2011高考数学备考 放缩技巧
证明数列型等式思维跨度构造性强需较高放缩技巧充满思考性挑战性全面综合考查学生潜继学力成高考压轴题级类竞赛试题命题极素材类问题求解策略：通角度观察数列通项结构深入剖析特征抓住规律进行恰放缩放缩技巧种：
裂项放缩
例1(1)求值 (2)求证
解析(1)
(2)
奇巧积累(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2(1)求证
(2)求证 (3)求证
(4) 求证：
解析(1)
(2)
(3)先运分式放缩法证明出结合进行裂项答案
(4)首先容易裂项
证均值等式知道显然成立
例3求证
解析 方面
方面
时时
时
综
例4(2008年全国卷)设函数数列满足
设整数证明
解析 数学纳法证明递增数列
存正整数
知
例5已知求证
解析首先证明
证
证
证
等价
等价 正成立原命题成立
例6已知求证
解析
例7已知求证
证明
二函数放缩
例8求证：
解析先构造函数
cause
例9求证(1)
解析构造函数进行裂项求答案
函数构造形式
例10求证
解析提示
函数构造形式
然题证明运积分放缩
图取函数
首先
取
…相加
方面
取
综
例11求证解析构造函数证明
例12求证 解析叠加答案
函数构造形式(加强命题)
例13证明
解析构造函数求导
令令
令
例14 已知证明
解析
然两边取然数
然运裂项答案)
放缩思路：
注：题目条件（）结起提醒思路探索放缩方作然题结放缩：
例16(2008年福州市质检)已知函数
解析设函数
∴函数）单调递增单调递减∴值总
令
例15(2008年厦门市质检) 已知函数处处导函数恒成立
(I)求证：函数增函数 (II)
(III)已知等式时恒成立
求证：
解析(I)函数增函数
(II)增函数
两式相加
(3)
……
相加
令
(方法二)
三分式放缩
姐妹等式
记忆口诀者者
解释bb等号号反
例19 姐妹等式
表示成
解析 利假分数性质
例20证明
解析 运两次次分式放缩
(加1)
(加2)
相
四分类放缩
例21求证
解析
例22(2004年全国高中数学联赛加试改编) 面直角坐标系中 轴正半轴点列曲线（≥0）点列满足直线x轴截距点横坐标
(1)证明>>4 (2)证明<
解析(1) 题设：：
直线轴截距满足
显然
(2)证明：设
设时
取：
<成立
例23(2007年泉州市高三质检) 已知函数定义域[－10]值域[－10]数列满足记数列前项问否存正常数A意正整数？证明结
解析首先求出∵
∴∵…
时
常数A设A正整数
时必
存常数A正整数恒成立
例24(2008年中学教学参考)设等式组表示面区域
设整数坐标点数设 时求证
解析容易证证原命题证
五迭代放缩
例25 已知求证时
解析通迭代方法然相加结
例26 设求证意正整数kk≥n恒|Sn+k－Sn|<
解析
六助数列递推关系
例27求证
解析 设
相加
例28 求证
解析 设
相加
例29 求证
解析
七分类讨
例30已知数列前项满足证明：意整数
解析容易
通项中含难直接放缩考虑分项讨：
奇数时
（减项放缩）
①偶数时
②奇数时（添项放缩）①知①②证
八线性规划型放缩
例31 设函数切求值
解析知
单调性知道值值
切充条件 满足约束条件
线性规划值5．
九均值等式放缩
例32设求证
解析 数列通项
注：①应注意握放缩度：述等式右边放缩均值等式放成放度
②根证等式结构特征选取需重等式里
中等式变式公式均供选
例33已知函数[01]值求证：
解析
例34已知正数试证：
解析
令倒序相加
例35求证
解析 等式左
原结成立
例36已知求证
解析
倒序相
例37已知求证
解析
中
例38求证
解析
时仅时取等号
例39已知求证
解析
例40已知函数f(x)x2－(－1)k·2lnx(k∈N*)k奇数 n∈N*时
求证 [f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2)
解析 已知
(1)n1时左式右式0∴等式成立
(2) 左式
令
倒序相加法：
综k奇数时命题成立
例41 （2007年东北三校）已知函数
（1）求函数值求值0时取值范围
（2）令求证：
★例42 (2008年江西高考试题)已知函数意正数证明：．
解析意定
令 ① ②
（）先证
．
．
（二）证①②式中关称性妨设．
（ⅰ）
时．
（ⅱ）③①
④
理⑤ ⑥
证明 ⑦
证 ③显然．
⑦证．⑥ ．
综述正数皆．
例43求证
解析方面
(法二)
方面
十二项放缩
例44 已知证明
解析
45设求证：数列单调递增
解析 引入结：（证略）
整理式（）
代入（）式
单调递增
代入（）式
式切正整数成立切偶数数列单调递增切正整数
注：①述等式加强简证：
利二项展开式进行部分放缩：
取前两项通项作放缩：
②述数列极限存理数时述试题背景：已知正整数（1）证明（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析 第（2）问：代数列递减数列鉴结简捷证法：数列递减
然题题证明方法10种述例5提供假分数性质贝努力等式甚构造分房问题概率模型构造函数等出非常漂亮解决详见文[1]
例46已知a+b1a>0b>0求证：
解析 a+b1a>0b>0认成等差数列设
例47设求证
解析 观察结构注意展开
证
例48求证 解析参见面方法希读者尝试)
例42(2008年北京海淀5月练) 已知函数满足：
①意
②意
（I）试证明：单调增函数
（II）求
（III）令试证明：
解析题亮点道考查力题
(1)运抽象函数性质判断单调性
妨设说单调增函数
(2)问难度较完全解决出需定力
首先发现条件足尝试探索(1)中等式什结发现思路
(1)知令
等式
①
接运迭代思想
②
较技巧方法
判断 ③
然里容易子发现结列项方法项数列出然结
综合①②③
(3)解决通项公式时会遇困难
数列方程
方面方面
综
例49 已知函数f(x)定义域[01]满足列条件：
① 意[01]总②
（Ⅰ）求f(0)值（Ⅱ）求证：f(x)≤4
（Ⅲ）时试证明：
解析 （Ⅰ）解：令①意[01]总 ∴
② ∴
（Ⅱ）解：取设
∴
∴[01]时
（Ⅲ）证明：先数学纳法证明：
（1） n1时等式成立
（2） 假设nk时
nk+1时等式成立
（1）（2）知等式切正整数成立
时
[01]单调递增 ∴
例50 已知： 求证：
解析构造偶式：令
＝
（
十积分放缩
利定积分保号性
保号性指定义积函数
例51求证：
解析 ∵
时 ∴
利定积分估计式界
定积分产生应背景计算曲边梯形面积现估计矩形面积
例52 求证：
解析 考虑函数区间定积分
图显然①
求
例53 已知求证：
解析考虑函数区间定积分
∵②
∴
例54 （2003年全国高考江苏卷）设图已知直线曲线：点横坐标（）点作直线行轴交直线点点作直线行轴交曲线点横坐标构成数列
（Ⅰ）试求关系求通项公式
（Ⅱ）时证明
（Ⅲ）时证明
解析（程略）
证明（II）：知∵∴
∵时
∴
证明（Ⅲ）：知
∴恰表示阴影部分面积
显然 ④
∴
奇巧积累 定积分构建等式略加改造初等证明：
①
②
③
④
十二部分放缩(尾式放缩)
例55求证
解析
例56 设求证：
解析
（中变成进行部分放缩）
例57设数列满足时
证明
解析 数学纳法：时显然成立假设时成立时
成立
利述部分放缩结放缩通项
注：述证明部分放缩然根等式性质整体放缩：证明直接部分放缩结
十三三角等式放缩
例58求证
解析(i)时
(ii)时构造单位圆图示
三角形AOB面积扇形OAB面积
时
时
(iii)时 (ii)知
综
十四加强命题法证明等式
(i)侧加强
证等式方(左侧右侧)进行加强证明证明中通寻找分析纳完成
例59求证切
解析
然题方法
(ii)异侧加强(数学纳法)
(iii)双加强
等式某般性命题特殊情况时妨返璞真通双加强原面目利解决原等式基原理
欲证明证明
例60已知数列满足求证
解析
综
引申已知数列满足求证
解析知
时综
题引申 (2008年浙江高考试题)已知数列
记求证时
(1) (2) ★(3)
解析(1)猜想面数学纳法证明
(i)时结成立
(ii)假设时时
综
(2)… 相加
(3)
综
例61(2008年陕西省高考试题)已知数列首项．
(1)证明意
(2)证明
解析(1)题容易证
证
证设证明
显然成立
综意
(法二)
原等式成立．
(2)(1)知意
．
取
．
原等式成立．
十四典题目方法探究
探究1(2008年福建省高考)已知函数区间值
令求证
证明首先先证明
(方法)
(方法二)相
(方法三)设ABA
面介绍种方法证明
(方法)
(方法二)
令
(方法三)设
(方法四)运数学纳法证明
(i)时左边右边显然等式成立
(ii)假设时时
证明证明成立
说时等式成立综
探究2(2008年全国二卷)设函数果求取值范围．
解析
设
(i)时 恒成立时 恒成立
(ii)时时符合题意
(iii)时令时
单调增加时
时
综取值范围
变式：中
求证
证明：容易
面题目知道
知道
★型衍变(2006年全国卷)已知函数 意 x∈(01) 恒 f (x) >1 求 a取值范围
解析函数f (x)定义域(∞ 1)∪(1 +∞) 导数
(ⅰ) 0< a≤2时 f (x) 区间 (∞ 1) 增函数 意x∈(0 1) 恒 f (x) > f (0) 1 时a满足求
(ⅱ) a>2时 f (x) 区间 ()减函数 区间(0 ) 取点 取 x0∈(0 1) f (x0) < f (0) 1 时a满足求
(ⅲ) a≤0时 意x∈(0 1) 恒
≥ 时a满足求
综知 求 a取值范围 a≤2
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证明数列型等式思维跨度构造性强需较高放缩技巧充满思考性挑战性全面综合考查学生潜继学力成高考压轴题级类竞赛试题命题极素材类问题求解策略：通角度观察数列通项结构深入剖析特征抓住规律进行恰放缩放缩技巧种：
裂项放缩
例1(1)求值 (2)求证
解析(1)
(2)
奇巧积累(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2(1)求证
(2)求证 (3)求证
(4) 求证：
解析(1)
(2)
(3)先运分式放缩法证明出结合进行裂项答案
(4)首先容易裂项
证均值等式知道显然成立
例3求证
解析 方面
方面
时时
时
综
例4(2008年全国卷)设函数数列满足
设整数证明
解析 数学纳法证明递增数列
存正整数
知
例5已知求证
解析首先证明
证
证
证
等价
等价 正成立原命题成立
例6已知求证
解析
例7已知求证
证明
二函数放缩
例8求证：
解析先构造函数
cause
例9求证(1)
解析构造函数进行裂项求答案
函数构造形式
例10求证
解析提示
函数构造形式
然题证明运积分放缩
图取函数
首先
取
…相加
方面
取
综
例11求证解析构造函数证明
例12求证 解析叠加答案
函数构造形式(加强命题)
例13证明
解析构造函数求导
令令
令
例14 已知证明
解析
然两边取然数
然运裂项答案)
放缩思路：
注：题目条件（）结起提醒思路探索放缩方作然题结放缩：
例16(2008年福州市质检)已知函数
解析设函数
∴函数）单调递增单调递减∴值总
令
例15(2008年厦门市质检) 已知函数处处导函数恒成立
(I)求证：函数增函数 (II)
(III)已知等式时恒成立
求证：
解析(I)函数增函数
(II)增函数
两式相加
(3)
……
相加
令
(方法二)
三分式放缩
姐妹等式
记忆口诀者者
解释bb等号号反
例19 姐妹等式
表示成
解析 利假分数性质
例20证明
解析 运两次次分式放缩
(加1)
(加2)
相
四分类放缩
例21求证
解析
例22(2004年全国高中数学联赛加试改编) 面直角坐标系中 轴正半轴点列曲线（≥0）点列满足直线x轴截距点横坐标
(1)证明>>4 (2)证明<
解析(1) 题设：：
直线轴截距满足
显然
(2)证明：设
设时
取：
<成立
例23(2007年泉州市高三质检) 已知函数定义域[－10]值域[－10]数列满足记数列前项问否存正常数A意正整数？证明结
解析首先求出∵
∴∵…
时
常数A设A正整数
时必
存常数A正整数恒成立
例24(2008年中学教学参考)设等式组表示面区域
设整数坐标点数设 时求证
解析容易证证原命题证
五迭代放缩
例25 已知求证时
解析通迭代方法然相加结
例26 设求证意正整数kk≥n恒|Sn+k－Sn|<
解析
六助数列递推关系
例27求证
解析 设
相加
例28 求证
解析 设
相加
例29 求证
解析
七分类讨
例30已知数列前项满足证明：意整数
解析容易
通项中含难直接放缩考虑分项讨：
奇数时
（减项放缩）
①偶数时
②奇数时（添项放缩）①知①②证
八线性规划型放缩
例31 设函数切求值
解析知
单调性知道值值
切充条件 满足约束条件
线性规划值5．
九均值等式放缩
例32设求证
解析 数列通项
注：①应注意握放缩度：述等式右边放缩均值等式放成放度
②根证等式结构特征选取需重等式里
中等式变式公式均供选
例33已知函数[01]值求证：
解析
例34已知正数试证：
解析
令倒序相加
例35求证
解析 等式左
原结成立
例36已知求证
解析
倒序相
例37已知求证
解析
中
例38求证
解析
时仅时取等号
例39已知求证
解析
例40已知函数f(x)x2－(－1)k·2lnx(k∈N*)k奇数 n∈N*时
求证 [f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2)
解析 已知
(1)n1时左式右式0∴等式成立
(2) 左式
令
倒序相加法：
综k奇数时命题成立
例41 （2007年东北三校）已知函数
（1）求函数值求值0时取值范围
（2）令求证：
★例42 (2008年江西高考试题)已知函数意正数证明：．
解析意定
令 ① ②
（）先证
．
．
（二）证①②式中关称性妨设．
（ⅰ）
时．
（ⅱ）③①
④
理⑤ ⑥
证明 ⑦
证 ③显然．
⑦证．⑥ ．
综述正数皆．
例43求证
解析方面
(法二)
方面
十二项放缩
例44 已知证明
解析
45设求证：数列单调递增
解析 引入结：（证略）
整理式（）
代入（）式
单调递增
代入（）式
式切正整数成立切偶数数列单调递增切正整数
注：①述等式加强简证：
利二项展开式进行部分放缩：
取前两项通项作放缩：
②述数列极限存理数时述试题背景：已知正整数（1）证明（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析 第（2）问：代数列递减数列鉴结简捷证法：数列递减
然题题证明方法10种述例5提供假分数性质贝努力等式甚构造分房问题概率模型构造函数等出非常漂亮解决详见文[1]
例46已知a+b1a>0b>0求证：
解析 a+b1a>0b>0认成等差数列设
例47设求证
解析 观察结构注意展开
证
例48求证 解析参见面方法希读者尝试)
例42(2008年北京海淀5月练) 已知函数满足：
①意
②意
（I）试证明：单调增函数
（II）求
（III）令试证明：
解析题亮点道考查力题
(1)运抽象函数性质判断单调性
妨设说单调增函数
(2)问难度较完全解决出需定力
首先发现条件足尝试探索(1)中等式什结发现思路
(1)知令
等式
①
接运迭代思想
②
较技巧方法
判断 ③
然里容易子发现结列项方法项数列出然结
综合①②③
(3)解决通项公式时会遇困难
数列方程
方面方面
综
例49 已知函数f(x)定义域[01]满足列条件：
① 意[01]总②
（Ⅰ）求f(0)值（Ⅱ）求证：f(x)≤4
（Ⅲ）时试证明：
解析 （Ⅰ）解：令①意[01]总 ∴
② ∴
（Ⅱ）解：取设
∴
∴[01]时
（Ⅲ）证明：先数学纳法证明：
（1） n1时等式成立
（2） 假设nk时
nk+1时等式成立
（1）（2）知等式切正整数成立
时
[01]单调递增 ∴
例50 已知： 求证：
解析构造偶式：令
＝
（
十积分放缩
利定积分保号性
保号性指定义积函数
例51求证：
解析 ∵
时 ∴
利定积分估计式界
定积分产生应背景计算曲边梯形面积现估计矩形面积
例52 求证：
解析 考虑函数区间定积分
图显然①
求
例53 已知求证：
解析考虑函数区间定积分
∵②
∴
例54 （2003年全国高考江苏卷）设图已知直线曲线：点横坐标（）点作直线行轴交直线点点作直线行轴交曲线点横坐标构成数列
（Ⅰ）试求关系求通项公式
（Ⅱ）时证明
（Ⅲ）时证明
解析（程略）
证明（II）：知∵∴
∵时
∴
证明（Ⅲ）：知
∴恰表示阴影部分面积
显然 ④
∴
奇巧积累 定积分构建等式略加改造初等证明：
①
②
③
④
十二部分放缩(尾式放缩)
例55求证
解析
例56 设求证：
解析
（中变成进行部分放缩）
例57设数列满足时
证明
解析 数学纳法：时显然成立假设时成立时
成立
利述部分放缩结放缩通项
注：述证明部分放缩然根等式性质整体放缩：证明直接部分放缩结
十三三角等式放缩
例58求证
解析(i)时
(ii)时构造单位圆图示
三角形AOB面积扇形OAB面积
时
时
(iii)时 (ii)知
综
十四加强命题法证明等式
(i)侧加强
证等式方(左侧右侧)进行加强证明证明中通寻找分析纳完成
例59求证切
解析
然题方法
(ii)异侧加强(数学纳法)
(iii)双加强
等式某般性命题特殊情况时妨返璞真通双加强原面目利解决原等式基原理
欲证明证明
例60已知数列满足求证
解析
综
引申已知数列满足求证
解析知
时综
题引申 (2008年浙江高考试题)已知数列
记求证时
(1) (2) ★(3)
解析(1)猜想面数学纳法证明
(i)时结成立
(ii)假设时时
综
(2)… 相加
(3)
综
例61(2008年陕西省高考试题)已知数列首项．
(1)证明意
(2)证明
解析(1)题容易证
证
证设证明
显然成立
综意
(法二)
原等式成立．
(2)(1)知意
．
取
．
原等式成立．
十四典题目方法探究
探究1(2008年福建省高考)已知函数区间值
令求证
证明首先先证明
(方法)
(方法二)相
(方法三)设ABA
面介绍种方法证明
(方法)
(方法二)
令
(方法三)设
(方法四)运数学纳法证明
(i)时左边右边显然等式成立
(ii)假设时时
证明证明成立
说时等式成立综
探究2(2008年全国二卷)设函数果求取值范围．
解析
设
(i)时 恒成立时 恒成立
(ii)时时符合题意
(iii)时令时
单调增加时
时
综取值范围
变式：中
求证
证明：容易
面题目知道
知道
★型衍变(2006年全国卷)已知函数 意 x∈(01) 恒 f (x) >1 求 a取值范围
解析函数f (x)定义域(∞ 1)∪(1 +∞) 导数
(ⅰ) 0< a≤2时 f (x) 区间 (∞ 1) 增函数 意x∈(0 1) 恒 f (x) > f (0) 1 时a满足求
(ⅱ) a>2时 f (x) 区间 ()减函数 区间(0 ) 取点 取 x0∈(0 1) f (x0) < f (0) 1 时a满足求
(ⅲ) a≤0时 意x∈(0 1) 恒
≥ 时a满足求
综知 求 a取值范围 a≤2
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