2019届衡水中学高三第三次质检数学（理）试题
单选题
1．已知集合 （ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析求出集合A{x|x＜1}B{x|ex＜1}{x|x＜0} {x|x≥0} {x|x≥1}求出结果．
详解
∵集合A{x|x＜1}B{x|ex＜1}{x|x＜0}
{x|x≥0} {x|x≥1}
∴A∩B{x|x＜0}A错误
A∪B{x|x＜1}C错误
B 正确
D错误．
选B．
点睛
题考查集合集合关系判断考查补集交集集等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想属基础题．
2．已知虚数单位（ ）
A．1 B． C． D．2
答案C
解析根复数法运算复数相等概念参数值进结果
详解
虚数单位
根复数相等
答案C
点睛
题目考查复数法运算复数相等概念复数相等充条件．复数相等充条件化复实求解参数值取值范围．步骤：分分离出两复数实部虚部利实部实部相等虚部虚部相等列方程（组）求解．
3．量正方形网格中位置图示量线实数（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析图根量线性运算法直接表示出进出
详解
题中图：
选D
点睛
题考查量线性运算熟记量线性运算法出结果属基础题型
4．函数f(x)sin(x+)+cos(x−)值
A． B．1 C． D．
答案A
解析诱导公式
函数值
选A
名师点睛三角恒等变换综合应三角变换三角函数性质相结合通变换函数化形式助三角函数图研究性质解题时注意观察角函数名结构等特征．
5．七巧板国古代劳动民发明誉东方模板五块等腰直角三角形块正方形块行四边形七块板组成图七巧板拼成正方形正方形中取点点取黑色部分概率（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析分析：七巧板构造设正方形边长1计算出黑色行四边形黑色等腰直角三角形面积．
详解：设正方形边长1黑色行四边形底高黑色等腰直角三角形直角边2斜边2正方形边长2
选C．
点睛：题考查概型七巧板构造设正方形边长1通分析观察求黑色行四边形底高求出黑色等腰直角三角形直角边斜边长进计算出黑色行四边形黑色等腰直角三角形面积黑色部分面积正方形面积概率属较易题型．
6．已知函数单调递减（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案C
解析先函数转化y＝logatt＝两基函数利复合函数求解．
详解
减函数
单调递减
充分必条件
选
点睛
题考查复合函数关键分解两基函数利增异减结研究单调性求参数范围属基础题．
7．定函数图象列四选项中意关系式数列满足该函数图象( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利已知条件推出判断函数图象推出选项．
详解
题定函数图象列四选项中意关系式数列满足．成立
函数图象方．
选A．
点睛
题考查函数图象判断数列函数关系属基础题．
8．某体三视图图示中视图左视图均高2三角形构成俯视图半径3圆接正三角形构成该体体积( )
A． B． C． D．
答案A
解析三视图知该体底面边长高正三棱锥底面半径高圆锥组合成利锥体体积公式结果
详解
三视图知该体底面边长
高正三棱锥
底面半径高圆锥组合成
正三棱锥体积
圆锥体积
组合体体积选A
点睛
题利空间体三视图重点考查学生空间想象力抽象思维力属难题三视图问题考查学生空间想象力常见题型高考热点观察三视图翻译成直观图解题关键注意三视图三素高齐长正宽相等特注意实线虚线相图形位置体直观图影响简单组合体三视图问题先俯视图确定底面形状根正视图侧视图确定组合体形状
9．设双曲线左右焦点分 作轴垂线双曲线第象限交点已知 点双曲线右支动点恒成立双曲线离心率取值范围( )
A． B． C． D．
答案A
解析令xc代入双曲线方程
3a2>2b22(c2−a2)
①
恒成立
双曲线定义2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立
F2PQ线时|PF2|+|PQ|取值|F2Q|
3c<2a+
<②
e>1结合①②
e范围(1)
选：A
点睛：解决椭圆双曲线离心率求值范围问题关键确立关abc方程等式根abc关系消掉bac关系式建立关abc方程等式充分利椭圆双曲线性质点坐标范围等
10．已知实数满足恒成立取值范围( )
A． B． C． D．
答案D
解析题意作出等式组应行域根图象点斜率直线结合图象求解
详解
题意实数满足
作出约束条件表示面区域图示
函数图象点斜率直线
等式恒成立恒成立
结合图象知直线点时斜率取值
实数取值范围选D
点睛
题考查简单线性规划应中解答中正确求解约束条件应等式组作出约束条件表示面区域根斜率公式求解解答关键着重考查数形结合思想推理计算力
11．已知三棱锥中 直线底面成角时三棱锥外接球表面积 （ ）
A． B． C． D．
答案A
解析取中点判断三棱锥外接球球心求出结果
详解
取中点
直线底面成角
三棱锥外接球球心
三棱锥外接球表面积
选A
点睛
题考查体外接球相关计算熟记球表面积公式属常考题型
12．知函数定义奇函数时函数零点（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
答案B
解析已知分析出函数偶函数零点必然关原点称零点函数零点函数零点求出零点答案．
详解
解：函数定义奇函数．
函数
函数偶函数
函数零点相反数形式成出现．
函数零点
函数零点函数零点．
时
函数值域仅时
时
函数值域
函数值域
函数值域仅时
函数值域仅时
恒成立零点
理零点
类推函数零点
综函数零点8
选：．
点睛
题考查知识点函数奇偶性函数零点函数图象性质中寻找零点数时难度较纳猜想方法进行处理．
二填空题
13．曲线直线围成封闭图形面积__________．
答案
解析定积分意义：封闭图形面积
14．展开式中系数________
答案15
解析写出展开式通项求出含项答案求．
详解
解：
展开式通项．
（舍．
展开式中系数．
答案：．
点睛
题考查二项式定理应问题解题时应灵活应二项展开式通项公式属基础题．
15．抛物线焦点直线交两点点处切线轴分交点面积_________________
答案2
解析设出直线方程设出点坐标求切线方程求坐标代入三角形面积公式列方程解点坐标根抛物线定义求值
详解
题意焦点设直线妨设左交点切线解根抛物线定义
点睛
题考查直线抛物线位置关系考查抛物线切线方程考查抛物线定义属中档题
16．已知锐角三角余弦值分等钝角三角正弦值中值_______
答案
解析钝角正弦定理
三解答题
17．已知等差数列前5项50数列前项
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）数列满足求值
答案(1) (2)
解析试题分析： （I）设等差数列{an}公差d利等差数列通项公式前n项公式首项公差求出数列{an}通项公式根数列递推公式{bn}首项1公4等数列求出数列{bn}通项公式
（II）根数列递推公式先求出{cn}通项公式分组求．
试题解析
（Ⅰ）设等差数列公差．
题意 解
时
时
两式相减
首项1公4等数列
．
（Ⅱ）
时
两式相减
时符合式
18．图口中翻折位置面面
（1）求证：面
（2）线段点满足二面角求值
答案（1）证明见解析
(2)
解析试题分析：(1)中余弦定理知作点面面垂直性质定理面 ∵证
（2）原点方轴正方建立图示空间直角坐标系二面角60°布列关方程解
试题解析：
（1）中余弦定理
∴
∴∴
作点
∵面面
面面
∴面
∵面
∴
∵
∴面
∵面
∴
∴面
（2）（1）知两两垂直原点方轴正方建立图示空间直角坐标系
设
设面法量
取
面法量取
∴
∵
∴
19．某次数学知识赛中6题目位学中机抽取3题目进行作答已知6题目中甲正确作答中4乙正确作答题目概率均甲乙两位学题目作答相互独立互影响
（1）求甲乙两位学总正确作答3题目概率
（2）甲乙两位学答题目数分甲班级少名学生参赛甲答题15分乙答题10分求甲乙两分期
答案（1）（2）50
解析（1）题意知答3题分3种情况：甲答1题乙答2题甲答2题乙答1题甲答3题乙答0题．求出甲乙两位学总正确作答3题目概率．
（2）取值123．分求出相应概率求出题意知．利．
详解
解：（1）题意知答3题分3种情况：甲答1题乙答2题甲答2题乙答1题甲答3题乙答0题求概率
（2）取值123
题意知
点睛
题考查概率求法考查离散型机变量分布列数学期求法考查古典概型二项分布等基础知识考查运求解力考查函数方程思想属中档题．
20．面直角坐标系中已知定点点轴运动点轴运动点坐标面动点满足
（1）求动点轨迹方程
（2）曲线第象限点（中）作切线交直线点连结延长交直线点求面积取值时切点横坐标
答案（1）（2）
解析（1）设点已知条件推导出点求出动点轨迹方程
（2）分求出切线 方程求 坐标写出三角形面积利导数求解△面积取值时切点横坐标．
详解
解：（1）设
（2）
曲线第象限点
（中）作曲线切线切线斜率
切线：代入
直线：代入
抛物线第象限
设
点睛
题考查点轨迹方程求法考查斜率相等证明解题时认真审题注意根判式韦达定理合理运
21．已知函数
（1）时讨函数单调性
（2）求证：
答案(1)答案见解析(2)证明见解析
解析（1）求导导函数通两种情况确定正负函数单调性（2）问题转化证明：设需证通求导运算知通零点存定理断确定值位置证证结
详解
（1）函数定义域
①时单调递减
②时时
时时
单调递减单调递増
（2）欲证
需证
证
设函数
时函数单调递增
设函数
设函数
时
存
函数单调递增单调递减
时
时
存
时时
函数单调递增单调递减
时
点睛
题考查讨含参数函数单调性恒成立问题证明关键够恒成立等式变成两函数间较两函数间关系较通常采值间较通证明结
22．直角坐标系中坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程曲线极坐标方程
（1）求曲线直角坐标方程
（2）设曲线交点曲线轴交点求线段中点点距离
答案（1）（2）
解析分析：（1）利极坐标直角坐标互化公式曲线直角坐标方程
（2）写出曲线参数方程代入曲线直角坐标方程根根系数关系求解．
详解：（1）曲线极坐标方程化：
曲线直角坐标方程：
曲线极坐标方程化：
曲线直角坐标方程：
（2）点坐标倾斜角
参数方程：（参数）
参数方程代入曲线直角坐标方程：
整理：判式
中点应参数线段中点点距离
点睛：题考查极坐标直角坐标互化直线参数方程应熟记极坐标直角坐标互化公式解答关键着重考查推理运算力．
23．选修45：等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解等式
（Ⅱ）意存求实数取值范围．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析试题分析：(1)零点分区间掉绝值分段求解（2）原题等价值域包含值域
详解：
（Ⅰ）
①时
②时
③时
综：等式解集
（Ⅱ）意存成立
值域包含值域知
等号成立
取值范围
点睛：题目考查含绝值等式解法绝值三角等式应函数值域问题般解含绝值等式根零点分区间绝值掉分段解等式
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单选题
1．已知集合 （ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析求出集合A{x|x＜1}B{x|ex＜1}{x|x＜0} {x|x≥0} {x|x≥1}求出结果．
详解
∵集合A{x|x＜1}B{x|ex＜1}{x|x＜0}
{x|x≥0} {x|x≥1}
∴A∩B{x|x＜0}A错误
A∪B{x|x＜1}C错误
B 正确
D错误．
选B．
点睛
题考查集合集合关系判断考查补集交集集等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想属基础题．
2．已知虚数单位（ ）
A．1 B． C． D．2
答案C
解析根复数法运算复数相等概念参数值进结果
详解
虚数单位
根复数相等
答案C
点睛
题目考查复数法运算复数相等概念复数相等充条件．复数相等充条件化复实求解参数值取值范围．步骤：分分离出两复数实部虚部利实部实部相等虚部虚部相等列方程（组）求解．
3．量正方形网格中位置图示量线实数（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析图根量线性运算法直接表示出进出
详解
题中图：
选D
点睛
题考查量线性运算熟记量线性运算法出结果属基础题型
4．函数f(x)sin(x+)+cos(x−)值
A． B．1 C． D．
答案A
解析诱导公式
函数值
选A
名师点睛三角恒等变换综合应三角变换三角函数性质相结合通变换函数化形式助三角函数图研究性质解题时注意观察角函数名结构等特征．
5．七巧板国古代劳动民发明誉东方模板五块等腰直角三角形块正方形块行四边形七块板组成图七巧板拼成正方形正方形中取点点取黑色部分概率（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析分析：七巧板构造设正方形边长1计算出黑色行四边形黑色等腰直角三角形面积．
详解：设正方形边长1黑色行四边形底高黑色等腰直角三角形直角边2斜边2正方形边长2
选C．
点睛：题考查概型七巧板构造设正方形边长1通分析观察求黑色行四边形底高求出黑色等腰直角三角形直角边斜边长进计算出黑色行四边形黑色等腰直角三角形面积黑色部分面积正方形面积概率属较易题型．
6．已知函数单调递减（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案C
解析先函数转化y＝logatt＝两基函数利复合函数求解．
详解
减函数
单调递减
充分必条件
选
点睛
题考查复合函数关键分解两基函数利增异减结研究单调性求参数范围属基础题．
7．定函数图象列四选项中意关系式数列满足该函数图象( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利已知条件推出判断函数图象推出选项．
详解
题定函数图象列四选项中意关系式数列满足．成立
函数图象方．
选A．
点睛
题考查函数图象判断数列函数关系属基础题．
8．某体三视图图示中视图左视图均高2三角形构成俯视图半径3圆接正三角形构成该体体积( )
A． B． C． D．
答案A
解析三视图知该体底面边长高正三棱锥底面半径高圆锥组合成利锥体体积公式结果
详解
三视图知该体底面边长
高正三棱锥
底面半径高圆锥组合成
正三棱锥体积
圆锥体积
组合体体积选A
点睛
题利空间体三视图重点考查学生空间想象力抽象思维力属难题三视图问题考查学生空间想象力常见题型高考热点观察三视图翻译成直观图解题关键注意三视图三素高齐长正宽相等特注意实线虚线相图形位置体直观图影响简单组合体三视图问题先俯视图确定底面形状根正视图侧视图确定组合体形状
9．设双曲线左右焦点分 作轴垂线双曲线第象限交点已知 点双曲线右支动点恒成立双曲线离心率取值范围( )
A． B． C． D．
答案A
解析令xc代入双曲线方程
3a2>2b22(c2−a2)
①
恒成立
双曲线定义2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立
F2PQ线时|PF2|+|PQ|取值|F2Q|
3c<2a+
<②
e>1结合①②
e范围(1)
选：A
点睛：解决椭圆双曲线离心率求值范围问题关键确立关abc方程等式根abc关系消掉bac关系式建立关abc方程等式充分利椭圆双曲线性质点坐标范围等
10．已知实数满足恒成立取值范围( )
A． B． C． D．
答案D
解析题意作出等式组应行域根图象点斜率直线结合图象求解
详解
题意实数满足
作出约束条件表示面区域图示
函数图象点斜率直线
等式恒成立恒成立
结合图象知直线点时斜率取值
实数取值范围选D
点睛
题考查简单线性规划应中解答中正确求解约束条件应等式组作出约束条件表示面区域根斜率公式求解解答关键着重考查数形结合思想推理计算力
11．已知三棱锥中 直线底面成角时三棱锥外接球表面积 （ ）
A． B． C． D．
答案A
解析取中点判断三棱锥外接球球心求出结果
详解
取中点
直线底面成角
三棱锥外接球球心
三棱锥外接球表面积
选A
点睛
题考查体外接球相关计算熟记球表面积公式属常考题型
12．知函数定义奇函数时函数零点（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
答案B
解析已知分析出函数偶函数零点必然关原点称零点函数零点函数零点求出零点答案．
详解
解：函数定义奇函数．
函数
函数偶函数
函数零点相反数形式成出现．
函数零点
函数零点函数零点．
时
函数值域仅时
时
函数值域
函数值域
函数值域仅时
函数值域仅时
恒成立零点
理零点
类推函数零点
综函数零点8
选：．
点睛
题考查知识点函数奇偶性函数零点函数图象性质中寻找零点数时难度较纳猜想方法进行处理．
二填空题
13．曲线直线围成封闭图形面积__________．
答案
解析定积分意义：封闭图形面积
14．展开式中系数________
答案15
解析写出展开式通项求出含项答案求．
详解
解：
展开式通项．
（舍．
展开式中系数．
答案：．
点睛
题考查二项式定理应问题解题时应灵活应二项展开式通项公式属基础题．
15．抛物线焦点直线交两点点处切线轴分交点面积_________________
答案2
解析设出直线方程设出点坐标求切线方程求坐标代入三角形面积公式列方程解点坐标根抛物线定义求值
详解
题意焦点设直线妨设左交点切线解根抛物线定义
点睛
题考查直线抛物线位置关系考查抛物线切线方程考查抛物线定义属中档题
16．已知锐角三角余弦值分等钝角三角正弦值中值_______
答案
解析钝角正弦定理
三解答题
17．已知等差数列前5项50数列前项
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）数列满足求值
答案(1) (2)
解析试题分析： （I）设等差数列{an}公差d利等差数列通项公式前n项公式首项公差求出数列{an}通项公式根数列递推公式{bn}首项1公4等数列求出数列{bn}通项公式
（II）根数列递推公式先求出{cn}通项公式分组求．
试题解析
（Ⅰ）设等差数列公差．
题意 解
时
时
两式相减
首项1公4等数列
．
（Ⅱ）
时
两式相减
时符合式
18．图口中翻折位置面面
（1）求证：面
（2）线段点满足二面角求值
答案（1）证明见解析
(2)
解析试题分析：(1)中余弦定理知作点面面垂直性质定理面 ∵证
（2）原点方轴正方建立图示空间直角坐标系二面角60°布列关方程解
试题解析：
（1）中余弦定理
∴
∴∴
作点
∵面面
面面
∴面
∵面
∴
∵
∴面
∵面
∴
∴面
（2）（1）知两两垂直原点方轴正方建立图示空间直角坐标系
设
设面法量
取
面法量取
∴
∵
∴
19．某次数学知识赛中6题目位学中机抽取3题目进行作答已知6题目中甲正确作答中4乙正确作答题目概率均甲乙两位学题目作答相互独立互影响
（1）求甲乙两位学总正确作答3题目概率
（2）甲乙两位学答题目数分甲班级少名学生参赛甲答题15分乙答题10分求甲乙两分期
答案（1）（2）50
解析（1）题意知答3题分3种情况：甲答1题乙答2题甲答2题乙答1题甲答3题乙答0题．求出甲乙两位学总正确作答3题目概率．
（2）取值123．分求出相应概率求出题意知．利．
详解
解：（1）题意知答3题分3种情况：甲答1题乙答2题甲答2题乙答1题甲答3题乙答0题求概率
（2）取值123
题意知
点睛
题考查概率求法考查离散型机变量分布列数学期求法考查古典概型二项分布等基础知识考查运求解力考查函数方程思想属中档题．
20．面直角坐标系中已知定点点轴运动点轴运动点坐标面动点满足
（1）求动点轨迹方程
（2）曲线第象限点（中）作切线交直线点连结延长交直线点求面积取值时切点横坐标
答案（1）（2）
解析（1）设点已知条件推导出点求出动点轨迹方程
（2）分求出切线 方程求 坐标写出三角形面积利导数求解△面积取值时切点横坐标．
详解
解：（1）设
（2）
曲线第象限点
（中）作曲线切线切线斜率
切线：代入
直线：代入
抛物线第象限
设
点睛
题考查点轨迹方程求法考查斜率相等证明解题时认真审题注意根判式韦达定理合理运
21．已知函数
（1）时讨函数单调性
（2）求证：
答案(1)答案见解析(2)证明见解析
解析（1）求导导函数通两种情况确定正负函数单调性（2）问题转化证明：设需证通求导运算知通零点存定理断确定值位置证证结
详解
（1）函数定义域
①时单调递减
②时时
时时
单调递减单调递増
（2）欲证
需证
证
设函数
时函数单调递增
设函数
设函数
时
存
函数单调递增单调递减
时
时
存
时时
函数单调递增单调递减
时
点睛
题考查讨含参数函数单调性恒成立问题证明关键够恒成立等式变成两函数间较两函数间关系较通常采值间较通证明结
22．直角坐标系中坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程曲线极坐标方程
（1）求曲线直角坐标方程
（2）设曲线交点曲线轴交点求线段中点点距离
答案（1）（2）
解析分析：（1）利极坐标直角坐标互化公式曲线直角坐标方程
（2）写出曲线参数方程代入曲线直角坐标方程根根系数关系求解．
详解：（1）曲线极坐标方程化：
曲线直角坐标方程：
曲线极坐标方程化：
曲线直角坐标方程：
（2）点坐标倾斜角
参数方程：（参数）
参数方程代入曲线直角坐标方程：
整理：判式
中点应参数线段中点点距离
点睛：题考查极坐标直角坐标互化直线参数方程应熟记极坐标直角坐标互化公式解答关键着重考查推理运算力．
23．选修45：等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解等式
（Ⅱ）意存求实数取值范围．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析试题分析：(1)零点分区间掉绝值分段求解（2）原题等价值域包含值域
详解：
（Ⅰ）
①时
②时
③时
综：等式解集
（Ⅱ）意存成立
值域包含值域知
等号成立
取值范围
点睛：题目考查含绝值等式解法绝值三角等式应函数值域问题般解含绝值等式根零点分区间绝值掉分段解等式
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