专题十 概率统计
第三十六讲二项分布应正态分布
选择题
1．（2015 湖北）设 2
11()XN 2
22()YN两正态分布密度曲线图
示．列结中正确
A． 21()()PYPY≥ ≥ ≥
B． 21()()PXPX≤ ≤ ≤
C．意正数t ()()P X t P Y t≤ ≥ ≤
D．意正数t ()()P X t P Y t≥ ≥ ≥
2．（ 2015 山东）已知某批零件长度误差（单位：毫米）服正态分布 2(03 )N中
机取件长度误差落区间(36)概率
（附：机变量 服正态分布 2()N ( ) 6826P
( 2 2 ) 9544P ）
A．456 B．1359 C．2718 D．3174
3．（ 2014 新课标 2）某区空气质量监测资料表明天空气质量优良概率 075
连续两天优良概率 06已知某天空气质量优良天空气质量
优良概率
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45
4（2011 湖北）已知机变量 服正态分布 22 N 804 P
20 P
A． 60 B． 40 C． 30 D． 20
二填空题
5．（ 2017 新课标Ⅱ）批产品二等品率002 批产品中次机取件放回
抽取100次 表示抽二等品件数 DX ．
6．（ 2016 四川）时抛掷两枚质均匀硬币少枚硬币正面时说次
试验成功 2 次试验中成功次数 X 均值 ．
7．（2015 广东）已知机变量 服二项分布 np 30 20D
p ．
8．（2012 新课标）某部件三电子元件图方式连接成元件 1 元件 2 正常工
作元件 3 正常工作部件正常工作设三电子元件寿命（单位：时）
均服正态分布 )501000( 2N元件否正常工作相互独立该部件
寿命超 1000 时概率 ．
三解答题
9．（ 2017 新课标Ⅰ）监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线
机抽取 16 零件测量尺寸(单位：cm)．根长期生产验认条
生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布 2()N ．
(1)假设生产状态正常记 X 表示天抽取 16 零件中尺寸 ( 3 3 )
外零件数求 ( 1)PX≥ X 数学期
(2)天抽检零件中果出现尺寸 外零件认条生
产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
(ⅰ)试说明述监控生产程方法合理性
(ⅱ)面检验员天抽取 16 零件尺寸：
9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04
10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95
计算
16
1
1 99716 i
i
xx
16 16
2 2 2
11
11( ) ( 16 )16 16ii
ii
s x x x x
1元件
2元件
3元件
0212 中 ix 抽取第i 零件尺寸 12…16．
样均数 x 作 估计值 ˆ 样标准差 s 作 估计值 ˆ 利
估计值判断否需天生产程进行检查？剔 外数
剩数估计 (精确 0．01)．
附：机变量 Z 服正态分布 2()N ( 3 3 )PZ 0．997 4
1609974 09592 0008 009 ．
10．（2016 新课标Ⅱ）某险种基保费 a（单位：元）继续购买该险种投保称续
保续保年度保费年度出险次数关联：
年度出险次数 0 1 2 3 4 5≥
保 费 085a a 125a 15a 175a 2a
设该险种续保年出险次数相应概率：
年出险次数 0 1 2 3 4 5≥
概 率 030 015 020 020 010 005
（Ⅰ）求续保年度保费高基保费概率
（Ⅱ）续保年度保费高基保费求保费基保费高出 60 概率
（Ⅲ）求续保年度均保费基保费值．
11．（ 2015 湖南）某商场举行奖促销活动顾客购买定金额商品抽奖次抽奖
装 4 红球6 白球甲箱装 5 红球5 白球乙箱中机摸出
1 球摸出 2 球中红球获等奖 1 红球获二等奖
没红球获奖．
（1）求顾客抽奖 1 次获奖概率
（2）某顾客 3 次抽奖机会记该顾客 3 次抽奖中获等奖次数 X求
分布列数学期．
12．（2015 湖北）某厂鲜牛奶某台设备生产 AB两种奶制品．生产 1 吨 A 产品需鲜牛
奶 2 吨设备 1 时获利 1000 元生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 15 吨设备
15 时获利 1200 元．求天 B 产品产量超 A 产品产量 2 倍设备天
生产 两种产品时间超 12 时 假定天获取鲜牛奶数量 W（单位：
吨）机变量分布列
W 12 15 18
P 03 05 02
该厂天根获取鲜牛奶数量安排生产获利天获利 Z（单
位：元）机变量．
（Ⅰ）求 Z 分布列均值
（Ⅱ） 天获取鲜牛奶数量相互独立求 3 天中少 1 天获利超 10000
元概率．
13．（2015 新课标Ⅱ）某公司解户产品满意度 AB 两区分机调查
20 户户产品满意度评分：
区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根两组数完成两区户满意度评分茎叶图通茎叶图较两区满
意度评分均值分散程度（求计算出具体值出结）
（Ⅱ）根户满意度评分户满意度低高分三等级：
满意度评分 低 70 分 70 分 89 分 低 90 分
满意度等级 满意 满意 非常满意
记事件 C： A 区户满意度等级高 B 区户满意度等级假设两区
户评价结果相互独立根数事件发生频率作相应事件发生
概率求 C 概率．
14．（ 2014 山东）甲乙两支排球队进行赛约定先胜 3 局者获赛胜利赛
结束．第五局甲队获胜概率 1
2
外余局赛甲队获胜概率 2
3
．假设
局赛结果互相独立．
（1）分求甲队 303132 胜利概率
（2）赛结果 30 31胜利方 3 分方 0 分赛结果 32胜
利方 2 分方 1 分求乙队分 X 分布列数学期．
15．（ 2014 陕西）块耕种植种作物季种植成 1000 元作物市场价
格块产量具机性互影响具体情况表：
（Ⅰ）设 X 表示块种植 1 季作物利润求 X 分布列
（Ⅱ）块连续 3 季种植作物求 3 季中少 2 季利润少 2000
元概率．
16．（ 2014 广东）机观测生产某种零件某工厂 25 名工日加工零件数（单位：件）
获数：30424136444037372545294331364934
334338423234463936根述数样频率分布表：
分组 频数 频率
[2530 ] 3 012
(3035 ] 5 020
(3540 ] 8 032
(4045 ] 1n 1f
(4550 ] 2n 2f
（1）确定样频率分布表中 1 2 1n n f 2f 值
（2）根述频率分布表画出样频率分布直方图
（3）根样频率分布直方图求该厂取 4 少 1 日加工零件数落
区间（3035］概率．
17．（2011 纲）根统计资料某车购买甲种保险概率 05购买乙种保险
购买甲种保险概率 03设车购买保险相互独立
(Ⅰ)求该 1 位车少购买甲乙两种保险中 l 种概率
(Ⅱ)X 表示该 l00 位车中甲乙两种保险购买车数．求 期．
专题十 概率统计
第三十六讲二项分布应正态分布
答案部分
1．C解析正态分布密度曲线性质知 2
11()XN 2
22()YN 密度曲
线分关直线 1x 2x 称结合题中图象 12<
21()()PYPY<≥ ≥ A 错误． 2
11()XN 密度曲线较
密度曲线瘦高 12< 21()()PXPX>≤ ≤ B 错误．意正
数t ()()P X t P Y t≤ ≥ ≤ ()()P X t P Y t≥ ≥ ≥ C 正确D 错误．
2．B解析 1(3 6) (9544 6826) 13592P ．
3．A解析根条件概率公式 ()( | ) ()
P ABPBA PA 求概率 06 08075 ．
4．C解析图正态分布密度函数示意图示
函数关直线 2x 称 502 P
4220 PP
2420 PPP
305080
选 C
5．196解析题意抽二等品件数符合二项分布 ~ 100002XB
二项分布期公式 1 100 002 098 196DX np p
6．3
2
解析时抛掷两枚质均匀硬币结果（正正）（正反）（反正）（反
反） 1 次试验中成功次数 取值012
中 1 1 1( 0) ( 1) ( 2) 4 2 4PPP
1 次试验中成功概率 1 1 3( 1) 4 2 4P ≥
2 次试验中成功次数 X 概率 1
2
3 1 3( 1) 4 4 8PXC
x
y
O 4 2
239( 2) ( )4 16PX 3 9 3128 16 2EX ．
解法 2 题意知实验成功概率 3
4p 3(2 )4XB 33( ) 2 42EX ．
7． 1
3
解析 30
(1 ) 20
np
np p
1
3p ．
8． 3
8
解析 三电子元件寿命均服正态分布 2(100050 )N ：三电子元件
寿命超 1000 时概率 1
2p 超 1000 时时元件 1 元件 2 正常工作
概 率 2
1
31 (1 ) 4Pp 该部件寿命超 1000 时 概 率
21
3
8p p p ．
9．解析（1）抽取零件尺寸( 3 3 ) 概率 0．9974零
件尺寸 外概率 0．0026 ~ (1600026)XB ．
( 1) 1 ( 0) 1 09974 00408PXPX ．
X 数学期 16 00026 00416EX ．
（2）（ i）果生产状态正常零件尺寸 外概率 0．0026
天抽取 16 零件中出现尺寸 外零件概率
0．0408发生概率．旦发生种情况理认条生产线
天生产程出现异常情况需天生产程进行检查见述监控生产
程方法合理．
（ii） 997x 0212s 估计值 ˆ 997 估计值
ˆ 0212 样数出零件尺寸 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 3 ) 外需
天生产程进行检查．
剔 外数 9．22剩数均数
1 (16 997 922) 100215
估计值 10．02．
16
2 2 2
1
16 0212 16 997 1591134i
i
x
剔 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 3 ) 外数 9．22剩数样方差
221 (1591134 922 15 1002 ) 000815
估计值 0008 009 ．
10．解析（Ⅰ）设续保年度保费高基保费事件 A
( ) 1 ( ) 1 (030 015) 055PAPA ．
（Ⅱ）设续保保费基保费高出 60 事件 B
( ) 010 005 3() ( ) 055 11
P ABPBA PA
．
（Ⅲ）解：设年度交保费机变量 X．
X 085a a 125a 15a 175a 2a
P 030 015 020 020 010 005
均保费
085 030 015 125 020 15 020 175 010 2 005EX a a a a a
0255 015 025 03 0175 01 123a a a a a a a
∴均保费基保费值123 ．
11．解析（Ⅰ）记事件 1A ｛甲箱中摸出 1 球红球｝
2A ｛乙箱中摸出 1 球红球｝ 1B ｛顾客抽奖 1 次获等奖｝ 2B ｛顾客抽
奖 1 次获二等奖｝C ｛顾客抽奖 1 次获奖｝．
题意 相互独立 12AA 12AA 互斥 互斥
12AA + C + ．
P() 4
10 2
5
( 2A) 5
10 1
2
( 1B) ( 12AA ) ( 1A)( 2A) 1
5
( 2B) ( + ) ()+ ()
() (1())+(1()) () (1)+(1)
求概率 (C) ( + ) ()+ () + 7
10
（Ⅱ）顾客抽奖 3 次独立重复试验（I）知顾客抽奖 1 次获等奖概率 1
5
1(3 )5XB ． P(X 0) 0 0 3
3
14()()55C 64
125
( 1) 1 1 2
3
14()()55C 48
125
( 2) 2 2 1
3
14()()55C 12
125
P( 3) 3 3 0
3
14()()55C 1
125 ．
分布列
0 1 2 3
数学期 E()3 1
5 3
5
．
12．解析（Ⅰ）设天 AB两种产品生产数量分 xy相应获利 z
2 15
15 12 2 0
0 0
x y W
xy
xy
xy
（1）目标函数 1000 1200z x y．
12W 时（1）表示面区域图 1三顶点分 (0 0) (24 48) (6 0)ABC．
1000 1200z x y变形 5
6 1200
zyx
24 48xy时直线l ： 5
6 1200
zyx y 轴截距
获利 max 24 1000 48 1200 8160Zz ．
15W 时（1）表示面区域图 2三顶点分 (0 0) (3 6) (75 0)ABC ．
1000 1200z x y变形 5
6 1200
zyx
3 6xy时直线l ： 5
6 1200
zyx y 轴截距
第 10 题解答图 1 第 10 题解答图 2 第 10 题解答图 3
y
xA(00)D(90) 12
8
O
C(64)
12
y
xA(00)C(60) 12
8
O
B(2448)
y
xA(00)C(750) 12
8
O
B(36)
10
B(36)
获利 max 3 1000 6 1200 10200Zz ．
18W 时（1）表示面区域图 3
四顶点分 (0 0) (3 6) (6 4) (9 0)ABCD．
1000 1200z x y变形 5
6 1200
zyx
6 4xy时直线l ： 5
6 1200
zyx y 轴截距
获利 max 6 1000 4 1200 10800Zz ．
获利 Z 分布列
Z 8160 10200 10800
P 03 05 02
( ) 8160 03 10200 05 10800 02 9708EZ ．
（Ⅱ）（Ⅰ）知 天获利超 10000 元概率 1 ( 10000) 05 02 07p P Z
二项分布3 天中少 1 天获利超 10000 元概率
33
11 (1 ) 1 03 0973pp ．
13．解析（Ⅰ）两区户满意度评分茎叶图
通茎叶图出A 区户满意度评分均值高 B 区户满意度评分
均值A 区户满意度评分较集中B 区户满意度评分较分散．
（Ⅱ）记 1AC 表示事件：A 区户满意度等级满意非常满意
2AC 表示事件：A 区户满意度等级非常满意
1BC 表示事件：B 区户满意度等级满意
2BC 表示事件：B 区户满意度等级满意．
1AC 1BC 独立 2AC 独立 互斥 1 1 2 2BABACCCCC ．
1 1 2 2()()BABAPCPCCCC 1 1 2 2()()BABAPCCPCC
1 1 2 2()()()()BABAPCPCPCPC ．
数 1AC 2AC 1BC 2BC 发生概率分 16
20
4
20
10
20
8
20
．
1()APC 16 20
2( )APC 1( )BPC 2()BPC 8 20
10 16 8 4( ) + 04820 20 20 20PC ．
14．解析：（1）记甲队 3：0 胜利事件 1A甲队 3：1 胜利事件 2A甲
队 3：2 胜利事件 3A题意局赛结果相互独立
3
1
28()()3 27PA
22
23
2 2 2 8( ) ( ) (1 )3 3 3 27PAC
1 2 2
34
2 2 1 4( ) ( ) (1 )3 3 2 27PAC
甲队 3：03132 胜利概率分 8
27
8
27
4
27
（2）设乙队 32 胜利事件 4A题意局赛结果相互独立
1 2 2
44
2 2 1 4( ) (1 ) ( ) (1 )3 3 2 27PAC
题意机变量 X 取值 0123根事件互斥性
1 2 1 2( 0) ( ) ( ) ( )PXPAAPAPA 16
27
3
4( 1) ( ) 27PXPA
4
4( 2) ( ) 27PXPA
( 3)PX1 ( 0)PX ( 1)PX ( 2)PX 3
27
X 分布列
X 0 1 2 3
P 16
27 4
27 4
27 3
27
16 4 4 30 1 2 327 27 27 27EX 7
9 ．
15．解析（Ⅰ）设 A 表示事件作物产量 300kgB 表示事件作物市场价格 6 元
／kg．题设知 ( ) 05PA ( ) 04PB ．
利润产量市场价格 成 X 取值
500 10 1000 4000 500 6 1000 2000
300 10 1000 2000 300 6 1000 800
( 4000) ( ) ( ) (1 05)(1 04) 03PXPAPB
( 2000) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 05) 04 05 (1 04) 05PXPAPBPAPB
( 800) ( ) ( ) 05 04 02PXPAPB
分布列
X 4000 2000 800
P 03 05 02
（Ⅱ）设 iC 表示事件第i 季利润少 2000 元 ( 123)i
题意知 1 2 3CCC 相互独立（1）知
( ) ( 4000) ( 2000) 03 05 08iPCPXPX
3 季利润均少 2000 元概率
3
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 08 0512PCCCPCPCPC
3 季中 2 季利润少 2000 元概率
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) 3 08 02 0384PCCCPCCCPCCC
3 季中少 2 季利润少 2000 元概率
0512 0384 0896
16．解析：（1） 127 2nn 12028 008ff
（2）样频率分布直方图
（3）根样频率分布直方图日加工零件数落区间（3035］概率 0．2
设取 4 中日加工零件数落区间（3035］数 ~ (4 02)B
4( 1) 1 ( 0) 1 (1 02) 1 04096 05904PP
4 中少 1 日加工零件数落区间（3050］概率约 0．5904．
17．解析记 A 表示事件 该 1 位车购买甲种保险
B 表示事件 该 1 位车购买乙种保险购买甲种保险
C 表示事件 该 1 位车少购买甲乙两种保险中 l 种
D 表示事件 该 1 位车甲乙两种保险购买
（Ⅰ） ( ) 05PA ( ) 03PB CAB
() ( ) () ()08PCPABPAPB
（Ⅱ） DC ( ) 1 ( ) 1 08 02PDPC
(10002)XB X 服二项分布
期 100 02 20EX ．
日加工零件数
频率
组距
0016
0024
004
0056
0064
25 30 35 40 45 50 0
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