专题七 等式
第二十讲 二元次等式(组)简单线性规划问题
2019 年
1（2019 浙江 3）实数 xy 满足约束条件
3 4 0
3 4 0
0
xy
xy
xy
z3x+2y 值
A． 1 B．1 C．10 D．12
2（2019 北京理 5） x y 满足 1xy 1y 3xy 值
（A）－7 （B）1 （C）5 （D）7
3（2019 天津理 2）设变量 xy满足约束条件
2 0
2 0
1
1
xy
xy
x
y
…
…
目标函数 4z x y
值
A2 B3 C5 D6
20102018 年
选择题
1．(2018 天津)设变量 xy 满足约束条件
5
2 4
1
0
xy
xy
xy
y
≤
≤
≤
≥
目标函数 35z x y值
A． 6 B．19 C．21 D．45
2．（ 2017 新课标Ⅱ）设 x y 满足约束条件
2 3 3 0
2 3 3 0
30
xy
xy
y
≤
≥
≥
2z x y值
A． B． C． D．
3．（ 2017 天津）设变量 xy满足约束条件
2 0
2 2 0
0
3
xy
xy
x
y
≥
≥
≤
≤
目标函数 z x y值
A． 2
3 B．1 C． 3
2 D．3
4．（ 2017 山东）已知 x y 满足
30
3 5 0
30
xy
xy
x
≤
≤
≥
2z x y 值
A．0 B．2 C．5 D．6
5．（ 2017 北京） x y 满足
3
2
x
xy
yx
≤
≥
≤
2xy 值
A．1 B．3 C．5 D．9
6．（ 2017 浙江） x y 满足约束条件
0
30
20
x
xy
xy
≥
≥
≤
2z x y 取值范围
A．[06] B． [04] C．[6 ) D．[4 )
7．(2016 年山东)变量 xy 满足
2
2 3 9
0
xy
xy
x
ì +ïïïï íïï锍ïî
22xy 值
A．4 B．9 C．10 D．12
8．(2016 浙江)面点 P 作直线 l 垂线垂足称点 P 直线 l 投影．
区域
20
0
3 4 0
x
xy
xy
中点直线 20xy 投影构成线段记 AB
||AB
A．2 2 B．4 C．3 D．6
9．(2016 天津)设变量 xy 满足约束条件
2 0
2 3 6 0
3 2 9 0
xy
xy
xy
目标函数 25z x y值
A． 4 B．6 C．10 D．17
10．（ 2015 陕西）某企业生产甲乙两种产品均需 AB两种原料已知生产 1 吨种产品
需原料天原料限额表示果生产 1 吨甲乙产品获利润分 3
万元4 万元该企业天获利润
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
A．12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元
11．（ 2015 天津）设变量 xy 满足约束条件
20
30
2 3 0
x
xy
xy
目标函数 6z x y
值
A．3 B．4 C．18 D．40
12．（ 2015 福建）变量 xy 满足约束条件
2 0
0
2 2 0
xy
xy
xy
≥
≤
≥
2z x y值等
A． 5
2 B． 2 C． 3
2 D．2
13．（ 2015 山东）已知 xy满足约束条件
0
2
0
xy
xy
y
≥
≤
≥
z ax y值 4 a
A．3 B．2 C．－2 D．－3
14．（ 2014 新课标Ⅰ）等式组 1
24
xy
xy
解集记 D．面四命题：
1p ：( ) 2 2x y D x y 2p ：( ) 2 2x y D x y
3p ：( ) 2 3x y D x y 4p ：( ) 2 1x y D x y ．
中真命题
A． 3p B． C． D． 3p
15．（ 2014 安徽） yx 满足约束条件
022
022
02
yx
yx
yx
axyz 取值优解．
唯．．实数 a 值（ ）
A． 12
1
B．
2
12
C．2 1 D． 12
16．（ 2014 福建）已知圆 221C x a y b 设面区域
7 0
7 0
0
xy
xy
y
圆
心C圆 C x 轴相切 22ab 值
A．5 B．29 C．37 D．49
17．（ 2014 北京） xy满足
20
20
0
xy
kx y
y
z y x值－4 k 值
A．2 B．2 C． 1
2 D． 1
2
18．（2013 新课标Ⅱ）设 xy满足约束条件
1 0
1 0
3
xy
xy
x
23z x y值
A． 7 B． 6 C． 5 D． 3
19．（ 2013 陕西）点()xy位曲线 y |x| y 2 围成封闭区域 2x－y 值
A．－6 B．－2 C．0 D．2
20．（ 2013 四川）变量 xy满足约束条件
8
2 4
0
0
xy
yx
x
y
5z y x值 a
值b ab 值
A． 48 B．30 C． 24 D．16
21．（ 2012 广东）已知变量 xy满足约束条件
2
1
1
y
xy
xy
„
…
„
3z x y值
A．12 B．11 C．3 D．－1
22．（2012 广东）已知变量 xy满足约束条件
1
10
1
xy
x
xy
2z x y 值
A．3 B．1 C． 5 D． 6
23．（ 2012 山东）设变量 yx 满足约束条件
22
24
41
xy
xy
xy
…
„
…
目标函数 yxz 3 取值范
围
A．
62
3 B．
12
3 C． 61 D．
2
36
24．（ 2012 福建）直线 2yx 存点()xy满足约束条件
3 0
2 3 0
xy
xy
xm
实数 m
值
A． 1 B．1 C． 3
2 D．2
25．（ 2012 天津）设变量 xy满足约束条件
2 2 0
2 4 0
10
xy
xy
x
…
…
„
目标函数 32z x y
值
A．−5 B．−4 C．−2 D．3
26．（ 2012 辽宁）设变量 满足
10
0 + 20
0 15
xy
xy
y
2 +3xy值
A．20 B．35 C．45 D．55
27．(2011 广东)已知面直角坐标系 xOy 区域 D 等式
02
2
2
x
y
xy
定
()M x y 动点点 A 坐标( 21) z OM ·OA 值
A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
28．（ 2011 安徽）设变量 yxyxyx 21|||| 满足 值值分
A．1－1 B．2－2 C．1－2 D．2－1
29．（ 2011 湖南）设 m ＞1约束条件
1
yx
y mx
xy
目标函数 z x my 值 2
取值范围
A．（ 112 ） B．（ 12 ） C．（ 13 ） D．（ 3 ）
30．（ 2010 新课标）已知 ABCD 三顶点 A(－12)B(34)C(4－2)点(xy)
部 z2x－5y 取值范围
A．（－1416） B．（－1420） C．（－1218） D．（－1220）
31．（ 2010 山东）设变量 xy满足约束条件
20
5 10 0
80
xy
xy
xy
≥
≤
≤
目标函数 34z x y
值值分
A．3 11 B． 3 11 C．11 3 D．113
二填空题
32．(2018 北京) x y 满足 12x y x ≤ ≤ 2yx 值__________．
33．(2018 全国卷Ⅰ) x y 满足约束条件
2 2 0
10
0
≤
≥
≤
xy
xy
y
32z x y值__．
34．(2018 全国卷Ⅱ) xy满足约束条件
2 5 0
2 3 0
50
≥
≥
≤
xy
xy
x
z x y 值___．
35．(2018 浙江) x y 满足约束条件
0
26
2
xy
xy
xy
≥
≤
≥
3z x y 值__值
__．
36．（ 2017 新课标Ⅰ）设 x y 满足约束条件
21
21
0
xy
xy
xy
≤
≥
≤
32z x y值 ．
37．（ 2017 新课标Ⅲ） x y 满足约束条件
0
20
0
xy
xy
y
≥
≤
≥
34z x y值__．
38．(2016 年全国 I)某高科技企业生产产品 A 产品 B 需甲乙两种新型材料．生产件产
品 A 需甲材料 15 kg乙材料 1 kg 5 工时生产件产品 B 需甲材料 05 kg
乙材料 03 kg 3 工时生产件产品 A 利润 2100 元生产件产品 B 利润
900 元．该企业现甲材料 150 kg乙材料 90 kg超 600 工时条件
生产产品 A产品 B 利润值 元
39．(2016 全国 III) x y 满足约束条件
10
20
2 2 0
xy
xy
xy
≥
≤
≤
z x y值 ．
40．(2016 江苏)已知实数 xy 满足
2 4 0
2 2 0
3 3 0
xy
xy
xy
22xy 取值范围 ．
41．（ 2015 新课标Ⅰ） xy满足约束条件
10
0
40
x
xy
xy
≥
≤
≤
y
x
值 ．
42．（ 2015 新课标Ⅱ） xy满足约束条件
1 0
2 0
2 2 0
xy
xy
xy
≥
≤
≤
z x y值__．
43．（ 2014 安徽）等式组
20
2 4 0
3 2 0
xy
xy
xy
表示面区域面积________．
44．（ 2014 浙江）实数 x y 满足
2 4 0
1 0
1
xy
xy
x
时14ax y 恒成立实数 a
取值范围________．
45．（ 2014 湖南）变量 xy满足约束条件 4
yx
xy
yk
2z x y值－6
k ．
46．(2013 新课标Ⅰ)设 xy满足约束条件 1 3
10
x
xy
2z x y值___．
47．（ 2013 浙江）设 z kx y中实数 xy满足
2
2 4 2
2 4 0
x
xy
xy
z 值 12
实数 k ________
48．（ 2013 湖南）变量 xy 满足约束条件
2 8
0 4
0 3
xy
x
y
x+y 值________．
49．（2012 新课标）设 x y 满足约束条件
1
3
0
0
xy
xy
x
y
…
„
…
…
yxz 2 取值范围
．
50．（ 2011 湖南）设 1m 约束条件
1
yx
y mx
xy
目标函数 5z x y 值 4
m 值 ．
51．（ 2011 陕西）图点()xy四边形 ABCD 部边界运动 2xy 值
________．
y
x
51
3 2 B
CA(11)
OD(10)
52．（ 2011 新课标）变量 xy 满足约束条件 3 2 9
69
xy
xy
2z x y 值
_________．
53．(2010 安徽)设 x y 满足约束条件
2 2 0
8 4 0
0 0
xy
xy
xy
目标函数 ( 0 0)z abx y a b
值 8 ab 值 __ _．
54．（ 2010 陕西）铁矿石 A B 含铁率 a 冶炼万吨铁矿石 2CO 排放量b 万
吨铁矿石价格c 表：
a (万吨) （百万元）
A 50％ 1 3
B 70％ 05 6
某冶炼厂少生产 19（万吨）铁求 排放量超 2（万吨）购买铁
矿石少费 （万元）．
三解答题
55．（ 2010 广东）某营养师某童预定午餐晚餐．已知单位午餐含 12 单
位碳水化合物6 单位蛋白质 6 单位维生素C单位晚餐含 8 单
位碳水化合物6 单位蛋白质 10 单位维生素 ．外该童两餐需
营养中少含 64 单位碳水化合物42 单位蛋白质 54 单位维生素
．果单位午餐晚餐费分 25 元 4 元满足述营养
求花费少应该童分预订少单位午餐晚餐
专题七 等式
第二十讲 二元次等式(组)简单线性规划问题
答案部分
1．C解析等式组表示面区域图中阴影部分示
x
y
C
x+y1
2xy4
y3
5x
x+y5
–1–2 1 2 3 4 5
–1
–2
1
2
3
4
5
O
作出直线 3
5yx ．移该直线点C 时 z 取值 1
5
xy
xy
2
3
x
y
(23)C max 3 2 5 3 21a 选 C．
2．A解析图行域
x
y
CB
A
–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 7
–1
–2
–3
–4
1
2
3
O
结合目标函数意义函数点 6 3B 处取值值
min 12 3 15z ．选 A．
3．D解析目标函数四边形 ABCD 部中 3(01) (03) ( 3)2ABC
24()33D 直线 z x y点 B 时取值 3选 D
x
y
–1–2–3–4 1 2 3
–1
1
2
3
2x+y0
x+2y 20
y3
A
BC
D
O
4．C解析等式组表示行域图阴影部分
x
y
–1–2–3 1
–1
1
2
3
O
目标函数( 34) 时取值 max 3 2 4 5z ．选 C．
5．D解析等式组行域图阴影部分
x
y
C
B
A
–1 1 2 3
–1
1
2
O
目标函数 2z x y 点 (33)C 时取值 max 3 2 3 9z 选 D
6．D解析图阴影行域知 (21)A 时 min 4z 值．
x
y
A
1 2 3 4 5
1
2
3
4
0O
2z x y 取值范围[4 ) ．选 D．
7．C解析作出等式组表示面区域图中阴影部分示设 ()P x y 面区域
意点 22xy 表示 2||OP ．显然点 P 点 A 合时 取
值 2
2 3 9
xy
xy
解 3
1
x
y
(3 1)A ． 值 223 ( 1) 10 ．选 C．
x+y2
2x3y9
y
x
C
B
A
8．C解析作出等式组表示面区域图中阴影部分示点 CD分作直线
20xy 垂线垂足分 AB四边形 ABDC 矩形 (2 2)C
( 11)D 22| || | (21) (21) 32AB CD 选 C．
9．B解析图已知约束条件
2 0
2 3 6 0
3 2 9 0
xy
xy
xy
表示面区域图中示三角形
区域 ABC(包含边界)中 A(02)B(30)C(l3)．根目标函数意义
知直线 2
55
zyx 点 B(30)时z 取值2 3 5 0 6 ．
10．D解析设该企业天生产甲乙两种产品分 x y 吨利润 34z x y．
题意列
3 2 12
28
0
0
xy
xy
x
y
表示图阴影部分区域：
直线3 4 0x y z 点 (23)A 时 z 取值
max 3 2 4 3 18z 选 D．
11．C解析作出行域(图略)知目标函数点(03)时 z 取值 18．
12．A解析画出行域图示目标函数变形 2y x z z 时
直线 截距直线 2yx 行域移
点 1( 1 )2B 时 取值值 152 ( 1) 22z 选 A．
13．B解析 z ax y y ax z 助图形知：
1a 1a 时 0xy时值 0符合题意
01a 10a 时 1xy时值 1 4 3aa
满足 10a 01a时 时值
满足 1a
1a 时 2 0xy时值 2 4 2aa满足 1a ．
14．C解析画出行域图中阴影部分示图知
x
y
A–1
–2
1
2
3
4
–1 1 2 3 4O
目标函数 2z x y 行域点 A（21）时取值 0 20xy ≥
12pp真命题选 C．
15．D解析解法 题中条件画出行域
x
y
x+y20
x2y20
2xy+20
2
2
1
1 O
知三交点 (02)A(20)B( 2 2)C 2Az 2Bza 22Cza
目标函数取值优解唯 ABCzzz ACBz z z
BCAz z z解 1a 2a ．
解法二 目标函数 z y ax 化 y ax z令 0l ：y ax 移 0l AB∥
0l AC∥ 时符合题意 ．
16．C解析面区域 图示阴影部分△ABD
y
x
D
NM
yx+7
yx+3
1
2
3
4
5
–1–2–3 1 2 3 4 5 6 7O
AB
圆心 ()C a b ∈ 圆C x 轴相切点 图示线段 MN 线段
方程 1y （ 2≤ x ≤6）图形点 点 (61)N 处时 22ab 取
值 226 1 37 选 C．
17．D解析作出线性约束条件
20
20
0
xy
kx y
y
行域． 0k 时图(1)示
时行域 y 轴方直线 20xy 右方直线 20kx y右方
区域显然时 z y x值． 1k 时． 取值 2
1k 时 取值 2均符合题意
10k 时图(2)示时行域点 A(20)B（ 2
k
0） C(02)围
成三角形区域直线 点 B（0）时值
2( ) 4k 1
2k ．选 D．
18．B解析 23z x y32y x z 2
33
zyx．作出行域图移直线
图象知直线 点 B 时直线 截距
时 z 取值 10
3
xy
x
3
4
x
y
(34)B代入直线
3 2 3 4 6z 选 B．
y
x–1–2 1 2 3 4
1
2
3
4
C
B
O
19．A解析 2|| yxy 图围成三角形区域3 顶点坐标分 (00)
( 22)(22)．取点( 22)时2x – y －6 取值．选 A．
20．C解析作出行域图 A 点取值16 B 点取值 8
24ab 选 C．
2yx4
x+y8
x5y0
A(44)
B(80)
21．B解析约束条件应 ABC 边际区域： 53(22) (32) ( )22ABC
3 [811]z x y
22．C解析约束条件应 边际区域： (10) ( 12) 1 2)ABC
2 [ 53]z x y ．
23．A解析作出行域直线 03 yx 直线移点 )02( 处值
点 )32
1( 处值 3 62 z 剟 应选 A．
24．B解析题意 2
30
yx
xy
求交点坐标（12）直线 y2x 存
点（xy）满足约束条件
30
2 3 0
xy
xy
xm
„
„
…
图示．
22 yx
14 yx
42 yx
O
mm 23 m≤1∴实数 m 值 1选 B．
25．B解析做出等式应行域图 yxz 23
22
3 zxy 图象知
直线
22
3 zxy 点 )20(C 时直线 截距时
423 yxz 选 B．
x
y
C
B
A
–1–2–3–4–5 1 2
–1
–2
1
2
3
O
26．D解析作出行域图中阴影部分示图知目标函数
点 515A 时 2 +3xy值 55选 D．
27．B解析画出区域 D 图示 zOM ·OA 2xy 2y x z 令 0l ：
2yx 移直线 点( 22 )时 z 取值 max 2 2 2 4z ．
x
y
O
y2 x 2y
x 2
28．B解析图先画出等式| | | | 1xy ≤ 表示面区域易知 0x 1y 时
2xy 取值 2 0 1xy 时 2xy 取值－2选 B．
x
y
2
2
O
29．A解析 画出行域知 5z x y 点 1()11
m
mm
取值
21 211
m
mm
解1 2 1m ．
30．B解析直线 z2x 5y 点 B 时 min 14z 直线 z2x 5y 点 D(0 4)时
max 20z z2x 5y 取值范围（－1420）点 D 坐标利 AB DC
求．
x
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
–1 1 2 3 4O
A
C
B
D
31．A解析作出满足约束条件行域图示
知直线 34z x y移点（53）时目标函数 取值 3
直线 移点（35）时
目标函数 取值 11选 A．
32．3解析作出等式组 2
1
yx
xy
≤
≤ 表示面区域图中阴影部分示
y
xO
y
1
2x
yx+1y2x
A
令 2z y x作出直线 20yx移该直线直线点 (12)A 时 2yx 取
值值 2 2 1 3 ．
33．6解析作出行域图示 ABC 表示阴影区域作出直线3 2 0xy
移该直线直线点 (20)A 时 目 标 函 数 32z x y 取 值 ：
max 3 2 2 0 6 z ．
8xy
5 10xy
3 4 0xy
20xy
y
x O
x
y
C
BA
xy+10
3x+2y0
x2y20
–1–2–3–4 1 2 3
–1
–2
–3
1
2
O
34．9解析画出等式组表示面区域图中阴影部分示．作出直线 0xy
移该直线直线点 (54)B 时 z 取值 max 5 4 9z ．
x5
x2y+30 x+2y50
x+y0
y
x
AB
C
O
35．−28解析题该约束条件表示面区域(22) (11) (4 2) 顶
点三角形部区域（图略）．线性规划知识知目标函数 3z x y 点
处取值点 处取值值 min 4 6 2z
值 max 2 6 8z ．
36． 5 解析等式组行域图阴影部分易 ( 11)A 11()33B 11()33C
代入 32z x y求 时目标函数取值 5 ．
x
y
C
B
A
xy0
2x+y1
x+2y1
O
37． 1 解析等式组行域图阴影部分．
x
y
B
A
–1 1 2
–1
1
2
O
目标函数 34z x y点 (11)A 取值 3 1 4 1 1z ．
38．216 000解析题意设产品 A 生产 x 件产品 B 生产 y 件利润 2100 900z x y
线性约束条件
15 05 150
03 90
5 3 600
0 0
xy
xy
xy
xy
„
„
„
厖
作出等式组表示面区域图中阴影部分
示 xN yN 知取值时优解(60100)
max 2100 60 900 100 216000z （元）．
39． 3
2
解析约束条件应面区域点 1(1 )2
(01) ( 2 1)顶点三角形
目标函数 y x z 点 时 z 取值 ．
40． 4[ 13]5
解析等式组表示面区域点(02) (10) (23) 顶点三角
形部图示原点直线2 2 0xy 距离 2
5
22
min
4()5xy()xy取点 时 22xy 取值 13
取值范围 4[ 13]5
．
41．3解析作出行域（图略）知点(13) 处 y
x
取值 3．
42． 3
2
解析 作出行域（图略）知点 1(1 )2
处 z 取值 max
3
2z ．
43．4解析图阴影部分知 1 2 (2 2) 42ABCS
x
y
–2
–1
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8O
44． 3[1 ]2
解析线性规划行域求出三交点坐标分 3(10)(1 )(21)2
代入14ax y≤ ≤ 31 2a≤ ≤ ．
45．－2解析画出行域（图略）题意知等式组表示区域三角形移参
直线 20xy知点 ()kk 处 2z x y取值 26z k k ．解
2k ．
46．3解析做出行域知 3 3xy时候 z 值 3
47．2解析等式表示面区域图示中 (20)C(23)A(44)B．
0k 时直线 0l ： y kx 移 B 点时目标函数取值 4 +412k
2k 0k 时直线 ： 移 A B 点时目标函数取值
时 2 3 12k 4 4 12k 满足题意． 2k 填 2．
48．6解析画出行区域五边形区域移参直线 0xy xy 点(4
2)处取值时 max 4 2 6xy ．
49．[ 33] 解析约束条件应四边形OABC 边际区域：
(00) (01) (12) (30)OABC 2 [ 33]z x y ．
50．3解析等式组表示面区域图中阴影示目标函数化 1
55
zyx
显然 y 轴截距时 z 值根图形目标函数点 A 处
取值
1
y mx
xy
1()11
mA mm
代入目标函数 15411
m
mm
解 3m ．
51．1解析目标函数 2z x y 0x 时 zy y 取值时 z
值移动直线 20xy直线移动点 A 时 值
时 2 1 1 1z ．
52．－6解析根 3 2 9
69
xy
xy
行域根 2z x y
22
xzy
移
2
xy 易知点(4 5) 处 z 取值－6．
53．4解析等式表示区域四边形4 顶点 1(00)(02)( 0)(14)2
易
见目标函数(14) 取值 88 4 4ab ab 24a b ab
2ab时等号成立． ab 值 4
54．15解析设购买铁矿石 A B x y 万吨购买铁矿石费 yxz 63
满足约束条件
05 07 19
05 2
0 0
xy
xy
xy
≥
≤
≥ ≥
表示面区域（图略）直线
点 B（12）时购买铁矿石少费 z15．
55．解析设该童分预订 xy单位午餐晚餐花费 z 元 25 4z x y
满足条件
0
54106
4266
64812
yx
yx
yx
yx
0
2753
7
1623
yx
yx
yx
yx
做出行域（图略）作直线 25 4 0l x y
移直线l 0l C 点时 z 达值．
3
4
7
2753
y
x
yx
yx
(43)C
时 25 4 4 3 22z
答 午餐晚餐分预定 4 单位 3 单位花费少 z22 元．
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