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高三第二轮复测试试卷
理科数学(四)
试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回
．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2 0A ax axa x R 1B x y x ()RCAB
A． 04xx B． 14x x C． 1x x D． 40xx x
2．已知设i 虚数单位 1 3i
1 iz
3 i||2 2z
A．1 B． 2 C． 2 D． 1
2
3．已知样数
x 1 2 a 3 4
y 09 095 2 305 49
回方程 ˆ 2 3y x 实数 a 值
A． 2 B．3 C． 25 D．35
4．已知 a b 互相垂直单位量||2 3c a c ||b c
A． 3 B． 2 C． 3 7 D． 3 2
5．已知等数列 na nS 数列 na 前 n 项公 q 3q 3214S a a
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
6．设 03
342 log 4 log 5abc
A．b c a B． a c b C． a b c D．b a c
7．已知函数 e( )()
()
xx x af x
x x a
存 Rm ()y f x m 三零点实数 a 取
值范围
A． 11 ea B． 1
ea C． 11 ea D． 1a — 高三理科数学(四)第 2 页( 4 页) —
x
y
俯视图
左视图视图
8 ． 已 知 函 数 π( ) 2sin(2 )4fx x 区 间 1 2( )x x 仅 2 极 值 点 满 足
1 2
3π( ) ( ) 24fx f x 1 2x x 取值范围
A． 3π 5π4 4
（） B． 5ππ 4
() C． 3π 5π ]4 4
( D． 5ππ 4
（]
9．易·系辞河出图洛出书说河图洛书中华文化阴阳
术数源中河图排列结构六二七前三八左
四九右五十背中图白圈阳数黑点阴数 10
数中取 3 数三数中少两阳数成等差数列概率
A． 1
5 B． 1
20 C． 1
12 D． 3
40
10．已知面直角坐标系中圆 2 2 4Ox y ( 20) (20)A B 直线 2x 点C 圆O
动点（ A B 两点重合）点 B 作直线l 直线 BC 关直线 2x 称直线
AC 直线l 交点 P 轨迹方程
A
2
2 13
yx B
2 2
14 4
x y C
2
2 1( 0)3
yx y D
2 2
1( 0)4 4
x y y
11．已知棱长1正方体 1 1 1 1ABCD ABCD E BC 动点 1AC E 三点面截正方体
截面面 ABCD 射影面积 1S面 1 1BCC B 射影面积 2S 1 2SS 值
A 1
2 B 1
4 C 3
4 D 3
8
12．数学中许形状优美寓意美曲线例：四叶草曲线中种曲线C 方程
32 2 2 2x y xy 出列四结
①曲线C 四条称轴②曲线C 点原点距离 1
4
③设曲线C 第象限意点作两坐标轴垂线两坐标轴围成矩形
面积值 1
8
④四叶草面积 π
4
中正确结序号
A①② B①③ C①③④ D①②④
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．图示网格纸正方形边长1粗实线画出某体三视图该体
体积 ．
14．记等式组
0
1
1
2
y
y x
y kx
表示面区域 D
点(11) D 实数 k 取值范围 ． — 高三理科数学(四)第 3 页( 4 页) —
18题图
M
DAC
B
S
总利润（单位：万元）
0015
0013
001
00045
0005
00025
14012010080604020
频率
组距
15．已知数列 na nS 数列 na 前 n 项满足 2 2n nS a 集合 2 nn n t a
三元素实数t取值范围 ．
16．已知抛物线 2 4Cy x 焦点 F点 F 直线抛物线相交 1 1 2 2( )( )Axy Bx y 两点
3AF FB 1 2y y ．
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17（题满分 12 分）已知锐角 ABC 三角 ABC 边分 abc 面积 S
AD 角 A 角分线满足3 cos 3 cos 2 3b Aa Bbc ．
（Ⅰ）求cos A 值
（Ⅱ） ABC 面积 4 2
3
求角分线 AD 长值．
18 （题满分 12 分）图：三棱锥 S ABC 中 ABC 等边三角形 AB a
13
2
aSA SC D AC 中点 M SB 中点．
（Ⅰ）求证： ABC SBD面 面
（Ⅱ）三棱锥 S ABC 体积 33
8 a 二面角 S AC B
钝二面角求直线 AM 面 SBC 成角正弦值．
19 （题满分 12 分）国学生业压力日益严峻伴着政府政策引导社会观念
转变学生创业意识业方悄然发生转变学生国家提供税收担保贷款等
方面政策扶持选择加盟某品牌专营店创业该品牌总部积极响应政府号召
学生创业加盟店根销售利润实行抽奖奖励该品牌总部挑选某区 100 家专营
店统计五年创收利润数统计频率分布直方图：
（Ⅰ）频率分布直方图致认抽查专营店 5 年总利润 ~ ( 202)W N 似
100 家专营店 5 年总利润均值(组中
数该组区间中点值作代表）利正态
分布求 (736 1304)P W
（Ⅱ）（Ⅰ）条件该品牌总部
加盟专营店进行奖励制定抽奖方案：
①令 m 表示该专营店 5 年总利润超
百分点中 100Wm
[010)m
该品牌总部专营店提供 1 次抽奖机会
[10 20)m 该品牌总部专营店提供 2 次
抽奖机会 [2030)m 该品牌总部专营店提供 3 次抽奖机会 [3040)m 该品牌总— 高三理科数学(四)第 4 页( 4 页) —
部专营店提供 4 次抽奖机会 [4050)m 该品牌总部专营店提供 5 次抽奖机会 50m
该品牌总部专营店提供 6 次抽奖机会外规定 5 年总利润低 专营店该品牌
总部专营店提供抽奖机会②次抽奖中奖获奖金金额 10000 元次抽奖中奖概
率 1
3
．设该学生加盟专营店 A 参加次抽奖方案专营店 A 5 年总利润
1225W 万元记 X（单位：万元)表示专营店 A 获奖金总额求 X 分布列数学期．
附参考数公式： 202 142 2~ ( )W N ( ) 06827P W
( 2 2 ) 09545P W ( 3 3 ) 09973P W ．
20（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b ： 离心率 1
2
左右两焦点分
1 2F F 1B 顶点直线l 椭圆相交 M N 两点 1 2FM FN M 1B 重合时
时 8 3 3( )5 5N．
（Ⅰ）求椭圆标准方程
（Ⅱ）存实数 1 2FM FN 1[ 2]2 记 1 2MF F 面积 1S 1 2NFF 面积
2S求 1 2+SS 取值范围．
21 （题满分 12 分）已知函数 () ( )ln( )f x x a x a （ 0x 0a ）．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 单调区间
（Ⅱ）等式： ( ) ( 1)(e 1) 0xfx x 意 0x 恒成立求 a 取值范围．
（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中 坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系已知直线 1l 参
数方程
cos
1 sin
x t
y t
（ 0 π t 参数）直线 2l 方程 πsin( ) 2 24 M 曲
线 2l 动点点 P 线段OM 满足 8OM OP ．
（Ⅰ）求点 P 轨迹C 直角坐标方程
（Ⅱ）设点 (01)N直线 1l 曲线C 相交 A B 两点 1 1 4 3
3NA NB 求直线 1l 方程．
23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) 1 2fx x x ．
（Ⅰ）意 Rx 等式 ( )fx m 恒成立 m 取值范围
（Ⅱ）记满足条件 m 值 M 1 1 1a b c 8 abc M
求证：( 1)( 1)( 1) 1a b c ． — 高三理科数学(四)第 5 页( 4 页) —
理科数学(四)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C C A B A C C D B C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 22π+ 3 14 1(]2 15 3 5(]8 8 16 4 3
3
三解答题(题 6 题 70 分)
17 解析（Ⅰ） 3 cos 3 cos 2 3b A a B b c
正弦定理化3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBC
3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBAB
3sin cos 3sin cos 2sin 3sin cos 3sin cosBAABBABBA
6sin cos 2sinBAB
0 π sin 0BB 1cos 3A
（Ⅱ） 12 2cos sin33AA 1 cos 6cos 223
AA
14 2sin23ABCSbc A 4bc
ABC ABD ACDSSS 111sin sin sin2222 2
AAbcA cAD b AD
2 cos 86 8 6 2 62
336
Abc
AD bc b c bc
仅 2b c 时角分线 AD 长值 2 6
3
18解析（Ⅰ） ABC 等边三角形 D AC 中点 BD AC
SASCSDAC
BD SD D AC 面 SBD
AC 面 ABC 面 ABC 面 SBD
(Ⅱ)(1)知 SDB 二面角 S AC B 面角 SDB 钝角
S 作直线 BD 垂线垂足 E
AC 面 SBD AC SE
SE BD BD SE E SE 面 ABC — 高三理科数学(四)第 6 页( 4 页) —
M
DAC
B
Sz
y
x
E
2 31 3 3
3 12 8SABC ABCV S SE a SE a 3
2SE a
2 2 3SD SC DC a 2 2 3
2DE SD SE a
D 原点 DB DC 分 x y 轴 D 引行 ES 射线 z 轴建立空间直角坐标系
3 3 3(0 0) ( 00) (0 0) ( 0 )2 2 2 2 2
a a a a aABCS 3(00 )4
aM
3 3 3(0 ) ( 0) ( 30 )2 4 2 2 2
a a a a aAM BC BS a
设面 SBC 法量 ( )n xyz AM 面 SBC 成角
0
0
n BC
n BS
3 02 2
33 02
a ax y
aax z
取 2x 2 3(1 3 )3n
3 3 13sin cos 134 13
43
n AM an AM
an AM
直线 AM 面 SBC 成角正弦值 3 13
13
19解析(Ⅰ) 20 40 40 60 60 8000025 20 0005 20 001 202 2 2
80 100 100 120 120 1400015 20 0013 20 00045 20 8782 2 2
202 142
~ ( 202)W N (736 1304) ( 3 )PW P W
1( )(3 3)2 PW P W 084
(Ⅱ) 1225 878100 100 3040878
Wm
专营店 A获品牌总店提供 4 次抽奖机会
X 值010000200003000040000
4
0
4
2 16(0) 3 81PX C
3
1
4
1 2 32( 10000) 3 3 81PX C
2 2
2
4
1 2 24( 20000) 3 3 81PX C
3
3
4
1 2 8( 30000) 3 3 81PX C
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4
4
4
1 1( 40000) 3 81PX C
X 分布列：
X 0 10000 20000 30000 40000
P 16
81 32
81 24
81 8
81 1
81
数学期 16 32 24 8 1 400000 10000 20000 30000 +4000081 81 81 81 81 3EX
20 解析（Ⅰ）令 )0()()0( 121 bBocFcF 题意：
①
cc
bKKNFBFNFBF
5
8
5
33
211211
② 2
1
a
ce 联立①②： 32 ba
椭圆标准方程： 134
22
yx
（Ⅱ）延长 1MF 交椭圆 1N 1 2FM FN 椭圆称性： 21 NFFN 2S 等
1 1 2NFF 面积 1 2+SS 等 1 2N MF 面积设直线 1MN 直线方程： 1 tyx
令 )()( 2211 yxNyxM： 096)43(
1
134 22
22
tyyt
tyx
yx
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2
6 9 12 1 ( ) 43 4 3 4 3 4
t tyy yy yy yy yytt t
：
2
1 2 1 2 1 2 2
1 12 1+ 2 3 4
tSS FFy y t
2
1 2 2 2
1 2 1 2
21 2 2 2
9
1 13 4 2 3 16(1 ) 43 4
yy y tFM FNy y tyy y tt
21 42 02 5t
令 )5
531(12 t
：
2
1 2 2 2
12 1 12 12+ 13 4 3 +1 3 +
tSS t
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1 2 3 5[1 ]1 53
单调递减 1 2
9 5[ 3]8SS
21 解析（Ⅰ）
1 11 ln( )1ln10e ea f x x a 时 ( )f x 单调增区间 0+
12 0 ea 时 1 1 ln( ) 1 0 0 0e ef x x a x a f x x a
( )f x 单调增区间 1 e a
( )f x 单调减区间 10 e a
（Ⅱ）令 ( ) ( )ln( ) ( 1)(e 1)( 0)xhxxaxax x ：
ln( ) (e 1) 1xhx xax 1 ( 1)e 1 0xhx xx a
0h x 单调递增
11 ea 时 0 ln 1 0h x h a 0h x 单调递增
(0) ln 0 1h x h a a a
12 0 ea 时 10 ln 1 0 1 1 (1 )(e 1) 0ah a h a a
(01 )h x a 唯零点 0x x 易知 0x x h x 极值点：
0
min 0 0 0 0( ) ( ) ( )ln( ) ( 1)(e 1)xhx hx xa xa x 0
0 0ln( ) (e 1) 10xx a x
02
0 0 0 0 (1 ) 1(e 1)( )xh x x a x x a
令 2 (1 ) 1( (01 ))g x x a x x a ：
2
max
1 (1 )( ) ( ) 1 02 4
a ag x g
0 0h x 符题意 综： 1a
22 解析（Ⅰ）设点 P 坐标 点 M 坐标 1 8OM OP
1
1
8
πsin( ) 2 24
整理轨迹C极坐标方程 π2 2 sin 4
轨迹C 直角坐标方程 211 22 yx
（Ⅱ） 1l 参数方程代曲线C 直角坐标方程 2sin1cos 22 tt
整理 01cos22 tt 1cos2 2121 tttt 点 (01)N 曲线C 部
2 2
1 2 1 2 1 2+ 4 4cos 4NANBtt tt tt
2
1 2
1 2
+1 1 4cos 4 4 3 1 3
NA NB t t
NA NB NA NB t t
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解
3
1cos 2
3
3cos 2k 直线 1l 方程 12 xy
23 解析（Ⅰ）
232
211
123
)(
xx
x
xx
xf 1)(21 min xfx 时
题意： 恒成立 Rxmxf )( mxf min)( 1m
（Ⅱ）（Ⅰ）知： 1M 8abc ：
14441)1(1)1(1)1()1)(1)(1(
222
cbacbacba
取等条件： 2 cba
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高三理科数学（四）选择填空详细解析
1B解析 2 0RCA ax axa xR 042 aa 04RC A
1 xxBRCA B 1 4x x 选 B
2A解析 1 3i (1 3i)( +i) 1 3 (1 3)i1 (1 i)( +i) 2z i
1
1
3
2 2
iz 1 3(1 3)i 3i 1 3+ i 12 2 2 2 2
选 A
3 C解析回方程定点 x y 2y 代入回方程 25x a 25选 C
4 C解析 a b 互相垂直单位量 2 cos 3c ac ac
2
3cos a c 夹角 30° b c 夹角 60° 120°右图
2 2 2
2 3bc bc b bcc 7 选 C
5A解析 3 2 14S a a
1 2 3 2 14 a a a a a 2
1 1( 2 1) 4 a q q a na 等数列 1 0a 2 2 1 4q q
1q 3q 3q 3 2 14S a a 充分必条件选 A
6 B解析 03
4 32 1 log 5 1 log 4 1a c b
2
3 4
ln 4 ln 3ln 5ln 4 ln 5log 4 log 5 ln 3 ln 4 ln 3ln 4b c
2 2 2
2ln 3 ln 5 ln15 ln16ln 3ln 5 ln 42 2 2
2ln 4 ln 3ln 5 0ln 3ln 4b c cb 选 B
7A解析 exy x +1 exy x 函数 1
递减 1 递增 1x 时 0y 图
存 m R ( )y fx m 三零点 ( )y m fx
三交点图 11 ea 选 A
8C解析 π() 2sin(2 )4fx x 区间 1 2( )x x 仅 2 极值点 1 2
3
2 2
T Tx x
1 2
3π( ) ( ) 24fx f x 2 2 2
3π 3π π 3π π π( )2sin2 2sin 24 4 4 2 2 4fx x x
2 2
π2sin 2 ( )4x fx
1 2( )+ ( ) 2fx fx — 高三理科数学(四)第 11 页( 4 页) —
π() 2sin(2 )4fx x
1( ) 0f x 2( ) 0f x
212121 bbxaax 符合题意
1 2 1 1min
3 3 π4 4xx ba T
1 2 2 2max
5 5 π4 4xx ba T 选 C
9C解析1～10 中13579 阳数三数中少两阳数成等差数列：
三阳数：135357579159（4 种）
两阳数：123345567789147369（6 种）
3
10
10 10 1
120 12PC 选 C
10D解析设直线 AC 直线l斜率 1 2k k 直线l直线 BC 关直线 2x 称
2BCk k AC BC 1 1BCkk 1 2 1kk 设点 ( )Px y 1 22 2
y yk kx x
1 2 1kk 12 2
y y
x x
2 2 4( 0)xy y 选 D
11B解析图点 1C 作 AEHC1 交 11DA 点 H连接 AH截面 HAEC 1 截面
面 ABCD射影行四边形 AECL截面面 1 1BCC B 射影行四边形 JBEC1 设
EC x 1 01BC xx 易知 1S x 21S x 1 2 1SS x x 1 2x 时 1 2SS
值 1
4 选 B
12C解析①曲线C四条称轴 x 轴 y轴 y x y x
②令 y x 易知曲线C点 2 24 4
该点原点距离 1
2
22 232 2 2 2
2
x yx y xy
仅 x y 时取易知曲线C点原点距离
2 2
max
1
2d xy
③ 3 32 2 2 2 2x y xy xy 仅 x y 时取 max
1
8S xy
④② 00 圆心 1
2
半径作圆圆半径 π
4
四叶草面积 π
4 选 C
13 22π+ 3
解析三视图知该体圆柱三棱锥组合成体积— 高三理科数学(四)第 12 页( 4 页) —
2 1 1 2π1 2+ 2122π+3 2 3
14 12
解析点(11) D (11) 代入等式组 11 2k 1
2k
15
3 58 8
解 析 2 1n nS a 1 12 1 2n nS a n 两 式 相 减
12 2 2n n na a a n 12n na a na 首项 2公 2 等数列 2n
na
2 nn ta 2
2n
nt 令 2
2n n
nb 1 1 1
3 2 1 02 2 2n n n n n
n n nb b
nb
递减数列
集合 2 nn n t a 三元素需 3
4
t b
t b
解 3 58 8t
16 4 3
3 解析 设直线 AB 方程： 1x ty C联立 2 4 4 0y ty
1 2 4yy ① 3AF FB 1 23y y ② ① ② 解
1
2
2 3
2 3
3
y
y
1
2
2 3
2 3
3
y
y
1 2
4 3
3y y
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高三第二轮复测试试卷
理科数学(四)
试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回
．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2 0A ax axa x R 1B x y x ()RCAB
A． 04xx B． 14x x C． 1x x D． 40xx x
2．已知设i 虚数单位 1 3i
1 iz
3 i||2 2z
A．1 B． 2 C． 2 D． 1
2
3．已知样数
x 1 2 a 3 4
y 09 095 2 305 49
回方程 ˆ 2 3y x 实数 a 值
A． 2 B．3 C． 25 D．35
4．已知 a b 互相垂直单位量||2 3c a c ||b c
A． 3 B． 2 C． 3 7 D． 3 2
5．已知等数列 na nS 数列 na 前 n 项公 q 3q 3214S a a
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
6．设 03
342 log 4 log 5abc
A．b c a B． a c b C． a b c D．b a c
7．已知函数 e( )()
()
xx x af x
x x a
存 Rm ()y f x m 三零点实数 a 取
值范围
A． 11 ea B． 1
ea C． 11 ea D． 1a — 高三理科数学(四)第 2 页( 4 页) —
x
y
俯视图
左视图视图
8 ． 已 知 函 数 π( ) 2sin(2 )4fx x 区 间 1 2( )x x 仅 2 极 值 点 满 足
1 2
3π( ) ( ) 24fx f x 1 2x x 取值范围
A． 3π 5π4 4
（） B． 5ππ 4
() C． 3π 5π ]4 4
( D． 5ππ 4
（]
9．易·系辞河出图洛出书说河图洛书中华文化阴阳
术数源中河图排列结构六二七前三八左
四九右五十背中图白圈阳数黑点阴数 10
数中取 3 数三数中少两阳数成等差数列概率
A． 1
5 B． 1
20 C． 1
12 D． 3
40
10．已知面直角坐标系中圆 2 2 4Ox y ( 20) (20)A B 直线 2x 点C 圆O
动点（ A B 两点重合）点 B 作直线l 直线 BC 关直线 2x 称直线
AC 直线l 交点 P 轨迹方程
A
2
2 13
yx B
2 2
14 4
x y C
2
2 1( 0)3
yx y D
2 2
1( 0)4 4
x y y
11．已知棱长1正方体 1 1 1 1ABCD ABCD E BC 动点 1AC E 三点面截正方体
截面面 ABCD 射影面积 1S面 1 1BCC B 射影面积 2S 1 2SS 值
A 1
2 B 1
4 C 3
4 D 3
8
12．数学中许形状优美寓意美曲线例：四叶草曲线中种曲线C 方程
32 2 2 2x y xy 出列四结
①曲线C 四条称轴②曲线C 点原点距离 1
4
③设曲线C 第象限意点作两坐标轴垂线两坐标轴围成矩形
面积值 1
8
④四叶草面积 π
4
中正确结序号
A①② B①③ C①③④ D①②④
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．图示网格纸正方形边长1粗实线画出某体三视图该体
体积 ．
14．记等式组
0
1
1
2
y
y x
y kx
表示面区域 D
点(11) D 实数 k 取值范围 ． — 高三理科数学(四)第 3 页( 4 页) —
18题图
M
DAC
B
S
总利润（单位：万元）
0015
0013
001
00045
0005
00025
14012010080604020
频率
组距
15．已知数列 na nS 数列 na 前 n 项满足 2 2n nS a 集合 2 nn n t a
三元素实数t取值范围 ．
16．已知抛物线 2 4Cy x 焦点 F点 F 直线抛物线相交 1 1 2 2( )( )Axy Bx y 两点
3AF FB 1 2y y ．
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17（题满分 12 分）已知锐角 ABC 三角 ABC 边分 abc 面积 S
AD 角 A 角分线满足3 cos 3 cos 2 3b Aa Bbc ．
（Ⅰ）求cos A 值
（Ⅱ） ABC 面积 4 2
3
求角分线 AD 长值．
18 （题满分 12 分）图：三棱锥 S ABC 中 ABC 等边三角形 AB a
13
2
aSA SC D AC 中点 M SB 中点．
（Ⅰ）求证： ABC SBD面 面
（Ⅱ）三棱锥 S ABC 体积 33
8 a 二面角 S AC B
钝二面角求直线 AM 面 SBC 成角正弦值．
19 （题满分 12 分）国学生业压力日益严峻伴着政府政策引导社会观念
转变学生创业意识业方悄然发生转变学生国家提供税收担保贷款等
方面政策扶持选择加盟某品牌专营店创业该品牌总部积极响应政府号召
学生创业加盟店根销售利润实行抽奖奖励该品牌总部挑选某区 100 家专营
店统计五年创收利润数统计频率分布直方图：
（Ⅰ）频率分布直方图致认抽查专营店 5 年总利润 ~ ( 202)W N 似
100 家专营店 5 年总利润均值(组中
数该组区间中点值作代表）利正态
分布求 (736 1304)P W
（Ⅱ）（Ⅰ）条件该品牌总部
加盟专营店进行奖励制定抽奖方案：
①令 m 表示该专营店 5 年总利润超
百分点中 100Wm
[010)m
该品牌总部专营店提供 1 次抽奖机会
[10 20)m 该品牌总部专营店提供 2 次
抽奖机会 [2030)m 该品牌总部专营店提供 3 次抽奖机会 [3040)m 该品牌总— 高三理科数学(四)第 4 页( 4 页) —
部专营店提供 4 次抽奖机会 [4050)m 该品牌总部专营店提供 5 次抽奖机会 50m
该品牌总部专营店提供 6 次抽奖机会外规定 5 年总利润低 专营店该品牌
总部专营店提供抽奖机会②次抽奖中奖获奖金金额 10000 元次抽奖中奖概
率 1
3
．设该学生加盟专营店 A 参加次抽奖方案专营店 A 5 年总利润
1225W 万元记 X（单位：万元)表示专营店 A 获奖金总额求 X 分布列数学期．
附参考数公式： 202 142 2~ ( )W N ( ) 06827P W
( 2 2 ) 09545P W ( 3 3 ) 09973P W ．
20（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b ： 离心率 1
2
左右两焦点分
1 2F F 1B 顶点直线l 椭圆相交 M N 两点 1 2FM FN M 1B 重合时
时 8 3 3( )5 5N．
（Ⅰ）求椭圆标准方程
（Ⅱ）存实数 1 2FM FN 1[ 2]2 记 1 2MF F 面积 1S 1 2NFF 面积
2S求 1 2+SS 取值范围．
21 （题满分 12 分）已知函数 () ( )ln( )f x x a x a （ 0x 0a ）．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 单调区间
（Ⅱ）等式： ( ) ( 1)(e 1) 0xfx x 意 0x 恒成立求 a 取值范围．
（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中 坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系已知直线 1l 参
数方程
cos
1 sin
x t
y t
（ 0 π t 参数）直线 2l 方程 πsin( ) 2 24 M 曲
线 2l 动点点 P 线段OM 满足 8OM OP ．
（Ⅰ）求点 P 轨迹C 直角坐标方程
（Ⅱ）设点 (01)N直线 1l 曲线C 相交 A B 两点 1 1 4 3
3NA NB 求直线 1l 方程．
23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) 1 2fx x x ．
（Ⅰ）意 Rx 等式 ( )fx m 恒成立 m 取值范围
（Ⅱ）记满足条件 m 值 M 1 1 1a b c 8 abc M
求证：( 1)( 1)( 1) 1a b c ． — 高三理科数学(四)第 5 页( 4 页) —
理科数学(四)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C C A B A C C D B C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 22π+ 3 14 1(]2 15 3 5(]8 8 16 4 3
3
三解答题(题 6 题 70 分)
17 解析（Ⅰ） 3 cos 3 cos 2 3b A a B b c
正弦定理化3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBC
3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBAB
3sin cos 3sin cos 2sin 3sin cos 3sin cosBAABBABBA
6sin cos 2sinBAB
0 π sin 0BB 1cos 3A
（Ⅱ） 12 2cos sin33AA 1 cos 6cos 223
AA
14 2sin23ABCSbc A 4bc
ABC ABD ACDSSS 111sin sin sin2222 2
AAbcA cAD b AD
2 cos 86 8 6 2 62
336
Abc
AD bc b c bc
仅 2b c 时角分线 AD 长值 2 6
3
18解析（Ⅰ） ABC 等边三角形 D AC 中点 BD AC
SASCSDAC
BD SD D AC 面 SBD
AC 面 ABC 面 ABC 面 SBD
(Ⅱ)(1)知 SDB 二面角 S AC B 面角 SDB 钝角
S 作直线 BD 垂线垂足 E
AC 面 SBD AC SE
SE BD BD SE E SE 面 ABC — 高三理科数学(四)第 6 页( 4 页) —
M
DAC
B
Sz
y
x
E
2 31 3 3
3 12 8SABC ABCV S SE a SE a 3
2SE a
2 2 3SD SC DC a 2 2 3
2DE SD SE a
D 原点 DB DC 分 x y 轴 D 引行 ES 射线 z 轴建立空间直角坐标系
3 3 3(0 0) ( 00) (0 0) ( 0 )2 2 2 2 2
a a a a aABCS 3(00 )4
aM
3 3 3(0 ) ( 0) ( 30 )2 4 2 2 2
a a a a aAM BC BS a
设面 SBC 法量 ( )n xyz AM 面 SBC 成角
0
0
n BC
n BS
3 02 2
33 02
a ax y
aax z
取 2x 2 3(1 3 )3n
3 3 13sin cos 134 13
43
n AM an AM
an AM
直线 AM 面 SBC 成角正弦值 3 13
13
19解析(Ⅰ) 20 40 40 60 60 8000025 20 0005 20 001 202 2 2
80 100 100 120 120 1400015 20 0013 20 00045 20 8782 2 2
202 142
~ ( 202)W N (736 1304) ( 3 )PW P W
1( )(3 3)2 PW P W 084
(Ⅱ) 1225 878100 100 3040878
Wm
专营店 A获品牌总店提供 4 次抽奖机会
X 值010000200003000040000
4
0
4
2 16(0) 3 81PX C
3
1
4
1 2 32( 10000) 3 3 81PX C
2 2
2
4
1 2 24( 20000) 3 3 81PX C
3
3
4
1 2 8( 30000) 3 3 81PX C
— 高三理科数学(四)第 7 页( 4 页) —
4
4
4
1 1( 40000) 3 81PX C
X 分布列：
X 0 10000 20000 30000 40000
P 16
81 32
81 24
81 8
81 1
81
数学期 16 32 24 8 1 400000 10000 20000 30000 +4000081 81 81 81 81 3EX
20 解析（Ⅰ）令 )0()()0( 121 bBocFcF 题意：
①
cc
bKKNFBFNFBF
5
8
5
33
211211
② 2
1
a
ce 联立①②： 32 ba
椭圆标准方程： 134
22
yx
（Ⅱ）延长 1MF 交椭圆 1N 1 2FM FN 椭圆称性： 21 NFFN 2S 等
1 1 2NFF 面积 1 2+SS 等 1 2N MF 面积设直线 1MN 直线方程： 1 tyx
令 )()( 2211 yxNyxM： 096)43(
1
134 22
22
tyyt
tyx
yx
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2
6 9 12 1 ( ) 43 4 3 4 3 4
t tyy yy yy yy yytt t
：
2
1 2 1 2 1 2 2
1 12 1+ 2 3 4
tSS FFy y t
2
1 2 2 2
1 2 1 2
21 2 2 2
9
1 13 4 2 3 16(1 ) 43 4
yy y tFM FNy y tyy y tt
21 42 02 5t
令 )5
531(12 t
：
2
1 2 2 2
12 1 12 12+ 13 4 3 +1 3 +
tSS t
— 高三理科数学(四)第 8 页( 4 页) —
1 2 3 5[1 ]1 53
单调递减 1 2
9 5[ 3]8SS
21 解析（Ⅰ）
1 11 ln( )1ln10e ea f x x a 时 ( )f x 单调增区间 0+
12 0 ea 时 1 1 ln( ) 1 0 0 0e ef x x a x a f x x a
( )f x 单调增区间 1 e a
( )f x 单调减区间 10 e a
（Ⅱ）令 ( ) ( )ln( ) ( 1)(e 1)( 0)xhxxaxax x ：
ln( ) (e 1) 1xhx xax 1 ( 1)e 1 0xhx xx a
0h x 单调递增
11 ea 时 0 ln 1 0h x h a 0h x 单调递增
(0) ln 0 1h x h a a a
12 0 ea 时 10 ln 1 0 1 1 (1 )(e 1) 0ah a h a a
(01 )h x a 唯零点 0x x 易知 0x x h x 极值点：
0
min 0 0 0 0( ) ( ) ( )ln( ) ( 1)(e 1)xhx hx xa xa x 0
0 0ln( ) (e 1) 10xx a x
02
0 0 0 0 (1 ) 1(e 1)( )xh x x a x x a
令 2 (1 ) 1( (01 ))g x x a x x a ：
2
max
1 (1 )( ) ( ) 1 02 4
a ag x g
0 0h x 符题意 综： 1a
22 解析（Ⅰ）设点 P 坐标 点 M 坐标 1 8OM OP
1
1
8
πsin( ) 2 24
整理轨迹C极坐标方程 π2 2 sin 4
轨迹C 直角坐标方程 211 22 yx
（Ⅱ） 1l 参数方程代曲线C 直角坐标方程 2sin1cos 22 tt
整理 01cos22 tt 1cos2 2121 tttt 点 (01)N 曲线C 部
2 2
1 2 1 2 1 2+ 4 4cos 4NANBtt tt tt
2
1 2
1 2
+1 1 4cos 4 4 3 1 3
NA NB t t
NA NB NA NB t t
— 高三理科数学(四)第 9 页( 4 页) —
解
3
1cos 2
3
3cos 2k 直线 1l 方程 12 xy
23 解析（Ⅰ）
232
211
123
)(
xx
x
xx
xf 1)(21 min xfx 时
题意： 恒成立 Rxmxf )( mxf min)( 1m
（Ⅱ）（Ⅰ）知： 1M 8abc ：
14441)1(1)1(1)1()1)(1)(1(
222
cbacbacba
取等条件： 2 cba
— 高三理科数学(四)第 10 页( 4 页) —
高三理科数学（四）选择填空详细解析
1B解析 2 0RCA ax axa xR 042 aa 04RC A
1 xxBRCA B 1 4x x 选 B
2A解析 1 3i (1 3i)( +i) 1 3 (1 3)i1 (1 i)( +i) 2z i
1
1
3
2 2
iz 1 3(1 3)i 3i 1 3+ i 12 2 2 2 2
选 A
3 C解析回方程定点 x y 2y 代入回方程 25x a 25选 C
4 C解析 a b 互相垂直单位量 2 cos 3c ac ac
2
3cos a c 夹角 30° b c 夹角 60° 120°右图
2 2 2
2 3bc bc b bcc 7 选 C
5A解析 3 2 14S a a
1 2 3 2 14 a a a a a 2
1 1( 2 1) 4 a q q a na 等数列 1 0a 2 2 1 4q q
1q 3q 3q 3 2 14S a a 充分必条件选 A
6 B解析 03
4 32 1 log 5 1 log 4 1a c b
2
3 4
ln 4 ln 3ln 5ln 4 ln 5log 4 log 5 ln 3 ln 4 ln 3ln 4b c
2 2 2
2ln 3 ln 5 ln15 ln16ln 3ln 5 ln 42 2 2
2ln 4 ln 3ln 5 0ln 3ln 4b c cb 选 B
7A解析 exy x +1 exy x 函数 1
递减 1 递增 1x 时 0y 图
存 m R ( )y fx m 三零点 ( )y m fx
三交点图 11 ea 选 A
8C解析 π() 2sin(2 )4fx x 区间 1 2( )x x 仅 2 极值点 1 2
3
2 2
T Tx x
1 2
3π( ) ( ) 24fx f x 2 2 2
3π 3π π 3π π π( )2sin2 2sin 24 4 4 2 2 4fx x x
2 2
π2sin 2 ( )4x fx
1 2( )+ ( ) 2fx fx — 高三理科数学(四)第 11 页( 4 页) —
π() 2sin(2 )4fx x
1( ) 0f x 2( ) 0f x
212121 bbxaax 符合题意
1 2 1 1min
3 3 π4 4xx ba T
1 2 2 2max
5 5 π4 4xx ba T 选 C
9C解析1～10 中13579 阳数三数中少两阳数成等差数列：
三阳数：135357579159（4 种）
两阳数：123345567789147369（6 种）
3
10
10 10 1
120 12PC 选 C
10D解析设直线 AC 直线l斜率 1 2k k 直线l直线 BC 关直线 2x 称
2BCk k AC BC 1 1BCkk 1 2 1kk 设点 ( )Px y 1 22 2
y yk kx x
1 2 1kk 12 2
y y
x x
2 2 4( 0)xy y 选 D
11B解析图点 1C 作 AEHC1 交 11DA 点 H连接 AH截面 HAEC 1 截面
面 ABCD射影行四边形 AECL截面面 1 1BCC B 射影行四边形 JBEC1 设
EC x 1 01BC xx 易知 1S x 21S x 1 2 1SS x x 1 2x 时 1 2SS
值 1
4 选 B
12C解析①曲线C四条称轴 x 轴 y轴 y x y x
②令 y x 易知曲线C点 2 24 4
该点原点距离 1
2
22 232 2 2 2
2
x yx y xy
仅 x y 时取易知曲线C点原点距离
2 2
max
1
2d xy
③ 3 32 2 2 2 2x y xy xy 仅 x y 时取 max
1
8S xy
④② 00 圆心 1
2
半径作圆圆半径 π
4
四叶草面积 π
4 选 C
13 22π+ 3
解析三视图知该体圆柱三棱锥组合成体积— 高三理科数学(四)第 12 页( 4 页) —
2 1 1 2π1 2+ 2122π+3 2 3
14 12
解析点(11) D (11) 代入等式组 11 2k 1
2k
15
3 58 8
解 析 2 1n nS a 1 12 1 2n nS a n 两 式 相 减
12 2 2n n na a a n 12n na a na 首项 2公 2 等数列 2n
na
2 nn ta 2
2n
nt 令 2
2n n
nb 1 1 1
3 2 1 02 2 2n n n n n
n n nb b
nb
递减数列
集合 2 nn n t a 三元素需 3
4
t b
t b
解 3 58 8t
16 4 3
3 解析 设直线 AB 方程： 1x ty C联立 2 4 4 0y ty
1 2 4yy ① 3AF FB 1 23y y ② ① ② 解
1
2
2 3
2 3
3
y
y
1
2
2 3
2 3
3
y
y
1 2
4 3
3y y
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