理科数学2010-2019高考真题分类训练41专题十五 坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程—附解析答案

专题十五 坐标系参数方程
第四十讲 坐标系参数方程
2019 年
1（2019 全国 I 理 22）[选修 4—4：坐标系参数方程]
直角坐标系 xOy 中曲线 C 参数方程
2
2
2
1
1
4
1
tx t
ty t
  
  

（t 参数）．坐标原点 O 极
点x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线 l 极坐标方程
2 cos 3 sin 11 0      ．
（1）求 C l 直角坐标方程
（2）求 C 点 l 距离值．
2（2019 全国 II 理 22）[选修 44：坐标系参数方程]
极坐标系中O 极点点 0 0 0( )( 0)M     曲线 4sinC  直线 l 点 (40)A
OM 垂直垂足 P
（1） 0 3  时求 0 l 极坐标方程
（2） M C 运动 P 线段 OM 时求 P 点轨迹极坐标方程
3（2019 全国 III 理 22）[选修 44：坐标系参数方程]（10 分）
图极坐标系 Ox 中 (20)A( 2 )4B  ( 2 )4C  (2 )D  弧 AB BC CD
圆圆心分(10) (1 )2
 (1 ) 曲线 1M 弧 AB 曲线 2M 弧 BC 曲线 3M
弧CD
（1）分写出 1M 2M 3M 极坐标方程
（2）曲线 M 1M 2M 3M 构成点 P M | | 3OP  求 P 极坐标


4（2019 天津理 12）设 aR直线 20ax y圆 2 2cos
1 2sin
x
y



 
（ 参数）相
切 a 值
20102018 年
1．(2018 北京)极坐标系中直线 cos sin ( 0)aa      圆 2cos相切
a ___．
2．（2017 北京）极坐标系中点 A 圆 2 2 cos 4 sin 4 0        点 P 坐
标(10) ）||AP 值___________．
3．（ 2017 天津）极坐标系中直线 4 cos( ) 1 06   圆 2sin 公点
数_____．
4．（ 2016 北京）极坐标系中直线 cos 3 sin 1 0      圆 2cos 交 AB
两点||AB ____．
5．（2015 广东）已知直线l 极坐标方程 2 sin( ) 24
点 Α 极坐标
72 2 )4
 点 直线l 距离 ．
6．（ 2015 安徽）极坐标系中圆 8sin 点直线 ()3 R距离值

7．(2018 全国卷Ⅰ) [选修 4–4：坐标系参数方程]（10 分）
直角坐标系 xOy 中曲线 1C 方程 | | 2y k x．坐标原点极点x 轴正半轴
极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标方程 2 2 cos 3 0     ．
(1)求 2C 直角坐标方程
(2) 1C 2C 仅三公点求 1C 方程．
8．(2018 全国卷Ⅱ)[选修 4－4：坐标系参数方程]（10 分）
直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程 2cos
4sin

 
x θ
y θ
（θ 参数）直线l 参数

方程 1 cos
2 sin

 
xtα
ytα
（t 参数）．
(1)求C l 直角坐标方程
(2)曲线 截直线l 线段中点坐标(1 2) 求l 斜率．
9．(2018 全国卷Ⅲ)[选修 4—4：坐标系参数方程]（10 分）
面直角坐标系 xOy 中 O 参数方程 cos
sin
x
y



 
（  参数）点(0 2)
倾斜角 直线l 交 AB 两点．
(1)求 取值范围
(2)求 AB 中点 P 轨迹参数方程．
10．(2018 江苏)C．[选修 4—4：坐标系参数方程](题满分 10 分)
极坐标系中直线l 方程 πsin( ) 26曲线C 方程 4cos 求直线l
曲线C 截弦长．
11．（ 2017 新课标Ⅰ）直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程 3cos
sin
x
y



 
( 参数)
直线l 参数方程 4
1
x a t
yt

 
(t 参数)．
(1) 1a  求 交点坐标
(2) 点 距离值 17 求 a ．
12．（ 2017 新课标Ⅱ）直角坐标系 xOy 中坐标原点极点x 轴正半轴极轴建立
极坐标系曲线 1C 极坐标方程 cos 4 ．
(1) M 曲线 动点点 P 线段OM 满足| | | | 16OM OP求点
轨迹 2C 直角坐标方程
(2)设点 A 极坐标(2 )3
 点 B 曲线 求 OAB 面积值．
13．（ 2017 新课标Ⅲ）直角坐标系 xOy 中直线 1l 参数方程 2xt
y kt

 
(t 参数)

直线 2l 参数方程
2xm
my k
   
（ m 参数）．设 1l 交点 P k 变化时
轨迹曲线C．
(1)写出 普通方程
(2)坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系设 3l ：(cos sin )  
20 M 3l 交点求 极径．
14．（ 2017 江苏）面坐标系中 xOy 中已知直线l 参考方程
8
2
xt
ty
   
（t 参数）
曲线C 参数方程
22
22
xs
ys
  
（ s 参数）．设 P 曲线 动点求点 P 直
线l 距离值．
15．（ 2016 年全国 I）直角坐标系 xOy 中曲线 1C 参数方程 cos
1 sin
x a t
y a t

 
（t 参
数a＞0）．坐标原点极点 x 轴正半轴极轴极坐标系中曲线 2C：
4cos ．
（I）说明 种曲线 方程化极坐标方程
（II）直线 3C 极坐标方程 0a 中 0a 满足 0tan 2a 曲线 公点
求 a．
16．（ 2016 年全国 II）直角坐标系 xOy 中圆 C 方程 2 26 25xy   ．
（I）坐标原点极点x 轴正半轴极轴建立极坐标系求 C 极坐标方程
（II）直线 l 参数方程 cos
sin
xt
yt



 
（t 参数）l C 交 AB 两点 10AB 
求 l 斜率．
17．（ 2016 年全国 III）直角坐标系 xOy 中曲线 1C 参数方程 3 cos
sin
x
y


  
（

参数）坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标
方程 sin( ) 2 24 ．
（Ⅰ）写出 1C 普通方程 直角坐标方程
（Ⅱ）设点 P 1C 点 Q 求||PQ 值时 P 直角坐标．
18．（ 2016 江苏）面直角坐标系 xOy 中已知直线l 参数方程  
112
3 2
xt
t
yt
 
 
参数
椭圆C 参数方程  cos
2sin
x
y
 

 
参数 设直线 l 椭圆C 相交 AB两点求线
段 AB 长．
19．（ 2015 新课标Ⅰ）直角坐标系 xOy 中直线 1C： 2x  圆 2C： 22( 1) ( 2) 1xy   
坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 1C 2C 极坐标方程
（Ⅱ）直线 3C 极坐标方程  4 R设 2C 3C 交点 MN求
2C MN 面积．
20．（ 2015 新课标Ⅱ）直角坐标系 xOy 中曲线 1C： cos
sin
xt
yt



 
（t 参数 ≠0）
中0 ≤ O 极点x 轴正半轴极轴极坐标系中曲线 2C：
2sin 3C： 2 3 cos ．
（Ⅰ）求 交点直角坐标
（Ⅱ） 相交点 A 相交点 B求||AB 值．
21．（ 2015 江苏）已知圆 C 极坐标方程 2 2 2 sin( ) 4 04
      求圆 C 半径
22．（ 2015 陕西）直角坐标系 xOy 中直线l 参数方程
13 2
3
2
xt
yt
 
 
（t 参数）．
原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系⊙C 极坐标方程 2 3sin ．

（Ⅰ）写出⊙C 直角坐标方程
（Ⅱ） P 直线l 动点 圆心 距离时求 直角坐标．
23．（ 2014 新课标Ⅰ）已知曲线C：
22
149
xy直线l ： 2
22
xt
yt

 
（t 参数）．
(Ⅰ) 写出曲线 参数方程直线 普通方程
（Ⅱ）曲线 点 P 作 夹角 o30 直线交 点 A求||PA 值
值．
24．（ 2014 新课标Ⅱ）直角坐标系 xOy 中坐标原点极点x 轴正半轴极轴建立极
坐标系半圆 C 极坐标方程 2cos 0 2
 ．
（Ⅰ）求 C 参数方程
（Ⅱ）设点 D C C D 处切线直线 3 2l y x垂直根（Ⅰ）中
参数方程确定 D 坐标．
25．（ 2013 新课标Ⅰ）已知曲线 1C 参数方程 4 5cos
5 5sin
xt
yt

 
(t 参数）坐标原点
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标方程 2sin
（Ⅰ） 参数方程化极坐标方程
（Ⅱ）求 交点极坐标（ 0 ≥ 02≤ ≤ ）．
26．（ 2013 新课标Ⅱ）已知动点 PQ 曲线C：  2cos 2sin
x
y
 

 
参数 应
参数分  2 （ 02 ）M PQ 中点
（Ⅰ）求 轨迹参数方程
（Ⅱ） 坐标原点距离 d 表示 函数判断 轨迹否坐标原点
27．（2012 新课标）已知曲线 1C 参数方程







sin3
cos2
y
x （ 参数）坐标原点极
点x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标方程 2 ．正方形 ABCD
顶点 2C ABCD 逆时针次序排列点 A 极坐标 )32(  ．

（Ⅰ）求点 ABCD 直角坐标
（Ⅱ）设 P 1C 意点求 2222 |||||||| PDPCPBPA  取值范围．
28．（ 2011 新课标）直角坐标系 xOy 中曲线 参数方程 2cos
2 2sin
x
y



 
（ 参
数）M 动点 P 点满足 2OP OM
uuuv uuuv
点轨迹曲线 2C
(Ⅰ)求 方程
(Ⅱ) O 极点x 轴正半轴极轴极坐标系中射线
3
  异极点
交点 A 异极点交点 B求 AB ．


专题十五 坐标系参数方程
第四十讲 坐标系参数方程
答案部分
2019 年
1．解析（1）
2
2
1111
t
t
  

 
22 22
2
22 2
14121 1
y t tx t t
     
C直角
坐标方程
2
2 1( 1)4
yxx   
l 直角坐标方程 2 3 11 0xy  
（2）（1）设C参数方程 cos
2sin
x
y



 
（ 参数 π π   ）
C点 距离
π4cos 11| 2cos 2 3 sin 11| 3
77

 
2π
3  时 π4cos 113
取值7C点 距离值 7
2．解析（1）  00M  C 0 3  时 0 4sin 2 33 
已知| | | | cos 23OP OA 
设 ()Q  lP意点 Rt OPQ△ 中 cos | | 23 OP  

检验点 (2 )3P  曲线 cos 23

l极坐标方程 cos 23

（2）设 ()P  Rt OAP△ 中| | | | cos 4cos OP OA  4cos
P线段OM AP OM  取值范围 42




P点轨迹极坐标方程 4cos 42   

3 解析（1）题设弧 AB BC CD 圆极坐标方程分 2cos
2sin 2cos
1M 极坐标方程 π2cos 0 4   
剟 2M 极坐标方程
π 3π2sin44   
剟 3M 极坐标方程 3π2cos π4   
剟
（2）设 ()P  题设（1）知
π0 4剟 2cos 3  解 π
6 
π 3π
44剟 2sin 3  解 π
3  2π
3 
3π π4 剟 2cos 3解 5π
6 
综P极坐标 π3 6


π3 3


2π3 3


5π3 6



4解析 圆参数方程圆普通方程   222 1 4xy   
直线 20ax y圆相切
圆心 21 直线 20ax y距离
2
2 1 2 2
1
adr
a
  


解 3
4a  ．

20102018 年

1．12 解析利 cosx  siny  直线方程 0x y a圆
方程 22( 1) 1xy圆心 (10) 半径 1r  直线圆相切圆心
直线距离等半径 |1 | 1
2
a  ∴ 12a  12

0a  ∴ 12a  ．
2．1解析圆普通方程 222 4 4 0x y x y     22( 1) ( 2) 1xy    ．
设圆心 (12)C min| | | | 2 1 1AP PC r     ．
3．2解析直线普通方程 2 3 2 1 0xy  
圆普通方程 22( 1) 1xy  
圆心直线距离 3 14d  两交点．
4．2解析 cos 3 sin 1 0      化直角坐标方程 3 1 0xy   ρ2cos
θ 化直角坐标方程 22( 1) 1xy圆心坐标(10)半径 r1(10)直线
3 1 0xy   |AB|2r2．
5． 52
2
解析 2 sin( ) 24
 22 (sin cos ) 22   1yx
直线l 直角坐标方程 10xy + 点 7(2 2 )4A  应直角坐标
(2 2)A点 直线l ： 距离 | 2 2 1| 5 2
22
++ ．
6．6解析圆 8sin 2 8 sin   化直角坐标方程 22( 4) 16xy+
直线
3
 tan 3 化直角坐标方程 30xy圆心(04) 直线
距离 | 4 | 2
4
圆点直线距离值 6．
7．解析(1) cosx  siny  2C 直角坐标方程 22( 1) 4xy   ．
(2)(1)知 圆心 ( 10)A  半径 2 圆．
题设知 1C 点 (02)B 关 y 轴称两条射线．记 轴右边射线 1l
轴左边射线 2l ． B 圆 外面 仅三公点等价
公点 两公点 公点 两
公点．

1l 2C 公点时A 直线距离 2 2
| 2 | 2
1
k
k
 


4
3k  0k  ．
检验 时 没公点 时 公点 2l
两公点．
公点时 2l 直线距离 2
| 2 | 2
1
k
k
 

0k 
4
3k  ．
检验 时 没公点 4
3k  时 没公点．
综求 1C 方程 4 | | 23yx   ．
8．解析(1)曲线C 直角坐标方程
22
14 16xy ．
cos 0  时l 直角坐标方程 tan 2 tan   yx
cos 0  时 直角坐标方程 1x ．
(2) 参数方程代入 直角坐标方程整理关t 方程
22(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0      tt．①
曲线 截直线 线段中点 (12) ①两解设 1t 2t
120tt ．
① 12 2
4(2cos sin )
1 3cos


   tt 2cos sin 0直线 斜率
tan 2  k ．
9．解析(1) O 直角坐标方程 221xy．
2  时l O 交两点．
2  时记 tan k  l 方程 2y kx ． l O 交两点仅
2
2| | 1
1 k


解 1k  1k  ()42  ()24   ．

综 取值范围 ()44
  ．
(2) l 参数方程
cos
(
2 sin
xt
t
yt


   
参数 44  )．
设 ABP 应参数分 At Bt Pt 2
AB
P
ttt 
At Bt 满足 2 2 2 sin 1 0tt   ．
2 2 sinABtt  2 sinPt  ．点 P 坐标 ()xy满足
cos
2 sin
P
P
xt
yt


   

点 P 轨迹参数方程
2 sin 2 2
22cos222
x
y


 
   
( 参数 44  )．
10．C．解析曲线C 极坐标方程 4cos
曲线 圆心(20) 直径 4 圆．
直线l 极坐标方程 πsin( ) 26
直线l (40)A倾斜角 π
6

A 直线l 圆 交点．
设交点 B∠OAB π
6
．
连结 OB OA 直径∠OBA π
2

x
B
OA
l

π4cos 2 36AB ．
直线l 曲线 截弦长 23．

11．解析（1）曲线C 普通方程
2
2 19
x y．
1a  时直线l 普通方程 4 3 0xy   ．
2
2
4 3 0
19
xy
x y
   
解 3
0
x
y

 

21
25
24
25
x
y
 
 
．
交点坐标(30) 21 24()25 25 ．
（2）直线 普通方程 4 4 0x y a    点(3cos sin ) 距离
| 3cos 4sin 4 |
17
ad    ．
4a ≥ 时 d 值 9
17
a  ．题设 9 17
17
a   8a 
4a  时 值 1
17
a．题设 1 17
17
a 16a  ．
综 ．
12．解析（1）设 P 极坐标() ( 0)  M 极坐标 1() 1( 0)  ．
椭圆知
||OP  1
4|| cosOM   ．
| | | | 16OM OP 2C 极坐标方程 4cos ．
直角坐标方程 22( 2) 4( 0)x y x    ．
（2）设点 B 极坐标 ()B( 0)B  ．题设知| | 2OA  4cosB
OAB 面积
1 | | sin2 BS OA AOB   
4cos | sin( ) |3

32 | sin(2 ) |32
  

23≤ ．

12
  时 S 取值 23 ．
OAB 面积值 ．
13．解析（1）消参数t 1l 普通方程  l y k x1 2
消参数 m 2l 普通方程  l y xk2
1 2 ．
设 ()P x y 题设
 
 
y k x
yxk
  
2
1 2
消 k  x y y  2240．
C 普通方程  x y y  2240
（2） 极坐标方程  cos sin  2 2 2 4     0＜ ＜2
联立
 
 
cos sin
cos sin
  
  
 

2 2 2 4
+ 20
 cos sin cos sin    2 + ．
tan 1
3 cos sin2291 10 10
代入  cos sin  2 2 2 4 2 5 交点 M 极径 5 ．
14．解析直线l 普通方程 2 8 0xy  
点 P 曲线C 设 2(2 2 2 )P s s
点 P 直线 距离
22
22
|2 42 8| 2( 2) 4
5( 1) ( 2)
s s sd    
  

2s  时 min
45
5d 
点 P 坐标(44) 时曲线C 点 P 直线l 距离取值 45
5
15．解析(1) cos
1 sin
x a t
y a t

 
（ t 均参数）
∴  2221x y a   ①

∴ 1C  01 圆心 a 半径圆．方程 2 2 22 1 0x y y a    
∵ 2 2 2 sinx y y    
∴ 222 sin 1 0a      1C 极坐标方程
(2) 2 4cosC ：
两边  2 2 2 24 cos cosx y x        
224x y x  
 2 224xy   ②
3C：化普通方程 2yx 题意： 1C 2C 公方程直线 3C
①—②： 24 2 1 0x y a    3C
∴ 210a∴ 1a 
16．解析（Ⅰ）整理圆方程 2212 11 0xy   

2 2 2
cos
sin
xy
x
y



 
 
 
知圆C 极坐标方程 2 12 cos 11 0     ．
(Ⅱ)记直线斜率 k 直线方程 0kx y
垂径定理点直线距离公式知：
2
2
6 1025 21
k
k
  


2
2
36 90
14
k
k 
整理 2 5
3k  15
3k  ．
17．解析（Ⅰ） 1C 普通方程
2
2 13
x y 2C 直角坐标方程 40xy  
（Ⅱ）题意设点 P 直角坐标( 3cos sin ) 直线
||PQ 值 距离 ()d  值
| 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32
d       ．
仅 2 ( )6k k Z   时 取值值 2

时 P 直角坐标 31()22
．
18．解析椭圆C 普通方程
2
2 14
yx 直线l 参数方程
11 2
3
2
xt
yt
 
 

代入
2
2
3()1 2(1 ) 124
t
t   27 16 0tt
解 1 0t  2
16
7t 
12
16||7AB t t  
19．解析（Ⅰ） cos sinxy   
∴ 1C 极坐标方程 cos 2 2C 极坐标方程
2 2 cos 4 sin 4 0        ．
（Ⅱ） 4
 代入 2 3 2 4 0  
解 1 22 2 2 |MN| －
半径 1 2C MN 面积 o1 2 1 sin 452    1
2
．
20．解析（Ⅰ）曲线 2C 直角坐标方程 2220x y y   曲线 3C 直角坐标方程
222 3 0x y x   ．联立
22
22
2 0
2 3 0
x y y
x y x
      
解 0
0
x
y

 

3 2
3 2
x
y
 
 

1C 交点直角坐标(00) 33()22
．
（Ⅱ）曲线 极坐标方程 ( 0)R   中0 ．
A 极坐标(2sin ) B 极坐标(2 3 cos ) ．
2sin 2 3 cosAB  4 in( )3s 

5
6
  时 AB 取值值 4 ．
21．解析 极坐标系极点面直角坐标系原点 极轴 x 轴正半轴建
立直角坐标系 xoy ．
圆 C 极坐标方程 2 222 2 sin cos 4 022      

化简 2 2 sin 2 cos 4 0        ．
圆C 直角坐标方程 222 2 4 0x y x y    
   221 1 6xy    圆C 半径 6 ．
22．解析（Ⅰ） 22 3sin 2 3 sin    
 22 2 2+ 2 3 + 3 3x y y x y   ．
（Ⅱ）设 13(3 t t) C(0 3)22P +

22
213| PC | 3 3 1222t t t     

t 0 时| PC |取值时 P 点直角坐标(30)
23．解析 2cos ( )3sin
x
y
 

 
（I）曲线C参数方程 参数
6 0l x y  直线 普通方程2 ……5 分
（Ⅱ） cos sin l曲线C意点P(2 3 ) 距离
5 4cos 3sin 6 5d   
2 5 45sin( ) 6 tan sin30 5 3
dPA        
中 锐角
22 5sin 5PA ( + )1时 取值值

25sin( ) 1 5PA 时 取值值
24．解析（I）C 普通方程 22( 1) 1(0 1)x y y     ．
C 参数方程
1 cos
sin
xt
yt

 
（t 参数0 tx ）
（Ⅱ）设 D(1 cos sin )tt （I）知 C G（10）圆心1 半径半圆
C 点 D 处切线 t 垂直直线 GD t 斜率相tan 3 3tt．
D 直角坐标(1 cos sin )33
 33()22
．
25．解析 4 5cos
5 5sin
xt
yt

 
消参数t 化普通方程 22( 4) ( 5) 25xy   
1C： 228 10 16 0x y x y     cos
sin
x
y



 
代入
2 8 cos 10 sin 16 0       
∴ 极坐标方程
（Ⅱ） 2C 普通方程 2220x y y  

22
22
8 10 16 0
20
x y x y
x y y
        
解 1
1
x
y

 
0
2
x
y

 

∴ 交点极坐标分( 2 4
 )(2 )2
 ．
26．解析（Ⅰ）题意    2cos 2sin 2cos2 2sin 2 PQ   
 cos cos2 sin sin 2M    
M 轨迹参数方程 cos cos 2
sin sin 2
x
y



 
（02 ）
（Ⅱ） 点坐标原点距离
22 2 2cosd x y     （）

 时 0d  M 轨迹坐标原点．
27．解析（1）点 ABCD 极坐标 5 4 11(2 )(2 )(2 )(2 )3 6 3 6
   
点 直角坐标(1 3)( 31)( 1 3)( 3 1)   
（2）设 00()P x y 0
0
2cos ()3sin
x
y
 

 
参数
2 2 2 2 22
004 4 16t PA PB PC PD x y      
232 20sin [3252]  
28．解析（I）设 ()P x y 条件知 M(22
xy) M 点 1C
2cos2
2 2sin2
x
y


 
 
4cos
4 4sin
x
y



 
．
2C 参数方程 （ 参数）
（Ⅱ）曲线 1C 极坐标方程 4sin 曲线 极坐标方程 8sin ．
射线
3
  交点 A 极径 1 4sin 3
 
射线
3
  交点 B 极径 2 8sin 3
  ．
21| | | | 2 3AB ．


《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档