专题六 数列
第十六讲 等数列
2019 年
1(2019 全国 1 理 14)记 Sn 等数列{an}前 n 项. 2
1 4 6
1
3a a a
S5____________.
2(2019 全国 3 理 5)已知项均正数等数列{an}前 4 项 15 a53a3+4a1
a3
A. 16 B. 8 C.4 D. 2
3(2019 全国 2 卷理 19)已知数列{an}{bn}满足 a11b10 14 3 4n n na a b
14 3 4n n nb b a
(1)证明:{an+bn}等数列{an–bn}等差数列
(2)求{an}{bn}通项公式
20102018 年
选择题
1.(2018 北京) 十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音
例理发展做出重贡献.十二均律纯八度音程分成十二份
次十三单音第二单音起单音频率前单音频率
等 12 2 .第单音频率 f第八单音频率
A. 3 2 f B. 3 22 f C. 12 52 f D.12 72 f
2.(2018 浙江)已知 1a 2a 3a 4a 成等数列 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a .
1 1a
A. 13aa 24aa B. 13aa
C. 24aa D. 13aa 24aa
3.( 2017 新课标Ⅱ)国古代数学名著算法统宗中问题:远巍巍塔七层红
光点点倍加增灯三百八十请问尖头盏灯?意思:座 7 层塔挂 381
盏灯相邻两层中层灯数层灯数 2 倍塔顶层灯
A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏
4.( 2015 新课标Ⅱ)等数列{}na 满足 1 3a 1 3 5 21a a a 3 5 7a a a
A.21 B.42 C.63 D.84
5.( 2014 重庆)意等数列{}na 列说法定正确
A. 1 3 9a a a 成等数列 B. 2 3 6a a a 成等数列
C. 2 4 8aaa成等数列 D. 2 6 9a a a 成等数列
6.( 2013 新课标Ⅱ)等数列 na 前 n 项 nS已知 3 2 110S a a 5 9a 1a
A. 1
3 B. 1
3 C. 1
9 D. 1
9
7.(2012 北京) 已知{}na 等数列.面结中正确
A. 1 3 22a a a … B. 2 2 2
1 3 22a a a …
C. 13aa 12aa D. 31aa 42aa
8.( 2011 辽宁)等数列 满足 1 16n
nnaa 公
A.2 B.4 C.8 D.16
9.( 2010 广东)已知数列 na 等数列 nS 前 n 项 2 3 12a a a 4a
2 7a 等差中项 5
4
5S
A.35 B.33 C.3l D.29
10.( 2010 浙江)设 ns 等数列{}na 前 n 项 2580aa 5
2
S
S
A.-11 B.-8 C.5 D.11
11.( 2010 安徽)设 na 意等数列前 n 项前 2n 项前3n 项分
XYZ列等式中恒成立
A. 2XZY B. YYXZZX
C. 2Y XZ D. YYXXZX
12.( 2010 北京)等数列 na 中 1 1a 公 1q 1 2 3 4 5ma a a a a a m
A.9 B.10 C.11 D.12
13.( 2010 辽宁)设 nS 等数列 na 前 n 项已知 3432Sa 2332Sa
公 q
A.3 B.4 C.5 D.6
14.( 2010 天津)已知 na 首项 1 等数列 ns 前 n 项 369ss
数列 1
na
前 5 项
A.15
8
5 B. 31
16
5 C. D.
二填空题
15.( 2017 新课标Ⅲ)设等数列{}na 满足 12 1aa 13 3aa 4a _______.
16.( 2017 江苏)等数列{}na 项均实数前 n 项 nS已知 3
7
4S 6
63
4S
8a .
17.(2017 北京)等差数列 na 等数列 nb 满足 11 1ab 448ab
2
2
a
b _____.
18.( 2016 年全国 I)设等数列{}na 满足 1310aa 245aa 12 na a a
值
19.( 2016 年浙江)设数列{}na 前n 项 nS. 2 4S 1 21nnaS *nN
1a 5S .
20.( 2015 安徽)已知数列{}na 递增等数列 1 4 329 8a a a a 数列
前 n 项等 .
21.( 2014 广东)等数列 na 项均正数 15 4aa
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5log +log +log +log +log a a a a a ________.
22.( 2014 广东)等数列 na 项均正数 5
1291110 2eaaaa
1 2 20ln ln lna a a .
23.( 2014 江苏)项均正数等数列 }{ na 中 12 a 468 2aaa 6a 值
.
24.( 2013 广东)设数列{}na 首项1公 2 等数列
1 2 3 4| | | |a a a a .
25.( 2013 北京)等数列 na 满足 24aa 20 35aa 40公 q 前 n
项 nS .
26.( 2013 江苏)正项等数列 na 中
2
1
5 a 376 aa .满足
nn aaaaaaaa 321321 正整数 n 值 .
27.( 2012 江西)等数列 na 前 n 项 nS公 1 1 1a 意 nN
2120n n na a a 5S _________________.
28.( 2012 辽宁)已知等数列 }{ na 递增数列 01 a 12 5)(2 nnn aaa 数
列 na 公 q .
29.( 2012 浙江)设公 ( 0)qq 等数列{}na 前 n 项 nS. 2232Sa
4432Sa q .
30.(2011 北京)等数列{}na 中 1
1
2a 4 4a 公 q _____ _________
12 na a a ____________.
三解答题
31.( 2018 全国卷Ⅲ)等数列{}na 中 1 1a 534aa .
(1)求 通项公式
(2)记 nS 前 n 项. 63mS 求 m .
32.(2017 山东)已知{}nx 项均正数等数列 123xx 322xx.
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ)图面直角坐标系 xOy 中次连接点 11( 1)Px 22( 2)Px …
11( 1)nnP x n 折线 1P 2P… 1nP 求该折线直线 0y 1xx
1nxx 围成区域面积 nT.
P4
P3
P2
P1
O x4x3x2x1
y
x
33.( 2016 年全国 III 高考)已知数列{}na 前 n 项 1nnSa 中 0 .
(Ⅰ)证明 等数列求通项公式
(Ⅱ) 5
31
32S 求 .
34.( 2014 新课标)已知数列 na 满足 1a 1 1 31nnaa .
(Ⅰ)证明 1
2na 等数列求 通项公式
(Ⅱ)证明:
12
31 1 1
2na a a …+ .
35.( 2014 福建)等数列{}na 中 253 81aa
(Ⅰ)求 na
(Ⅱ)设 3lognnba 求数列{}nb 前 n 项 nS
36.( 2014 江西)已知数列 na 前 n 项 NnnnSn
2
3 2
.
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ)证明:意 1n Nm mn aaa 1 成等数列.
37.(2013 四川) 等数列{}na 中 212aa 22a 13a 3a 等差中项求数列
{}na 首项公前 n 项
38. (2013 天津)已知首项 3
2
等数列{}na 前 n 项 ( *)nS n N 2 3 42 4SSS 成
等差数列.
(Ⅰ) 求数列{}na 通项公式
(Ⅱ) 证明 13 *)6
1 (n
n
SnS N.
39.(2011 新课标)已知等数列{}na 项均正数 2
1 2 3 2 62 3 1 9a a a a a .
(Ⅰ)求数列{}na 通项公式.
(Ⅱ )设 3 1 3 2 3log log lognnb a a a 求数列 1{}
nb
前 n 项.
40.( 2011 江西)已知两等数列{ }{ }nnab满足 ( ) a a a b a
b a b a .
(Ⅰ) a 求数列{}na 通项公式
(Ⅱ )数列{}na 唯求 a 值.
41.(2011 安徽)数 1 100 间插入 n 实数 2n 数构成递增等数列
数积记作 nT令 lgnnaT 1n≥
(Ⅰ)求数列{}na 通项公式
(Ⅱ)设 1tan tan n n nb a a 求数列{}nb 前 n 项 nS.
专题六 数列
第十六讲 等数列
答案部分
2019 年
1解析:等数列中 2
46aa 265
110a q a q > 1
1
3a 解 3q
( ) ( ) 55
1
5
1 131 1213
1133S q
aq −
−
−
−
2解析 设等数列 {}na 公 ( 0 )qq 前 4 项 15 531 34a a a+
()4
1
42
1 1 1
1
151
34
aq
q
a q a q a
−
−
+
解 1 1
2
a
q
2
3 24a .选 C.
3解析:(1)题设 114()2()nn nnabab++++ 11
1 ()2nn nna b a b+++ + .
a1+b1l nnab+ 首项1公 1
2
等数列.
题设 114( ) 4( ) 8n n n na b a b++− − +
11 2n n n na b a b++− − + .
a1–b1l nnab− 首项1公差2等差数列.
(2)(1)知 1
1
2nn nab −+ 21nna b n− − .
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n + + − + −
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n + − − − + .
20102018 年
1.D解析第二单音起单音频率前单音频率等 12 2
第单音频率 f 等数列概念知十三单音频率构成首项
公 等数列记 {}na
第八单音频率 1281712
8 (2)2aff − 选 D.
2.B解析解法 l n 1xx−≤ ( 0x ) 1234123 ln()aaaaaaa+++++
123 1a a a+ + −≤ 4 1a −≤ 1 1a 等数列公 0q .
1q −≤ 2
12341 (1)(10aaaaaqq+++++ )≤
1 2 3 1 1a a a a+ + ≥ 1 2 3ln( ) 0a a a+ +
1 2 3 1 2 3 4ln( ) 0a a a a a a a+ + + + + ≤ 矛盾
10q− 2
1 3 1(1 ) 0a a a q− − 2
2 4 1 (1 ) 0a a a q q− −
13aa 24aa 选 B.
解法二 1xex+≥
1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 4 1a a a ae a a a a a a a+ + + + + + + + +≥
等数列公 .
矛盾
选 B.
3.B解析设塔顶灯 1a 盏根题意层等数构成 首项2 公等数
列∴
7
71
71
(12) (21)38112
aSa−−−
解 1 3a .选 B.
4.B解析 24
1 ( 1 ) 2 1a q q 1 3a 4260qq 2 2q
( 2 3q 舍) 3 6a 5 12a 7 24a 357 42a a a .
5.D解析等数列性质 2
396 0a a a 2 6 9a a a 定成等数列.
6.C解析设等数列 na 公 q ∵ 321 10S a a+ ∴ 12321 10a a a a a+ + +
319aa ∴ 2 9q 5 9a 4
1 9aq ∴ 1
1
9a .
7.B解析取特殊值排 ACD均值等式 222
13132 22a a a a a+ .
8.B解析 1 16 n
nnaa+ 1
1216 n
nnaa +
++ 两式相
1
12
1
16 1616
n
nn
n
nn
aa
aa
+
++
+
∴ 2 16q ∵ 知公 正数∴ 4q .
9.C解析设{ na }公 等数列性质知 2 3 1 4 12a a a a a
4 2a . 4a 2 7a 等差中项 5
4
知 47
5224aa+
74
15(2 )24aa − 1
4 .∴ 3 7
4
1
8
aq a 1
2q . 3
4 1 1
1 28a a q a
1 16a
5
5
116(1 )2 3111 2
S
−
−
.
10.A解析通 2580aa+设公 该式转化 08 3
22 + qaa
解 -2
5
5
2
2
1 1 32 111 1 4
S q
Sq
−+ −−−
.
11.D解析取等数列124 令 1n 1 3 7XYZ 代入验算选项 D 满足.
12.C解析 2 3 4 10 10
1 2 3 4 5 1ma aaaaa qqqq q aq 11m .
13.B解析两式相减 3 4 33a a a− 4
43
3
4 4aa a q a .
14.C解析显然 q 1
36
39(1 ) 1 1 211
qq qqqq
−− + −−
1{}
na
首项
1公 1
2
等数列 前 5 项
5
5
11 ( ) 312
1 161 2
T
−
−
.
15. 8− 解析设 {}na 首项 1a 公 11
2
11
1
3
a a q
a a q
+ −
− −
解 1 1
2
a
q
−
3
41 8a a q − .
16.32解析设 公 题意 1q
6
36
3
3
1 191
S q qSq
− + −
2q
3
1
3
( 1 ) 7
14
aqS q
−−
1
1
4a 775
81
1 22324aaq .
17.1解析设 na 公差 d nb 公 题意 31 3 8dq− + −
3d 2q − 2
2
13 1( 2)
a
b
−+−− .
18.64 解析设{}na 公 q 1310aa+ 245aa+ 1
18 2aq
2 4a 3 2a 4 1a 5
1
2a 1 2 1 2 3 4 64na a a a a a a .
19.1 121 解析 12
21
4
21
aa
aa
+
+
解 1 1a 11 21n n n na S S S++ − +
1
113( )22nnSS+ + + 1{}2nS + 3
2
首项3 公等数列
113322
n
nS −+ 5 121S .
20. 21n 解析题意 14
2 3 1 4
9
8
aa
a a a a
+
解 141 8aa 148 1aa
数列 递增等数列 3 4
1
8aq a 2q
数列 前 n 项 1(1 ) 12 211 1 2
n n
n
n
aqS q
− − −−−
.
21.5解析等数列性质知 2
15243a a a a a 15 4aa 3 2a
12345 32a a a a a 2122232425log+log+log+log+logaaaaa
2123452log()log325aaaaa .
22.50解析 na 等数列∴ 1201011912a a a a a a 5
1291110 2eaaaa +
∴ 5
1 2 0a a e ∴ 1220lnlnlnaaa+++ 10
1220120ln()ln()aaaaa 50.
23.4解析 设等数列 }{ na 公 q 0q . 8 6 4 2a a a+
42
444 2a q a q a+解 2 2q (负值舍) 2 1a 4
624a a q .
24.15解析 1234 1248aaaa−− ∴ 1234| | | |a a a a+ + + 15.
25. 12 2 2n + − 解析 35aa+ ()24q a a + 2q ()()3
2 4 1a a a q q+ + 20
1 2a ∴ () 1212
2212
n
n
nS +−
− −
.
26.12解析设正项等数列 }{ na 首项 1a 公 q:
+
3)1(
2
1
51
41
qqa
qa
: = 1
32
q=2 62 n
na − .记 521 2
12 −+++
n
nn aaaT
2
)1(
21 2
nn
nn aaa
−
. nnT 2
)1(
5 22
12 nnn −
−
化简:
5
2
11
2
1 2
212 +−
− nnn 52
11
2
1 2 +− nnn 时 122
12113 +n .
n=12 时 1212 T n=13 时 1313 T max 12n .
27.11解析 2120n n na a a+++ − 2 20n n na q a q a+ −
1 1a 知 0 1naq求公 2q − 5S 11.
28.2解析 22
21
12( )5 2(1 )52(1 )5 2 2n n n n naa a aqaq qqqq+++ + + 解
数列递增数列 1 0 1 2a q q .
29. 3
2
解析题意
2
1
1 2
1 1 1
4 4 3
31 1 1 1
1
(1 ) 32 2 3 2 2 01
(1 ) 2 3 2 2 0321
aq aq a q a q a qq
a q a q a q a qaqq
− + − + + − −− − + + − + −
两式相减 423
111122330aqaqaqaq−−+ 42322330qqqq−−+
解 1q (舍) 0q 3
2q 0q .
30.2 1 12 2
n − − 解析 3
41a a q 314 2 q 解 2q
1
12
1 (1 2 ) 12 21 2 2
n
n
na a a −
−
+ ++ −−
.
31.解析(1)设 {}na 公 q 题设 1n
naq− .
已知 424qq 解 (舍) 2q − .
1( 2 ) n
na −− 12 n
na − .
(2) 1 ( 2)
3
n
nS −− . 63mS ( 2) 188m− − 方程没正整
数解.
21n
nS −. 2 64m 解 6m .
综 .
32.解析(Ⅰ)设数列{}nx 公 已知 .
题意 11
2
11
3
2
x x q
x q x q
+
−
23 5 2 0qq− −
12 1qx
数列 通项公式 12n
nx −
(Ⅱ) 1 2 3PPP… 1nP + x 轴作垂线垂足分 1 2 3QQQ… 1nQ +
(Ⅰ) 11
1 2 2 2 n n n
nnxx −−
+ − −
记梯形 11n n n nPPQQ++ 面积 nb .
题意 12(1) 2(21)22
nn
n
nnbn−−+++
123nT b b b + + + …+ nb
1013 2 5 2 7 2− + + + …+ 32(21)2(21)2nnnn−−−++ ①
0122325272nT +++ …+ 21(21)2(21)2nnnn−−−++ ②
① − ②
121132(222)(21)2 nn
nTn−−−−++++−+
1
132(12) (21)2212
n
nn
−
−−+−+ −
(2 1 ) 2 1 2
n
n
nT − +
33.解析(Ⅰ)题意 111 1 aSa + 1
− 1
1
1a 01 a
nn aS +1 11 1 ++ + nn aS nnn aaa − ++ 11 nn aa −+ )1(1 .
0 1 0na
1
1
−+
n
n
a
a
}{ na 首项
−1
1 公
1−
等数列 1)1(1
1 −
−− n
na
.
(Ⅱ)(Ⅰ) n
nS)1(1 −−
32
31
5 S
32
31)1(1 5 −−
−
5)1(
32
1 解 1 − .
34.解析(I) 1 31nnaa+ + 1
113( )22nnaa+ + + .
1
13
22a + 1
2na+
首项 3
2
公 3 等数列.
13
22
n
na + na 通项公式 31
2
n
na − .
(Ⅱ)(I)知 12
31n
na −
1n 时 13 1 2 3nn−− 1
11
3 1 2 3nn−−
.
1
12
1 1 1 1 1 3 1 3 1 (1 )3 3 2 3 2nn
na a a −+ + + + + + − .
12
1 1 1 3 2na a a+ + + .
35.解析(Ⅰ)设 {}na 公 q 题意 1
4
1
3
81
aq
aq
解 1 1
3
a
q
13n
na −
(Ⅱ) 3log 1nnb a n − ∴数列{}nb 前 n 项
2
1()
22
n
n
n b b nnS + −
36.解析(Ⅰ)
23
2n
nnS − 1a 1 1S 2n 时 1 3 2 nnna S S n − − −
1n 时数列 na 通项公式 3 2 nan−
(Ⅱ) mn aaa 1 成等数列需 2
1nma a a
22(3 2) 1 (3 2) 3 4 2n m m n n− − − + 时 Nm mn
意 1n 成等数列
37.解析题意知 21
2 1 3
2
43
aa
a a a
−
+
11
2
1 1 1
2
4 3 +
a q a
a q a a q
−
解 11
3
a
q
1 3 3 1
1 3 2
nn
nS −−−
.
1 1a 3q 31
2
n
nS − .
38. 解析(Ⅰ)设等数列 na 公 q 22S− 3S 44S 成等差数列
3 2 4 324SSSS+ − 4 3 2 4SSSS− − 432aa−
4
3
1
2
aq a − . 1
3
2a 等数列 通项公式
1
13 1 3( 1)2 2 2
n
n
n na
−
− − −
.
(Ⅱ) 11 2
n
nS − −
122(21)111 1 12 11 2(21)2
n nn
n n
n
nn
n
SS
+ ++−−+ −− −
奇数
2+n 偶数
n 奇数时 1
n
n
SS+ 增减 1
1
1 1 13
6n
n
SSSS+ + .
偶数时 增减 2
2
1125
12n
n
SSSS++ .
*nN 1 13
6n
n
SS+.
39. 解析(Ⅰ)设数列 na 公 q 2
3 2 6 9a a a 32
349aa 2 1
9q .
条件知 0c 1
3q .
122 3 1aa+ 122 3 1a a q+ 1
1
3a .
数列 通项式 na 1
3n .
(Ⅱ ) 3 1 3 2 3 nlog log lognb a a a + + +
(1 2 )
( 1)
2
n
nn
− + + +
+−
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n − − −++
12
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2((1 ) ( ) ( ))2 2 3 1 1n
n
b b b n n n+++− −+−++− −++
数列 1{}
nb
前 n 项 2
1
n
n− +
.
40.解析(Ⅰ)设{}na 公 q
22
1 2 31 2 2 2 3 3b a b aq q b aq q+ ++ + +
1 2 3b b b 成等数列 22(2 ) 2(3 )qq+ +
2
124202222qqqq−++− 解
{}na 通项公式 11(22)(22)nn
nnaa−−+−
(Ⅱ )设 公 q 22(2)(1)(3)aqaaq+++
2 4310(*)aqaqa−+−
20440aaa+ 方程(*)两实根
唯知方程(*)必根 0代入(*) 1 3a
41. 解析(Ⅰ)设 221 +nlll 构成等数列中 10 01 21 +ntt
2121 ++ nnn ttttT ①
1221 ttttT nnn ++ ②
①×②利 )21(102
2131 + +−+ nitttt nin
12lg10)()()()()2(2
12211221
2 + +
++++ nnTattttttttT nn
n
nnnnn
(Ⅱ)题意(Ⅰ)中计算结果知 1)3tan()2tan( ++ nnnbn
方面利 tan)1tan(1
tan)1tan())1tan((1tan kk
kkkk ++
−+−+
11tan
tan)1tan(tan)1tan( −−++ kkkk
+
+
2
31
tan)1tan(
n
k
n
k
kn kkbS
1tan
3tan)3tan(
)11tan
tan)1tan((
2
3
nn
kkn
k
−−+
−−+
+
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