃｏｓ狓
４ ＋ｃｏｓ２狓
４
＝槡３
２ｓｉｎ狓
２ ＋ １
２ｃｏｓ狓
２ ＋ １
２ ＝ｓｉｎ 狓
２ ＋ π（ ）６ ＋ １
２
犳（狓）＝１ｓｉｎ 狓
２ ＋ π（ ）６ ＝ １
２
ｃｏｓ 狓＋ π（ ）３ ＝１－２ｓｉｎ２ 狓
２ ＋ π（ ）６ ＝ １
２ ．
（２）（２犪－犮）ｃｏｓ犅＝犫ｃｏｓ犆
正弦定理（２ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犆）ｃｏｓ犅＝ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆数学试题参考答案（长郡版）－５
２ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅－ｓｉｎ犆ｃｏｓ犅＝ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆
２ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅＝ｓｉｎ（犅＋犆）．
犃＋犅＋犆＝πｓｉｎ（犅＋犆）＝ｓｉｎ犃ｓｉｎ犃≠０
ｃｏｓ犅＝ １
２ 犅＝ π
３ ．
犃＋犆＝ ２
３π犃＝ ２
３π－犆０＜犆＜ π
２
π
６ ＜犃＜ π
２ π
３ ＜犃＋ π
６ ＜２π
３
槡３
２ ＜ｓｉｎ 犃＋ π（ ）６ ≤１犳（２犃）＝ｓｉｎ 犃＋ π（ ）６ ＋ １
２
函数犳（２犃）取值范围 槡３＋１
２ （ ］３
２ ．
２４．解析（１） 犈 作犈犖⊥犃犆 犖连结 犈犉犖犉犃犆１直棱柱性质知底面 犃犅犆⊥侧面 犃１犃犆犆１
底面 犃犅犆∩侧面犃１犃犆犆１＝犃犆犈犖底面犃犅犆犈犖⊥侧面犃１犃犆犆１犖犉 犈犉 侧面犃１犃犆犆１
射影
Ｒｔ△犆犖犈 中犆犖＝犆犈ｃｏｓ６０°＝１
犆犉
犆犆１
＝犆犖
犆犃 ＝ １
４ 犖犉∥犃犆１．
犃犆１⊥犃１犆 犖犉⊥犃１犆
三垂线定理知 犈犉⊥犃１犆．
（２）连结 犃犉 犖 作 犖犕 ⊥犃犉 犕 连结 犕犈
（１）知 犈犖⊥侧面 犃１犃犆犆１根三垂线定理 犈犕⊥犃犉
∠犈犕犖 二面角犆－犃犉－犈 面角∠犈犕犖＝θ
设∠犉犃犆＝α０°＜α≤４５°．
Ｒｔ△犆犖犈 中犖犈＝犈犆· 槡ｓｉｎ６０°＝ ３
Ｒｔ△犃犕犖 中犕犖＝犃犖·ｓｉｎα＝３ｓｉｎα
ｔａｎθ＝犖犈
犕犖 ＝ 槡３
３ｓｉｎα．
０°＜α≤４５°∴０＜ｓｉｎα≤槡２
２
ｓｉｎα＝槡２
２ α＝４５°时ｔａｎθ达值
值ｔａｎθ＝槡３
３ 槡× ２＝槡６
３ 时 犉 犆１ 重合．
２５．解析（１）圆方程配方 狓＋（ ）１
２
２
＋（狔－３）２＝３７－４犿
４ ．３７－４犿
４ ＞０解 犿＜３７
４ ．
直线犾方程圆犆 方程联立
狓＋２狔－３＝０
狓２＋狔２＋狓－６狔＋犿＝０｛
消狔狓２＋ ３－狓（ ）２
２
＋狓－６×３－狓
２ ＋犿＝０
整理５狓２＋１０狓＋４犿－２７＝０． ①
∵直线犾圆犆 没公点∴方程①解
Δ＝１０２－４×５（４犿－２７）＜０解 犿＞８．
∴犿 取值范围 ８３７（ ）４ ．
（２）设 犘（狓１狔１）犙（狓２狔２） 犗犘⊥犗犙 →犗犘· →犗犙＝０
狓１·狓２＋狔１·狔２＝０． ②数学试题参考答案（长郡版）－６
（１）根系数关系
狓１＋狓２＝－２狓１·狓２＝４犿－２７
５ ． ③
∵点 犘犙 直线狓＋２狔－３＝０
∴狔１·狔２＝３－狓１
２ ·３－狓２
２ ＝ １
４ ［９－３（狓１＋狓２）＋狓１·狓２］．
③代入式狔１·狔２＝犿＋１２
５ ． ④
③④代入②狓１·狓２＋狔１·狔２＝４犿－２７
５ ＋犿＋１２
５ ＝０解 犿＝３．
代入方程①检验Δ＞０成立∴犿＝３．
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