专题六数列
第十七讲 递推数列数列求
2019 年
1 ( 2019 天 津 理 19 )设 na 等 差 数 列 nb 等数列 已知
1 1 2 2 3 34 6 2 2 2 4a b b a b a
(Ⅰ)求 na nb 通项公式
(Ⅱ)设数列 nc 满足
1
1
1 2 2
2
1
kk
n k
k
c nc
bn
中 *k N
(i)求数列 221nnac 通项公式
(ii)求 2
*
1
n
ii
i
a c n
N
20102018 年
选择题
1.(2013 纲)已知数列 na 满足 12
43 0 3nna a a 前 10 项等
A. 106(1 3 ) B. 101 (1 3 )9 C. 103(1 3 ) D. 103(1 3 )
2.(2012 海)设
25sin1 n
nan nn aaaS 21 10021 SSS 中正数
数
A.25 B.50 C.75 D.100
二填空题
3.(2018 全国卷Ⅰ)记 nS 数列{}na 前 n 项 21nnSa 6S _____.
4.( 2017 新课标Ⅱ)等差数列{}na 前 n 项 nS 3 3a 4 10S
1
1n
k kS
.
5.( 2015 新课标Ⅱ)设 nS 数列{}na 前 n 项 1 1 11 n n na a S S __.
6.( 2015 江苏)数列 }{ na 满足 11 a 11 naa nn (*Nn )数列 }1{
na
前 10
项 .
7.(2013 新课标Ⅰ)数列{ na }前 n 项 nS = 21
33na 数列{}通项公式
______
8.( 2013 湖南)设 nS 数列 na 前 n 项 1( 1) 2
n
nnnS a n N
(1) 3a _____
(2) 1 2 100SSS ___________.
9.( 2012 新课标)数列 }{ na 满足 12)1(1 naa n
n
n 前 60 项 .
10.(2012 福建)数列 na 通项公式 cos 12n
nan 前 n 项 nS
2012S ___________.
三解答题
11.(2018 浙江)已知等数列 1{}a 公 1q 34528a a a 4 2a 3a 5a
等差中项.数列{}nb 满足 1 1b 数列 1{( ) }n n nb b a 前 n 项 22nn .
(1)求 q 值
(2)求数列 通项公式.
12.(2018 天津)设{}na 等数列公 0前 n 项 nS()n N{}nb 等差
数列.已知 1 1a 322aa 4 3 5a b b 5 4 62a b b .
(1)求 通项公式
(2)设数列{}nS 前 n 项 nT()n N
(i)求 nT
(ii)证明
2
2
1
()2 2( 1)( 2) 2
nn
k k k
k
T b b
k k n
()n N.
13.( 2017 江苏)定正整数 k 数列{}na 满足
1 1 1 1 2nknk nn nk nk na a a a a a ka
意正整数 n ()nk 总成立称数列 ()Pk 数列.
(1)证明:等差数列{}na (3)P 数列
(2)数列 (2)P 数列 数列证明: 等差数列.
14.( 2016 年全国 II) nS 等差数列 na 前 n 项 1 1a 7 28S .记 lgnnba
中 x 表示超 x 整数 09 0 lg99 1 .
(Ⅰ)求 1b 11b 101b
(Ⅱ)求数列 nb 前1000 项.
15.( 2015 新课标Ⅰ) nS 数列{}na 前 n 项已知 0na 2 2 4 3n n na a S
(Ⅰ)求 通项公式:
(Ⅱ)设
1
1
n
nn
b aa
求数列{}nb 前 n 项.
16.( 2015 广东)数列{}na 满足: 12 1
2242n n
na a na
*Nn .
(1)求 3a 值
(2)求数列 前 n 项 nT
(3)令 11ba 1 1 1 1(1 )23
n
nn
Tbann
( 2)n≥
证明:数列{}nb 前 n 项 nS 满足 2 2lnnSn .
17.( 2014 广东)设项均正数数列 na 前 n 项 nS 满足
NnnnSnnS nn 033 222 .
(Ⅰ)求 1a 值
(Ⅱ)求数列 通项公式
(Ⅲ)证明:切正整数 3
1
1
1
1
1
1
1
2211
nn aaaaaa
18.( 2013 湖南)设 nS 数列{ na }前项已知 01 a 2 nn SSaa 11 n N
(Ⅰ)求 1a 2a 求数列{ }通项公式
(Ⅱ)求数列{ nna }前 n 项.
19.( 2011 广东)设 0b 数列 na 满足 1ab 1
1
( 2)22
n
n
n
nbaanan
.
(1)求数列 通项公式
(2)证明:切正整数 n
1
1 12
n
n n
ba
专题六数列
第十七讲 递推数列数列求
答案部分
2019 年
1解析 (Ⅰ)设等差数列 na 公差 d 等数列 nb 公 q
题意 2
6 6 2 6 12 4
qd
qd
解 32
d
q
14( 1)331 62 32nn
nna n n b
na 通项公式 3 1 nna n n b N 通项公式 32n
nbn N
(Ⅱ)( i) 2 2 21 1321321941nnn
n n n
na c a b
数列 221nnac 通项公式 221 9 4 1nn
na c n N
(ii) 2 2 2 2
1 1 1 1
22 11
n n n n
iii i i i i i
i i i i
ca c a a c a a
1
2 2 1
2 4 3 9 4 12
nn n
ni
i
2 1 1 4 1 4
3 2 5 2 9 14
n
nn n
2 1 1 *27 2 5 2 12nnnn N
20102018 年
1.解析∵ 1
1
3nnaa ∴ na 等数列
2
4
3a ∴ 1 4a ∴
10
10
10
141 3
3 1 311 3
S
选 C.
2.D 解析数列通项知1 25n剟 nN 时 0na … 26 50n剟
时 0na „ 1 26 0aa 2 27 0aa∴ 1 2 50SSS
正数51 100n剟 nN 理 51 52 100SSS 正数正数
数 100
3. 63 解析通解 21nnSa 1n 时 1121aa解 1 1a
2n 时 1 2 221 a a a 解 2 2a
3n 时 1 2 3 321 a a a a 解 3 4a
4n 时 1 2 3 4 421 a a a a a 解 4 8a
5n 时 1 2 3 4 5 521 a a a a a a 解 5 16a
6n 时 1 2 3 4 5 6 621 a a a a a a a 解 6 32a .
6 1 2 4 8 16 32 63 S.
优解 时 解
2≥n 时 112 1 2 1 n n n n na S S a a 12 nnaa
数列{}na 1 首项2 公等数列 12 n
na
6
6
1 (1 2 ) 6312
S.
4. 2
1
n
n
解析设等差数列首项 1a 公差 d
1
1
23
434 102
ad
ad
解 1 1a 1d
∴ 1
( 1) ( 1)
22n
n n n nS na d 1 2 1 12( )( 1) 1nS k k k k
1
1 1 1 1 1 1 1 22[(1 ) ( ) ( )] 2(1 )2 2 3 1 1 1
n
k k
n
S n n n n
.
5. 1
n 解析 1n 时 11 1Sa
1
1 1S
1 1 1n n n n na S S S S
1
111
nnSS
1
111
nnSS
1{}
nS
1 首项 公差等差数列
1 ( 1) ( 1)( 1)
n
nnS 1
nS n .
6. 20
11
解析题意: 1 1 2 2 1 1()()()n n n n na a a a a a a a
( 1)1 2 1 2
nnnn
10
1 1 1 1 2 202( ) 2(1 ) 1 1 1 11n
n
nSSa n n n n
.
7.解析 n 1 时 1a 1S 1
21
33a 解 1a 1
≥2 时 na 1nnSS 21
33na -( 1
21
33na ) 1
22
33nnaa 12 na
∴{}首项 1公-2 等数列∴ 1( 2)n
8.( 1) 1
16 ( 2) 100
11( 1)32
解析(1)∵ 1( 1) 2
n
nnnSa .
3n 时a1+a2+a3=-a3-1
8 ①
4n 时a1+a2+a3+a4=a4- 1
16∴a1+a2+a3=- 1
16 ②
①②知 a3=- 1
16.
(2) 1n 时 11
11
1( 1) ( )2
nn
nnSa
∴ 1
1( 1) ( 1) ( )2
n n n
n n na a a
n 奇数时 1
1
11()22
n
nnaa
n 偶数时 1
1()2
n
na .
11()2
1()2
n
n
n
n
a
n
奇数
偶数
1
1 2
0
n
n
nS
n
奇数
偶数
∴ 1 2 100 2 4 6 100
1 1 1 1()2 2 2 2SSS
100
100 100
11(1 ) 1 1 1 142 (1 ) ( 1)1 3 2 3 21 4
.
9.1830解析证明:
1 41 42 43 44 43 42 42 4 16 16n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b
1 1 2 3 410b a a a a 15
15 1410 15 16 18302S .
10.3018解析 cos 2
n 周期 4 cos 12n
nan nN
∴ 1 2 3 4 6a a a a 5 6 7 8 6a a a a …
∴ 2012 503 6 3018S .
11.解析(1) 4 2a 3a 5a 等差中项 3 5 424a a a
3 4 5 43 4 28a a a a
解 4 8a .
3520aa 18( ) 20q q
1q 2q .
(2)设 1()n n n nc b b a 数列{}nc 前 n 项 nS.
1
1
1
2n
nn
Snc S S n
≥ 解 41ncn.
(1)知 12n
na
1
1
1(4 1) ( )2
n
nnb b n
2
1
1(4 5) ( )2
n
nnb b n
2n≥
1 1 1 2 3 2 2 1()()()()n n n n nb b b b b b b b b b
231 1 1(4 5)() (4 9)() 7 32 2 2
nnnn .
设 221 1 137 11() (4 5)()2 2 2
n
nTn
2 3 11 1 1 1 13 7() 11() (4 5)()2 2 2 2 2
n
nTn
2 2 11 1 1 1 134 4() 4() (4 5)()2 2 2 2 2
nn
nTn
2114 (4 3) ( )2
n
nTn 2n≥
1 1b 2115 (4 3) ( )2
n
nbn .
12.解析(1)设等数列{}na 公 q. 1 3 21 2a a a 2 20qq .
0q 2q 12n
na .
设等差数列{}nb 公差 d 4 3 5a b b 1 3 4bd 5 4 62a b b
13 13 16bd 1 1 1bd nbn
数列{}na 通项公式 12n
na 数列{}nb 通项公式
(2)(i)(1) 12 2112
n
n
nS
1
11
2 (1 2 )(2 1) 2 2 212
nnn
k k n
n
kk
T n n n
.
(ii)证明:
1 1 2 1
2()(2 2 2) 2 2 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1
k k k k
k k+ kT +b b k k k k
k k k k k k k k
3 2 4 3 2 1 2
2
1
()2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2(1)(2)32 43 2 1 2
n n nn
k k k
k
T b b
k k n n n
.
13.解析证明(1) na 等差数列设公差 d 1 ( 1)na a n d
n 4≥ 时 n k n ka a a 1 1( 1) ( 1)n k d a n k d
12 2( 1) 2 na n d a 123k
n n n n n n na a a a a a a 3 2 1 1 2 3+ + + 6
等差数列 na (3)P 数列
(2)数列 (2)P 数列 (3)P 数列
3n 时 n n n n na a a a a 2 1 1 2 4 ①
4n 时 n n n n n n na a a a a a a 3 2 1 1 2 3 6 ②
①知 n n na a a 3 2 14 1()nnaa ③
n n na a a 2 3 14 1()nnaa ④
③④代入② n n na a a112 中
345a a a 等差数列设公差 d'
①中取 4n 2 3 5 6 44a a a a a 23a a d'
①中取 3n 1 2 4 5 34a a a a a 122a a d'
数列{}na 等差数列
14.解析(Ⅰ)设 na 公差 d 747 28Sa
∴ 4 4a ∴ 4113
aad ∴ 1 ( 1)na a n d n .
∴ 11lg lg1 0ba 11 11lg lg11 1ba 101 101 101lg lg 2ba .
(Ⅱ)记 nb 前 n 项 nT 1000 1 2 1000T b b b
1 2 1000lg lg lga a a .
0 lg 1na ≤ 时 1 2 9n
1 lg 2na ≤ 时 10 11 99n
2 lg 3na ≤ 时 100 101 999n
lg 3na 时 1000n .
∴ 1000 0 9 1 90 2 900 3 1 1893T .
15.解析(Ⅰ) 1n 时 2
1 1 1 12 4 3 4 +3a a S a 0na 1a 3
2n 时 22
1 1 14 3 4 3 4 n n n n n n na a a a S S a
1 1 1( )( ) 2( )n n n n n na a a a a a 1nnaa 2
数列{ na }首项 3公差 2 等差数列
na 21n
(Ⅱ)(Ⅰ)知 nb 1 1 1 1()(2 1)(2 3) 22 1 2 3n n n n
数列{}前 n 项
12 nb b b 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3nn
11
6 4 6 3(2 3)
n
nn
16.解析(1)题意知: 12 1
2242n n
na a na
3n 时 12 1
222 4 2
aa
时 1 2 3 2
322 +3 4 2
a a a
3 21
3 2 2 2 33 4 (4 )2 2 4
a
3
1 4a
(2) 1n 时 1 11
12412a
+
2n≥ 时 12 1
2242n n
na a na
知
1 2 1 2
122 ( 1) 4 2n n
na a n a
两式相减 2 1 1
12
2 2 2n n n n
n n nna
时 1
1
2n na .
检验知 1 1a 满足 .数列{}na 1 首项 1
2
公公数列
1
11 [1 ( ) ] 12 21 21 2
n
n nT
.
(3)(1)( 2)知 111ba.
2n≥ 时
21
1
121 1 1 1 1 1 12(1 ) (1 )2 3 2 3 2
nn
nn n
Tban n n n
1
2 1 1 1 1 1(1 )2 3 1 2nn n n
.
1n 时 1 1 2 2ln1 2S < + 成立
2n≥ 时
12
2 1 1 2 1 1 11[ (1)][ (1 ) ]2 2 2 3 2 3 2nS
1
2 1 1 1 1 1[ (1 ) ]2 3 1 2nn n n
2 1 2 3 1
11 111 1111 111 2( ) ( ) ( )2 3 2 2 2 2 2 2 2 2nnn
3 4 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1()()()3 2 2 2 2 1 2 2 2n n n nnn
2
12
111 1 1 1 1 1 121 2( ) (1 ) ( )12 3 2 2 2 21 2
n
nn
3
3 2 1 2 1
111 1 1 1 1 1 1 12()()()13 2 2 1 2 2 21 2
n
n n nnn
11
1 1 1 1 1 11 2( ) (1 ) ( )2 3 2 2 2nnn
1 1 1
1 1 1 1 1 1()()()3 2 1 2 2n n nnn
1
1 1 1 1 1 1 12 2( ) (1 )2 3 2 3 2nnn 1 1 12 2( )23 n .
构造函数 ( ) ln(1 ) 01
xf x x xx
2
( ) 0 ( ) ( )1
xf x f xx
0+ 单调递增
( ) ln(1 ) (0) 01
xf x x fx
ln(1 ) ( )1
xx x
0+ 恒成立
ln(1 )1
x xx <++
11x n
令
2n≥ 11ln(1 )1nn
11ln(1 )2 2 1
11ln(1 )3 3 1
11ln(1 )1nn
1n 式子相加
1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )2 3 2 1 3 1 1nn
23ln( ) ln1 2 1
n nn
1 1 12 2( ) 2 2ln23nSnn
综知 2 2lnnSn .
17.解析(Ⅰ) 22
1 1 1 11 (1) 320 60n S S S S 令
11( 3)( 2) 0SS
1 1 10 2 2S S a
(Ⅱ) 2 2 2 2( 3) 3( ) 0 ( 3) ( ) 0n n n nS n n S n n S S n n
20( ) 0 3 0 n n n na n N S S S n n
22
12 ( 1) ( 1) 2 n n nn a S S n n n n n 时
1 2 2 1 2 ( )na a n n N
(Ⅲ) 223 1 3 ( )( )2 2 16 4 4
kkk N k k k k 时
1 1 1 1 1 1
1 1 3( 1) 2 (2 1) 4 4( ) ( )( )2 4 4
kka a k k k k k k
1 1 1 1 1
111144( 1)( ) ( 1) 4444
kkkk
1 1 2 2
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)nna a a a a a
1 1 1 1 1 1 1()()1 1 1 1 1 14 1 2 2 3 ( 1)4 4 4 4 4 4nn
.
18.解析(Ⅰ) 111111 21SSaanaS 时 10 11 aa
11
1
11
1
1
1 222221
nnnn
nn
nnn aaaaS
aa
S
aassan 时
*221}{ 1
1 Nnaqaa n
nn 等数列公时首项
(Ⅱ) nnnn qanqaqaqaqTanaaaT 321321 321321设
1432 321 nn anaaaqT
式错位相减:
nn
n
n
nnn nnaq
qanaaaaaTq 2121
1)1( 111321
*12)1(NnnT n
n .
19.解析(1) 1
1
11
1 2 10 0 22
n
n
n n n
nba nna b a a n a b b a
知
令 1
1n
n
nAAab
1
122nnn A Abb 时
21
12 1 1
1 2 2 2nn
nnAb b b b
21
21
1 2 2 2
nn
nnb b b b
① 2b 时
12(1 ) 2 2 ( 2)1
n
nn
n n
bbbA bb
b
② 2 2n
nbA时
( 2) 22
2 2
n
nn
n
nb b ba b
b
(2) 2b 时(欲证
11
11
( 2) 21 ( 1) 22 2 2
n n n n n
n
n n n n n
nb b b b ba nb bb
需证 )
1 1 1 1 1 2 12(2 ) (2 )( 2 2 )2
nn
n n n n n n nbb b b bb
1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b
21
21
2 2 22 ( )222
n n n
nn
n n n
b b bb b bb
12 (2 2 2) 2 2 2n n n n n nb n b n b
1
1
( 2) 122
nn
n n n n
nb b ba b
1
12 2 12
n
n n
bba
时
综述
1
1 12
n
n n
ba
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