专题六 数列
第十八讲 数列综合应
2019 年
1（2019 浙江 10）设 ab∈R数列{an}中 anaan+1an
2+b n N
A． b 1
2 时a10＞10 B． b 1
4 时a10＞10
C． b2 时a10＞10 D． b4 时a10＞10
2（2019 浙江 20）设等差数列{}na 前 n 项 nS 3 4a 43aS 数列{}nb 满足：
12n n n n n nn S b S b S b
N 成等数列
（1）求数列{ }{ }nnab通项公式
（2）记 2
n
n
n
acnb
N 证明： 12+ 2 nc c c n n N
3（2019 江苏 20）定义首项 1 公正数等数列M－数列
（1）已知等数列{an}*()nN 满足： 2 4 5 3 2 4 4 4 0a a a a a a 求证：数列{an}M
－数列
（2）已知数列{bn} 满足： 1
1
1 2 21
n n n
b S b b
中 Sn 数列{bn}前 n 项．
①求数列{bn}通项公式
②设 m 正整数存M－数列{cn}意正整数 k k≤m 时
1k k kc b c 剟 成立求 m 值．
4（2019 北京理 20）已知数列 na 中选取第 1i 项第 2i 项…第 mi 项 12 mi i i
12 mi i ia a a L称新数列
12 mi i ia a a L 长度 m 递增子列规定：数列
意项 长度 1 递增子列
（Ⅰ）写出数列 1837569 长度 4 递增子列
（Ⅱ）已知数列 长度 P 递增子列末项值
oma 长度 q 递增子
列末项值
ona p
（Ⅲ）设穷数列 na 项均正整数意两项均相等 长度 s
递增子列末项值 2s1长度 s 末项 2s1 递增子列恰 12s （ s12…）
求数列 通项公式
20102018 年
选择题
1．（ 2017 新课标Ⅰ）位学生响应国家创业号召开发款应软件．激发家
学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动．款软件激活码
面数学问题答案：已知数列 1121241248124816 „
中第项 02 接两项 02 12 接三项 22 类
推．求满足条件整数 N： 100N 该数列前 N 项 2 整数幂．
该款软件激活码
A．440 B．330 C．220 D．110
2．（ 2016 年全国Ⅲ）定义规范 01 数列{}na ： 2m 项中 m 项 0 项
1意 2km 12 ka a a 中 0 数少 1 数． 4
规范 01 数列
（A）18 （B）16 （C）14 （D）12
3 ．(2015 湖北) 设 12 na a a R 3n≥ ． p ： 12 na a a 成等数列 q ：
2 2 2
1 2 1()na a a 2 2 2 2
2 3 1 2 2 3 1()()n n na a a a a a a a a
A．p q 充分条件 q 必条件
B．p q 必条件 q 充分条件
C．p q 充分必条件
D．p q 充分条件 q 必条件
4．（ 2014 新课标 2）等差数列 na 公差 2 2a 4a 8a 成等数列 前 n
项 nS
A． 1nn B． 1nn C． 1
2
nn
D． 1
2
nn
5．（ 2014 浙江）设函数 2
1 )( xxf )(2)( 2
2 xxxf |2sin|3
1)(3 xxf
99i
ia
012 99i 记 10| ( ) ( ) |k k kI f a f a 21| ( ) ( ) |kkf a f a
99 98| ( ) ( ) |kkf a f a 321k
A． 321 III B． 312 III C． 231 III D． 123 III
二填空题
6．(2018 江苏)已知集合 *{ | 2 1 }A x x n n N*{ | 2 }nB x x n N． AB元
素次排列构成数列{}na ．记 nS 数列{}na 前 n 项
112nnSa 成立 n 值 ．
7．（ 2015 陕西）中位数 1 010 组数构成等差数列末项 2 015该数列首项
．
8．（ 2014 新课标 2）数列 na 满足 1
1
1n
n
a a
2a 2 1a _________．
9．（ 2013 重庆）已知 na 等差数列 1 1a 公差 0d nS 前 n 项 1 2 5a a a
成等数列 8 _____S ．
10．（2011 江苏）设 7211 aaa 中 7531 aaaa 成公 q 等数列
642 aaa 成公差 1 等差数列 值________．
11．（ 2011 浙江）数列 2( 4)( )3
nnn
中项第 k 项 k _______________．
三解答题
12．(2018 江苏)设{}na 首项 1a 公差 d 等差数列{}nb 首项 1b 公 q
等数列．
(1)设 110 1 2a b q 1||nna b b ≤ 1234n 均成立求 d 取值范围
(2) *
110 (1 2]ma b m q N 证 明 ： 存 d R 1||nna b b ≤
23 1nm均成立求 d 取值范围（ 1b m q 表示）．
13．（ 2017 天津）已知{}na 等差数列前 n 项 ()nSn N{}nb 首项 2 等
数列公 0 2312bb 3 4 12b a a 11 411Sb ．
（Ⅰ）求 通项公式
（Ⅱ）求数列 2 2 1{}nnab 前 n 项()n N．
14．（ 2017 浙江）已知数列{}nx 满足： 1 1x 11ln(1 )n n nx x x ()n *N．
证明： n *N 时
（Ⅰ） 10 nnxx
（Ⅱ） 1
12 2
nn
nn
xxxx
≤
（Ⅲ） 12
11
22nnnx≤ ≤ ．
15．（ 2016 年四川高考）已知数列{ na }首项 1 nS 数列{}前 n 项
1 1nnS qS 中 q>0*nN
（I） 2322 2a a a 成等差数列求 通项公式
(Ⅱ)设双曲线
2
2
2 1
n
yx a离心率 ne 2
5
3e 证明： 12 1
43
3
nn
n ne e e
．
16．（2015 湖北）设等差数列{}na 公差 d前 n 项 nS等数列{}nb 公 q．已
知 11ba 2 2b qd 10 100S ．
（Ⅰ）求数列{}na {}nb 通项公式
（Ⅱ） 1d 时记 n
n
n
ac b 求数列{}nc 前 n 项 nT．
17．（ 2015 陕西）设 nfx等数列1x 2x nx 项中 0x n
2n≥ ．
（Ⅰ）证明：函数 2nnF x f x 1( 1)2
仅零点（记 nx ）
111
22
n
nnxx
（Ⅱ）设述等数列首项末项项数分相等差数列项
ngx较 nfx ngx加证明．
18．（2015 重庆）数列 na 中 1 3a 2
110n n n na a a a ()nN ．
（Ⅰ） 0 2 求数列 通项公式
（Ⅱ） 00
0
1 ( 2)k N kk ≥ 1 证明：
0 1
00
11223 1 2 1kakk
．
19．(2014 山东）已知等差数列 }{ na 公差 2前 n 项 nS 1S 2S 4S 成等数
列．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）令 nb 4)1(
1
1
nn
n
aa
n 求数列 }{ nb 前 项 nT．
20．（ 2014浙江）已知数列 na nb 满足 Nnaaa nb
n 221 ． 等数列
62 231 bba
（Ⅰ）求 na nb
（Ⅱ）设 Nnbac
nn
n
11 ．记数列 nc 前 n 项 nS．
（ⅰ）求
（ⅱ）求正整数 k 意 Nn 均 nk SS ．
21．（ 2014 湖南）已知数列{ na }满足 *
111| | n
nna a a p n N
（Ⅰ）{}递增数列 1 2 32 3a a a 成等差数列求 p 值
（Ⅱ） 1
2p { 21na }递增数列{ 2na }递减数列求数列{}通项公式．
22．（ 2014 四川）设等差数列{}na 公差 d 点()nnab函数 ( ) 2xfx 图象
（*nN ）．
（Ⅰ） 1 2a 点 87( 4 )ab函数 ()fx图象求数列{}na 前 n 项 nS
（Ⅱ） 1 1a 函数 ()fx图象点 22()ab 处切线 x 轴截距 12 ln 2
求数列{}n
n
a
b 前 n 项 nT．
23．(2014 江苏)设数列 }{ na 前 n 项 nS．意正整数 n 总存正整数 m
mn aS 称 H 数列．
（Ⅰ）数列 前 n 项 n
nS 2 ( n N )证明 H 数列
（Ⅱ）设 等差数列首项 11 a 公差 0d ． H 数列求 d
值
（Ⅲ）证明：意等差数列 总存两H 数列 }{ nb }{ nc
nnn cba (N)成立．
24．（ 2013 安徽）设数列 na 满足 1 2a 248aa意 *nN 函数
1 2 1 2( ) ( ) cos sinn n n n nf x a a a x a x a x 满足 ＇( ) 02f
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ） 12 2 nnnaba（）求数列 nb 前 n 项 nS．
25．（ 2013 广东）设项均正数数列 na 前 n 项 nS满足 2
14 4 1nnS a n
*nN 2 5 14a a a 构成等数列．
（Ⅰ）证明： 2145aa
（Ⅱ）求数列 na 通项公式
（Ⅲ）证明：切正整数 n
1 2 2 3 1
1 1 1 1
2nna a a a a a
．
26．（ 2013 湖北）已知 nS 等数列{}na 前 n 项 4S 2S 3S 成等差数列
234 18a a a
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）否存正整数 n 2013nS ？存求出符合条件 n 集合
存说明理．
27．（2013 江苏）设 na 首项 a 公差d 等差数列 0d nS 前 n 项．
记 2
n
n
nSb nc
Nn* 中c 实数
（Ⅰ） 0c 1b 2b 4b 成等数列证明： 2 Nnk kS n S kn *
（Ⅱ） nb 等差数列证明： 0c ．
28． (2012 山东)已知等差数列{}na 前 5 项 105 10 52aa ．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）意 *mN数列 中 27 m 项数记 mb 求数列{}mb 前 m
项 mS．
29．（ 2012 湖南）某公司属企业事某种高科技产品生产．该企业第年年初资金
2000 万元投入生产年年底资金增长 50％．预计年资金年增长率
第年相．公司求企业第年开始年年底缴资金 d 万元剩余
资金全部投入年生产．设第 n 年年底企业缴资金剩余资金 na 万元．
（Ⅰ） 表示 12aa写出 1na 关系式
（Ⅱ）公司希 m （ m ≥3）年企业剩余资金 4000 万元试确定企业
年缴资金 值（ 表示）．
30．（ 2012 浙江）已知数列 na 前 n 项 nS 22nn n∈N﹡数列 nb 满
足 24log 3nnab*nN ．
（Ⅰ）求 nnab
（Ⅱ）求数列{}nnab 前 项 nT．
31．（ 2012 山东）等差数列 na 中 84543 aaa 9 73a
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）意 *Nm 数列 中落入区间 29 9mm项数 mb 求数
列 mb 前 m 项 mS．
32．（2012 江苏）已知项均正数两数列{}na {}nb 满足： 1 22
nn
n
nn
aban
ab
N．
（Ⅰ）设 1 1 n
n
n
bbna
N求证：数列
2
n
n
b
a
等差数列
（Ⅱ）设 1 2 n
n
n
bbna
N{}na 等数列求 1a 1b 值．
33．（ 2011 天津）已知数列{}{}nnab 满足 11( 2) 1n
n n n nb a b a
1
*
1
3 ( 1) 22
n
nb n N a
．
（Ⅰ）求 23aa值
（Ⅱ）设 *
2 1 2 1n n nc a a n N 证明{}nc 等数列
（Ⅲ）设 nS {}na 前 n 项证明 *2 1 212
1 2 2 1 2
1 ( )3
nn
nn
SSSS n n Na a a a
34．（ 2011 天津）已知数列{}na {}nb 满足： 1 1 2
3 ( 1)0 2
n
n n n n n nb a a b a b
*nN 122 4aa．
（Ⅰ）求 345a a a 值
（Ⅱ）设 *
2 1 2 1n n nc a a n N 证明： nc 等数列
（Ⅲ）设 *
2 4 2 kkS a a a k N 证明：
4
*
1
7()6
n
k
k k
S nNa
．
35．（ 2010 新课标）设数列 na 满足 21
112 3 2 n
nna a a
（Ⅰ）求数列 na 通项公式
（Ⅱ）令 nnb na 求数列前 n 项 nS．
36．（ 2010 湖南）出面数表序列：
12
4 4 8
表1 表2 表3 ∙∙∙
1 1 3 1 3 5
中表 n （ n 123 ） 行第 1 行 数 135 2 1第 2 行
起行中数等肩两数．
（Ⅰ）写出表 4验证表 4 行中数均数序构成等数列结
推广表 （n≥3）（求证明）
（Ⅱ）数列中行数构成数列 1412 记数列
nb 求： 324
1 2 2 3 1
n
nn
bbb
b b b b b b
*()nN ．
专题六 数列
第十八讲 数列综合应
答案部分
2019 年
1解析：B令 2 1 04x 1
2
取 1
1
2a 2
11 1022naa
1
4b 时 10 10a B错误
C令 2 20x 2 1
取 1 2a 2 2 2 10naa
2b 时 10 10a C错误
D令 2 40x 1 17
2
取 1
1 17
2a 2
1 17
2a … 1 17 102na
4b 时 10 10a D错误
A 2
2
11
22aa…
2
2
3
1 1 3
2 2 4aa
…
2
42
4
3 1 9 1 17 14 2 16 2 16a a a
…
1 0nnaa {}na 递增
4n… 时 1
1
132 1 22
n
n
nn
a aaa
5
4
6
5
10
9
3
2
3
2
3
2
a
a
a
a
a
a
6
10
4
3
2
a
a
10
729 1064a A 正确．选 A．
2解析：（1）设数列{}na 公差d题意
1 1 12 4 3 3 3a d a d a d
解 1 0 2ad．
*2 2na n n N．
12n n n n n nS b S b S b 成等数列
2
12n n n n n nS b S b S b ．
解 2
12
1
n n n nb S S Sd ．
2*nb n n n N．
（2）*2 2 1 2 2 ( 1) ( 1)
n
n
n
a nncnb n n n n
N．
数学纳法证明．
①n1时c10<2等式成立
②假设 *n k kN 时等式成立 12 2hc c c k ．
1nk时
1 2 1
122( 1)( 2) 1k k
kc c c c k kk k k
22 2 2( 1 ) 2 1
1
k k k k k
kk
．
1nk时等式成立．
根（1）（2）等式 12 2nc c c n 意 *nN 成立．
3解析（1）设等数列{an}公qa1≠0q≠0
2 4 5
3 2 14 4 0
a a a
a a a
2 4 4
11
2
1 1 14 4 0
a q a q
a q a q a
解 1 1
2
a
q
．
数列{}na ―M—数列‖
（2）①
1
1 2 2
n n nS b b
0nb ．
1 1 11b S b
2
1 2 2
11b 2 2b
1
1 2 2
n n nS b b
1
12( )
nn
n
nn
bbS bb
2n 时 1n n nb S S
11
1122
n n n n
n
n n n n
b b b bb b b b b
整理 112n n nb b b．
数列{bn}首项公差均1等差数列
数列{bn}通项公式bnn *nN
②①知bkk*k N
数列{cn}―M–数列‖设公qc11q>0
ck≤bk≤ck+1 1kkq k q 中k123…m
k1时q≥1
k23…m时 ln lnln 1
kkqkk
．
设f（x） ln ( 1)x xx 2
1 ln() xf ＇ x x
．
令 ( ) 0f ＇ x xe列表：
x (1e) e (e+∞)
()f ＇ x + 0 –
f（x） 极值
ln 2 ln8 ln9 ln3
2 6 6 3 max
ln3( ) (3) 3f k f．
取 3 3q k12345时 ln lnk qk „ kkq
检验知 1kqk 成立．
求m值5．
m≥6分取k363≤q3q5≤6q15≥243q15≤216
q存求m值6
综求m值5．
3解析：（I）1356（答案唯）
（II）设长度 q 末项
0na 递增子列
1 1 0
qr r na a a
pq
10pqr r na a a
na 长度 p 递增子列末项值
0ma
12
pr r ra a a 长度 p 递增子列
0
pmraa
00mnaa
（III）题设知正奇数 中项
先证明： 2m 中项 2m 必排 2m1 前（m 正整数）
假设 2m 排 2m1 设
1 2 1
2 1mp p pa a a m
数列 长度 m 末项 2m1
递增子列
1 2 1
2 12mp p pa a a m m
数列 长度 m+1 末项 2m 递增子列
已知矛盾
证明：正偶数 中项
假设存正偶数 中项设 中正偶数 2m
2k 排 2k1 前 12 1km 2k 2k1 子列中
中超 21m 数 12… 21m
长度 1m 末项 递增子列数
12 2 2 2 1 1 2 2mm 已知矛盾
证明 2m 排 2 3m （ 2m 整数）
假设存 （） 排 前 na 长度 1m 末项 21m
递增子列数 2m 已知矛盾
综数列 2143 2 32 2 1m m m
验证数列 符合条件
1
1n
nna
nn
奇数
偶数
20102018 年
1．A解析数列进行分组图
k
3
2
1
∙∙∙
22
21
21 2k22
21
20
20
20
20
该数列前 k 组项数 ( 1)1 2 3 2
kkk
题意知 100N ( 1) 1002
kk 解 14k ≥ n *N
N 出现第 13 组．
第 k 组12 2112
k
k
前 k 组
1 (1 2) (1 2 2 )k 12(2 1) (2 1) (2 1)k
12(2 2 2 )k k 122k k
设 满 足 条 件 N 第 1k ( k *N 13k ≥ ) 组 第 项第 第
m ()m *N 数第 1k 组前 m 项 211 2 2 2m 21m
该数列前 N 项 2 整数幂
21m 2k 互相反数
2 1 2m k
23mk
14k ≥ 2 3 14m ≥ 5m≥ 时 52 3 29k
应满足条件 29(29 1) 5 4402N 选 A．
2．C解析题意 1 0a 8 1a 2a 3a „ 7a 中 3 03 1满足
意 k ≤8 1a 2a „ ka 中 0 数少 1 数利列举法
规范 01 数 列 0000111100010111 00011011 0001110100100111
00101011001011010011001100110101010001110100101101001101010100110101010
1 14 ．
3．A解析命题 p： 12 na a a 成等数列公 )3(
1
na
aq
n
n 0na
命题 q
① 0na 时 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n naa aaa a aaaa aa 成立
② 0na 时根柯西等式
等式 成立
n
n
a
a
a
a
a
a 1
3
2
2
1 成等数列
p q 充分条件 q 必条件
4．A解析 2a 4a 8a 成等数列∴ 2
4 2 8a a a 2
1 1 1( 6) ( 2)( 14)a a a
解 1 2a ( 1)nS n n．
5．B解析∵ 2
1 )( xxf [01] 单调递增 1 1 1 0( ) ( ) 0f a f a
1 2 1 1( ) ( ) 0f a f a„ 1 99 1 98( ) ( ) 0f a f a
∴ 111 10 12 11 199 198|() ()||() ()| |() ()|Ifafa fafa fa fa
11 1012 11 199 198199 10() ()+() () () ()() ()fa fafa fa fa fafa fa 299 0199
（）
∵ )(2)( 2
2 xxxf 490]99
[ 单调递增 50[ 1]99
单调递减
∴ 2 1 2 0( ) ( ) 0f a f a„ 2 49 2 48( ) ( ) 0f a f a 2 50 2 49( ) ( ) 0f a f a
2 51 2 50( ) ( ) 0f a f a„ 2 99 2 98( ) ( ) 0f a f a
∴ 2 21 20 22 21 299 298|() ()||() ()| |() ()|Ifafa fafa fa fa
249 20 299 250( ) ( ) [ ( ) ( )]f a f a f a f a 2 50 2 0 2 992 ( ) ( ) ( )f a f a f a
50 50 98004 (1 ) 199 99 9801
∵ |2sin|3
1)(3 xxf 24[0 ]99
50 74[]99 99
单调递增 25 49[]99 99
75[ 1]99
单调
递减 3 3 25 3 49 3 74
2 492( )2( )2( (2sin sin )3 99 99I f a f a f a ）
2 5 2262262 632(2sin sin ) ( ) 13 12 12 3 4 4 4
312 III ．
6．27解析正奇数 2n (*nN)序排列构成{}na 数列
中 52 前面 16 正奇数 5
21 2a 6
38 2a ． 1n 时 121 12 24Sa
符 合 题 意 2n 时 233 12 36Sa 符 合 题 意 3n 时
346 12 48Sa 符合题意 4n 时 4510 12 60Sa 符合题意„„
26n 时
5
26
21 (1 41) 2 (1 2 )
2 1 2S 441 +62 503< 2712 516a 符合题
意 27n 时
5
27
22 (1 43) 2 (1 2 )
2 1 2S 484 +62546> 2812a 540符合题
意． 112nnSa 成立 n 值 27．
7．5解析设数列首项 1a 1 2015 2 1010 2020a 1 5a 该数列
首项5 ．
8．1
2
解析 8 2a 代入 1
1
1n
n
a a
求 7
1
2a 代入
求 6 1a 代入 5 2a 知数列 na
周期数列周期 3 17
1
2aa．
9．64解析 1 1a 1 2 5a a a 成等数列 2
1 1 1( 4 ) ( )a a d a d 解 2d
81
878 642S a d ．
10． 3 3 解析设 2at 231 1 2t q t q t q≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1t≥
3max{ 1 2}q t t t≥ q 值 ．
11．4解析题意
1
1
22( 4)( ) ( 1)( 1 4)( )33
22( 4)( ) ( 1)( 1 4)( )33
kk
kk
k k k k
k k k k
2
2
( 1) 10
10
k
k
*kN 4k ．
12．解析(1)条件知： ( 1)na n d 12n
nb ．
1||nna b b ≤ n 1234 均成立
1| ( 1) 2 | 1nnd ≤ 1234 均成立
1≤11 d 33 2d 57 3d 9 75
32d≤ ≤ ．
d 取值范围 75[]32
．
(2)条件知： 1 ( 1)na b n d 1
1
n
nb b q ．
存 1||nna b b ≤ ( 23··· m +1)成立
1
1 1 1| ( 1) |nb n d b q b ≤ ( 23··· +1)
23 1nm时 满足
11
11
2
11
nnqqb d bnn
．
(1 2]mq 112nmqq
1
1
2 01
nq bn
1
1 01
nq bn
23 1nm均成立．
取 d 0 时 1||nna b b 23 1nm均成立．
面讨数列
1 2{}1
nq
n
值数列
1
{}1
nq
n
值（ 23 1nm）．
① 2 nm 时
1 1 1 2 2 2 2
1 1 1
()
()()
n n n n n n n nq q nqqnq nqq q
n n n n n n
1
12mq 时 2nmqq 1() 2 0n n nn q q q ．
21nm 时数列
1 2{}1
nq
n
单调递增
数列
1 2{}1
nq
n
值 2mq
m
．
②设 ()()21xf x x 0x 时 ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x
()fx单调递减 ( ) (0) 1f x f．
2 nm 时
1
1
1 1 12 1 1
1
() ()()
n
n
n
q
qnn fq n n n
n
21nm 时数列
1
{}1
nq
n
单调递减
数列
1
{}1
nq
n
值
mq
m
．
取值范围 11( 2)[]
mmb q b q
mm
．
13．解析（Ⅰ）设等差数列{}na 公差 d 等数列{}nb 公 q
已知 2312bb 2
1( ) 12b q q 1 2b 2 60qq
0q 解 2q 2n
nb
3 4 12b a a 138da ①
11 411Sb 1 5 16ad ②
联立①②解 1 1a 3d 32nan
数列 通项公式 数列 通项公式
（Ⅱ）设数列 2 2 1{}nnab 前 n 项 nT
2 62nan 1
21 24n
nb
2 2 1 (3 1) 4n
nna b n
232454 84 (3 1)4n
nTn
2 3 4 14 24 54 84 (3 4)4 (3 1)4nn
nT n n
述两式相减 2 3 13 243434 34(31)4nn
nTn
1
1
12 (1 4 ) 4 (3 1) 414
(3 2) 4 8
n
n
n
n
n
13 2 8433
n
n
nT
数列 2 2 1{}nnab 前 n 项 13 2 8433
nn
14．解析（Ⅰ）数学纳法证明： 0nx
1n 时 1 10x
假设 nk 时 0kx
1nk时 1 0kx ≤ 110 ln(1 ) 0k k kx x x ≤ 矛盾 1 0kx ．
0nx ()n *N
1 1 1ln(1 )n n n nx x x x
10 nnxx
（Ⅱ） 1 1 1ln(1 )n n n nx x x x
2
1 1 1 1 1 14 2 2 ( 2)ln(1 )n n n n n n n nx x x x x x x x
记函数 2( ) 2 ( 2)ln(1 )( 0)f x x x x x x ≥
函数 ()fx[0 ) 单调递增 ( ) (0)f x f≥ 0
2
1 1 1 1 12 ( 2)ln(1 ) ( ) 0n n n n nx x x x f x ≥
1
12 ( N )2
nn
nn
xxx x n
≤
（Ⅲ）
1 1 1 1 1ln(1 ) 2n n n n n nx x x x x x ≤
1
1
2n nx ≥
1
122
nn
nn
xx xx
≥
1
1 1 1 12( ) 022nnxx
≥
12
11
1 1 1 1 1 12( ) 2 ( ) 22 2 2
nn
nnx x x
≥ ≥ ≥
2
1
2n nx ≤
综 12
11(N)22nnnxn
≤ ≤ ．
15．解析（Ⅰ）已知 1 2 11 1n n n nS qS S qS+ + + + +
两式相减 211nna qa n++
211S qS+ 21a qa 1nna qa+ 1n ³ 成立
数列{}na 首项 1公 q 等数列
1 n
naq
2322 +2a a a 成等数列 322 3 2aa+ 22 3 2qq+
(2 1)( 2) 0q+ q
已知 0q > 2q
1*2 ( )n
nanN
（Ⅱ）（Ⅰ）知 1n
naq
双曲线
2
2
2 1
n
yx a离心率 2 2( 1)11n
nne a q + +
2 51 3qq + 解 4
3q
2( 1) 2( 1)1+ kkqq> 2( 1) 1 *1+ kkq q k>N（）
1
12
11+ 1
n
n
n
qe e e q q q
++鬃 > + 鬃
1 2 3 1
43
3
nn
ne e e
++鬃>
16．解析（Ⅰ）题意 1
1
10 45 100
2
ad
ad
1
1
2 9 20
2
ad
ad
．
解 1 1
2
a
d
1 9
2
9
a
d
1
21
2
n
n
n
an
b
1
1 (2 79)9
29 ( )9
n
n
n
an
b
．
（Ⅱ） 1d 知 21nan 12n
nb 1
21
2n n
nc
2 3 4 1
3 5 7 9 2 11 2 2 2 2 2n n
nT
①
2345
1 1 3 5 7 9 2 1
2 2 2 2 2 2 2n n
nT ②
①②
22
1 1 1 1 2 1 2 3232 2 2 2 2 2n n n n
nnT
nT 1
236 2n
n
．
17．解析（Ⅰ） 2( ) ( ) 2 1 2n
nnF x f x x x x + + + (1) 1 0nFn >
1
2
111 1 1 1 12( ) 1 2 2 012 2 2 2 21 2
n
n
n nF
()nFx 1 12
少存零点 nx ．
1( ) 1 2 0n
nF x x nx 1 12
单调递增
1( 1)2
仅零点 ．
零点 ( )0nnFx
11 201
n
n
n
x
x
+
111+22
n
nnxx+
（Ⅱ）解法：题设 ()()11
()2
n
n
nx
gx
++
设 ()()2 11
( ) ( ) ( ) 1 02
n
n
nn
nx
h x f x g x x x x x
++
+ + + >
1x 时 ()()nnf x g x
1x 时 1
1 1( ) 1 2 2
n
n n n xh x x nx
01x<< 1 1 1 11( ) 2 2
n n n nnnh x x x nx x
()()1111022
nnn n n nxx++
1x > 1 1 1 11( ) 2 2
n n n nnnh x x x nx x
()hx (01) 递增(1 ) 递减
( ) (1) 0h x h< ()()nnf x g x< ．
综述 1x 时 1x 时 ．
解法二 题设 ()()2 11
( ) 1 ( ) 02
n
n
nn
nx
f x x x x g x x
++
+ + + >
时
1x 时 数学纳法证明 ．
2n 时 2
22
1( ) ( ) (1 ) 02f x g x x < 22()()f x g x< 成立．
假设 ( 2)n k k时等式成立 ()()kkf x g x< ．
+1nk 时
()()1 1 1
k+1 k
11
()()() 2
k
k k k
k
kx
f x f x x g x x x+ + +++
+ < + +
()12 1 1
2
kkx k x k+ + + + +
()()11
k+1
2 1 1 1 1() 22
k k k kx k x k kx k xgx
+++ + + + + +
令 ()1( ) 1 1(x 0)kk
kh x kx k x+ + + >
11( ) (k 1) 1 1 (x 1)k k k
kh x k x k k x k k x ．
01x<<( ) 0khx ()khx (01) 递减
1x > ( ) 0khx (1 ) 递增．
( ) (1) 0kkh x h> ()1
k+1
2 1 1() 2
kkx k x kgx
+ + + + +> ．
11()()kkf x g x++< +1nk 等式成立．
切 2n 整数 ()()nnf x g x< ．
解法三已知记等差数列 ka 等数列 kb 12 1kn．
111ab 11
n
nna b x++
11+ 1 (2 n)
n
k
xa k kn
1(2 )k
kb x k n
令 111
(x) 1 0(2 )
n
k
k k k
kx
m a b x x k nn
1x 时 kkab ()()nnf x g x ．
1x 时 1 2 2 11( ) (k 1) 1 1n k k n k
k
km x nx x k x xn
2 kn 10k > 11nk ．
1 1nkx +< ( ) 0kmx
1 1nkx +> ( ) 0kmx
()kmx 递减()kmx(1 ) 递增 ( ) (1) 0kkm x m>
0 1 (2 )kkx x a b k n 时 11ab 11nnab++
综述 时 1x 时
18．解析（Ⅰ） 2
10 2 2 ( )n n na a a n N ．
存某 0 nN 0noa 述递推公式易 1 0noa 重复述程
1 0a 1 3a 矛盾意 0nn N a．
1 2 ( )nna a n N na 公 2q 等数列．
11
1 32nn
na a q ．
（Ⅱ）
0
1 1k 数列 递推关系式变 2
11
0
1 0n n n na a a ak
变形 2
1
0
1( ) ( )n n na a a n Nk 式 1 30a
纳 1 2 130nna a a a ．
2
2 2 2
00
1
00
00
11
11
11 1
n
n
nn
n
nn
aa k kaak k aaakk
+
+
+++
012 nk 求
0 1 0 1 01 2 1()()k k ka a a a a a
0
10
0 0 0 1 0 2 0
1 1 1 1 1 ( )1 1 1
k
akk k k a k a k a
0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1>2+ ( ) 23 1 3 1 3 1 3 1
k
k k k k k
．
方面已证等式知
001 2 1 2kka a a a
0
0
1 1 0
0 0 0 1 0 2 0
1 1 1 1 1()1 1 1
k
k
a a k k k k a k a k a
0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1<2+ ( ) 22 1 2 1 2 1 2 1
k
k k k k k
．
综
0 1
00
112+ 23 1 2 1kakk
．
19．解析（Ⅰ） 6422 141211 daSdaSaSd
41
2
2421 SSSSSS 成等
解 1211 naa n
（Ⅱ） )12
1
12
1()1(4)1( 1
1
1
nnaa
nb n
nn
n
n
n 偶数时 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 3 5 5 7nT
1 1 1 1()()2 3 2 1 2 1 2 1n n n n
12
2
12
11 n
n
nTn
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 3 5 5 7nnT 奇数时
1 1 1 1()()2 3 2 1 2 1 2 1n n n n
12
22
12
11
n
n
nTn
奇数
偶数
nn
n
nn
n
Tn
12
22
12
2
．
20．解析（Ⅰ）题意 Nnaaa nb
n 221 326bb
知 32
3 28
bb
a
1 2a 公 2q （ 2q 舍）
数列 na 通项公式 2 ( )n
na n N
1 1
2
1 2 3 22
nn nn
na a a a
数列 nb 通项公式 1 ( )nb n n n N
（Ⅱ）（i）（Ⅰ）知 1 1 1 1 1 ()21n n
nn
c n Na b n n
11()12n nS n Nn
（ii） 1 2 3 40 0 0 0c c c c
5n 时
11 112n n
nnc nn
11
1 1 2 1 2 02 2 2n n n
n n n n n n
5
1 5 5 1 122n
nn
5n 时 0nc
综意 nN 恒 4 nSS 4k ．
21．解析（I） na 递增数列 11
n
n n n na a a a p ． 1 1a
1 2 32 3a a a 成等差数列 2 1 343a a a 230pp
解 103pp
0p 时 1nnaa 递增数列矛盾 1
3p
（Ⅱ） 21na 递增数列 2 1 2 1 0nnaa
2 1 2 2 2 1( ) ( ) 0n n n na a a a ①
2 2 1
11
22nn
2 1 2 2 2 1a a a an n n n ②
①②知 2 2 1 0nnaa
2
2
21
21 21
1 ( 1)()2 2n
n
n
n na a
③
2na 递减数列理 2 1 2 0nnaa
2 21
2 1 2 2
1 ( 1)
22
n n
nn naa
④
③④知
1
1
( 1)
2
n
nn naa
1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )nnna a a a a a a a
21
1 1 ( 1)1 2 2 2
n
n
111 ( )1 21 12 1 2
n
1
4 1 ( 1)
3 3 2
n
n
数列 na 通项公式 1
4 1 ( 1)
3 3 2
n
n na
．
22．解析（Ⅰ）点()nnab函数 ( ) 2xfx 图象 2 na
nb 等差数列{}na
公差 d
1
11 2 222
n
nn
n
a
aa dn
a
n
b
b
．
点 87( 4 )ab函数 ()fx图象 8
7842abb
8
7
24d b
b 2d．
1 2a 22
1
( 1) 232n
nnS na d n n n n n ．
（Ⅱ） ( ) 2 ( ) 2 ln 2xxf x f x 函数 ()fx图象点 22()ab 处切线方程
2
22(2 ln 2)( )ay b x a
切线 x 轴截距 2
1
ln 2a 2
112ln 2 ln 2a 2 2a
nan 2n
nb
2
n
n
n
a n
b
23
1 2 3
2 2 2 2n n
nT 2 3 4 1
1 1 2 3
2 2 2 2 2n n
nT
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2n nn
nT 11
12112 2 2n n n
nn
22 2n n
nT ．
23．解析（Ⅰ） 2n≥ 时 11
1 2 2 2n n n
n n na S S
1n 时 112aS
∴ 时 11Sa 2n≥ 时 1nnSa ∴{}na H 数列．
（Ⅱ） 1
( 1) ( 1)
22n
n n n nS na d n d
n N m N nmSa ( 1) 1 ( 1)2
nnn d m d
取 2n 1 ( 1)d m d 12m d
∵ 0d ∴ 2m m N∴ 1m ∴ 1d ．
（Ⅲ）设{}na 公差 d
令 1 1 1( 1) (2 )nb a n a n a n N 11nnb b a
1( 1)( )nc n a d 11nnc c a d
1 ( 1)n n nb c a n d a {}{}nnbc 等差数列
{}nb 前 n 项 11
( 1) ()2n
nnT na a 令 1(2 )nT m a ( 3) 22
nnm
1n 时 1m
2n 时 1m
3n≥ 时 n 3n 奇偶性 ( 3)nn 非负偶数 m N
n 找 nmTb 成立{}nb H 数列．
{}nc 前ｎ项 1
( 1) ()2n
nnR a d令 1( 1)( )nmc m a d R ( 1) 12
nnm
∵ n N( 1)nn 非负偶数∴ m N
找 nmRc 成立{}nc H 数列
命题证．
24．解析（Ⅰ） 1 2a 248aa
1 2 1 2( ) ( ) cos sinn n n n nf x a a a x a x a x
1 2 1 2( ) sin cosn n n n nf x a a a a x a x
1 2 1( ) 02 n n n nf a a a a
122 n n na a a ∴{}na 等差数列
1 2a 3 4a 1d 2 1 1 1na n n （）
（Ⅱ） 1
1 1 12 2 1 2 12 2 2nnna nnb a n n （）（）（）
1112 2 1 22
12 1 2
n
n
nnS
（）（）
2
1 3 1 2
13 1 2
n
n
nn
nn
（）
25．解析（Ⅰ） 1n 时 22
1 2 2 14 5 4 5a a a a 210 4 5na a a
（Ⅱ） 2n 时 2
14 4 1 1nnS a n 22
114 4 4 4n n n n na S S a a
222
1 4 4 2n n n na a a a 102n n na a a
时 na 公差 2d 等差数列
2 5 14a a a 构成等数列 2
5 2 14a a a 2
2 2 28 24a a a 解 2 3a
（Ⅰ）知 2
1 2 14 54 1a a a
213 1 2aa 首项 1 1a 公差 等差数列
数列 na 通项公式 21nan
（Ⅲ） 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 2 1 2 1nna a a a a a n n
1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 5 7 2 1 2 1
1 1 112 2 1 2
nn
n
26．解析（Ⅰ）设数列{}na 公 q 1 0a 0q 题意
2 4 3 2
234
18
SSSS
a a a
2 3 2
1 1 1
2
1
(1 ) 18
a q a q a q
a q q q
解 1 3
2
a
q
数列 通项公式 13( 2)n
na ．
（Ⅱ）（Ⅰ） 3 [1 ( 2) ] 1 ( 2)1 ( 2)
n
n
nS
存 n 2013nS 1 ( 2) 2013n ( 2) 2012n
n 偶数时 ( 2) 0n 式成立
n 奇数时 ( 2) 2 2012nn 2 2012n 11n
综存符合条件正整数 样 n 集合{ 2 1 5}n n k k k N．
27．证明（Ⅰ） 0c n
n
Sb n *Nn 题 ( 1)
2n
n n dS na
1
2
n
n
S nb a dn
1
1
2nnb b d
{}nb 等差数列首项 a 公差
2
d )0( d 421 bbb 成等数列
2
2 1 4b b b 2 3()()22
dda a a
2 3()42
ddad a 0d 2da
2
nS n a
2 2 2 2 2 2()nk kS nk a n k a n S n k a 2
nk kS n S （*Nnk ）．
（Ⅱ）题
cn
nSb n
n 2 *Nn
2
2
[2 ( 1) ]
2( )n
n a n db nc
}{ nb 等差数列
设 nb x yn xy常数
2
2
[2 ( 1) ]
2( )
n a n d x ynnc
关 *Nn 恒成立．
整理： 32( 2 ) (2 2 ) 2 2 0d yn ad xn cyn cx
关 *Nn 恒成立． 2 02 2 02 02 0d y a d x cy cx
2 02 2 0 0d y a x d cy cx
0c ．
28．解析（Ⅰ）已知： 1
11
5 10 105
9 2( 4 )
ad
a d a d
解 1 7 7ad
通项公式 7 ( 1) 7 7na n n
（Ⅱ） 277m
nan 217 mn 217 m
mb
∵
21
1
21
7 497
m
k
m
k
b
b
∴{}mb 公 49 等数列
∴ 7(1 49 ) 7 (49 1)1 49 48
m
m
mS
．
29．解析（Ⅰ）题意 1 2000(1 50) 3000a d d
2 1 1
3(1 50) 2a a d a d
1
3(1 50) 2n n na a d a d ．
（Ⅱ）（Ⅰ） 1
3
2nna a d
2
2
33()22na d d
2
33()22na d d
1 2 2
1
3 3 3 3( ) 1 ( ) ( )2 2 2 2
nnad
．
整理 1133( ) (3000 ) 2 ( ) 122
nn
na d d
13( ) (3000 3 ) 22
n dd ．
题意 134000 ( ) (3000 3 ) 2 40002
n
na d d
解
1
3( ) 2 1000 1000(3 2 )2
3 32( ) 12
n
nn
nn
n
d
．
该企业年缴资金 d 值缴
11000(3 2 )
32
nn
nn
时 ( 3)mm 年企业剩余资
金 4000 元．
30．解析（Ⅰ） nS 22nn
n 1 时 113aS
2 时 1n n na S S 222 2( 1) ( 1) 4 1n n n n n *nN
24log 3nnab 21nbn
（Ⅱ）（1）知 1(4 1) 2n
nna b n
21372112 4 12n
nTn
232 3272 112 4 12n
nTn
212 4 1 2 [3 4(2 2 2 )]nn
nnT T n
(4 5)2 5nn
(4 5)2 5n
nTn *nN ．
31．解析：（Ⅰ） a3+a4+a584a573 28843 44 aa a973
9455 49 daad 12728341 daa
899)1(1 nnan 89 nan
（Ⅱ）意 m∈N﹡ mm n 29899 89989 2 mm n
9
899
89 121 mm n *Nn 题意知 112 99 mm
mb
)999(999 1101231
21
mm
mm bbbS
8
9
80
19
80
19109
8
19
80
99
91
91
91
99 121212
2
12 mmmmmmmm
8
9
80
19 12 mm
mS
32．解析（Ⅰ）题意知 1
1 2 2 2 2
1
11
n
n n n n
n
nn nn
nn
b
a b a ba
ab bb
aa
2
1
1
1nn
nn
bb
aa
22
*1
1
1( )nn
nn
bbnNaa
数列
2
n
n
b
a
1 公差等差数列．
（Ⅱ） 0na 0nb ． 2
2 2 2()2 nn
nn
nn
ab a b a b „
1 22
12
nn
nn
n
aba
ab
„ (*)
设等数列{}na 公 q 知 0q 证 1q ．
1q 2
122aaaq„．
1
2logqn a 11 2n
na a q （*）矛盾
01q 2
121aaaq ．
1
1logqn a 11 1n
na a q （*）矛盾
综： 1q 1naa 112a „．
1
1
22 n
nn
n
bbbaa {}nb 公
1
2
a
等数列 1 2a
1
2 1a 1 2 3b b b 1
1 22
1
n
n
aban
ab
N
22
1 1 1
2
1
2
1n
a a ab a
1 2 3b b b 中少两项相矛盾． 1 2a
22
1 1 1
2
1
2 21n
a a ab a
11 2ab ．
33．解析（Ⅰ）
1
*3 ( 1) 2
n
nb n N
2
1n
nb
n
奇数
偶数
1121n
n n n nb a b a
1 2 1 2
31 2 1 2 2n a a a a 时
2 3 32 2 5 8n a a a 时
（Ⅱ）证明：意 *nN
21
2 1 22 2 1n
nnaa
①
2
2 2 12 2 1n
nnaa ②
②① 2 1 2 1 1
2 1 2 1 3 2 3 2 4nnn
n n n
n
ca a c c
{}nc 等数列
（Ⅲ）证明： 1 2a （Ⅱ）知 * 2k N k 时
21131 53 75 2123()()()()k k ka a a a a a a a a a
1
3 5 2 3 2 12(1 4 )23(222 2)23 214
k
kk
意 * 2 1
21 2 k
kk N a
① 2 1 2 1 2 1 *
22
12 2 2 1 2 2
k k k
kka a k N
2 1 2 3 4 2 1 2()()()2k k k
kS a a a a a a
21
2 2 2
11 2 2
k
k k k
kS S a
21
2
2 1 2
2 1 2 2
212 1 2
1 2 1 2 122 112 2 2 1 4 4 (4 1)22
k
k
kk
k k k k k k
kkk
kk
SS k k k
aa
34． 解析（Ⅰ） *3 ( 1) 2
n
nb n N 1
n
nb
奇数
2n偶数
1 1 2 0n n n n nb a a b a
1n 时 1 2 320a a a 1 2a 2 4a 3 3a
2n 时 23420a a a 4 5a
3n 时 3 4 520a a a 5 4a
（Ⅱ）证明：意 *nN
2 1 2 2 12 0n n na a a ①
2 2 1 2 22 0n n na a a ②
2 1 2 2 2 32 0n n na a a ③
②—③ 2 2 3nnaa ④
④代入① 2 1 2 3 2 1 2 1()n n n na a a a
*
1 ()nnc c n N
1 1 3 1 0nc a a c
1 1 { }n
n
n
c cc
等数列
（Ⅲ）证明：（II） 2 1 2 1 ( 1)k
kkaa
意 * 2k N k
13
35
57
2 3 2 1
1
( ) 1
1
( 1) ( ) 1k
kk
aa
aa
aa
aa
式相加 1 2 1( 1) ( 1)k
ka a k
1
21 ( 1) ( 1)k
kak
式 k1 时成立④式 1
2 ( 1) ( 3)k
kak
2 2 4 6 8 4 2 4()()()k k kS a a a a a a k
2 1 2 4 3k k kS S a k
意 *2n N n
4
4 3 4 2 4 1 4
114 3 4 2 4 1 4
()
nn
k m m m m
kmk m m m m
SSSSS
a a a a a
1
2 2 2 1 2 3 2()2 2 2 2 1 2 3
n
m
m m m m
m m m m
1
23()2 (2 1) (2 2)(2 2)
n
m m m m m
2
2 5 3
23 2(2 1) (2 2)(2 3)
n
m m m n n
2
1 5 3
3 (2 1)(2 1) (2 2)(2 3)
n
m m m n n
1 5 1 1 1 1 1 1 3[( ) ( ) ( )]3235 57 212 1 (2 2)(2 3)n n n n
1 5 5 1 3 73 6 22 1 (2 2)(2 3) 6n n n
n 1等式显然成立
意 *nN
2 1 212
1 2 2 1 2
nn
nn
SSSS
a a a a
3 2 1 21 2 4
1 2 3 4 2 1 2
()()()nn
nn
SSSSSS
a a a a a a
2 2 2
1 1 1 2 1(1 ) (1 ) (1 )412 44(41) 4(41)nn
n
2 2 2
1 1 1 2 1()()()412 4 4(4 1) 4 4(4 1)n n n
nn
1 1 1()4 12 3nn
35．解析（Ⅰ）已知 n≥1 时
1 1 1 2 1 1[( ) ( ) ( )]n n n n na a a a a a a a
2 1 2 33(2 2 2) 2nn 2( 1) 12 n ． 1 2a
数列{ na }通项公式 212 n
na ．
（Ⅱ） 212 n
nnb na n 知 3 5 2 11 2 2 2 3 2 2 n
nSn ①
2 3 5 7 2 12 1 2 2 2 3 2 2 n
nSn ②
①② 2 3 5 2 1 2 1(1 2 ) 2 2 2 2 2nn
nSn ．
211[(3 1)2 2]9
n
nSn ．
36． 解析（Ⅰ）表 4 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
第 1234 行中数均数分 481632 构成首项 4公 2
等数列．结推广表 n（ ≥3）表 行中数均数
序构成首项 公 2 等数列
（Ⅱ）表 第 1 行 135„ 2 1均数 nn
n )( 12531
（Ⅰ）知行中数均数序构成首项 公 2 等
数列（第 k 行中数均数 12 kn ）表 中行唯
数 12 nn
1
2
12
1
( 2) 2 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2
k
k
k k k
kk
b kk
b b k k k k
2 3 2
2( 1) 1 1
( 1) 2 2 ( 1) 2k k k
kk
k k k k
．( k 123 … n )
324
2 1 1 0
1 2 2 3 1
1 1 1 1()()1 2 2 2 2 2 3 2
n
nn
bbb
b b b b b b
32
11()2 ( 1) 2nnnn 221
14
nn )(
．
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档